De invloed van de initiële deformatie op de critische belasting bij kip van balken

De invloed van de initiële deformatie op de critische belasting

bij kip van balken

Citation for published version (APA):

Levasier, L. M. (1986). De invloed van de initiële deformatie op de critische belasting bij kip van balken. (DCT rapporten; Vol. 1986.039). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

De invloed van de initiële deformatie

op de critische belasting

bij kip van balken.

L * M. Levasier.

Verslag ter ~ € r o tweede ~ d ~stage WFW ~ ~

dr. ir. C.R. c enken

Inhoud :

Symbolenlijst :

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 2: De kwadratische potenti&le energie

functionaal

Hoofdstuk 3: Het verplaatsingsveld van een balk

bij gecombineerde torsie en buiging in twee richtingen.

Hoofdstuk 4: De kwadratische potentiële energie

functionaal toegepast op het

verplaatsingsveld van hoofdstuk 3.

Hoofdstuk 5: Berekening van de kiplast.

5

16

27

I

Symbolenlijst:

A Buitenoppervlak van volume V in de momentane configuratie

Buitenoppervlak van volume

Vain

de referentieconfiguratie

AO

A,A,a,a),B etc. : Willekeurige grootheden. e E'E E SF G 4H I 1

n

J 1 M Y' 'cr

;

3

3

IP2 -B p2 P W I U U U V O vO O ir W W O

*

*

O W X X X -B

.,

O O O x Green-Lagrange rek

Green-Lagrange rektensor en matrixrepresentatie Elasticiteitsmodulus

Deformatietensor Glijdingsmodulus

Vierde orde tensor met materiaalgedrag Hoofdtraagheidsmomenten van de balk. Eenheidstensor

Torsietraagheidsmoment (torsieintegraal] en jacobiaan Lengte van de balk

Buigend moment

Buigend moment op de stabiliteitsgrens

Tweede Piola-Kirchoff spanningstensor en matrixrepresentatie Spanningsvector

Belasting per eenheid van massa Verplaatsingsvector

Verzameling van alle verplaatsingsvectoren van he systeem Deformatietensor, F = I

+

U Component van

u

in

e

Component van

;t

in

e

richting X u(xo, 0'01 v(

xo

'

O;

o

1 richting Y Vo(Xo) w ( xo

,

0 ;

o

1

Component van in

ez

richting

Toestand van het systeem in welke het in evenwicht is

wo

in de evenwichtstoestand

Positievector in de momentane configuratie Positievector in de referentieconfiguratie Component van

zo

in de

x o + a J ,

richting, later ook x genoemd

H

z O a Y

a

1

a2

e

*

d

Component van xo in de

e

richting, later ook y genoemd

Component van xo in de

gz

richting, later ook z genoemd

Y + Torsie rotatiehoek I I I I1 U I y = Q

+

$i($"o

-

_lofro) Eerste variatie Tweede variatie Massadichtheid Welvingsfunktie

Gradientoperator, werkend t.o.v. de momentane configuratie Gradientoperator, werkend t.o.v. de referentieconfiguratie Welvingsintegraal

1

1. Inleiding

De term kip werd bedacht door Ludwig Prandtl [ l J , en verscheen voor het eerst in zijn proefschrift in 1899:

Kipp erscheinungen: Ein Fall von instabilem elastischem Gleichgewicht.

Het verschijnsel treedt op, wanneer een balk buigend belast wordt in de richting van het grootste hoofdtraagheidsmoment. Wanneer de belasting een bepaalde waarde overschrijdt, wordt het evenwicht instabiel en zal de balk zijwaarts wegbuigen, waarbij tegelijkertijd een rotatie optreedt.

Onderstaande figuren geven een tweetal voorbeelden van het kipverschijnsel.

Prandtl vond met behulp van evenwichtsanalysen een tweede orde

differentiaalvergelijking8 en de oplossing daarvan voor een aantal typische problemen. Overigens publiceerde Michel1 [ZJ ,geheel onafhankelijk van Prandtl, in datzelfde jaar een ongeveer gelijkluidende analyse van het probleem.

2

De uitdrukking voor de kritische belasting luidt:

Pcr= Y . J(E'~GJ) _{wanneer de belasting een kracht is.}

CI

1"

en

Mer=

y . J(EIzGJ) wanneer de belasting een buigend moment is.

1

Iz is hier het kleinste hoofdtraagheidsmoment van de balk en J is de torsieintegraal.

y is een dimensieloze constante, welke steeds afhankelijk is van de aard van de belasting, de dynamische en kinematische randvoorwaarden, en de kwaliteit van het mathematische model. Wanneer bijvoorbeeld de invloed van de welving wordt meegenomen in het model, dan bevat y de factor:

n2 Er

l2 GJ

J(1t

-

-1

Hierin is

r

de welvingsintegraal. In het tweede deel van Prandtls werk:

Spezielle Verbesserungen und ~rweiterungen der Theorie.

berekent hij voor een balk met rechthoekige dwarsdoorsnede de invloed van de buiging die vooraf gaat aan het kipverschijnsel, op de kritische belasting. Deze uitbreiding van de theorie resulteert in een factor:

1

Deze term heeft tot gevolg dat wanneer de twee Hoofdtraagheidsmomenten even groot zijn, het kipverschijnsel niet op zal treden.

Er zijn overigens publicaties, waarin wordt beweerd dat de invloed van de initiële doorbuiging pas in 1939 door ChwaPla [ 3 ] op deze wijze werd gekwantificeerd.

De afleidingen waar deze ter= i:: voorkgau! sswre~ steeds zfge1eid met hehulp van evenwiehtbeschouwingen. In latere jaren kwamen de methoden die waren

3

gebaseerd op energiebeschouwingen steeds meer in opkomst. Deze methoden gaan er van uit dat een conservatief mechanisch systeem niet meer stabiel is, wanneer na een kleine verstoring van het evenwicht, het systeem niet meer in die evenwichtstoestand terugkeert. In dit verslag zal deze weg worden

gevolgd. De invloed van niet-lineaire rektermen, en daarmee samenhangend, de invloed van de initidle deformatie, zal ook worden meegenomen. Eerst zal een stabiliteitscriterium worden afgeleid, daarna een &&n-dimensionaal model van een balk, waarop vervolgens dit criterium zal worden toegepast. Tenslotte zal voor &&n belastingsgevaì de critische belasting worden bepaald.

4 Literatuur: 1 2 3 4 5 6 7

Prandtl L. Kipp-Erscheinungen, Miinchen 1899

Michel1 A.G.M. Elastic stability of long beams under transverse forces. Phil.Mag. Vol 48 1899

Chwalla E.

Bleich F.

