Hoofdstuk 1 Exponentiële en logaritmische functies

(1)

Hoofdstuk 1:

Exponentiële en logaritmische functies

V-1

a. Er is sprake van een procentuele afname per jaar, dus exponentieel.

b. 12 100 1 0,88 jaar g    _en 2 2jaar 0,88 0,7744 g   c. _{N t}( ) 21000 0,88_ _ t d. _N_{(2) 21000 0,88}_ _ 2 _₁₆₂₆₂_vlinders. e. 21000 0,88_ t _10000 Voer in: 1 21000 0,88 x y   en y2 10000 Intersect: x 5,8 In het jaar 2022 zullen er nog 10000 vlinders over zijn.

V-2 a. 2,312 1,517 half uur g   en 2,314 1,231 kwartier g   b. 2,3601 1,01398 minuut g   V-3

a. gjaar  1 1003,5 1,035 g10jaar 1,03510 1,411. Een toename van 41,1% per 10 jaar.

b. 80

17uur 1 100 1,80

g    171 6

6uur (1,80 ) 1,231

g   Een toename van 23,1% per 6 uur. c. g5jaar 2 1 5 3 3jaar (2 ) 1,516 g   V-4

a. 3_log(8)_3_log(5)_ 3_{log(8 5)}_ _ 3_log(40)

b. 2 2 2 18 2

3

log(18) log(3) log( ) log(6)

c. 3_{log(6) 2}_{ }3_log(5)_ 3_log(6)_3_{log(5 )}2 _ 3_{log(6 25)}_ _ 3_log(150)

d. 3 3 3 3 3 2 3 64 3

4

3 log(4) 2  log(2) log(4 ) log(2 ) log( ) log(16)

V-5

a. 2

2 1 2 1 2 2

4 2

log( ) log( ) log(2 )  2

b. 0,5_log(4)_ 0,5_{log(2 )}2 _ 0,5_{log((0,5 ) )}1 2 _ 0,5_{log(0,5 )}2 _{ }₂ c. 0,25_log(0,5)_ 0,25_{log(0,25 ) 0,5}0,5 _

d. 2 2 2 12 2 212 1

2 log(4 2) log(2 2 )  log(2 ) 2 e. 0,5_log(0,25)_ 0,5_{log(0,5 ) 2}2 _

f. 8 8 2 8 3 23 8 23 2

3 log(4) log(2 ) log((2 ) ) log(8 )

V-6 a. _t _ 2_log(3) _b. ₂_t_{ }₁ 3_log(7) _c. 1 2 3 ( )_ t _9 3 3 1 1 2 2 2 1 log(7) log(7) t t      1 2 1 2 ( ) 3 log(3) t t   d. ₃_x_{ }_{2 2}4 _e. 2 1 log( x) log(3) x  f. 3log(4 )x2  3log(3x) 3 18 6 x x   2 3 3 3 x x x    2 3 4 4 3 (4 3)( 1) 0 1 x x x x x x          

(2)

V-7 a. b. f(8) 3 , f(4) 2 , f(2) 1 , f(1) 0 en 1 2 ( ) 1 f   c. De grafiek gaat dan door de punten: (3, 8), (2,

4), (1, 2), (0, 1) en 1 2 ( 1, ) d. _y _2x V-8 a.  2 1,5 log( ) log(1,80) H  1,50 1,5 log( ) 2,26 log( ) 1,50 10 31,9 H H H m     

b. Neem een diameter van 360 cm. De hoogte wordt dan ongeveer 50,6 m, en dat is niet twee maal zo hoog.

c. log( )D   2 1,5 log( ) H

2 1,5 log( ) 2 1,5 log( ) log( ) 1,5 1,5 10 H 10 10 H 0,01 (10 H ) 0,01 D_    _  _  _ _ _ _H 1 a. _a_ 5_log(2) b. _{f t}_{( ) (5 )}_ a t _₍₅5log(2)₎t _₂t 2 a. 0,5_log(5) _2,32 ( ) 2 5t 2 ((0,5) )t 2 (0,5) t f t _{ } _{ } _{ }  b. _{h t}( ) 4 (10 )_{ } a t _{ }4 2,8t 10 2,8 log(2,8) 0,45 a a    c. _{k t}_{( ) 3 0,75}_{ } t _{ }_{3 (10}log(0,75)₎t _{ }_{3 10}0,12t_en 2 3 log( ) 0,18 2 3 ( ) 5 ( )t 5 (10 )t 5 10 t m t _{ } _{ } _{ } 

d. Je moet oplossen 10a __g_{. De oplossing daarvan is}_a__{log( )}_g _{. En deze is negatief}

als 0 g 1. x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 f

(3)

