Surjectief en Injectief

(1)

Matrixalgebra

(2)

Surjectief en Injectief

Stelling

Als T : Rⁿ→ R^m een lineaire afbeelding is met standaardmatrix A = [a₁a₂. . . a_n] dan Bereik(T ) = Span{a₁, a₂, . . . , a_n} dus:

T is surjectief alleen maar als Span{a1, a2, . . . , an} = R^m. T is surjectief alleen maar als iedere rij van A een pivot bevat.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

20 september 2016 1

(3)

Stelling

Als T : Rⁿ→ R^m een lineaire afbeelding is met standaardmatrix A = [a₁a₂. . . a_n] dan:

T is injectief alleen maar als T (x) = 0 voor x = 0 (T (u) = T (v) alleen maar als u = v).

T is injectief alleen maar als elke kolom van A een pivot bevat.

(4)

Notaties

Laat A een m × n matrix zijn. Dan

A =







a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n

..

. ... ... ... ... ... ai 1 ai 2 . . . aij . . . ain

..

. ... ... ... ... ... am1

|{z}

a₁

am2

|{z}

a₂

. . . amj

|{z}

a_j

. . . amn

|{z}

an







← A1

← A2

.. .

← Ai

.. .

← Am

waarbij

aij is het element in de i -de rij en j -de kolom, i en j heten de indices van dit element,

aj is de j -de kolom van A en Ai is de i -de rij van A.

20 september 2016 3

(5)

Definitie

Laten A en B allebei m × n matrices zijn en r een scalar (getal).

Dan heet de m × n matrix C de som van A en B als:

c_ij = a_ij+ b_ij voor 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n

Verder heet de m × n matrix D het product van r en A als:

d_ij= ra_ij voor 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n

C en D worden genoteerd als A + B en rA.

(6)

Notatie

Met Om,n of kortweg O wordt de m × n matrix aangegeven waarvan alle elementen 0 zijn.

Met Imwordt de m × m aangegeven met als elementen:

i_kl =







1 als j = i 0 als j 6= i

voor 1 ≤ k, l ≤ m

20 september 2016 5

(7)

Eigenschappen optelling scalaire vermenigvuldiging

Laten A, B en C m × n matrices zijn en r , s scalairen. Dan geldt:

a. A + B = B + A

b. (A + B) + C = A + (B + C ) c. A + O = A

d. r (A + B) = rA + rB e. (r + s)A = rA + sA

f. r (sA) = (rs)A

(8)

Opgave

§2.1, opgave 3, eerste deel

Laat A =

"

4 −1 5 −2

# .

Bereken 3I₂− A.

3I2− A =

"

−1 1

−5 5

#

20 september 2016 7

(9)

Het product van twee matrices

R^p =⇒ Rⁿ =⇒ R^m

Laat A een m × n matrix zijn en B een n × p matrix. Als verder x ∈ R^p dan:

y = Bx ∈ Rⁿen z = Ay = A(Bx) ∈ R^m

(10)

Met de eerder ingevoerde notaties wordt gevonden:

y = Bx = x1b1+ x2b2+ . . . + xjbj+ . . . + xpbp en

z = Ay = A(x1b1+ x2b2+ . . . + xjbj+ . . . + xpbp)

= A(x1b1) + A(x2b2) + . . . + A(xjbj) + . . . + A(xpbp)

= x₁Ab₁+ x₂Ab₂+ . . . + x_jAb_j+ . . . + x_pAb_p

= [Ab₁Ab₂. . . Ab_j . . . Ab_p] x

zodat z = C x waarbij C = [Ab₁Ab₂. . . Ab_j . . . Ab_p].

20 september 2016 9

(11)

Definitie

Als A een m × n matrix is en B = [b1b2. . . bp] is een n × p matrix dan heet

C = A [b1b2. . . Abj . . . bp]

= [Ab1Ab2. . . Abj . . . Abp]

het product van B en A.

C wordt genoteerd als AB.