Die Kipp-Stabilität geräder träger mit doppelt symmetrischem I-Querschnitt, Forschungshefte auf dem Gebiete des Stahlbaues, No 2, Berlin 1939

Buckling strength of metal structures, Mc Graw-Hill Book company inc. 1952

Timoshenko P. Theory of elastic stability, 2nd ed,

Gere M. Nc Graw-Hill Book company inc. 1961

Roberts T.N. Influence of pre-buckling

Azizian Z.G. displacements on the elastic critical loads of thin walled bars of open cross-section Int.Journa1 of Hech. Sci. No.2 1983

Rosen A . Friedmann P.

The non-linear Behaviour of Elastic slender straight beams undergofng Small Strains and moderate rotations.

5

2 . De kwadratische potentiële energie functionaal.

Voor een conservatief niechanisch systeem geldt dat de potentiële energie V slechts een functie is van de positievectoren van alle materiële punten van dat systeem. In dat geval is V ook een functie van de verplaatsingsvectoren van alle materiële punten ten opzichte van een willekeurige, kinematisch toelaatbare referentieconfiguratie. Als referentieconfiguratie neemt-, men meestal die, waarvoor de inwendige (elastische) energie van het systeem nul is. De relatie tussen V en de verzameling van de verplaatsingsvectoren van alle materiële punten

8

kan men schrijven als:

of

v

= V(U)

L V

We bekijken nu naast de referentieconfiguratie, welke in het vervolg met index O zal worden aangeduid, nog een tweede configuratie; de momentane configuratie. Deze configuratie zal worden aangenomen nadat onder invloed van een conservatieve mechanische belasting de constructie elastisch is gedeformeerd en er evenwicht is opgetreden. Deze configuratie zal in het vervolg niet een

*

worden aangeduid:

*

*

v

= V ( U )

We zijn getnteresseerd in de stabiliteit van deze evenwichtssituatie. Daarom

bekijken we een kleine variatie van

6

rond

5

: 6 c

variatie van V tot gevolg:

*

Deze variatie heeft een

*

2

6

i 68.9

r;

+

6 V i 6

v

+ - '

6

voor alle

Het bewijs val deze bewering volgt later. De stabiliteitsgrens wordt bereikt wanneer het systeem in evenwicht is en wanneer

kinematisch toelaatbare variaties van het verplaatsingsveld 6 8

-

2

6 V = O

Men dient er hier wel op te letten dat het systeem in evenwicht is wanneer voor alle kj.nematisch toelaatbare 66 geldt dat

ö V =

o

en dat de stabiliteitsgrens wordt bereikt wanneer er een variatie 6 8 bestaat

waarvoor geldt dat

2

6 V = O

i)

en wanneer er geen variatie öU bestaat waarvoor

ö2v

<

o

Het is zinvol om de potentiële energie op te splitsen in elastische energie V en de potentiaal van de uitwendige V. kan worden geschreven als

i 1

twee delen; de belasting Vu

Hier is V

energie per eenheid van referentievolume

Het volume in de referentieconfiguratie en v

O i de elastische

De externe belastingen worden gemodelleerd met een kracht per eenheid van massa d q en een kracht per eenheid van buitenoppervlak p. -D

De eerste variatie 6Vu van V u als gevolg van 66 luidt:

7

-b -b

6; en 6q zijn de variaties van p respectievelijk

g

ais gevolg van 6 6 .

Tot nu toe zijn we er vanuit gegaan dat het verplaatsingsveld direct werd beschreven met

6.

Dit is meestal een wat onpractisch uitgangspunt. het is beter om aan te nemen dat het verplaatsingsveld uitgedrukt kan worden in &en of meer grootheden die op hun beurt weer een functie zijn van 44n of meer coördinaten. Wanneer nu de verplaatsingen niet-lineair afhangen van deze grootheden, dan zal bij variatie van die grootheden de tweede variatie van de verplaatsingen ongelijk zijn aan nul. de Tweede orétriatie van de

uitwendige potentiële energie wordt dan uitgebreid tot:

Dit betekent dat zelfs bij een zogenaamde dood-gewicht belasting de tweede variatie van de uitwendige potentiële energie niet altijd nul behoeft te zijn.

Beschouw nu een elastisch lichaam in de momentane configuratie. De

positievector van ieder materieël punt is een functie van zijn positievector in de referentieconfiguratie:

Bit is een Lagrange beschrijving.

Omdat nooit twee deeltjes dezelfde positie in de ruimte kunnen innemen, is deze afbeelding bijectief.

+ + +

O

8 Een punt dat in de ongedeformeerde configuratie dicht bij O lag, zal in d e

momentane configuratie dicht bij x liggen. Zij xot dxo de positievector van dat punt in de referentieconfiguratie en

x

t dX de positievector in de

momentane configuratie . wanneer lidg 11 voldoende klein is

,

kan men het verband O tussen dx en dx lineariseren: O + + + -b -b -b + c F =

(vo

XI

8

_O is de gradientoperator werkend ten opzichte van de referentieconfiguratie

dA = d%o*doA

Men kan ook een gradihtoperator definieren ten opzichte van de momentane configuratie:

het verband tussen

a'

en

3

_O wordt dus gegeven door:

-

F C d

-b

O 0 -

+

De Green-Lagrange rek van een lijnstukje dxo wordt als volgt gedefinieerd:

+ + dX*d% - dxoedxo i 2 dxo e dxo e = - * *

9

Er zijn natuurlijk ook andere rekdefinities mogelijk, maair deze is wiskundig gezien de meest bruikbare.

1

2

IE =

-

( F C C l F - E)

met :

E is de Green-Lagrange rektensor. Be Green-Lagrange rek in de richting

n,

(llh

= 1) is dus gelijk aan:

3 - b

e = n*lEcn

Het is niet onredelijk om aan te nemen dat de specifieke elastische energie slechts een functie is van deze Green-Lagrange rektensor.

*

*

v. = Vi(lE)

1 en dus ook:

Wanneer men deze betrekking met een gegeneraliseerd Taylorpolynoom benadert rond

E,

*

verkrijgt men:

*

CI

*

*

3Vi 1 V V i C v = v. i- (-):EC Jr

-

((-):aC):m

Jr

. . . .

3E 3IE 3E i

*

Men kan AiE beschouwen als een variatie van

IE

rond

E

als gevolg van de variatie van het verplaatsingsveld:

10 2 A E = Ó E

+

Ó IE

+

. . . .

dus :

*

a

*

*

hi

azVi 4- (--l:ó?EC

+

;

((- ):ÓEC):aEC

+

. . . .

C

*

alE %E alE

*

*

*

CI I 3"Vi : ó%CdVo

+/

(

-i

?(

: E c ) : óZECdVo+ .

.

