Q met3,4,5,6en7hoeken.2 Q met n hoekpuntenmoetgeldendat n Pt 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 u engevenuiteindelijkvoorbeeldenvanPonceletfigurenover Ponceletfigurenzijnveelhoekenwaarvandehoekpuntenopeenkegelsnedeliggenendezijdenrakenaaneenanderekegelsned

faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen

Ponceletfiguren over

Bacheloronderzoek Wiskunde

Juli 2013 Student: J. Los

Eerste Begeleider: prof. dr. J. Top

Tweede Begeleider: dr. J.A. van Maanen

Samenvatting

Ponceletfiguren zijn veelhoeken waarvan de hoekpunten op een kegelsnede liggen en de zijden raken aan een andere kegelsnede. We construeren met behulp van verschillende methodes voorbeelden van Ponceletfiguren waarbij de hoekpunten rationale co¨ordinaten en de kegelsneden rationale co¨effici¨enten hebben. Hiervoor gebruiken we onder andere theorie over elliptische krommen. We laten zien dat voor een Ponceletfiguur over Q met n hoekpunten moet gelden dat n P t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12u en geven uiteindelijk voorbeelden van Ponceletfiguren over Q met 3, 4, 5, 6 en 7 hoeken.

2

Inleiding

De sluitingsstelling van Poncelet stelt het volgende: als er, gegeven twee kegelsnedes K₁en K₂, een n-hoek te construeren is waarvan alle hoekpunten op K₁liggen en alle (verlengden van de) zijden raken aan K₂, dan bestaan er oneindig veel dergelijke n-hoeken bij K₁en K₂. Elk punt van K₁dat niet ook op K₂ligt, kan dienen als hoekpunt van zo’n Ponceletfiguur.

In dit artikel zullen we voorbeelden van Ponceletfiguren over Q zoeken: n-hoeken met rationale hoek- punten bij kegelsnedes met rationale vergelijkingen. Volgens Malyshev [2008] moet, als er een dergelijke n-hoek bestaat, gelden dat nP t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24u, maar het blijkt dat deze verza- meling een superset is van de verzameling van waardes die ook werkelijk voorkomen.

Malyshev [2008] geeft een expliciet voorbeeld voor het geval n  5, maar vermeldt hierbij niet hoe dit voorbeeld gevonden is. Wij geven voor elke n P t3, 4, 5, 6, 7u een voorbeeld en beschrijven de gebruikte constructiemethodes.

We zullen in dit artikel voor de kegelsnedes steeds de algemene vergelijkingen K1: α1x² β1y² γ1xy δ1x 1y θ1 0 en

K₂: α₂x² β₂y² γ₂xy δ₂x ₂y θ₂ 0

gebruiken. In de eerste sectie beschouwen we enkele eenvoudige constructiemethoden, waarbij we Ponce- letfiguren tot en met n 6 vinden. Vervolgens gebruiken we in de tweede sectie de theorie van elliptische krommen om ook Ponceletfiguren voor grotere waardes van n te vinden.

1 Elementaire constructiemethoden

1.1 Geometrische constructie

Een Ponceletfiguur met n 4 is eenvoudig te construeren. We nemen K2 een ellips en beschouwen een rechthoek waarvan alle zijden de ellips raken. De hoekpunten van de rechthoek willen we laten snijden met een hyperbool K1. Aangezien dit een symmetrische figuur geeft, moeten de centra van de ellips en de hyperbool samenvallen; we construeren deze oppp, qq en laten twee zijden van de rechthoek samenvallen met de x- en y-as, zodat we de vergelijkingen

x
p p

2 

y
q q

2

 1

en 

x
p a

2

y
q b

2

 1

krijgen. Omdat de rechthoek hoekpuntenp0, 0q, p0, 2qq, p2p, 0q en p2p, 2qq heeft, moet de hyperbool voldoen

aan
p

a 2

q b

2

 1, oftewel

p²b² b² q²  a².

Een keuze van p 1, b  4 en q  3 geeft a  ⁴₅, zodat alle co¨effici¨enten rationaal zijn. We hebben nu dus de kegelsneden K₁: ²⁵₁₆x²
₁₆⁵⁰x
₁₆¹y² ₁₆⁶y 0 en K2: x²
2x 1 ¹₉y^2
2₃y 0 gevonden, en een bijbehorend Ponceletfiguur dat in vier stappen sluit; zie figuur 1.1.

1.2 Stelsel vergelijkingen

Op basis van het aantal vrijheden in de vergelijking van een kegelsnede kan een Ponceletfiguur voor n 5 gevonden worden. Ga uit van een vaste kegelsnede K1en vijf punten p1, p2, p3, p4en p5daarop. We zoeken dan een kegelsnede K2 die raakt aan de lijnen p1p2, p2p3, p3p4, p4p5 en p5p1. Voor elk van deze lijnen geeft het raken aan K2 ´e´en vergelijking, zodat er in totaal vijf vergelijkingen zijn in vijf onbekenden, namelijk de parameters van de kegelsnede K2. (Vanwege de mogelijkheid tot normaliseren valt ´e´en van de zes co¨effici¨enten van K2 af.) Dit stelsel is op te lossen.

Voorbeeld 1. Laat K1 de eenheidscirkel zijn. Voor de vijf rationale punten p1  p
1, 0q, p2  p0, 1q, p3 p⁴₅,³₅q, p4 p³₅,
⁴₅q en p5 p0,
1q op K1worden de vergelijkingen van de vijf hierboven genoemde verbindende lijnen opgesteld; deze kunnen geschreven worden in de vorm y fpxq. Vervolgens wordt elk van deze lijnen in de algemene vergelijking van K₂ gesubstitueerd, wat per lijn resulteert in een kwadra- tische vergelijking in x. De nulpunten van deze vergelijking corresponderen met de x-co¨ordinaten van de snijpunten van K₂ en de lijn. Om de lijn de kegelsnede te laten raken moet er maar ´e´en snijpunt zijn, dus als de discriminant van de vergelijking gelijkgesteld wordt aan 0, raakt de lijn de kegelsnede K₂. Met de Maplecode in appendix A is een Ponceletfiguur met n 5 bij de kegelsnedes K1: x² y²
1  0 en K2: ⁴²⁰¹₁₅₄x^{2 247}₂₂y² xy
⁴¹⁹₇₇x ¹⁷₇₇y
¹⁴³⁹₁₅₄  0 gevonden; dit is weergegeven in figuur 1.2.

