Experimenteel onderzoek naar het verband tussen de snijkracht, de beiteltemperatuur en de gebruiksduur bij de bewerking van St C 45 met hardmetaal

Experimenteel onderzoek naar het verband tussen de

snijkracht, de beiteltemperatuur en de gebruiksduur bij de

bewerking van St C 45 met hardmetaal

Citation for published version (APA):

Grootjans, D. (1962). Experimenteel onderzoek naar het verband tussen de snijkracht, de beiteltemperatuur en de gebruiksduur bij de bewerking van St C 45 met hardmetaal. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0043). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

technische hogeschool eindhoven

laboratorium voor mechanische technologie en werlcplaatstechniek

rapport van de sectie: 2 Verapa.a1l'lg

titel:

Experimente.l oaderSOeK naar het TerbaDd tuaaea d. anlj kracht, de b.it.lteaperatuur en d. gebruikacluur bij de be.erking yaa at C 45 . . t hardaet.al

auteur(s):

1). Grootjana

sectieleider: Chr. Bus

hoogleraar: Prof. dr.

p.e.

VeelUlU.

samenvattinp Poel; Bet .qer1m.ateel Terif1.rea Tan de theore-tisch oatwitkeld. ea •• nhang tu.aea d. 'he~iaehe ea .ache-niache grootheaea. b.pal.ad yoor .e gere.dachapalijt.,. (zi. rapport Dr. 0008).

In rapport nr.OO" zljn de exp4tria •• tele r . . ultatea llUea-gebracht Tall het yerapan •• yan 3t C .,- •• , an.l.t.al b.itel

gereedachap (foolbita-Styria Panth.r Extra S,.zie.l). Als vervolg hierop .erden 4e ezpertae.t.. Yoortgezet m.t toepaa.ing van barela.taal be1t.~g.r •• dachap (S2 kwaiiteit hardmetaal ... rppla.tj . . ). '

De re.ult.tea Yaa daze ~r1a.nt.a worden beaproken. Voort .ordt hi.r

e.1l

uiteeaaettl . .

gegev •• ov.r

d. toes-paate •• etmetho4ea' •• d.' hi."ool"""oa~l4e . . . ,par.t .... 4 •

• ij ••• aerop 4. exp.r1aeatele oOBdit1 •• bepaald .erdea, aij pba.eerd .p de lIlethodi_ vol,elUl het colle.. "Proefop •• tn

van Prof. dr. B.C. Ha.-lE8l". Vft"t'olpu wo1"4' d. nau.uv1 ... held van de waara . . iag ••

ta

diaoaa.ie sebraebt, •• arbij o.a. blijkt det bet . . atal ~ikbare waameminsen te laag 1s uit, gevail.A ~oor 4. DRael"iek. __ •• rking .. an d. resultaten yol-se.a de . . thode yan.4e kleiaat. t.8dratea.

1)001" het •••• in aaDllerid.D, .... a va. 4e reaul. taten van llat

ZgJl. u8 •el.*-1"oader _ _ (rapport Dr.

00,,)

bnaell

ton

r •• d.a eDkel. coaolua1.. getrO~. worden 4ie een . . . . lja-Oare beye.tichg b4tvatte. van het ••• ta14e 40e1 •

.

props. voor v_r4er oDdersoek ..

Bet 1a noodsalr.elijll . . . "a41114ig 811jta,. kriterium va.t t_ leggeD en 4e experiae.tele verapaaiasecoadittee in h.t oAder he .... 1ge 81ijtase . . b1 . . 'e &H ••• , zoclaa1g d.at de . .

arD_U-een

op .equi41-.taat..t..u.4_ l i . . .

1.. .•.

de . . . erl . . b . . erJp,aC "114e Meiapa ••• !'Y01 ... arti •• t het . . . . n __

ling de atabiJ.1teit YaA 4 • • xpen....t.l. -,,1 _ _

* •• -..

--gea. Veeru ia u t aoo4l1&ke1i4k" "'pen,*v-~ ...

ni!l

ijldturY_ ya.

S2wC4"

aaUlllte\1ric_r te •• palea t . . . 100 ...

1.2000e.r.t

alot . . . . , 1ao .... rw.81aC ._gev •••• .axpe-ria.n'ell _ t ._r4aetaa1~ ,WJ.'t . . .,...._14 . . . t

_t ..

.,1M . . arblj ~ . . .

u.

'.iM1,.. .... ,. ..

atve. o.'r •• en ' . . . D 1000 en

5000

(l, ' ... ,~t~ a t •• t tHpaaeug van ... 1 ..

e104a1'' ol&4.r_Ot. wer4.

biz. 00 van 25 biz. rapport nr. 0043 codering: p

7

a p 7 b 4 trefwoord: Terband. tws-•• a .ni3-kr.oht, bei- t..ltupera-t.uv en ge-bru1.ka4uUlt yoor harcl-•• taal.

•

,each ik t yoor puhlicoti. in:

ftOJ'leJtic

. . . oJdltt 1

004) blad 0

1nhoudsopgave.

Inhoud

'"

I .. Operators e.n OutiIIage blad 1

I.' Operators blad 1

1.2 OutiIIage hlad 1

II. Inleiding blad 2

11.1 Doel blad 2

11.2 !hearie blad 3

11.3 Gebruikt Ilateriaal blad 3

11.4 Geoaetrie van hetgereedschap blad 3

11 .. 5

De

proetopzet blad 4

III.

Bepaling temperatuurrelat1e blael

_-

8

111.1 Meetprincipe blad 8

111.2 Constructie . . etbe~t*1 blad 10

111.3 Proerlletlngel'1 blad 10

III.4

Bepal1ng van •• gealddelde

tell-peratuur .an het ~ontactvlak

beitel - •• rkstuk blad 11

111.5 IJking blad 12

111.6 Nau.keurigheid der toegepaate

aethode blad 13

111.6.1 Snijanelheid blad 13

111.6.2 De sned.ediepte blad 14

111.6.3 De .anzet blad 14

111 .. 6.4- De te.,eratuuraeting bla4

14-111.7 Waarnemlngen en resultaten blad 16

111.7.1 De invIoed van de anijanelheid V blad 16 111.7.2 De invIoed van de aanzet d blad 16 111.7.3 De invloed van de anedediepte bIad· 17 111.7.4- Canclual •• blad 17

•

.

..

" " , . :

n.:·

.~~

...

~~

...

:,~.,

Sf.1

~~"_;

. . . ,

. . .

t.

.. f t • .!

~""l.'

...

...

.,..t.

'.

·.*.i~f·""'

••

te

. ' • .a ...

, ' ...

1M1.

.,,~~.

1a13ka-"'. '

'alaa' 1"1.'

W.41f

\t1M'11

blaC<' •

_ua· "'

It''1~

If.l:-.,.M:l ...

r..a_..

_1111

19 .

tf

..

,.1 ...

t . . at~

...

t ...

. . .

, .1a

too\le ftD ... a1.1_1la4*14 - b1a4 '9 1I'.'~i ao.rUJd;~lat e ...

Mta-ad'

..:a.

"'c~l

...

de ... ,

blaa i1

"~).Jc

__

"""~b

••

~

... '

.

... 1....

. . . . . . ' a1e.tue~i ... 'ltltWl

2Z

tva.'"

c=..c1wt1..

ltla4 t) • .

-..

-Aantal :

Blad 1 •

2 person.D.

f draalbe.nk. _DR 200 _Exp. compleet met

gereed-schap.

b. Ger •• a.chap

en

hulpapparatuur 1.

2.

2 (t •• e) beitelhouders voor hardmetaa:l,'-fabr1kaat sandvik, type Coromant no.

174.2 - 2525,

geschlkt voor het .eten van de gemiddelde beitelpuntteapera-turea.

.50 -( vij ttig) stuks

bat Sandvik, type kwaliteitS2.

hardmetaalplaatjea

(~).

taDri-Coromant, no.

194.4 - 1623,

'"

e.n keraatsche beitelhouder met plaatjes,

1

,

('f.)

beitelelede compleet met geIsoleerde ault1t1x beitelhouder,

,5. 2 (twee) .ultifix beitelcassettes,

6. 2 (t.e.) roterende kwikcontact apanningsoverbrel1gers,

7.

2 (t . . e' chemisehe.statieven met beTestig1ngsklemmen, 'en Toor het opoemen van de spanningsoverbrenger en 'en voor het bevestigen.van de kamertemperatuur-themometer,

8.

elektr1sehe aansluitingen voor het meete1rauit, soal.s bij:\!'. bedrac1ing, stekkers, netspanningsyer-deel - contact dozen, netspanningsnoeren en ver-lenganoeren enz.

004)

,.

