Enkele opmerkingen over inschakelverschijnselen

Enkele opmerkingen over inschakelverschijnselen

Citation for published version (APA):

Butterweck, H. J. (1967). Enkele opmerkingen over inschakelverschijnselen. (Technische Hogeschool Eindhoven : Afdeling der Elektrotechniek : rapport; Vol. ETB 16). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1967

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

".,

Afdeling der Elektrotec~niek

Sectie Theoretische Elektrotechniek B

\ ' . .'.

Enkele opmerkingen over,inschakelverschijnselen door Prof.dr.ing •. H.J •. Butterweck " . ' . " . " _.. "

.

Intern Rapport ETB 16

juli

1967

T e c

h

n i s ~h e H 0 ge s c h ~ 0 1 cy I . ~.-' . . '.~ , .-','

I

. ,

(

- 1

-Enkele opmerkingen over inschakelverschijnselen.

,

Bij aIle inschakelverschijriselen in netwerken met geconcentreerde . ·elementen heeft men met een differentiaalvergelijking van het.t"1pe

, . · dny dn - 1 + a 1 --'1"1 + · dtn n- dtn- ,. •• + + a "1 = b

d~X

+ .... i-b dx'

b

(1) .. O m'm 1.dt . + '. 'oX . dt

temaken. x is het ingangssignaal (excitatie), y het gezochtecuit-gangssigna.al (responsie). Wij zoeken in het b"1zonder de responsie vanhetnetwerk op de excitatie ( ) pt = u_₁ .t e " . . ; x(t)

_,.

· waar ~_1(t) de eenheidssprong U_ 1 (t)

= a voor t:<

0

=

1 voor t

>.

a "

.

_{.,." .} (2) . ;, .

voorstelt. De.door (2) bElischreven excitatiefunctie bevato.a~ een ingeschakelde gelijk tlspanning" (p

=

a)·en een ingeschakeld harmo-nisch signaal' (p'

=

jw). Algemeen mag peen willekeurige complexe waarde hebben. Voordat.we, (1) oplossen, beschouwenwe eerst het .een-voudiger probleem

.. ~ .. pt

u_1~t) e,

waar dus de rechterzijdevan (1) vervangen.::is door. de flinctie x(t) • 'volgens (2); De differentiaal - operator op de linkerzijde is

de-zelfde als in (1) •

2

-He t is bekend, da t de oplossing van (3) voor t

,>

0 de algemene

gedaante

. .

• ~_ . • r.' w,,_.~,-. " •• ''''_' ""~r~ •. ,~·,,_· __ ~~~,w ~. ,. _ _ _ •• _ •• __ _

q t

c"e' v

heeft. Y1 is dus de som van een particuliere

oplossi~giAept

en de algemene oplossing van de homogene differentiaalverge~

. ' " : '

(4) •.•..

lijking (met de, rechterzijde van

0)

gelijk aan nul). De,

"eigen-frequenties" 'q';

ev

= 1 ••• n) zijn de n·wortels var;t de

karakteris-v tieke vergelijking

+ ."". + a₁ q + a 0 = 0 4

., De coefficienten C

v zijn afhankelijk van de beginvoorwaarden op

het tijdstipt

=

O. De oplossingvan de n-de orde diffeienti~al­

'vergelijking

0)

heeft namelijkprecies. n vrij te kiezen

begin-voorwaarden, bijv. Y

1 (0), dy1 (0) " ••

ci

n

-1

Y1

(0).

dt dtn-1

, " In het voorbijgaan ~erken wij op da t wij de eigenfrequenties <'l::v

als onderling verschillend veronderstellen (geen lIon taarding!')

en ook als verschillEmd van de exci ta tie-frequentie p (geen"

re-s'onantie") ~ Di t punt is ech ter niet essentieel VQor onze

beschou-. wingenbeschou-.

Laten we nu het meest voorkomende geval beschouwen, 'da,t het

sys-teem v66r het inschakelen, d.'W.z. voort·< O,in rustverkeer'de;

- ;, ""!

De rechte~iijde van de differentiaalvergelijking (3) verto6nt

een discontinuiteit bij t

=

0 (de functie springt van 0 naar 1) •... De linkerzijde moet deze sprong ook vertonen. Men tin makkelijk

(' n

. inzien da t alleen de hoogs te afgeleide d y 1 kan springen ( want;: dtn

.&ls een van de lagere. afgeleide discontinu zou zijn, zouden de hogere ~fgeleiden Dirac-stotenof afgeleide erva~ bevatten, waar-voor op derechterzijde vail (3) geenequivalente termen bestaan ... Er ~eldt dus direct nahet inschakele~ (t

=

+0)

en ·n d Y 1 (+0)

=

1 . ·n dt

•.• =

n-1 d Y1 (+0) - 0 dtn -1 , .

. . (7b)

Opmerking: De beginvoorwaarden (7) zijn zeker niet algemeen geldig voor de differentiaalvergelijking (1) met x(t) volgens (2), ook als het systeem voor t<O in rust verkeerde. In dat geval treden nl. aan de rechterzijde door de afgeleiden vanx(t) wel Dirac-stoten OPt die tot sprongen in de lage.re afgeleiden van y leiden. Dus voor t = + 0 is dan (7) niet meergeldig.In de meest~ leerboeken wordt echter ten onrechte ook bij dit pro-bleem de geldigheid van (7) yerondersteld.

