De berekening met de gekoppelde-modetheorie van de interactie van twee gekoppelde elektronenbundels

De berekening met de gekoppelde-modetheorie van de

interactie van twee gekoppelde elektronenbundels

Citation for published version (APA):

Rooijackers, J. E. (1962). De berekening met de gekoppelde-modetheorie van de interactie van twee gekoppelde elektronenbundels. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

·~ STUDIEBIBLIOTHEEK

~~,, ELEKTROTECHNIEK

.f

TECHiflSCHE HOGESCHOOL EINDHOVEll

AJ'DELIRG DER ELEKTROTECHNIEK

Rapport 1962 EE .. 4

De berekeDiDC aet de sekoppelde-..odetheorie YaD de interactie Tan twee cekopR!lde elektroaenbuadela.

door

J.E. Roo;raokere

..

IDhoud.

De berekeniDI aet de gekoppelde-•odetheorie van de interactie van twee gekoppelde elektronenbuadela.

I Inleiding

II De

t...l-p

karakteristiek van twee zwak gekoppelde elektronenbundel met eindig axiaal aagneetveld III De mode-vergelijkingen voor de ruimteladinssgolven IV De interactie van de golven bij twee oneindige bundels V De mode-vergelijkingen voor de tijdsafhankelijkheid VI De •ode-vergelijkingen voor de transversale golven YII Conclusie VIIILiter a tuur IX Figuren blz. 1

"

_'

"

12

"

23

"

41

"

52

"

58

"

59

.. 1

-Saa

1

_{P"'•tSYI•}

Ia 41.t np]tftt word.ea d.e aodea 'l'oor J'11i.Mellljt.acaplna , . C7'flotn . . golTea fta 66a elektronenbuad.el •ed.•tillieerd.. Yew twee pkoppel4e w.teltl word.ea 4! aod.!Ytrpli~ld.apa afpleicl YOOl" de l"ddftelaU-COlT!D (ia llet ea.e pftl • t •• tr••••tie r•eel 1 ia :Ut . . .

aeftl

• t •• YoO.tpl.aa• . tiacaeoutaate ias:Juir) ••

u

cJclotroqolna. . , , •• pkeppel4e-ao4e• uaa4eriac wwclea clese ao4eTercel13k'•pll ftfte&'f011ti.c4. Vit u t Yerl•ep na het Yenopa aet 4e atataad •• de euerpe a1a tu.ctie .,.. cle ti~4 la ,het ll& te p.8l1 welke golYeD. optreeleDe

Iel!leidiy.

Iacliea Ma nee elektro.,abUDdela koppelt sa1 er iateraetie ,,. . . . ,.. tuana •• 41Yei'H sol••• ftD • • bei4e bud.ela. Ma • • dit tot 'dt~ breqea ia 4e w- fi karakteriatiek cl.i. het Y!rltaad , . . _ llet reële 4M1 YRa cle frequentie ea het iaaginaire deel van •• . . -...tplaatiacaeoaataate. De • •

p

karakteristiek ltaa ~ op ••rsohillea4e ..S.erea bepal•• \d.~Y,

Mt behulp .,.. • • • tiaperaieforaule cl.oor ... at . . . . riek op te 1 . . . . ar cloor dese op eea seaohikte Wijse te Y!l"!eDYOUcli.... B8a aalere aetllol! word.t ia clit npport behan4el4, al. het bepalea

.aa •• " •

~ karakteriatiek aet 4e gekoppe14e-aodetheorie.

Bij cleae aetho4e saat • • eerat na welke poot~eall!t ...,.., .,... 66a buadel b!palea. Dit sija bij ruiatela4iapplfta cle bud.el-kiaet:l.ae._ wiaelapaui.. ( Y ₁) •• de wiaaelstrooa ( -i₁), Yaa cle., p-ootlleclea Yorat aea lilleaire coabiaatiea, ·

«•

aodea. Dese ao4ea' w01'4• so ce4et:l.a1eer4 4at het kwadraat .,... cle abaolate waar«e ••• aaat ia Yoor 4e ••raoceaa .,... cle . colTea (b.Y. de eerate . . . . Yoor de aaelle, de aactere aode Yoor de

laDe-sa•• ruiatela4iqalolf'). Dl.clitterentiaalYerpli~a, 4ie 66a b . . . . l.

~eaohrijYea, ~- aet de.aolea !eDYOU4iger paebreY!D ea l! . . kkelijker epgeloat w01'4ea. Bij koppeliq taaaea twee elektHaenbu4ela • . . . _ •• aoclea fta iedere 'ba4e1 ats . . . erlijk 'bepaald.. Daaraa worclea de

diff'era-tiaalYerl!lijkiagea •oor de bei4e 'bUDdela ia •••• . . . seaohreYea,

waar-doOl" •• lilleaire ditfenatiaelYerplijkiapa.,... te " " ' ' or41e wOI'clea. Iaü.ea 4e koppeling tuaHD de 'bundels nak ia • - cle •erll.owti. . . .,.. . . . 4riftaa.elhe4n .,... cle beide badels guaattc ld.eat, Jaoett MB YOW de .,.,..,.

2

-ene bundel en ééa aode van de andere bundel te b~acbouwea. De ditterea-tiaalvergelijkingea worden hierdoor drastisch vereeavoudigd. fevena sija de aode~, na invoeren van rand'V'OOI"W&arden, expliciet op te loseen en kaa aen het vermogen als tunetie van de afstand tekenen. Uit dese figurea kan aen bepalen of aen in het beschouwde geval versterking kaa krijgea of dat uitdeapeade golven optreden. Dezelfde procedure kan aea toepaaaea voor aodea, die de enersie ~ertegenwoordigen. Men kaa hieruit bepalen of bij interactie tussen twee golven iaatabiliteitea optredea.

Ia hootclatû II worden cle clisperaietoraulea voor een plaaaa, ééa elektronenbundel ea twee gekoppelcle elektroneabuadela besproken. Er wordt aangegeven hoe un hieruit de tt •

P

karakteristiek kaa bepalen. Vereter worclt uitvoerig besproken boe aet de gekoppelde-aodetheorie de

w •

~ ka• rakteriatiek geschetst kan wordea. Er worden w - ~ karakteristieken ge-geven voor twee eindige en twee oneindige buadela. Bierbij worden de buadela zowel naaat elkaar, ala tegen elkaar ia geachoten.

Ia hoofdetak JII:wordea de aodea voor de ruiatela4ingagolven gedefi-nieerd. Hierbij ia de frequentie reëel. Voor twee cek.oppelde bUlldele wo..Sea de bewegi~gavergelijking en de continuiteitavergelijking in de optrede••• aodea geachrevea~ Er ia aangeseven hoe aen door de gekoppelde-aoclebeu.-clerins toe .te paaaen de aode-vergelijkingen kaa vereenvoudigen.

Boofclattalt VI pett de foraulea voor de tateracties tussen de di ver . . aodea bij r~eladingagolven. Er wordt ateeda het geval behandeld waar,ij de buadela ia deselfde rich~iag bewesen en het geY&l waarin se tegen el•

kaar in worden geschoten.

Ia hoofdetak Ywordea de aodes van de raiatelacliagagolvea vaa ééa b\UUlel pclefiaiee..S, waarbij aaagenoaea ia dat de voortplantiqscoutan'e sulver iaainair ia (

r

s •j

p ).

Voor de koppelJ.as 'tuaell twee badels

worden cle aode<rerselijkiagea

sece••••

Voor de iateractie tussen een aaelle en een l&a~.... solt wordt nacesaan hoe het ... ~lie-verloop ala tunetie vaa de tijd ia.

In àoot4atü

VI

wordea. de aod.ea voor de qelotroqol ven vu 6én 'buJMiel gedefinieerd. Yerder worden de aode-verseli~ngen voor de c7clotron solvea . . . twee celtoppelde bundele atplei4. Dese sija .,. . . een vrij gecoaplice•rd• vora. la de coa.oluaie ia een uitgebreid literatu-.oversioht gegevea.

-

'

-II.De

w •

I .lartkterittiek Yan tweè swak &ekopnlclt tle:ttroaea)i•af•ll aet eia41è axiaal l!l!••t•e141

Beà ~~·- wordt sedtliaieercl &la !!D gedeeltelijk aeloaiaeerd l&ft ,dat elektrisch ne•traal ia. Het wordt hier Yeroa4tratt14 de Y01cea4t

eipaachappea te ltellitteD:

1. De ioaea lteweaea Biet, terwijl de elektroaea doOl' het kelt p l a

-kuanea ltewegea, (De ioDen aijn oas••••r 2000 aaa1 •• swaar ala 4t

elelttroaen ea wordeD d.ua praktisch Biet 1teiaY1Mfl • • • de Wiutlft14e*).

}, De elektroua 'botaen aiet tegen cle ionen ea eft..S.a oadtrlial•

4.

De neutrale aoleculen apelea aee• rol.