Bled 2.

c. Heetapparatuur:

1. .2 Ct . . . ) te.peratuurbeitelhouders ( == 'b ten 1e )

2. 2 Jt.ee) recordera, Philips type PR

4069 ';00;

"etbitreilt 10 .Volt vo-lle schaal en hoger;

pap1er-aneJ.heid van beid.: gelijk, - 40

a

50

mmlain,

yoorts compleet met een schakelpaneel 1ngericht Toor het starten en stoppen van het papier en

bovendien voorzien van een centra1etijdaarkeringa-aohakeling,

3.

1·

('tn)

kaDerte.peratuur. theraoaeter,

na . .

ke.rlg~

held - O"oC,

4.

1 (ien) opperTlakte-temperatuur thermo-elektriach.

thermometer,

5.

1.1 ("n) schuitmaat; Ileetbereik 0 - 220 _;

meetfout c 0,1 _ .

6.

Un!Terseel

I.I.R.

aeter (Multa'Yl).

d. Materlaa1:

5

'Yoorbewerkte proetataven ~ 220

x -

800 ma.,

st.C45.

II. Inleilling.

11.1 D.e1.

Op grand .. an theoretisch. oyerwegingen rapport ft

1005

en

praktiacae reaaltaten rapport WT 1035 is te Yerwachten dat

een verband bestaat tua.en de temperatuur -·de Kracht - en de gebru.1keduv.rrelatle. Getracht wordt <f1t Terband· te yer1-tleren yoor de hard&etaaleoort 62 onder de Toor dese hard-•• taa1800rt gebrulkelijke condit!ea.

0041

,

11.2

Blad 3.

In rappOrt

1'1100,

is afgeleid clat de gelli~?elde·temperatuur

I

Voor de.e afleidin~ is aangenomen dat de schuitspanning ~ en

d. ~ij~ingacoifficient langshet spaanvlak. constant zijn.

De 8chui.tapanning " is een funetie van del:emperatuur

eyenals ... erraoedelijk de wrijvingscoettieient " ... ,. Beide nemen n.l. lIet toenemende tellperatuur at. Ten ge'f'olge van deze

,effec-ten en oak .ede ten gevolge van de bij bogere temperatuur

ateeds hoger wordende atralingsenergie, sal de temperatuur bij grote snijanelheden·en yoedingen lager sijn dan uit dese

•

relatie wordt yerwaaht.

11.3 Gebruikt aateriaal.

WerkatulaQ.t!riaal.

Beitelaate£!aal.

St.C45. Alle proerataven zijn afk~mstig

uit ~'n eharge.

Sandyik. Coromant no. 194.4 - 1623 - 82.

11.4 GeOlletrie yan het gereed.chap.

v

=

5°

H =:

0°

"

₁₅

0 X •

~ :: 15°

r • 1,2 am.

004,

,

Dlad 4.

Om het .erband tue •• n anijkracbt en teaperatuur goed te

.-kun.en oa4eraoeken is een proetopzet g •• aakt ... rbij onder

seli.jkeco_it1e. _arn •• ingen worden cedaan voor 4.

bep.-I1ng van de kracb trela tie en de te.peratuurrelatie ala tUM \.;4..

... (V. t,

d).

a.

818te . . tische touteD bij de metingen uit t • • iddelen worden

. . bij elk •• r bebore:nde groepen .aartlemingen yerloot.

Ben eventuele variatie in bet werkstuk aateriaal wordt op deze _ i e r yo11edir uitge.iddelel. Voor·de bepaling van. de

gebruilta-cluurrelatie is een antlere proetopzet gekozen. claar voor d • •

e-paling van deze relatie de gekozen pro.topzet t,e tijdrovend

sou zijn.

Om.bij d. ~itwerking van de .eetresultaten het rekenwerk te

beperken, worden de ... aarn •• ingen op logarithmi8c~_ae4uidistant.

at.tenden relegd.

Desaijanelheid wordt ge.arieerd tU8sen25,1 en 316 aI.in.

De anedediepte tUsHn t .

2.00 . .

ea 8,00 _.

De aanzet, t u s . e n d .. 0,100 en d := 0.690

tIUI/ ..

w.

Bet anijsnelheidsgebied is verdeeld in 12 delen wa~rvan de

onderste

9

of cle bovenate 9 worden gekozen,afhankelijk vaa

de beide andere parameters. Bet snedediepte- ea aanzet-inter.

v.l is verdeald O¥er

8

w . . rnemiagen.

Bet aantal .an

8

waarnemingen is gekozen omdet als wij de

eerste 4 teraen van een reeks willen viadep, er dan nog _. 4

~

-aarne.inren overblijven voor de toeyallige tout.

Bij

9

waarne.iagea resterener 5.

De waarneaingen zijn ongeyeer gelegd op de 12 ribben yan een

Blad

5.

Wann •• r .001' de

II

ribben van di t paralle,lte4_ . ldentielte

re6ultat~n wo~.n verkregen

aag

worden aaDjenoaen. dat ook

-.het tU8 •• np1:8g_n gebied met deze resultaten correspondeert •

• 1.& ribbe. .oor het parall.piped_ is gekozen :

4 lijnell.et varla~ele snijsnelheid met ala parameter :

t,

II: 2,00 _d,

=

0,132 en V

::; 50.2

"

V·

=

316 t1

.. 2.00

d_{2 .. 0,525} en V = 25,'

..

Y .. 158.5 t2 =6 •

.56

₄₁ III 0. '32 en V,

=

39,9

..

V

=

251,-t2 •

~.'6

d₂

=

0.525 en V == 25.1

-

..

V

=

158,5

41ijnen •• t variabele aanzet met ale parameter

.

.

V,

:: ".6

,t, II: 2.00 en d

=

0,100

..

4 :: 0.690

V1

=

",6

t2 :: _6,56 en d :: 0.100

..

_{cl ..} 0,690

V

2 :a

"9.'

t1 lit 2,00 en d ::: 0,100

..

d .. 0.690

'2 • 199.5 t2 II: 6,56 en-. II: 0,100

"

4

11:.0,690

It- lijnea met vartabele snedediepte met als parameter :

"

• 6',1 41 :& 0,132 en t :: 2,00

"

.

800

,

V

2

=

158,5 42 .. 0,525 en t

=

2,00

"

8,00

'3

• 39,9

42 :: 0,525 en t :: 2,00

"

8,00

V,.

:: _{251,- d, .. Ot 132 en t}

=

_2,00

"

8,00

01' de hoekpuntell worden dus steeds 3 waarnemingen gedaan. Dit

ggeft een extra eogelijkheid voor de bepaling van de toevallige tout.

Op deze lIanier OIltataat .en ·.eri ... anlOO

waara ..

iapn. . ',,.

Deze 100 waarne.iagen zijn verloot en getabelleerd 'in de vol-gellde tabel.

ne methode van uitwerken volgens de regress~-analya. wordt in

0041

Blad

6.

[Waan.

t d V Waarn. t d V

Vo.

no. 1 r

2,91'

0,525

39,5

26

2.44

0,525 158.5

'2

_2,<?O

_0,399

_199.5

₂₇

_6.56

_O,1}2

126.-,

6,,6

0,'90 199,5

28

2,00

0,:502 199.5

4

6,56

0 .. 100 199,5

_-

29

2,00

0,525

63,1

.5

2900

0.174

31,6

30

2.44

0.525

39,9

6

6,00

0.525

158,5

31

5,38

0,132

63,1

7

2,00

0.525

39,9

3?

6,56

0,132

100,-8

.. 2,00

0.525 126,-

33

2,00

0,302

31,6

9

6-,56

0,525 158,5

34

&;56

0,525

63,1

10

,2,00

_0,525

_39,9

₃₅

l,OO

0.525 158.5

11

2.97

0,132 . 63,1

36

2,00

. 0,,132

251,-12

2,00

0,525

31,6

37

2,00

0,132 199,5

'3

6.56

0,525 126,-

38

8,00

0.132

251,-1"

6,56

0,174 199,5

39

2,00

0,525

79,4

•

15

2,00

0,399

31,6

40

6,56

0,132 1,8,5

16

2,00

0,525

50,2

41

2,00

0,690

3

1t

6

17

2,00

0,100 199,5

42

2,00

0,132

251,-18

6.56

0.525

79,4

43

2 OO!

,

.

0.525

100.-19

6,56

0,525

39,9

44

6,56

0,}O2

31,6

20

2,00

0,132

31,6

45

6,56

0,132

31,6

21

2,00

0,132

63,1

46

2,44

0.132

251.-22

2,00

0.525 199.5

47 ,

2,00

0,132 199,5

23

3,62

0,132

63.'