1.3 Iteratie

Uitgaande van een vaste kegelsnede K1 kunnen we de vergelijkingen opstellen van een punt op K1 en een raaklijn door dat punt aan een nog variabele kegelsnede K2. Iteratie van dit proces levert steeds de co¨ordinaten van een volgend punt en de bijbehorende raaklijn, uitgedrukt in de co¨effici¨enten van K2. Als we eisen dat het punt en de raaklijn na n stappen weer gelijk zijn aan de initi¨ele waarden en hier een oplossing voor vinden, hebben we een Ponceletfiguur voor n gevonden.

Preciezer gezegd: gegeven een punt P P K1en een lijn ` die raakt aan K<sub>2</sub> met P P `, dan willen we een uitdrukking vinden voor

4

Figuur 1.1: Ponceletfiguur voor K1: ²⁵₁₆x²
₁₆⁵⁰x
₁₆¹y² ₁₆⁶y 0 en K2: x²
2x 1 ¹₉y^2
2₃y 0 met hoekpunten p0, 0q, p0, 6q, p2, 6q en p2, 0q.

Figuur 1.2: Ponceletfiguur voor K1: x² y²
1  0 en K2: ⁴²⁰¹₁₅₄x^{2 247}₂₂y² xy
⁴¹⁹₇₇x ¹⁷₇₇y
¹⁴³⁹₁₅₄  0 met hoekpunten p
1, 0q, p0, 1q, p⁴₅,³₅q, p³₅,
⁴₅q en p0,
1q.

6

het andere punt P¹ van K1X `;

de andere lijn `¹ door P die raakt aan K2.

Vervolgens kunnen we een punt met bijbehorende raaklijn in twee stappen afbeelden op het volgende punt met bijbehorende raaklijn volgens

rP, `s ÞÑ rP<sup>1</sup>, `s ÞÑ rP¹, `¹s.

Voorbeeld 2. In appendix B is de Maple-code van dit proces opgenomen. We beginnen daar met K₁ : x²
y  0, het beginpunt (1,1) daarop en een horizontale raaklijn. In K2 substitueren we dus de lijn y 1 en eisen dan een dubbel nulpunt. Dit betekent dat α2x² β₂ pγ2 δ₂qx 2 θ₂een dubbel nulpunt moet hebben. Er geldt dus dat α₂ 0, en pγ2 δ₂q²
4α2pβ2 ₂ θ₂q  0. We stellen α2 ¹₄ en verkrijgen β pγ2 δ2q²
2
θ2.

We drukken vervolgens een combinatie van een punt P op K1 en een raaklijn ` aan K2 door P uit in een x-co¨ordinaat a en een helling c. Het snijden van de raaklijn ` met K1 geeft x-co¨ordinaten a en c
a, dus de x-co¨ordinaat van het andere snijpunt van de raaklijn met K1, P¹, is gevonden. Voor de andere raaklijn, `¹, door het punt P substitueren we de algemene vergelijking van een lijn door P in K2 en stellen we de discriminant van de gevonden kwadratische vergelijking in x gelijk aan 0. De discriminant is kwadratisch in de richtingsco¨effici¨ent r van de lijn, en dus van de vorm A2r² A1r A0. Wat opgelost moet worden kan dus herschreven worden tot A2pr^{2 A}_A¹₂r ^A_A⁰

2q  0. Deze vergelijking heeft twee nulpunten;

noem deze λ1 en λ2, zodat de vergelijking ook door A2pr
λ1qpr
λ2q gerepresenteerd kan worden, en λ₁ λ₂ dus gelijk is aan
^A_A¹₂. Omdat de ene oplossing gelijk is aan r c, immers, we weten al dat de raaklijn ` richtingsco¨effici¨ent c heeft, wordt het andere nulpunt gegeven door
<sup>A</sup><sub>A</sub><sup>1</sup><sub>2</sub>
c. De lijn `¹ heeft dus richtingsco¨effici¨ent
^A_A¹₂
c.

Om nu bij een gegeven punt en lijn het volgende punt en de volgende raaklijn te vinden, wordt eerst het andere snijpunt bepaald, en met het nieuwe punt en de oude raaklijn wordt de nieuwe raaklijn bepaald.

Voor een Ponceletfiguur met n zijden eisen we dat het punt Pn en de raaklijn `n die we na n iteraties hebben gevonden, gelijk zijn aan P respectievelijk `.

In de code in appendix B zijn drie van de vier variabelen in K2 vast ingevuld en is het aantal iteraties slechts drie, omdat de vergelijkingen al snel zeer groot worden en de rekentijd te sterk toeneemt. Een gevonden oplossing voor n 3 wordt gegeven door K1: x²
y  0 en K2: ¹₄x^{2 3}₄y² x ¹₄  0, zoals weergegeven in figuur 1.3¹.

Om het probleem van de grote vergelijkingen te omzeilen, zouden alle co¨effici¨enten van K2 al bekend moeten zijn. Het iteratieproces zou voor veel verschillende rationale co¨effici¨enten van K2uitgevoerd moe- ten worden, en met enig geluk vinden we bij bepaalde co¨effici¨enten dat we na een aantal iteraties weer terugkomen op het beginpunt.

Voor een groot aantal combinaties van rationale waardes van de vorm^p_q met p, qP t1, 2, 3, ..., 10u voor γ2, δ₂, ₂en θ₂is het iteratieproces uitgevoerd, en zijn er oplossingen gevonden voor n 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12.

Echter, de figuren met waardes van n groter dan 6 bleken allemaal dubbele punten en lijnen te bevatten, bijvoorbeeld doordat een raaklijn aan K₂ ook raakt aan K₁, en dus geen twee snijpunten met K₁heeft, of doordat het snijpunt met K1 en het raakpunt met K2 van een lijn samenvallen, waardoor er bij die lijn geen tweede raakpunt met K2 bestaat. Een voorbeeld voor n 10 is weergegeven in figuur 1.4.

Voor de gevallen n 3, 4, 5, 6 zijn er wel Ponceletfiguren gevonden, een voorbeeld met n  6 is weerge- geven in figuur 1.5.