3 a. _{f t}_{( ) 100}_ 2t __{(10 )}2 2t _₁₀4t b. _g_{(x) 3 2}_{ } 3x _{ }_{3 (10}log(2) 3₎ x _{ }_{3 10}0,90x c. _{h s}_{( ) 0,7}_ 3s _₍₁₀log(0,7) 3₎ s _₁₀0,46s d. _{k t}_{( ) 500 1,95}_ _ 4 1t __{500 1,95}_ 1_₍₁₀log(1,95) 4₎ t __{256,41 10}_ 1,16t 4 _{f t}( ) 2_ at b _2at_2b _2 (2 )b_ a t a. b0 en a 1 b. ₂b __{32 2}_ 5_en₂a _₅ _b_₅_en_a_ 2_log(5) c. 2b _4,5_en₂a __0,6 _b_ 2_log(4,5)_en_a_ 2_log(0,6) d. 1 2 1 2 2 1 9 3 t 3 3 t 3 (3 )t 3 ( )t y           2b _3_en 1 9 2a _ _b_ 2_log(3)_en 2 1 9 a log( ) 5 a. 1,5 101 1,0 ( ) 1,04 1 5 1,8 1,5 ( ) 1,04 1 5 2,2 1,8 ( ) 1,04 1 5 2,7 2,2

( ) 1,04: De groeifactor per jaar is 1,04. b. _{P t}( ) 1,0 1,04_ _ t c. 1,0 1,04_ t _2,0 1,04 1,04 2 log(2) 17,7 jaar t t    d. _{P t}_{( ) 1,0 1,04}_ _ t __{1,0 (2}_ 2log(1,04)₎t __{1,0 2}_ 2log(1,04)t __{1,0 2}_ 0,0566t e. _b_2aT _2_b 1 2 2 2 1 aT aT    6 a. _G_{(20) 1450 2}_ _ 0,5 _₂₀₅₁_gram _b. 1 7 0,1 1,5 0,014 1,5 1450 2 t 1450 2 t G_ _   _ _  c. _{1450 2}_ 0,1 1,5t _₅₀₀₀ 0,1 1,5 2 2 3,448 0,1 1,5 log(3,448) 1,786 0,1 3,286 32,86 t t t t  _      Na bijna 33 weken. d. _G__{1450 2}_ 0,1 1,5t __{1450 2}_ 0,1t_₂1,5 __{1450 2}_ 1,5__{(2 )}0,1 t __{512,65 1,07}_ t 7 a. 2 2 2 1 1 3 ( ) 3 t 3 t 3 3 (3 )t 9 ( )t f t _   _  _ _ _  _{ } b. 3 1 3 1 1 3 1 6 ( ) 6 t 6 t 6 6 (6 )t 216t f t           c. 1 1 4 1 1 1 4 1 1 4 2 2 2 2 2 ( ) 124 ( ) t 124 ( ) ( ) t 124 (( ) )t 62 16t f t _ _  _ _ _  _ _{ }  _ _ d. 0,5 0,5 3 2 0,5 3 3 3 0 3 4 ( ) 4 2 (2 ) 2 2 2 2 2 2 2 8 2 t t t t t t t t f t                 

(4)

8 t 0 : _N _₂a0 _₁ t T : _N _₂a T _{ }_{2 2}1 1 a T  9 a. Voer in: 1 2 x y  en y0  dxd ( ) |y1 X x

b. 0,691,39  2,771,39  5,552,77 11,095,55  11,0922,18 2. De groeifactor is constant, dus de groei is exponentieel met groeifactor 2.

c. De beginwaarde van de hellingfunctie is 0,69: _{f x}'( ) 0,69 2_ _ x

d. _{g x}'( ) 1,10 3_ _ x_en_{h x}_{'( )}_{ }_{0,36 0,7}_ x

e. Als g 1 dan zijn de constanten groter dan 0 en als 0 g 1 dan zijn de constanten negatief. 10 a. 0,001 0,001 0,001 0,001 ( 0,001) ( ) ( 1) 1 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 x x x x x x f x f x g g g g g g g g g    _  _   _   _ _  b. Voer in: 0,001 1 1 0,001 x y   : c. c2,72 1 d. 2,72 '( ) 2,72x 1 2,72x 2,72x ( ) f x c     f x 11 _{f x}'( ) 3 0,92 0,4_{  } _ x _{ }2,75 0,4_ x_en_f_'(2)_{ }_0,44 12 a. kettingregel: u x( ) 3 x en _{y u}( )__eu u x'( ) 3 en _{y u}'( )__eu _{f x}_{'( ) 3}_ _eu _₃_e3x b. kettingregel: _{f x}_{'( )}_{ }₂_e2x c. kettingregel: _{f x}_{'( )}_{ }₃_e5 3 x d. productregel: ₂ 2 ₃ 2 ₂ ₄ 2 '( ) 3 x 2 x (3 2 ) x f x  x e x  xe  x  x e e. 2 keer de kettingregel: _{f x}_{'( ) 2cos(2 )}_ _{x e}_ sin(2 )x

f. quotiëntregel: 2 2 2 2 ( 1) 2 (2 3) (2 2 ) (2 3 ) '( ) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x e e e e e e e e f x e e              2 2 2 2 2 2 2 3 5 ( 1) ( 1) x x x x x x x e e e e e e e        13 a. _{f x}'( ) (2_ _x_4)_{ }_ex _2_ex _{ }( 2_x_2)_ex De helling in (0, 4) is f'(0) 2 x 0 1 2 3 4 5 y1 1 2 4 8 16 32 y0 0,69 1,39 2,77 5,55 11,09 22,18 g 2 3 4 5 6 7 cg 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79 1,95 g 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 cg 0,79 0,88 0,96 1,03 1,10 1,16