48

2,00

0,174 199.5

24

4,42

0,525

39,9

49

6,56

0,.399

199,5

25

6,56

0,132

39,9

50

6,56

0,525

31,6

.-. ,.

-

.-004)

Blad 7.

-,-,

-lWaarn. --, _{d V} Waarn. ' t

..

v

,150.

t

No.

51

6.56

0.132

251,-

76

_",

6.56

0,229

199.'

52 2,00

0,525

31,6

77

2,00 ' 0,52·5

158.5

53

6,56' 0,525

39,9

78

6.56

'0,302

_199.5

~

6,56

0,525

25.1

79

2.97

0.525

158,5

5'

8,00

0.1:52

. 63,1

80

4,42

O,1}2

63.1

'56

6,56

0., 132

6J,,'

81

2,00

0,132

50,2

57

6,56

0.174

}1,'

82

6.56

0,525

31,6

5&

2,44

0,132

63,1

83

6,56,

0,100

31,6

59

5.38

0,1}2

251,-

84

6,5~

0,399

31,6

60 2.00

0,229

199,5

85

3,62

0,132

251.-61

2,00

0,132

158,5

86

6,56

_-

0,525

.

199.5

62

2,00

0,132

316,-

87

6.56

0,690

31,6

63

6.56

0,132

199.5

,88-

6.56

0,525

100,-64

8.00

0,525

39,9

89

2,00

0,690

199.5

65

6,56

0,132

79,4

90

6,56

0,132

'3,1

66

4,42

0,525

158,5

91

5,'S

0.525

39,9

67

2,00

0,1,32

79,lt-

92

6,56

0,139

251,-'8

2,00

0,229

31,6

93

2,00

0.525

25,1

69

2,97

0,132

251, ..

94

4,42

0,1}2

251,-70

2,00

0,132

126,-

95

2,00

0,132

100.-71

6,56

0,132

199,5

,96

6,56

0,525

SO,2

72

6,56

0,132

SO,2

97

6,56

0,229

31,6

73

6,.56

0,525

158,5

98

.2,00 0,100

31,6

74

Z,OO

0,132

6',1

99

5,38

0,525

158,5

75

3.62

0,525

158.5

100

3.62

0.525

39.9

It

Blad

8.

. .,

III.aei!l WUft!Eatu!prelatie.

111.1 "atprt.,ip! <sie ook ra~ort 0035).

Bea bekend yeraf;hijusel is, clat wanneer twee draden van yel"8chilleud. aetaal aan beide'einden lIet elkaar"worden

ver-bOlu.ten; . en eeu yan die verbindinEf4Hl "x.a.senu _{,wordt verhit}

,.8r .en therDIo.panning ontstaat welke arhankelijk is' van de

_.

• ersob1lte.peratuu1" del" beide laesen.(Wanneel" beidelassen . ~

tot deMlfde tem.peratuur worden verhit, ontstaat dUB geen

.panning ••• rschU.)Ten gevo1ge van 4ft spanningsverschil gaateen atroOil vloeien, welke afhankelijk is van de

weer-8tand yan het circuit. Om de invloed van deze weerstand

(welke y.n ~U.erae factoren afba.elijk is) te eliminel"en

. wordt 8\ro0-.100s (compensatiellethoda) gemeten •

. Yoor 'het metem. van de geaiddelde te.pe1"atuu1" aan het contact-, ylakbeitel werketukcontact-, bij gebl"uikllaking van "throw .wa7"

plaatj •• , oatatAat'het volgende circuit •

.-..l

.. l ...

~j& "" ... l~l\

...

,--...,

...

---

...

----

...

--_

...

"""

-

...

--

..,

I

,

I

I

I

J

t

... "_\.I. ••

...

~

••

to

I ", ... -I I I

...

_....

."_,,, I

I

I

I

I

I

•

I

I

,

l=1--_J

~

.Blad

9.

h'Ut •• r we dit eircuit bekijkeu. s1en

.e

4at. y.rach:illende

.etingen moeten .orden gedaant &oa18 :

. a.. letiy "!aferatu:.r achterkant plaat~e.

'lret iadulclelijk datde temperatuur aan de

achter-zijde yan het plaatje Tan punt tot punt .ari.erl. Uet eenToudigstekan de temperatuur op

'en

.,..at punt yan bet plaatje

word.n

g, •• ten. Bet circuit .• oet dan op di.zelide plaats worden

,.810ta ••

De

Ileetatitt waa!"lle. het cil"c111t.or4t g •• lot •• ..,.t daIIIl vaa.4:e schacht ziju gelaoleerd.

D • • • tincvan de t...-peratuur .&an de achterbJnt .,..an het plaatje kan dan g.Bchieden via een tberaokoppel

(chromel - alumel) • • aU"l'&nde spanniq-t •• _. peratuur _.

.

karakteristiek bekud is. Dit thermokoppel is

inp-bou.d in de meetstitt.

b. '.etins tellperatuunerachil !ver beitelplaatje.

0. dit tellperatuurversehil te •• ten is het duidelijk .at de .e"'t"tift bet beste gemaakt kAla worden van •• tzeltel. materiaal ala bet •• rkstuk . . det ande . . een vl"ij oaalachtige 'berekeDing nodig wordt yoor de

bttpa-l i q van de uiteilldelijke .,.erschilapanniq en dua Yoor.

het uite1ndelijke t ... peratuurverechil.

De diverse andere laseen in het circuit zijn all. op kamertemperatuur en introducer.n verder geeD .pannia-gen.

c. isolatie van de afl_,eade

Bpaan.

Daar 40-81101'en4. lipaan ••• lke tegen de, b.itel.cttacht lEapot slaat. bet .erketuk •• t bet beitelplaatje kort ... sluit.Ti • • en punt .,.an h,ere t.mpe~atuur ontst •• t op 4. record,r .en zeer bred. band. De~e band b.ln-Tloedt de nauwkeurigheid ongunetig. Om d.ae bane!

_1-leI" te maken, wordt d. contactpla.t., wear

d.

spa •• kapot breekt. ,eIaoleerd.

.-004f

Blad 10.

n.

teken1ag vaD 4e . . . theit.l welke volgens het yoorgaaa4.

-is geco1l&tr.e.1Nlt. -:-is bijgeyoegd 1n bijla,. ltte-kenn,

• 1099 .. 00.

Bij dese cOIUftl"\lctie isUitgegaan van een bestaande beit.l ....

houder,tyjle Cor~ntno

17"'.2 - 2525.

De .eetstl1t is verend ultgevoerd en drukt aab. de oriderzijde tegenhet beitelplaatje.

Ten geyolse van deze constructie is de.ondersteuni_ van. het onderlegplaatje eohter sodanig verzwakt. dat bij hoge bel.sting de ondereteuning d.rormeerde, waardoor het beitel.

plaatje op bulging wer4 belast, hetgeen tot breuk van het

beitelplaatje leid4 ••

OIl deze breuk te voorkOllen is een lUAuwontwerp g •• aut wa.rbij 4e taster aan de zijkant tegen het beitelpla.tje

drukt. ~ "ring wordt·nu yerkregen via een bladyeertje-.

4iie 1>1j14g.

II,

tek.nr. 'II

1102 -

00.

Yolgens Clit laetste principe is ook een mesbeitel geconstru ...

eerd,. zi*bijlage

III,

tek.no. W

1206 -

00.

Bij deze eoutl"uetie ontstonden lIoeilijkheden ()JIl het ,.kant.

plaatje goed t. ondersteunen. en bovendien de .flopende

apaa te iaole-ren. J)it ia opgelost door·de beitelhouder v.it

2 delen te a&ken. Er moet n. ecbter bij het inspannen goed _{.- .}

worden opgelet &at het yoorate deel van de schacht gee.

contact .aakt .•• t de houcler en zo de isola tie ongedaan out.

I I I . , Proetaetinl!~.

I.araanleiding van het bij anelstaal gtltyon4en yefschij •• el

dat de .bettel. oaderling een sekere spreiding in de

.epanniAg-temperatuur-karakteristiek Yertoon4en, i8 onder

identieke conditte.de rep~oduceerbaarheid zowel voor de

004'

..

B1ad 11 •

..

sa1jkanten per p1aatje gaven goed reproduceerbare uitkoaeten,

doeh tu . . . a de plaatjee werd een aaaz1eitlijke, spre1d1ng

cecon-stat,erd.

o.,41t ve,achijn.e1'te ondenangen

zou

v.ane1kplaatje

eeD

ljkkul"'f'e mo,tap worden 'bepailld. Ditia eehter ntet lIogelljlt

in verba.d met de k1ei~ a'metingen. 0. toch de temperatuur

te kunne. bepalen worden' onder ge1ijke ·conditiee ("releren-,tie.etingen").eti»gen gedaan met .11e plaatjea. Boyeneliea

,wordt aan, een !taraeteal ataat yan dezeltd,e laraliteit •••

beitel~t geelepen met dezeltde geoaetrie. Met de.e bettel werdte.eneena een referentie.eting uitge'V'oerd • .langenomen wordt da' onder gelijke condities een ce1ijke temperatUbr 'word.t geTonden.

