Hoofdstuk 4 Kansverdelingen

Hoofdstuk 4:

Kansverdelingen

1

a. Voor elk antwoord heeft ze keus uit 3 mogelijkheden: in totaal ₃8 _{6561 rijtjes.}

b. 1 3 ( ) P goed  en 2 3 ( ) P fout 

c. De kans op goed is voor elke vraag weer 1 3 . d. 1 3 2 5 3 3 ( ) ( ) ( ) 0,0049 P gffggfff    e. 8 56 3     

  combinaties met 3 goed en 5 fout.

f. 1 3 2 5 3 3 8 ( 3) ( ) ( ) 0,2731 3 P X   _{ }     2

a. De kansboom bestaat uit twee takken met 1 4 ( ) P r  en 3 4 ( ) P w  b. 3 1 2 4 4 ( 1) 3 ( ) 0,1406 P X      c. 3 2 1 4 4 3 ( 2) ( ) 0,4219 2 P X   _{ }     d. 3

a. X is het aantal keer kop: n5 en p0,5

b. X is het aantal jongens die je kiest. De kansen blijven niet gelijk, dus niet binomiaal

verdeeld.

c. X is het aantal patiënten dat geneest: n200 en p...

d. X is het aantal rode ballen: n5 en 10

45 p 4 a. 1 4 1 6 2 2 10 ( 4) ( ) ( ) 0,2051 4 P X  _ _     b. ( 100) 300 0,35100 0,65200 0,0406 100 P X  _ _     5 a. ( 11) 18 0,6011 0,407 0,1892 11 P X  _ _    

b. 60% van 18 is ongeveer 11 leerlingen. 6 a. E X( ) 0 (1  p) 1  p p b. _{SD X( ) (0p) (1}2_{ p) (1 p)}2_{ p p}2_{ (1 p) (1 2  p p} 2_{) p} 2 3 ₂ 2 3 2 _{(1 )} p p p p p p p p p           X 0 1 2 3 kans 1 3 4 ( ) 0,0156 0,1406 0,4219 3 3 4 ( ) 0,4219

c. E Y( ) n E X( ) n p d. SD Y( ) n SD X ( ) n p(1p)  np(1p) 7 a. 15 5 85 15 100 100 20 ( 5) ( ) ( ) 0,1028 5 P X  _ _     b. 15 100 ( ) 20 3 E X    8 a. P X( 2)P X( 0)P X(  1) P X( 2) 0,0563 0,1877 0,2816   b. c. P X( 3)P X( 0)P X(  1) P X( 2)P X( 3) 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,7759    d. P X( 4)P X( 4)P X( 5) ... P X( 10) e. P X( 3)P X( 4)P X( 0)P X(   1) ... P X( 10) 1 ( 4) 1 ( 3) P X   P X  f. P X( 4) 1 P X( 3) 1 0,7759 0,2241   g. P X( 2) 1 P X( 2) 1 0,5256 0,4744   9 a. P X( 22)P X( 21)binomcdf(42, 0.55, 21) 0,3087 b. P X( 17) 1 P X( 16) 1 binomcdf(42, 0.55,16) 0,9795 c. P(16 X 22)P X( 21)P X( 15) 0,2995 d. P(21 X 35)P X( 34)P X( 21) 0,6912 10

a. X is het aantal jongens dat geboren wordt: X is Bin(20; 0.5)-verdeeld

( 10) 1 ( 10) 1 (20, 0.50,10) 0,4119

P X   P X   binomcdf 

b. P X( 14) 1 P X( 13) 1 binomcdf(20, 0.50,13) 0,0577

11

a. 0,08 2000 160  wetenschappers met blauwe ogen. b. P X( 150)binomcdf(2000, 0.08,150) 0,2181

c. P X( 135) 1 P X( 134) 1 binomcdf(2000, 0.08,134) 0,9840

12

a. Het gaat om een trekking zonder terugleggen. De kansen blijven niet gelijk.

