De hydrodynamische filmsmering in een globoïde wormkompressor

De hydrodynamische filmsmering in een globoïde

wormkompressor

Citation for published version (APA):

Post, W. J. A. E. M. (1983). De hydrodynamische filmsmering in een globoïde wormkompressor. Technische Hogeschool Eindhoven. https://doi.org/10.6100/IR70345

DOI:

10.6100/IR70345

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

DE HYDRODYNAMISCHE FILMSMERING IN EEN

GLOBOiDE WORMKOMPRESSOR

The Hydrodynamic Lubrication in a Globoid Wormcompressor

DE HYDRODYNAMISCHE FILMSMERING IN EEN

_..

GLOBOIDE WORMKOMPRESSOR

The Hydrodynamic Lubrication in a Globoid Wormcompressor

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN, OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS, PROF. DR. S. T. M. ACKERMANS, VOOR EEN COMMISSIE AANGEWEZEN DOOR HET COLLEGE VAN DEKANEN IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OP

OINSDAG 6 DECEMBER 1983 TE 16.00 UUR DOOR

WILHELMUS JOSEPHUS ADRIANUS ELISABETH MARIA POST GEBOREN TE EINDHOVEN

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotoren: Prof.dr.ir. M.J.W. Schouten

INHOUD Blz. 1. Algemene inleiding. 2. 3.

4·

5.

Samenvatting.

De geometrie van de globoide worm. 3.1 Inleiding.

5 9 9

3.2 De globoiden. 10

3.3 De analyse van de geometrie van de globoide

worm. 17

3.3.1 De vektorvoorstelling van het

gegenereer-de oppervlak. 19

3.3.2 De normaal op het gegenereerde

opper-vlak. 21

3.3.3 De lokale spoedhoek. 24

3.3.4 Het onderzoek van de omgeving van een

punt op het oppervlak. 25

3.3.5 De glijsnelheden. 30

3.4 Een voorbeeld van de geometrie van een globoide worm.

3.5 De tandgeometrie en de wighoeken. De geometrie van de filmsmering. 4.1 Inleiding.

4.2 Het lokale assenstelsel.

4.3 De geometrie van de smeringsspleet.

4.4

De vergelijkingen voor de filmsmering. 4.4.1 Inleiding.

4.4.2 De impulsvergelijkingen.

4.4.3 De schijnkrachten en andere effekten. 4.5 De ingrijpcyclus.

De traagheidseffekten in de filmsmering. 5.1 Inleiding.

5.2 De basisvergelijkingen van de filmsmering met traagheidseffekten.

5.3 De numerieke oplossingsmethode. 5.3.1 Inleiding.

5.3.2 De algemene uitgangspunten van de

32 42 48 48 48 52 59 59 60 66 68 71 71 73 77 77

numerieke methode. 78 5.3.3 De diskretisatie van de vergelijkingen. 83

5.3.4 De oplossingsmethode. 86

5.3.5 De randvoorwaarden. 91

5.3.6 De stabiliteit van de konvergentie van

de berekeningsmethode. 96

5.3.7 Slotopmerkingen. 101

6.

5.4 De oneindig brede vlakke wig. De proefopstelling.

6.1 Inleiding.

6.2 Het ontwerp van de proefopstelling.

6.2.1 De uitgangspunten van het ontwerp van de proefopstelling.

6.2.2 Het ontwerp van de proefopstelling. 6.3 De beschrijving van de meetmethode.

6.3.1 De uitgangspunten van de meetmethode. 6.3.2 De meetmethode. 6.4 De experimenten. 6.5 De testresultaten. 7. De numerieke berekeningen. 7.1 Inleiding. 7.2 De berekeningsmethode. 7.3 De berekeningsresultaten. 8. De slotbeschouwingen. 9. Summary 10. Nawoord. Appendix A. A.1 De schijnkrachten.

A.2 De grootteorden van de termen in de Navier-Stokes vergelijkingen.

A.3 De Reynoldsvergelijking.

A.4 Het Reynoldsgetal en turbulentie.

A.5 De invloed van de tijdsafhankelijke wighoek op de draagkracht. 102 108 108 109 109 111 116 116 117 122 124 133 133 133 137 146 148 150 151 151 154 155 157 160

Appendix B. 165 B.1 De integratie van de impulsvergelijkingen

over de spleethoogte. 165

B.2 De snelheidsprofielen. 166

B.3 De integratie over de kontrolevolumen. 169 B.4 De randvoorwaarde aan de westgrens. 173 B.5 De oneindig brede vlakke wig. 174 B.6 De nauwkeurigheid van de numerieke

berekenings-methode van de filmsmering. 177 Appendix C.

C.1 Het meetsysteem van de druk. C.2 De meetresultaten.

Appendix D.

Lijst van symbolen. Literatuur. 182 182 187 200 205 208

1. Algemene inleiding.

Het onderzoekgebied van de hydrodynamische filmsmering blijft, gezien de aanhoudende stroom van publikaties over dit onderwerp, nog steeds in beweging. Alhoewel het globale principe van de hydrodynamische filmsmering al lang bekend is

(Reynolds 1886), is het voorspelbaar funktioneren van deze smering beperkttotde bekende konstruktie-elementen zoals glijlagers. Het onderzoek op dit gebied gaat zich steeds meer richten op het verfijnen van de berekeningsmethoden. Het onderzoek van de niet lineaire effekten in de hydrodynamische filmsmering, zoals de effekten van turbulentie en traagheid, is een tweede aspekt in de verruiming van de begripsvorming. Dit gedeelte van het onderzoek is in het afgelopen decennium goed op gang gekomen. Het bestaan van niet lineaire effekten is weliswaar al langer bekend, maar tot nu toe bestonden er nauwelijks methoden om deze effekten daadwerkelijk in de berekeningen te betrekken. De verschuivingen die zich in de

praktische toepassingen hebben voorgedaan, hebben de ontwikkeling van een betere theorievorming op dit gebied gestimuleerd.

Praktische voorbeelden hiervan zijn het toepassen van smeer-middelen met een lage viskositeit en een hoge dichtheid, en het vergroten van de glijsnelheden in glijlagers.

Een gevolg van deze ontwikkelingen is onder andere het

toepasbaar worden van de filmsmeringstheorie voor de berekening van afwijkende smeringsgeometrieen. De niet lineaire effekten spelen namelijk vaak een rol bij de toepassing van de hydro-dynamische filmsmering op andere dan de bekende lagerelementen. Een typisch voorbeeld hiervan is te vinden op het gebied van de aandrijvingen, in het bijzonder bij tandwieloverbrengingen. Bij de gebruikelijke toepassingen van tandwieloverbrengingen zal de smering, gezien de optredende belastingen en de tand-geometrieen, in het algemeen een elastohydrodynamische (EHD) smering zijn. Tandwieloverbrengingen kunnen echter ook met

succes toegepast worden als roterende verdringermachines, hetzij als pomp, hetzij als kompressor, Bij dergelijke toepassingen zijn de optredende belastingen op de tanden in enkele gevallen zo

laag, dat er geenEHD-smering maar een hydrodynamische smering plaatsvindt. Een voorbeeld hiervan is te vinden bij de over-brengingen met kruisende assen, met name de wormoverover-brengingen. Van de verschillende typen van wormoverbrengingen is de globorde wormoverbrenging een zeer geschikt type om toegepast te worden ala verdringermachine. 'Zie bijvoorbeeld afbeelding 1.1 voor de praktische toepassing hiervan. Bij de toepassing als verdringer-machine krijgen de tanden van het wormwiel de taak om als

verdringerelement te fungeren. De speling tussen de tanden en de wormgroeven dient dan voldoende klein te zijn om het lek-verlies zo gering mogelijk te houden. Er mag overigens geen metallisch kontakt optreden omdat, gezien de hoge glijsnelheden bij de toepassing ala kompressor, er in dat geval ontoelaatbare hoge slijtage ontstaat. De smering van de ingrijpende tanden moet derhalve onder alle omstandigheden goed funktioneren om deze slijtage zo gering mogelijk te houden. De smering heeft in dit geval naast het gebruikelijke tweeledige karakter, te weten het scheiden en het verbinden van de twee lagervlakken, nog een derde funktie gekregen, namelijk het afdichten van de afgesloten groeven in de globorde worm, zie afb. 1.1.