Voor een stationair p l a - ia een ronde celfpij• • t eea eiadia axiaal •aa••t•el4 (8

0) Yindt • • yoor de diaperaie•Yel'&!lijJd.q ,.... de

!l!kti'O•kiaetiacbe SOlYeB (lit.2•11 2-21 2•3)t

aet a T • radiale Yoortplantia.gaconatante

p •

azialt YOOI'tplaatiDI8CODStantt 2 epi .. , • pla••·lloek•frequentie (wp • c a> 0

1•1

8 w • orelotroa-lloe:t-trequentie (w • • • .!) c c • M • r.t.-aica&&l-lloe:tfrequentit e • ladiag RD Jaet elektron (e < o)

p

0 • paiddelde lacliqad.ichtlleid (p 0 <e)

c

0 • 4ielektr1acbe oonataate 'ftln

••n•

• • aaaaa Y&D het elektron,

4

-De radiale yoortplaatingacouataate (T) wordt '•paald door de

raad-Toorwaarde ea aoet Yoldoea aaa de relatie:

1' ( IJ '.,) R z: } p,q (2-2)

R • atraal Y&a de golfpijp.

} p,q • q0 a1ll.pw.nt Yan de p0 Beaaelfuactie.

De 1t • fS karakteristiek behoreDCie bij de betrekk:l.q (2-1) worit

sese••~ ia

tisuur

(2-1).

Beweest ket plasma aet ••• driftaaelheid (y₀) doo~ de coltpijp

(aea apreekt au ••• eea elektroneabundel), daa Yiadt . . . de diaperaie• Yerselijkia& door ket toepaaaen van de Galile!-tranefor . . tie

1 1

(w z: w.

+IJ "'•

ea

P • P )

op de ••rselijkias (2-1):

2 2

T • • IJ (2-3)

(lit. 2-2 ea 2-,)

Ook hier Yoldoet T aaa de relatie (2-2). De w -

p

karakteristiek

Yaa de elektronenbundel ia aese•e• in figuur 2-2.

Yoor eea oneindige bUDtel Yiaden weT •

o,

..aat R .~. Ia dit ce•al ia de-tiaperaiefor.ale:

(2-lt)

De aiet-triYiale oplosaiasea ••• dese Yerselijkiac worden geYoD4ea door te stell••=

-

5-.. 2

1. '1 •

I

•

o

,(~-~·e>2

2.

Ala axiale •oortplaatinaaeoáataatea Yiadt . . . ,

a + • •

..:!.. (•

+fit )

"'- • - p

•

•

t • '

De.taa .... lbe4ea aija:

..

• +•'I""". p - P ....

.:t

... 2 1 - _ ... 11[ ... ' 1:.

2·

<•-,...> ...

••

.

..

Ala axille Yoortplaatingaooaatantea Yia4t . . . ••:

1

'

_-

..

--

_{• . -}

....

_e ).

. . e

Met ale taeeaaelhedea:

..

... =

_P.t

-

,.

.t

"'•

.

.

; 1 -

_+-;-

e (2-5) (2-6)

Het ... , . . . 1 OaYat •• raiatelaliacacol .... Bet tweede

s•Yal

•• OJaletroaa•l•••· Het boYeaate tekea slaat ... •• •• aaelle colY . . , het oaderate tekea op ••

laacsaa•

sol•••·

Do ...

lle col••• oatleaea h . .

U U aaa het feit dat hua f&Maelhe14 croter ia 4aa ~· 4ri ttaaellae14.

Yoor bepaa14e tnqueatiece'bie4ea ( .. <w 1 w<w

8) he'bbea •••• aaelle plna:

. p

••• aeaati•••. Yoortplantiaaae ... taate (~). Dese wordea •• aaelle

"ltaalr::wart" . . 1••• aeaoea4 (tast baclatari CJolotra ··•••• taat backwart apaee ourae ftYe). Opaarkelijk ia het dat dese "'bJlclarard" aol•• "aael" ceaoe . . wordea, OBdaaka het feit dat de abaol•te waarde

..a ...

taae• laaelhedea alet ,roter behoeft te sijD daa Y • De laS~ lOlWeD heb'bea

I e

••• taaeaaelhe14 kleiaer 4aa de 4riftaaelhe14

<•.>•

De croepeael•et4

..a

alle

opred•••

colYen ia woor het oabecreaede p't'al oaathaû:elijk • • . . trequeatie •• celijk ••••• drifteaelheid:

6

-De 11 •

IJ

karakteristiek 'f'&D. de oneindige elektroaenbundel wor4t

cegeYeJ door tiguur

2-3.

We si~n dat 'f'ier soorten colYen optreden:

cle &D.elle orclotrongolf (laat CJeletroD W&'t'e

_•

I'C) de snelle ruiate-ladingacolt (tast apace charge wa't'e, P'S)

de laDCza . . ~ate-ladiagacolt (slow apaee charge wa't'e, SS)

de laagsaae crclotroncolt (alow crelotron wa't'e

_•

SC)

Indien een tweede elektronenbundel in of naaat de eerste wordt seachotea geelt B.Yural (lit.2-2) 'YOOr de diaperaie'f'ercelijking 'YaD het begre~acle ceftl Mt een eiadis axiaal •saeet'Yeld (B

.> :

(2-8)

=

axiale 't'oortplantiagaconatante

=

pla . . . -hoek-trequentie resp. Yan de eerste en tweede baDt•l

=

drittanelheid resp. van de eerate •• tweede buadel

Voor apeoiale ce't'allea wordt 4e •ieperaieforallle Yoor twee elek• tronenbundels ia de literatuur atselèid: 'YOOI' eea oaein41c sroot axiaal . . caeetvelcl (B

0 • • ) door M.!. Vlaardincerbroek, K.R.U.Weiaer en

H.J

.c.A.

Kwm:Lak: (lit.2-4); 'Yoor het oabe,reaade

c••al

ceooabineercl • ' ••• oaeincU.c poot axiaal •peetYelcl (lf -=

o,

B

8 • • ) door

L.s.

lferpa.J'I

(lit.2-5) ea door A.v.Baalt (lit.2-6). Door B. Yval w~rd de Yerseli3ldJic (2-8) ia eea ceaoraa~aeerde Yora seachr•••• •• kwaatitatief opseloat met een digitale coaputer (lit.2-2)

Bet ia Hhter oek •pli~k û .. - f3 lcal'~e~iek YM . .

tw•

ltudela te • • • - door 4e iatvaotie • - • 4e ...

a.ul .... plwa 't'Mi

de twee 1ru4ela te lteat.una. lDtiea iD • • 1tepu14 ' " ' . . .

U....ti. ..

••• solt •• u

eerde lluadel • • . . . . .,.._. nea pete a c•U~~Ilte

t . . 8Delhe14 heeft ala 4e t-a.U.e14 ftD MD

,-u .,

te ...,.

'lta4e1 kaa iateraeUe optre4ea. De riehüq waarta 4e ~ 'fU . . . . . .

-Jr.oppel4e lelfta .VO.a ltepu.lt 4e aoort 1Dte•U.• ..U. opWeeM. U. aekeppel4e ··•••theorie l . . rt clat bij i.Jaterao,tie haaea - .

plwa, ...,...._

bij . .

•••st••·

ia 4eul.t4e ft.ohtiDs . . . _ . . • - 11 ~·k

wortt ... 4oor

ttcar·

2_...

1UJ

te,.apneu .-...

_..s..ia .,.._ , loopt 4e • • IJ karakteriatiek ale 1rl t i p e

2·'

(Ut.2•? ea 2-8). lila

-.oet nJt.ter • • de ftNacl•aMlliq a i t - . . , •• WH el~

•*

eekeppelel ld.ja oa 4e ,.,_ppel.tl.-4e-U..Orie te - . - , • . , . _ .

Yolseu

a.w.

Goul4 (1it.2-9)

taeeft

4e aroep . . . lluti4 1t1~ 1 - - - pl'fta • • riahttac tec..,.ate14 - tie, wUria 4e

•....S.• .-...

tieri.ow

ie

ut

Mp11jk tat bi.j te,....ateld ceriahte 41"1ft-llleta 'fU

u

hlulela, waar1t1j du de pooepael.hedea YaD • • ColYU ,.._. tqea

.tka•

ia aerielt.t sija, er toeh 1Dteraet1ea •u solfta

Jra-•

epbe._ ~

•• •••peia

iD . . . l t ü neht1q atro•• (111.2-'tlt) . . . . eea ~elle •• . . . laqa .... 1olt

..-u.jk.

Bij •••lt . . twM telfta ...._.. 4e e».vsieia :lil tepapate14e riohtilll wuuer •• ~ cel~ c•rioht

.tJa

(til.2-,a).

DcHII'tat •• • weteB dat 1t13 teceuceatel4e dri.fteaellletn • • twee lnm4ela e•». uelle ea •••

lue ....

solt dealt . . e...,teriohtiq,-..

uelle •• twee laqaue

aolftll

teceuceate14e e~ollti..qea M1t1tea,

laarm.ea •• de optndead.e J101811~ldut4eD • u i.DterMUea ce•••

•al•

ia taltel 2-1. De letter 8 . . . , .

- d a t

de euqie i.D 4etielfde rielltiiiC

stro~ ( .... ).

o c••tt

aaa dat de eaersierioklilll teaeace.te14 ia

(oppoaite). Ia tabel

2•2-we.tea

de aogelij~ 1t1j twee 1tun4ela . . , plijqvial&te 41'1ftaellle4ea ceceYe».. Bieftij' heMt• Ha lláell•· u Hll lucsaae

lOlt

teseuceatelde eaereieriahtiqea (O), - . . aeU•

et

bH llllliUM plwa 4e•lfde neqieriohtial (l)o

8

-tû•l 2-1.

llO eoabiaatie richting van enerste opmerld.q

~ I

:rc

₂ +

ss

₁ zelfde (S) I

sa2

+

:rc1

_"

(S)

u

_:rc2

+

sc1

_"

(S) II

sc2

+

ro1

_"

(S) + I koppeling ... + _{~. anelle "'baobrard."}

III

:rs2

+

sc1

_"

(8) + solven en

laaa-+ _{. . . golftD} III

_sc2

~

:rs1

_"

(8) ₊ + IV

_:rs2

₊

_ss1

_"

(S) + + IV

ss2

+

:rs1

..