b. 4 3 6 10 9 8 ( 2) 3 0,3 P R       c. 4 4 6 10 10 10 ( 2) 3 0,288 P R       X 0 1 2 3 4 5 6 ( ) P X x 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460 0,0584 0,0162 ( ) P X x 0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219 0,9803 0,9965 X 7 8 9 10 ( ) P X x 0,0031 0,0004 0,0000 0,0000 ( ) P X x 0,9996 1,0000 1,000 1,0000

13 a. 2 3 1 2 3 3 5 ( 3) ( ) ( ) 0,3292 3 P X   _{ }     b. 200 199 198 100 99 300 299 298 297 296 5 ( 3) 0,3320 3 P X   _{ }       

c. De kansen liggen dicht bij elkaar. 14

a. De steekproef (25 leerlingen) is klein t.o.v. de populatie (1500 leerlingen)

25

n en p0,30

b. P Z( 10)P Z( 9)binomcdf(25, 0.30, 9) 0,8106

c. P Z( 15) 1 P Z( 15) 1 binomcdf(25, 0.30,15) 0,00045

15

a. De kans op ‘three of a kind’ is bij elke worp even groot.

b. 1 1 5 4 6 6 6 6 5 ( ) 1 0,1543 3 P three of a kind  _{ }        c. n6 en p0,1543 d. P X( 2)binomcdf(6, 0.1543, 2) 0,9490 e. _{P X( 0) (1 0,1543) } 6 _0,3658 f. P Fenna wint( )P X( 2) 1 P X( 2) 1 0,9490 0,0510   16 a. _{P goedgekeurd( )P(50goed) 0,995} 50 _0,7783 b. P X( 12)binomcdf(20, 0.7783, 12) 0,0558

c. 20 0,7783 16  dozen worden goedgekeurd; 4 dozen worden naar verwachting afgekeurd. 17 a. 1 3 ( 10) (40, ,10) 0,1714 P X  binomcdf  b. 1 3 ( 10) (45, ,10) 0,0741 P X  binomcdf  c. 1 3 ( 10) ( , , 10) 0,05 P X  binomcdf n  Voer in: 1 1 ( , ,10)3

y binomcdf x en kijk in de tabel: x48 n48

18 a. 1 4 ( 4) 1 ( 3) 1 (20, , 3) 0,7748 P X   P X   binomcdf  b. P X( 4) 1 P X( 3) 1 binomcdf(20, 0.15, 3) 0,3523 c. P X( 4) 1 P X( 3) 1 binomcdf(20, , 3) 0,05p 

Voer in: y1 1 binomcdf(20, , 3)x en kijk in de tabel: x0,071 p0,071

19 a. -b. P X( 5) 1 P X( 4) 0,95 ( 4) 0,05 ( 4) 0,05 P X P X      

c. Voer in: y1binomcdf x( , 0.5, 4) en kijk in de tabel.

d. x16

Je moet dus minstens 16 20 € 320,   besteden 20

a. De steekproef (50 docenten) is klein t.o.v. alle wiskundedocenten.

b. 0,15 50 7,5  Je kan dus 7 à 8 tegenstanders verwachten.

c. P X( 12) 1 P X( 11) 1 binomcdf(50, 0.15,11) 0,0628

d. ministers moet je geen gelijk geven! 21

a. die afstand kan niet zo nauwkeurig gemeten worden, dus de stochast is discreet. b. Alle waarden tussen 0 en 3.

c. Dan moet de pijl op precies 1 dm van het midden gegooid worden; dat is (na flink inzoomen) onmogelijk. d. P(1 X 2) 22₃212 3_{9 3}1               22 a. 3 3 2 2 1 9 9 ₀ 0 1 x dx _ x _ 



b. 2 2 2 2 1 4 1 1 9 9 ₁ 9 9 3 1 x dx _ x _   



c. 2,5 2,5 2 2 1 4 9 9 _1,5 9 1,5 (1,5 2,5) P  X  



x dx _ x _  23 a. 1 2 ( ) f x  _ b. 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2 dx 2 x 2 3 6       _ _   