De goede werking van de hydrodynamische filmsmering wordt voor een belangrijk gedeelte bepaald.door de smeringsgeometrie. Bij glijlagers kan en wordt deze geometrie zo optimaal mogelijk gemaakt. Bij de globorde worm wordt door de algemene geometrie van de worm al in hoge mate de smeringsgeometrie van de tanden vastgelegd. Deze smeringsgeometrie wijkt nogal af van de

gebruikelijke optimale glijlagergeometrie. Bovendien zijn de smeringsomstandigheden, zoals bijvoorbeeld de invloed van de

kompressiedruk van het gas, eveneens afwijkend van de gebruikelijke smeringsomstandigheden. Dit heeft dan tot gevolg dat de

voor-noemde niet lineaire effekten in de hydrodynamische filmsmering een rol gaan spelen bij de smering van de tanden in de globorde wormkompressor. Bij het toepassen van olie als smeermiddel zal dan het traagheidseffekt een rol gaan spelen, terwijl bij gas-smering naast het traagheidseffekt ook de turbulentie een rol zal spelen.

'

....

~. Afb · 1 • 1 dynamische De hydro. van de .. filmsmerlng globoide n in een tande ressor. wormkomp

Het onderzoek van de hydrodynamische smering van de tanden in een globo1de wormkompressor met olie als smeermiddel is het onderwerp van dit proefschrift. In dit onderzoek speelt zowel de smering per tandflank als de kombinatie van de smering van alle ingrijpende tandflanken een rol. De kombinatie van de

smering van de tandflanken bepaalt uiteindelijk het totale gedrag van de smering. In de modelvorming van de globo1de wormkompressor spelen de afzonderlijke smeringsgeometrieeneen belangrijke rol. Een tweede aspekt van de modelvorming is het dynamische gedrag van het systeem bestaande uit worm, smeerfilm en wormwiel. De filmsmering be1nvloedt niet alleen het specifieke gedrag van dit systeem, maar het systeem zelf heeft weer invloed op de film-smering. Alhoewel dit gedeelte van de modelvorming nog niet is afgerond, zijn toch enkele aspekten hiervan in het proefschrift opgenomen.

Gezien de omvang en de komplexiteit van de hydrodynamische filmsmering van de tanden in een globorde wormkompressor kan dit onderzoek met dit proefschrift niet als afgesloten worden

beschouwd. Er is echter een basis gelegd waarmee uiteindelijk ontwerpregels voor het voorspelbaar funktioneren van deze film-smering geformuleerd kunnen worden.

Samenvatting.

Het onderzoek van de hydrodynamische filmsmering van de tanden in een globoide wormkompressor is het onderwerp van dit proefschrift. De filmsmering in deze kompressor wijkt op een aantal punten af van de gebruikelijke hydrodynamische

film-smering zoals die in het algemeen bij glijlagers voorkomt. Deze afwijkingen zijn enerzijds gelegen in de smeringsgeometrie en anderzijds in de smeringsomstandigheden.

Ten aanzien van de smeringsgeometrie betreft de afwijking vooral de grootte van de wighoeken en de wiglengte. De wighoeken en da~rmee de spleetverhoudingen zijn veel groter dan de optimale waarden die bij glijlagers voorkomen. Bovendien is de verhouding van de wiglengte ten opzichte van de minimale spleethoogte veel kleiner dan gebruikelijk is. Deze vorm van de smeringsspleet wordt in feite bepaald door de algemene geometrie van de globoide worm.

De afwijkingen in de smeringsomstandigheden ontstaan omdat de smeringsspleet deel uitmaakt van het afdichtingsvlak tussen de hoge- en lage-drukzijde van het gekomprimeerde gas in de

kompressor. Hierdoor ontstaat er een extra drukval over de

smeringsspleet. Daarnaast speelt de optredende hoge glijsnelheid een grote rol. Hierdoor blijft de smering in grote mate

hydrodynamisch, ondanks de statische komponent tengevolge van de drukval. In de hydrodynamische filmsmering van de tanden in een globoide wormkompressor spelen door deze invloeden naast de viskeuze effekten ook de traagheidseffekten een belangrijke rol. Het onderzoek van deze vorm van de hydrodynamische film-smering onder deze omstandigheden is een van de doelen van dit proefschrift~

Een tweede aspekt van de hydrodynamische filmsmering van de tanden in een globoide wormkompressor is de variatie van de smeringsgeometrie en de variatie in de smeringsomstandigheden van een tandflank. Een van de eigenschappen van de globoide worm is delokale variatie van de geometrie van de wormgangflank als funktie van de rotatiehoek en ala funktie van de radius. Dit heeft tot gevolg dat ook de smeringsgeometrie varieert, bovendien zijn in het algemeen de smeringsgeometrieen van de

afzonderlijke tandflanken niet identiek. De variatie in de

smeringsomstandigheden is een gevolg van de verschillende stadia van kompressie waarin het gas zich bevindt bij elke ingrijpende tand. Er bestaat derhalve een grote variatie in de optredende smeringsgeometrieen en smeringsomstandigheden in de globo1de wormkompressor. Deze invloeden worden ook in het model van de filmsmering in de globo1de wormkompressor opgenomen.

Een volgend aspekt in de hydrodynamische filmsmering betreft de samenwerking tussen de ingrijpende tandflanken, respektievelijk de ingrijpende tanden. Elke tand-wormgroef kombinatie is in feite een dubbelfilmlager: de tand wordt door twee smeringsvlakken

1_{voorgespannen1 , zie afb.1.1 .• Bovendien grijpen er steeds} meerdere tanden gelijktijdig in. De kombinatie van de

verschillende dubbelfilmlagers zorgt er voor dat de tanden een bepaalde positie innemen in de beschikbare spelingen tussen de tanden en de wormgroeven. Deze positie wordt bepaald door de bijbehorende (momentane) smeringsgeometrieen en

smerings-omstandigheden. Daar zowel de omstandigheden ala de geometrieen zich wijzigen bij de rotatie van het wormwiel, zal ook de positie die de tanden in de groeven innemen zich wijzigen bij rotatie. Gedurende een omwenteling van het wormwiel zullen er zich echter meerdere malen identieke situaties voordoen ten aanzien van de smeringsgeometrieen en smeringsomstandigheden, deze verlopen namelijk cyclisch. Hierdoor zal het verloop van de positie van de tanden binnen de spelingen tussen de tanden en de wormgroeven, het verloop van de zogenaamde scheefstandhoek, ook een cyclisch karakter vertonen.

Het bepalen van het theoretische verloop van de positie van de tanden in de spelingen als funktie van de diverse parameters was het tweede doel van dit onderzoek.

Een laatste aspekt van dit onderzoek is het dynamische gedrag van het systeem. Gezien het periodische karakter van het verloop van de scheefstandhoek en de kompressie van het gas, zijn er tenminste twee excitatiebronnen in het kinematische model aan te wijzen. Als gevolg van de invloed van deze bronnen kunnen de tanden in de filmsmering in resonantie komen. Afhankelijk van de demping in het systeem kan dan metallisch kontakt ontstaan

tussen de tanden en de wormgroeven. Het spreekt voor zich dat dergelijke siuaties voorkomen dienen te worden. Het kinematische model bestaat uit de massatraagheden van de worm en het wormwiel en de veerstijfheid van de filmsmering. Het blijkt echter dat de veerstijfheid noch konstant, noch lineair is. Hierdoor wordt dit specifieke onderdeel van het onderzoek zeer komplex. Binnen het kader van het onderzoek van de hydrodynamische filmsmering van de tanden in de globotde wormkompressor werd dit onderdeel slechts op enkele punten uitgewerkt. Gelet op het belang van dit onderdeel zijn toch enkele aspekten hiervan in het proefschrift opgenomen.

Dit onderzoek heeft ten doel om de processen die zich in de hydrodynamische filmsmering in de globoYde wormkompressor afspelen te analyseren. Daarna kan eventueel aangegeven worden in welke richting bepaalde verbeteringen en/of optimalisaties gezocht kunnen worden.

Samenvattend is het proefschrift ala volgt ingedeeld: - De geometrie van de globotde worm.

Voordat de geometrie van de filmsmering geanalyseerd kan

worden, is het noodzakelijk om enkele aspekten van de algemene geometrie van de globotde worm te onderzoeken. In dit gedeelte wordt daarom een van de eerste en meest gebruikte geometrieen geanalyseerd.

