Samenvatting kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo

Samenvatting kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo

Marc van Zanten, Frits Barth, José Faarts, Anneke van Gool, Ronald Keijzer

Deze samenvatting is samengesteld t.b.v. de Panama Opleidersdag rekenen-wiskunde op 16 oktober 2009. In deze samenvatting zijn literatuurverwijzingen en noten weggelaten.

Inhoud

1. Toelichting en verantwoording ...1

1.1. Opdracht en context ...1

1.2. Vakspecifieke competenties rekenen-wiskunde ...1

Het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid ...1

Rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen...1

Oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren ...2

Wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen ...2

2. Opbouw van de kennisbasis rekenen-wiskunde ...2

2.1. Globale theorieën ...2

2.2. Domeinbeschrijvingen ...2

2.3. Verwerking van de vakspecifieke competenties in de kennisbasis ...3

3. Inhoud van de kennisbasis rekenen-wiskunde ...3

3.1. Inhoud van het deel Globale theorieën...3

3.2. Inhoud van het deel Domeinbeschrijvingen ...4

Maatschappelijke relevantie...4

Kennis van rekenen-wiskunde ...4

Kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde ...5

Verstrengeling en samenhang...6

1. Toelichting en verantwoording

1.1. Opdracht en context

Onderdeel van het projectplan van de HBO-raad ‘Werken aan kwaliteit’ voor de lerarenopleidingen is het formuleren van een kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo. De kennisbasis beschrijft de expliciete / geboekstaafde kennis van het vak en de vakdidactiek van rekenen-wiskunde, waarvan alle startbekwame leerkrachten kennis moeten hebben. De opdracht de kennisbasis op te stellen is verleend aan ELWIeR, die in samenwerking met Panama hiervoor een projectgroep heeft ingesteld.

Momenteel is er veel aandacht voor de kwaliteit van (aanstaande) leerkrachten op het gebied van rekenen-wiskunde en het niveau van rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. Bovendien zijn er kritische geluiden over elementen van de realistische reken-wiskundedidactiek.

OC&W heeft ingezet op onder andere een kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo.

Deze kennisbasis moet naar mening van de opstellers bijdragen aan een zodanige toerusting van startbekwame leerkrachten dat zij in hun praktijk verantwoorde inhoudelijke en didactische keuzes kunnen maken. Dit impliceert eveneens het kunnen innemen van een door kennis onderbouwd standpunt.

1.2. Vakspecifieke competenties rekenen-wiskunde

Het verwerven van de kennis uit deze kennisbasis is geen doel op zich. Het gaat er om wat een startbekwame leerkracht kán met deze kennis, namelijk deze kennis inzetten bij het realiseren van reken-wiskundeonderwijs op de basisschool.

Het geheel aan reken-wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten van een (startbekwame) leerkracht wordt aangeduid met het begrip professionele gecijferdheid.

Op basis van een recent overzichtsartikel over professionele gecijferdheid in historisch en internationaal perspectief vallen een viertal vakspecifieke competenties te onderscheiden waarover een startbekwame leerkracht moet beschikken om adequaat reken- wiskundeonderwijs te kunnen realiseren:

- Het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid.

- Rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen.

- Oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren.

- Wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen.

Het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid

Ten eerste beheerst de leerkracht de leerstof voor rekenen-wiskunde van de basisschool op een geavanceerd niveau. Dat houdt in dat hij/zij de reken-wiskundeopgaven van de basisschool niet alleen instrumenteel, maar ook inzichtelijk op kan lossen. In verband met doorgaande leerlijnen geldt dat ook voor de rekeninhouden van de onderbouw van het voortgezet onderwijs. In termen van de door de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen gaat het om referentieniveau 3S.

Rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen

Ten tweede is de professioneel gecijferde leerkracht in staat om reken-wiskundige kennis, begrippen en vaardigheden voor kinderen betekenis te geven. De leerkracht herkent reken-wiskundige zaken (getallen, getalsmatige en meetkundige aspecten, verbanden) in de eigen omgeving en in die van de kinderen, weegt deze en maakt ze toegankelijk voor de leerlingen. Hij/zij maakt gebruik van de realiteit en de actualiteit voor betekenisverlening en het geven van voorbeelden, vraagstukken en toepassingen.