: de kans dat de draaihoek tussen 2

3 en  is. c. 3,93 3,93 1 1 2 2 2,54 2,54 (2,54 3,93 0,2212 P  X  



_ dx_{ } x_  24 a. L is continu b. 1,5 8 23,5 37 21 8 1 c./d. 25 a. ₁ ( ₂ 2)2 ₁ (₂ 2)2 2 2 ( ) p p f p e   e              2 _{( )}2 2 2 2 2 1 1 2 2 ( ) p p e  e   f p             

b. Als x ver van  af ligt, wordt _(x)2 _{heel erg groot. Dan nadert} ( )2 2 2 x e    _{naar 0.} c. 22 ( ) 2 0 x   

  . Deze term is maximaal 0, en dat is als x . Het maximum is  12 .

d. Hoe groter de  , hoe kleiner de functiewaarde. Omdat de oppervlakte onder de grafiek gelijk blijft (1) moet de grafiek breder worden.

-26 a. Voer in: 1 ( 200 )50 2 1 _{5 2} x y  _e  en 2 ( 200 ) 50 204 1 5 2 198 0,4436 x e dx    _



b. De kans dat het gewicht van een pot oploskoffie tussen de 198 en 204 gram is, is ongeveer 0,4436 27 a. b. P(36,5 T 37,5)normalcdf(36.5, 37.5, 36.9, 0.6) 0,5889 c. P T( 37,0)normalcdf(37.0,1 99, 36.9, 0.6) 0,4338E  28 a. P L( 168,5)normalcdf( 1 99,168.5,164, 7.2) 0,7340 E  b. P(160 L 170)normalcdf(160, 170,164, 7.2) 0,5084 c. P L( 180)normalcdf(180, 1 99, 164, 7.2) 0,0131E  d. P L( 170)normalcdf(170, 1 99, 164, 7.2) 0,2023E  2 ( 170 ) 0,2023 0,0409

P beiden langer dan cm  

29

a. P X( 48)normalcdf( 1 99, 48, 50, 3) 0,2525 E 

b. P X( 47)normalcdf( 1 99, 47, 50, 3) 0,1587 E 

De normale verdeling is symmetrisch in x . Dus P X(   )P X(   )

c. P(47 X 53)normalcdf(47, 53, 50,10) 0,6827 d. P(44 X 56)normalcdf(44, 56, 50,10) 0,9545 e. P(41 X 59)normalcdf(41, 59, 50,10) 0,9973 30 a./b. c. P X( L) 0,10 99 ( 10 , , 35, 2) 0,10 normalcdf  L  solver: _{normalcdf( 10 , , 35, 2) 0,10 0} 99 _{x   x 32,44} 31 a. b. P X( R) 0,40 99 ( ,10 , 100, 5) 0,40 normalcdf R  solver: _{normalcdf x( , 10 , 100, 5) 0,40 0}99 _{  x 101,27} 32 a. P(10 X 14)normalcdf(10,14, 12, 3.4) 0,4436 b. P X( R) 0,30 99 ( , 10 , 12, 3.4) 0,30 normalcdf R  solver: _{normalcdf x( ,10 , 12, 3.4) 0,30 0}99 _{  x 13,78} c. P X( 5) 0,05 99 ( 10 , 5, , 3.4) 0,05 normalcdf    solver: _{normalcdf( 10 , 5, , 3.4) 0,05 0} 99 _{x  }  _10,6

d. P X( 5) 0,05 99

( 10 , 5,12, ) 0,05

normalcdf   

solver: _{normalcdf( 10 , 5,12, ) 0,05 0} 99 _{x    4,25 (naar beneden afronden!)}