.

a?E

aE vO 1 1

*

2

vi

=

vi

-+

ÓVi

+

ó

vi

met : en

*

2*

*

c c

1

:ii

1

vO

E

;

'

:

:

ó 2

v.

= (-l:Ó%CdVo

+

( $-):@E

):óE

dV0

1 vO

In het vervolg zal bebruik worden gemaakt van de volgende afkortingen:

en

a

Vi

F2

=

-

aE

2

a

vi 4E =

-

Be tweede Piola-kirchkoff spanningstensor

De tensor met materiaalgedrag

We gaan uit van linear elastisch materiaalgedrag;

$r

is dan niet afhankelijk vanE. In d i t geval geldt:

en

P 2 = & : E

11

De totale eerste en tweede variatie van de potentiële energie woiden nu:

6V

=i

G2:

6E dVo

-J

QdV - / ; e b ; dA

V A

vO

6%

=/

G2:

5% dVo

+/

2

6P2:

6E

dVo

+

6 2 Vu

vO vO

Hier is gebruik gemaakt van de symmetrie vanE.

Wanneer het systeem in evenwicht is, dan moet voor alle variaties van het verplaatsinysveld gelden:

sv

=

o

Bewijs :

Hievoor wordt de cauchy spanningstensor ár gelntroduceerd. De spanning werkend op een oppervlak met eenheidsbuitennormaalvector n is:

t

-P 3 p = 0an

Invullen van deze relatie in de uitdrukking voor de eerste variatie van de potenti&le energie geeft :

1 2

Tevens geldt:

-9-9 c +

V @ W1J) = ( ? e a )

*5

+

A: (Vb)

Als het systeem in evenwicht is, moet in ieder punt ook aan de locale

evenwichtsvergelijking worden voldaan:

Gebruik makend van:

en wordt dit: -c -9 O ; = I F Q B

f

f

1 3 + + c = II t ( V O U ) =

1

+

81 + c 3F = ( V O X ) + -* =

($(go+

ui) + + c B = (VOU) Invullen geeft:

6V =

/G2:

ÖE

dVo

--J

(2;

: $-'eóUC JdVO vO

JVO

Tussen

P2

en (II bestaat het volgende verband:

Of invullen:

* *

* c x-

av

= $ 2 :

öE

dVo

-1

vO vQ : IF

c m c

avo

=I

i2:

ÖE dVQ

-,/

$e$2: 6Uc dVo

14

c

* *

*

*

[i2:

611

+

IP2: uceóO - IP2: 6 U - U e P 2 : 6UC]dV0

*

* c

*

*

Eg2:

óa1

+ IP2: $c@ólJ

-

P 2 : 68 - F2: U * ó W

]avo

<=>

Q.E.D.

ó v =

o

Er is hier gebruik gemaakt van de volgende relaties:

c P2 = P 2

Er rest nu de tweede variatie van V:

62V

62:

ó% dVo

.i'

i

ÓP2: ZE dVo

+

Ó 2 Vu

vO vO

Deze re1ati.e is slechts dan zinvol te gebruiken wanneer men de tensoren in hun matrixrepresentatie schrijft ten opzichte van een basis el1e2'e3. De matrixrepresentatie A van een tensor4 wordt gegeven door:

- D + 4

A =

2

dVo

+)

6P2: ÓE dVo i- 6 Vu

15

E en P zijn de matrixrepresentaties van E respectievelijk B2.

2 Literatuur: Collegedictaat Collegedictaat Stabiliteit 6L Knik ing. W. J. Groot dr. ir. C.M. Menken THE nr.4065

1 6

3 . Het verplaatsingsveld van een balk bij gecombineerde torsie en buiging in twee richtingen.

Om het probleem van de kip nog op analytische wijze op te kunnen lossen, dient het te worden gereduceerd tot een &en dimensionaal probleem. Dit kan gebeuren door het doen van wat aannamen met betrekking tot de vervorining van de balk. Bij kip treedt tegelijkertijd buiging en torsie o p . Door nu de balkentheorie voor buiging en die voor torsie op de juiste wijze met elkaar te combineren, kan een geschikt model gevonden worden voor de bechrijving van het verplaatsingsveld. Bij buiging wordt uitgegaan van de hypothesen van Bernoulli:

-

Vlakke doorsneden blijven vlak.

-

Doorsneden welke oorspronkelijk loodrecht op de balkas stonden, blijven na vervorming loodrecht op de balkas.

Bij torsie wordt uitgegaan van de hypothesen van de Saint-Venant. Om het rekenwerk enigszins binnen de perken te houden, zullen we ons

beperken tot prismatische balken met dubbelsymmetr~sche dwarsdoorsnede.

Als basis voor het, coördinatenstelsel nemen we de orthonormale basis

+ 4 - b -b -e

e x,ey,ez. e ligt in het verlengde van de balkas, e ligt evenwijdig aan de

Y

-b

x

grootste koofdtraagheidsas van de balk, en ez ligt evenwijdig aan de kleinste ~ioo€dtraag~~eidsas van de balk.

Y

De balkentheorie maakt het mogelijk om het verplaatsingsveld uit te drukken in een aantal grootheden die slechts een functie zijn van x Hier is xo de x-coördinaat van een materieel punt in de ongedeformeerde configuratie. Dienovereenkomstig worden y G en z gedefinieerd als de y- en z-cobrdinaat van dat punt in de ongedeformeerde configuratie. de grootheden welke hier zullen worden gebruikt, zijn u

de hartlijn in x-, y- respectievelijk z-richting, en een lat.er te definiëren torsiehoek a .

met behulp van een aantal basistransformaties zal nu een betrekking voor het verp~aatsingsv~l~ worden afgeleid.

o'

o

en wo; de verplaatsingen van en punt op

Be eerste hulpbasis die zal worden gebruikt, is

x,y,Z.

Deze basis heeft dezelfde oriëntatie a l s x I y , z . De oorsprong van ;Y,Y,Z ligt op een punt op de

hartlijn van de balk. L

f'

X / -- I / . / x

Be relatie t u s s e n x , y , z en .Z,y,i wordt gegeven door:

De bedoeling van de basistransformaties is een betrekking te verkrijgen tussen de coördinaten van een punt in de momentane configuratie en die in de referentieconfiguratie. Bij buiging wordt uitgegaan van de hypothesen van Bernoulli, dus het verplaatsingveld kan worden beschreven met een translatie en een rotatie van iedere dwarsdoorsnede van de balk. De translatie is al beschreven niet de vorige basistransformatie, nu volgt een beschrijving van de ïûtatie. B e k i j k nu de directe ~ m g e v i r , g vim de oorsprnng va-, het stelsel

18

x r y r z . De buiging in twee richtingen wordt steeds gereduceerd tot locale

Deze buigingsrichting wordt gekarakteriseerd door de hoek

p.

