uitwerkingen 4 havo B H4

(1)

Hoofdstuk 4:

Exponentiële functies.

V_1. a. 60% van € 80,- 0,60 € 80,  € 48, b. 79% van € 12,50 0,79 €12,50 € 9,88  c. 51% van € 98,-0,51 € 98,  € 49,98 d. 2,5% van € 950,-0,025 € 950,  € 23,75 V_2.

a. Bij 25% korting moet je 75% betalen; vermenigvuldigen met 0,75

b. 0,75 89 € 66,75  c. 1,19 € 39,87 € 47, 45  V_3. a. +3%: g1,03 d. -30%: g0,7 b. +0,7%: g1,007 e. +200%: g3 c. -17%: g 0,83 f. +200%: g3 V_4. Het maakt niets uit.

verkoper: p0,75 1,19 0,8925  p Paul: p1,19 0, 75 0,8925  p

V_5.

a. Na twee jaar: _{5000 1,046}_ 2 __{€ 5470,58}_{en na vijf jaar:}_{5000 1, 046}_ 5 __{€ 6260,78}

b. De beginhoeveelheid is 5000. En elk jaar komt er 4,6% bij, dus vermenigvuldigen met 1,046

V_6.

a. Een groeipercentage van 7,8% per uur. b. g2uur 1,0782 1,1621

c. getmaal 1, 07824 6,065 en dat is een groei van ongeveer 507% per etmaal.

V_7.

a. 6

216 10 1,132t

B   met t de tijd in dagen.

b. 5000 0,86t

V   met t in periodes van 5 jaar.

c. 0,87 0,85t

W   met t de tijd in jaren.

V_8.

a. _W _{ }6 1, 40t

b. In 1920: _W _{ }_{6 1, 40}2 __{11, 76}_{miljoen m}3_.

c. De groeifactor per 20 jaar is _{1, 40}2 __1,96_{. Een toename met 96% in 20 jaar.} d. In 2030: _W _{ }_{6 1, 40}13 _₄₇₆_{miljoen m}3_. p p% g 1 100 q q% g 1 100        

(2)

1.

a. 2

b. De hoeveelheid op tijdstip t0 is 6,4 miljoen en de groeifactor is 2.

c. _A_{(7) 6, 4 2}_ _ 7 __{819, 2}_{. In 2010 zullen er 819,2 miljoen sms-berichten verzonden worden.} d. _A_{(0) 6, 4 2}_ _ 0 __{6, 4} 0 2 1 e. 1 4 4 2  2 2. a. 1 2

b. In 2002 zullen er 3,2 miljoen sms-berichten verzonden

worden. 1 1 2 2 _ c. d. 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 8 2 _{    } e. 3.

a. Is de groeifactor g 1 dan is de functie stijgend en voor 0 g 1 is de functie dalend. b. De lijn y0 is de horizontale asymptoot.

c. De functie f bestaat voor alle waarden van x. d. Alle functiewaarden zijn groter dan 0.

4.

a. De functies f en k zijn stijgend. b. Alleen g gaat door (0, 1). c. Domein: ¡ en bereik: 0,

d.

e. k heeft een horizontale asymptoot y0.

5.

a. De groeifactor per week is 2.

b. ( ) 500 2t

N t   met t de tijd in weken. c. Na 1 dag ( 1

7

t ) zijn er ongeveer 552 algen. De groeifactor per dag is ongeveer 552

500 1,104 d. 217 1,10 dag g   6. a. g_week 1,57 17,09 c. 248 8uur 1,5 1,14 g   b. 1,512 1, 22 halve dag g   d. 1,5241 1,017 uur g   7. a. ghalve dag 1,15 b. 1,15121 1, 012 uur g  

c. Het aantal bacteriën neemt met 1,2% per uur toe.

t in jaren -3 -2 -1 0 A in miljoenen 0,8 1,6 3,2 6,4 t A 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 35 40 -5 x y 50 100 150 200 -50 5 10

(3)

8. a. getmaal 1,60 b. g5jaar 0,96 8 12 8uur (1,60) 1,368 g   3 15jaar (0,96) 0,885 g  

36,8% toename per 8 uur 11,5% afname per 15 jaar

c. gmaand 1,0115 d. g20jaar 1,70 12 1,0115 1,147 jaar g   1 20 1,70 1,027 jaar g  

14,7% toename per jaar 2,7% toename per jaar

9. a. 2916 4jaar 36 81 g   . b. 8114 3 jaar g   . c. ( ) 4 3t

f t   met t de tijd in jaren.

d. 3121 1,0959

maand

g   , dus _{f t}( ) 4 1,0959_{ } t_{met t de tijd in maanden.}

10.

a.

b. De horizontale asymptoot van f is y0 en die van g is

3

y  .

c. Door de grafiek van f 3 naar beneden te verschuiven.