Merk overigens op dat de keuze voor beginraaklijn y 1 al een beperkende conditie is; om voor een be- paalde verzameling breuken alle mogelijkheden te controleren, moet dus vijf lagen diep gezocht worden;

voor een enigszins grote verzameling breuken is dit al niet meer binnen redelijke tijd te doen.

1In het bijschrift bij de figuren is voor de overzichtelijkheid niet de reeksrPj, `js, j  0 . . . n weergegeven, maar rPj, cjs, waarbij cjde helling van de lijn `jis.

Figuur 1.3: Ponceletfiguur voor K1 : x²
y  0 en K2 : ¹₄x^{2 3}₄y² x ¹₄  0 met hoekpunten en hellingen achtereenvolgens rp1, 1q, 0s, rp
1, 1q,
1s, rp0, 0q, 1s, rp1, 1q, 0s.

8

Figuur 1.4: Iteratieconstructie voor K1 : x²  y en K2 : ¹₄x² 33y²
3xy
⁵₂x
3y ¹₄  0 met hoekpunten en hellingen achtereenvolgensrp1, 1q, 0s, rp
1, 1q,
¹⁰₁₁s, rp₁₁¹,₁₂₁¹ q,
¹⁰₁₁s, rp
1, 1q, 0s, rp1, 1q, 1s, rp0, 0q,
¹₄s, rp
¹₄,₁₆¹q,¹₄s, rp¹₂,¹₄q,¹₄s, rp
¹₄,₁₆¹q,
¹₄s, rp0, 0q, 1s, rp1, 1q, 0s.

Figuur 1.5: Ponceletfiguur voor K1 : x²
y  0 en K2 : ¹₄x^{2 27}₂y^2
9₂xy x
³₂y ¹₄  0 met hoekpunten en hellingen achtereenvolgens rp1, 1q, 0s, rp
1, 1q,
⁴₃s, rp
¹₃,¹₉q, 0s, rp¹₃,¹₉q,¹₃s, rp0, 0q,
¹₅s, rp
¹₅,₂₅¹q,⁴₅s, rp1, 1q, 0s.

10

2 Constructiemethoden met behulp van elliptische krommen

2.1 Inleiding

Er bestaat een relatie tussen het Ponceletproces en de groepsoptelling op een elliptische kromme. In deze sectie zullen we die relatie beschouwen, en zullen we elliptische krommen gebruiken om Ponceletfiguren te vinden. Hiertoe geven we eerst een globaal overzicht van elliptische krommen.

Een vergelijking in de Weierstrassvorm

E : y² a₁xy a₃y x³ a₂x² a₄x a₆

over A² kan in homogene co¨ordinaten in het projectieve vlak P² geschreven worden via de substituties x X{Z en y  Y {Z. Vermenigvuldiging met Z³ aan beide zijden geeft dan de vergelijking

Y²Z a1XY Z a3Y Z² X³ a2X²Z a4XZ² a6Z³.

Wanneer hierin Z  0 wordt gesubstitueerd, volgt dat X  0, en verkrijgen we het punt op oneindig O  r0, 1, 0s. Een elliptische kromme over een lichaam K bestaat uit een vergelijking E van een niet- singuliere kromme met co¨effici¨enten a1, . . . , a6 P K, samen met het punt op oneindig O. Zie verder [Silverman, 1986, hoofdstuk 3]. De punten op een elliptische kromme E vormen een abelse groep met eenheidselement O waarbij P Q R O ô tP, Q, Ru is de verzameling snijpunten van E met een lijn.

De combinatie van een punt op een kegelsnede K1 met een raaklijn door het punt aan K2 kan worden opgevat als een punt op een kromme; in de meeste gevallen zal dit een elliptische kromme zijn.

Het PonceletprocesrP, `s ÞÑ rP<sup>1</sup>, `¹s correspondeert met een translatie over een Q P E. Het na n stappen terugkomen op de initi¨ele positie, oftewel rP, `s  rPn, `ns, betekent dan dat nQ  O; we hebben dus te maken met een punt van orde n. Dit wordt hieronder uitgewerkt.

2.2 Het omzetten naar een elliptische kromme

We gaan weer uit van twee kegelsnedes

K₁: α₁x² β₁y² γ₁xy δ₁x ₁y θ₁ 0 en

K₂: α₂x² β₂y² γ₂xy δ₂x ₂y θ₂ 0

met het punt p0 px0, y0q op K1. Elk punt op K1 kan als volgt gerepresenteerd worden in ´e´en variabele s. De lijn door p0met richting s, gegeven door y px
x0qs y0, snijdt K1in een ander punt p1, waarvan de co¨ordinaten uitgedrukt kunnen worden in s. We zoeken nu de lijn y  cx d door p1  px1, y1q die raakt aan K2; deze kan gevonden worden door d te schrijven als y1
x1c en vervolgens y  cx d te substitueren in de vergelijking van K2. Dit geeft een tweedegraadsvergelijking in x met co¨effici¨enten in s en c; het gelijkstellen van de discriminant aan 0 correspondeert met het raken aan K2. Er resteert dus een vergelijking in s en c die de punten op K1 met een raaklijn aan K2 erdoor representeert.

Deze vergelijking is van graad 4 in s en van graad 2 in c. Immers, substitutie van y px
x0qs y0in de vergelijking van K₁ geeft een vergelijking die kwadratisch is in s, dus de oplossing x₁ is ook kwadratisch in s. De bijbehorende y₁ zou volgens y  px
x0qs y₀ van graad 3 in s kunnen zijn, maar als dit analytisch wordt opgelost blijkt y₁ ook kwadratisch in s te zijn. De lijn y  cx d  cx y1
x1c is dus kwadratisch in s en lineair in c, dus substitutie van deze vergelijking in K₂ geeft een vergelijking van graad 4 in s en graad 2 in c. Volgens [Cassels, 1991, p. 35] kan deze vergelijking in de meeste gevallen (als het vierdegraadsgedeelte in x geen dubbele nulpunten heeft) worden omgezet in de standaard Weierstrassvorm voor een elliptische kromme. Als het systeem eenmaal in de vorm van een elliptische kromme gerepresenteerd is, kan met behulp van de torsiesubgroep eenvoudig de orde van de punten gecontroleerd worden.

