Hoofdstuk 1 Logaritmische functies

Hoofdstuk 1:

Logaritmische functies

V-1.

a.

b. _{f x}( ) 256 2_{ } x

c. b is de hoogte waarop de grafiek de y-as snijdt en g is de groeifactor.

V-2.

a. f, g en j zijn exponentiële functies. (h en i zijn machtsfuncties)

b. g en j zijn stijgende functies, want de groeifactor is groter dan 1.

c. f: (0, 4) g: (0, 2) j: (0, 7) V-3. a. _{5 5}3_ 4 _53 4 _57 _{c. 2}4_23 _2 4 3 _21 b. _{(7 )}2 5 _72 5 _710 _{d. (5 ) 5}3 2_ 5 _53 2 5  _511 V-4. V-5. a. 3 3 1 1 343 7 7 _{ } a. 14 16 2 1 9 3 _3 _3 _ b. 5 5 1 g g _ b. _a3_a5_a12 _a4 c. 1 2 1 1 2 2 3 3 ( ) _(( ) ) _3 _9 _{c. 7}x1_7 x 3 _74 _2401 V-6. a. _{2 2 2}3_ 4_ 5 _23 4 5  _212 _{d. (2 2 )}3_ 4 5 _{(2 )}7 5 _235 b. 1 1 2 2 3 4 8 8 2 16 2 2 2 2 2   2 e. _(p2 3_{) ( p}3 5_{) p}6_p15 _p9 c. 1 1 1 1 3 3 3 3 _{1 2 1 1} 3 3 2 2 1 1 2 2 2 3₆ 3_{36 6 36 6 (6 )} 6 6 6 6 6          f. 2 7 9 3 3 2 6 ( ) a a a a a a  _{ } V-7. a. 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 3 3 9 3 3 ( ) 6 ( ) x 6 ( ) ( ) x 6 (( ) )x 3x ( ) f x              g x b. _{m x( ) 1,25 (0,8) } 3x _{1,25 (0,8) (0,8)} 3_ x _{0,64 ((0,8) )} 1 x _{0,64 1,25} x V-8. a. beginhoeveelheid: _{M(0) 5,625 2,56 } 0,5 0 2  _36,864 0,5 1 2 (1) 5,625 2,56 58,9824 M _{ }   _{ groeifactor:} 58,9824 36,864 1,6 b. 1,621 1,26 half uur g   of: _{M t( ) 5,625 2,56 } 0,5 t 2 _{5,625 2,56} 0,5t _2,562 _{(5,625 2,56 ) (2,56 )} 2 _ 0,5 t _{b5,625 2,56} 2 _{36,864 en g 2,56}0,5 _1,6 V-9. a. ₂1 5 x _{ 8 2}3 _b. 2 8 1 2 25 5 t _{ }5 _{c. 3}t _{ 9 3}2 2 5 1 5x 3 x    2 38 2 t t     22 t t     x -2 -1 0 1 2 3 f(x ) 64 128 256 512 1024 2048

d. 8 4_ p _2 _e. 1 1 6 6 6_ x _{ }6 f. ₅2t_53t _{ 1 5}0 1 1 4 4 4 1 p p      1 1 2 x x      5 0 0 t t   V-10. a. 3x _5 _{b. 4 2} x3 _7 3 3 log(5) log(5) 1,46 x x       3 3 4 2 3 4 2 3 4 2 1 3 log(1 ) 3 log(1 ) 2,19 x x x  _        c. ₅0,3x _{ 1 2}x Voer in: 1 50,3 x y  en 2 1 2 x y _{ }  intersect: x 0,89 d. 1 2 2 3_x 4 4 ( ) x      Voer in: y1 3x4 en 2 4 ( )12 2 x y _{  }  intersect: x 2,27 1. a. voor a1, a3 en a9 b. voor _{a243 3} 5 _{en a729 3} 6 2.

a. omdat 7 niet als macht van 2 te schrijven is. b. ₂2,80 _{6,96 en 2}2,81_7,01

c. voer in: 1 2

x

y  en y2 7 intersect: x 2,8074

3. c, d en e kun je exact oplossen

1 1 10 10 10 1 x x      1 2 1 2 5x 5 5 x    8 2 256 2 8 x x   

4.

a. ₃2 _{9 en 3}3 _{27, dus 25 ligt tussen 2 en 3.}

b. de oplossing van 3x _15 _{ligt tussen 2 en 3 en die van 6}x _{30 tussen 1 en 2.} De oplossing van 3x _15 _{is dus groter.}