Onthouden: de afmetingen van AB zijn (m × p)

Komt dit je onbekend voor? Kijk dan nog eens naar de video

(12)

Voorbeeld (§2.1, opgave 5)

A =







−1 2

5 4

2 −3





en B =

"

3 −2

−2 1

# .

Bereken AB.

A

"

3

−2

#

= 3







−1 5 2





 −2





 2 4

−3





=







−7 7 12







A

"

−2 1

#

= −2







−1 5 2





+





 2 4

−3





 =





 4

−6

−7





 zodat

AB =







−7 4

7 −6 12 −7







20 september 2016 11

(13)

j -de kolom van AB

Als A een m × n matrix is en B is een n × p matrix dan:

Ab_j = b_1ja₁+ b_2ja₂+ . . . + b_nja_n

en dus is de j -de kolom van AB gelijk aan een lineaire combinatie van de kolommen van A waarbij de co¨effici¨enten de kentallen zijn van de j -de kolom van B.

(14)

ij -de element van AB

Als A een m × n matrix is en B is een n × p matrix dan:

Abj = b1ja1+ b1ja2+ . . . + bnjan

en dus

(AB)_ij = (Ab_j)_i = b_1ja_{i 1}+ b_2ja_{i 2}+ . . . b_nja_in

= a_{i 1}b_1j+ a_{i 2}b_2j+ . . . a_inb_nj

(15)

i -de rij van AB

Schrijf de formule (AB)_ij= a_{i 1}b_1j+ a_{i 2}b_2j+ . . . a_inb_nj eens uit voor 1 ≤ j ≤ p.

Dan:

AiB = ai 1B1+ ai 2B2+ . . . + ainBn

en dus is de i -de rij van AB gelijk aan een lineaire combinatie van de rijen van B waarbij de co¨effici¨enten de kentallen zijn van de i -de rij van A.

(16)

Opgave

§2.1, opgave 3, tweede deel

Laat A =

"

4 −1 5 −2

# .

Bereken (3I₂)A.

3(I2A) =

"

12 −3 15 −6

#

(17)

§2.1, opgave 5

A =







−1 2

5 4

2 −3





en B =

"

3 −2

−2 1

# .

Bereken AB door de rij-kolommethode te gebruiken.

AB =







−7 4

7 −6 12 −7







(18)

Eigenschappen matrixvermenigvuldiging

Laat A een m × n matrix zijn, B en C matrices zodat de hieronder beschreven producten bestaan en r een scalar. Dan geldt:

a. A(BC ) = (AB)C b. A(B + C ) = AB + AC c. (B + C )A = BA + CA d. r (AB) = (rA)B = A(rB) e. I_mA = A = AI_n

Welke eigenschap mis je?

(19)

Waarschuwing!!!

Zelfs als de afmetingen van A en B en omgekeerd passen dan nog hoeft niet te gelden AB = BA

Voorbeeld

Laat A =







−1 2

5 4

2 −3





en B =

"

4 −3 3

−2 0 5

#

AB =







−8 3 7

12 −15 35

14 −6 −9





en BA =

"

−13 −13 12 −19

#

(20)

Opgave

§2.1,opgave 9

Laat A =

"

2 5

−3 1

#

en B =

"

4 −5

3 k

# .

Voor welke waarde(n) van k is AB = BA?

Er moet gelden:







5k − 10 = 15

−3k + 6 = −9 en dus k = 5.

(21)

Definitie

Als A een n × n matrix is dan bestaat

AA . . . A

| {z }

k maal A

voor k = 0, 1 . . .

en het resultaat wordt genoteerd als A^k.

Definitie

Als A een m × n matrix is en C is de n × m matrix met als elementen

cij= aji 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

dan heet C de getransponeerde van A.

(22)

Voorbeeld

Als A =







−1 2

5 4

2 −3





dan A^T =

"

−1 5 2

2 4 −3

#

(23)

Stelling

Als A en B matrices zijn zodat de hieronder beschreven som en product bestaan en r is een scalar dan geldt:

a. (A^T)^T = A

b. (A + B)^T = A^T+ B^T c. (rA)^T = rA^T

d. (AB)^T = B^TA^T