(S)

_..

-.--

--~---

...

________

...

---

...

V

_{:rc2 + F~1} tegeDCeatel4 (0)

...

,.

VI

:rc2 + :rs1

..

{0) koppeling

tv.••-enelle "forward." ~ VI 1'82 + J'C1 tt (0) galYen en enelle ''bularard"

sol•••

VII _{1'82 + 11'~1}

_"

{0)

..

De aet : a.uceseven oollbinatiea koaen in de tiguren II-6 en II-7 Di.et ,. .... 8 . . .

9

-ttltfl.

2-i·

..

ool6iaaU. riahiinl 'f'U

eausi•

...

~

I

rc:2

+ . . ,

teseqeti'M14

(O)

+

•

I

_{812 + I'C1}

_"

(O) .•

+

II

rc

2 +

ac

1

"

~0)

+

II

_acz

₊ I'C1

..

(O)

~

...

,iïiêïii .., ...

III

n

₂ + 10₁

..

(O)

+

celwa • 1 • .

-+

_--solwa

_i

III

ac

2 +

ra

1. •

"

(0) I IV PS₂ + 11 1 '

"

(O)

+

•

I f _{112 • n1}

..

(0) .,j ~----

---

...

____________

---·--·

y

_I'Cz

_{+ :rc1 aeltu} (I)

n

PCz + 111

"

(I) _{) ~r.P.P•l1 . . .}

n

_{na+ ra1}

_"

(I)

..u

...

pl.ftll

VII

_{"a +n,}

_"

(I)

1----

f-'---

_---.--

_---·

VIII

sa

₂

+

sc

₁

_"

(I) + (

+

VIII

_{aca +ss,}

_"

(I)

>

keneliaa

-IX

ac

₂

+

ac

₁

..

(I)

+

₊

1 - - -

plfta

x

_{u 2 + ss1}

..

(I) +

+

•

De • • : ... ".. •Oiilliaaii.ea koua ia 4e ti~Wa II-6 • II-7 Biet . . .

s • - - ·

10

-Iá

de ticarea

2•6

en

2·7

wortea de w- ~karakteristieken ceeoheta• weergecevea voor.oabesreaade btadela reepeotieveli~k . . t tecencestelde ._ selijkleriohte 4riftanelhei4._In de figuren

2-8

en

2•9

worden deselfde karakteriatiekea seschetat voor begrenede bwadela . . t Biet te .,rote 4riftanelhe4ea. Er ia aansea ... n dat beide elektroaenbuadela dezelfde

plaaufl'equentie ( lt p) hebbeD en dat de CJ'ClotreafftCJ,'IleBtie eeD crotere i

waarde heelt das cle plaaaafrequentie. ·

Eea andere •tllode_ ter lteatuderiag van cle • - ~ karakteristiek worft. gegevea door R.L.Ferrari (11t.2-10)9 die de 4iapera1eforaele (ia sija

ceval vaa.butlel•l].aaa iateraetie) ia eea Laureat-.eeke pat oatwikkel• ia een. soecl pknea put ( .. • • • 0) •

Mea kan de tipren 2-lt •• 2·5 besiea ala de voortplaatiqacoutaat• ( ~ ) ala ftaHtie vaa de reële frequentie ( w ) :

~~-~<·>

ea ook.a~a de t.req .. ntie ala tunetie van de reële voortplantiasacoaataate: w . . . ( ' ).

Daar de ticarea 2•4 ea 2-5 oploaainsea vaa eea tweede graada-ver..-lijklag vooratellen aoet aea ia het eerste pval

[11 •

~

{ •)

J

bij iede ... • twee voortplaatiagaeoaataatea Tiadea. We siea ••t clit ia cle fisarea

2•'-.

.

ea 2•5b tuaaea de frequenttea

w

₁ ea • ₂ Biet aaa deze eia wordt vol4aaê. Tuaaea 4eae twee t.requeatiea treden twee ooapleae voortplantiagaooaata~ea

op, clie elkaars toegevoeede ooaplezen zijn: _. fl

-

+ ~ u. We viaden voor de: optre4ea4e aolvea te von:

.<.t • -

j,.

>•

ejwt.

Iacliea aen 4e fisuren 1teki3Jtt ala w

=

w ( &I) ~·· aoetea op analose wij&e ia de tigarea 2-4b ea

2•,.

VO~I' 4e YO-.'tplaatiagaoo . . taatea

11

₂ <

fl

<

fl

₁ o•pleze trequeatiee ( tt

.t

j.,) optreclea. Bier sija .de solv.a na 4e vora. •

<+ .,

+

3•>t

e

·3 '•.

P.A. Starrook (lit.2•11) viadt hetzelfde reaaltaat ea aegt dat optredea:

ia fil.2-4a: "eiaple propacati~ wavea•

· hierbij tre4ea. geea ooapleze waarclea van

P ea

w

•»•

ia fia.2-4't •aoa-ooaveot~•• iaata,ilitJ"

de voortplaatiacaoonataate is reëel voètr alle fn4(uentiea, zodat seen aangroeieade ot ui tdeapen4e solvea of\r . . ea. l)e frectueatie :La :

echter eóaplez voor ~

-

11-1D

fis•

2-,as "upl.Uying waYea" (oonYectiYe :l.aataltilit.J')

IJ ia h.:l.U' ooapl.ez YoOI" • _{2 < tt<w1 , sed.at} oJVedea of û t . . apeaû,

of

!fM!'O!Ua4t

golftllo

Dur " Hllt.er collplex ia •oor IJ ₂ < IJ< IJ₁, 1104at "o•Yeot.i••"

ot

"aoa-oGil't'eet.ift iD.at.ûUit.ies" opveûa,

u

Jtet. na~taat.

...,...1 ....

sol•••

(ot "noa-ooa.-.t.iYe

1Datab1lit.J'"). iD

fta·

z .. , ... ,

"e•ueaoeat. ...

De freqMat.:le ia Jt:lezo reëel 't'oor alle YOOI'tplaat.t.ac..._tea, _.., se•• iutûiliM:lt.ea OJVe4u.

IJ

ia ooapla YMI' ttz<•<w

1 • . _ ,

Us\41 ...

of

"PR"M'"

celYen tot. 1U'018 ka. "•''-•• o.tat. . . . . iut.üU:lt.eit.ea opt:N4ea ia 4e

a.i«•

MCel13ke

eelt

-4e d . . .

solt ("eYaaeaoent. ....

").

Ia

u

'f'Ollead.e ·~aootd.at.111dcen

Allen

4e ftraoWJ.ei!Ule :lat. .... ~

llie4ea aaa een ~b\IZ'ic ea4ezoaoek .worden . . . ..,... Kier .:U• . .

12

-IIl•

De eo«eveEI!liikilcen voor de ruittt•ladill!l!l!!!•

Wè veroaderatellen dat de elektroaenbuadel een ruiateladingadiebt• heid p· <z,t) heeft en een str.oomdichtheid ~ <z,t).

z

ia de vector, die de plaats aangeeft, t ia het s,.bool voor de tijd, Deze twee groothedea (pen

-

J) veroorsaken een elektrisch veld

-

E

(r,t) en eea aagnetiach veld

-!!

<t,t}, De Maxwell-verselijkingen voor deae veltien luiden:

a!

\jx!•!.••oii

•I

vx

! •

-~~~

i i

p

y.J. •

r

•

\7.! •

0 11.

0 • peraeabiliteit van vacua,

a

0 • diel•ktrisohe constante wor ftouua.

(}•1).

(3-4)

Uit de verselijkineen (3-1) en (3-2) ia de oontinuiteitsverselijktnc af te leiden:

ap

\7.!

+

ii •

o.

(3-5)

De bewectngavercelijkinc voor de elektronen luidts

•.x

1.!

i t •

it •

.!· \1.! ::: ;

(!

+

.!

x

!)

(3-6) dv dv dv aet

\7.! :::

v s

ii • •

7

'Îi

+ Y •

Ta

v (r,t) • elektroaenanelheid,

-

13

-(3-7)

(,.a)

De aaplitwle f t l l de tweede te:n (cle ti,j4a-af'tut . . lijke ten) wel'4t Yeroaclerete14 kleia te sija t.o.-.. cle tij4a·••f'Mûelijke ten&

!

₁ (I,)<<!.

<z>.

We Jauaaea •• cle ceU.aearieeer4t 'ferceli3ld.apa aeerechrijYeaa

Coatia.S.teite.,.rselijld.ac:

Bierbij ia .!₁ d.e wiaaelatr~elhei4,

.!.,

cle celt.~JI!IMaelJleicl (tilftuell'leifl)

A1De

a.te·••Eif.li1i&IP'

!tor

eta

elektrMt!"M•l

M \

-oaeilfif att~

a.,etl

"'l'tt'feld.,

(:5-10)

(3-11)

Doord.at •• ••• oaeiacu., ll'oot axiaal . _ , , . .

w

<1. • •)

ualec,...

k-••

cle elektroaea alleea ia de axiale l"iclltiac

<••

a-riclltilll) ltne.-.