(5)

b. f x'( ) 0 2 2 0 0 1 x x e x          De uiterste waarde is f( 1) 2  e c. d. "( ) ( 2 2) x 2 x (2 2 2) x 2 x f x   x  e   xe  x  e  xe "( ) 0 0 (0, 4) f x x   e. y  2x4 14 a. h1,2 0,001 t b. _p_₁₀₀₀__e0,14 (1,2 0,001 )  t _₁₀₀₀__e0,168 0,00014 t c. u  0,168 0,00014 t en _{p u}( ) 1000_ __eu ' 0,00014 u   en _{p u}'( ) 1000_ __eu 0,168 0,00014 '( ) 0,00014 1000 u 0,14 t p t    e   e  0,168 '(0) 0,14 0,12

p   e   mb/s. De druk neemt af met 0,12 mb/s.

15 a. _e3x5 __e2 _b. ₂__e2x _₀ _c. ₍₃_x_₁₎_ex1_₀ 1 3 3 5 2 3 7 2 x x x     2 1 2 2 2 log(2) log(2) x e e e x x     1 3 3 1 0 3 1 x x x     d. _e2x __ex2 _₀ _e. 2 1 1 x x e e   f. _e2x __e 2 2 2 2 2 x x e e x x x      2 1 2 1 3 1 x x e e x x x  _       1 2 2 1 ( ) 1 x x e e e e e x     1 3 x   16 a. N(0)_{1 2}_75_e0 25 b. c. 0,2 0,2 0,2 2 0,2 2 75 ( 0,2 ) 30 (1 2 ) (1 2 ) t t t t dN e e dt e e              d. n'(5) 3,66 vliegjes/dag. e. Voer in: 0,2 1 0,2 2 30 (1 2 ) x x e y e     

maximum: 3,75 vliegjes per dag na ongeveer 3,5 dag. f. 3,5 (3,5)25 1,51 N dag g   geeft 1,513,51 1,12 dag g   ( ) 25 1,12t N t  

tijd (in dagen) vliegjes 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -10 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 buigpunt

(6)

17

a./b.

c. Als je punt (a, b) spiegelt in de lijn y x krijg je het punt (b, a). Punten op g: (1, 0), (e, 1) en (e2_{, 2).}

d. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y 0, en die van g heeft een verticale asymptoot: x 0.

e. Dg :x0 18

a. _{f x}'( )__ex_{. Dus de helling in P(a, b) is}_{f a}_{'( )}__ea

b. g b'( ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van g in punt Q. de helling van de groene raaklijn is 1

a

y

x e

   . c. omdat P op de grafiek van f ligt.

d. g b'( ) 1_a 1 e b   dus g x'( ) 1 x  19 a. g x'( ) 4 x  g'(2) 2 b. 1 2 4 x  8 (8, 4ln(8) 3) x  20 a. f x'( ) 5 x   b. kettingregel: u x( ) 7 x en y u( ) ln( ) u '( ) 7 1 7 1 7 g x u x x     c. quotiëntregel: _{h x}'( ) x 1x ln( ) 1 1 ln( )₂ x ₂ x x x       d. productregel: k x'( ) 1 ln( )x x 1 ln( ) 1x x       e. productregel of kettingregel: l'(x) 1 ln( ) ln( )x x 1 2ln( )x x x x      f. kettingregel: m x'( ) 1₂ 2x 2 x x    g. quotiëntregel: 2 1 2 2 ln( ) 2 2 xln( ) '( ) ln ( ) ln ( ) x x x x x x n x x x       h. kettingregel: u x( ) ln( ) x en p u( ) ln( ) u '( ) 1 1 1 ln( ) p x x u x x    x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5

(7)

21 a. u x( )kx en f u( ) ln( ) u f x'( ) k 1 k 1 u kx x     g x'( ) 1 x  b. f x( ) ln( ) ln( ) ln( ) kx  k  x

Door de grafiek van g(x) verticaal te verschuiven (ln(k) omhoog) krijg je de grafiek van f(x). De helling verandert daardoor niet.