Voorbeeld 3. We beschouwen weer de hyperbool K₁ : ²⁵₁₆x^2
50₁₆x
₁₆¹y² ₁₆⁶y  0 en de ellips K₂: x²
2x 1 ¹₉y^2
2₃y 0 uit sectie 1.1, zodat de Ponceletfiguur beginnend op p0, 0q na vier stappen

sluit. Op de zojuist beschreven manier is met het programma Maple een vergelijking van graad 4 in s en graad 2 in c gevonden. Met behulp van het rationale punt waarvoor s 3, c  0 is deze vergelijking om te zetten naar de elliptische kromme E : y^2
32₁₇xy x^{3 97792}₂₃₄₀₉x^2
2097152₃₉₇₉₅₃x. Dit is eenvoudig te vinden met het programma Magma; zie appendix C. Het blijkt dat de torsiesubgroep van deze kromme isomorf is met Z/2Z + Z/4Z. Er zijn dus inderdaad punten van orde 4.

2.3 Mogelijke waardes van n

Nu we een Ponceletprobleem kunnen omzetten naar een groep op een elliptische kromme, kunnen we met de theorie over elliptische krommen iets meer zeggen over de mogelijke waardes van n. Mazur [1978] stelt het volgende: als E een elliptische kromme over Q is, dan is de torsiesubgroep van E isomorf met een van de volgende groepen:

Z{NZ met 1 ¤ N ¤ 10 of N  12 Z{2Z  Z{2NZ met 1 ¤ N ¤ 4

Elk rationaal Ponceletprobleem dat kan worden omgezet in een elliptische kromme, heeft dus een fi- guur met maximaal twaalf zijden. Wanneer een rationaal Ponceletprobleem niet omgezet kan worden in een elliptische kromme, kan ook aangetoond worden dat n ¤ 12, n  11, zodat we kunnen con- cluderen dat de in de inleiding genoemde verzameling die door Malyshev [2008] wordt gegeven, n P t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24u, dus gereduceerd kan worden tot n P t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12u.²

2.4 Het vinden van de juiste elliptische kromme

Uitgaande van de algemene vergelijkingen van de kegelsnedes kunnen we enkele co¨effici¨enten vast kiezen, het systeem vervolgens omzetten in een elliptische kromme, en proberen de co¨effici¨enten a1, a2, a3, a4 en a6 van de elliptische kromme (die uitgedrukt zijn in de variabele co¨effici¨enten van de kegelsnedes) gelijk te stellen aan de co¨effici¨enten van bekende elliptische krommen met de gewenste torsiesubgroepen. In dit proces blijven er echter te veel co¨effici¨enten variabel, wat resulteert in een onoplosbare vergelijking, of er worden teveel co¨effici¨enten vastgelegd, waardoor er geen oplossingen meer bestaan.

Volgens [Silverman, 1986, p. 50] zijn twee elliptische krommen isomorf (na eventueel een lichaamsuitbrei- ding) dan en slechts dan als ze dezelfde j-invariant hebben; ook het gelijkstellen van de j-invariant van de gevonden elliptische kromme aan die van een bekende elliptische kromme met gewenste torsiesubgroep levert echter een te grote, onoplosbare vergelijking.

Voorbeeld 4. We beschouwen de elliptische kromme y²
xy 2y  x³ 2x², waarvan de torsiesubgroep volgens [Knapp, 1992, p. 133] isomorf is met Z{7Z. De j-invariant van deze kromme is gelijk aan
^21466891664 . De kegelsnede K1 wordt gelijkgesteld aan de eenheidscirkel, en K2 is nog variabel. Met een kleine aan- passing van de code in appendix C kunnen we de elliptische kromme bij K1 en K2 vinden. Met behulp van Maple is eenvoudig de j-invariant van deze kromme te vinden als uitdrukking in de co¨effici¨enten van K2. Wanneer we deze uitdrukking gelijkstellen aan
^2146689₁₆₆₄ , krijgen we een zesdegraadsvergelijking en kunnen we dus geen expliciete oplossing vinden. Als er co¨effici¨enten van K2vast gekozen worden, krijgen we nog steeds een onoplosbare zesdegraadsvergelijking. Bij de door Knapp [1992, p. 133] gegeven ellipti- sche krommen met torsiesubgroepen isomorf met Z{8Z, Z{9Z, Z{10Z en Z{12Z stuiten we op hetzelfde probleem.

2.5 Het vinden van de juiste kegelsneden

Als bij een gegeven elliptische kromme met een punt van orde n¥ 7 de twee corresponderende kegelsnedes K1 en K2 gevonden kunnen worden, hebben we een manier om Ponceletfiguren met de nog resterende aantallen zijden te construeren. In deze paragraaf zullen we dit proces uitwerken.

We maken hierbij gebruik van K₂^_, de duale van K2, i.e. de kegelsnede die wordt beschreven door de raaklijnen aan K₂. (Raaklijnen aan K₂ zijn van de vorm y  cx d waarvoor het volgende geldt: als

2Het geval n 2 is niet in de verzameling opgenomen, aangezien het geval met een ‘tweehoek’ een flauw geval is.

12

y cx d gesubstitueerd wordt in de algemene vergelijking van K2, is de discriminant m.b.t. x gelijk aan 0. Dit geeft een vergelijking die kwadratisch is in c en d, en dus een kegelsnede in c en d representeert.) Bij de Ponceletkromme X  trP, `s|P P K1, ` P K2^_, P P `su kunnen we nu twee afbeeldingen maken, namelijk

XÑ K1, rP, `s ÞÑ P en X Ñ K2<sup>_</sup>, rP, `s ÞÑ `.

Het origineel van de meeste punten op K₁resp. K₂^_bestaat uit precies twee punten van X. Immers,rP, `s enrP, `¹s worden met de eerste afbeelding beide afgebeeld op P , en voor elk ander element k P K2^_geldt dat rP, ks R X omdat P R k. Evenzo zijn rP, `s en rP<sup>1</sup>, `s de enige twee punten van X die op ` worden afgebeeld door de tweede afbeelding. We hebben dus twee functies op X waarvan het volledig origineel in het algemeen uit twee punten bestaat.

We willen nu een elliptische kromme E opvatten als zo’n X, en dus twee functies hebben waarvan het volledig origineel in het algemeen uit twee punten bestaat. Voor een elliptische kromme E in de Weierstrassvorm kunnen we niet simpelweg de functies px, yq ÞÑ x en px, yq ÞÑ y gebruiken, omdat de laatste in het algemeen drie originelen heeft vanwege de derde macht van x. We herschrijven E daarom tot een vergelijking in b en c die kwadratisch is in zowel b als c, zodatpb, cq ÞÑ b en pb, cq ÞÑ c allebei wel een volledig origineel hebben van in het algemeen twee punten.