Br tredea •• alleen r~e-laclingacolYea op. Mea ~ •• oOk leactt.ti~e

l

col•••· De aa'bla•.,.rator kaa ia cle Yerceli3kiacea (3-9) t/a (3•13) ••r.,_.,,. werdea floor de cl1ftereatiat1e aaar ••

14

-Ia d.e s•coa,.aeat ftA de ltneeirac . . •rpli;Skias nNwijaea •• tenea .!_. x

1

_{1 ••} 3₁ x

J.•

Iatiea •• Yerder d.e drift•elbe:l..d (.!o) ooutut

Yeroa4eretellea kaaaea we (J-12) eohrijYeD ale (l:l..t.}-1):

De eoatiatliteitaYeqelijkiq (3•11) ale: • · pl:l..jutrooa Y •

i

.a.

1 • 2 • pl:l..jkapuat₁₁₁

•

1•1 •

..

fJ

•

-•

•

•

• elektroa:l..aohe Yoortplaatiqaeoaetaate

..

fJ • ::I q ....

• reductiefaotor (R • 1 YOOI' aeiad:lce ltu4el)

-

15-BiJ een ein4i,e bundel reduoeert . . . de pla . . . frequeatie aet eea

faotor R, oa bij deae bundel deselfde rekenwijae te . . . teepaaaea ~

bij een oneilldige elektroneûuadel. De red•eti.ef . .

tor a

ia freq•eatie- ; athankelijk.

Tussen het el.ektriaoà Yeld (E₁a> a . . wi.ueletrooa (S.₁) beataat clt

relatie a

Door het iDYOeren van geno~liaeerde ao4ea kaa a.a de YerceliJkiaae• (3-14) en (3-15) sehrijven ala:

[.;. +

~

('·

.,q)J

·~.

o.

(3-1~)

De aoclea aija cedefinieerd al.al

(3-11)

De ao4e a+ (a t) belleort bi~ 4e aelle ruiateladi - p l . f , de • •

••

•-hs,

t) 'S.~ 4e l..anpame. De. taaeanelJaeda na 4eM twee pl.Yea :d.ja:

"•--~

1 .... I .I

1

'

·Het boyeute teken alaat op tie a -taode, Jaet ea4trate

.

ttkea . . 4t a ...

-De II'Ot,...lhe4en aijaa

.. 16

-Voor de groepsnelheid geldt dezelfde tekeaafapraak. De groepsaol• heid ia ••• functie van de frequentie omdat R een fuactie .an de

fre-quent~• ie. Voor een oaeindice bundel geldt Ra1 en viaden we yoor te groepsnelheid de driftsnelheid (y

0) .

Het geaiddelde kiaetiack varaogen ••• de ~ . . del dat in de peaitie . . •·richting strooat is nu celijk aaa:

Pit • +Re [ Y1

(•lil·

2

<ja./

2 · / • - /2

> •

c o - a t (3-21) Het·ainus-teken voor de term

1•-1

2

~etekent

dat te laagzaae golf oen n~gatief kinetisch veraocea bezit. Dit wil zeggen dat eea buadel, waarop alleen een.laagzaae ruiate-ladingesolf sea•porponeerd is, a1a4o~

vermogea ~ezit dan een oq . . oduleerdo buadol. Bot veraogea van ••• oaceaodaleorde bundel is V₀

,I

₀

1·

Een aadere traiache verklarinc voor ; aegatiet veraosea ea aegatieve energie wordt seceven door

w.H.

Louiaol~

(lit.3-1), J.R. Pierce (lit.3•2, 3-4) ea BaU8 (lit.3•3).

Met de vergelijkiagen (3-16) ea (3-17) kUBDea wo do elektrische veldsterkte in de z•richtiac uitdrukken .ia de ceaoraaliseerde aodea en wel:

B.De aode•vercelijkinsen

't!E

twee s•ak cokopJ!lde buadelt aet oaeiDdic sroot axi!!l I!J!eetveld.

De grootheden, soala tie voor de twee buadela gedefiaieerd sija, sija gegevea in tabel 3-1. Bierbij ia aaaseaoaea dat de bundels desel!Oe seaiddelde ruiateladiasadiohtheid (p

0) ea deselfde reductie-tact•r (R~ hebbea.

taltel ,_1. arootheicl 4ritt ... lheicl ( Y 0) I elektroai8ohe yoort-plutiiiC•oaataate

...

(- • ->

e "• cere4uoeerde plasaaoout.ante

•

(,.

.

_.,

q .... bundel ki.Det.iache epannt•c (Y1 •

~

"o

111) plijkatrooa potentiaal (Yo •

2f;r •!)

gelijkatrooa (I 0 • p0Y0) pn.ormallseerde

...

.

'·

1 -

1?-••

1

a,-1

(z)o

~

[·~Z01 (-4

1

~

••• x "•

_{2 1}

-

18-J1e Yerhouding 'f'aJl de drittaelheden 'l'aJl de beide bulld.els (X) kaa

alle waarden - • • u . tu . . a · • •• + oo • BiJ up.UeYe waardeu..,.... X woi'Cla. de ' " • 'buu.dels tepn el.Jtau' ia genhotea.

In de eerate b'II.Ddel heerst eeD. elelttriaola Ye14 & B

11 tea pYolp

2

Yan de tweede buu.del, waardeor de bewelingsverselijkiDc eu. de

ooati-niteitnerplijJdDs v • de eerste bUD.del ._. . . . (sie

•11•

3•1lt ea 3-15):

fq

2V₀

<Is

+

~"

e ) V1

= ...

~

r

Ti-lr. 11 • 6Bs • ' 1 . , ~-·,1 2

.

_•

!;JI

₀

<".i":'

+ j ~

>

11

= -

~

Jt

v1.

... . .1 . .1 01

6 ia een getal kleiDer daD. of gelijk aaa.1, en seeft de mate YaD

koppelias weer. Door (3-2lt) aet .1 Z

0 te Yenaeaip1al.dipa • bij (3-23)

1

op te tellen en door het iavoeren YBn de aodea, soala sedetiDieerd ia tabel

,_1,

k:a.naea we aohrijYen:

Op analoge wijse Yiadea •• yoor de tweede bundel:

Indien we av. de elektrisoJle Yelden in de moelee v.it4rlakkea (3-22) ba . . . (3•25) a (,_26) • ....,._... wordea tot de Yergelijkillpa:

-

19-[

.!..

+ j

••

.

(}-28)

Yoerea we nu de 4riftuelhe14n'erhoucU.Dc (X) 1D d.aa . , . . . . •• .,..._ '

lijkiDpil (}-2?) ea {3-28) I

(3-29)

De Yercelijkiasen (3-29) aoeaea we de modeYerce11jklac••• De ooëttioiëatea a ij a:

• - 3

<p.-ra,>

I 1

· - j l ( p -Jt )

0₁₁ 0_{22 •}

_i

0₁₁ 1 1

x

.1 q1 (3-30)

.,, • - 3

(Jl··-,>

I .,.,. • - . , , • 1 ~ j -1 (

St

+ fJ ) 1 1

x

x

.1 q1 0_{12 •} 0_{)2 •.} 0_{21 • .,., • - .,,. • - .". • -} 0

_{2J • - .,., •}

i , ....

\ff.

(3-31)

-20-Veroftderatellen we de ao4ee a1+ {z) en a2+(s) Ya de Yora •

r •

ea

-

-aubetituerea we dit iD de vergelijkineen (3-29), 4aa moet oa pea triYialil oploasiDgea te vinden de oeittioiënten-dete~inaat vaa de Yer,.lijkiapn .

ia de aodea nul sija. Dit le't'ert een YerplijkiDC YU. à.e rierd.e poaa4 ia

Ir •

De SekOppelde-aod.ethHrie (lit.

l-7,

3-1) ze,t à.at, ala YOOI' en. bepaald frequentiegebied de· taeeenelhedea Yan de aodea a

1 en a

3

oaseYeer ' gelijk zija en de koppe~eoittieiënten oij klein zijn ten opzichte vaa o11 en •jj' aen alleea de aode-YergelijkiDgen Yoor de aoclea

•i

en a

3

hoeft

te beeohouwea.

De

ooëtticiëaten-deteraiaaat seett 4aa een tw .. d.e-craada• ' Yergel:ljkiDI in

r •

De Yeraogenauitwisseling tussen de aodea ai en aj :1.& , in dit frequentieeebied Yeel sroter dan de Yeraogeaeuitwisaelins tusaea de a

1 resp. aj en de o't'erige aodea. De oYerdrachtataotor (F1

j>,

die . . n

uat ia YOOZ' de Yerao~enallitwiaaeliDg tussen de aode ai en de aode aj

wordt sedetiDieerd als:

-1

1

Voor 4e _{aodea a1}+ _{en a2}+ Yinden we als OYerdraohtetaotor:

-1 -1

=

.,.

.

1-,2- 1

+x

21

-Voor bepaalde waarden •aa X ea b zijn •••• P'a ia de ticarea 3-1 a,b . . o en 3-2 a en b aetekend als functie Yan de t.re,ueatie.

Tot slot zullen we nog enige aaDdaoht aaa het •e . . osen YaD de bundele echeDkea. Bet gemiddelde Yeraogea YaD de eerate baadel, dat ia

de a-richtiDS •loeit, ie Yolseaa (3-21)a

p1 •

2

[1·1+

2 -

·1-

2].