22 a. 7 2ln( x4) 1 b. _{ln (5}2 _x__{2) 9}_ 3 3 2ln( 4) 6 ln( 4) 3 4 4 x x x e x e         3 3 3 3 3 1 3 2 1 2 1 5 ₅ 5 5 ln(5 2) 3 ln(5 2) 3 5 2 5 2 5 2 _e 5 2 e x x x e x e x x e x x e                       c. _{ln ( ) 4ln( ) 0}2 _x _ _x _ _d. _{ln(ln(x)) 2}_ 4 ln( )(ln( ) 4) 0 ln( ) 0 ln( ) 4 1 x x x x x x e         2 2 ln( ) e x e x e   23 a. 2 ln( ) 0 x  b. f x( ) 0 2 2 ln( ) 2 : 0 en f x x e D x x e     0 2 ln( ) 0 1 ( ) 0 voor 1, x x e f x x e      c. 5 5 5 2 5 7 ( ) f e      , 20 20 10 2 20 11 ( ) f e      en 1000 1000 500 2 1000 501 ( ) f e     

Als x in de buurt van 0 komt, nadert de y-waarde naar –1: (0, -1) is een asymptotisch punt.

d. _{x e}_ 2_{is de verticale asymptoot en}_y  ₁_{is de horizontale asymptoot.} e. ln( ) ln( ) 1 1 2 2 2 2 (2 ln( )) ln( ) ( ) 2 '( ) (2 ln( )) (2 ln( )) (2 ln( )) x x x x x x x x x f x x x x x              f’(x) wordt nooit 0. 24 a. '( ) ₂1 2 ₂2 1 1 x f x x x x      1 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 0 2 3 2 3 x x x x x x x x             d. Voer in: 1 2 2 1 x y x 

(8)

25 a. 2 2 ln( 1) ( ) log( 1) ln(10) x g x  x    b. 4 4 4 1 2 2 ln( )

( ) log( ) log(2) log( )

ln(4) x h x x x      26 1 ln(2) 1 '( ) f x x   27 a. 1 ln(6) ( ) ln( ) f x   x 1 ln(6) 1 '( ) f x x   b. 2 2 1 2 ln(2) ( ) log( 1) ln( 1) f x  x    x  1 ln(2) 2 2 '( ) 1 x f x x    c. 5 1 ln(5) ( ) log(2 4) ln(2 4) f x  x   x 1 ln(5) 2 '( ) 2 4 f x x    d. 3 3 3 3 1 ln(3) 2

( ) log( ) log(2) log( ) log(2) ln( )

f x x x x       1 ln(3) 1 '( ) f x x    28 a. f x( )g x( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

log(5 ) 2 log( ) log(4) log( ) log(5 ) log( ) log(5 ) log(4)

5 x 4 5 4 ( 1)( 4) 0 1 4 (1, 2) (4, 0) x x x x x x x x x x x x x x A B                     

b. _{CD l p}_ _{( )}_ 2_log(5__p_{) (2}_ _ 2_{log( ))}_p _ 2_log(5__p_{) 2}_{ } 2_{log( )}_p _ 2_log(5_{p p}_ 2_{) 2}_

c. 1 ln(2) 2 5 2 '( ) 0 5 p l p p p      1 2 5 2 0 2 5 2 p p p     29 a. aln(3) b. kettingregel: u x( ) ln(3) x en _{f u}( )__eu '( ) ln(3) u x  en _{f u}'( )__eu _{f x}_{'( ) ln(3)}_ __eu __ln(3)__eln(3)x __{ln(3) 3}_ x c. _{f x}_{( ) 2}_ x1_₍_eln(2)₎x1__eln(2) x ln(2) _{f x}_{'( ) ln(2) 2}_ _ x1 d. 1 ln( )12 2 ( ) 3 ( )x 3 x g x    e  1 2 ln( ) 1 1 1 2 2 2 '( ) 3 ln( ) x 3ln( ) ( )x g x   e   

(9)

30 a. _{f x}'( ) ln(4) 4_ _ x _d. _{j x}_{'( )}_{ }_{3ln(2) 2}_ 3x b. 1 1 1 3 3 3 '( ) ln( ) ( )x ln(3) ( )x g x      e. _{k x}_{'( ) 3 2ln(4) 4}_{ } _ 2x1__{6ln(4) 4}_ 2x1 c. _{h x}'( ) 7ln(0,45) 0,45_ _ x _f. _{m x}_{'( ) 1 5}_{ } x _{ }_x _{ln(5) 5}_ x __{5 (1}x __x_ln(5)) 31 a. _{f x}_{'( ) 2}_ _x_₄x __x2__{ln(4) 4}_ x _{ }_x _{4 (2}x __x_ln(4)) b. _x_4 (2x __xln(4)) 0_ 2 ln(4) 0 ln(4) 2 x x x       32 a. 0,012 100 1 0,99988 g    b. C t14( ) 0,14 0,99988  t c. 14'( ) 0,14 ln(0,99988) 0,99988 1,68 10 5 0,99988 t t C t _ _ _ _{ } _  _ 5 14'(50) 1,67 10 C _{ } _  _mg/jaar. d. 0,99988t _0,02 0,99988_{log(0,02) 32598} t   jaar. 33

a. Q(0)_{1 10}_{ }330_e0  330₁₁ 30 en als t heel groot

wordt, wordt _e0,3818t_{vrijwel gelijk aan 0. Q} wordt dan ongeveer 330.