- De geometrie van de filmsmering.

Met de kennis van de algemene geometrie van de globotde worm kan de specifieke geometrie van de filmsmering geanalyseerd worden. In dit gedeelte wordt tevens nader ingegaan op de algemene theorie van de hydrodynamische filmsmering en het effekt van de afwijkende geometrie op deze filmsmering. - De traagheidseffekten in de hydrodynami~che filmsmering.

In dit gedeelte wordt de theorie voor de hydrodynamische film-smering inklusief de traagheidseffekten afgeleid. Bovendien wordt de toegepaste numerieke berekeningsmethode voor deze

f~lmsmering beschreven. Tevens wordt er nader ingegaan op de algemene invloed van de traagheidseffekten op de filmsmering.

Het experimentele drukverloop bij oneindig brede wiggen. Voor de wiggen met relatief grote wighoeken. zoals die voor-komen in de globoide wormkompressor, bestaan geen experimentele gegevens voor het drukverloop onder de wig en voor de

resulterende draagkracht. Het is echter voor de toetsing van de theorie noodzakelijk om over enige experimentele gegevens te beschikken. In dit gedeelte wordt de proefopstelling voor het bepalen van het experimentele drukverloop beschreven. Vervolgens worden de resultaten van de experimenten

ge-analyseerd. Tenslotte wordt de mate van overeenstemming tussen de theorie en de testresultaten vastgesteld.

- Het theoretische verloop van de tandposities.

De numerieke berekeningsmethode voor het bepalen van het theoretische verloop van de positie van de tanden in de worm-groeven wordt in dit gedeelte beschreven. Vervolgens worden de belangrijkste resultaten van de uitgevoerde berekeningen geanalyseerd.

- De slotbeschouwingen.

In dit gedeelte wordt ingegaan op enkele aspekten van het dynamische gedrag van het systeem. Bovendien worden in dit hoofdstuk de eindkonklusies geformuleerd.

3. De geometrie van de globo1de worm.

3.1 Inleiding.

We kunnen tandwieloverbrengingen op een aantal kenmerken onderverdelen.Een van deze kenmerken is de onderlinge stand van de assen in de ruimte; de bijbehorende grondlichamen worden hierdoor al vastgelegd, zie afb. 3.1. We onderscheiden de volgende standen van de assen:

Evenwijdige assen Snijdende ass.en Kruisende assen

De grondlichamen zijn cilinders. De grondlichamen zijn kegels. De grondlichamen zijn omwentelings-hyperbolo1den.

'Evenwijdige assen. Snijdende assen. Kruisende assen.

Afb. 3.1 De onderlinge stand van de assen bij overbrengingen en de bijbehorende grondlichamen.

We zullen nader ingaan op de overbrengingen met kruisende assen en wel in het bijzonder op de wormoverbrengingen. In het algemeen worden elkaar loodrecht kruisende assen

toe-gep~st bij een wormoverbrenging. Men kan dan voor een van de

dan een globoide zijn. De gebruikelijke hedendaagse uitvoerings-vorm is een cilindrische worm en een globoide wormwiel. In het verleden werd de kombinatie van een globo1de worm met een cilindrisch wormwiel toegepast bij zwaarbelaste overbrengingen. In het volgende hoofdstuk zullen we nagaan wat onder een

globo1de en een globoide schroefgang verstaan moet worden. 3.2 De globoiden.

Een van de eerste afbeeldingen van een globo1de en een globoide schroefgang zijn al te vinden in het werk van

Leonardo da Vinci (1965) )1 , zie afb.3.2. Een analyse van de diverse vormen van globo1den is terug te vinden in het werk van

Afb. 3.2 De globoide wormoverbrenging van

Leonardo da Vinci.

Reuleaux (1882), die een belang-rijke bijdrage heeft geleverd aan de theorie van de leer der tand-wielen. Een uitgebreidere en wat konstruktievere beschouwing over globo1de wormoverbrengingen is te vinden in het werk van

Moog (1911). In het werk van Moog wordt met name nader ingegaan op de ingrijping van de tanden in een globoide wormoverbrenging.

We zullen nu een gedeelte van de beschrijvingen van de globoiden en de globoide schroefgangen uit het werk van Reuleuax (1882) volgen.

We beschouwen de twee zich kruisende assen, de hoofdas M-M en de hulpas L-L, in de afbeelding 3.3. Op een cirkel met de straal r bevindt zich het punt P. De cirkel staat loodrecht op de hulpas L-L; de hulpas is de rotatieas van de cirkel. Nu laten we de hulpas om de hoofdas roteren, terwijl het punt P tegelijkertijd om de hulpas roteert met een hoeksnelheid die proportioneel is

met de hoeksnelheid van de hoofd-as. Er worden door het punt P schroeflijnen beschreven die liggen op een omwentelingslichaam. Dit omwentelingslichaam heeft in sommige gevallen verwantschap met een bol. Dat is de reden waarom Reuleaux (1882) de naam globorden aan dergelijke

omwentelings-l

lichamen heeft gegeven.

L

I

I

~r+~r

_L--f-.

i. •

.!

Afb. 3.3 Het meetkundige

systeem voor het ontwikkelen van de globorden en de globorde schroef-lijnen.

Het gehele systeem wordt door vier parameters bepaald. Dat zijn achtereenvolgens:

- De afstand a, dat is de loodlijn tussen de assen M-M en

1-L.

- De afstand e, dat is de loodlijn tussen het draaiingsmiddelpunt van de cirkel in punt C en het vlak dat opgespannen wordt door de hoofdas M-M en de loodlijn tussen beide assen.

- De hoek a, dat is de scheef-standshoek tussen de hoofdas M-M en het vlak waarin het punt P roteert.

- De straal r.

De scheefstandshoek

a

kan gekozen worden tussen 0° en 90° , zonder dat er herhalingen optreden. De schroeflijn wordt een rechte globorde schroeflijn genoemd als de scheefstandshoek

a

gelijk is aan nul; als deze hoek ongelijk aan nul is dan ontstaat een scheve globorde schroeflijn.

Er kunnen nu vier groepen in de globorden en de bijbehorende globorde schroeflijnen onderscheiden worden en wel:

Groep I a = 0 e = 0 Groep II a = 0 e

>

0 groep III a

>

0

>

M

,M

i

Afb. 3.4 Een voorbeeld van een globorde uit groep I.

~

Type III: a.=O : a>r : e=O Afb. 3.5 Een voorbeeld van

een globorde uit groep III.

r a M

I

M

Type IV: a.=O ; o>r; e>o

Afb. 3.6 Een voorbeeld van een globorde uit groep IV.

Als in groep I de scheefstands-hoek gelijk aan nul gekozen wordt, dan ontstaat er een bol (globorde); op het boloppervlak wordt dan de globorde schroeflijn afgebeeld, zie arb. 3.4. Elke groep van de globorden vertegenwoordigt een heel scala van interessante geometrische konfiguraties, we zullen ons beperken tot de

praktische uitvoeringen die vooral in de groepen III en IV te vinden zijn.

Onze interesse richt zich in de groep III vooral op het geval dat de hoek a. gelijk aan nul is en dat a groter is dan r. Er ontstaat dan een ring met een

cirkel-vormige doorsnede, dat is de rechte globolde ring, zie afb. 3.5.

Een tweede voorbeeld is te vinden in de vierde groep, waarbij ook weer geldt dat de hoek a. gelijk is aan nul en dat a groter is dan r, zie afb. 3.6. In afbeelding 3.5 herkennen we al duidelijk de door-sneden van de grondlichamen van een wormoverbrenging: een cirkel-vormige dwarsdoorsnede en de langsdoorsnede van een globorde kern. De cirkelvormige doorsnede kan zelf weer de dwarsdoorsnede van een cilinder of de dwarsdoor-snede door de keel van een

globolde kern zijn. Merk op dat het eerste voorbeeld in afb. 3.5 in feite een bijzonder geval,

respektievelijk een overgangsvorm van het tweede voorbeeld in afb. 3.6 is. In het tweede voorbeeld liggen de cirkelvormige doorsneden hoven of onder het vlak van de doorsnede door de globoide ring (het vlak van de afbeelding).

