University of Groningen
Variants of the block GMRES method for solving multi-shifted linear systems with multiple
right-hand sides simultaneously
Sun, Donglin
IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below.
Document Version
Publisher's PDF, also known as Version of record
Publication date: 2019
Link to publication in University of Groningen/UMCG research database
Citation for published version (APA):
Sun, D. (2019). Variants of the block GMRES method for solving multi-shifted linear systems with multiple right-hand sides simultaneously. University of Groningen.
Copyright
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Take-down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.
Samenvatting
Numerieke simulaties worden gebruikt om processen te bestuderen, begrijpen, voorspellen en worden ook toegepast bij technische ontwerpen. Om deze simulaties uit te voeren, worden vaak stelsels van lineaire vergelijkingen opgelost. In dit proefschrift beschouwen we grote, ijle stelsels lineaire vergelijkingen met meerdere rechterleden en/of met meerdere coefficienten-matrices die op een veelvoud van de identiteitsmatrix na gelijk zijn, d.w.z. de diagonalen zijn verschoven. (in vakjargon noemen we dit multiple shifts). We ontwikkelen effici¨ente Krylov-subruimtemethoden voor het oplossen van deze stelsels lineaire vergelijkingen.
In hoofdstuk 1 worden Krylov-subruimtemethoden geintroduceerd. We bespreken de sterke en zwakke punten van deze populaire klasse van iteratieve methoden, waarbij we ons richten op lineaire systemen met meerdere rechterleden en multiple shifts. We beschrijven de belangrijkste doelstellingen van het proefschrift.
De convergentie van Krylov-subruimtemethoden is in het algemeen sterk afhankelijk van de eigenwaarde-verdeling van de coefficientenmatrix. Een kleine eigenwaarde kan de iteratieve oplossing enorm vertragen. Omdat we multiple shifts toestaan, verschuiven de eigenwaarden, en kunnen er kleine eigenwaarden optreden. De Gegeneraliseerde Minimaal Residu (GMRES) methode is een bekend voorbeeld van een Krylov-subruimtemethode die last heeft van kleine eigenwaarden. In hoofdstuk 2 ontwikkelen we een nieuwe variant van de (herstartte blok) GMRES-methode waarbij eigenvectoren worden toegevoegd aan de oplossingsruimte om de negatieve effecten van de bijbehorende kleine eigenwaarden op de convergentie te verminderen. Dit resulteert in een snellere convergentie.
Een ander probleem dat kan optreden is dat de rechterleden bij benadering lineair afhankelijk zijn. In dat geval convergeren Krylov-subruimte-methoden voor het simultaan oplossen van stelsels vergelijkingen met meerdere rechterleden veel langzamer dan gewoonlijk, of soms zelfs helemaal niet. In hoofdstuk 3 introduceren we een nieuwe variant van de blok GMRES-methode, gebaseerd op een initi¨ele deflatiestrategie, die een bijna
150 Samenvatting
afhankelijkheid van blokresiduen kan detecteren, en dat probleem omzeilt. Verder presenteren we een gepreconditioneerde variant van de nieuwe blok GMRES-methode die eigenschappen van de shift behoudt.
De blok GMRES-methode maakt gebruik van een Arnoldi iteratie. In hoofdstuk 4 passen we een inexacte breakdown strategie toe om effectiever om te gaan met een mogelijke numerieke instabiliteit ten gevolge van een breakdown in de blok Arnoldi-procedure. Het verbeterde algoritme detecteert bijna lineair afhankelijke richtingen in de Krylov basis, en hergebruikt spectrale informatie bij het herstarten van de iteratie om sneller te convergeren.
In hoofdstuk 5 passen we onze nieuwe blok-iteratieve Krylov-methode toe op niet-verschoven stelsel lineaire vergelijkingen met meerdere rechterleden. Hierbij hergebruiken we invariante deelruimtes en gebruiken een aangepaste preconditioner. Onze numerieke experimenten laten zien dat de nieuwe familie van methoden de conventionele Krylov-methoden kan overtreffen. De nieuwe methode is succesvol getest voor het oplossen van lineaire systemen die voortkomen uit een discretisatie van een parti¨ele differentiaalvergelijking (de Dirac-vergelijking) en een randintegraal-vergelijking (elektromagnetische verstrooiing).
In hoofdstuk 6 vatten we de belangrijkste karakteristieken van de voorgestelde methoden samen en vergelijken we de numerieke prestaties voor het oplossen van meervoudig verschoven lineaire systemen met meerdere rechterleden die optreden in numerieke simulaties van vloeistofstromingen en in elektromagnetische toepassingen. Tot slot schetsen we enkele plannen voor toekomstig onderzoek.