33 a. _{P X( 3,65)normalcdf(3.65,10 , 4, 0.2) 0,9599}99 _ b. P X( 4,12) 0,52 99 ( 10 , 4.12, 4, ) 0,52 normalcdf    solver: _{normalcdf( 10 , 4.12, 4, ) 0,52 0} 99 _{x    2,39} 34 P I( 800) 0,005 99 ( 10 , 800, , 38) 0,005 normalcdf    solver: _{normalcdf( 10 , 800, , 38) 0,005 0} 99 _{x    898} 35 a. E T( ) 8 4 32   uur b. SD T( ) 10  8 28,3 minuten c. E G( ) 4 uur en SD G( ) 10₈ 3,54 minuten 36 a. E Y( ) 4 en SD Y( ) 0,2₁₀ 0,06

b. Y is ook weer normaal verdeeld.

c. _{P L( 3,95)normalcdf( 10 , 3.95, 4, 0.2) 0,4013} 99 _

99 0,2

10

( 3,95) ( 10 , 3.95, 4, ) 0,2137

P Y  normalcdf  

De gemiddelde levensduur bij 10 batterijen zal dichter in de buurt komen van de gemiddelde levensduur. De kans dat een uitschieter in zo’n doos van 10 batterijen zit, is kleiner.

37

a. Xk is binomiaal verdeeld met een succeskans van 0,5.

( _i) 1 0,5 0,5

E X    en SD X( _i) 1 0,5 0,5  0,5

b. E S( ) 10 000 0,5 5000   en SD S( ) 0,5  10 000 50

c. _{P S( 5250)normalcdf(5250,10 , 5000, 50) 2,7 10}99 _{ } 7

Die kans is erg klein. De bewering van Klara is niet echt geloofwaardig. 38

a. X is binomiaal verdeeld met n20 en p0,85

Voer in: y1binompdf(20, 0.85, )x en kijk in de tabel

b.

c. De grafiek gaat steeds meer lijken op een normale verdeling. 39

a. De som van de staafjes t/m 16 is ongeveer gelijk aan de oppervlakte onder de klokvormige kromme t/m 16,5.

c. P(13 X 16)binomcdf(150, 0.1, 16)binomcdf(150, 0.1,12) 0,4149 (12,5 16.5) (12.5,16.5,15, 3.67) 0,4108 P  Y normalcdf  40 a. P X( 10600)binomcdf(12500, 0.85,10600) 0,2691 b. Y is Norm(10625, 39.92) verdeeld 99 ( 10600,5) ( 10 ,10600.5,10625, 39.92) 0,2697 P Y  normalcdf   c. -41 a. _{P X( 8450)P(Y 8449,5) normalcdf( 10 , 8449.5, 8400, 57.97) 0,8034} 99 _ b. _{P X( 8450)P(Y 8449,5) normalcdf( 10 , 8449.5, 9100, 56.44) 0} 99 _ 42 a. p1p2p3 1

b. ‘1’ komt k keer voor, ‘2’ l keer en ‘3’ komt dan n k l  keer voor. In een serie van n kun je de k ‘enen’ op n

k

   

  manieren plaatsen en dan de l ‘tweeën’ op nog maar n k l        manieren. ( 1 2 ) 1 2 3 k l n k l n n k P X k en X l p p p k l          _{  } _       43 a. X is Bin(300, 0.01) verdeeld. ( 6) (300, 0.01, 6) 0,9672 P X  binomcdf  b. P X( gw) 0,0250 1 ( 1) 0,0250 1 (300, 0.01, 1) 0,025 P X gw binomcdf x       

Voer in: y1 1 binomcdf(300, 0.01,x1) en kijk in de tabel: x8

Dus bij 8 of meer ondeugdelijke spelers gaan ze twijfelen 44 a. _{P L( 9)normalcdf(9, 10 , 5, 1.6) 0,0062}99 _ b. 99 3 ( 9) ( 10 , 9, 3 5, 1.6 3) 0,0152 P L  normalcdf     45

a. X is het aantal mensen dat komt. ( 900) 0,01 1 ( 900) 1 ( , 0.60, 900) 0,01 P X P X binomcdf n       