In totaal werkt deze methode dus als volgt: we beginnen met een elliptische kromme met een punt van orde n. Deze schrijven we als vergelijking in de variabelen b en c, die beide graad 2 hebben. We drukken K₁ nu uit in b, en K₂^_ in c. Dit moet op zo’n manier dat wanneer een punt op K₁ op een lijn gegeven door y  cx d met pc, dq P K2^_ ligt, dit overeenkomt met onze vergelijking in b en c. Immers, we representeren hiermee een punt van K₁ op een raaklijn aan K₂. Als K₁ willekeurig gekozen wordt, volgt dus wat K₂^_ moet zijn, en hieruit is K₂te berekenen. Op deze wijze vinden we de juiste kegelsnedes voor een Ponceletfiguur met n hoeken.

Voorbeeld 5. We werken bovenstaand proces uit voor een elliptische kromme met een punt van orde 7;

zie ook appendix D.

De elliptische kromme E : y² p1
r²
rqxy p
r
r³
2r²qy  x³ p
r
r³
2r²qx²heeft (0,0) als punt van orde 7. We nemen nu r  7, zodat de vergelijking oneindig veel oplossingen over de rationale getallen heeft, wat met Magma eenvoudig is te vinden door de rang van E uit te rekenen. We krijgen dus E : y²
55xy
448y  x³
448x². Nemen we als nieuwe variabelen b en c, en stellen we deze gelijk aan

b x

y
tx en c x

a1x
a3
y
tx en vullen we voor t de waarde 1 in, zodat we

b x

y
x en c x 54x 448
y

krijgen, dan kunnen we E omschrijven tot een vergelijking in b en c, in beide kwadratisch. Immers, 1

b  y
x x  y

x
1 en 1

c  54 448 x
y

x, dus 1 b

1

c  53 448 x . Hieruit volgt dat

x 448bc b c
53bc. Ook y kan nu makkelijk berekend worden; het blijkt dat

y 448pb 1qc b c
53bc.

Deze waarden vullen we in in E, zodat we de elliptische kromme hebben gerepresenteerd als b² b 24139b²c²
51bc
500b²c c² c
500bc² 0, oftewel p1
500c 24139c²qb² p
51c 1
500c²qb c² c 0.

Voor K₁ kiezen we nu K₁  tpb, b²qu, en voor K2^_ stellen we K₂^_  tpxpcq, ypcqqu, waarvoor we dus xpcq en ypcq nog moeten bepalen. De vergelijking die nu een punt van K1 op een raaklijn voorstelt, wordt dus gegeven door b²  xpcqb ypcq, en dit moet corresponderen met de elliptische kromme.

Hiertoe vermenigvuldigen we met 1
500c 24139c², zodat we de vergelijking p1
500c 24139c²qb² p1
500c 24139c²qxpcqb p1
500c 24139c²qypcq krijgen, waaruit volgt dat we

xpcq 

51c 1
500c²

1
500c 24139c² en ypcq 
c² c 1
500c 24139c²

kunnen kiezen. We weten nu dus de vergelijking van K₂^_en berekenen K₂door y xpcqx ypcq in de alge- mene vergelijking van K₂te substitueren en de discriminant hiervan gelijk te stellen aan 0. Zo vinden we de kegelsnede K₂:
⁴⁶⁰¹₁₀₆x^2
76722₅₃ y^{2 21778}₅₃ xy x ⁵⁰²₅₃y
₁₀₆¹  0. Voor K1hadden we K₁: x²
y  0.

Voor het beginpunt (₂₀¹,₄₀₀¹ ) op K₁en de eerste raaklijn met helling ₆₀⁷ krijgen we dan de volgende punten.

Nr. x-co¨ordinaat y-co¨ordinaat helling

0 1/20 1/400 7/60

1 1/15 1/225 154/1185

2 5/79 25/6241 572/5293

3 3/67 9/4489 160/2077

4 1/31 1/961 65/1054

5 1/34 1/1156 943/14722

6 15/433 225/187489 773/8660

7 1/20 1/400 7/60

We zijn dus inderdaad in zeven stappen terug bij het initi¨ele punt en de initi¨ele raaklijn. Het Ponce- letfiguur is weergegeven in figuur 2.1.

14

Figuur 2.1: Ponceletfiguur voor K1: x²
y  0 en K2:
⁴⁶⁰¹₁₀₆x^2
76722₅₃ y^{2 21778}₅₃ xy x ⁵⁰²₅₃y
₁₀₆¹  0.

Conclusie

We hebben laten zien dat Ponceletfiguren over Q alleen mogelijk zijn voor n P t3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12u, wat een verscherping is ten opzichte van genoemde waardes in de literatuur.

Ponceletfiguren over Q voor n  3, 4, 5, 6 zijn met relatief eenvoudige methoden te construeren. Een in- gewikkeldere methode maakt gebruik van de relatie tussen een Ponceletfiguur en een elliptische kromme, waarbij de orde van punten op de elliptische kromme overeenkomt met het aantal hoeken in de Poncelet- figuur. Voor n 7 is op deze wijze een Ponceletfiguur gevonden; het lijkt aannemelijk dat deze methode ook voor n 8, 9, 10, 12 zal werken. De lezer wordt uitgenodigd dit te onderzoeken.

16

Referenties

Cassels, J. W. S. (1991). Lectures on Elliptic Curves. London Mathematical Society Student Texts 24.

Cambridge University Press.

Knapp, A. W. (1992). Elliptic Curves. Mathematical Notes 40. Princeton University Press.

Malyshev, V. A. (2008). Poncelet problem for rational conics. St. Petersburg Mathematical Journal, 19, 597–601.

Mazur, B. (1978). Rational isogenies of prime degree. Inventiones Mathematicae, 44, 129–162.

Silverman, J. H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics 106. Springer.