Dit is de hoek buiging in Cèn richting, waarbij deze buigingsrichting een functie is van x O die het vlak door de X-as en de hartlijn van de balk maakt met de Z-as. _De rotatie die bij buiging optreedt heet y . Dit is dus ook de hoek die de Z-as

maakt met de hartlijn van de balk.

Het coördinatenstelsel dat verkregen wordt door X I i I L z over y te rotesen, noemen we X,y,Z. De x-as raakt aan de hartlijn van de balk. Om deze rotaties

op mat~~ematisc~e wijze te kunnen beschrijven, worden twee hulpassenstelsels ingevoerd, te weten, E , q , Q en

E,fi,E.

Deze zijn zodanig gedefinieerd, dat de E-as samenvalt met de x-as, de q as met de ij as, en de 2-as met de 'x-as.

- - _

19 0 -sin $ cos f3 - 2

De relaties tussen de coördinatenstelsels luiden: I

-

1 O O cos $ sin

o

-sin $ cos $

.

__

cos y O -sin sin y O cos 1 i O

o

cos $ O sin fl dus : 1

o

o

- X - Z O -sin $ cos @ 1 O O cos y O -sin y =

1

o

cos $ sin

$1

-

1

0 1 O

O -sin $ cos 8 sin y O cos y

cos y -sin y,sin $

- c o s y cos y.sin $

-sin@. cos$+sin@- cos$*cosy,

- s in y

.

cos $

7 -

I

-91 =

I

2 2

-siny. sin8

2 cosy

-J ,cos@.siny -sin~.cos8+sin~.coss-cosr sin @+cos @.COSY

2 2

20

cos $, sin 8 , cos y en sin y zijn uit te drukken in de verplaatsingen van de punten op de hartlijn.

bovenstaande figuur i s alleen correct wanneer men de rek van de hartlijn

verwaarloost d V o

-

I ' d met =

-

- vO sin $ = dv0 - - dxO - dxO dWo - - cos $ = 2 2 J(dvo+dwO) m v 0 L i- dwil sin y = = J(vo I 2 - k W F 2 ) O dxO 2 2 2 I ' 2 lw'2 ' 2 ' 2 ) 1 - -v - = J ( l - vo -

wo

2 0

z o

J(dx - dvo- dwo) d x _- - O cos y =

-

dxO dxO I ' 2 ' 2 O I J(v i- wo ) = vo vO sin 8 sin y = ' 2 ' 2 J(vo -p wo

1

I ' 2 ' 2 I J ( v o i- w _O 1 = wo cos $ sil; y = J(vo ' 2 i- wo ' 2 )

21 I 1 "

-

Lv

w

2 0 0 1 '2 1

-

ZWO ' I ' I - -X Y 3- 1 '2 1 '2)

(I

-

po

-

ZWO

wove

+

wove

-cos@ sin@ +cos@ sin@ cosy ::

-

'2 '2

w

+

vo

wo

+

vo

O '2 '2 '2 '2

l w o + v o

I '

w v = -

;

w;v;

=

-

2

'2 '2 O 0

w

_O

+

vo 2 2 O + 1 '2

-

(1

-

y o

vO

wo

+

vo

W

cos @+sin @ cosy ::

'2 '2 '2 '2

wo

+

vo

' 2 '2 '2 '2 O 1 '2

2

vo

'2

= I -

1

wo

+

vo

w

+

vo

vO

= I - -

'2 O '2 '2 O 2 2 O + 1 '2

-

(1

_-

_po

W '2 '2 '2 O V sin @+cos @ cosy

=

w

+

vo

w

+

vo

1

wo

'2, VI2

o

'2 = A - 1 '2

2

wo

= I -

2

'2 '2

w

_O

+

vo

invullen van deze relaties geeft:

I O 1 '2 -V I

-

zvo 1 " 2 0 0

-

-v w

Hiermee is de beschrijving van de buiging voltooid. De gebruikte methode is wel enigszins afwijkend van die, welke in de literatuur worden gebruikt, maar in tegenstelling tot die methoden, hangt bij deze methode het

uiteindelijke resultaat niet af van de keuze van het coördinatenstelsel. Er rest nu nog de beschrijving van de torsie van de balk. Uitgangspunt hierbij is het verplaatsingsveld van een rechte balk bij homogene torsie. We kunnen

22

O O

il

O sin u cos u_

het verplaatsingsveld beschrijven als een starre rotatie van iedere dwarsdoorsnede om haar zwaartepunt, en een axiale verplaatsing van ieder punt op de dwarsdoorsnede, de zogenaamde welving. De rotatie wordt

uitgedrukt in een rotatiehoek u. Bij homogene torsie zal de axiale verplaatsing slechts een functie zijn van yo en z _O

per eenheid van lengte. We kunnen de axiale Verplaatsing schrijven als een functie J, van y en zo,de welvingsfunctie, vermenigvuldigd met de

hoekverdraaiing per eenheid van lengte.

en van de hoekverdraaiing

O

1x0

I

Deze keuze is zuiver arbitrair daar bij homogene torsie u toch constant is. Wanneer we echter niet-homogene torsie willen beschrijven geeft deze

benadering een een geschikt uitgangspunt. Wanneer namelijk de verplaatsingen slechts zwak variërende functies zijn van xo kunnen we de methode van

scheiding van variabelen toepassen. We stellen dan dat de

verplaatsingscomponenten van

2

gelijk zijn aan een functie van

xo

vermenigvuldigd met een functie van yo en zo. Voor de axiale

verplaatsingscomponent kan voor de functie van

xo

de functie u genomen worden en voor de functie van yo en zo de eerder gedefiniëerde functie

a.

De twee andere verplaatsingscomponenten, v en w, worden uitgedrukt in een

combinatie van sin u(xo) en cos u(xo) enerzijds en yo en

z

rotatie en de welving worden ook hier weer beschreven met

1 anderzijds. De O coördinaattransformaties. De rotatie:

_{I f}

A

-

-

I

ai

en de welving:

I

23

O

sin a cos u

Nu volgt het koppelen van de basistransformaties. Hier zitten nogal wat haken en ogen aan. Beschouw een materieel punt met referentiecoördinaten

~xofyo,zo). Wanneer de balk alleen zou torderen, dan zouden de ruimtelijke coördinaten van dat punt gelijk zijn aan:

Wanneer men alle punten bekijkt die op dezelfde dwarsdoorsnede loodrecht op de hartlijn liggen, dan ziet men dat deze punten niet dezelfde

referentiecoördinaat

x

hebben, hetgeen een gevolg is van de welving. de ruimtelijke x-coördinaat is voor alle punten op deze dwarsdoorsnede:

O

De xo coördinaat van het punt dat op deze dwarsdoorsnede ligt en ook op de

hartlijn noemen we

io

24 I O

-6

l . ' . ' 2 0 0 1 8 ' 2

- - v w

1

-

ZWO Nu wordt de buigingstheorie toegepast opt de getordeerde balk. Dit betekent dat een dwarsdoorsnede welke na torsie en voor buiging loodrecht op de balkas stond, dit na buiging nog steeds doet.

c -- - X * y - - Z O

ú -

v

t O I; - 1

-

yo

-

ZWO I vo I W I O -.G 0- 1 . ' 2 1

-

.=po

- 0 I . ' . ' 2 0 0

-

-v

w

X - O

1;

Hier is Üo gelijk aan uo(xota(xo) .$(yo,zo)) etc.