11. a. ₂x4 _{ }_{1 2}0 ₂x4 _{ }_{8 2}3 4 0 4 x x    4 3 7 x x   

b. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f 4 naar rechts te schuiven. c. Beide grafieken hebben als horizontale asymptoot de lijn y0.

12.

a. y0 b. y 5 c. y4 d. y 5

13. Door de grafiek van f 4 naar links en 3 omlaag te verschuiven.

14.

a.

b. f(0) 1 : (0, 1) g(0) 1,5 : (0, 1.5) c. _g_{(6) 1,5 2}_ _ 6 __{1,5 64 96}_ _

d. De y-coördinaten van g liggen 1,5 keer zo hoog als die van f. 15. a. 5 1, 2x y  b. 2 1, 2x y  16.

a. Vermenigvuldigen met factor -1 ten opzichte van de x-as: _{g x}( )_{  }1 2x

b. _{h x}_{( )}_{  }_{2 2}x_{  }_{2 2}1 x_{ }₂x1 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 f g x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 f g

(4)

17.

a. _{g x}_{( ) 2}_ x3

b. _{g x}_{( ) 2}_ x3 __{2 2}x_ 3 _{ }_{8 2}x_{; door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 8.}

18. , 1 3 3

( ) 1, 4x Vx as 1, 4x naar rechts ( ) 1, 4x

f x      y g x   

19.

a. De beginhoeveelheid is de hoeveelheid op tijdstip 2 2 9 0 : (0) 2 3 t f     1 2 3 2 27 (1) 2 3 2 3 f _{ }   _{ }  _ groeifactor is 272 2 9 (1) 1 (0) 3 f f g   b. c. 2 2 1 1 2 1 9 9 3 ( ) 2 3 t 2 3 t 3 2 (3 )t ( )t f t                20. a. 1 3 1 3 3 ( ) 2 x 2 2x 2 (2 )x 2 8x f x         b. b2 en g8. c. 3 2 3 2 2 1 9 ( ) 3 x 3 3 x 27 (3 )x 27 ( )x g x           d. 2 2 2 2 12 2 1 1 36 3 36 ( ) 12 6 x 12 6 6 x (6 )x ( )x h x _ _   _ _  _  _{ }  _{ } 21. a. b. 1 2 1 3 2 4 4 (0) 3 ( ) 3 f      c. 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 2 2 4 2 4 ( ) 3 ( ) t 3 ( ) ( ) t 3 (( ) )t 2t f t _{ }  _{ } _  _{  }  _{ }

De groeifactor is groter dan 1, dus de grafiek is stijgend.

22. fout: a, e, f, g, h, i goed: b, c, d, j. 23. a. 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) x 2 (2 ) x 2 2 x 2 x ( ) f x           g x b. 3 3 1 1 8 ( ) 6 2 x 6 2 x 2 6 (2 )x 0,75 (0,5)x ( ) h x _{ }   _{ }  _  _{  }  _ _ _k x 24. a. _{f x}_{( ) 3}_ 4x2 _₃4x_{ }₃2 _{(3 ) 9 9 81}4 x_{  } x _stijgend b. 5 7 5 7 5 1 243 ( ) 3 t 3 t 3 (3 ) 2187 2187 ( )t t h t _   _  _{ }  _ _ _ _dalend c. 3 2 3 2 3 1 64 ( ) 0, 25t 0, 25 0, 25t (0, 25 ) 16 16 ( )t t p t          dalend d. _{g t}_{( ) 4 3}_{ } 2 1t _{ }_{4 3 3}2t_{ }1 _{12 (3 )}_ 2 t __{12 9}_ t _stijgend e. _{k x}_{( ) 0, 6 1, 44}_ _ 2 0,5 x __{0,6 1, 44 1, 44}_ 2_ 0,5x __{1, 24416 (1, 44 )}_ 0,5 x__{1, 24416 1, 2}_ x _stijgend f. _{f x}_{( ) 4}_ 0,5(x1) _₄0,5x0,5 __{(4 ) 4}0,5 x_ 0,5_{ }_{2 2}x _stijgend 25. a./b. 3 3 3 8 5x 8 5 5x 8 5 5x 1000 5x y          

c. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 1000.