A Constructie van een Ponceletfiguur met n  5

#Ga u i t van k e g e l s n e d e C1 met c o e f f i c i e n t e n :

a l p h a 1 : = 1 ; b e t a 1 : = 1 ; gamma1:= 0 ; d e l t a 1 : = 0 ; e p s i l o n 1 : = 0 ; t h e t a 1 :=
1;

C1 := a l p h a 1 ∗xˆ2+ b e t a 1 ∗yˆ2+gamma1∗x∗y+d e l t a 1 ∗x+e p s i l o n 1 ∗y+t h e t a 1 ;

#D e f i n i e e r C2 nog a l g e m ee n :

C2 := a l p h a 2 ∗xˆ2+ b e t a 2 ∗yˆ2+gamma2∗x∗y+d e l t a 2 ∗x+e p s i l o n 2 ∗y+t h e t a 2 ;

#D e f i n i e e r 5 punten :

xpt := Array ( [
1 , 0 , 4/5 , 3/5 , 0 ] ) ; ypt := Array ( [ 0 , 1 , 3 / 5 ,
4/5,
1]);

#Bereken de v i j f r a a k l i j n e n : l := Array ( [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ; f o r i from 1 t o 4 do

l ( i ) : = ( ypt ( i +1)
ypt ( i ) ) / ( ( xpt ( i +1)
xpt ( i ) ) ) x+ypt ( i +1)

(ypt ( i +1)
ypt ( i ) ) / ( ( xpt ( i +1)
xpt ( i ) ) ) xpt ( i +1);

end do :

l ( 5 ) : = ( ypt (1)
ypt ( 5 ) ) / ( ( xpt (1)
xpt ( 5 ) ) ) x+ypt ( 1 )

(ypt (1)
ypt ( 5 ) ) / ( ( xpt (1)
xpt ( 5 ) ) ) xpt ( 1 ) ;

#Bereken de v i j f v e r g e l i j k i n g e n waaraan de c o e f f i c i e n t e n van C2 moeten v o l d o e n : m:= Array ( [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;

f o r i from 1 t o 5 do

d i s := d i s c r i m ( s u b s ( y =l ( i ) , C2 ) , x ) ; m( i ) := numer ( d i s ) ;

end do :

#Los h e t s t e l s e l op :

s o l v e ( {m( 1 ) , m( 2 ) , m( 3 ) , m( 4 ) , m( 5 ) } ,

{ alpha2 , beta2 , gamma2 , d e l t a 2 , e p s i l o n 2 , t h e t a 2 } ) ;

#D e f i n i e e r de c o e f f i c i e n t e n v o l g e n s e e n van de o p l o s s i n g e n en t e k e n de o p l o s s i n g : gamma2 : = 1 ; t h e t a 2 :=
1439/154; alpha2 :=4201/154;

b e t a 2 : = 2 4 7 / 2 2 ; d e l t a 2 :=
419/77; e p s i l o n 2 :=17/77;

w i t h ( p l o t s , i m p l i c i t p l o t ) ; w i t h ( C o l o r T o o l s ) ;

i m p l i c i t p l o t ( [ C1 = 0 , C2 = 0 , y=l ( 1 ) , y=l ( 2 ) , y=l ( 3 ) , y=l ( 4 ) , y=l ( 5 ) ] , x =
1.2 . . 1 . 2 , y =
1.2 . . 1 . 2 ,

c o l o r =[”#880015” , ”#110488” , ”#121212” ,

”#121212” ,”#121212” , ”#121212” , ” # 1 2 1 2 1 2 ” ] ) ;

18

B Iteratieve constructie van een Ponceletfiguur

# Ga u i t van k e g e l s n e d e n C1 en C2 met c o e f f i c i e n t e n :

a l p h a 1 := 1 ; b e t a 1 := 0 ; gamma1 := 0 ; d e l t a 1 := 0 ; e p s i l o n 1 :=
1; theta1 := 0 ; a l p h a 2 := 1 / 4 ; gamma2 := 0 ; d e l t a 2 := 1 ; e p s i l o n 2 := 0 ;

b e t a 2 := ( gamma2+d e l t a 2 )ˆ2
e psi lon2
theta2 ;

C1 := a l p h a 1 ∗xˆ2+ b e t a 1 ∗yˆ2+gamma1∗x∗y+d e l t a 1 ∗x+e p s i l o n 1 ∗y+t h e t a 1 ; C2 := a l p h a 2 ∗xˆ2+ b e t a 2 ∗yˆ2+gamma2∗x∗y+d e l t a 2 ∗x+e p s i l o n 2 ∗y+t h e t a 2 ;

# Bereken de r a a k l i j n en de s n i j p u n t e n met C1 : xP := a ;

yP := s o l v e ( s u b s ( x = xP , C1 ) , y ) ; rL := c ;

hL := s o l v e ( s u b s ( { x = xP , y = yP } , rL ∗x+d
y ) , d ) ; s p t := s o l v e ( s u b s ( y = rL ∗x+hL , C1 ) , x ) ;

# S u b s t i t u e e r de r a a k l i j n i n C2 en s t e l de d i s c r i m i n a n t g e l i j k aan 0 : rL := ’ rL ’ ;

s u b s ( y = rL ∗x
rL∗a+a ˆ2 , C2 ) ; s i m p l i f y ( % ) ;

d i s := d i s c r i m ( s u b s ( y = rL ∗x
rL∗a+a ˆ2 , C2) , x ) ; c o l l e c t ( d i s , rL ) ;

A2 := c o e f f ( d i s , rL , 2 ) ; A1 := c o e f f ( d i s , rL , 1 ) ; A0 := c o e f f ( d i s , rL , 0 ) ;

# De som van n u l p u n t e n van d i s i s
A1 gedeeld door A2

# Een van de n u l p u n t e n i s c , dus h e t a n d e r e wordt g e g e v e n d o o r : n u l p u n t :=
A1/A2
c ;

# P r o c e d u r e d i e g e g e v e n de i n p u t [ a , b , c ] met ( a , b ) h e t punt

# en c de h e l l i n g van de l i j n h e t a n d e r e s n i j p u n t met C1 g e e f t : nieuwpunt := p r o c ( l ) ;

a := l [ 1 ] : b := l [ 2 ] : c := l [ 3 ] :

# De c o o r d i n a t e n van h e t nieuwe punt v o l g e n u i t de v a r i a b e l e s p t . r e t u r n [ c
a , ( c
a )ˆ2 , c ] ;

end p r o c ;