5. a. _x 7_{log(4) c.} 1 7log(13) x  e. _{x } 5_log(100) b. _x 7_{log(10) d. x } 3_{log(14) f.} 5 1 2 log( ) x  6. a. 3x _5 _c. 1 2 ( )x _7 e. 1 4 2x _ b. 1 2 7x _{ d.} 2x _16 _{f. (0,1)}x _1000 7. a. 3_{log27 3 omdat 27 3} 3 _c. 5 1 2 log5 5 1 omdat 1 1 2 12 1 5 5 5 5 5 b. 2 1 8 log  3 omdat 3 3 1 1 8 2 2    _d. 7_{log1 0 omdat 1 7} 0 8.

a. De machten van 5: 5_{log5 1 ,} 5_{log25 2 ,} 5_{log125 3 en} 5_{log625 4}

b. 7 1 7 log  1, 7 1 49 log  2 en 7 1 343 log  3 9. a. 2 2 1 12 1 2 log(2 2) log(2 2 ) 1  c. 14 1 41 13 64 4 log( ) log( ) 3 b. 7 1 7 2 49 log( ) log(7 )  2 d. 31 13 1 2 3 log(9) log(  ) 2 c. 10_{log(1000 000)}10_{log(10 ) 6}6 _{ e.} 1 2 25 25 1 2 log(5) log(25 )

10. Kijk tussen welke machten van 3 12 ligt. ₃2_{12 3} 3 _{dus 2} 3_{log12 3}

4 5 625 5 1000 5 3125 dus _4 5_{log1000 5} 1 0 1 1 5 5 2 1 5      dus 5 1 2 1 log( ) 0    1 2 1 1 5 5 5 ( )_  _20 ( )_  _25 _dus 1 5 2 log(20) 1     11. a. OmtrekK0   3 9 27 en 1 9 3 3 4 36 K Omtrek    

b. Het aantal zijden wordt telkens 4 keer zo groot en de lengte wordt 3 keer zo klein. De totale lengte wordt 4 1

3 13 keer zo groot. En de beginwaarde is 27.

c. 1 1 256 3 3 3 27 (1 )_ n _85 _ 4 4 4 256 4 4 4 3 3 27 ₃ 3 ( ) ( ) 4 n n      d. 113 13 81 log(3 ) n

12.

a. f(2) 9 , dus A(2, 9)

b. Niet juist want ₃1,5 _{5,196. C( log(5), 5)}3

c. _{B( log(20), 20)}3 d. _{P p}( , 3 )p _{en Q p( 2, 3}p2₎ 2 2 3 3 3 3 (3 1) 16 3 2 log(2) p p p p p  _{   }   3 ( log(2), 2) P en _{Q( log(2) 2, 18)}3 _ 13.

a. log(2) 0,30 , log(5) 0,70 , log(10) 1 , log(25) 1,40 en log(100) 2 b. _x103 _1000

c. De machten van 10 geven een geheel antwoord.

d. _{log(1000000) log(10 ) 6} 6 _{ en log(0,0001) log(10 )} 4 _{ 4} 14.

a. log(3) 0,48 1

1000

log( ) 3 log(1) 0 log(123 456) 5,09 b. ₁₀2x _5 10 1 2 2 log(5) log(5) log(5) 0,35 x x      15.

a. xlog(4) is de oplossing van 10x _4_{. Je krijgt dan 10}log(4) _4.

b. ₁₀log(564) _{564 10}log(0,1) _{0,1 10}log(0,08) _0,08

c. _{14 10} log(14) _{400 10} log(400) _{0,003 10} log(0,003) 16.

a. alog(5) b. x log(12)log(5)

c. de oplossing van 5x _12 _{is exact x } 5_log(12) 17. a. 9_{log(35) 1,62 c.} 5_{log(10) 1,43} b. 13log(128) 4,42 d. 4 1 13 log( ) 1,85 18. a. 15x _2 _{b. 10}x _{5 c. 4}2x _{(4 )}2 x _16x _6 15_{log2 0,26} x  _{x }10_{log5 0,70 x} 16_{log6 0,65} d. 3x _ 5 3_{log( 5) 0,73} x  a g

g

 

b

logb a



19. a. _a blog(5) b. ₍ blog(5)_{)x 12} blog(12) b  b log(5) log(12) log(12) log(5) log(5) log(12) b b b b x b b b b x x  _    20. a. 22 log(128) 8 7 1 3 3 log(8) log(128)  2 b. 22 log(32) 4 5 1 2 2 log(4) log(32)  2 c. 3 21 3 2 log(9 3 ) 27 5 3 6 log(27) log(9 3)   d. 22 2 log(5) log(5) 8 1 2 3 3 log(8) log(5)    log(5) e. 22 22 2

log(18) log(3) log(18)

3 4 1 2

2 2

log(3) log(4)

log(18) log(3)     log(18)

21.

a. b. c.

d. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x. e. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot:

0

y  en de grafiek van g een verticale asymptoot: x0.