We komen hiermee op de drie mogelijke typen van de wormover-brengingen, deze zijn:

Type A De worm is een cilinder, het wormwiel is een globoide. Type B De worm is een globoJ:de, het wormwiel is een cilinder. Type

c

De worm is een globoJ:de, het wormwiel is een globoide.

Type A. Type B.

Type A: Worm: Cilinder Wiel: Globoide Type B: Worm: GloboJ:de Wiel: Cilinder Type C: Worm: Globoide Wiel: Globoide

Type C.

Afb. 3.7 De uitvoeringsvormen van de grondlichamen van de wormoverbrengingen.

Er ontstaat bij de wormoverbrengingen van het type A en B een lijnkontakt tussen de beide grondlichamen. Bij de wormover-brenging van het type C ontstaan er afhankelijk van de diverse afmetingen verschillende kombinaties van lijnkontakten tussen de grondlichamen. We kunnen opmerken dat de axiale positie van het wormwiel bij het type A of de axiale positie van de worm bij het type B kritisch is. Bij de wormoverbrengingen van het type C zijn zowel de axiale positie van de worm als de axiale positie van het wormwiel kritisch. Dergelijke worm-overbrengingen zijn daarom zeer moeilijk te fabriceren in

verband met de vereiste nauwkeurigheden. Tach worden deze typen voor speciale toepassingen wel gefabriceerd, bijvoorbeeld de Bostock-Renk globo1de wormoverbrengingen.

Normaal wordt echter het type A in de wormoverbrengingen gebruikt omdat de fabrikage van een cilindrische worm eenvoudiger is dan de fabrikage van een globo1de worm.

Afb. 3.8 De globo1de worm-overbrenging van Hawkins.

Toch uerd het type B ook gebruikt, bijvoorbeeld de wormoverbrenging van Hawkins en later ook de Hindley- en Lorentz wormover-brengingen. De keuze van het type B werd vooral ingegeven door het feit dat het tandprofiel

willekeurig gekozen kan worden, een profiel met rechte tandflanken verdient dan de voorkeur.

We zullen de doorsnede in het centrale vlak van een dergelijke wormoverbrenging nader beschouwen, zie afb. 3.8. We zien dat in het centrale vlak van de worm het wormwiel over een grate hoek wordt omsloten, tevens sluiten de tandprofielen van de worm volledig aan op die van het wormwiel. Langs de tanden bestaat in dit vlak lijnkontakt. Bij rotatie van de assen treedt er zuivere schroeving op, dit is een voorbeeld van een eindloze schroef. Omdat er in het centrale

vlak geen glijding optreedt, zoals bijvoorbeeld het geval is bij twee samenwerkende tandwielen, kunnen we het tandprofiel in dit vlak willekeurig kiezen. In praktische gevallen wordt daarom evenals bij een schroefprofiel bij voorkeur een profiel met rechte flanken gekozen. Het voordeel van de rechte flanken weegt dan op tegen de moeilijke fabrikage van de globo1de worm. In de vlakken die parallel liggen aan het centrale vlak is de situatie echter anders: hier zal niet op alle plaatsen volledig lijnkontakt tussen de tanden bestaan, zie hiervoor Moog (1911).

·~

\

-)

/

Afb. 3.9.De mogelijke uitvoeringsvorm van een globo1de verdringermachine.

Het feit dat er in het centrale vlak een volledig lijnkontakt tussen de tanden bestaat, maakt deze konfiguratie ook geschikt als roterende verdringermachine, zie afb. 3.9. Door het

volledige lijnkontakt wordt de groef in de worm in het centrale vlak volledig afgesloten door de tanden van het wormwiel. Als de buitenomtrek van de worm cilindrisch wordt uitgevoerd, dan kan de worm in een omhullend huis opgesloten worden. Elke

ingrijpende tand van het wormwiel sluit dan samen met het omhullende huis om de worm een bepaald volume van de groef af. Bij rotatie ontstaat dan aan de ene zijde van de tand een volumeverkleining, aan de andere zijde ontstaat een

volume-vergroting. Door een geachikte keuze van de inlaat- en uitlaat-poorten kan op deze manier een verdringermachine ontstaan. Het toepassen van twee of meerdere wormwielen vergroot het slag-volume per omwenteling. Toepassingen van deze verdringermachines zijn de globo1de wormpompen van Pekrun en de globo1de worm-kompressoren van Peugeot (lucht) en de worm-kompressoren van Grasso (koelmiddelen), zie afb. 3.10.

Afb. 3.10 De globo1de worm toegepast ala kompreasor.

Een probleem bij deze vorm van de globo1de wormoverbrenging is het niet zelfloaaend zijn van het wormwiel: het wiel kan niet zondermeer gemonteerd of gedemonteerd worden omdat de worm het wiel gedeeltelijk omsluit. Een mogelijke oplossing is gelegen in de deling van ,het wormwiel. Een betere oplosaing is

gepatendeerd door de Fransman Zimmern: door voor de diverse afmetingen van de worm en het wormwiel bepaalde verhoudingen te kiezen, kan het wormwiel door middel van een soort inschroef-beweging in.de worm gemonteerd worden.

Omdat de tanden in het centrale vlak lijnkonkontakt maken, is het noodzakelijk dat er een kleine gesmeerde spleet tussen de tanden wordt toegepast. De slijtage zou anders ontoelaatbaar

groot worden, evenals de optredende wr~JV~ng. Deze spleet moet echter vanwege het optredende lekverlies langs de tanden zo klein mogelijk gemaakt worden. Het profiel van de tanden in het vlak dat loodrecht op het centrale vlak staat, moet een zodanige vorm bezitten dat er ook hydrodynamische smering kan ontstaan. In dat vlak treedt immers de relatieve glijbeweging op.

Een laatste opmerking kunnen we nog maken over de globoide ring met het verplaatste centrale vlak, zie afb. 3.6. Het voorafgaande is ook van toepassing voor deze vorm, indien we het verplaatste centrale vlak als referentievlak beschouwen. Het doorsnijdings-vlak van de worm ligt dan onder of boven het centrale doorsnijdings-vlak, beide vlakken lopen parallel.

3.3 De analyse van de geometrie van de globoide worm.

De geometrie van een globoide worm van het type IV, waarbij geldt dat a>O, e>O en a=O in afb. 3.6, zal in dit hoofdstuk geanalyseerd worden. We zullen niet alle aspekten van de

geometrie behandelen, doch slechts die aspekten die van direkt belang zijn voor de kontaktgeometrie. Konkreet wil dat zeggen dat we vooral geinteresseerd zijn in de geometrie van de worm-gangvlakken. De analyse zal verder beperkt worden tot de

geometrie van een globoide worm, waarvan het tandprofiel recht en parallel is in het (verplaatste) centrale vlak.

Beschouw het vaste orthonormale assenstelsel (X,Y,Z); de as van de globoide worm valt samen met deY-as, zie afb. 3.11. De Y-as valt dus samen met de oorspronkelijke rotatieas M-M in afb. 3.4. Een cirkel met straal e is gelegen in het X-0-Z vlak en geeft de verplaatsing van het centrale wormwielvlak ten opzichte van het normale doorsnijdingsvlak van de worm aan. Het vlak

n

is het normale wormwielvlak, respektievelijk het centrale vlak, en wordt opgespannen door een orthonormaal assenstelsel metal~ basis (u,v,w).

In deze beschrijving loopt de u-as altijd parallel aan de Y-as; valt de v-as langs de tangent aan de cirkel e in het X-0-Z vlak en staat de w-as loodrecht op beide assen en is daarom gelegen in het X-0-Z vlak.

X

I

I

v

z

Afb. 3.11 Het meetkundige model voor de analyse van de globorde wormgangvlakken.

De rotatieas van het wormwiel komt overeen met de w-as, de rotatieas van de worm komt overeen met de Y-as. In het normale wormwielvlak

n

zijn de twee beschrijvenden van het tandprofiel gelegen: de lijnen V en A zijn recht en verlopen parallel aan de voerstraal

£·

De letters V en A staan respektievelijk voor Voorloopzijde en Achterloopzijde; ze duiden hiermee de

De globolde wormgangvlakken worden gegenereerd door de

gelijktijdige rotatie van het vlak ~ om de cirkel met straal e, met de Y-as als rotatieas, en de rotatie van de lijnen V en A, gelegen in het vlak ~. om de rotatieas w. De rotaties zijn ge-koppeld en wel volgens een proportionele relatie:

1P

=

k8 (3 .1 )

We zullen nader ingaan op de beschrijving van de door de lijnen V en A gegenereerde wormgangvlakken. Hierbij zullen we gebruik maken van de Differentiaal Meetkunde. Zonder verdere referenties zullen de stellingen en definities over dit onderwerp geput worden uit het werk van Lipschutz (1969) en uit het werk van van der Meiden (1980).