# P r o c e d u r e d i e g e g e v e n de i n p u t [ a , b , c ] met ( a , b ) h e t punt

# en c de h e l l i n g van de l i j n de a n d e r e r a a k l i j n aan C2 g e e f t : n i e u w e l i j n := p r o c ( l ) :

a := l [ 1 ] ; b := l [ 2 ] ; c := l [ 3 ] ;

# De h e l l i n g van de l i j n v o l g t u i t de v a r i a b e l e n u l p u n t .

r e t u r n [ a , b ,
(
2∗theta2 ∗aˆ3+4∗ d e l t a 2 ∗gamma2ˆ2∗aˆ2
4∗ d e l t a 2 ∗ e p s i l o n 2 ∗aˆ2+4∗

gamma2∗ d e l t a 2 ∗ aˆ3
2∗ e p s i l o n 2 ∗aˆ3
2∗ e p s i l o n 2 ∗gamma2∗aˆ2+ e p s i l o n 2 ∗a+2∗ d e l t a 2 ∗ e p s i l o n 2 +8∗gamma2∗ d e l t a 2 ˆ2∗ aˆ2
4∗ theta2 ∗gamma2+2∗ d e l t a 2 ˆ2∗aˆ3
2∗gamma2∗ d e l t a 2 ∗ a
4∗ d e l t a 2 ∗ theta2 ∗aˆ2+4∗ d e l t a 2 ˆ3∗aˆ2)/(
4∗ d e l t a 2 ∗gamma2ˆ2∗a+e p s i l o n 2 ˆ2+4∗ d e l t a 2 ∗ e p s i l o n 2 ∗ a+2∗gamma2∗ a ∗ e p s i l o n 2 +4∗ d e l t a 2 ∗ t h e t a 2 ∗ a+4∗ t h e t a 2 ∗ e p s i l o n 2
d e l t a 2 ˆ2∗

aˆ2+4∗ t h e t a 2 ˆ2
2∗gamma2∗ d e l t a 2 ∗aˆ2
8∗ theta2 ∗gamma2∗ d e l t a 2+e p s i l o n 2 ∗aˆ2
4∗

d e l t a 2 ˆ3∗ a+t h e t a 2 ∗ aˆ2
4∗ theta2 ∗gamma2ˆ2
8∗gamma2∗ d e l t a 2 ˆ2∗a
4∗ d e l t a 2 ˆ2∗ theta2)
c ] ; end p r o c ;

# Neem a l s b e g i n p u n t ( 1 , 1 ) en ee n l i j n met h e l l i n g 0 : h u i d i g := [ 1 , 1 , 0 ] ; p l := a r r a y ( 1 . . 1 0 ) ;

f o r j from 1 t o 3 do

# Bereken h e t v o l g e n d e punt en v e r v o l g e n s met d a t punt de nieuwe r a a k l i j n s 1 := nieuwpunt ( h u i d i g ) : h u i d i g := n i e u w e l i j n ( s 1 ) :

p l [ j ] := h u i d i g [ 3 ] ∗ x
huidig [ 3 ] ∗ huidig [1]+ huidig [ 2 ] : end do :

# S t e l de h u i d i g e o p l o s s i n g g e l i j k aan de i n i t i e l e c o n d i t i e s : s o l v e ( { h u i d i g [ 1 ] = 1 , h u i d i g [ 2 ] = 1 , h u i d i g [ 3 ] = 0 } , t h e t a 2 ) ;

# Vul e e n van de o p l o s s i n g e n i n en p l o t de f i g u u r : t h e t a 2 := 1 / 4 ;

w i t h ( p l o t s , i m p l i c i t p l o t ) : w i t h ( C o l o r T o o l s ) :

i m p l i c i t p l o t ( [ C1 = 0 , C2 = 0 , y = p l [ 1 ] , y = p l [ 2 ] , y = p l [ 3 ] ] , x =
4 . . 2 , y =
2 . . 2 ,

c o l o r = [ ” # 8 8 0 0 1 5 ” , ”#110488” , ”#121212” , ”#121212” , ” # 1 2 1 2 1 2 ” ] ) ;

20

C Berekening van de elliptische kromme

##### MAPLE
CODE

# Ga u i t van k e g e l s n e d e n C1 en C2 met c o e f f i c i e n t e n : a l p h a 1 := 2 5 / 1 6 ;

b e t a 1 :=
1/16;

gamma1:= 0 ; d e l t a 1 :=
50/16;

e p s i l o n 1 := 6 / 1 6 ; t h e t a 1 := 0 ; a l p h a 2 := 1 ; b e t a 2 := 1 / 9 ; gamma2:= 0 ;

d e l t a 2 :=
2;

e p s i l o n 2 :=
2/3;

t h e t a 2 := 1 ;

# D e f i n i e e r C1 :

C1 := a l p h a 1 ∗xˆ2+ b e t a 1 ∗yˆ2+gamma1∗x∗y+d e l t a 1 ∗x+e p s i l o n 1 ∗y+t h e t a 1 ;

# D e f i n i e e r C2 :

C2 := a l p h a 2 ∗xˆ2+ b e t a 2 ∗yˆ2+gamma2∗x∗y+d e l t a 2 ∗x+e p s i l o n 2 ∗y+t h e t a 2 ;

# Het punt p=(x0 , y0 ) l i g t op C1 : x0 := 0 ;

y0 := 0 ;

# D e f i n i e e r e e n l i j n y=L d o o r p met r i c h t i n g s : L := ( x
x0 )∗ s+y0 ;

# S n i j d C1 met L :

sn := s o l v e ( s u b s ( y=L , C1=0) , x ) ;

# Bepaal a en b i n termen van s :

i f sn [ 1 ] = x0 t h e n a := sn [ 2 ] e l s e a := sn [ 1 ] end i f ; b := s u b s ( x=a , L ) ;

# Maak e e n l i j n y = cx+d d o o r ( a , b ) d i e r a a k t aan C2 : d := b
c∗a ;

d i s := d i s c r i m ( s u b s ( y = c ∗x+d , C2 ) , x ) ; num := numer ( d i s ) ;

num := c o l l e c t (num , { c , s } , d i s t r i b u t e d ) ;