b. 330_0,3818 110 1 10_ __e t  0,3818 0,3818 0,3818 ln(0,2) 0,3818 1 10 3 10 2 0,2 4,22 jaar t t t e e e t             c. Met de quotiëntregel: 0,3818 0,3818 0,3818 0,3818 2 0,3818 2 (1 10 ) 0 330 0,3818 10 1259,94 (1 10 ) (1 10 ) t t t t t dQ e e e dt e e                    

d. Zowel de teller als de noemer is voor alle waarden van t positief; dus dQ

dt is altijd

positief en dus is Q stijgend. e. Voer in: 0,3818 1 0,3818 2 1259,94 (1 10 ) x x e y e       maximum: t 6 en Q(6) 164 vogels. Het is dus niet waar.

34 a. _{'( )} 1 ax ax a a F x   a e e b. _{( ) 2}x ₍ ln(2)₎x xln(2) a f x _ _ e _e  _{, dus}_a__ln(2) c. 1 2( ) ln(2) 2 x F x  

tijd (in jaren) Q 5 10 15 20 50 100 150 200 250 300 350 -50

(10)

35 a. ( ) ln( ) voor 0 ln( ) voor 0 x x h x x x     _ _  b. h x'( ) 1 x  c. h x'( ) 1 1 1 x x      36 a. '( ) 3 1 1 3 f x x x    (voor x 0) '( ) 5 1 1 5 g x x x      (voor x0) b. F'(x) a 1 1 ax x    (als ax 0) en F'(x) a 1 1 ax x      (als ax0)

c. F x( ) ln | ax| C ln | | ln | | Ca  x  . Hierin is ln | |a C een constante die in de afgeleide wegvalt. 37 a. 1 ln(10) ( ) 10x F x   d. 1 7 7ln(5) ( ) 12 5 x K x  x  b. G x( ) 4ln | |x e. 1 2 3 2 1 ( ) 3 l x x x    1 1 3 1 ( ) 3 L x x x      c. 3 5 ( ) ln | | H x  x f. 1 2 ( ) 2 ln | 2 3 | M x  x 38 a. 1 3 5 3 ( ) x F x _{ } e  _d. _{f x}_{( )}__e2x _₁ 1 2 2 ( ) x F x  e x b. _{f x}_{( )}__eln( )x __x 1 2 2 ( ) F x  x e. 1 2 1 1 4 2ln(3) 4 ( ) 3 x F x _ _  _ x c. 1 1 2 2 2 ( ) 3 _x f x  x  1 2 1 4 2 ( ) 3 2ln | | F x  x  x x f. _{f x}_{( ) 3}_{ }_e x 4 _{F x}_{( )}_{  }₃ _e x 4 39





3 3 ₃ 4 0 0 8 8ln | 4 | 8ln(7) 8ln(4) 8ln(1 ) 4 Opp dx x x       



40 a. b./c. 1 1 0,5 0,5 0,5 0 0 (1) 2 x 4 x 4 4 A 



e dx _ e _  e  d. 0,5 0,5 0,5 0 0 ( ) 2 4 4 4 p p x x p A p 

_

e dx _ e _  e  ( ) 16 A p  0,5 0,5 4 4 16 5 2ln(5) p p e e p     e. ₂_e0,5x _₈ 2ln(4) 2ln(4) 0,5 0,5 0 0 (8 2e x) 8 4 x Opp

_

 dx _ x e _  0,5 ln(4) 2ln(4) x x   16ln(4) 16 4 16ln(4) 12       x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 -2

(11)

41 a. ( ) 6 13 3(2 5) 2 3 2 2 5 2 5 2 5 x x f x x x x           b. f x( ) 0 1 6 6 13 0 6 13 2 x x x      





1 6 1 6 0 0 ₁ ₂ 2 3 2 2 6 13 3 ln | 2 5 | ln(5) ( 6 ln( )) 2 5 x Opp dx x x x             



1 2 2 15 6 ln( )   42 a. b. F x'( ) 2ln( )x 1 2ln( )x f x( ) x x     c. 2 1 1 2ln( ) ln ( ) 1 e e x dx x x   



d. 1 6 6 ( ) ln ( ) G x   x 43 a. 1 2 1 ln( ) '( ) 2 ln( ) x h x x x x     b. F x'( ) 1 ln( )x x 1 1 ln( ) 1 1 ln( )x x x          c. ln( ) 2 ln( )x   x g x( ) 0 2ln( ) 2 ln( ) 1 x x x e    2 ln( ) 2x x e  