Daarbij kan de leerkracht zelf de uit de realiteit gedestilleerde wiskunde met wiskundige middelen aanpakken. Hieronder valt bijvoorbeeld het kunnen interpreteren van statistische gegevens en deze verwerken in passende grafieken en het ontmaskeren van fouten in de media.

Oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren

De derde vakspecifieke competentie van de professioneel gecijferde leerkracht is het kunnen realiseren van oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen. Hierbij gaat het bijvoorbeeld om het begrijpen en doorgronden van rekenfouten, het uitvoeren van een foutenanalyse en het opmerken en corrigeren van foutief of (nog) niet formeel gebruik van wiskundetaal. Ook het doorgronden van wiskundige redeneringen van leerlingen en bij niet-standaard aanpakken kunnen bepalen of deze algemeen geldig zijn, vallen hieronder. De professioneel gecijferde leerkracht kan bij opgaven meerdere alternatieve oplossingswijzen hanteren en volgen, accepteren en begrijpen; bij veel voorkomende oplossingsstrategieën zowel denkstappen toevoegen als verkortingen aangeven; en kan van oplossingswijzen beoordelen in hoeverre deze perspectief bieden in het licht van langlopende leerprocessen rekenen-wiskunde. Hetzelfde geldt voor oplossingswijzen op verschillende abstractieniveaus – contextgebonden, met modellen of materialen en formeel-abstract.

Wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen

Ten slotte is de leerkracht in staat het wiskundig denken van kinderen te bevorderen. De professioneel gecijferde leerkracht maakt in zijn/haar reken-wiskundeonderwijs effectief en efficiënt gebruik van zijn/haar wiskundig en didactisch repertoire. Hier wordt het mathematiseren als het ware verstrengeld met het didactiseren. Het gaat er daarbij om dat inhoud en activiteiten reken-wiskundig en didactisch aansluiten bij de methode en passen binnen de leerlijn van de methode, en binnen methodeoverstijgende leerlijnen als TAL of TULE. Ook leerjaaroverstijgend, in verband met de doorlopende ontwikkeling van leerlingen. De leerkracht stimuleert de wiskundige activiteit bij de verschillende specifieke leerprocessen, zoals problemen oplossen, verwoorden, notaties ontwikkelen, wiskundig redeneren, oefenen, toepassen, memoriseren en automatiseren. Daarbij bevordert de leerkracht een positieve attitude en zelfvertrouwen bij de leerlingen ten aanzien van rekenen-wiskunde.

2. Opbouw van de kennisbasis rekenen-wiskunde

De kennisbasis bestaat uit twee delen: een deel over globale theorieën en een deel waarin de domeinbeschrijvingen zijn opgenomen.

2.1. Globale theorieën

Globale theorieën zijn noties over het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde in algemene zin, zoals het gebruik van modellen als tussenstap van concreet naar abstract denken. In dit eerste deel wordt kort ingegaan op doelen, leerprocessen en vakdidactiek bij rekenen-wiskunde op de basisschool. Dit hoofdstuk biedt een kader voor de informatie die in de domeinbeschrijvingen is vastgelegd.

2.2. Domeinbeschrijvingen

De domeinbeschrijvingen vormen het grootste deel van de kennisbasis. Aansluitend op de kerndoelen voor het basisonderwijs en de indeling van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen worden de volgende domeinen onderscheiden:

- hele getallen;

- verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen;

- meten;

- meetkunde;

- verbanden.

De op de basisschool voorkomende bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) en de vormen van rekenen (hoofdrekenen, rekenen volgens standaardprocedures en cijferen, schattend rekenen en gebruik van de rekenmachine) zijn uitgewerkt in de domeinbeschrijving hele getallen. Een en ander wordt in de overige domeinbeschrijvingen niet herhaald; daar worden alleen die zaken toegevoegd die

terugkerende paragraaf wiskundetaal, waarin zowel de formele rekentaal en -symbolen zijn opgenomen, als informele wiskundetaal.