# Reken de maximale g r a a d u i t en v u l d i e aan met v o l d o e n d e machten van z : termen := op (num ) ;

maxgraad := 0 :

f o r term i n termen do ;

g r a a d := d e g r e e ( term , s )+ d e g r e e ( term , c ) :

maxgraad := ‘ i f ‘ ( g r a a d > maxgraad , graad , maxgraad ) : end do :

v e r g := 0 :

f o r term i n termen do ;

z g r a a d := maxgraad
degree ( term , s )
degree ( term , c ) :

v e r g := v e r g + term ∗ z ˆ z g r a a d : end do :

v e r g := a l g s u b s ( c = y , v e r g ) ; v e r g := a l g s u b s ( s = x , v e r g ) ; v e r g ;

# D i t g e e f t :

# 544∗ x ˆ3∗ z ∗y
24∗y∗xˆ4
544∗z∗yˆ2∗xˆ2+48∗xˆ3∗yˆ2+1200∗ z ˆ2∗yˆ2∗x

+1200∗x ˆ3∗ z ˆ2
3600∗z ˆ2∗y∗xˆ2
15000∗ z ˆ4∗y+30000∗ z ˆ4∗x+13600∗ z ˆ3∗y∗x
13600∗ z ˆ3∗xˆ2

# Voor b e g i n p u n t , k i e s b i j v . s=3 en r e k e n u i t : s o l v e ( s u b s ( s =3 ,num=0) , c ) ;

# D i t g e e f t c =0.

##### MAGMA
CODE

R<x , y , z> := P r o j e c t i v e S p a c e ( R a t i o n a l s ( ) , 2 ) ;

C:= Curve (R, 544∗ x ˆ3∗ z ∗y
24∗y∗xˆ4
544∗z∗yˆ2∗xˆ2+48∗xˆ3∗yˆ2+1200∗ z ˆ2∗yˆ2∗x

+1200∗x ˆ3∗ z ˆ2
3600∗z ˆ2∗y∗xˆ2
15000∗ z ˆ4∗y+30000∗ z ˆ4∗x+13600∗ z ˆ3∗y∗x
13600∗ z ˆ3∗x ˆ 2 ) ; p0 := C ! [ 3 , 0 , 1 ] ;

E , p h i := E l l i p t i c C u r v e (C, p0 ) ; E ;

22

D Berekening van K

bij een gegeven elliptische kromme

# Vul de gevonden x
en y
waardes in in de e l l i p t i s c h e krommme : f a c t o r ( s u b s ( { x = 4 4 8 / ( 1 / b+1/c
53) , y = (448∗(1/ b+1))/(1/b+1/c
53)} ,

yˆ2
55∗x∗y
448∗y
xˆ3+448∗x ˆ 2 ) ) ;

# A l l e e n de t e l l e r h o e f t g e l i j k g e s t e l d t e worden aan n u l : v g l := bˆ2+b+24139∗b ˆ2∗ c ˆ2
51∗b∗c
500∗bˆ2∗ c+cˆ2+c
500∗b∗c ˆ 2 ; v g l := c o l l e c t ( v g l , b ) ;

# D e f i n i e e r x ( c ) en y ( c ) :

xc :=
(
51∗c+1
500∗c ˆ2)/(24139∗ cˆ2+1
500∗c ) ; yc :=
(c+c ˆ2)/(24139∗ cˆ2+1
500∗c ) ;

K2 := a l p h a 2 ∗xˆ2+ b e t a 2 ∗yˆ2+gamma2∗x∗y+d e l t a 2 ∗x+e p s i l o n 2 ∗y+t h e t a 2 ;

# S u b s t i t u e e r de v e r g e l i j k i n g van de l i j n i n K2

# en s t e l a l l e c o e f f i c i e n t e n g e l i j k aan n u l :

c o l l e c t ( numer ( d i s c r i m ( s u b s ( y = xc ∗x+yc , K2 ) , x ) ) , c ) ;

s o l v e ( { d e l t a 2 ˆ2
4∗ theta2 ∗ beta2+4∗gamma2∗ theta2
4∗theta2 ∗ alpha2+e p s i l o n 2 ˆ2

2∗ e p s i l o n 2 ∗ delta2 ,
2204∗gamma2∗ theta2+4∗beta2 ∗ d e l t a 2 +1102∗ e p s i l o n 2 ∗ d e l t a 2

1000∗ d e l t a 2 ˆ2
102∗ e p s i l o n 2 ˆ2+408∗ theta2 ∗ beta2
2∗gamma2∗ e p s i l o n 2

+4000∗ t h e t a 2 ∗ a l p ha 2
2∗gamma2∗ d e l t a 2 +4∗alpha2 ∗ ep silo n2 , 250000∗ e p s i l o n 2 ˆ2

48278000∗gamma2∗ theta2 +24139000∗ e p s i l o n 2 ∗ d e l t a 2+gamma2ˆ2
2000∗ beta2 ∗ d e l t a 2

48278∗gamma2∗ delta2
1000000∗ theta2 ∗ beta2
2330765284∗ theta2 ∗ alpha2

+1000∗gamma2∗ e p s i l o n 2 +96556∗ a l p h a 2 ∗ e p s i l o n 2
4∗alpha2 ∗ beta2 +582691321∗ d e l t a 2 ˆ2 ,

4∗alpha2 ∗ beta2 +1601∗ e p s i l o n 2 ˆ2
1193112∗ theta2 ∗ alpha2
98278∗ e p s i l o n 2 ∗ d e l t a 2 +298278∗ d e l t a 2 ˆ2
1996∗ alpha2 ∗ e psilon2
200∗ beta2 ∗ d e l t a 2+gamma2ˆ2

+100∗gamma2∗ e p s i l o n 2
6404∗ theta2 ∗ beta2 +196556∗gamma2∗ theta2 +998∗gamma2∗ delta2 ,

204000∗ theta2 ∗ beta2 +1962178∗ e p s i l o n 2 ∗ delta2
2204∗ beta2 ∗ d e l t a 2

47278∗gamma2∗ delta2
24139000∗ d e l t a 2 ˆ2+94556∗ alpha2 ∗ e psilon2
8∗alpha2 ∗ beta2 +2∗gamma2ˆ2+96556000∗ t h e t a 2 ∗ a l p h a 2 +1102∗gamma2∗ e p s i l o n 2 +51000∗ e p s i l o n 2 ˆ2

3924356∗gamma2∗ theta2 } , { alpha2 , beta2 , delta2 , gamma2 , theta2 , e p s i l o n 2 } ) ;