• No results found

Meetkunde II

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Meetkunde II"

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Meetkunde II

8 Juni 2015

Mondeling gedeelte

✂ ✁

1 Beschouw een rechte l en een algebraïsche kromme V (f ) in CP2.

a) Leg uit wat men bedoeld met de snijpuntsmultipliciteit van l ∩V (f). Definieer hiermee wat een meervoudig punt is en leg de termen raaklijn en hoofdraaklijn uit.

b) Hoe kan men aan de vergelijking van de kromme zien of het punt E0= [(1, 0, 0)] een dubbelpunt is? Bewijs nauwkeurig.

✂ ✁

2 In deze vraag gaan we aantonen dat er geen compacte minimale oppervlakken zijn in E3.

a) Beschouw een compact oppervlak M in E3. Zij f : M → R : p 7→ ||p||2= p · p een differentieerbare functie.

Zij x : U ⊆ R2 → M een patch zo dat p ∈ x(U). Dan is f ◦ x : U ⊆ R2 → R continu en bijgevolg bereikt f ◦ x een maximum, zeg in (u0, v0). Noem p0= x(u0, v0). Dan is p0 dus het punt van M dat het verst ligt van de oorsprong. Leidt hieruit af dat (de positievector) p0 loodrecht staat op Tp0M .

b) Argumenteer dat, na eventueel de parameters om te wisselen, ξ(u0, v0) = p0

||p0||. c) Zij w = w1xu(u0, v0) + w2xv(u0, v0) een vector in Tp0M . Bewijs de ongelijkheid

w21l(u0, v0) + 2w1w2m(u0, v0) + w22n(u0, v0) ≤ −||w||2

||p0||

waarbij l, m en n gedefinieerd zijn zoals in Lemma 15 op p.215 van de cursus.

c) Leidt hieruit af dat voor een eenheidsvector w ∈ Tp0M geldt dat k(w) ≤ −1/||p0||

d) Besluit dat M niet minimaal is.

Schriftelijk gedeelte

✂ ✁

3 Zij P1 en P2 twee projectieve deelruimten van KPn, zodat dim(P1+ P2) minstens gelijk is aan 1. Bewijs dat de projectieve deelruimte P1+ P2 gelijk is aan de unie van alle rechten die zowel P1 als P2 snijden (in verschillende punten).

✂ ✁

4 Beschouw de twee algebraïsche krommen C1←→ 2x3+ 3x2− y2= 0 en C2←→ x2+ 2x + y2= 0 a) Bepaal de meervoudige punten van C1 en de hoofdraaklijnen.

b) Bepaal een rationale parametrisatie van C1. c) Bereken de snijpunten C1∩ C2.

d) Wat zegt de stelling van Bezout over het aantal snijpunten van C1∩ C2? Verklaar eventueel waarom je niet exact dit aantal bekomt.

e) Maak een schets van beide krommen en hun snijpunten.

(2)

✂ ✁

5 Zij V = {(x1, x2, x3) ∈ E3| x21+ x22= x23, x3≥ 0}.

a) Bewijs dat V geen oppervlak is maar M = V \ (0, 0, 0) wel.

b) Bewijs dat er een eenheidsvectorveld N op M bestaat zodat N (p) = (V1(p), V2(p), 1/√

2) voor elke p ∈ M, met V1 en V2 gewone differentieerbare functies zijn.

c) Bewijs dat M een plat oppervlak is.

d) Bewijs dat de gemiddelde kromming H(p) in elk punt p van M enkel afhangt van de afstand ||p|| van p tot de oorsprong (0, 0, 0).

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

• Sterke werkwoorden worden veel vaker gehoord en gebruikt door het model dan zwakke, dus de hierboven beschreven procedure zal vaak gebeuren. Als deze methode vijfentwintig keer

Laat ook zien dat beide krommen symmetrisch

Bereken exact voor welke p deze vergelijking geen oplossingen heeft.. Er is sprake van

Vervolgens teken je de lijn door R loodrecht op k, en het snijpunt van deze twee lijnen ligt op de parabool.. Uiteindelijk heb je dan nadat je er een kromme doorheen hebt

Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f , het lijnstuk OE en de x -as is in figuur 9

Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van PQRS

In figuur 12 zijn twee gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE getekend met gemeenschappelijk punt B. Deze figuur staat ook op

We bekijken rechthoeken waarvan twee zijden op de assen liggen en waarvan P een hoekpunt is.. Er is een waarde van x waarvoor de oppervlakte van de rechthoek