Alle domeinbeschrijvingen kennen dezelfde opbouw in vier terugkerende paragrafen:

- maatschappelijke relevantie van het betreffende domein;

- kennis van rekenen-wiskunde van het betreffende domein;

- kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde van het betreffende domein;

- verstrengeling en samenhang van het betreffende domein.

2.3. Verwerking van de vakspecifieke competenties in de kennisbasis

- het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid: de voor deze competentie benodigde kennis is opgenomen in de terugkerende paragrafen kennis van rekenen-wiskunde;

- rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen: de hiervoor benodigde kennis is verwerkt in drie terugkerende paragrafen. In maatschappelijke relevantie en in verstrengeling en samenhang staat vermeld hoe men het betreffende domein tegenkomt in het dagelijks leven en hoe het voorkomt in andere vakgebieden. Hoe een en ander didactisch gebruikt kan worden staat aangegeven in kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde;

- oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren: hiervoor benodigde kennis is opgenomen in de terugkerende paragrafen kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde;

- wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen: voor deze competentie zijn kenniselementen uit alle paragrafen van de kennisbasis van belang. Bij deze competentie gaat het immers om mathematiseren en didactiseren in samenhang.

3. Inhoud van de kennisbasis rekenen-wiskunde

3.1. Inhoud van het deel Globale theorieën

Globale theorie van rekenen-wiskunde betreft theorieën over het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde in algemene zin, bijvoorbeeld over het gebruik van modellen als tussenstap van concreet naar abstract denken. In het hoofdstuk over globale theorieën wordt beknopt ingegaan op doelen, leerprocessen en vakdidactiek bij rekenen-wiskunde.

Bij doelen van het vakgebied rekenen-wiskunde op de basisschool wordt ingegaan op onderscheiden waardes en nut van rekenen-wiskunde, gecijferdheid, kerndoelen, tussendoelen, doorlopende leerlijnen en referentieniveaus.

Bij rekenen-wiskunde op de basisschool gaat het om uiteenlopende leerprocessen, zoals betekenisconstructie en begripsvorming, problemen oplossen, verwoorden, notaties ontwikkelen, wiskundig redeneren, oefenen, toepassen, memoriseren en automatiseren.

Het gaat daarbij om langlopende wiskundige leerprocessen en leeractiviteiten als abstraheren, classificeren, schematiseren en structureren. Er wordt ingegaan op:

- mathematiseren en formaliseren;

- automatiseren en memoriseren;

- de rol van taal en betekenisverlening bij het leren van rekenen-wiskunde.

Vakdidactiek rekenen-wiskunde valt te karakteriseren aan de hand van een aantal vakdidactische noties. Een aantal van deze noties zijn geformuleerd in het kader van realistisch reken-wiskundeonderwijs en hebben in de huidige reken-wiskundemethodes hun uitwerkingen gevonden. Deze vakdidactische noties worden als volgt in de kennisbasis gekarakteriseerd:

- mathematiseren vanuit betekenisvolle realiteit;

- modelleren en formaliseren;

- ruimte voor eigen inbreng van leerlingen;

- interactie, reflectie en niveauverhoging;

- verstrengeling van leerlijnen.

In de actuele aandacht voor reken-wiskundeonderwijs worden bij deelaspecten ook nuanceringen aangebracht en kritische kanttekeningen geplaatst. In de kennisbasis wordt kort ingegaan op:

- doorschieten in uitgangspunten en vervormingen;

- in hoeverre verschillende punten van realistisch rekenen-wiskunde aansluiten op behoeften van zwakke rekenaars;

- kolomsgewijs rekenen en cijferend rekenen;

- de balans tussen inzicht en oefenen.

De paragraaf over vakdidactiek gaat verder in op omgaan met verschillen bij rekenen- wiskunde, oefenen en onderhouden en het historisch perspectief van ontwikkelingen in de didactiek van rekenen-wiskunde.

