• No results found

(0.5 pts) (b) Determine the image measure T (λ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(0.5 pts) (b) Determine the image measure T (λ"

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Universiteit Utrecht Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht

Measure and Integration: Hertentamen 2014-15

(1) Consider the measure space ([0, 1), B([0, 1)), λ), where B([0, 1)) is the Borel σ-algebra restricted to [0, 1) and λ is the restriction of Lebesgue measure on [0, 1). Define the transformation T : [0, 1) → [0, 1) given by

T (x) =









3x 0 ≤ x < 1/3, 3x − 1, 1/3 ≤ x < 2/3 3x − 2, 2/3 ≤ x < 1.

(a) Show that T is B([0, 1))/B([0, 1)) measurable. (0.5 pts) (b) Determine the image measure T (λ) = λ ◦ T−1. (0.5 pts)

(c) Show that for all f ∈ L1(λ) one has,R f dλ = R f ◦ T dλ. (0.5 pts)

(d) Let C = {A ∈ B([0, 1)) : λ(T−1A∆A) = 0}. Show that C is a σ-algebra. (0.5 pts)

(2) Consider the measure space ((0, ∞), B((0, ∞)), λ), where B((0, ∞)) is the restriction of the Borel σ-algebra, and λ Lebesgue measure restricted to (0, ∞). Determine the value of

n→∞lim Z

(0,n)

cos(x5) 1 + nx2dλ(x).

(2 pts)

(3) Let (X, A, µ) be a finite measure space, and 1 < p, q < ∞ two conjugate numbers (i.e. 1/p+1/q = 1). Let g ∈ M(A) be a measurable function satisfying

Z

|f g| dµ ≤ C||f ||p

for all f ∈ Lp(µ) and for some constant C.

(a) For n ≥ 1, let En = {x ∈ X : |g(x)| ≤ n} and gn = 1En|g|q/p. Show that gn ∈ Lp(µ) for all n ≥ 1. (0.5 pts)

(b) Show that g ∈ Lq(µ). (1.5 pts)

(4) Let (X, A, µ) be a σ-finite measure space, and (fj) a uniformly integrable sequence of measurable functions. Define Fk = sup1≤j≤k|fj| for k ≥ 1.

(a) Show that for any w ∈ M+(A), Z

{Fk>w}

Fkdµ ≤

k

X

j=1

Z

{|fj|>w}

|fj| dµ.

(0.5 pts)

(b) Show that for every  > 0, there exists a w∈ L1+(µ) such that for all k ≥ 1 Z

X

Fkdµ ≤ Z

X

wdµ + k.

(1 pt) (c) Show that

k→∞lim 1 k

Z

X

Fkdµ = 0.

(0.5 pts)

(5) Consider the measure space (R, B(R), λ), where B(R) is the Borel σ-algebra, and λ Lebesgue measure. Let k, g ∈ L1(λ) and define F : R2→ R, and h : R → R by

F (x, y) = k(x − y)g(y).

1

(2)

2

(a) Show that F is measurable. (1 pt) (b) Show that F ∈ L1(λ × λ), and

Z

R×R

F (x, y)d(λ × λ)(x, y) =

Z

R

k(x)dλ(x)

 Z

R

g(y)dλ(y)

 . (1 pts)

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

gelet op het bepaalde onder T tot en met 'III' de exploitatie van de gemeentelijke zwembaden te schrappen van de lijst met Diensten van algemeen belang (DAB) in het kader van de

Vooruitlopend op dit bestemmingsplan een voorbereidingsbesluit te nemen voor het perceel Touwslagersweg 21 met als digitale planidentificatie NLIMRO.0632.touwslagersweg21-xVA;..

Geen zienswijze in te dienen ten aanzien van de ontwerp-begroting 2016 van het Regionaal Historisch Centrum Rijnstreek en Lopikerwaard 2016 en deze voor kennisgeving aan te

van der Molen uit Utrecht te benoemen tot lid van de Raad van Toezicht van de Stichting Minkema College voor openbaar voortgezet onderwijs in Woerden en omstreken, met ingang van 10

a) De aspecten veiligheid, doorstroming, volksgezondheid, duurzaamheid, economie en financiën komen nadrukkelijk aan bod. b) Bij het opstellen van deze visie wordt met ondernemers

Aldus besloten^doörľde raad van de gemeente WoerderKĩn zijn 5uden op 5 novembej/2015.

Voor het verstrekken van een uittreksel van een document of een samenvatting van de inhoud van een document op grond van artikel 7, eerste lid, onder c van de Wet openbaarheid

Voor bouwwerken die niet in de &#34;kengetallenlijst toetsing bouwkosten gemeente Woerden&#34; zijn genoemd of hiervan in belangrijke mate afwijken, wordt als uitgangspunt voor