22.

a.

b. Het snijpunt van f met de y-as is (0, 1) en het snijpunt van k met de x-as is (0, 1)

c. domein f en bereik k: ¡ domein k en bereik f: 0 ,

d. De grafiek van f heeft een horizontale

asymptoot: y 0 en de grafiek van k heeft een verticale asymptoot: x 0.

23.

a. Beide grafieken gaan door (1, 0) b. _{h x}( ) 1,2_ x _{en k x( ) (0,8)} x

c. Als g 1 dan is k(x) stijgend en als 0 g 1 dan is k(x) dalend.

24. 8x 3 1 geeft 1 2 x 25. a. 2_{log(x3) 0} 0 3 2 1 2 x x      x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 4 6 8 -2 -4 f(x) g(x) x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1 4 12 1 2 4 8 x 1 4 21 1 2 4 8 g(x) -2 -1 0 1 2 3 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 f(x) k(x)

b. Door een verschuiving van 3 naar links. c. x 3 0

3

x  domein:  3 , d. g x( ) 0 voor    3 x 2

e. De lijn x 3 is de verticale asymptoot van g.

26. a. x 5 0 b. 21 6 x 0 c. 2x 9 0 5 x 1 2 6 21 3 x x     1 2 2 9 4 x x     V.A.: x5 V.A.: 1 2 3 x  V.A.: 1 2 4 x   d. x 7 0 e. 5x10 0 f. 1 5 x0 7 x 5 10 2 x x     1 5 5x 1 x    

V.A.: x7 V.A.: x  2 V.A.: 1 5 x  27. a. b. _x2_{ 5 0} 2 ₅ 5 5 x x en x     c. x  5 en x 5 28.   4 q 0 2 2 4 (0) log(4) 2 0 2 (12) 2 log(16) 2 4 2 q f p p p f               

Dus (12, 2) ligt op de grafiek van f.

29. a. 2_log(3) 2 3, _(0,3)0,3log(4) _{4 en} alog(3) ₃ a  b. 2_log(7) 7 2 en ₁₂ plog(12) p  30. a. 2_log(3) 2 3, 2_log(7)

2 7 en dus is 2_log(3) 2_log(7)

2 2   3 7 21 b./c. 2 2p_ q _2p q _21_{. En hieruit volgt dat p q } 2_log(21)

d. _{p q } 2_log(3) 2_log(7) 2_log(21)

e. glog( )_{a }glog( )_{b } glog(_{a b} )

f. 5_log(7)5_log(70) 5_{log(7 70) } 5_{log(490) a490}

g. 5_log(70) 5_{log( )b }5_{log(7) }5_{log(7 )b}

Hieruit volgt: 7b70 en dus 70

7 10

b 

31.

a. 2_log(7)2_log(3) 2_{log(7 3) } 2_log(21)

b. 7 7 7 7 42 7

3

log(42) log(3) log(2) log( 2) log(28)

c. 7_{log(42) ( log(3)} 7 _7_log(2)) 7_log(42)7_log(6) 7_{log(7) 1}

d. _25_log(4)5_{log( )a } 5_{log(4 )}2 _5_{log( )a } 5_{log(16 )a}

e. 5_{log( )a }5_{log(a 1)} 5_log(a2 _a)

f. _30,5_{log( )p }0,5_log(p2_) 0,5_{log( )p}3 _0,5_log(p2_) 0,5_{log( )p}

32.

a. g x( ) log(1000 ) log(1000) log( ) 3 log( ) 3 x   x   x  f x( )

b. _{h x( ) log(0,01 ) log(0,01) log( ) log(10 ) log( ) x   x } 2 _{ x   2 log( )x   2 f x( )}

c. h x( ) a g x( ) 2 ( ) 3 ( ) 5 f x a f x a       

d. _{k x( ) 4 log( ) log(10 ) log( ) log(10 000) log( ) log(10 000 )  x } 4 _{ x   x  x}

e. _{m x( ) 6 } 2_{log( )x } 2_{log(2 )}6 _ 2_{log( )x } 2_log(64) 2_{log( )x } 2_{log(64 )x}

f. n x( ) log 1 log(1) log( ) 0 log( )x x log( )x f x( )

x

 

 _{ }       

 

33.