(3-"'l Voor de tweede bundel celdt yoor dit Yerao . . a&

•

Het totale paiddel4e ftnopn, dat i.la 4e a-riolatiaa Yloeit iel

ptot • P1j;P2 • 2 &1+ 2j; &2+ 2

-l

&1- 2j;

•z.

21]= ...

(~)

.i

22

-Het boYeute tekea aoet wordea toeppa.et ale de solYea ••• pooep.. anelheid ia deselfde riohtias hebben. Oaelat (:;-40) geldt aoetea de koppe]..lo. ooifficiinten Yan (3-31) YOldoea aan:

Bet oDderate teken ftJl (}-lto) ia YD toepa.aaiag, iD.dien de groep. sáe1hedea tee•• elkaar ia gerioht sija. Yoor de koppelcoeffioiëatea moet D.U pldeau

Ia het Yolgeade hoot4atuk sullen de interactie• tuaaea de aodea

nader beschouwd wordu. Bierbij sullen we gebruik aa.'ken Yan de gekoppeld. . . aodebenaderiag, zodat het Yiaden Yan de w - ~ karakteristiek aeerkoat op _6! het Oploa~en YaD eea Yergelijkiag YaD. de tweede graad ia

r •

23

-IV

•DJ

a\tr•a•~· !U

cl!

colyg ltij ••••

OltiaMe

lt!J!!l•lt·

Zoala iD hootdatUkii . . siea hoeYea •• ia •••

-•paal«

t.reqaeatle•c•-bie4 alleta 4e koppelbc tuaea twee modes te tteatud_..a bijY. :l.a • •

t.requeatie•gebied road 4e plaamatrequeatie all . . a dt twee aatlle aodea . (a₁+ •• _a2

.>.

De sroot~• Yaa het trequeatieselt1t4• waaria . . . . beaadtriat

geoorloofd ia, hangt at yu d.e sterkte YIID de ktppelillc tuseea d.t net badela (

a· )

en d.e Ytrhncl1ac Yan d.t vittaaellledea (X) •. Ia 4t

wla ....

drie para,ra~en sullen de Ytraohillende iateraotita ..,-...- word.ea, waanaa de eerste (de iateraotie haaea de IIDelle • laa_.. plt) ster 11i.tcebre14.

u-,,

Dt

WKV'''

b'!M

u

Nlle • l•pre•

•U

<•1• ••

~->· Wt kiesen X ea I . . aa»ic ._, F

1

..

2

-

ptoot .ia tea opaitb.tt ftll

cereduteerd wordea tet dt twee Yerceli3kiacea ia '1+ •• _{a2 •• Bet} trequeD.tie•pltied, waarYOor dit toepataaa 111. aal uit de btrtkuial Yolpa. De aod.e•Yerceli~ld.apa sija a :

ra

-

24-ea eubatitueren dit in (4-1).

Er

ontstaan twee homogene alsebra!aoàe vertelijkingen in de twee oenetaaten a

₁

~(o) ea a

₂

~(e). 0. niet-triYiale oplossiasea te krijgea moet de ooitfioiëntea•4eteraiaant nul zija. Gebruik aaltead van (3-30} •et geldea:

r

+ j <Pe ~,

>

1. 1

• o.

(4-3)

De YierkaataYercelijld.Jt.s 1a

r •

die hieruit oatstaat, luidt:

. p2 &2

2

5

1 ( 1 2 2 '1

r •

~

r

1

<p • -11"'

>

+

i

<11. 4q

>

5 -

i

<rs •

-Pq •

4

1 '1 1 1 1 1

) • o.

Daar

r

co.plex kaa zijn moetea het reile en het iaaeinaire deel Yaa 4ese Yerplijk.i;Ds n111. zi.ja. We . eubati tueren in ( 4-4)

• ea.

fJ

sija reëel~

•• Yiadea voor het reile ea het iBaginaire deel:

u ...

l>

2 2 (4-4) (4-5) (4-6,) (reële 2 -2.

5.

1 ( 1 2 2 13 _{q, & .} deel): • •JS + f!((fJe •fJlll )+

*<x

Pe

+P,. )

5•

*<

₁

P

•l:l +

4

>•

o.

(4-7) 1 ',, . 1 '1

e,

q1

De op1osaiapn vaa (4-6) ûja:

a) • •

o.

(4-8)

2'

-ad.a): Subatituere we {4-8) :La (lt-7) 4aa oatataat eea nerkaatnerce-lijking ia ' aet a1a oploasiDgea:

'

":

,/·

"2 (1.1)2.,2

(1~)2·2JS

'

(1~)-

1 1

• 1 X

ca

₁ I _{e 1}

4Ls

J!.

4 ,

(4-10)

a4.'b): Y.Uea we (4-9) b. (4-7) daJl YiDd.en we eea 't'i.erJraatayerpl.13klal

:La • Mt als oploaa:lapa:

(lt-11)

Ia 4e bei4e pnUea (a ea ., ) sel4t YOor

r •

Gl - ~ ' :

2 2i

'a·

r1,2• -

i3

('e1·JSq1

)~(tl•1.,q1

>.t.

P!1

(1-i>2•P!1 (1+i)2-2pe1fl'-t (1?)· qi

~

(4-12?

Het tekea Yaa de tera eacler het worteltekea 'bepaalt de YOI'II . , . . 4e ·

YOOI"tplaatir&gHOUtute (

r ) •

Geaoeade Jtwadratia.U t _ . lutef't ala faaetiAt

... de f'requeatie het uterl.iJk ... dalparaHol (tia.lt-1). De frequentie, waar,ij bet •iaiwua optree4t ia:

1 +

t

.. aia...

1

p 1

-x

De f'requeatiea, waarbij •• ul.waarde 'bereikt wr4t, a~a:

" 1 , 2

= •

a ( 1

±

t>

26

-a et

Voor 0 < X <1 treedt het llilaillua bij neptieYe trequenUea op. Er worden alleea poaitieYe freq•eaties beschouwd, zodat bij deze snelheida-Yerhoudiase:a geen ia teractie optreedt (tig. 4-2) • Er treedt •oor 0 <

x

<1 wel k:oppeliD.g op tussen de aodea a₁• e:11 a₂ •• Yoor x>1 treden het •1n1mua; en de nulpanteil bij pesitieYe frequenties op. Er is wel interactie (tis.443>. Bohter ma heeft S4Jen interaetie plaats tuuen a₁• ea ~+. Bij X < 0 ( de

buadels.tesen elkaar iD gericht) wortea de nUlpuatea Yerk:regen bij ooapleae frequenties. Indiea we reële frequenties aanneaea ia cl.. hier de tera

oacler het wortelteken a~soluut positief.

A. X >1~

Yoor deze waarden yan de nrhoudins tussen de clrittaelheclen kan het; teken yan de tera onder ket wortelteken sowel. positief als Deptiet sija, .

atbaakelijk YaD de frequentie waarbij we werken.

1 1

Yoor t1 a ( 11)) < tl < tl a ( 1+t;) pldt 1

< 0 (4-16) .

We kwmen (4-12) achrijYen a1aa

r

1,2 • ~ • -

3

~

•

(4-17) !

aet:

(4-18)

27

-De alpaene op1ou1Dgea vu ( 4-1) zij a:

r1•

r2•

·1·<•> •• 1.

• 42•

•

•z.<•>. •

.~,.

[<r,-

.,,>

•,•r,•

+

<rz-

•,,>

~·ri

De ooutaatea

a

_{1 •• • 2 Jaaaaea llepaalcl wor4•}

ut ..

ru.4-voena.a.r4u. Daar 4e dritt•aelhedea YaD 4• lleide lnmdel• deselfde riohtiq llebltea

( X > 1 ) t Wi,jaea de peepeaelJaedeD YaD de 'be:L4e IOlYea W 8 M - ia 4eHlf . . riohtiae• We kuanea de golYea 4Da op dezelfde plaat• (a

=

0) 4e raa4•

voorwaarden oplecgea ea welt

(~22):

&z-<·~

•

0

Gebnik ukeu f t l l (4-20) aD (4-21) worden voor ... ea t ₂ pvoJMlea:

Stellen we ver4er e

₁₁

=

·.1••

dall kan de aode a

₁

+(a) uit (.._20)

...,.raa

wordall tot:

28

-Met beh1llp yan (4-18) 1 {4-19) ea (J-30) 'f'iaclea we Yoor het Jtwaclraat vaa

de altsol•t• waarde Y&D a1+ ( •) :

•,.<•>

2 • [ 1 + r,+,2• ai.Jih2

u]

2

..

,

1

-x

.&aalooc ktulaea •• 1li.t ( Jt.-21) het kwadraat yu. 4e altaol•t• waarde .,...

•a-~•) 'bepa.lea: *2·<•>

r •

r,+,2• aiDllau •,Co> 2 Clt-27) Oaclat·

u

hoofdstuk :5

I

_{a 1}

.Csl

2 ••

l•

₂

.Cal

2 •• ...,"..u..ar4 zi.;ta

clat de 't'eraopu • • de sol.,ea er door .,ertepDwoorUcd wordeza1 lalaaea ••·

cle Yei'IIOgeu vu de anelle golt Yaa de eerate lnuldel ea ftll 4e l.aapaae .

aolt van de tweede 'bud.el telteaea al.a fuD.ctie .,.. 4e atetaacl (ttc.4-4).