Verder wordt &angenomendat de therllo.panniftg-karakteristie~

ken ,Tan d. diverse beitelplaatjee en de hardaetaa1 atut

1ine'air ,elijltYormig zijn. &r kan dan een re~er.ntie ...

coifti-cient

..-rde.

bepaald, •• t behu1p waarnn de geyonden ~olt8

van de plaatjes kunnen worden oagerek.ad naar d. _191t8 van de etaaf. "an de harcla.taaletaa! is in ,en ijitopstel11ag de

thermoepannlng karaitterietiek bepaa1d.

111.4 hpalm van de gelliddelde te.mperatuur ean het contaet'V'lak '

..

beitel - werketuk.

In

rapport

OO}5

is algeleid dat onder ~epaalde yoorwaarden

.ag worden aangenomen da,t de 1angs de .ethode .-an de

thermo-spanninr gaTondan temperatuur gelijk i8 san de geaiddelde

temperatuur.

Ge •• ten wordt

1 • k8.llert . . pera tuu.r

2,. .Volts bij de re!erentieconditie met bahulp Tan

,eDb.itaImethode -temperatuur •

}. a. tuperatuur Ban- de achterkllU bij de re-tereutie-condities

b. verechilspanning over het p1aatje bij de

0014

.- Blad12.

'"* ·.1i.t·~.3a ,en £'ltan de verechUapanning over het plaatje worae.lMpaal4.oals •• 'velgens de kurve zou meet.a sijn.

Door

de.. tbeoretiache yerachilspanJrinc te delen opde

w.r-ke·lljke :(ollder 'a) p"onden yersch11spanning te delen • • orctt de·r~ferenti.-co.ff'icient c t ,.yonden.

re

....

•

-~

a.

.Yolta bij de proetcond1tie.I deze wordt oageretend met de gevonden referentie-coit-tie1ent

b. te.peratuur aan de achterkantl de •• wordt OJI-ger.k.nd in .Volts (hardmetaal - werkatuk) en

bij de ,omgerekende Yerachilspannin, opceteld. Hleruit wordt de ge.1dde1de temperatuur bepaald.

'h)ejattac.U ae

th . . .

nai."

b._rae

_ 1 -

StJle ""Ttif ; ,~. : . . . ~1.·· " . l . . . ba4.. De reault_tea ... de.e ijking .aija

, '

ptakl-lee.,t iJL.hljlap IV. Een y011e41&e be.chrijTing .... Il

de ijkopatell1ng worclt PIHeniA rapport. yan

Blad

13.

De . . WOfdibepa.ld ",ia de elektr.oniach. pulaellteller,

fta.

ia opg •• te14 bij de exp.

draa1'ba.k.-De ..

teller ••• t de tijd benodigt yoor-1000pul.en.

Per

~.en~.l1ag yan de hoofdspil

.orlen

60pulaea

, I j j ' d 1000 '

ge,e",en. n,de gem.ten ti d t zi n er

ue

~~.

1000 1nn1'\

Bet toerental n is dua ~ o.w/eec == ~ oaw/m1n.

tI 4 n

y •

f~o

m/ain due :

v

== tid ge. aI.in t '10 dllll1 n om./min. ' dllJll t sec.

D. tijd in .... wordt gemeten met e8n minimal.

nauwkeurigheid ",an + 0.5% •

, De 4iaaeter in . . . ordt gemeten met ee. 8chulfJ1aat'

op ~ 0,05 . . Bauwkeurig. '

'oor de ge.iddelde diameter wordt dit

I 2 2"

V 0,05 + 0,05 .'0,07 l1li.

Di:t

correspondeert bij de kleinste diameter van

• 100 . . met O,~.

De fout in. kan worden verwaarIoos4l daar de

anij-anelhald ls ui~ger.kend op een rekenaachiae en van

• ae

aerste 5 dect.alen zijn meegenomen

ne

totale tout •• rdt dan dua per meting Kleiner

·tian

.j

Ot5~

+

Ot;;;

4,.

o-A~.

111.6.2

·81ad

14.

D . . .

wor4t

i~ce.t.~4 _, met behulp ",all _. de 8chaalring

yan de d.aNalede. Iventuele atwljkiJlgen worden

,.corrig.erd lIa het instellen van de proeteendit1ea •

. De atwijkingen .1jn gering < 0,1 _ en 'bavendien

iavoor d. teaperatuurIleting de BIUtdediepte .an

'weinig be lang •

III.6.}

De aanaet.

Deze wordt gem. ten via een pulaenteller op de echort.ater. nit puisentellen geschiedt sodanig

dat op de pulsebteller de aanzet in ~.kan worden

atgelezen. De grootst l'Ilogelijke atwijking is dan

0,9 Pi'll. ne atwijking is altijd positiet. Het

instel-len . . n de -aanzet i8 een geduld werkje en .oet onder

belasting geschieden.

•

111.6.4 De temperatuurmeting.

Bij deze methode worden Z temperaturen gemeten. fl.l •

• an de achtereijde van het pIaatje en de .

verschil-temperatuur.

a. Achterzijde. Deze temperatuur wordt ge.eten via een chromel - aluael koppel.

Z.

is nauwkeurig op ~

1°C

(de bandbree~te op

de recorder is te .erwaarlo •• n.

b. Veraehiltemperatuur. Bij de meting van de •• temperatuur ontataat op de recorder een s.ignaal met een bandbreedte .an • 0,20 4'0,30 mV. Dese bandbreedte ontst.at

vermoedelijk ten gevolge van onregelaatigheden -in de. voeding. »e gemiddelde voeting wordt

,

•

Blad 15.

:ar ....

4t

4U8 "11

SO.ae

b,.deri.,

"Oor

ae ...

lddel ...

a.

t •• pertt •• r ,ekregen, W&Rae,r de ..-iddelde

apan-niaS wordt genoaen. Des. spanning kan hep.ald worden

op !. 0 t 10 II V.

J)e recor4er is nauwkeurig op :!:. 0,025 aV.

De a.awkeurigheid van de enkele waarneainc 1s dua

J

2. 2' . •

,,0,10 +0,025 .. 0.11 aV.

Dae.r steede ,erefereerd wordt t.o.v. de

hardaetaal-• hardaetaal-• at en de spanning" 10 aV bedraagt, wordt 4.

r.r.~entietaetor nauwk.urig op :

J

0 11 2 •

2 •

(To) • 10~

.1.55

De Terach11potentiaal wordt .Teneens bepaald met

.en nauwkeur1gbeid Tan" Ot11 aV.

Dit . . ert bij .. 11 mV (ve.l Toorkomea4) •• n lUlu.k ....

ripeid van 1 ••

Verder ls de nauwkeurigheid van ijking Tan het hard. ".et . . 1 :

o

900

"

300

"

900 900 ·0 °0 °0 > + 5°0 _{+ 11°0' "}

-

_{+ 10°C}

-

.

-

_{+ 10°0}

-Proeentu . . l . . . ie. blijft de nauwkeurip.id

oace-1"'1" eonatant en zal .. ~ bedragen.

»e tDtale nauwk.urlgheid per w . . rneaing wordt ian t

J

22 + 1,52 + 12 ' .

~!,=I

or bij .. 6000

lUad 16.

,Deu.:1t . . . . l"kte waara •• iDS •• sijn ver .... ld 1a bijla,e V en.

VI.. V.rdel" .1.jll C., uitpcet ie d. grafieken I ,,' Y'I. De

kroa-.en behor •• ~ hij d. aeetp •• t8.,s:1jn aet behulp . . .

regress1e-,De ",1a de regr •• 8:1e-anal,. •• ",erkregen r •• ultatsa &:1jn in de

grafieken bijgeachrevea. De . . thod. Tan de re''''-ti,reken1ng

wordt lageyeD1a appendix I. Voor dese berek •• lnl 18 door de

,roep Statiettek, afd.W1akunde, een progr . . . . op,..teld '1'001"

4e ,verwerklng van de ge.eTeDe op de dlgitale machine.

Opaerld.,. Bij het ultzetten Tan de meetpunten in cI.

grafle-ken blijkt een grotere apreidlng op t. 'traden. dan

berekend onder 111.6.4.

111.7.1 »e lnv10e4 van d~ .nij~Ulelhe.14 V.