De coördinaat

%

is van geen betekenis. Deze wordt gelijk gesteld aan nul. De coördinaten

5

en

2

worden gelijk gesteld aan

volgende beschrijving: Een punt met referentiecodrdinaten x o f y o f z o komt na torsie in een vlak te liggen dat de hartlijn snijdt in het punt met

en

2.

Ben verkrijgtdan de

l

referentiecobrdinaten

X

O ,O, O met

X o

= xo +u(xo) .*(YOfZ0).

Bij buiging roteert en transleert dit gehele vlak volgens bovenstaande transformatie. Met uiteindelijke resultaat is:

-vO

1

-

po

1 - I 2

1 . 1 I

I.,

Voor de verplaatsingen u,v,w geldt:

L

- - v w 2 0 0 xO I 1 , ' , I 2 0 c

-

-v w

1

-

ZWO 1 *'2 cos a -sin a] O cos o(- - 2 sin u

25

G -

.-' O U

v

=

o

+ G o +

-

. I -vO

1-y0

1 0 ' 2

-

-v w sin a O -W

-

-v

w

2 0 0 1 . ' 2

1

-

ZWO W -sin a - 2 0 0

Lo

-

Lwo _{P O}

Als nevenconditie voor de rekloosheid van de balkas geldt tevens:

I 2 ' 2 ' 2

(ltuo) t Vo t wo =

1

Wanneer met dit verplaatsingsveld de Green-Lagrange rekmatrix zou worden bepaald, dan zouden, als de welving even buiten beschouwing gelaten werd, de termen voor E en EI3 gelijk zijn aan:

12 II I 1 2 o 0 E I 3 = +(a

+

-(w v

-

wov0)~y0 I I1 I1 1

De term i(wovo

-

w v ) gedraagt zich op dezelfde wijze als a ' . Bij het opstellen van de torsietheorie bleek dat de welvingsfunctie geheel werd

O 0

bepaald door de compensatie van de rektermen E I 2 en EI3 welke zij tot gevolg had. Deze rektermen waren voor zuivere torsie gelijk aan -o(

zo

en +a yo. Dit

I I

gold voor torsie van een rechte balk. Bij de gekromde balk zijn deze rektermen echter gelijk aan - ( a 1 t

I II :I I

(w

v

2

o

o

-

wovo)~zo

en

Het is daarom redelijk om voor de welving

in plaats van

:

1

, ! .t! , I 1 - 8 I

t 2(wovo

-

w v

1

worden afgekort tot y

26

Het verplaatsingveld wordt dan:

en : en : ' 2 '2 ' 2

o

O (l+u ) t v t wo = 1 .'.U , ' I . ' y ' = a' t

₂

l(W _{O 0} v

-

w v _{O 0} 1

4 .

t

u Y *

v

-= r-yo

-

w

_- -2 _0.

De kwadratische potentiële energiefunctionaal toegepast op het verplaatsingsveld van hoofdstuk 3 .

-t'j

w

-

De functionaal luidde:

2 2 2

6 V =

Ji2:

6 E dVo t

i

6P2: 6E dVo t 6 Vu

vO vO

Deze functionaal voegt aan een verplaatsingsveld, welk een functie is van een mechanische belasting, de tweede variatie van de potentiCl@ energie toe, welke weer het gevolg is van een variatie van het verplaatsingsveld.

Het verplaatsingsveld van de balk:

en : en : 1,'

-

-v

w

2 0 0 t

-W _O (sina yo+ cosa zo)

I,'.'

2 0 0 O

-

-v w

(sina y t cosa zo) cosa y

-

sina zo) + ( 1

-

po

* ' 2, (sina yo+ cosa zo)

O ' 2 (ltu )

+

vo

t wo2 =

1

O t It t I 1 I t y = a

+

-(w

2 O 0

+

-

Wove)

Voor een funktie f (x,) geldt dat i=f (x,l=f (xo+ytJI).

In het vervolg zal de index O worden weggelaten bij xo, yo en zo. x, y en

z

worden dan de coordinaten van een punt in de ongedeformeerde configuratie. In het vorige hoofdstuk is al gezegd dat I Y het grootste

hoofdtraagheidsmoment van de balk is. bij kip wordt de balk buigend belast in de richting van de grootste stijfheid. Dit heeft tot gevolg dat voordat de balk wegkipt, alleen

wo

en u. ongelijk zijn aan nul. In de uitdrukkingen

*

voor de rekmatrices en de variaties hiervan zullen dus ook alleen wo en u.

ongelijk zijn aan nul. Overigens wordt u. geclimineerd met de nevenconditie

voor de rekloosheid van de balkas.

I I n I\.,-

x

:

..

9 _r-

+.-

7 'c s

-%

c n I c

29

O

Bij differentiatie word de volgende notatie gebruikt:

voor de functies uorvo en

wo,

welke in het verplaatsingsveld voork een funktie van xo=

xo+

y

al

gelden bij differentiëren de volgende

I

men als regels :

etc.

I

Met de conditie voor rekloosheid van de balkac wordt u. geqlimineerd:

(l+u I) 2 + Wo '2 + 1 => 1

+

u;, =

J(l

-

VI2-

wl21

O 0 0 1 '2

-

-lw'2 a 1

-

po

2 0 I

1

' 2

-

lw'2

-

2%

2

o

U = O <=

>

In de evenwichtstoestand vbor uitkippen geld:

*

u . = u. vo =

o

wo

=

wo

*

u

= o

*

*

*

Omdat y gelijk is aan nul, is wo gelijk aan wo.