3.3.1 De vektorvoorstelling van het gegenereerde oppervlak. De positie van het punt C in het (X,Y,Z) stelsel wordt ge-geven door de vektor ~· zie afb. 3.11:

(3 .2)

In het vlak ~ liggen de beschrijvenden: de rechte lijnen V en A. Een parametervoorstelling van deze lijnen in het (u,v,w) stelsel wordt gegeven door:

~(u,v,w)

= (rcos8+bsin8) rsin8±bcos8

. 0

(3 .3)

N.B. Het bovenste teken (+ of -) in de term ± en + duidt op de voorloopzijde V; het onderste teken (- of +) duidt op de achterloopzijde A. Deze notatie zal in dit proefschrift zonder verdere referentie aangehouden worden.

De transformatie van het (u,v,w) stelsel naar het (X,Y,Z) stelsel geschiedt met behulp van de transformatiematrix T, die

als volgt gedefinieerd wordt: ~(X,Y,Z)

=

~·~{u,v,w)

De transformatiematrix Tis alsvolgt te formuleren: = T -COS\j) 0 -sinq> (3 ·4) (3. 5)

Een parametervoorstelling van de beschrijvende lijnen V en A in het (X,Y,Z) stelsel wordt dan als volgt genoteerd:

(3 .6)

Een parametervoorstelling in R3 (X,Y,Z) van de door de lijnen V en A gegenereerde oppervlakken is hiermee te schrijven als:

(

x(r,8)) = ( (a-rsin8+bcos8)cosk8+esink8)

y(r,8) rcos8+bsin8

z(r,e) (a-rsin8+bcos8)sink8-ecosk8

(3. 7)

Door de vergelijking (3.7) worden beide gegenereerde globolde wormgangvlakken beschreven, met behulp van deze vergelijking kunnen we de specifieke eigenschappen van de oppervlakken analyseren. De lokale geometrische eigenschappen zijn te analyseren door het aanbrengen van het raakvlak aan,

respektievelijk de normaal op een punt P(r,e) op het oppervlak. Het is echter ook mogelijk dat we een van de parameters van de vergelijking (3.7) konstant houden, bijvoorbeeld r, om daarna de ruimtelijke kromme ~(X{8),Y(8),Z(8)) op het oppervlak te

bestuderen. De normaal op het oppervlak in het punt P(r,e) bevat echter een scala van elementen. waarmee de aard van het oppervlak beschreven wordt, zoals we later zullen zien.

Uit de vergelijking van de normaal op het oppervlak kunnen we de specifieke lokale eigenschappe~ zoals de lokale spoedhoek, de lokale krommingsstralen en de vorm van het oppervlak rond een punt bepalen.

3.3.2 De normaal op het gegenereerde oppervlak.

We introduceren de twee raakvektoren aan het oppervlak in een punt P(r,O). Dat zijn de twee partiele afgeleiden:

a2£

_{(ax ay}

~r

X

-r ar

ar or

ar

(3 .8)

ax

(ax a,

_~r

2£e

_ae

_{ae ae ae}

(3. 9)

Hiermee zijn de coefficienten van de eerste fundamentaalvorm te schrijven als: E "' (x .x ) _{- r - r} F (3.10) (3.11} {3.12) De eerste of metrische fundamentaalvorm kan geschreven worden als:

I(dr,d8)

In ons geval krijgen we de volgende uitdrukkingen:

X - r ( -sin8cosk8 ) cose -sin8sinke ( -k{a-rsin8+bcos9)sink8+(ek-rcos8+bsin8)cosk8) -rsin8+bcos8 k(a-rsin8+bcos8)cosk8+(ek-rcos8+bsin8)sink8 En hiermee worden: E (3.13) (3.14) {3.15) {3.16)

F -eksin9+b (3.17)

G (3.18)

De normaal op het oppervlak van de globoide wormgang in een punt P(r,e) is gedefinieerd als:

We introduceren de volgende termen: p a-rsine+bcose

q = r-ekcose

Hieruit volgt dat we in ons geval voor de normaal op het oppervlak in een punt P(r,e) kunnen schrijven:

1 Opmerkingen: ( pkcosecosk9-qsinke) pksine pkcos6sink9+qcosk8 (3.19) (3 .20) (3.21) (3 .22)

- De patiele afgeleiden ~r en ~e stellen in feite twee raak-vektoren aan het oppervlak in het punt P(r,e) voor. Door deze twee vektoren wordt tevens het raakvlak op het desbetreffende punt opgespannen.

- Een eenheidsvektor

!

gelegen langs de lijnen V of A is te schrijven in de volgende vorm:

i (

-sinecoske ) cose

-sinecoske

de raakvektor ~r· Omdat de normaal

!

loodrecht staat op beide raakvektoren en omdat een van de raakvektoren langs de lijn V of A valt, zal de normaal

!

gelegen zijn in een vlak dat loodrecht op de lijnen V en A staat. Het desbetreffende vlak staat dan ook loodrecht op het centrale vlak n ; dit is dan het het normaalvlak van de tand, zie afbeelding 3.12.

- De tweede raakvektor ~e hoeft echter niet noodzakelijkerwijs in het normaalvlak van de tand te • In het raakvlak aan het punt P(r,e) is de hoek

p

tussen beide raakvektoren te schrijven als:

cosJj =

-~~rll ~el

(3 .23)

In ons geval zal in het algemeen F ongelijk aan nul zijn (wegens e<<b). Derhalve staan de beide raakvektoren niet lood-recht op elkaar en vorme_n zij geen zogenaamd orthogonaal net-werk op het gegenereerde oppervlak. Hiermee is dan tevens ver-klaart waarom de raakvektor ~

₉

niet in het normaalvlak van de tand gelegen is.

!.

3.3.3 De lokale spoedhoek.

Beschouw een recht schroefvlak langs een cilinder met als grondvlak het x-0-y vlak en de schroeving in de richting van de z-as, zie afbeelding 3.13.

z

X

Afb. 3.13 Het rechte schroefvlak.

De basis voor zo1_{n stelsel is}

bij-voorbeeld (e ,e ,e ), de normaal _{.,..x -y -z} op dit schroefvlak wordt gegeven door

li·

De spoedhoek van dit rechte schroefvlak kan als volgt gedefinieerd worden:

COS'V = (N.e ) ' - -z

hoek is dan niet globaal maar

Dit is in feite een uitbreiding van de definitie van de spoedhoek van een schroeflijn op een

cilinderoppervlak. In ons geval hebben we geen recht- maar een globorde schroefvlak, de spoed-wel lokaal te definieren. De definitie van de lokale spoedhoek is ook anders te formuleren en wel als volgt: het komplement van de (lokale) spoedhoek is de hoek tussen de normaal

li

op het oppervlak en een eenheids-vektor die loodrecht op de draaiingsas staat. De w-as staat in ons geval loodrecht op de draaiingsas, dat de Y-as; noem de eenheidsvektor langs de w-as e • We definieren: · _-w

e

-w _{= (}

-s~nk8)

cosk8

(3. 24)

Het komplement van de spoedhoek is als volgt te formuleren: cos

(90°-Y)

=

(N.e ) _{- -w}

Uitgewerkt krijgen we dan de volgende uitdrukking:

' 0

cos(90

-y)

q

(3.26)

We introduceren nu de overbrengingsverhouding 1, deze is als volgt gedefinieerd:

e

i = - (3.27)

~ k

Voor de lokale spoedhoek op de globo1de wormgangvlakken kunnen we dan schrijven: tany v,a ir-ecose a-rsin8+bcos8 Opmerkingen. (3.28)

- De hierboven geformuleerde spoedhoeken liggen in het normaal-vlak van de tand, want zowel de normaalvektor N als de een-heidsvektor e liggen in dat vlak.

-w

We merken op dat de lokale spoedhoek niet konstant is, doch eenfunktievan de parameters rene. Een gevolg hiervan is dat er in het verloop van de spoedhoek als funktie van de beide parameters extreme waarden (maxima en minima) te ver-wachten zijn.

