Langere vraag over de theorie

Langere vraag over de theorie

(a) Geef de afleiding van de golfvergelijking voor de één-dimensiona- le transversale golfbeweging langsheen een opgespannen snaar.

(b) Geef ook de afleiding van het gemiddeld vermogen en de intensi- teit die geassocieerd zijn met de één-dimensionale transversale golf- beweging.

(a) Afleiding van de golfvergelijking voor een snaar

• Heel wat types van golven voldoen aan een bewegingsvergelijking die het equivalent is van de tweede wet van Newton voor de beweging

van deeltjes. We leiden deze golfvergelijking hier af voor het geval van een opgespannen snaar

• We nemen aan dat de amplitude heel klein is in vergelijking met de golflengte. De uitwijking is dan enkel in de verticale rich- ting en de spanning F_T in de snaar kan constant veronder- steld worden. We passen de

tweede wet van Newton toe voor een stukje snaar met massa m = µΔx waarbij µ de massa per eenheid van lengte is. De tweede wet van

Newton levert dan dat

 

1

2 sin

sin t

x D F

F a

m

F_{y y T T}



 









^{  }

• Voor kleine uitwijkingen geldt dat

• s is de lokale helling van de snaar. We kunnen ons resultaat voor de tweede wet van Newton dan herschrijven:

• We laten dan Δx → 0 en vinden dat

• Schrijven in functie van de snelheid levert de golfvergelijking:

x s D 



 









  

t D x

F s t

x D s

s

F_{T T}



 



 



 





 

2 2 2

2

t D x

F_T D



 







2 2 2

2

2 1

t D v

x D



 





3

(a) Afleiding van de golfvergelijking voor een snaar, vervolg

(b) Afleiding gemiddeld vermogen en intensiteit

• Lopende golven (transversale en longitudinale) transporteren bij be- weging door een medium energie die wordt doorgegeven door de op- eenvolgende elementjes van het medium.

• We kunnen ieder elementje modelleren als een eenvoudige harmoni- sche oscillator (zie hoofdstuk 14). Bij deze oscillaties wordt potenti- ele energie voortdurend omgezet in kinetische energie en omgekeerd.

• Ieder element (deeltje of klein volume) met massa m zal bij een ampli- tude A een hoeveelheid energie vertegenwoordigen gegeven door

• Voor massa m = ρV ( ρ is massadicht- heid) met V = S ℓ en als de afstand ℓ

= v t afgelegd wordt in tijd t, geldt dat

2 2 2

2 2

2

1 k A m f A

E  



2 2

2 2 Svt f A E 

 

4

• Het gevonden resultaat leert ons dat de energie die getransporteerd wordt door een lopende golf evenredig is met het kwadraat van de am- plitude en het kwadraat van de frequentie.

• Het gemiddelde tempo waarmee de energie wordt getransfereerd is het gemiddelde vermogen:

• We definiëren dan de intensiteit van een golf als het gemiddelde ver- mogen dat wordt getransfereerd doorheen een eenheid van oppervlak loodrecht op de golfbeweging:

2 2

2 2 vS f A t

P  E 

 

2 2

2 2 v f A S

I  P 

 

5

(b) Afleiding gemiddeld vermogen en intensiteit, vervolg

a) Een “Doppler flow meter” wordt gebruikt om de snelheid van bloed te me- ten. Een zender en een ontvanger worden op de huid geplaatst zoals te zien is op de figuur. Typische geluidsgolven met frequenties rond 5.0 MHz wor- den gebruikt, omdat ze een grote kans hebben om te worden gereflecteerd door de rode bloedcellen. Men kan de snelheid van het bloed afleiden uit de frequentie van de gereflecteerde golven die Doppler verschoven zullen zijn omdat de rode bloedcellen bewegen. De normale bloedsnelheid be- draagt typisch 0.1 m/s. Neem nu aan dat het bloedvat gedeeltelijk ver- nauwd is zodat de bloedsnelheid wordt verhoogd. De “Doppler flow me- ter” meet een Doppler-shift van 780 Hz.

Hoeveel bedraagt de bloedsnelheid in de vernauwde regio? De effectieve hoek tussen de geluidsgolven (uitge- zonden en gereflecteerde) en de rich- ting van de bloedstroom bedraagt 45°.

De geluidssnelheid in dit weefsel be- draagt 1540 m/s.

Oefening

Om tot de oplossing te komen stellen we eerst en vooral vast dat er in dit geval twee Doppler-verschuivingen zijn. Eerst is er een verschuiving met een stationaire bron (de zender) en een bewegende waarnemer (de bloedcellen). Vervolgens is er een tweede verschuiving waarbij er een bewegende bron is (de bloedcellen) en een stationaire waarnemer (de ontvanger). Anderzijds zijn de snelheidsvectoren van de waarnemer en de bron niet evenwijdig, maar maken ze bij de twee verschuivingen een hoek van 45° met mekaar. Uit de afleiding voor evenwijdige snelheids- vectoren zien we dat enkel de component van de snelheid die evenwij- dig is met de verbindingslijn, relevant is voor de Doppler-verschuiving.