De OYerdraohtetaotor I' ₁+ ₂_ uit ( lt-26) ia wor het 'beechouwde

trequentiapltied crot• c1aa ''•• oaelat ( '+-16) geldt. Vit de tipv aiea •• dat de .••raoceu .,an de twee sol•~n to••••• aet de atatud1 terwijl

4e eoa ooutaDt 'blij ft 1 DaMl.SJk

21

a 1 ( o) 1

2

• Ket Si.jD de reede eer4er

ceao•••

•aaplitJ'ias ...

'foor w< .. a (1-i) ea w> .. a (1.f) celdt:

Yoor (lt-12) buallea we •• aehrijYea:

(4-28)

29

-aet:

.. 'b . . .

liet USelfd• raDdY00 ... 88 ala oaelor (4-22) 'l'i.aclea WO 1tjJ 40M trequeatiea "nor a

₁

+(~a) ftll (4-20):

-~

.

• a •

Voor J:l.et kwad.raat YU. 4e alaaolutè W'UI'4e YU a 1+

a1+ (a) 2 • [ 1 - J' 1+ ,2-

.U~b•]

•l•l

2 2

A.Dalooc wordt •₂

_<•

>, laeJUlcl uit ( lt-21) a

De OYeriraobtataotor ,1+,2- wordt bier oot se4etiaieer4 soala onder ( 4-26) en heeft • • uptieft w.ar4e oadat ( 4-28) p14t.

( .... 34)

Voor twee pY&llea

1113•

cle Yenopu ala tu.actie •u te atataa4 ,. . . hetat. In t1p.ur

~

ftor een grote • ..._ ....

tJ.

₁. ,

2

.j.-

Dit

illplioeert clat ,Sb eea kle:l.u waarde heeft. Jlet Celdt YOOI' 4e fzteCl11eD.ti . .

_h

1 1

V2

•a(1T)<tt<•a<1-r;) •• wa(1"i')< w <wa(1._).

Ir heelt periotieke U.twiaMJ.iq • • Yenopa plaats \uHa ••

-30-Vi

kleia ea

ftl.t

IJ'Oot, hetpea het p n l is Y~:r w<tta(1T) ea

~

> .... (1.:f).

1'1

+,

2- • • ea

P, •

o.

Voor de Yeraoseu Yiadea •• hier:

P 1 , (a) • 2 a₁ (o

r

I P ;f,a) •

o.

lil' laeeft 11113 tlea• fnqueati.ea pea

u1t-wiaael1aS .,.. Yeraosea plaats. Bet Yermogea op •

=

0 . . . de aaelle

colt

toepYoeJdt blijft OOUtaat in dese 10lf (ar ia seea Yerliea Yeroaclera . . lcl)

Ia f i p v (4-7) sijll Jaet ilaapDaire ... het reil• d . . l . . .

r

ala taaotie YaD de frequentie ptekea4. Ia fig. (4-8) ia de oYerdraoàtafaettr ala tua•tie .,.. de frequentie weercacevea.

Br

is nog atee4a Yeroaderateld:

'

x>

1. B. X < Oe

Iadiea we ~eile frequenties Yeronderatellea geldt au ook de Yoor• narde (Jt.-28). Voor de YOoriplaatizacaooaatu.te

r

lamaea

we

SthrijY-~

r1,2 •

·3

~at ~b>

waar 'bij ' a ea ' b ppna .,..den door ( 4-3()) raap. ( 4-31).

De algeaeae op1ouiacea.,.. (.._1) sija:

Oadat hier de groepaHlhedea Yaa de lteide COlftll YereohUleDd tek ...

hebbea .oet 4e raadyoorwaarde yoor a 1.(s) opcelee4 warden op het punt s

=

o,

YOor ~

₂

-(s) op het :pu.at s • L. We •••n alJI randYoorwaa.rdea:

a ria4ea ... de

•••taat• •,

ea • 2 (Mt •, 1 • • ~·)I

Ill41ea we 4•• wauua 8'ti'INRita.erea ia (4-,,) • " ' . . 'Rit~

'9'001"

•1.<•> :

1--b

(11-L)+j

(~)..Wb

;:)!

ln8jllo~.~(~)~IIL}

a,(~~.-~~~.-oN;

a.I..(

~'""

) aia','bL :

11 (~39~

'

\

YoOI' bet kwadraat Yaa 4e aiNiolute waazod.e ftD a

1

.~s~ 't'iaûa •• Mt (3-30). (lt-,0) •• (4-31):

(~)i

Bierlt1.1 ia I' ₁+, ₂• ced.efild.eerd ala oiMlu ( ,._26) •

Voor Jaet kwadraat 'Yilll cle a1teolute waarde Yllll a

2• (~~~ biJpa we dool' eeaseltd.e proeed.are:

32

-(4-lt1)

Fipv

.._9

seeft de ~el"draoll-tatacter

<:r

_{1. ,2}

.>

~a P'b als tuactie •aa 4e treque».tie. Ia tis. .._10 eD. lt-11 d.jD. YOor wee YersohiUeJICI.e nardea 't'U

:r

1. ,2• (eD ctaa ook YOOI'

p

'b) 4e Yeraopu ft.a de t•ee golfta

.

..

'

als f1mctie YU. 4e afstaM ptek•4• Er tre4ea bij elb reele · frequeati• twH pl•ea op, waar1tij àet

••raesea

periocliek • • 4• eu p l t aaar de ... wordt oYerseJaeyel.d. Ia

fis•

lt-12 ia het iag;t•~ re p4eelte YaA te nortplaatiagaeoutaate ( J' ) aJ.a fuaetie YaD. 48 fl"eq•ntie ptekeacl YOOt

!x/>

1.

YoJ.aeaa StvrMk (Ut.2•11) . . . , . er 1tj,j elke reële

p

twee

fJ'eq\18at1ea cewad.en woràa. We aiea dat aaa •••• eis aiet wor4t -.ol . . . . yeozo:

Iadiea •• reile •• • · •••••11811 aallea tuMa dese twee area en d.ua ooaplexe fftqu.eatiea • • ' - eptre(ea. •• aa1tatit11eea n ia de Yerp-lijJd.ac ( M ) 1' • • j

fJ ,

à.t

fJ

reiel, ea 'ri.la4ea • • ••rpl.i.jJd.ac YU de

tweectesna411t.P:

'2 &2

-f•fl

i-•

..,q.

t<-.... )

1-

t

lP: .... ;_.

ca".

I } •

o.

1• 1 1 1 1 ..,

o.«at

4• t.requeatie eo.plez kaD sija . . 'batitueraa we ia (4-42):

' • • c + j ' l l

-

''-Bet iaasiaaire •• reële deel Yaa de ••rceli~kial ~•tea Bal ai~aa

,z

62

reiel•

-~•'

{ • ..-.,.

i<•.,

ca.,

l

}-i

{.z.qz_,:,.

~

Ε

o.

(~l

ia.:

_{' ( • • i}

. 1 _{11 ) -}

_i

1 _{2 c " •}

_o.

a) 11 • 0

x

1

•> • •

t

(1 •

x>'

(~)

u.

a) 'hllea •• • •. 0 ia cle Yerleli~kias ( ~) .... ft. . . eea Yier-kalltnerpl~·· ia c • Voor ,MptieYe

••JuN41ac .,. ..

d.e d.rif't-aaelhed.ea luidt cleae:

(~)

Ir tredea clu •-.J.•z• tre41.ueatiee ep 1Ddiea d.e ten oadu llet wortel• teltea aeptief' 181

(,...,..)

2~

6

~.

&

_"._

Dit z13a deselfde Yoortplantiageooub.D*•• als op PA&• !t-7. De ooaplexe trequeaties, die optre4ea, a~a:

Bij elke (reële) - · 1 üe yolcloet aaa ( 4-49), boren twee eoaplexe

trequentiH. l)e ao4e wol'4t pYOnd door een 11Deai.re ooa'biaatie • • 2

~

<

~·

.

r~,

colYen ü.e biJ wla _{fl'eq,11.eatie opt•••• b.Y. a 1}+ ·(~) • t_1• + •_2• •

In

ket •• 'be . . houw4e s..al . . . ••ile

p

is bet . . . lijk op •••• .aaier J104es te YO . . . Il• Op 4eae -.ai.el' Yalt d.U aû.ete oatr•* 4e Y81'110pU M . ,

ooaol.u4vea.

Be.'

opWeûa YU . . .,lexe frequenties wor4t ook door Caaae~ pao . . .

(l.it.lt-1).

1!=2· "

iè"VN.! tu•a ••

tu•

a•U•

colt•

<•1. •

•2.

>

•

x ••

& aija

•••••ts

s••••a u t

1

1'_{1. ,2}

.1

sroot i• '·•·•·

1

:r1+,

_2•

1

•• 1•

_{1. ,2}

.1•

(Zie tig.J-1a, 1t ea o

ea

3-2a • 'b).

ner'bi.j paa de aod...,.erpU,3ki.D.pa Yau (:5-29) cwel' ia twee YerplijJri•&f• Yoor a₁+

en

_{a 2.:}

(lt-5,) I

·

ra

·

We atell• wed.eroa 4e aodea eYet&l'ed.i.l aet e . 1 Mt

r • • •

j ~. Uit te

eis dat 4e ooiffioiëatea-4eter.aiaaat .a1 aoet aija Yiadea •• op 4eselt4•" wiJze ala :la p&ra&raaf ,.., YOOI'

r

I

-

''

-We a'Dllea au weer (ia bet kort) •p.u hoe cleae nortplaatiaceooa-àtute ( I' ) er ia 'Depaal.te pnlleJl llits:Let.