 



2 2 2 1 1 ln( ) (2 ln( )) ln( ) 2 ( ln( ) ) 1 2 e e e e e e Opp



x dx



 x dx x x x  x x x x  e  e 44 a. _{2 ln( ) 3}_p _x _ _x2 _{ }₃_x2 _c. _{'( )} 2 ₆ p p f x x x   2 ln( ) 0 ln( ) 0 1 en 3 p x x x y      1 6 1 12 '(1) '(1) (2 6) 6 1 2 6 3 p f g p p p           b. g x'( ) 6x en g'(1) 6 d. fp'( ) 0x  fp( 1₃p) 0 2 2 1 3 1 1 3 3 2 6 6 2 p x x x p x p x p x p        1 1 3 3 1 3 1 1 3 2 1 3 2 ln( ) 3 0 (2ln( ) 1) 0 0 ln( ) p p p p p p p p e          p3e x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 -1 -2 -3

(12)

45 a. 1 1 3 1 1 2 ln(3) ₀ ln(3) ln(3) ln(3) 0 3x 3x Opp



dx _ _    b. 2 2 ln(3) ln(3) 1 3 3 blauw Opp     

c. De functies f en g zijn elkaars inverse functie en de gebieden zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x. d. 3 3 1 7 ln(2) ₀ ln(2) 0 (8 2 )x 8 2x 24 Opp



 dx _ x _   46 a./b. _{I t}_{'( ) (4 6 )}_ _ _{t e}_ 2t _₍₄_t __{3 ) 2}_t2 _{ } _e2t __{(4 6 )}_ _{t e}_ 2t _{  }_{( 8}_t _{6 )}_t2 __e2t _ 2 2 2 2 1 3 (6 14 4) 0 6 14 4 0 0 2 t t ABC formule t t e t t e t t                 De stroomsterkte is maximaal 2 3 0,51 e  mA op 1 3 t  ms. c. 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 4 2 2 '( ) t(6 2 1) t(12 2) t( 3 3 ) t( 3 4 ) J t _{ } e t _ t_{ } e t_ _e _ t _{  }t t_ _e _ t _ t d.





0,8 0,8 0 0 ( ) ( ) 0,31 I t dt  J t 



Coulomb. 47 a. (0) _{1 (} ₁₎ 0 ₁ ₁ 1 L L L W L g L L          b. 123 10 (123) 2 1 9 W g     1 123 123 123 123 4 9 4 9 1 9 5 9 4 ( ) 0,9934 g g g g         c. ln( ) ( 1)₂ (1 ( 1) ) t t dW L g L g dt L g          Als 1 1 log( ) g L t  _ , dan is 1 1 t

L g . Invullen in de afgeleide levert: 1 1 1 4 2 2 1 1 ln( ) ( 1) ln( ) ln( ) (1 ( 1) ) (1 1) L L L g L dW L g L g dt L                  

(13)

T-1 a. 2_log(60) 2_log(1,169) _{5,91 0,23} 60 1,169t 2 (2 )t 2 t B _ _ _ _ _  b. 1,169t _2 1,169_{log(2) 4,44} t  

De verdubbelingstijd is ongeveer 44,4 jaar.

T-2 a. _{f x}_{'( ) 0,5}_ __e0,5x3 b. _{g x}_{'( ) 3}_ _{x e}2_  x 3__x3_{ }_e x 3 _₍₃_x2 __x3₎__e x 3 c. '( ) 6 2 ₂ 3 2 (6 ₂3) 2 x x x x e e x e h x x x      d. _{k x}_{'( )}__ex _₂_e2x1__{e e}x_ 2x1_₃_{e e}x_ 2x1 T-3 a. '( ) 2 1 1 2 f x x x      (x0) b. '( ) 2 6 2 g x x    (x3) c. h x'( ) 1 (ln( ) 2) (ln( ) 1)x x 1 2ln( ) 3x x x x         (x 0) d. 1 2 3 3 '( ) 2 3 4 6 k x x x        (x 23) e. _{l x}'( ) 2_e 2x (ln( ))_x 2 _e 2x 2ln( )_x 1 2ln( )_{x e} 2x (ln( )_x 1) x x              (x 0) f. '( ) x x x x e e m x e e      T-4 a. _{h x}'( ) 3ln(2) 2_ _ x _d. 1 2 '( ) ln( 5) ( 5)x ln(5) ( 5)x k x     b. _{g x}'( ) 3 ln(2) 2_{ } _ x_e. 1 ln(3) 2 6 2 '( ) 3 ln(3) x l x x x    c. _{f x}_{'( )}_{ }_{2ln(3) 3}_ 1 2 x_f. 5 2 1 5 1 ln(5) ln(5) 2 '( ) 2 log(2 ) 2 log(2 ) 2 m x x x x x x x x         T-5 a. 1 2 1 2 ( ) x F x _{ }e  _d. 2 1 ( ) ln | 1| ( 1) K x x x      b. 1 1 ln(3) ( ) 3 x G x _  _  _e. 3 4 ( ) ln | 4 9 | L x  x c. 1 2 ln(3) ( ) 3 x H x _{ }x _ 