3.2. Inhoud van het deel Domeinbeschrijvingen

Maatschappelijke relevantie

Getallen zijn overal aanwezig in deze maatschappij. Maatschappelijk functioneren vraagt om op gepaste wijze met de getallen en getalsmatige gegevens om te gaan. Dat blijkt al bij het doordenken van een alledaagse activiteit als boodschappen doen. Bij producten zijn prijzen in de vorm van (komma)getallen aangegeven en dat geldt ook voor veel getallen die op verpakkingen te vinden zijn. Daarbij gaat het bijvoorbeeld om gewichten en hoeveelheden. Verhoudingen en procenten komen terug bij prijs per hoeveelheid, voor hoeveel personen iets is en bijvoorbeeld vet- en eiwitgehaltes.

Getallen hebben verschillende betekenissen en van de basisschoolleerkracht mag verwacht worden dat hij of zij in allerlei verschillende maatschappelijke situaties adequaat met getallen en getalsmatige informatie kan omgaan. Dat betreft met name meetgetallen, want veel van de getallen in het maatschappelijke verkeer zijn meetgetallen. Ze gaan over geld, tijd, lengte, oppervlakte, snelheid en zo verder.

Leerkrachten hebben voldoende kennis van het meten om meetgetallen te interpreteren, alledaagse meetinstrumenten te gebruiken, metingen te verrichten en het resultaat daarvan in een meetgetal weer te geven met een passende maat.

Ook veel meetkundige kennis wordt gebruikt in allerlei maatschappelijke situaties en is van belang voor het maatschappelijk functioneren. Voorbeelden hiervan zijn het deelnemen aan het verkeer, het indelen van een kantoorruimte (of school), aanduiden waar zaken te vinden zijn en hoe je op een bepaalde plek kunt komen.

Goed omgaan met informatie die verschillende media als krant, televisie en internet tonen, vraagt om het kunnen interpreteren van grafieken en om het kritisch beschouwen van deze grafieken in situaties waar zij bijvoorbeeld misbruikt worden om ten onrechte grote groei of grote afname te suggereren. Ook die kennis mag zeker van een leraar basisonderwijs verwacht worden.

Kennis van rekenen-wiskunde

Juist een vak als rekenen-wiskunde vraagt om gedegen vakkennis om onderwijs te verzorgen. Van een leraar basisonderwijs mag verwacht worden dat hij of zij boven de stof staat. Dat houdt in dat hij/zij voldoende kennis van de wiskunde heeft om in ieder geval een grotere rekenvaardigheid te tonen dan de sterkste rekenaars in de basisschool.

Dit betekent onder meer dat hij of zij:

- betekenissen van getallen kent, ook als het om hele grote of heel kleine getallen gaat;

- verschillende soorten getallen, getalsystemen en talstelsels kent, ook naar oorsprong en gebruik;

- de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen beheerst met hele getallen, breuken en kommagetallen en kan rekenen met verhoudingen en

- kan hoofdrekenen en gebruik maken van de eigenschappen van de hiergenoemde bewerkingen, globaal schattend kan rekenen, kan rekenen met standaardprocedures waaronder de meest verkorte cijferalgoritmes en de rekenmachine met inzicht kan hanteren;

- de relaties tussen verschillende bewerkingen en rekenvormen doorziet en kan verklaren;

- in specifieke situaties kan beoordelen en verantwoorden of hoofdrekenen, schattend rekenen, cijferend rekenen of gebruik van een rekenmachine passend is;

- in specifieke situaties de onderscheiden rekenvormen kan toepassen;

- inzicht heeft in de wiskundige overeenkomsten en verbanden tussen breuken, procenten, verhoudingen en kommagetallen;

- kennis heeft van meten, meetinstrumenten, grootheden, maten en meet(on)nauwkeurigheid;

- kennis heeft van het metrische maatsysteem en het daaraan gekoppelde metriek stelsel, het ontstaan ervan en het hanteren van dit stelsel cq. systeem;

- kennis heeft om allerlei situaties waarin dat relevant is meetkundige verschijnselen te verklaren met behulp van valide meetkundige redeneringen, zoals het verklaren van een zonsverduistering;

- kennis heeft van representaties om die in verschillende typen grafieken te herkennen en om die zelf te construeren in daarvoor passende situaties;

- kennis heeft van discrete en continue situaties en daarbij passende .representaties.