*

U =

-Y

1*'2

o

i""

-

O I O

30

De Green- Lagrange rekmatrix wordt berekend uit:

1 T T

2

E = -(U t U t UaU)

2

Men kan 6E en 6

E

berekenen uit

E

maar het is echter eenvoudiger om eerst 6U 2 en 6 U te berekenen, en daarna

1

6E = 2(6U t 2 6E en Ei

E

met:

auT,

auT;

t 2 1 2 2 T* *T 2 en 6

E

=

p

u

t b2UTt 6UT6U t 6

u

u

t

u

6 U)

De primaire te variëren grootheden zijn vo

,

wo en a :

*

v _O =

v

₀ t 6vo

*

w _O = wo t 6wo

*

a = a t ö a

nit symmetrieoverwegingen wordt de variatie van wo achterwege gelaten; de enige situatie waarbij 6wo ongelijk aan nul zal zijn, is wanneer 6vo en 6a beide gelijk zijn aan nul. In dit geval wordt zuivere knik beschreven en dat is hier niet aan de orde. Het niet variëren van w betekent overigens niet dat 6w0 gelijk is aan nul.

Achtereenvolgens zullen nu de termen:

O

2

berekend worden. De term 6 Vu is steeds afhankelijk van de aard van de uitwendige belasting. Hier kan niets algemeens van worden berekend.

1 T T* *T

= 2(6U t 6U t OU U t U OU)

31

óu

=: 0 II 1 * ' 2 It OY 4J -ZWO 6 Y J,

*

11

*

II 11 * I 1

-woöay -woöy IJIZ -woOu y

.lI * I . I -6woz -woliwo . I 8 1 x 1 .I' bv, -óa z -~woOvoz * ' * I '

*

I

*

II <I -wowobay -wowoöy $ 2 +óa'y -j$J'óa'y

+ówo I I -woawoz

* "

. '

-wo6woz * ' , I #

*

óueu = O -$wo " ' 2 bol

o

O O * I II * i . I 1 * $ * < I

-wobr (.I +woávoy +wowo6ay

+wowoöy

*

$2

+

W J 2 l i a ' y

I

*

I1 li

* I 2 I

* "

. I

-;wo li@ y +wo6w,z

* ' * I . I

-wo ( b Y I

9

y +wolivo

-zwo 1 * ' 2 6a

* ( * l i I

32 óE =

oy

*

-ZWO 1 * ' 2 6y li

*

-airgy

*

11

*

I1 I1 * ' 1

-woöay -woöy $2 -woGa y

*

II II 1 * ' 2 . t l

+woóvoy2 +ZWO 6voy

+wo

*

11 2 óayz +W02óY

*

$ 2 2

+wowoáa yz * I * " I + Y A 2 ó y U ~ * I I * l * H I +w,óa y -wowoóa yz . I ) * i . I

-awoz

-wo6wo +woBwoz +wo6wo

*"

* I J 2

* '

.

I sym

.

sym 0 O syrn.

3 3 Na het weglaten van de tegen elkaar wegvallende termen blijft hiervan over:

6E =

-

' I1

*

11

*

11 , I1

-övoy -wobuy +wobv0yz

*

u 2 ~ * i * " . I

+wo öayz -~w0w06~,y

*

11 2 ( 1 -woz 1 sym

.

sym. O O O O * ' 3 "'4 * e 1 3 In het*yyorgaande zijn alle termen net

wo

,

wo

wo

en

wo

termen zou overigens geen verbetering van de resultaten met zich meebrengen, daar de beschrijving van het verplaatsingsveld hiervoor niet nauwkeurig genoeg voor is.

wo

etc. verwaarloosd;

* I

zijn toch veel kleiner dan &&n. Het nu alsnog meenemen van deze

sym.

sym.

öP2 = 4€i : 6E =

, I1

*

11

*

11

.

I1

E[-ávoy -woouy +woövoyz

+wo

*

u 2 öayz

-~w,w,ö~,~

* * * I , * I

*

1' 2 +6Yt1$ ( 1

-woz

1 +aiAZ +wo&woz2~

*

11

.

I1 O O O O

34 I -6P : 6E = 2 2 I

1

I

1

* I *I' I * I t 2 2 2 IY

t -G[-(öa t~(wo6bo -wo6to))z t(6y $) (1 -WoZ)

1

I I1 , I

I' * I

Nu dienen de variaties ö y

,

6y

öa

6vof 6Go1 6wo etc. te worden uitgedrukt in

I I1 I i á a

,

ávo, W O etc. = avo I = 6vo etc

*

11 I áw;

-

-

=

wo$b

etc. l e 1 , l . " . I ) . ' y = a + - ( w v - w v ) 2 O 0 O 0 , I

* "

. i t * ' 1 * ' * I 1 * l i I 2 0 0 O 0

a y ' = tia t -(w OV

-

w

ö+ t öwovo

-

öwovo)

1

* '

It * ' I

= üa t 2(wo6vo

-

wo6vo)

11 *I 1

*

*

<li I

2 0 0 O 0

3 5

en verder:

Invullen van deze betrekkingen geeft:

1

-OP : 6E =

2 2

I1

*

11

*

It It

*

u 2 1*1*" I

1

-E[-6v y -w öay +w 6v yz two 60:yz - j ~ ~ w ~ 6 ~ ~ y

2 O O O 0

*

'1 2

1

*

' I"

*

I'' I

2 0 0

+(6a t -(w

av

-

wo6vo))$(l -woz,

2 2

*

II

*

Ill I

I

* I

* "

'

*

Ill s

two(6a

+

2

(wo6vo

-

woövo) )$z +wowo6a $2

1

# 1

6a t- 2 II

*

II

*

u 11

*

u 2 l * l * ' l 1 O O O 0 2 0 0 o 1

= jE[-6v y -w djay tw 6v yz +wo 6ayz --w w 6v y

li

1

*

I It'

*

I t6a $ t -(w 6v

-

wo6vo)$ 2 0 0 11 I1

*

I Ill

*

111 I

*

11

*

'1 2 2 -260: $w _o z

-

(w 6v

-

woövo))$woz t 6 u $wo z O 0 2 2

3

*

I1

*

Ill $

1

11'

*

I

*

*

111 1

tw 6a $z

+

~wo(wo6vo - wo6vo)*z twowo6a $2 O

36

*'I2 I 2 2

*

11 I * i 1 * I II *li I

-

2w06a J, z

-wo(wo~vo

-woóvo)J, z

+

wo

6a

J,,yz

1

,Y IY

Van deze betrekking kunnen met behulp van orde van grootte schattingen een aantal termen worden verwaarloosd. Stel dat d een karakteristieke lengte in de dikterichting van de balk is, en dat 1 de lengte van de balk is.