\

"·. +

~

...

)(1 +l) 1 1

•

2

_{• • I}

_•12l·

2

i

Ia fipv '+-13 ia

'ala

:hactie n.a 4e trequeatie . . . , . , . . ••• Met

~

₁

.Co)

eJl

~(4N

ale raa4Yoorwaar4ea

•SJ•

4e algeaeJle oploNiapD ftD (.._51):

-~'.

•

•

Oaelat a de YOortpl.aatbgaooutaate a1li..-.r illaliuil' ia tred . . er pea expoaeatieel a&DIJ"MieHe ea afaeaeacle . . . •P• 1J)e . _ . . , . . . 't1lll 4e ·

. 12

2

col••• si~·= '1·~~- 2 ·1.s~>;

..

'J•.>:•

2 . . . ~~) • Met ·z~·r 0 ••

2

.; . I

I.

.• 1 2 • _{•• +}

-36-(4-,.)

De OY..traoktsfaet..

ia

al• tuDotie Yaa 4e t.requeatie in t.1c.4-14 1 pt.ekead, 4• •eraoseu ala hllet.ie •u d.e atst.and ia fic• ~15. Ir t.ncl• 4u t.wee p~•• ep, tie peaaietiek enerc:Le ut..Uaelea. Bi,1 •

=.•

p.' .als

"11 2 • 1 t ia . . . . 11itwi.aaeliag Yolko ....

•• +.

B. X <

o.

De ten oll4er het wortelt.ekea ia (4-52) YOl'llt •• HD dalparaltool,

tie yo~r '-paalde frequeatiea De~&tieYe waarde• kaa aaaltaea. We YOerea de poot.Jud.4 1t ii&, dû ced.efiaieerd wordt. YOlpUI

,z •

jlj<1jr)2

. 6 . 1 1

.. ,<, -

,>< .. < ..

,<, •

r>

cel4t.: 2 2 2 1 2

~

<"e,--.,>

( 1 .

rxr> -

l

x'

<

o.

(4-~)

r

1,2 • !. • -

3 - •

<4-61)

..

,

fl

=

i

1 11 •

i (' _, )

(1 •

ï:T>·

e1 fl1 1X1

37

-Gebruik .akead ..a (4-61) 't'oraen •• weer de

ale•••••

oplo . . ialea •aa (4-51):

a _2+... (s) •

...L

_.12

<r ·•

_{1 11}

>

4 . . . • <r2 . . ₁ 11

>

4

z•·•

•

•:1rt•

Met 4e raa4Yoonaar4a _{a 1}+

<•·> •

_{a 1 ( o) •• a2}+ ~.IJ.

o

YiiMI ... we nor 4• ftJ'IIOgeaa: .,, 2 • 1 +t •

_,

,., Ct>

2 (lt-62') (Wil)

<"-">

Omdat (4-60) geldt :La 4u '1

1 +t 2 + ~ 1 (s:t.e tlg.4-19). Ia fipv .._16

zi..ja 4e Yeraoseu als haoüe ... de aletand seteltea4. •• ä.ea Jaet

•1'-tredea 'f'&ll "••aaeeoeat

wa•••"

(a:t.t4eapeade pl:t'ea). BI' ie pea ••••'•~ aopliJ&.

Yoor .. < .. P ( 1•

è' )

-38-In dit gnal saat ( ~52) OTer ia:

aet&

_""

.

• a

(4-&?)

(lf-.68)

Bierbi.1 ia F ₁+ • ₂+ op 4eaelt4e Wt,1ze pdetiai.eerd als onder ( lt-65) , ·maar heelt a waartlen, gelepn tueen • • •

o.

Ia fig. 4-1? ia bet

ver-aogea P1(a) a1a tlu:t.otie ... atataa4 'fOOI' • • • srote waarde . . . ,.,1+,2+

I

( a kleiae waarde voor ~

._>

ptekead. Ia tig. 4-18 Yoor een kleine waa.rcle

... 1 1'_{1. ,2•}

~

••

•e•

sro'•

waardAt ...

f3 ,.

De optr•d••d• . . 1 ...

.re... .

perio4iek

ver~ogeu

aaa el.ltaar OTer. Ia b.et Uaiet-p't'al (

!'

₁+,₂+ , ... • a

-

''-se••.

'Yen.opa P

1

~.·~ la •• s-ri•hUaa. Ia ••

fl.&vl'••

4-19 ea lt-20 · sija •• .· cwe~tetaetor P₁ ~- •• lwtt

1-.ciain

ea relle hel .,... d.e 'fHft•

··~ . '

· plu.tia,..outaate ( I' ) ale taraotie Y&a

«•

treq•att.

•••rse...-.

,,.~,De

ateruS1t """ ••••

Wllllt

IOlJ!I·

<•, ••••

2_>.

De ÎI041•Yerpli~kiapa f t ! l (3-29)

kw••• ...

wol'tlea S.ts

(lt-10) .

• 0

Op 4e beaa4e aaier worit hienit de -voenplaaü.Jiceeoadaate (I') opplioet:

.... x

>

o.

~2 ·"2 (~ • . , , )2( ,_ 11)2 • _._,_ 1 1

x

' ( .... '11)

De

ten OIUier Jlet ••teltekea ftD (.._?1) ie a1Niol . . t ,.eJ..ti.el • . _ pat

r

OYII' UI

-!tO-Echter de dalpara'bool, die de tera oader laet wortelteken vorat,

~ •• , , eeD aiai . . .

•iJ ....

Br aal d . . slechts

seriase

iDteractie optre4ea (bij poaitieYe frequentie•) •. Zie tig. 4-21. Jèe• kan ook

••ccen:

de o't'er+ drachtafaotor (1'

1. ,2• n.a (,_;..}?)) heelt alleea pote waardea ro•

•p•

B. X < O.

J)e ten oader ut ... 1\ekea ••• (4-71) l•i4ts

(At-?2)

Bet ~ Y&a deze dalparabool treedt weer Op 'bi~ de DeSRtieYe wa.&l'de_ Y&D de pl.as-trequeatie ( • .,

,>.

Bij poaitieYe fnq•nü.e&· aal du ••er serillge iateraetie optreden (zie tia.4-22).

.. 1

-Y,le mode-JtrlliaJkiacsp

!!IE

f!

tijdaafb!!kel11'bt1cl •

.le De I!DOI'IIME4e ao4tte

Ia hoofdat11k

m

ia Yeroad.eratelcl clat d.t pootht4tll tYtartd.ia wana

aet ,3Mt ea we -•rekendea ia hoofdstak

4

dt co.plts. er reilt ' a1a

~•ti•

TaA de l"tilt fl"tqlleatie ( 61 ) • We su.llea u dt sroetàtclta t'l'tal"td.ic aet

,·3Jls Ytl"eadtrattllea a Mclt.Ytrgel13ktapa AMlooc (,_29) o,.tellta, eohter • Ht de differ•tiatie aaar dt t:ljd ( tijlliMIIIeakel13Jdt.tü) • Op dtst Bilier lr.aa de ••pltxe ot reilt trequtatit (

w )

PftM• -..rclea al8 f1Uaotit ... d.t l'tilt ' •

We paa uit· ftB 4t Maxnll..Yersel:ljkiapa (,_1) tot ea att (~), de

ooatiDuiteitnersel.ijJd.aa (3-5), d.e 'bewec:Lasn•c•lijJd.aS (;,-6) •• . .

atreoadiohtàeidnerseU~•I (,_7). We YtHaderettllea de pootàt4tD YM 4e pdaaate:

(5-1)

Dt ' ia kieria rtiel.

Ver4tl" wordt aoala 1a hoofdat11k

m •••

eatiaclil poot lidaal . . _ , , . "''tld 'l'eroacltrattld. De paoead.t YerplijJd.acea paa Jaiea-4oor ..,_. ia:

(5-2)

(,_,.)

(5-6)

42

-Uit (.5-'+) YOJ.ct t

. p1

:s,.

= •

j-e•

Het behulp f t l l (5-7) ea (,5-8) kan aeD (5-2) eehrjJYea alas

We atellea (soal.a op pag.3-2):

Yenolgeu Yoere we de crootheid Xe ia, pcletirli . . rd Yolgeu:

•

x • __.__

0

'c•"'p

(S-8) (.5-11) (.5-12) (5-13)

AaJl deze pootbeid X

0 kan Diet, soalil 1.a hoofdatlik } aan Z0, eea werkelijke fyaiache betekenis worden toecekea4.

-

..

,

-Vera~allftl.4lpa •• (5-11) aet t~-

₀

ea tell• we het nnl.taat

ld.e..._

aaa 'beicle si,jd.ea.,...

_.

_. het pll.Jktekea op 'bi,i (,_12), àa wol'4t

u.

eJdC rekeaea pyud.eà:

[-A-~

<P•.

t.oÓp>

J [

v

1 .!.

J_.<..,.

1

>] •

o.

De 'd.tdnldd.as

[v

₁

.:t.

x.·

(ep₁

>]

ia cte lti,i ••

ti~~ll.-ei&

lteh.Ct.l'ead.e aode. DeH aoet aoc sod.aai

a

paOI'Mli.M•d. .,..4ea a t het Jr.wadraat ...

au•l•t• ...

pld.d.delde ki.aeU.eJut eMI'pe ...

(,_1,)

(5-17)

•

Volp• B. boeaü..tk (lit.5-2) 1WI- . . U..

t

Yerwaarles . .

p •

tea opaiellte.,... cle ten

-1.