De lokale spoedhoek is tevens een funktie van de verplaatsing e van het centrale wormwielvlak uit het normale doorsnijdings-vlak van de worm.

Het onderzoek van de omgeving van een punt op het oppervlak.

De drie vektoren ~r' ~e en

!

vormen samen een (niet nood-zakelijke orthonormale) basis. We kunnen deze vektoren verder differentieren en kunnen daarna met de aldus ontstane

differen-tiaalquotienten de tweede fundamentaalvorm definieren. We introduceren de volgende hogere differentiaalquotienten:

X

-rr

axae

(3. 29)

De coefficienten van de tweede fundamentaalvorm zijn hiermee te schrijven als:

L (x _{-rr -}

.N)

(.3.30)

(3.31)

(3. 32) De tweede fundamentaalvorm is te schrijven als:

I I (3. 33)

Als we de bovenstaande uitdrukkingen uitwerken dan krijgen we in ons geval: ( ksin9sink8-cos8coske ) -sine -ksin8cosk8-cos8sink8 (3.34) (3.35) ( -k2pcosk9-(ek-2rcose+2bsin8)ksinke+(rsin8±bcose)coske) -rcose±bsine -k2psinke+(ek-2rcose+2bsine)kcosk8+(rsin8±bcose)sinke ... (3. 36)

De coefficienten van de tweede fundamentaalvorm zijn uit-eindelijk te schrijven als:

M -k(a+bcos8-ekcos8sin8) Jl·k2+q2 (3.38) N

=

k[±bp-p2k2cos8+(ek-2rcos8±2bsin8)q] Jp2k2+q2 (3 .39)

De aard van het oppervlak rond het punt P(r,8) volgt uit de waarde van de discriminant van de zogenaamde osculatiepara-bolorde op het punt P. De osculatieparabololde is de funktie:

6 = ~II

Er zijn vier gevallen voor de aard van het oppervlak rond het punt P(r,8) en de bijbehorende waarde van de discriminant te onderscheiden: Elliptisch punt - Hyperbolisch punt - Parabolisch punt Planair punt LN-M2

>o

LN-M2<o LN-M2=0 en

L

2

+M

2

+N

2

~o

L=M=N=O

We zullen hier niet verder ingaan op al deze gevallen. Afbeelding 3.14 geeft (globaal) nadere informatie over de eerste drie van deze gevallen.

In ons geval hebben we duidelijk te maken met een hyperbolisch punt, respektievelijk hyperbolische punten, daar in ons geval

1 gelijk aan nul is voor het gehele oppervlak. In het algemeen is het tevens denkbaar dat er op een bepaalde plaats op het oppervlak een parabolisch punt in plaats van een hyperbolisch punt is aan te wijzen, immers ook M kan gelijk aan nul worden en wel als:

a+bcos8-eksin8cos8 = 0

Een.dergelijk punt kan zowel op de voorloopzijde alsop de achterloopzijde optreden, echter op verschillende posities van

Elliptisch punt: LN-M2 0 Hyperbolisch punt: - - - · · LN-M2 0 Parabolisch LN-M2=0 L2+M2+N2iO

Afb. 3.14 Enkele vormen van de aard van het oppervlak.

r en

e.

In praktische gevallen zal echter a veel grater ZlJn dan b en/of e : het gehele oppervlak zal in die gevallen bestaan uit hyperbolische punten.

De vorm van het oppervlak rond een punt P(r,e) wordt be-paald door de richting en de grootte van de kromtestralen v~n de krommen die door het punt P gaan en op h'et gegenereerde oppervlak liggen. We beschouwen de kromme ~(9), dat wil zeggen de kromme volgens vergelijking {3.7) met een vaste waarde voor

de straal r. Deze kromme op bet gegenereerde oppervlak kunnen we met zijn booglengte geparametriseerd denken, dat wil zeggen met de parameter s. De tangentiaalvektor aan deze kromme wordt gedefinieerd door:

De krommingsvektor aan deze kromme wordt door verdere differen-tiatie naar de parameter s verkregen:

k - = - -dt .!e8

ds G

Nu beet de lengte van de krommingsvektor

x=l£1

de kromming en staat de reciproke waarde biervan bekend als de kromtestraal. Door de tangentiaalvektor en de krommingsvektor wordt bet zogenaamde osculatievlak opgespannen. In bet algemeen zal dit osculatievlak niet samenvallen met bet normaalvlak op de tand, dat wil zeggen in bet algemeen ligt de krommingsvektor van de kromme ,!(8) niet in bet normaalvlak. De vektorprojektie van de krommingsvektor

£

van de kromme ,!(8) op de normaalvektor

N

van bet oppervlak wordt de normale krommingsvektor genoemd. Er geldt dan:

Voor de lengte van deze vektor, de normale kromming, en de reciproke normale kromtestraal is te scbrijven:

X _n = 1/p _n (3. 40)

Met bebulp van de vergelijking (3.32) kan biervoor ook ge-scbreven worden:

X = N/G

Als we dit in ons geval verder uitwerken dan krijgen we de volgende uitdrukking:

-k[Gcos8+r2cos8+erk+b(a+rsin8)] aJp2k2+q2

(3.

42)

Uiteraard kunnen we ook een andere kromme nemen door het punt P(r,8) op het oppervlak en wel de naar r geparametriseerde vergelijking

(3.7)

met een vaste waarde voor de hoek

e.

In dat geval gelden de volgende betrekkingen voor de tangentiaalvektor, de krommingsvektor en de normale kromming van de kromme ~(r):

X k = ..=!:. E L E (3.

43)

In ons geval krijgen we volgende uitdrukking voor de normale kromming van de kromme ~(r):

(3.

44)

We merken tenslotte op dat de kromming van de kromme ~(8) zelf een funktie van de parameter 8 is, en dat ook deze normale kromming gelijk aan nul kan worden, respektievelijk van teken kan verwisselen afhankelijk van de waarde van de teller van de vergelijking

(3.42).

De glijsnelheden.

De glijsnelheid kan bepaald worden uit de positie ~(r,8) van het punt P door deze positievektor x naar de tijd te differen-tieren. Konkreet uitgewerkt levert dit de volgende uitdrukking op:

.!

0

~(r,8) = - - + - -a~ dr a~

de

ar

dt

ae

dt

(3.45)

De hoek 8 varieert wel met de tijd als gevolg van de tijds-afhankelijke rotatie. De hoek 8 is met de hoek ~. de rotatie-hoek van het centrale wormwielvlak om de rotatieas van de worm, gekoppeld volgens de relatie (3.1). De tijdsafgeleide van de rotatiehoek ~ noemen we de hoeksnelheid

w

van de worm, er geldt in dat geval:

1 w

e

=-~ =

k k

Met behulp van deze vergelijking kan voor de snelheidsvektor van het punt P(r,e) op het oppervlak geschreven worden:

w

- - X

k

-e

(3.47)

We merken op dat deze snelheidsvektor langs de tangentiaalvektor aan de kromme ~(8) valt en daarom niet in het normaalvlak ligt. De snelheidsvektor y ligt echter wel in het raakvlak in P aan het oppervlak. We gaan de snelheid ontbinden in twee komp6nenten: in een normale komponent (gelegen in het normaalvlak) en in een radiale komponent (vallend langs de lijn

V

of A in het centrals vlak). Omdat x , vergelijking (3.14), een eenheidsvektor is, kan

-r

voor de radiale komponent van y, de dwarsglijsnelheid

V,

ge-schreven worden:

V = (v.x )

v,a - -r (3. 48)

Als we dit uitwerken onder gebruikmaking van de vergelijking (3.27), dan krijgen we de volgende uitdrukking:

V

_v,a

=

w(esin8+ib) (3.49)

Omdat de raakvektor x _-r loodrecht op het normaalvlak staat, kan in het raakvlak de normale komponent U van de snelheidsvektor y gevonden worden uit de volgende betrekking:

. ..; 2 2

Uigewerkt levert ~it in ons geval de volgende vergelijking op:

(3. 51)

Hiermee hebben we in grate lijnen de theoretische achtergrond van enkele geometrische grootheden voor de globorde worm afge-rond. In het volgende hoofdstuk worden enkele van deze groot-heden wat aanschouwelijker gepresenteerd aan de hand van een konkreet voorbeeld.