a. 4 log( ) 1 2 log( ) S    R b. 2_{log( ) 2P  }2_{log( )Q  1}

4 2 2

4 2

log( ) log(10) log( ) log(10 ) 10 S R R S R     2 2 2 2 1 2 2 1 2

log( )P log(Q ) log( )

PQ    34. 9_{log( )K }27_{log( ) 2M } 3 3 3 3 1 1 2 3 3 3 2 3 log( ) log( ) 3 2 log(9) log(27) 3 3 3 1 1 2 3 3 3 3 3 3 log(3 )

log( ) log( ) log(9)

log( ) 2 ( log(9) log( )) 2 log(9 ) log(81 ) 81 K M K M K M M M K M                 35. a. 35,9 log( ) 4,1 75 v   1,97 35,9 log( ) 70,9 log( ) 1,97 10 94,4 / v v v km u     

b. D2v 35,9 log(2 ) 4,1 35,9 log(2) 35,9 log( ) 4,1 10,8 35,9 log( ) 4,1 v      v     v   10,8D_v c. 35,9 log( ) 4,1 28,1 log( ) 16,0 v    v  1,53 7,8 log( ) 11,9 log( ) 1,53 10 33,5 / v v v km u     

d. 28,1 log( ) 16,0 35,9 log( ) 4,1 4 v    v   7,8 log( ) 15,9 log( ) 2,04 109,3 / v v v km u       36. _{f x( ) log( ) 2 log( ) x}2 _{  x g x( )}

Maar: het domein van f is , 0  0 , en het domein van g is 0 , . Ze zijn dus niet gelijk.

37. a. _{N t( ) 2} 3t _{2 2}3_ t _{ 8 2}t b. _{N t( ) 15 2 } t4 _{15 2 2 }t 4 _{240 2} t c. 2 3 2 3 1 3 1 9 9 ( ) 3 t 3 3 t (3 )t 27t N t _   _  _{    } d. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) t ( ) ( ) t (( ) )t 2t N t           e. 21 2 12 2 12 1 1 16 16 ( ) 4 t 4 t 4 (4 )t 2t N t _  _{ }  _{   } 38. a. _{P t}( ) 100 0,96_{ } t b. P t( ) 20 0,96 100 0,96 20 0,96 0,20 log(0,20) 39,43 t t t     

De batterij is zo'n 39 uur te gebruiken.

c. P t( ) 50 P t( ) 30 d. _{P }100 0,96_ t 0,96 0,96 0,50 log(0,50) 17 t t    0,96 0,96 0,30 log(0,30) 29 t t    0,96 0,96 100 log 100 t P P t     _{ }   39. a. _{N  }3 4t _{b. N  16 4 5 } t _c. 1 12 3_{N  }2 4t 1 3 4 1 3 4 log( ) t _N t N   1 4 5 1 4 4 5 16 5 4 log( 4) t t N N t N        4 4 36 24 log(36 24) t _N t N     d. 4_N6t _5 _{e. 7}t N _{10 f. 3}t _9N 5 4 6 5 4 6 log( ) t N N t   7 7 log(10) log(10) N t N t    2 2 3 (3 ) 3 2 t N N t N    40. a. _{T } 4_{log(2 )a} 1 2 2 4 4 T T a a    b. _a21_{(2 )}2 T _21_22T _22T1

41. a. _{q   2} 5_{log( )p b.} 1 4 2 1 log( ) q   p c. q log(6p12) 5 2 log( ) 2 5q p q p     4 2 2 log( ) 2 2 4 q p q p     1 6 6 12 10 10 2 q q p p      d. q  1 312p e. 2p q 1 f. 4q3log( ) 8p  1 2 3 1 2 3 3 1 log(1 ) 2 log(1 ) p q p q p q        1 2 1 2 2 log( ) log( ) p q q p q     2 3 8 2 4 log( ) 3q q q p p    42.

a. _{f x( ) 2 } 3_{log(x5)} 3_{log(3 )}2 _ 3_{log(x5)} 3_log(9x45)

b. 2 2 2 2 2 1 1

2 4

( ) 2 log(10 ) log(2 ) log(10 ) log(2 )

g x    x    x   x

43. 2

5 1 5 5 2 5 2 5

( ) 2 log( ) 2 ( log(1)_x log( )) 2 log( ) 4 log( )

g x      x    x    x

5 5 5 5 5

( ) ( ) ( ) log(4 ) 4 log( ) log(4) log( ) 4 log( )

h x f x g x  x   x   x   x 

_ 5_{log(2 ) 3}2 _{ }5_{log( ) 2x  }5_{log(2) 3 }5_{log( )x}

44. 2_{log( ) 4,45 2,31R   S} 2_{log( ) 4,45 2,31 4,45 2,31 4,45 2,31} 2 R 2 S 2 2 S 2 (2 )S 21,86 0,20S R _{ }  _{ }  _{ }  _{ } 45. a. log( ) 2M  log( ) 1,125L  2 10 100 M   _L101,125 _13 b. 13% van 100 is 13: klopt

c. _{M 10}2,5 _{316 en L10}1,625 _{42. En 13% van 316 is ongeveer 41. Komt wel in de}

buurt.