Uit grafiek I, en II blijkt dat bij toeneaende

en1j-,

ane1he1d de temperatuur eeret 8nel at1jl\, 40ch 4at uitelt.ulel1jk de temperatuur ",.rmoedel1jk aayaptot1.ch aaar .en con.taate waarde gaat.

Bij hogere •• ljanelheid gaan alle l1jaen o . . e",e.r

parallel lopen. De uite1ndelijke rlchtlagacoertici.nt

bij een t •• peratuur van ongev.er 1000°0 bedraagt- 0.1.

:=:==.:::.

De ,.voaden waard. ia due aaasien11jk lager dan de

th.oretische waard. van

0,5-

De v.rklarin, hi.ryaa

is tlat sowel

't "

en"C b1j toene.ende teap.ratuur

.1'n ...

111.7.2 De 1n"'l •• d van 4. sanset d.

Uit 4. grafieken III en IV bl1jkt !:lat ala funct1e van

d. aaar.e' d. t •• peratuur evene.na aS7llptotiach naar

een coutant. w . . rd. gut. Deze Waarde •• 1 .... niO.d.lijk

Blad

17.

de.eltde .ijft. len aanduidlnghier.oor wordt gevonden 400rdat de richtiftgeeoettici8nt van de raaklijn de

kroaae .et variabele V en d b;ij .en temperatulIr van

• 1000·0 ])raktlsch relijk is. Dit 1s eell beve.tiring

:""11 het op bis. 18 en 19 1.ft rapport 00-'.5 . . at81de,

· 1:I.t"t"80de 8en algemene te.peratuurreIati ••

Vit

d.

graiieken

V

en

VI

blijkt dat de tecperatuur

· door •• n varletie van de enedediepte niet worelt b.i .... • loed.

. 'IXI.

'1.- .

Conol.atea •

· lit deze proeven blljkt dat bij een .olganele .erie proeven de anedediepte niet aeer ala variabele be-hoett te worden meegenoaen.

Bij gelijkaoortige pro~venreeksen kan due het aantal

w&arn.aingen .et ongeveer

1/3

wordan veraiaderd.

Bovendien i8 g.blek~n dat relatier gezien bij hoge

teap.ratuurbelaeting het weinig ultmaakt

ot

de

anij-anelheid or de aanzet wordt gewljzigd.

IV. " e l l " enljltrachtrelatie •.

De anijkrachtmetlng i8 uitgevoerd met de tweecomponentea

anijkrachtaeter vo~gens ten Born en Sehuraann.

Bij dez. 8nljkracataeter wordt met behulp van rell:8trooll:3e.

de 400rbulging g.meten van een cilindriach a.8tlich.... D •

•

Blad18J

DRar t •• ,erat.QrYariati,. de aeting kunnen belnvloeden,

wordt . . . . e.tcil1B4er gekoeld aet water. Xen volledige

be-8carijviag v.!:D de •• ijkrachtllleter,en van de ijking van dese

anijkrachtaeter 1s

s ...

n in rapport WI' 0022.

'001'. de.epro;ve. bleek uitbreiding van de ijk1ng tot 1000 kg

aoodzakelijk .. h uit.ijkillg in .• ' bleek lineair te zija tot

.... bela.'inc vaa 1009

q.

1'.2 · . .

nkeur.iI!!e1d del" toeepa.te .ethode •

lij "I"oegere proe .. en, rapport f t 0035, is

pc'outa-teerd"t desnijkracht praktisch recht.eveDredig i. aet de enedediepte. Voor afwijkiDgen Tan de ingestelde anededtepte meetelue steeds worden gecorrig.erd.

De aetiq yan de snijkracht geBchiedt yia .en a.ent.

Bij de ijldng van d. beitelkrachtaeter-1s d. kracht

aangebracht op een plaats welke corre.pond.ert .et de beitelp1l.t. Bet ia duidelijk dat bij het yerspan •• de kracht niet aangrijpt op debeite1punt. We ne.en aan dat de resultante yan de belasting op de snijuat un-grijpt in bet aid4en van de snede.

Bij de ijking i. yoor de momentaralengte i.yoDden

59,4 _.

De krachten aoeten due als Yolgt worden

·pcorrigeerd. : F •

52.

4

r

. e r k · t • ·ge ••

59,4 -

'2

...

11.2.2 Aan.et en •• ijaneISeid.

Hieryoor ,e1dt hetseltde als bij de temperatuunel.tie

0041

,

•

Blad 19.

. EYenals bij de tempera tuum.tiD« oat8ta.t -ten ,e.olga "11 ear.plaatilth.d.n ill het p.roc •• _-.bepeal" balld';'

Kracht. J)e ... dbre.d.te Iht • • tzodaai, t •••• , ••.

8uij-kraeht _t4e prot.ntuele .twijktDg Otig •••• r ce1ijk

~ijtt •. ~. BY . . . l . b1j de t •• peratuu!"·]dHe!l ••

het ,.81d4.1de

.an

ci. band.

» ...

uwlt.urigheidftn de

•• t1

ac

bedr.,t onge.e.r .t. ,,, •

. . :.:ttl'tge ... rkte .n peorrigeerde ... rn •• ingen zljn . . r ... ld opbljlag. IX ..

XIII.

Yerder zijn ze uitgezet in de.-grafiek ••

VII ..

Op d • • • etpuntea i. verdeI' een regre •• le.aaalyp 1I1t,...68ri.·

De re8ulta~ell hiervan zijn op de diverse grafi.ken .. era.ld.

IV.,.1

Bootdenijkracht en aanzetkracht ala tunetie .an eli

.nijan.1heid.

Uit 4a grati.k b1ijkt dat bij toenemende 8n1janelheid de hoofd81113kracht so.e1 ala de aanzetltracht at.e.e ••

De aanzetaracht aa . . t vooral in net gebi •• wear _oge

te.peratuJ"ftl1 te "erwachtel1sijD. y •• l ·.,.t8rker at daa d. hoofda.ijkracht.

~

(:)

V·O.,o ..

-0,15

,Y(:)

y-O.30 ..

-O,~

a

».

afn . . a "an de.e beida krachta. 1s •• raoeda1ijk te

.ijt •• un afname Tan de .rijvill,.~o.tficient II· •• .,

Fa

F, •.

COB

C.

+ ~ _ .) ~7-_{. y}

•

ra • coa<. - .)

coa

<..

Ii - .). F . 1

=

<l

co.

<,- .)

y aln • coa.. • II - a , Bllld 20. d

, -4f.

₈ 1 . • • " . 111 _{• ,}

OJ' _ ..

loge wljze kiln .orden afgeleid

F

='"

4 t aU ( M"'.) . a .In • COlI ( • • J& -a)

Vlt daze roraulea blijkt du1de11jk ~t Tar1atL~aa

de acbultspann1:n.g 'r p:Lljke iu.,loed he.rt op

Ioot4-snljkraoht en aanzetkracht.

De 1n.loed van de .rijvingshoek " b11jkt nit het

volg.llde dua :

4' •

_{y '} "C' • ₂ d COB ( ... ) dua I

4,

=

11 C08(I-B)Co8('+JL-a).8ia(,!!-a)au~.-.) 2 cos (, • • a) Neerieke •• arden.

,-

55°

_{- cotan. -} 1,4

. f I ·

26

0 - ' coa < • • -a) - coa 75 - 0,26

0041

Blad 21.

•

dUB :

.. .. . "J • d .,; 1.4... ~1 .a A ...

c.a I: a .

'0,0676

.,. ...

c:. '1'.,;. u ....

Hieruit blijJtt dat bij afna •• Tan de Wl'ijYingahoek ·de aa.seUraebt $11.11ef" .tJlu ••• t dan de hoof4an1j-ltracht.

».

plot •• U,np toe Ita . . van de aan ... tkracht bij seer hog. belaatingen 18 ala voIgt te yerklar •••

Bij·de.e zeer hoge belutingen he.f't d. kitel .... gebrui.kaduur

van

onge ... e.r 1 i 2 Idllttte.. h beitel be •• 1jkt ten g .... ol,; .... an d ••• ar 8nelle kol.lullijt .... let acht.~eind ... an de kolk g.ef't een extra " •• dt&.4

;.

" 1

....

bet, apaanvlak.. De .. e .xt"' .eerstan4 b.e.ft

h.'-•• lf4. eftect ala een toen... ...an de wrijYtapcoif'tl-cient.

Dit tanoaeen 1e •• n onderateuning ... en het veraoedell dat de beitel hootdzakelijk bezwtjkt ten g . . . l.ge YO teaperatuurbelaeting.

IV.3.2

lloofdenljlc:racht en aansetltrachtals funct' . . . . nd.

aanzeti-Vit de beide grafieken blijkt dat bij toeneaende; aanzet de hootdsnijkracht ainder dan e ... enr.dt.c.'l~.'