3.4 Een voorbeeld van de geometrie van een globorde worm.

Tot nu toe werd het definitiegebied van de parameters r en e nag niet vastgelegd. Dit gebeurt al• volgt:

Als geldt dat Dwo gelijk is aan de buitendiameter van de worm en dat Dwi gelijk is aan de buitendiameter van het wormwiel, dan is voor de uitwendige- en inwendige straal van het wormwiel te schrijven:

r

u (3. 52)

(3.53) Hiermee is het definitiegebied voor de straal r en de hoek e te formuleren. Het definitiegebied voor de beide parameters is de verzameling van waarden van de parameters waarvoor de punten op de voorloopzijde V, respektievelijk de achterloopzijde A, zich zowel binnen de omhullende wormcilinder als op het wormwiel bevinden. Konkreet is het definitiegebied voor de straal r als volgt te formuleren: r.+bcos8 1 I 2 2 ----~r~Vr -b u (3.54) sine

Voor de hoek 8 kan het volgende definitiegebied geformuleerd worden:

8 • ~8~8 ml.n max

arcsin(~)+arcsin(:)

=It-arcsin(

ri

\arcsin(~)

Vr

2 +b2

J

r

(3. 55)

Voordat we de diverse geometrische grootheden numeriek zullen presenteren, moeten we eerst nog aandacht besteden aan de spoedhoek y, vergelijking

(3.28).

De lokale spoedhoek is namelijk nog een funktie van de parameters r en 8, dat wil zeggen dat deze vergelijking extremen kan hebben als funktie van deze parameters. We kunnen formeel te werk gaan door het globale maximum en minimum te bepalen uit de differentialen van de spoedhoekfunktie naar zijn parameters. We zijn echter meer geinteresseerd in de extremen van de spoedhoek op een vaste straal r. Gezocht wordt dus naar de extremen in de spoedhoek als funktie van de variabele 8 met de straal r als parameter: extremen in de funktie y(e)r. Uit:

0 r

vinden we een extreem van de lokale spoedhoek y(e)r bij de hoek

8, waarvoor geldt:

8 _ex.

(m)

2)

( -.

bl

· e ae+J.r

arcsin 1- ir +~rctan _ir2 (3. 56)

Het tweede extreem ligt dan op een van de randen van de kromme y(e) • Beide randen (in feite eindpunten op de kromme y(e) )

r r

liggen op de doorsnijdingslijn van het cilinderoppervlak van de worm met het centrale wormwielvlak. Deze rechte lijn (parallel aan de wormas) noemen we voor 8 ~~It de inlooplijn en voor

e

>

~It

de uitlooplijn. Het tweede extreem ligt hiermee hetzij op de inlooplijn, hetzij op de uitlooplijn afhankelijk van het teken van de verplaatsingshoogte e. Dergelijke extremen zijn ook terug te vinden bij de andere geometrische grootheden, hier zullen deze extremen niet nader bepaald worden.

We zullen nu de numerieke presentatie van de diverse geo-metrische grootheden behandelen. Vooraf zijn er nog enige op-merkingen te maken. In het algemeen kunnen de meeste afmetingen van de globoide worm dimensieloos gemaakt worden door deze afmetingen te delen door de wormdiameter. In dat geval kan de numerieke presentatie voor een heel kollektief van hoofdaf-metingen van globo:fde wormen gelden. We beschouwen de volgende groep van dimensieloze afmetingen:

-

_a

-

_r b a/D

= 0.785

WO r/D ; zodat 0.285 ~

r

~0.490 ' wo b/D _{' wo} = 0.148 e = e/D .; zodat 0.012~

e

~0.017 wo

Bovendien veronderstellen we dat de worm zes gangen heeft en dat het wormwiel van elf tanden is voorzien. De overbrengings-verhouding is in dat geval:

1"' 6/11

Met de introduktie van deze grootheden is de funktie van de lokale spoedhoek, vergelijking (3.28), om te werken naar de dimensieloze afmetingen. Uitgewerkt levert dat de volgende vergelijking op:

tan:Yv,a

=

a-rsin8+ficos8 (3. 57)

In afbeelding 3.15 wordt het verloop van de lokale spoedhoek gepresenteerd voor de voorloopzijde, respektievelijk de

achter-15°~----~---~---~---L---~---~ 40

°

60

°

80

°

1 00

°

120

°

140

°

160

°

8

Afb. 3.15 Het verloop van de spoedhoek op de voorloopflank en de achterloopflank van de globoide worm.

loopzijde. Het verloop van de spoedhoek

y(8)r

is als funktie van de hoek 8 met de straal

r

als parameter uitgezet. Door de streep-stippellijn wordt de inloop- en uitlooplijn weergegeven; het maximum van de kromme is bij elke weergegeven waarde van de straal ~ gemarkeerd. Deze aanduidingen zullen bij de volgende afbeeldingen van de geometrische grootheden zo mogelijk aange-houden worden.

Opmerkingen.

- Het verloop van de spoedhoek bij de voorloopzijde verschilt van het verloop bij de achterloopzijde. Dit betreft niet alleen de minimale waarde

y(8) . -

_m1n,r of de maximale waarde

y(8)

_max,r

-doch ook de plaatsen waar de extremen optreden. Tengevolge van de verplaatsing

e

zijn de krommen y(e)~ niet spiegelsym-metrisch tussen voorloopzijde en achterloopzijde.

- Met afnemende radius ~ wordt het verloop van de lokale speed-hoek vlakker. De variatie in de spoedspeed-hoek is op de grootste radius

r

relatief groot.

- De minimale spoedhoeken treden steeds op bij de inlooplijn. - Het globale minimum van de spoedhoek treedt op bij de

voor-loopzijde, het globale maximum van de spoedhoek treedt op bij de achterloopzijde.

- Het centrale wormwielvlak kan ook anders geplaatst worden, bijvoorbeeld diametraal tegenover het huidige raakpunt aan de cirkel e in afbeelding 3.11. Dan ontstaat er een tekenwis-seling in de verplaatsingshoogte e en hierdoor tevens een tekenwisseling in de diverse uitdrukkingen voor de voorloop-zijde en de achterloopvoorloop-zijde.

De normale kromtestraal van de funktie x(8) wordt op de - r

volgende wijze in de dimensieloze afmetingen uitgedrukt. Introduceer de volgende groep dimensieloze termen:

P p/Dwo

q

q/Dwo G G/Dwo

Hiermee volgt uit vergelijking (3.40): -.Jk2-2 -2

G p +q

(3. 58)

De normale dimensieloze kromtestralen voor de voorloopzijde Z1Jn in afbeelding 3.16 weergegeven; de kromtestralen voor de achter-loopzijde zijn in afbeelding 3.17 weergegeven. In beide gevallen is de weergave een funktie van de hoek

e

met de straal

r

als parameter. De positieve en negatieve waarde van de normale

kromtestralen zijn voor beide gevallen verschillend gedefinieerd. Echter steeds zo dat een positieve kromtestraal overeenkomt met een zogenaamd konform kontakt en een negatieve kromtestraal met een kontraform kontakt, een en ander wordt in de desbetreffende afbeelding nader toegelicht.

Het blijkt dat de kleinste kromtestralen optreden op de inloop-lijn bij de voorloopzijde, respektievelijk op de uitloopinloop-lijn bij de achterloopzijde (steeds een kontraform kontakt). Op de uit-looplijn van de voorloopzijde en de inuit-looplijn van de achterloop-zijde zijn de normale kromtestralen relatief klein. Hier hebben we echter steeds te maken met een konform kontakt. Bovendien komen de kleinste kromtestralen voor bij de grootste waarden van de straal

r.

In praktische gevallen kan dit konsekwenties hebben voor de vormgeveing van het tandprofiel in het normale vlak. Omdat de kromtestraal overgaat van een positieve waarde naar een negatieve waarde (of omgekeerd) is er sprake van een buigpunt, namelijk het punt waar de normals kromtestraal oneindig wordt. Richtingen aan krommen waar de normale kromtestraal gelijk aan oneindig wor~t, respektievelijk waar de normale kromming gelijk aan nul wordt, worden ook wel asymptotische richtingen genoemd. Voor de kromme ~(r)

₈

is in ons geval de normale kromming,

vergelijking (3.44), altijd gelijk aan nul; deze asymptotische richting is dus een vaste richting.