d. _{log( ) 1,031 log( ) 0,885 log(L   M   M}1,031_{) 0,885}

1,031 1,031 log( ) 0,885 log( ) 0,885 1,031 10 M 10 M 10 0,13 L      M 46. a. 1 2 3 3 x  d. 1 412 2 x   f. 2 2 1 _{3 9} x   b. 1 3 1 2 8 ( ) x  1 2 x  1 1 3 3 x   x c. 2 1 25 5 x   e. _x3 _64 _1296 3₁₂₉₆ x  47. a. _{3x 7 5}2 _25 b. 2 3 10 x

48.

a. 3_{log(2x3) 4 b. 2} x 7 _{5 c. log(2x4) log(7) 1 } 4 2 3 3 81 2 84 42 x x x      2 2 2 7 log(5) log(5) 7 7 log(5) x x x         2 4 7 7 2 4 7 7 10 10 37 x x x     d. 13log(4 )x  31log(6) 2 e. 2log(x3) 1 2log(x3)

1 3 2 3 2 2 1 3 9 1 6 log( ) 2 3 x x x       2 2 2 2 log( 9) 1 log(2) 9 2 11 11 x x x x          f. 5_{log( ) 2}1 5_{log( )} x   x g. 54x2 1000 h. 3log(5x)3log(2x4) 1 5 1 5 5 1 1 1 5 5 log( ) log(25 ) 25 x x x x x       5 5 5 1 1 4 2 4 2 log(1000) 4 log(1000) 2 log(1000) x x x        5 3(2 4) 5 6 12 1 x x x x x         49. a. domein f: x0 en domein g: x0 b. 4 1 2 log( ) 1x  1 2 1 4 8 x  c. 1 2 ( ) 1 f x  voor 0 x 8 d. 1 2 ( ) 1 g x  voor   8 x 0 e. 4_{log( )x  2} 2 1 16 4 x_  _ De oplossing is: 1 16 0 x  50. a. x 2 0 2 x  b. 12log(x2) 4 5  1 2 1 2 1 2 log( 2) 1 2 1 x x x      

Kijk in de plot voor de oplossing: 1 2

2 x 1

   

51.

a. 2_{log(2x 1) 5 b.} 3_{log(4x)} 3_{log(4x) 2} 5 1 2 1 2 2 1 2 32 15 15 x x x      3 2 3 2 log(16 ) log(9) 7 7 7 x x x x        de oplossing: 4,  7 _{ } 7 , 4

52. a. 600 (0,8)_ t _300 0,8 (0,8) 0,5 log(0,5) 3,11 t t   

Het duurt ongeveer 3 uur en 6 minuten b. Dat duurt ook 3 uur en 6 minuten. c. zie a.

53.

a. 1,05t _2

b. _{t }1,05_{log(2) 14 jaar}

c. verachtvoudigen is hetzelfde als drie keer verdubbelen. Dat duurt 3 14 42  jaar d. 3 keer

54.

a. Voor alle waarden van x is _x2_{ 1 0}

b. De top van _{y x}2_{1 is als x0. Daar is ook de top van f, en f(0) 0 .}

c. De grafiek heeft geen asymptoten want het domein is ¡ . d. 2_log(x2_{  1) 6} 2_{log(2 )}6 2 2 1 64 63 63 63 x x x x        55. a. _x2_{6x 8 0} ( 2)( 4) 0 2 4 x x x en x      domein: , 2  4 , b. De verticale asymptoten: x2 en x4 c. d. _log(x2_{6x8) 0 log(10 ) } 0 2 2 6 8 1 6 7 0 3 2 3 2 ABC formule x x x x x x             De oplossing: x 3 2 , 2  4, 3 2 56. a. 0,60th 0,50 0,6_{log(0,5) 1,36} h

t   dagen 1 dag en 9 uur.

b. 100 0,60_ d _36 _{c. 100 0,60} d _18 0,60 0,60 0,36 log(0,36) 2 d d dagen    0,60 0,60 0,18 log(0,18) 3,36 d d dagen    Na 3 dagen en 9 uur.