' •• t d. aanzet.

DeaaDzetkracht neeat ev.neena toe doch alnder sterk dan de hoofd8nijkr.cht.

J' (:)

do,8

r: (:)

d

o

,5

~

0,6

81eruit ... olgt dU8 dat bij toen •• ende t •• peratuurbelaa-ting de . . . lkr~cht ... erdraaid en eteiler . . . t lopen~

,

81ad 22. F .•

'C.."

cn (p- a)· -...

...

ain, C08 ( . . <JI ....

J

• "C •. d aia

·fa -

··l

Fa sib,. c o . , • p. .... ,

De .nigat ... Yariab.le 1a h.t ,..,a1 .an . . . l •

•• rapani.. is due d. wrijyingaboek ••

Ia cle •• pro.v.nreekaia echter g .... rkt .et .~Jl anij ... qnt.lao.k X. Bo.,..ndie-. ie 4e apaanatlooprlchtiDg, •• lk.·

••• n •• u .,.an groat b.lane 1s. alet ge.-t.B.

0. ••• indJ"llk te krij.e. o.,.erhet •• '1'100.'..-' . . . .

I,J.

nAg_hoek .~. tunc tie .,.an de bel_ti.1' lSijll~"'.11 •• n •• ..tiacan met grot. anededie-pte e1'1 .,ar1a1M1. aaJ.J-an.lhetd geachikt. oadat d. apaanatloapr1chtlas daar-btj nauwelijka .arteert.

E.n factor waardoor de aanzetkracht wordt .,ercroot, tr . . dt 01' wanneer de apaan zodanig atloopt dat hij .,oort.gen de beitel stukalaat.

DuB

geh.el z~.,..r

ia ook de.a aeting niet.

Dew.arden'ya." .1jn op bijlage X uitserekead. Bet . ia duid.lijk dat tnderdaad een dal.nde tendene yan

" aaDWelSig ia.

Oa een .,olledig. indruk van • te krijg.n sou de r.ac-tt.ltracht en de .paanlooprichting 1I0ete-a word.en .e.g.-•• t.n.

Bo ••

ndi.a ZoU .oeten .orden .oorko.en dat de atlopende apaan d. beit.l of 4. beltelkrachtaeter trett.

IY.,.,

Botfclanijkracht en aanzetkracht ala lunctie Tan

de-aned.die-pte.

Utt d. grafi.ken blijkt dat z()wel de hootdanijltracht

_.

ala de aanzetkracht ongeveer recht evenredil .•• t de anedediepte toen •• e ••

004,

.

.

11

81a4 23.

It.,...

Ooncluaiea.

lit d •• ~ waarneaingen blijkt dat yooral de aaftZet~

Jtracht .. an groot bel.ng i8.·

Appendix I

blad 1.

In het yolg8nde wordt in het kort aan de hand Tan e_n yoorb.eid

de •• thodeyan 4.

recr •••

ierekening behandeId.-l>it yoo1'M_le1ia

ontleenci .an het collac.dietaat "Proefopzet" yan Prof. Sau.ker.

Spli~_n in orthocqaale eomponentaa. •

1.

2

1:x₁ =

• anDeer we een rij willekeurige getallen xi i :: 1, ••• ,n

kunnen schrij ... en als soamen

Xi :: a_i ,+ hi + c_i zodanig dat

;

2 _g 2 1: b2 2 x₁ :: _a i + + E ci 1-1 i

dan seggen we dat dese getallen xi zijn gesplitst in .5

orthogo-nale compone.ten ai' b_{i , ci "}

Deze getallen moeten dus zodanig zijn vastgesteld dat :

1: a_i b i :: 1: ai ci = t bici ::

o.

Yoorbeeld. xi :It a i + bi + ci :: ai + (bi + ci ) :It (ai + ci >,+ h1 .5 :: _.5

-4

₊₂ :: _.5 ' -2 ::

7

-4

11

=

_.5 +4 +2

_•

.5 +6 II

7-

+4

,

:= _{.5 0 -2} :: _{5 -2} ::

,

_0, 6 :: _{.5 2 -1} :: _{.5 +1}

•

4 2 2

=

₅ -2 -1 = .5

-3

::

4

_-2

179 •

125 +40 +14 :: _{125 +54} ::

_1'9

+40

Een gegeyen reeks getallen kan op vele manieren ill orthogonal. componenten worden gesplitst. Ret aantal componsnten yarieert

Tan 2 tot maximaal n, ale n het aantal getallen is waaruit ~e

reeks bestaat. Wanneer we twe. of Ilaer compon.nten . . . . nyoegen.

dan blijtt de ortbogonallteit van t.et s1st.e. bestaan •

0(4)

Appendix It hlad 2.

II" be.taan verder vaste rekenregels, waaTdoor als de Xl'.

will.keurig worden gage.a. een hepaalde splitsing in orthogonale componenten kan worden uitgevoerd. Wanneer deze rekenregela worden gege'\l'en, dan sijn da cOilponant.n hepaald ale de n _arden Xi

bekend zijn. Omgekeerd kunnen ook de componenten worden

Yoor-geschreven en daaruit de Xi hepaald.

Vande orthogonale componente., kunnen we in totaal n elementen willekeurig voorschrijven de andere elementen zijn dan va.t ge-le,d. Deze n _arden kunnen worden ge.plitat in:

::

zodanig dat de reeks a

i door n. nWierieke parameter. wOl"dt

be-paald, de reeks b_i door ~ en de reeke c_i door nc.

n., nb en nc noemen we de vrijheidagraden behorend bij de compOJienten ai' bi' ci

-Het apliteen in orthogonal. componenten is de basis van d.

·~1aa't.·aD&11·e.

In de praktijk voeren we deze splitsing als volgtuit.

Gegeven een rij getallen Xi

1.1 •...

,n.

We kunnen altijd een component Yinden

a_i • A« i (ca i is willekeurig)

•

zodanig dat a

i en (Xi - ai ) :: ri orthogonale componenten vormen.

We bepa1en nu A' zodanig aat :

2 2

1:r_{i :: t(xi - A «i)} is minimaal

d 2

dus

dI

t (Xi - A G i) :: 0 -

t\

(Xi - A Cl 1) =

o

dUB A

We moeten nu nog bewijzen dat A Cl i, en r i orthogonaal zijft,

hiertoe moet

...

004}

A.ppendix I .1&d

3.

1':a_ir_i ::

o •

S-i (xi - AC1 )

=

A{ Sa1xi - AEc2 i

}

.0

A

it

CI £.1[1 - tc1x1 2 :: _{2 t Cl 1} S&1

I

:: ₀ due: 2 2

_{_ 1.}

_{2• 2} 2 ( 1':«1x1' 2-EX_i

..

1': r 1 :I .2

..

tri • - 1 tCl i 2. rector vooratell1y.

Stel we hebben :; waarnea1ngen x₁' x₂' x:; welke we willen

split-s.n 1. :; orthogonale coaponenten ai' b_i en c₁•

In

a.

drie dimensioDale ruiate worden dit nu due drie vectoren

Z

x

x

In wezen doen we nu het volgende: we kiezen een willekeurige

richting. Hierop wordt de vector

i

geprojecteerd, dit geeft A.

E'n richting ligt nu vast, de andere vectoren mo4ten nu zo~nig

worden gekozen dat ze liggen in een vlak

1

~ector ui.

In de n dimensionale ruiat. kunnen we nu een der gelijke red.-natie toepassen.

Voorbeeld.

004.) due A l:c 1xi tXi ::

r.«t

:II

-

:II

-

n

-

(Xi -

i)

xi

=

x + 2 Ei2 + Z (Xi i)2 EX1 :'II:

-z

_{+ E (xi} i)Z

..

J1X 2 l:x i _{+ 1': (xi - i)2} ==

-

_n

w.

vinden nu dUB d. toraule

-x.

A.ppendix It

blad

4.

.eer terug.

Zijn twee series getallen gegeven «i ~n ~i die onderling

orthogonaal zijn, due zodanig dat

1: Cl_{i ' 1} ;: 0

dan kan 8en willekeurige .erie getallen xi op dezelfde wijze

in 3 orthogonale componente. worden gesplitst, in de Tora

=

2

We bepalen weer A en B

zo

dat tri minimaal wordt.

1>it

gee!t

A

=

O!merking. Bij herhaling van de proe! zullen bij de nieuw. waarnemingsreeks over het algemeen andere coapo-nenten worden gevonden.

-

~

-

-

-

-

-

-

-

-

-

~ ~ ~

- -

-

-

-

-

-

~

00'"

1. gin Jtwantitatieye raetor.

.. Appendix I,

blad

5.