De relevante snelheid is dan v_bloed cos45°. Voor de oplossing maken we dan gebruik van de algemene uitdrukking voor de Doppler-verschuiving wanneer zowel de bron als de waarnemer bewegen (zie formularium):

v f v

v

f v 



 



 



source snd

obs

' snd



Daar de bloedcellen weg bewegen van de zender en de ontvanger, moe- ten we in de teller het minteken nemen en in de noemer het plusteken (twee keer een verlaging van de frequentie):

Identificatie van de relevante snelheden levert dan

en oplossen naar v_bloed laat toe om de gevraagde snelheid te bekomen:

v f v

v

f v 



 







 

source snd

obs

' snd

bron bloed

snd

bloed snd

detector

45 cos

45

cos f

v v

v

f v 



 











 





bloed f cos 45 f cos 45 f v f v

v    

Voor de snelheid van het bloed vinden we dan dat

Invullen van de gegevens levert tenslotte dat

 





snd bloed

45

cos f f

f f

v v





 

m/s 17

. 10 0

m/s 10

70 . 1 Hz

780 Hz

10 0

. 5 2

Hz 780 m/s

1540 2

7 6

bloed 6  

 







  v

b) In de les hebben we de voorwaarde voor interferentie in dunne lagen afge- leid die geldig is voor quasi-loodrechte inval van de initiële straal. Toon aan dat wanneer het licht invalt onder een hoek θ₁ ten opzichte van de

loodrechte, deze voorwaarde wordt gewijzigd tot 2nt cos θ₂ = (m + 1/2) λ, waarbij θ₂ de brekingshoek in het medium is.

De figuur hiernaast geeft het pad aan van de twee golven die we moeten gebruiken om de interferentie te berekenen.

n₁ = 1

n₁ = 1

n₂ = n t

Het wegverschil tussen de twee golven is AB + BC – AD. Voor con- structieve interferentie is de voorwaarde dat het faseverschil een ge- heel veelvoud is van 2π (in radialen). 2π komt overeen met een weg- verschil λ_n met λ_n de golflengte van het licht in het medium met bre- kingsindex n zodat λ_n = λ/n met λ de golflengte in de lucht of vacuüm.

Het betreffende wegverschil AB + BC – AD kunnen we dan vertalen in een faseverschil

Dit kunnen we verder vertalen naar















2 AD 2 BC

AB

n n







n m

n   







AD 1 BC

AB

Rekening houdend met de hoeken θ₁ en θ₂ voor respectievelijk de invallende en de gebroken straal hebben we dan dat

Dit kunnen we verder herschrijven met wet van Snell als

Er treedt echter nog een extra faseverschil π op bij de reflectie aan de bovenkant van de laag (n > 1). De voorwaarde voor constructieve in- terferentie verandert dan in

 ^  ^{ }





n t n

n t

n      _{2 1} 

2 2

sin tan

cos 2 AD cos

BC AB

  ^





 

 

n t n t

n t

t    

2 2 2

2 2

2

2 cos

sin 2

cos sin 2

tan cos 2

2

 ^  _ ^{    }



cos sin 2

cos 1 2

2 2

2 2 2

2 2









 t n n t m

tn

4 korte vragen

1. Een radiostation zendt elektromagnetische golven uit met een ge- middeld vermogen P. Bereken de amplitude van het elektrisch veld op een afstand d van het radiostation, waarbij een isotrope

verdeling van de uitgezonden golven mag verondersteld worden.

We maken gebruik van het verband tussen de gemiddelde intensiteit (de gemiddelde grootte van de Poynting-vector) en de sterkte van het elektrisch veld. We maken ook gebruik van het feit dat de intensiteit overeenkomt met vermogen per eenheid van oppervlak. We mogen aannemen dat het vermogen sferisch symmetrisch verdeeld wordt rond de bron:

2 2

0 0

2 0

0 4 2 c d

E P d

P A

E P c

S         





2. Deze korte vraag handelt over het golfpatroon dat op bijgevoegde fi- guur wordt opgemeten door Heinrich Hertz. Hoe ontstaat dit golfpat- roon en hoe kon Heinrich Hertz uit dit patroon de lichtsnelheid aflei- den?

• Het gaat hier om een staande-golfpatroon dat ontstaat ten gevolge van de interferentie tussen de golf die aan de linkse spiegel wordt gegene- reerd door een zender (met een LC-circuit) en de golf die ontstaat

door reflectie van de eerste golf aan de rechtse spiegel.

• De afstand tussen de maxima (buiken) en minima (knopen wordt ge- geven door (zie formularium) nλ/2. Hertz kon deze afstand bepalen met behulp van een ontvangende antenne en kende dan λ.

• Daar Hertz de eigenfrequentie kende van het LC-circuit en ook de golflengte λ, kon hij dan via de relatie

v

λ

We kunnen hier gebruik maken van de voorwaarde voor destructieve interferentie die optreedt bij reflectie van lichtgolven door de boven- en de onderkant van een dunne film (zie formularium):

De dikte van de bel vinden we dan door de gegeven waarden voor de golflengte λ en de brekingsindex n in te vullen met m = 1:

Het juiste antwoord is dus antwoord (b).

 m t

n  2

3. Monochromatisch licht (λ = 500 nm) valt loodrecht in op een zeepbel (n = 1.40). Hoe dik is de bel (in nm) wanneer destructieve interfere- rentie optreedt in het gereflecteerde licht?

nm 8 179

. 2

nm 500

2  

 n

t m 

Volledige polarisatie treedt op bij inval onder de Brewster-hoek die gegeven wordt door (zie formularium)

waarbij n₂ = n de brekingsindex is van het water van het meer en n₁ de brekingsindex is van de lucht. Als we n₁ = 1 nemen, krijgen we

We moeten er nog rekening mee houden dat de hoeken in bovenstaan- de uitdrukking gegeven worden ten opzichte van de normale op het wateroppervlak! De gezochte hoek ten opzichte van het oppervlak van het meer is dan 90° – tan^-1n.

4. Bij welke hoek boven de horizon bevindt de zon zich wanneer het zonlicht dat gereflecteerd wordt door een meer maximaal gepolari- seerd is? Druk uw antwoord uit in functie van de brekingsindex n van het water van het meer.

1

tan

n n

p





n

n

p

tan

tan     