d. Na 2 dagen moet de hoeveelheid (36 mg) nog gehalveerd worden, en dat duurt 1 dag en 9 uur. x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 1 2 3 4 -1 -2

57.

a. _{f x( ) 1 4  }3_{log( )x } 3_log(3)3_log(x4_) 3_{log(3 )x}4

b. 3_{log(3 ) 7x}4 _{ c. 1 4 }3_{log( ) 1x  }3_{log(9 )x}2

4 7 4 4 4 3 3 2187 729 729 729 x x x x        3 4 3 2 4 2 2 2 log( ) log(9 ) 9 ( 9) 0 x x x x x x     0, 3 3 x  x    x  S(3, 5) 58. a. _{y 4}4log(3 )x _3x b. _{y 4}2 log( )4 x _44log(x2) _x2

c. _{y 9}3log( )x _{(3 )}2 3log( )x _32 log( )3 x _33log(x2) _x2

d. _{y } 3_{log(3 ) 4}4x _{ x}

e. 3 1 3 1 3

3

log(( ) )x log((3 ) )x log(3 )x

y       x 59. a. _{16 2} x6 _{ 2 b. 15 3} x2_{18 93 c. 1}2_{log(4x  1) 4} 1 2 4 6 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x       2 2 3 15 3 75 3 5 log(5) 2 x x x        2 5 3 4 log(4 1) 5 4 1 2 32 7 x x x       d. 4_{log(2 )x }4_{log(7) 3 e.} 4 4 1 2 log(x 1) log(x3)  4 3 4 7 log(14 ) 3 14 4 64 4 x x x     1 2 4 1 4 3 log( ) log(4 ) 2( 1) 3 5 x x x x x         f. 12 2 12 1 3 2 log(x _2 )x _{  }3 log(( ) ) 2 2 2 8 2 8 ( 4)( 2) 0 4 2 x x x x x x x x             60. a. Boog EW is het 100 1

40000  400-ste deel van de omtrek. Hoek D is dan ook het 4001 -ste

deel van de volle hoek, dus 1

400360 0,9

o o

log(0,001) 1,66 log(0,9) 3,08 0,00404

R      : bijna 0.

b. log(10 ) log(10) log( ) 1 log( )U   U   U : dan neemt R met 1 toe. c. 9,0 log( ) 1,66 log(84) 3,08 U    log( ) 2,73 532 U U mm  

d. 9,0 log( ) 1,66 log( ) 3,08 U   D 

1 1 1 1

1,66 1,66 1,66 1,66

1 1,66

log( ) 3,57 log( ) _{3,57 3,57 log( ) 3,57}

3,57 1 1,66 1,66 log( ) log( ) 5,92 log( ) log( ) 3,57 10 10 10 10 (10 ) 10 10 3683,54 en 0,60 U U _U D U D U D U p q                          T-1. a. _{t }1,7_log(8,3) b. 12log(2) 1, 2 1 8 log( ) 3 en 2 1 4 log( ) 2 c. 3 3 12 1 2 log( 3) log(3 ) , 2 1 2 3 8 log( )_ log(2 ) _{ }3 , 15 15 1 3 5 log(125) log(( ) )  3 1 3log(1) 0 T-2. a. _{t } 7_{log(4) 0,71 c.} 1 3 4 log(5) 0,37 t    b. 1 2log(17) 4,09 t    d. 1 5log(3 2) 0,90 p   e. 5 15 5 1 2 log( ) 125 1 1 2 5 log( 125 ) 1 3 log( ) t _{  }  _{ } T-3. a. 2x 1 0 1 2 x 0 1 2 2x 1 x   1 2 2x 1 x    

De verticale asymptoot van de drie functies is 1 2

x . b. De functies g en h hebben hetzelfde domein.

c. De grafiek van B hoort bij f (zie domein).

3

( 1) log(3) 1

T-4.