We hebben te doen lIet i niveaus -i en i

w.arnel1ingen7t-Bij de anal,.e .arken we lIet add1tieve lIodellen, daartoe worden

kleine variaties in de factoren verondersteld. Bet 1I0del wordt dan

Om het rekenen te vereenyoudigen wordt gewerkt lIet equidistante

niveaus, dU8

d

=

:I> =

Verder wordt gebruilt gemaakt van orthogonale pol,nollen

to

=

Coo

~1

..

c₁₀ + _c 11x 2

t

_z

= c 20 +

CZ,X·. cZZx

Door invoering van depolynoaen wordt ons model ••• +

_-

e

De analyse wordt gedellonstreerd aan de hand van een

geconstru-eerd yoorbeeld :

Xi

'1 =

5-0,5 Xi

+ 0,1 X_i 2

-

e I1 ( 0'0 =

Z)

f-°

5,0

+o,Z

_5,Z

4

4,6

+2,1

6,7

8

7,4

_-3,4

4,0

12

13,4

.0,3

13,1

16

_Z2,6

_+4,7

_27,3

20

_35,0

_+1"

_36,3

\ Tabel

,.1.

_•

X

0

4

8

12

16

20

~ Appendix I blad 6.

De eerste stap is nu de punten XiIi uitzett,n in een

,ratielt 40

35

x

30

Ii

₂₅

x ,I

₂₀

15

_x

10

x x

0

12

16

20

Fig.

1.1

-annear we deee grafiek bekijken zien we' dat eventueal e8a

- , " -. .

11n.ai~ of kwadrat1sch verband tUBsen

X

en

Y

beataat;

Yoor het bepalen Tan de vgl. uit

we de eerste

4

polynomen mee. Om

de gevonden waarnesingen nemen symmetrie in de berekening te Xi -

!

=

d •

2

_20x3-101x

x Y

_to

_{=1 t,=2x}

_~=

12x

_B

-~

_~3

=

₁₂

-2,,'

5,2

1

-5

5

-

-5

.1,5

6,1

1

_-3

-1

7

-0,5

4,0

1

-1

-4

4

0,5 13,1

1 1

.4

.4

1,5 27.3

1

₃

-1

_-7

2,5 36,3

1

₅

₅

₅

1!t

Y

_{92,6 226,4}

105,1

-25,1

1!'~

_.It 6 70

84

180

•

·k

=

&C_k!

=

15,43 3,23

',15

0,14

tt

2

_k Tabel

1.2.

004,

-Appendix It blad 7.

ne funetie • • elke in tabel 1.2 zijn il'lgevoerd zijn

orthogo-naal. In hceverre het zin heert een bepaald aantal polynomen in te voeren blijkt uit een variantie-anal, •••

1.8.

=

(BI)l

....

_15,43

₌

_1429,13

_ l

Po

=

- K.S.

'1

III

3,23

- X.s. ::

732,24

-;2

=:

1,25

-"K.S.

=

131.50

t

3

I:

0,14- - K.S. ::

3.50

•

G.X.

2

£,

=

2322,52

6

to

-

142J ,1

S~

.,

i

₅

1 (horizontale lijn)

'1

-

7

g

2

1

24

1

1 1,15

4

40,03

(reehte)

'2

-

~

29. 3

3

1

9,09

(tweede graads kro . . e)

'}

-

2t:~

2

1

13,08

Cderde graad6 kromae)

Uit daze analyse zien we dat de derde graads term in het niet valt ten opziehte van de eerste en tweede graads term ... Het is in principe mogelijk dat ook hogere orde termen e8n rol spelen docb vaak is er reden aan te nemen dat deze geen rol aeer spe-len.

Het is nu aogelijk de geschatte I-waarde, y. te berekenen.

~

:: 15,43

+

3.23.2 • (X

₄

10)

+

1,25

2

•

~ (~)

- 35J .

• . X2

1 •

5,53 - 0,72 X

+

0,117

•

In hoeverre deze eoefficienten betrouwbaar zijn wordt in een Yol,end college nagegaan.

0041

..

Appendix I

blad

8.

TeD 81ot~ wordt ook het ... ersch11 Y - y·bepaald

Y 7-,,2

,,"

. 6.7

4,49

4.0 7,20 13.1 13,66

27.3

23,87

36.,

37,83 1': (y-,.-) =: 1: (y.,.-) • y ...

,.--0,,'

+2,11 -3,20 -0.56 +3.43 -1.53 -0.08 29,22 }

De afwijkingen van 0 en resp.

29,63 ontstaan ten gevolge van afrondingefouten.

Rat gevonden residu (Y-y·) lIloet orthogonaal zijn .et de

koloa-.e.

van tabel 2. h

3. Recapitulatie.

Dan

n

=

E a₁

l.:t

1 n

=

1': b_i

.!t

1

,

t E(z-- ) -1

=

1': a1tl, 2 2 .. ar .!.1 = 1': a i tli cov

,

•

(!.1 t !.2) Vi .="i+~.i E(!.)2 = var :'2 = '", jlona.rling onafhan-_kelijk 1: bi~1

•

Eb2 tl2 i i 2 = E a_{i biG i}

V~~r het geval dat geldt Yi

=

~i +

Et

0i (Yi dUB .orlllaal ..

er-deeld) dan zijn ook :'1 en z~ normaal verdeeld.

Wanneer Yi 11: Jl i +

llt-dan is

0043

Appendix It

blad 9 •.

Yoor het geval ciat Eatb_i

=

0, zijn de coabinaties orthogonaal

en ia :

COY (~1t A2) =

o •

.lls daa bOye.1'l4Uen

.t.,

en

~2 normaal verdeeld zijn houdt dit in

dat

a,

en ~2 .aaerliag oaathankelijk zijn.

Op!erkinl: Wanneer!t. -1 + ~.i dan zullen 11 en ~2 yo1gene

de centrale lisietate11ing toch ten naaste bij een

normale verdeling bezitten, mits alle c~ponenten

!t

ongeyeer in gelijke ma~e tot de yariabiliteit

yan !.1' ot ~ b1jdragen. Dit houdt in dat de

produk-ten a_i -_i , resp_ bi~i alle ongeyeer de.elfde waarde

lIoeten bezitten.

;. Een betrouwbaarheidsinterval voor de regre8Bieco.~ticient.n.

"

Bet in hootdstuk 3. behs.ndelde kan worden toegep.st bij het

·bepalen van de nauwkeurigheid van de regresaieeoefficienten. We zullendit tegelijk aan de hand van het in 2. behandelde yoorb.eldlaten zien. Bet daar toegepaste model is :

z ...

0 + '1 t 1 + '2' 2 + e

dU8:

lot

=

I'i +

!!:to

Bij heillhalen van de proet treden er variaties op in d.

1'.

en dUB ook in de geschatte regress!e coetticienten ~; daar

lineaire co.bi~aties van norm.al verdeelde grootheden eyeneens

noraaal.·yeraee1d zijn, sullen delle regressie coetticienten een noraale yerdeling bezitten.

l:~1 tti (~o'Oi

'!t1

=~

!

==

+ ""1i +

P2

t2i +

!.t'

Et~

004'

~ dua ; _-

_..

:: tl"

toes-past in one yoorbeeld geeft dit

'0 ·

"w

..

"2

• b •

1,.43

3,23

1,25

Z,2 :: _{6 70}

₈₄

. 2.

1,65

0,141

0,...1.18

a 'b

=

sb

=

1,28

0,38

0,34

95"

betrouwbaarheidsinterval t •

3,1g

.t

4.87

.:t.

1,21

.:t.

1,08

c .

0,95

_-

_..

Tabel

4.f.

Appendix

I.

bled

10.

met e

2

:: 9,09 •

.

-• =

3

o,.erkins; de b's z1jn onafhankelijk, oadat zij worden bepaald

,

door orthogonale coabinaties van de waarnesingen

1i-w.

kunnen one nu een andere interessante vraag stellen wanneer

we nu .et behulp Tan d.e gavonden resul ta ten 1 i bepalen t hoe

groat is dan d. nauwkeurigheid van deze berekende wBArden •

t X 'S.

<-4)

(10,32) 0

_5,53

4

4,49

8

7,20

12

13.66

-16 ,

'23,87

20

37,83

2

.'S.

.-3

<31,69)

8,12

3,04

3.68

3,68

,,04-8,12 Appendix I blad 11 •.

Op deze basis zijn in neyenataande -tabel

leachatte .aarden yoor de Yariaties van 1..* becijferd. We zien dat 152. • in het ce-,

,.

hele waarnemingainteryal kleine1' i8 dan de

a~

•

9,9

van een .akel • •

aarn~lIing.