(14)

T-6 a. 2 ₂ 0 x x e e  b. ₂ 0,5 1 x e e  _ _c. _{2ln(2 4 ) 5 1} _x   2 ₂ 2 2 2 2 ( 2) 0 0 2 x x e e x x x x x x x x          0,5 0,5 2 2 x x e e e e      3 3 3 1 1 2 4 ln(2 4 ) 3 2 4 4 2 x x e x e x e         d. 2 ln ( ) 1 2 ln( ) x x   2 2 2 1 ln ( ) 2 ln( ) ln ( ) ln( ) 2 (ln( ) 2)(ln( ) 1) 0 ln(x) 2 ln( ) 1 e x x x x x x x x x e                T-7 a. _P _₄₀__e0,006t __{40 (}_ _e0,006₎t __{40 0,994}_ t b. 0,994t _0,5 0,994_{log(0,5) 115,5} t   dagen. c. _{P t}_{'( )}_{ }_{0,006 40}_ _e0,006t _{ }_0,24_e0,006t 0,6 '(100) 0,24 0,13 P _{ } e _{ }

Het vermogen neemt na 100 dagen af met een snelheid van 0,13 watt per dag.

T-8 a. ₍₂_x2__{3 )}_{x e}x _₀ 2 1 2 2 3 0 0 (2 3) 0 0 1 x x x e x x x x             b. _{f x}_{'( ) (4}_ _x_₃₎_ex _₍₂_x2__{3 )}_x _{ }_ex _{ }_{( 2}_x2_{  }_x ₃₎ _ex c. f'(0) 3 y 3x d. f x'( ) 0 2 1 2 2 3 0 0 1 1 x ABC formule x x e x x             

minimum van –e en een maximum van _9e1,5_. e. ₍₂_x2__{3 )}_{x e}x _{ }_ex 2 2 1 2 (2 3 1) 0 2 3 1 0 0 (2 1)( 1) 0 1 x x x x e x x e x x x x                     1 2 1 ( ( )g x f x dx( )) 0,09    



(15)

T-9 a. f x'( ) 2 6 x    b. f x'( ) 2 6 18 x     '( ) 0 6 2 3 (3, 6 6ln(3)) f x x x T      6 3 20 10 3 6 3 10 10 10 6 20 ( , 6ln( )) x x     

c. De helling van de raaklijn is f'(1) 4 en de lijn gaat door (1, -2): 4 2 4 1 y x b b       1 2 1 1 1 2 2 2 (1 , 0) en (0, 6) 1 6 4 ABC A B Opp      V 6 4 6 b y x     T-10 a. f x( ) 0 1 1 2 2ln( ) 0 ln( ) 1 e x x x e      

b. Verticale asymptoot: x0 en een horizontale asymptoot: y 0. c. _{f x}'( ) x 2x (2 2ln( )) 1 2 2 2ln( )₂ x ₂ x 2ln( )₂ x x x x           '( ) 0 2ln( ) 0 ln( ) 0 1 f x x x x     

De uiterste waarde is 2; het gaat hier om een maximum. d. F x'( ) 2ln( ) 2x 2ln( ) 2x f x( ) x x x      e. 1 1 2 2 2 2ln( ) ( ) ln ( ) 2ln( ) ln ( ) 2ln( ) 1 e e p p x A p dx x x p p x  _ _ 

_

_  _    ( ) 15 A p  2 2 2 15 2 1 15 1 15 ln ( ) 2ln( ) 14 0 ln( ) 1 15 ln( ) 1 15 p p p p p e p e                    

(16)