Het adequaat gebruiken van reken-wiskundige kennis veronderstelt bovendien het beheersen van wiskundetaal waaronder notaties en symbolen, om op korte en overzichtelijk wijze denkbeelden te representeren. Van een basisschoolleerkracht mag verwacht worden dat hij of zij de wiskundetaal voldoende beheerst om het bovenstaande waar te maken.

Kennis voor onderwijzen van rekenen-wiskunde

De startbekwame leerkracht zet zijn of haar kennis van rekenen-wiskunde in bij het onderwijzen en ondersteunen van het leren van rekenen-wiskunde.

De leerkracht beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de betreffende leerlijnen en tussendoelen zoals die bijvoorbeeld zijn vastgelegd door TAL en TULE.

Verder beheerst hij/zij didactische kennis die het leren op de basisschool op gang brengt, ondersteunt en stimuleert, zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema’s. Deze kennis past hij/zij toe om adaptief en diagnosticerend reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren.

Voor het domein hele getallen betekent dit dat leerkrachten onder meer kennis hebben van:

- de ontwikkeling van tellen en getalbegrip door kinderen;

- het leren van de tafels en het automatiseren van het optellen en aftrekken tot 20;

- het leren optellen en aftrekken tot 100 en verder;

- het leren vermenigvuldigen en delen;

- het leren schattend rekenen en hoofdrekenen;

- verschillende manieren waarop kinderen de standaardprocedures en cijferalgoritmes kunnen leren;

- het leren hanteren van de rekenmachine en het gebruik van de rekenmachine als onderzoeksmiddel en als rekenhulpmiddel.

Voor het domein verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen betekent dit dat leerkrachten onder meer kennis hebben van:

- specifieke verschijningsvormen van verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen en hoe deze kunnen worden ingezet ten behoeve van begripsvorming;

- contextsituaties die kinderen uitlokken noties te ontwikkelen over de specifieke wiskundige aard van verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen;

- specifieke modellen voor en representaties van en bij verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen;

- hoe contexten en modellen kunnen worden ingezet om bewerkingen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen te leren uitvoeren;

- specifieke moeilijkheden die op kunnen treden bij het leren van verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.

Voor het domein meten betekent dit dat leerkrachten onder meer kennis hebben van:

- de opbouw van leerlijnen meten, waaronder het verwerven van metrische maten door kinderen;

- situaties waarin voor kinderen herkenbare meetgetallen naar voren komen;

- referentiematen en meetreferenties bij standaardmaten.

Voor het domein meetkunde betekent dit dat leerkrachten onder meer kennis hebben van:

- de verschillende soorten meetkundige activiteiten: oriënteren, viseren en projecteren, transformeren, construeren en visualiseren en representeren. Hij of zij kent activiteiten en situaties die deze meetkundige activiteiten uitlokken en weet hoe kinderen daarbij aan te zetten zijn tot meetkundige redeneringen op een voor het kind geëigend niveau.

Voor het domein verbanden betekent dit dat leerkrachten onder meer kennis hebben van:

- modellen als representatievorm passend bij verschillende niveaus van leerlingen;

- hoe kinderen te leren om zelf voor hen herkenbare situaties te abstraheren tot verschillende typen grafieken en schema’s.

Verstrengeling en samenhang

Rekenen-wiskunde bestaat niet uit geïsoleerde domeinen. Integendeel, de genoemde domeinen zijn in velerlei opzichten verstrengeld met elkaar. Zo worden procenten veel gebruikt bij grafieken en heeft het metriek stelsel eenzelfde decimale opbouw als het Arabisch getalsysteem. Verstrengeling is nadrukkelijk ook aan de orde bij het domein verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.

De onderlinge samenhang tussen verschillende domeinen kan in didactische zin worden benut. Zo wordt bijvoorbeeld kennis van meten gebruikt bij het leren van breuken en kommagetallen.

Verder worden de verschillende reken-wiskundedomeinen gebruikt bij andere vakgebieden, zoals aardrijkskunde, geschiedenis, biologie, handvaardigheid en tekenen.

Leerkrachten kennen de relaties en samenhang tussen de (sub)domeinen onderling en met andere vakgebieden en benutten die kennis zowel in inhoudelijke als in didactische zin.