a. 24_log(14)24_log(41) 24_{log(14 41) } 24_log(574)

b. 2 1

12 3

log(2) log(12) log(8) log(   8) log(1 )

c. 5 5 1 5 5 5 1 5

12 24

log(6) ( log( )  log(2)) log(6) log( ) log(144)

d. 2 2 2 1

3

log( )b  log(3) log( b)

e. 12 12 1 21 12 1

4 4 4

log( ) log( ) log( )p log( ) 2

p p

p    

f. 1 5 7 5 5 312 5 112 5 2

2 log( ) 3x   log( x) log(x ) log(x ) log( )x T-5. a. 1 2 4 3t R    b. _{R 8 2}6 2 t _{24 c. R  2} 3_{log(2 )t} 1 2 3 4 3 8 2 t t R R      6 2 1 8 2 1 8 2 3 6 2 log( 3) t _R t R  _{ }    3 2 log(2 ) 2 2 3 R t R t     3_{log(8 2 )} t   R 1 2 1 2 8 3 log( 3) t    R 1 2 2 3 R t _{ }  d. 1 2 4 log(3 1) R   t  2 4 4 1 1 3 3 log(3 1) 4 3 1 2 2 R R t R t t        T-6. a. _0,36x2 _{4,23 b.} 1 3 3 log( x2) 2 0,36 0,36 2 log(4,32) log(4,32) 2 0,57 x x      2 3 2 3 log( 2) 10 2 2,64 x x     

c. 2_{log(x6)} 2_{log( ) 4x  d. 2}3_{log( )x }3_{log(3x4) 0}

2 2 2 2 log( 6 ) log(16) 6 16 ( 8)( 2) 0 8 2 x x x x x x x x             3 2 3 2 log( ) log(3 4) 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x x x x x x x x             e. 2_{log(3x2) 7 f.} 1 2log(8x2) 1 7 1 3 3 2 2 128 43 x x     2 1 1 2 2 8 ( ) 2 6 x x      de oplossing: 2 1 3, 433 x   6  x  6 de oplossing: 2 2 ,  6  6 , 2 2 T-7. a. 1350 1,08_ t _2700 1,08 1,08 2 log(2) 9 t t   

b. Bij dit groeiproces duurt het 9 jaar voordat een hoeveelheid verdubbeld is. Dus duurt het 18 jaar voordat een hoeveelheid vier keer zo groot is geworden.

T-8.

a.

b. De verticale asymptoot van f is 2 5 x en die van g is x0. c. _{ 1} 2_{log(5x2)} 2_{log( )x}2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

log( ) log(5 2) log( ) (5 2) 2 1 ( 2)( ) 0 2 (2, 2) ( , 2) x x x x x x x x x x                 d. f x( )g x( ) voor 1



( ) log( 4) log( ( 12)) log( ) log( 12) 1 log( 12)

f x  x  x   x    x

1

a  en b12

T-10. x 3 is de verticale asymptoot:   3 b 0 ofwel b3

(-1, 0): alog( 1 3)_{   c} alog(2)_{ c} 0_{. Hieruit volgt: c  }a_log(2) (1, 1): alog(1 3)_{ }alog(2)_ alog(4)_alog(2)_ alog(2) 1_{ , dus a2}

2

a , b3 en c  1.

Extra oefening – Basis

B-1. ₂4 _{16 17 32 2  } 5_{, dus 4} 2_{log(17) 5} 3 2 1 1 1 1 1 2 8 6 4 2 ( )    ( ) dus 12 1 6 2 log( ) 3 2 1 1 1 4 4 ( ) 0,0625 0,1 0,25 ( )   , dus 1 41log(0,1) 2 4 8 9 10 5 100 10  8 10 10 100 , dus _4 100_{log(8 10 ) 5} 9 _ B-2. a. 5t _12 _b. 1 4 ( )t _15 _c. 1 2 5 t 6 d. _0,32t _81 5_log(12) 1,54 t t   1 4log(15) 1,95 t t    5 1 2 5 log(6) 2 log(6) 2,23 t t t     0,3 0,3 1 2 2 log(81) log(81) 1,82 t t t      x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x)

B-3. a. 13 3 x0 c. _3 7_{log(13 3 ) 0 x } 1 3 3 13 4 x x     7 3 1 343 log(13 3 ) 3 13 3 7 x x        b. 1 3 4 x 114 343 4 4,33 x     B-4. a. 12 3 x 0 b. 4x28 0 c. 5x 0 d. _x2_{100 0} 3 12 4 x x     4 728 x x   x0 2 ₁₀₀ 10 10 x x en x     B-5. a. 2 3 121 64

2 log(11) 3 log(4) log(11 ) log(4 ) log( )     

b. _{2 ( log(15)} 4 _4_log(5)) 4_{log(3) 2 }4_log(3) 4_log(3) 4_log(9) 4_log(3) 4_log(27)

c. _35_{log( ) 1x  } 5_{log( )x}3 _5_log(5) 5_{log(5 )x}3

d. 14 41 14 1 2 14 1

4 16

log( ) 2x   log( )x  log(( ) ) log( x)