De normale glijsnelheid wordt als volgt in de dimensieloze afmetingen uitgedrukt:

-Pv

3.0 _r 1 0.30 2.0 2 0.35 _{3 0.40} 4 0.45 5 0.49 -0.5 5 -2.0 ~--··---+---+---~~--­ !

I

-3.0 L---~----~----~----~---~----~ 8

Afb. 3.16 Het verloop van de kromtestraal op de voorloopflank van de globorde worm.

3.0

-Pa

2.0 1 • 0 +0.5

I

I

r 1 0.30

-

2 0.35 3 0.40 4 0.45 5 0.49

~

~

~

4

5~

-8

Het verloop van de kromtestraal op de achterloopflank van de globoide worm.

u

v [ s -1]

u

_a [ s -1] 180 ~----~----~--~--4---4---1---~~ 160 140 0.30 0.35 0.40 0.45 120 0.49 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140°

e

190 1 80 ~----+---+----t----+-- ---r----r---1 160

r

140 1 0.30 2 0.35 3 0.40 4 0.45 5 0.49 120 120° 140° 160°

e

Afb. 3.18 De normale glijsnelheid op de voorloopflank,

respektievelijk de achterloopflank van de globo1de worm.

- 7

I

L

I"'""

--

~

- 8 - 9

v

L

r----··----

1\

'\

/'

·-I

I -10 -11

e

19 18 17

v

I"'""

~

r - /

I

r'\

... 16

1\

15

\

e

Afb. 3.19 De dwarssnelheid op de voorloopflank, respektievelijk de achterloopflank van de globorde worm.

Voor de dwarssnelheid kan in dat geval de volgende formulering afgeleid worden:

V -

_v,a V _{v,a wo} /D w(esine+ib) (3.60)

In afbeelding 3.18 wordt de normale dimensieloze glijsnelheid voor de voorloopzijde, respektievelijk de achterloopzijde, weer-gegeven. Overeenkomstig hiermee wordt in afbeelding 3.19 de dimensieloze dwarssnelheid afgebeeld. In beide gevallen zijn de snelheden als funktie van de hoek e met de straal

r

als parameter uitgezet. Hierbij is aangenomen dat de hoeksnelheid van de

worm gelijk is aan w=314 rad/sec (toerental n=3000 omw/min). Uit het verloop van de normale glijsnelheid, afb. 3.18, blijkt dat deze snelheid, als funktie van de straal

r

met de hoek e als parameter, afneemt met de straalr. De hoogste glijsnelheden treden op bij de uitlooplijn bij de grootste radius

r.

De tandgeometrie en de wighoeken.

We zullen nu kort ingaan op de geometrie van de tand in de normaaldoorsnede. Deze geometrie wordt door de fabrikagemethode bepaald, er zal echter niet ingegaan worden op de diverse

fabrikagemethodes, zie hiervoor Moog(1911). Er moet echter wel ingegaan worden op de eisen die gesteld dienen te worden aan het tandprofiel in de normaaldoorsnede. Zoals in hoofdstuk 3.4 te zien is in afbeelding 3.15, varieert de lokale spoedhoek als funktie van de parameters

r

en 8. De wormgangflank wordt in de normaaldoorsnede stuksgewijs lineair benaderd. De twee extreme situaties van de spoedhoek, de minimale spoedhoek y(e)min,r en de maximale spoedhoek y(e)max,r• kunnen bij een vaste waarde van de straal r in iin vlak weergegev~n worden, zie afbeelding 3.20. Het zal duidelijk zijn dat het normale tandprofiel moet vallen binnen het gebied dat wordt omsloten door de extremen in de lokale spoedhoek; dat is het gearceerde gebied in afbeelding 3.20 (linker tekening). Bovendien moet op bepaalde plaatsen rekening gehouden worden met de kromtestraal, en wel op die plaatsen waar een konform kontakt optreedt. Op deze plaatsen wordt het gearceerde gebied nog verder verkleind.

Yvmox Yomox f3vb

Yvmin Yamin

S

VO

Sao

a.vo aao

- De extremen van de - De tandhoeken. - De wighoeken. spoedhoeken.

Afb. 3.20 de geometrie in het normaalvlak van de tand.

Als we voor een profiel kiezen bestaande uit rechte lijnen in het normaal vlak, dan zullen de hoek en van di t tandprofiel wa t grater of kleiner (afhankelijk van de plaats van beschouwing) genomen dienen te worden dan de extremen in de spoedhoeken op de wormgangflanken. Omdat de extremen in de spoedhoek een funktie zijn van de radius r, zal deze funktie ook op het tand-profiel aangebracht moeten worden. Immers als dit wordt nage-laten, dan zullen de wighoeken (dat zijn de resulterende hoeken tussen de tandflank en de wormgangflank) te groat worden op bepaalde pla~tsen. Dat is niet alleen nadelig voor de smering maar hierdoor zou ook de lekspleet op de kleinste radius te groot worden. De variatie van de tandhoek met de radius r is echter zonder grote problemen door de fabrikagemethode te realiseren.

Met de introduktie van de tandhoeken, zoals die in de middel-ste. tekening van afb. 3.20 zijn weergegeven, kunnen de diverse wighoeken, zie afb. 3.20, als volgt gedefinieerd worden:

ctvb(r,e) = yv(r,e)-~vb(r,e) {3.61)

ctv₀(r,e) ~ ( r , e) -y ( r , e )

vo v

aab(r,e) ~ _a b(r,e)-y (r,e) _a cta₀(r,e) y (r,e)-~ (r,e)

a ao

Hierbij moet dan tenminste voor alle mogelijke waarden van de radius r voldaan zijn aan:

(3. 62)

13 ao ( 9 )

I

r

<

Yamin ( 8 )

I

r

In een konkreet geval kunnen we dit uitwerken voor de dimensie-loze afmetingen. Met inachtneming van een kleine spelingshoek ontstaat bijvoorbeeld het verloop van de wighoeken a b _{v ,vo} (r,e) en a· b _{a ,ao} (r,e), zoals die worden gepresenteerd in de afbeeldingen 3.21 en 3.22. Hierbij zijn de wighoeken uitgezet als funktie van de hoek 8 met de straal r als parameter. Opvallend is de grote variatie in de wighoeken op de grootste radius r.

We merken nog op dat de wighoeken aan de bovenzijde het belang-rijkste zijn voor de filmsmering (de relatieve glijsnelheid verloopt van boven naar beneden!). De wighoeken aan de onderzijde zijn van secundair belang. Het vervelende feit doet zich nu voor dat de voorloopzijde de kleinste wighoeken (aan de bovenzijde) heeft op de inloop- en uitlooplijn, terwijl de grootste wig-hoeken optreden bij de tanden die volledig in ingrijping zijn. Bij de achterloopzijde is de situatie precies omgekeerd, zodat we kunnen verwachten dat de achterloopzijden een grotere draag-kracht zullen leveren dan de voorloopzijden onder dezelfde smeringskondities. Dit is in feite bet grootste nadeel van deze

20° r avb 1 ₂ 0.30 _0.35 3 0.40 4 0.45 15° 5 0.49 00 20° avo 5 15° 00~----~---L---~---~----~---J 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140°

e

Afb. 3.21 Het wighoekverloop aan de voorloopzijde van de tand.

00

20°

-

_r aao 1

0.30

2

0.35

3 0.40

15° 4 0.45

5 0.45

oo

L---~---~---~---~----~---~

40°

a

Afb. 3.22 Het wighoekverloop aan de achterloopzijde van de tand.

geometrie met een recht tandprofiel in het normaalvlak. Overigens is dit wel de eenvoudigste (voor de meetkundige analyse) van de door ons beschouwde geornetrieen : narnelijk een lijnkontakt volgens een rechte lijn in een plat kontaktvlak. Andere vormen voor de geornetrie zijn denkbaar en zelfs praktisch uitvoerbaar. De analytische beschrijving wordt hierbij wel veel gekornpliceerder en is in vele gevallen slechts ten dele reliseer-baar vanwege het toenemen van het aantal parameters in de

beschrijving van de geometrie.

Hiermee wordt de globale analyse van de globoide worm afgesloten. In het volgende gedeelte zal nader ingegaan worden op de kontakt-geometrie tussen de tandflank en de wormgangflank.