I 1

w

v

e n a

O 0 hebben orde van grootte

J, # y en z hebben orde van grootte IY I

J, heeft orde van grootte

heeft orde van grootte d 1 d

-

d2

1

2

-

Alle termen welke op deze wijze berekend een orde van grootte kleiner dan

(i)

a 4 hebben, worden verwaarloosd. Er blijft nu over:

U

1*'*"

8

1

*

I

*

2

II

*

I1

*

II 11

1

2 O o o 2 0 0 o

= -E[-~v y -woöay +w áv yz

--w

w óv y +áa 3,

+

~(woövo

-

woBvo)d,

1

2

*

I t I

1

1

* ' It

* "

2 2 0 0 IY

3 7 2áP 1

I

"2 2 € [ p o Y : BE = 2

*

I 1 I 1 tw áv áay O 0

*

u 11 1 "2 2 -w 8uáa $y +iáa

41

O 1 '2 tG[ (soa

*

-2w06a 1 '2 tG[ ( s á a 1*"2 2 2 2 0 t-w áa y

*

It 2

-w

áv y O 0 II I 1

z +~wowoávoávoy2 l*i*'l I -áa ávo*y

1

*

I ll'

*

I

2 0 0

I 1

--(w

áv -woávo)övo*yI

-~wowo6v06vo I*'*" I 'gWo 1*"2 &vi21 ( *

-

z ) 2

rY

(gry

-

z N J y z

1

2 I 1 * ' 2 112 1*1*" 1 1 1*"2 '2 1

* '

(I

* "

I 2 0 0 O 0 4 0 0 o o 8 0 r z

t-(w 6v -w áv ) á u tgwo ávo --w

w

óv 6v +-w 6vo I ( * + YI2

%ij het kwadrateren zijn alleen die termen meegenomen, welke in orde van grootte groter of gelijk zijn dan de orde van grootte van het product van de grootste en de kleinste term.

j:6P2: áE dVo =

vO

i[

,fföP2: áE dAo] dx

*

11 I1 1 *it2 2 1 * I * " I I t 1 2

t EIzwoávo6a t 2EIZwo 6a t ~ E I Z w o ~ 0 6 ~ o á ~ o t SEfáa

1 * I 11 * I 1 I I 1 *'2 * ' * I 1 I I 1 *'I2

38

hierbij is gebruik gemaakt van de volgende relaties:

Y Jy2 dA = Iz

h2

dA = I

A0

AO l y 2 z dA = O /z2y dA = O

/.

dA = O y d A = O A . .A A. dA =

o

/$,$

dA = O Ji zyz dA = O AO

Overigens gelden veel van bovenstaande relaties alleen voor dubbelsymmetrische profielen.

Nu volgt de afleiding voor het tweede deel van de functionaal:

Ji2:

6% dVo

39 O O i O 1 * I * I * " * a * I * " 0

+q

$wo -w Ow 0z -w o +w w z) O 0 2 0 2 0

I

O

I

O O ; O O O O O O O I

I

l*"2z2) 0 = E(-w z +-w o 2 0 I I

*

2

Daar alleen P2(1,1) ongelijk aan nul is, hoeft alleen 6 E f 1 , l ) berekend te

worden :

2 *T 2 2 *T

6 E = i(ö2U 9 ö2UT

+

6UTöU

+

U 6 U t 6 U U

1

2 *T I T

40 2 6 U = 2 I1 * i 2 . 1 1 - 1 2 1 * " 2 2 11 * t i I1 I1 d y i1 -w

o

w --6v --w 6 y 4) -wosWooóy

*

o O 2 0 2 0

*

11 I1

*

2 It

.

II II I * " 2 2 , a

.

11

-6 w z

-

6woöay +-w óa z -bw ó y $2 -wo6 y $2 -woóy $&ay

I o 2 0 O < l I I * I I -6w G a y +wo6a6a z O ? ? ? I

Alleen de benodigde termen z i j n weergegeven. De variaties van b

e t c . dienen nog verder t e worden Uitgewerkt:

b en y o' O 66 = bv O O I

&io

= óv; etc. etc. I w = WO(X

+

y ib) O

4 1 I*'! ' 2 2 * ' 2 I 2 ' = -w 67 Jl t wo6 y

*

wo 2 o , I

*

I1 li owo = w 67 Ji O etc. I I

1

I 11 * I 1 , I 2 o n n o y = C w i - - ( W V - w v ) I I

1

* '

* "

I 67 = 6a i- 2(wo6vo- wo6vo) 1 * I 2 . " * ' I 2.' , I ,I' 11 , I 2 0 2 *

B y = -(w 8 vo- wolr vot 6w06vo- 6WolrVo)

*

I1 I1 I

*

II 11 I

*

111 I I

1

*

I It'

= _{-(w 2 08v 0& y Jl}

_-

_w06v067

*

_{i- wo6v06y} (i

-

w*6v06y * )

*

I l l 1 I

1

*

111 I

2 0 0

= -(w 6v 67 JI

-

Wo6V067 * )

Hadat deze betrekkingen zijn ingevuld kunnen een aantal termen worden

L

verwaarloosd. B i j 6 E(1,l) zijn dit die termen waarvan de orde van grootte

kleiner dan

(-1

zijn en van 6 E(3,l) die termen die in orde van graatte

kleiner dan ( a i zijn.

Er blijft nu over:

d 4 2

42 _1 ? ? ? . A 2 6 U = I 1 I l * l l 2 * I

--övl2 tovl'öaz 0 +övoöa z +swoöa z twoöuöalz

r:

I

? I*Il '2 k' O U U(1,I) = -w 6v 2 0 2 T* 1 z -w06a6a z 1 T

-6U 6U(l,l) kan op dezelfde wijze worden berekend uit:

2 II

=

rvoy

? / ? I I 1 " ' I1 1*11 I 2 0 o 2 0 o 6vo -601 z --w 6v z --w 6v z ?

!

L Y ? 1x11 '2 I*' ' I' I 1 I T I 1 2 2 0 2 0 o 0 2 0 o

-&U ~ u ( I , I ) = Sövi2y2 t - a v a 2 -avoau z --w 6v 6v z

--w

av z

I 1

2 1 112 2 1 * " 2 1"' I'

2 0 2 0 o 0

6 E = -OV y

+

6voöaz t swo6a z

-

-w 6v 6v z

P2

*

: 6 2 E =

--w

_{2 0} öv _o y z

-

w _OO V ₀öaz

-

-w _{2 0}

1 * 1 ' "2 2

*

11 '1 1*"2öa2z2 l*'*l' 1 'I 2

+

-w w 6v aw z

43 1 F J O

*

u II * I * " I II 2

: ö

E

dVo = öa

-

IE1 :u2öa2

+

~ E I y ~ o ~ o ö ~ o ö ~ o ]ax 2 Y O

vO

En het uiteindelijke resultaat is nu geworden:

i5 2 V =

Jg2

: ö 2

E

dVo thöP2: áE dVo tá 2 Vu =

vo vO

* * * i t I B 1 *"2

I 1 * ' 2 * I I1 * t l I

tsGJóa' 1 + S G J ( W ~ ~ V ~ - wo8vo)6a +gG3w0 6 ~ - ~ G J w ~ w ~ ~ v ~ ~ v ~ 0 ~ +gGJwo ö v i 2 ] dx