&an de

rand (X ::: 0 en X :: 2.4) n ••• t

15,._

eehter I5terk toe.

(24)

_(55.54>

_(31,69)

Verder is in het midden (X :: 8,12)

.~_

, ieta groter dan daar ~t(X ::: 4,16).

Tabel

4.a.

Dit laatate effect

~n aen eyantueel

corrigeren door de middelste waarnemingen

(X :: 8,12) een ot eukele malen te herhalen.

Men yerkrijgt dan een

,*

die altMu'in het middengebiec1 een

.1'ij-welconstante aauwkellr1gheid bezit. AllMn aijft in dat geyal de orthogonale po11ll0llen niet lIeer van toepas8ing en wordt de aB-ly.e iets gecompliceerder.

We onnen oOk extra-poleren en waarden van y. berekenen buiten het waarnemingainterval. We vinden bijv.

voor X :& -4,

to

=

1, '1

• -7,

~2 ::

14,

7· :II:

10'~J

₂

a ...

31,69

en voor X :: _24,

to

_{:: 1,}

t,

::: +7,

'2. :: 14,

,,*

::

55,54

T '

Dea. waarden zijn tussen haakjes in tabel 4.2. opgenomen. We zien

dat bij

~xtrapolatie

de variantie s2. zeer anel toeneeat;·

extra-"

polatie is dU8 altijd aeer riskant.

Opllerkinl: Bet lijkt of door extrapolatie de or\hogonaliteit verloren gaat. Orthogonaliteit heeft echter all.,. betrekk1ag op de daadwerkelijk uitgeToerde

waarne-aingen en niet .op de geextrapoleerde waarden van

,,*.

Zou~en w. bij X

=

-4 en X

=

24 daadwerkelijke

.aar-, nemingen hebben verricht.aar-, dan zouden we een ander

stel orthogonale pol"nomen geldig TOOI' 8

004J

Appendix I, blad 12.

Voor dep~ktijk i8 het veak aIleen van belang of .en l~air,

kwadratisch of' hogere graadeeffact optreedt; men

un

'dan met

een analye8 door aiddel van orthogonale polynomen ",oistaaa •

. Wanat aen,· u1t te drukken in de oorspronk.lijke ",ariabele

I

dan .oetw.a .e cebruik . . ken van de orthogonal.

polfDO •••

in de vora a

COO'

a C'O + :I c 20 + met x ::

x-I

d

De .,.ergel1jJd.", , . :I

ioto

+

.2"1

+ .22 ~ wordt dan 1n :x tdt,edrukt,

2

,. • 50

+ !.,X'" + ~2x .et Bieru1t

!o

: I

Rocoo

+

.21

C10 +

.22

C20 ' !.1 :I .21C11 + .22C21 , !.2 ,:: c2~2. .,.olgt : .2 2 2 2 2 2

2

aO • COc!ltO + c10

rll2.

1 + _c2O·!1..2

2'

2.

-

2 +

c~1~2

" a1 • c,.,e.21

,

2"

-

' 2 2 .~ :: c2

i'12.

2 ' t cov

_(!o'

_{!,1) :: C} 2

c20c21~2

10C_1-(1,21 + enz.

,

•

,

Op deze wijze kunnen we uit de variantie van ~, .2₁, .22"41e van

~, !.1' !.2 vinden. Een aoeilijkheid bij de interpretatie i8

echter dat de

.2's

onderling onafhankelijk zijn, de

!.'s

niet.

Ben .,.oorb •• ld vande orthogonale polynoaen voor 2 tot 110

waar-neaingen v1ndt u op page 1,. lJ1t ... oeriger tabellen vindt .en ill

Bio •• trika 'abIes for Statisticians, Vol I, Table

41.

E.S. Pearson and B.O. Bartley Caa'bri4g. University Press 1954.

n 3 4 .5

6

7

8:

9 10 ~pendix It blad

13.

Orthogonal_ ~!l.OII.n Yoor. gelijke w.arn.,il1p1nt_nallen,

,

x

==

ex ..

1)/d,

d

=

interval

Polynooa Buaerieke •• arden

_'k

2

'1 .. x .1 0 1 2.

~

.. 3xl. .. 2 1 -2 1 6 <, .. =2x ' _{-3 -1} 1 3 20 1 2

'2 ..

(4x ... .5)/lt- 1 -1 -1 1 4

'3 ..

(20x' -

41x)/6

.,'

3

-3

1 20

'1

::I

x

-2 -1 0 1 2 10 2 , . 2. 2 14 '2 ..

x ...

2 ... 1 _-2

_-1

'3

== (.5x3 ...

17x)/6

":1 2 0 -2 1 10 ., :: 2x

_{-.5 -3}

-1 1 ₃

₅

70 , 2 -4 -4 84 f.2 == (12x ...

35)18

5 ... 1 .1 5 '3

=

(2Ox'; -1<>1x)/12

_-5

7

4 -4

-7

5

180

'1 :: x

-3

-2 -1 0 1 2 3 28 2 -4

84

'2 :III x - 4

5

0 -3

-,;

0

5

" :;: (x'; - 7x)/6

-1

-

1

1 0 -1 -1 1 6 - ... , '1 :r. 2x

-7

-5

-3

-1 1

,

5 7 168 . 2 1

.

168 '2 .. (4x - 21)/4

7

1 _-3

_-5

_-5

_-3

1

'3 •

(4x

3

... 37x)/6

_.

"'!'7

5

7

3

-3 -7

-5

7

264 '1 • x _{2 \} .4 -3 -2

-1

0 1 2 3

4

60

28

-8 -17

-20

-17 -8

? 28 2172 '2

=

3x - 20 ? '3 .. (5x3 -

59x)/6

.. 14 _? 13

9

0 -9 -13

-7

14

990 '1 :: 2x ·;~9

-7

-5

-3

-~ 1 ₃

₅

? _\ 9 330 2 _{6 .4}

_-4

_{-1 2 6}

₁₃₂

'2 =: (4x - 33)/8 2 -1

-3

-3

" .. (2Ox3 ._

293x)/12

_{-4.2 14 35}

31

12

-12 -31 -3.5 -14

42 8.5~ •

0043

~fJ

""."

,J.,.

, '., 11a4

14.

.

'. . i . . ' .

. .

EIkItlaII· ••• I\1IIf. ; . ' A!tS!¥'lftaa$1

I!9!te.

,eD'

4.

Haa'

~UW'"

. . .

",·uMt- ., ...

!H

de

51-lMe

~

- 111-,

. . . 1,.' . . . 11 , • • • • thaDkel1jll ... 1'1 • • 1 •• ,;,-.1.

X'(1),

%U), ••••

'(El •••••

xOr) ....

noor geld\

1(,.,,.

.'XC.) • •

e. C. I . . . . wa ... aa 4 • • , . . . . Ujlut

.arSidtel. •

T( 1) .1'(2), . . . t nl). .... • 'lUI) •

.

... . .

ret, •••

pol~ a:iUl ,_ pu.e. :

, , • • • • .1% •

,.,,%2 • •••

..,x'

(.)

. . . eYer.p de . . ataadaarcli ••• rie ... r i a . l •

•

I ..

1~

l;

~(I:)

x. •

*. .

4 ".)

. . . ~ • __ . . . . 1.

,.1,..._11 , ..

t; J[

al.

"ria"1.:

' ... t .

(narltijr(Jl) • '.(X)

'e. Ye ••

,,.oh.ff po17J1OOa ie .... «e . . . ,11) •

. . '-rell . . . . cle t.otlll,k_drat •• aOli (tt.I.'.) . . .

aoht ... l . . . . 8(0) •• U(O) tet •••• t B(6) eD OUt).. • teD

.10tte

bet

IBIIDV.

"'ole".

d.

toraulea ,.D .... 1. 4e

.,.1tel . . 'taba1 0, pa,. It. h It.altbe. W. Ullp.,..t

'f • 8(0)1'(0) • ••• + 1(6)'(6)'

du .ea . . . "...

,.lJllO-

1a x (4e .... rialMla 1a F) . . . . r

•• 1. 'lke 7(H) K & '0,1, ••

6 ...

oor x h.t "''''.1'114 YaI1 (b)te

... t1'u ... hetc.en.. .,&,.,.wlj* .,.caiedl;, (blj de v.itfter

recel . . r'pl) bijg • • • • d. g . . . t. uupaa.lac-<a> 1a de

•

, • • •

...t

au •• If

w

bepal . . . . ne coi~ficiia' •• oadAr . . . . EN) M .O.1,.~ ... , a1p1t1eq, 81j.

<.i, ....

*"4er). I. 41t 'ljY.

8(0) • • <1) •• 8(2) .... Te*"uljgt •• a 4. eoifriel'ate. 'laD

.,t