Als we de.beginvoorwaarde (7) op dealgemene oplossing toepassen, krijgenwe het voigende systeem van vergelijkingen:

.,

- 4 -' A + c'1 ',+ c 2 + •••••••••• ::;: 0 pA + _{q1 c 1} + _{q2 c 2} + p2A" + _q1 2 c 2 1 + q2 c 2 + • • • • • 0 . " .

....

+ qn c ::;: 0 n 2 0 +l qn c ::;: n n-1 + qn c n ::;: 0 n q 'c ::;: 1 +, n n . !. (8) , , : du~ n + 1 vergelijkingen voor de onbekenden ~1c1 ••• cn. De coiffi-cienten van dit systeem vormen een typische determinant, die in de literatuuronder Q.e naa~ "Vandermonde determinant" .. bekend staat. Deze determinant kan door algebralsche trucjes algemeen opgelost worden (Guillemin). Daar wij de achtergrond vandit probleemkennen, kunnen wij de oplossing veel eenvoudiger vinden. De constante A van departiculiere oplossing moet uiteraard aan de vergelijking

voldoen [(4) wordt in (3) ingevuld] ,watwe met behulp van de wortels qn ook in de vorm

kunnen schrijven. Wij krijgen dus

A ::;: 1

(p - q ) n

*

E.A .. Guillemin, Theory of Linear Ph!sical Systems,

J. Wiley New York 1963, p. 283.

, (10)

,\

..

.... -.:~. :, ....

5

-Nu is het systeem (8)' volkomen symrnetrisch opgebouwd, zodat we de' 'oplossingen voor

°

₁

,°

₂ ••• onmiddellijk kunnen opschrijven:

1 ==

°1

(q1 -p) (q1 q2) '(q1 q3)

...

(q ₁ qn ) 1

=

c₂ (q2 :-p) (q2 q1 ) (q _{. 2,.} q3) (q2 - q ) _{( 12)} n

•

• ., , • 1

° = (qn

n

-

p) (q q1 ) (q q2)

...

(qn q ) n n n-1

Daarmee h~bben wij de oplossing van

0)

gevonden met de veronder-, stelling dat het systeem voor t<' 0 in rust verkeerd.e. (1)kUnnen

we nuonmiddellijk oplossen, waarbij we dezelfde conditiey =0

"

voor "t

<:

O'veronderstellen. We beschouwen een lineaire differentiaal- ' vergelijking van het:t;ype

-met f(t) =0 voor t

<

0 en yet)

=

0 voo~ t

<

O.

, . .

Voor deze differentiaalvergelijking gelden de volgende twee,makkelijk te bewijzen,stellingen:

.1.

a) Indien bij fet)

=

fI(t) de oplossing yet)

=

yI(t) en bij f(~)

=

fII(t) de oplossing yet)

=

YII(t) hoort, hoort bij f(t)

=

a

1fICt),+ ~2fII(t) deoploEising yet)

=

a1YICt) +a2YIICt). (Superpositie)

b) Indien ~~j ret)

=

get) de f(t)

=

~

de

oplos~ing

" dt

n , .f:.. "' .. oplossin§: y(t)

=

yet)

=

d h • dtn

6

-M.b.v. deze theoremas voIgt uit (1), (2), (3)

m _dm-1 _{dy .} dy b . 1 b Y1 b₁ 1 b

_o

_Y1 Y = + d tm-:l +' + m ··m· m-1 dt dt . (14)

In de meesteprak?ische gevallen is m

.:S

n, d.w.z. de functie

Y1

wordt niet meer dan ,n' keer .gedifferentilerd. Uit de beginvoor-waarden (7) voIgt echter, dat Y1 inderdaad .n keer differentieerbaar . is, zonder dater Dirac-stoten optreden. De op;).ossing.heeft'dus de

algemene gedaante: Y (t) n + I: \I =1 .q t d e \I \I B = m m - 1 b _m P + b _m-1 P + ••• b₁P +

b

0 m m-1 b q + b 1q _{+ ••• b 1}q m n m- n n + b o

Met behulp van de f! overdracntsftirict'ie"

+ b

o

kunnen we (16) ookinde algemenevorm:

=

( 16) m m-1 b s + b 1 s + .... b 1· s+b m m- . 0 n n:"'1 s +a n_1s + ••• ,a1s + ao (17 )

,iI'. B = H(p) d'

=

\I 1 q -p \ I " lim s ... q \I

7

-(s-q )H(s) (18 ) .\1

schrijvep. Hetzelfde eindresultaat krijgen we ook met behulpvan een correcte toepassing van de Laplacetransformatie~ die zi~h'~chter

door haar formele elegantie over bepaalde moeilijkheden betreffende . de 'geginvoorwaarden heenzet. De meeste ;.,auteursmaken dan oO,kfouten

bij het bepalen van de beginvoorwaarden.*

• : , , ' < • .~:

* Zie ook G.Wunsch, Die Heavisidesche Operatorenrechnung in neuer Begrundung. Hochfrequenztechnik und Ele,ktroakustik 69(1960),p.133.