Bie.rdoor kaa (~1'1) . . ..._. wrd.a ale:

'•

-44-De v.itdrukld.aa (5-18) YOor de eaergie f t l l de nilate-lad.iagaplTe&

Met . . , eDiae reaene beMàouri worcten. We si~n tot deze Tora pli:OMa

door alleea eerste orde teraan te besohouwen en door het verwaarlozea vu cte ten

i

~

p

8

v.~.

Yeroa4eratellea •• de srootlle4en enareüs aet

.~Qt,

4all Yia4ea • Yoor het tijdpllidclelde van de Wi.aselabooa•ld.aet:l.8ohe eurgie vaa de ou.d.el:

•-, • • Y1p_{1 • i·Ro [}

v

₁

.<-t>

₁

•>]

(5-19) I..U.ea we au ia de Terplijld.q (5-14) eea nenreclipeidMoutaate

4f.

:Luoerea. daa pat tleH nr,.l.ijld.Ds ..,.,. ia•

[ lf-

~

( h₀ .t,

"p)]

l>étl •

o.

(5-20)

Met als · ceaol"'leer4e ao4eas

l>.t.(tl •

4

r.

[v

1 {:tl

~

x

0 (.P 1 !tll]

(5-21)

Voor de paiddelde kiaetiaohe enerlie Yaa de ~del ,.lelt Yerder: •k 1 •

i

Ro [

v

1

.<..,;>

J •

2 [ 1>+ 2 • 1o. 2 ] (,.22 )

De aode 'b + ( t-) kan puaooieerd worden u t 4e nelle plf vaa 4e na4el. (de a ( t )-acMle). De tue-aaelb.ei.d Tan desa b ( t )4ode ia r&aaelijk s

+ + ..

De tueeaelheicl ia lf'Oter 4aD de d.rittaullle.icl yaa de ltudel ( T

-

,.,

.

...

...

_er

.

...

_{vp o}

,,

. Sr ia allMil . . . ouiadip 1nlad.e1 1teHlloaw4, •tat

Tf •

o.

De

t - -

ea 4e poepaellae14 na d.e 1t (

-

t) ....Se ai~

a

a

'·

J

... pil- • y. ( 1 -

~)

yf:' ...

Dese ao4e ba . . . 4u Mt d.e laqHM p1t (4e a

<•l ...

e) ia

- \ .

Yerlhua4 ltreapa. De elektriMile nlclatel'kte (B• ) lmaaéa •• ale

ftllt

1

B •

~ ~

[ - • l t

l

.,

, •• V

x. . -

.J

B1 '!'wee • • l!k•RJ!l.4f

tlà'n••atnmMlt

lè

t•1Mjc

•E''tl

eiMih!lt.

(5-~

Ia 4e t&lJel 5-1 sjJa 4e srootll.._ YB 4e tfte 1Madel1 p4etiaieert. We4voa

u

--OMa

Mt

u

paidtie1 . . niatelad.i.llpüelatla•14 (ft

.>

't'aD 1Je14e lnlad.el• het . . lf4e

u.

Ook·~· 4e IJD4tt11 - i a d i l poot

tabel 5-1. plasma-frequentie (v2 • . , , ) P co• buadel kinetisobe• apau:Jng

••

(Y1 •

jëj

9_o8₁₎

.,..

x •

0 0 rkclfp genormal:J.seerde aodo

"'•

1

..

,

<J. •

~

jJ't' ) y1 • • 't' E G'S 0 e s 1

-46-(S-26)

Ia de eerste bundel heerst een elektrisch Yeld & E ten geyolp .2

Tan de tweede bundel. De continuiteitaTer . . li~kiDg (5-11) en de 'e• wegiD.gaTergelijld.q (,_26) TaD. de eerste bUlldel worden:

-lt.?-Op deselfde sanier als aaapaeftn op

pas ••

1-8

'f'iaclea we uit deae twee Yel'pli3kiDpDI

[c

A • {

(f'Y ₀

t_wp>]

₁₁₁

+ • •

·~

•.

1 - 4

x

z

01

Voor de tweede bundel ~cleD we op enalop wi~se1

[Ir-

j

(p-,·2-

~

..

,>

J

11~.

-

,.:;ç

•.1

Gebruik altend ftB (5-25) en het illYoerea ftll de 't'el'lloutiq vu 4a driftaDelheden ( X ) Yilldea we

u

pkoppeld....aodnel'pli3killPD 1d.t (5-29) en (5-30): (5-2?} (5-28)

[Ir ·

~

<PY

o

1

!. • ,>

}1~

• -

Ï&•,

'Jf

<

112- -

11

2.>

(5-3

1)

[ /r •

j

<x11Yo

1

!. •,>] 112!. • •

f& .. ,

'{x'

'"1· • ",.>

(5-32)

Vitpaohl'eYeD worden dese:

db1+

e14bz-De ooitficiënten zijns

•11 •

j (Pvo1 + wp) •,, • ~ (f:'t't'o1 - wp)

-48-.

.

022 • j (XP. o + tt p) . 1 •44 • j (X,SY 01 • wp)

Uit (5-35) bUjkt, dat ma Diet geldt:

Dit·betekent dat de totale ceaiddelde kiaetieohe energie .an 4e

d.W

bundels als functie Yan de tijd niet conat,nt ia (

at•'

I

O).

(5-)6)

(5-37)

De totale gemiddelde kinetische eaerpe <•tot) wordt pgenn door:

•tot • { b1+

2

.t. b2+

2 •

i

b1·

2

.t.

l,.a-12}

l .

<5-lBl

Daar ia hoofdstuk 3 aaacegeven ia 4at het totale kinetische Yer-aogen ale taaotie YRD de afatand oonatant moet si~a, volst hieruit dat de totale k.iaetiaohe enerlie niet constaat hoeft te sija ala tunetie Yaa de tijd.

C. Interactie tuaaen de snelle en laaszaae solt .(b₁+ ea b2

.>.

Zoals ia hoofdstUk lii en Jil aanptooD4 Jruanea de aoclnerplijld.npa

(5-33)

bij deze interactie gereduceerd worden tota

db

14b2-- 4914b2--

49-Hierin eabatitueren •• Toer de beide aodeas

Daar de boaogeae Yerpli3ldnpn in •

1

.~o) ea •

2

.~•?• clie biel'1d.t Yo~, aiet-triYiale oploaeiapa aoeteD pYa, aoet 4e ooitfid.iatea-4etez-t aaat n l zijD. Uit (.5-~) en (5•35)

YOlst

dus

• o.

De viel'kazltnergelijld.ac, die hieruit TOOI" 4e g YOlc" 1 ia I

&2 .,2

' ' · 0

(,_,.1)

Daal' de frequentie ( D ) ooapl.ez kaa sijn aoetea bet iu~ •:J re a Jaet reile deel Y&A (5-41) aal ai3•· We etellea Q • w + 3v ea Yiadeaa

2 2

- w2+ v2+ w

S

~"'o

(1+X)

l •

(Jy + w

Hx'" -

w ) +

~

•

o.

l

1

s

01 p 01

»

---..-- 2vw + v {

~.,.

01

(1+1) } . •

0~

Uit (5-43) Yollt: v • 0 a dit su'batituerend. ia (5~2) Yiacla we eea TierkantnerplJ.jkias ia w • De oploniDCea JU.•naa sijaa

'"'

.---~.~---01 ~

l2

2

,a

-50·

BiJ te,.aceatel.d pl'iellu •Dd.ela 'Yi.Ad.a w YOOI' YOortplaD.tiDgecoutaaDil,

waanoor pldtr

(,_,.,)

Dese reaultateza { (,..Z..,) en (5-46)

1

werden ook seYOJld.a in llootdatü: lY u wel. ia (lt-51) en (lt-52).

We aokriJ•e• in de plaats Yan {5-44):

..

,

. . . - - - , - - - . ,

5p.,.

(1+

lXI>

~

2

+

4PY 0 w (1+ lXI )+ lfw 2 (1-

~>

l

.1

s

1 p p 1feMD. W8 Yerier o

11•:Jc, claD. njn de al.pmene oploaaiapa , Y&ll (,_39):

~

₁

+(~) • (d₁₈-vt + ~·vt> 8jwt ('-48)

bz.Ç~)

•

o~

4

(f-~•J<

..

-o>Îa1.~vt

•

Î

•••;J< ..

-o>Îtz•vt] •J'"

<s-49>

Uit de l»eaiDYoorwaardea, ~t

₁

+~o) _{• b1}(ft} en 'b_{2.(o) •}

o,

Yiaden we de

co:utantea 4₁ en 4₂ • .Sv.'t.atitueren we desa in (5-48) a (5-49) c1aa,

.51

-(5-!$1)

Gebnik alteDel ftJl (,5-".) f t (.5•3.5) Yiadea we 't'OOr het ba .... t ftJl . .

alteolate waar4en van de aodea:

. De overdraoàtetaotor r1 2

..

-

ia hierbij sedetiaieer4 ~~

-1 .

.

Voor de voortplanti.J~Saeoaetaatea, die Yol.cloea aaa (.5-45), p14tz F 1+ ,_{2_} i1ll 1. Ia tic. .5-1 ia de enerai• vaa de aodea ale t.Betie 'ft.ll • •

ti ;I d ptekead..

-De

iateraetiee tuaaea de OYertse aodee sijn ep eeaselt4e aaaler te beh&Ddeleá ale ia hoofdetuk

n.