Mathematisch Instituut, Faculteit Wiskunde en Informatica, UU.
In electronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A−Eskwadraat.
Het college WISB101 werd in 2001/2002 gegeven door Jaap van Oosten.
Wat is wiskunde? A (WISB101) 2 januari 2002
• Schrijf uw naam en voorletters op elk vel.
• Schrijf op het eerste vel uw studienummer.
• Alle opgaven tellen even zwaar.
• Geef niet alleen antwoorden, maar laat ook zien hoe u eraan gekomen bent. Het gebruik van computer, dictaat, boeken of aantekeningen is niet toegestaan.
SUCCES!
a. Ga met behulp van waarheidstabellen na of de volgende beweringen een tautologie zijn:
(a) [¬P ∧ (Q ∨ ¬R)] ←→ [(¬P ∧ Q) ∨ ¬(P ∨ R)], (b) [(P ∧ ¬Q) −→ (R ∧ ¬R)] −→ (P −→ Q).
b. Bewijs dat er geen natuurlijke getallen m en n bestaan zodat 9
19 = 1 m+ 1
n.
c. Laten A, B en C verzamelingen zijn, bewijs of geef een tegenvoorbeeld voor de volgende twee beweringen:
(a) (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A), (b) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C).
d. Bewijs met volledige inductie dat voor alle natuurlijke getallen n geldt:
n
X
j=1
j(n − j) = n3− n 6 .
N.B. Je mag hierbij gebruik maken van de formulePn
j=1j = 12n(n + 1), deze bewering hoef je niet te bewijzen.
e. Laat R een relatie zijn op de verzameling A (dus R ⊆ A × A).
(a) Toon aan dat R ∩ R−1 en R ∪ R−1 symmetrisch zijn.
(b) Toon aan dat als R transitief is dat dan ook R−1 transitief is.
f. Bewijs dat
R = {(x, y) ∈ R × R| er bestaat een geheel getal k zodat x − y = 7k}
een equivalentie relatie defini¨eert op R.
1