Op bladzijze 36 werd gesteld dat Ba dezelfde orde van grootte had als 6vo

In dit geval is r gelijk aan 1. Men zou echter ook kunnen beweren dat P van

dezelfde orde van grootte is als h, de hoogte van de balk. Wanneer men aanneemt dat de waarheid wel in het midden zal liggen, dan is het redelijk om de termen met wowoövo6vo~ i 2 ö v i 2 en wo 6vi2 in de funktionaal te verwaarlozen. Er blijf dan over:

44

1 2

1

" 2

*

li 1(

" 2

₊

_{E(12- I}

_)w

_{6v O u}

₊

_{~ " ( 1 , - I f w 6u}

₊

_jET6a

5 . Berekening van de kiplast.

Eescl-iouw een balk met karakteristieke grootheden EIG,l,I I ,J en

r .

Y' z

De balk i s aan beide zijden opgelegd ea wordt belast door een buigend morient M aan beide zijden. De kinematische randvoorwaarden luiden:

x=O: u=OI vo=O en w =O

x=l: a=OI vo=O en wo=O

o

B i j goede benadering geldt:

Wanneer men d i t i n de functional invult, verkrijgt men na v a r i a t i e en par t i e ë l integreren een differentiaalvergelijking I wdarvan de coëfficiënten een functie z i j n van X I en h e t i s l a s t i g om daar een analykische oplossiny

voc~r t e vinden. Wanneer men de klassieke theorie gebruikt om een oplossing t e vinden voor d i t kip-probleem, dan verkrijgt men:

RX

6v = Ci s i n ( - l ) O

6 u = C s i n ( - - ) VX

2 1

wanneer men d i t i n de Sunctionaal invult, dan kan men een benadering voor de kritische belasting vinden. Daar het gesubstitueerde verplaatsinysveid

g e l i j k i s aan de oplossing van het klassieke probleem, zal de benadering wel redelijk goed z i j n . Voor diegenen die van de redelijkheid van deze wez-kwijze

46

nu nog niet zijn overtuigd, liet volgende: Van het fysische probleem werd eerst een drie-dimensionaal model gemaakt. Vervolgens werd van het drie- dimensionale model een &én-dimensionaal model gemaakt door te eisen dat liet verplaatsingsveld moest behoren tot een bepaalde klasse van functie's, welke expliciet werden uitgedrukt in een aantal functie's

,

die slechts &Bn

onafhankelijke variabele hadden.

De analytische oplossing van de met dit verplaatsingsveld uit de functionaal verkregen differentiaalvergelijking, is wel de exacte oplossing van de

differentiaalvergelijking, maar niet de exacte oplossing behorende bij het drie-dimensionale model. Bet is slechts de best mogelijke oplossing binnen de klasse van funkties welke toegelaten zijn. Wanneer men op eerder genoemde wijze bekende functies substitueert, dan kan men dit beschouwen als een verdere reductie van een &h-dimensionaal model naar een nul-dimensionaal model. De differentiaalvergelijking welke het probleem beschrijft,

degenereert dan tot een algebra! sche vergelijking. Wanneer nu de modelfouten bij de reductie van het drie-dimensionale naar het; Bhn-dimensionale model van dezelfde orde van grootte, of zelfs groter zijn dan die bij de

reductie van het b5n-dimensionale model naar het discrete model, dan is deze werkwijze zeker geoorloofd.

D u s av = Cisin(-i) l r X OV'=

c i

;sin(--) lrX

o o 1 en T X 6 u = C sin(--) 2 1 2 (ix

-

x ) * M w =

---

o SEI Y I t TI 2 lrx OV _o = C,(I) sin(-,) i I1 T 2 lrx 2 1 1 da = C (-1 sin(--) * ' PI w = E-- (1 - 2x1 O L E I Y

47 Invul 1 en g e e f t : 1 a 2 2 a x 2 I M a 2 V X ax 2 1

+

-GJ(-) cos c2 - -GJ ---(-)"(i - 2 x ) s i n ( - - ) c o s ( - - ) 1 1 2 I 2 2 Y 4 EP 1 a x lTX 1 1 ( 1 -2x)cns(-j)sin(--)dx 1 _{= - a 2}

_-

o

IZ 2 -!-(I - --IC r 2 2 6 2 V = '[ !EI (-f"Cs - # ( l -

i-)(f)

Iz a 2 C I C 2

-

Y 2 EIY Y

z

2 z l Í a 4 2 1 a 2 2 1 GJ a 2 I GJ + 2 2 2 i- - E T [ j ) C2 9 -GJ(i) C2 - -M - e - ( - ) C 2, f -M ---(-I C C ] 4 E I y l I L 2 EI I 1 2 Y Iz a 2 1 G J a 2

9

c

c

i-M(l -

--)(TI

i- -M ₄ ---(-I _{E I y 1} 1

IY

1 2

Het probleem i s nu h e t volgende: De stabiliteitsgrens van het evenwichtspad

48

2

ongelijk aan n u l , waarvoor geldt dat 6 V =O. Hiernaast moet worden geëist

d a t er i n die s i t u a t i e geen coinbinatie C C _I' bestaat waarvoor ye1d.t dak

2

6 V <O. Deze beide eisen z i j n equivalent inet d e e i s dat voor de eerder genoemde combinatie van Clen C

2

2

moet gelden d a t ti[ó V] = O voor a l l e 6C1 en

2 6C2, 2 6[6

v]

= ... 2

Voor a i i e v a r i a t i e s O C ~ en

tic2

moet gelden d a t t i ~ l i VI = O, dus:

a 4

EIZ(i) IZ a 2 1 GJ

IY

.M(1 - --)(-I 1 +-M 4 EIy - ( - )

1'1

Alleen wanneer de matrix singulier i s , bestaat er een combinatie C C

I' 2

49 = + I! - 1 lr 2 Er Er GJ .i i ( - 1 1

G )

1 GJ I G3 2 2 Er I6 EI - - -

1

i - ( - Y Y I Y

In de meeste gevallen (open, niet al te dikwandige profielen) zal de term

I GJ 2

GJ

-- veel kleiner zijn dan 6th. in dit geval kan men de term

%(E)

Y EI

Y

verwaarlozen. er blijft over:

Voor slanke profielen (Iz,J

< <

I gaat dit over in de klassieke oplossing: Y

I

T 2 Er