B-6. a. _{P }4t _3 _{b. 2P  4 3}2t _{c. log( ) log( ) 1P}  _t  _d. 1 3 4 log(2 ) P   t 4 4 3 log( 3) t _P t P     2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 2 log( ) log( ) t _P t P t P     log( ) 1 log( ) 1 1 10 log( ) log( ) 1 10 10 10 P P t P t t P         1 3 1 4 1 4 1 4 1 3 1 1 2 3 log(2 ) 2 ( ) ( ) P P t P t t     B-7. a. log( 2 x3) 1 b. ₅ x 1_4 1 9 20 2 3 10 1 x x      5 5 1 log(4) 1 log(4) x x     

c. 13log(x3) 31log(x3) 1 d. 2log( 2 x 1) 5

1 1 1

3log( 3) 3log(3) 3log( 3)

3 3( 3) 3 9 x x x x x          5 1 2 2 1 2 32 15 x x       6 x  de oplossing: 1 2 15 x   e. 3_log(7x2_{) 1 f. 2 3 log( ) 1  x } 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 3 7 3 6 6 6 x x x x          1 3 1 3 3 log( ) 1 log( ) 10 x x x     de oplossing: 3 3 4 4 7 , 6 6 , 7    de oplossing: 1 3 10 x 

Extra oefening – Gemengd

a. 2_{log(4 2 ) 2 x  }2_{log(x4) b. ( log(4 2 )) (2}2 _{ x  }2_{log(x4)) 0} 2_{log(4 2 )} 2_log(4) 2_{log( 4)}

4 2 4( 4) 6 12 2 x x x x x x            2 2 0 2 1 4 3 1 2 4 log(4 2 ) 0 2 log( 4) 0 4 2 2 1 4 2 1 3 x x x x x x                   G-2. a. _{27 12 x x} 2 _0 2 _{12 27 ( 3)( 9) 0} 3 9 x x x x x x          domein: 3 , 9 b. g x'( ) 12 2  x '( ) 0 6 g x x 

 Het maximum van g is g(6) 9

c. Het maximum van f is dan ook bij x6: _f(6) 3_{log(9) 2}

G-3. log( ) 2 4,3 log( )y    x

4,3 4,3

4,3

log( ) log(100) log( ) log(100 ) 100 y x x y x     G-4. a. log( )I  0,009t 1 0,009 1 0,009 1 0,009 10 t 10 t 10 10 (10 )t 10 0,9795t I _   _  _{  }  _{ } b. 0,9795t _0,5 0,9795_{log(0,5) 33,4} t   dagen G-5. 2_{log(18) 2 2 2 2 2 2}

2 ( log(18) 2  log(3)) 18 ( log(18)   log(3 )) 18  log(2) 18

G-6. a. 5 6 5 5 log(5) 1 log(5) log(6) log(6)   b. log( ) log( ) 1 log( ) log( ) b a b b b b a a   G-7. a. D(5) 43 D(7) 40 D(10) 37 D(20) 31 b.





10 log 10 log 4,9 10 10 log( ) 56,9 20 log( )

D r r r      _{ }          56,9 A en B  20 c. 56,9 20log( ) 0 r  2,845 20log( ) 56,9 log( ) 2,845 10 700 r r t    

Uitdagende opdrachten

Als f1440 dan is f2 1,25 440 550  en als f2 440 dan is f11,25440 352.

c. 2 1 2 1200 log( ) 701,955f f   2 1 2 1 2 3 2 log( ) 0,5850 1,5 f f f f    U-2.

a. ( ) 1log( ) log( )₁ log( ) 1 log( ) log( ) 1 a a a a a a x x f x  x      x  b. 1 2 3 3 8 8 8 8 2 4 8 8 _{8 8}

log(3) log(3) log(3) log(3) log(3) log( )

log(2) log(4) _{log(8 ) log(8 )}

x

     

8 1 8 1 8 8 412 8

2 2

3 log(3) 1 log(3) 4 log(3) log(3 ) log(81 3)

        U-3. 2,175 1,762 0 0,620 0,67    2,358 2,1750,274 0 0,67    2,891 2,3581,074 0,274 0,67    3,155 2,8911,469 1,074 0,67    en ook 3,653 3,1552,217 1,469 0,67    : de grafiek is lineair. 3 1,921 log( ) 0,67 log( ) 2,175 log(2,9 10 ) 0,67 log( ) 2,175 3,462 log( ) 1,921 10 83,46 A t t t t jaar           

Mercurius Aarde Mars Jupiter Saturnus Neptunus

t 0,24 1,00 1,88 11,86 29,46 164,80

log(t) -0,620 0 0,274 1,074 1,469 2,217

A 57,8 149,6 228 778 1430 4500