Voer in: y1 1 binomcdf x( , 0.60, 900) en kijk in de tabel: x1429

Bij 1429 uitnodigingen blijft de kans net onder de 1%.

b. De verwachte opkomst is dan 0,60 1429 857  . Er zullen dan 43 stoelen leeg blijven.

c. P X( 900) 0,01

1P X( 900) 1 binomcdf(1200, , 900) 0,01p 

46 a.  100 6 106  en 2 2 1 4 5 1,5 27     b. 99 1 4 ( 110) (110, 10 , 106, 27 ) 0,2218 P G  normalcdf  c. 99 1 2 2 4 ( _t 22500) (22500,10 , 200 106 950, ( 27 200) 90 ) P G  normalcdf      _{normalcdf(22500,10 , 22150,116.4) 0,0013}99 _ 47

a. Uitgaande van de vuistregels:   51,0 en  2 49,5

51,0 2 49,5 3 1,5 0,5 en 50,5            b. P L( 49) 0,005 99 ( 10 , 49, 50, ) 0,005 normalcdf    solver: _{normalcdf( 10 , 49, 50, ) 0,005 0} 99 _{x    0,388} T-1 a. P X( 5)binompdf(20, 0.25, 5) 0,2023

b. Voor een 6 moet ze er 12 goed gokken:

( 12) (20, 0.25,12) 0,00075 P X  binompdf  c. P(8 X 10)P X( 8)P X( 9)P X( 10) (20, 0.25, 8) ... (20, 0.25, 10) 0,0609 0,0271 0,0099 0,0979 binompdf binompdf         d. E X( ) 20 0,25 5  

T-2 a. 11 79 12 ( ) 0,1625 80 13 P r              

b. X is het aantal keer de rode 11.

( 1) (5, 0.1625,1) 0,8118 P X  binomcdf  c. P X( 2) 1 P X(   1) 1 0,8118 0,1882 T-3 a. verwachtingswaarde: 20 0,75 15  b. P(14 X 18)binomcdf(20, 0.75, 18)binomcdf(20, 0.75, 13) 0,7615 c. P X( 19) 1 P X( 18) 1 binomcdf(20, 0.75,18) 0,024

De kans is redelijk klein, dus ik zal Gert dan gelijk geven. d. P X( R) 0,05

1binomcdf(20, 0.75,R 1) 0,05

Voer in: y1 1 binomcdf(20, 0.75,x1) en kijk in de tabel: R19

T-4

a/b/c. niet leuk en ook niet zo zinnig!

d. _{P X( 4,6)normalcdf( 10 , 4.6, 3,1) 0,9452} 99 _ 99 ( 4,6) ( 10 , 4.6, 3, 2) 0,7881 P Y  normalcdf   T-5 a. _{P X( 12,0)normalcdf(12.0, 10 ,10, 4) 0,3085}99 _{ bijna 31%} b. P X( h) 0,10

solver: _{normalcdf h( ,10 ,10, 4) 0,10 0}99 _{  h15,13 meter}

c. P X( 2,55) 0,10

solver: _{normalcdf( 10 , 2.55, , 1.5) 0,10 0} 99 _{  }  _{4,47 meter}

T-6 a. _{P X( 87)normalcdf(86.5,10 , 82, 4) 0,1303}99 _ b. 99 120 ( 9860) (9859.5, 10 , 9840, 4 120) 0,3282 P X  normalcdf   T-7 P X( 26)binompdf(50, 0.25, 26) 0,000027

Deze kans is zo klein dat het ongeloofwaardig is dat hij alles gegokt heeft. T-8 a. P X( 8,5) 0,07 solver: 99 50 60 ( 10 , 8.5, , ) 0,07 0 normalcdf      9,73 uur b. niet bijstellen als de gemiddelde levensduur meer is dan 592 minuten

99 50

40 ₄₀

(G 592) (592, 10 , 582, ) 0,1030

P  normalcdf  _{. De kans dat hij niet bijstelt is}