Extra oefeningen – Basis

B-1 a. _{f x}_{( ) 3}_ 2x __{3 3}2_ x _{ }_{9 (10}log(3)₎x _{ }_{9 10}xlog(3) b. _{f x}_{( ) 4 0,1}_{ } 2x3 _{ }_{4 0,1}3__{(10 )}1 2x __{4000 10}_ 2x c. _{f x}_{( )}_{ }_{32 5}_ 3 6 x _{ }_{32 5 (5 )}_ 3_ 6 x _{ }_{4000 (10}_ 6log(5)₎x _{ }_{4000 10}_ 4,19x B-2 a. _{f x}_{'( )}_{  }₃ _e3x2 b. '( ) 0,2 5 (5 _0,4 2) 0,2 0,2 5 0,2 0,2_0,4 0,4 0,2 (5,4 _0,4) 0,2 x x x x x x x x x e x e e xe e x e g x e e e            __(5,4__{x e}₎ 0,2x c. _{h x}_{'( )}_{  }_x _{ln(4) 4}_ 1x _₄1x _{ }₍₁ _x_{ln(4)) 4}_ 1x d. 3 2 ₃ ₂ 1 1 2 2 2 6 6 4 3 ₃ ₍ ₃₎ '( ) x x x e _x _x _x e x e x _x _e _x _e _e _x k x x x x    _ _ _ _    B-3 a. '( ) 8 8 3 f x x   c. 3 1 2 2 2 '( ) _x 3 ln( ) 3 ln( ) h x x   x  x x  x  x b. 1 2 2 ln( ) 1 ln( ) 1 '( ) ln ( ) ln ( ) x x x x g x x x       d. k x'( ) 2ln( )x 1 4 2ln( ) 4x x x x      B-4 a. _{f x}_{'( )}_{ }_x _{2ln(7) 7}_ 2x _{ }_{1 7}2x __{(2 ln(7) 1) 7}_x _{ } 2x _f_{'(1) (2ln(7) 1) 49}_ _{ } b. 1 log(3) 4 '( ) 4 1 g x x    4 3log(3) '(1) g  B-5 ₄__e2x _₀ 2 1 2 4 2 ln(4) ln(4) ln(2) x e x x     ln(2) ln(2) 2 1 2 1 1 2 ₀ 2 2 0 (4 x) 4 x 4ln(2) 2 4ln(2) 1 Opp



e dx _ x e _      B-6 a. 3 1 1 2 ln(0,7) 2 ( ) 0,7x F x _  _  _ x _d. 4 7 ( ) ln | x | K x  b. _{G x}_{( ) 2}_ _x_₁₁__e2x _e. 1 2 10 ( ) 5ln | 5 | L x  x  x x c. 1 2 2 ( ) x 2 x H x  e  e f. M x( ) 20ln | 3 0,2 | x

(17)

Extra oefeningen – Gemengd

G-1 a. b. _{f x}'( ) 4_ _{x e}_ x _{ }4 _ex _(4_x_4)__ex '(0) 4 4 f y x   c. f x'( ) 0 4 4 4 0 1 ( 1, ) x e x e x          d. _{F x}'( ) (4_ _x_4)__ex _{ }4 _ex _4_{x e}_ x __{f x}( ) e. 3 0 0 ₃ 16 3 3 4 x (4 4) x 4 16 4 e Opp x e dx x e e      



  _   _     f. 4_{x e}_ x __x 1 4 1 4 (4 1) 0 0 ln( ) ln(4) x x x e x e x         De snijpunten zijn (0, 0) en (-ln(4), -ln(4)) G-2 a. b. f x( ) 0 3ln( ) 3 ln( ) 1 x x x e    c. _{f x}'( ) x 3x (3ln( ) 3) 1 6 3ln( )₂x ₂ x 0 x x         2 3ln( ) 6 ln( ) 2 x x x e   

De extreme waarde van f is 2

2 3 ( ) _e f e  _. d. 2 3 4 4 3 (6 3ln( )) 2 15 6 ln( ) 15 6ln( ) "( ) x x x x x x x x 0 f x x x x              1 2 2 6ln( ) 15 ln( ) 2 x x x e e   

De coördinaten van het buigpunt zijn: 2

2 9 2 ( , ) e e e e x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 -1 -2

(18)

G-3 a. _3,6(1__e2,5t_{) 3,24}_ _b. _{L t}_{'( )} _{3,6 2,5} _e 2,5t       2,5 2,5 2 5 1 0,90 0,10 2,5 ln(0,1) ln(0,1) 0,92 t t e e t t s           2 2 1 2 1 2 '(0) 9 4,5 2 L_       

Uitdagende opdrachten

U-1 a. _{( ) 2}x 3_{log( )} AB L x   x 1 ln(3) 1 ' ( ) ln(2) 2x AB L x x     Voer in: 1 1 ln(3) 1 ln(2) 2x y x     zero: x 0,77 b. 2x __b 3_{log( )}_x __b 2_{log( )} C x  b 3b D x  2 1 ln(2) ( ) 3 log( ) 1 ' ( ) ln(3) 3 b CD b CD L b b L b b       Voer in: 1 1 ln(2) 1 ln(3) 3x y x     zero: x 0,65 U-2 a. _{f x}_{( )}__xx __exln( )x ln( ) ln( ) 1 ln( ) 1 1 '( ) ( ln( )) (1 ln( )) 0 1 ln( ) 0 0 x x x x x x x e f x x x e x e x e x e                 Top: _{( ,}1 1e₎ e e 

b. Neem bijvoorbeeld x0,00001 of nog kleiner, dan nadert de functie naar 1.

U-3

a. productregel: F x'( ) x 1 1 ln( ) 1 ln( )x x x

     

b. Tja, dat is logisch.

c. 2 1 2

2 ( ) ln( ) G x x x  x d. _{H x}( )_ _xex __ex