t 0 1 2 3 4 f(t ) 92 272 812 2432 7292 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1

(5)

26. a. _{g x}_{( ) 15 2}  x  3naar rechts _y _{15 2}x3   Vx as , 4 _y _{4 15 2}x3 b. _y_{  }_{4 15 2}x3 _{   }_{4 15 2 2}x 3 __{7,5 2}_ x 27. a. _,1 2 2 2 1 2 2 ( ) 6 3x naar links 6 3x Vx as 6 3x f x y _  y _          b. 1 2 1 2 2 6 3 2 6 3 3 27 3 x x x y_{  }  _{    } _ 28. a. _,1 , 1 2 1 5 1 5 2 2 ( ) 2 3x V_{x as} 2 3x Vx as 1 3x naar links 1 3x f x _ _ y  y y _                 b. 1 5 1 5 1 2 2 2 1 3x 1 3 3x 1 121 3x y_{   }  _{       } _

29. In alle gevallen blijven het exponentiële functies alleen zijn ze niet allemaal in dezelfde vorm van f(x) te schrijven.

a. verticale verschuiving: x y b g  k b. horizontale verschuiving: x k x k k x y b g    b g g bg g c. spiegelen in de x-as: x y  b g

d. vermenigvuldiging t.o.v. de x-as: x x

y k b g   kb g 30. a./b. _{3 4}_ x5 _₂₄ 5 2 5 2( 5) 2 10 3 1 2 4 8 (2 ) 2 2 2 2 10 3 2 7 3 x x x x x x x               31. a. 1 3 ( )x _9 b. 1 27 3x _ c. (0, 25)x_16 _d. 1 3 7 ( )x _1 1 2 2 (3 ) 3 3 3 2       x x x 3 3 3 3 x x     2 4 (2 ) 2 2 4 2 x x x  _     3 0 1 7 ( ) 7 3 0 3 x x x  _     e. 1 64 2t _ f. _(0,1)2x _₁₀₀₀ g. 32 2_{ }t 4 _h. _{3 (0,5)}_ x _₂₄ 6 2 2 6 t t     1 2 3 1 2 (10 ) 10 2 3 1 x x x  _     5 2 5 2 2 2 2 2 2 3 t t t       1 3 (0,5) 8 (2 ) 2 3 x x x      i. _{14 4}_{  }t _{7 2}3t _j. 1 64 2x _ 2 3 2 1 3 2 (2 ) 2 2 2 2 1 3 1 t t t t t t t        1 2 6 1 2 (2 ) 2 6 12 x x x      

(6)

32. a. 1 2 1 36 3 x 12 d. 1 8 ( )x _ 2 _e. 10x_5x _f. 1 2 1 3 9x _( ) x 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 3 3 1 1 0 0 x x x x  _{ }       1 2 3 1 2 1 6 (2 ) 2 3 x x x  _     2 5 5 2 1 5 0 0 x x x x x x        2 1 2 1 1 4 (3 ) (3 ) 2 2 1 4 1 x x x x x x         h. _{( 6)}2x _₆ 1 2 2 1 1 2 (6 ) 6 1 1 0 x x x  _   

De andere vergelijkingen oplossen met de GRM. Beide functies invoeren en intersect:

b. x1, 40 c. x12,14 g. x1, 23 33. a. b. _{27 3}_ 2x__{( 3)}x 1 1 2 2 3 2 5 1 2 1 2 1 3 3 3 3 (3 ) 3 5 1 5 3 x x x x x x x x           c. f x( )g x( ) voor 1 3 3 x 34. a. 1 3 2 12 4 ( )_{ } x _{ }4 1 3 2 12 4 ( )_{ } x _11 3 1 2 1 3 2 4 ( ) 16 (2 ) 4 2 3 2 1 x x x x            3 1 2 1 3 1 2 4 4 ( ) 1 (2 ) 2 3 2 5 x x x x              b. x5 c. 1 x 5 35. a. 50 0, 7_ t _12 _t_4, 00 b. 50 1, 2_ t _12 _t_{ }7,83 c. 800 0,933_ x _100 _x_29,98 d. 0, 7x _0, 24 _t_4, 00 36.

a. 2 is niet als macht van 1

3 te schrijven. b. Voer in: 1 1 ( )3 x y  en 2 9 2 x y   intersect: x 1, 23 c. 1 3 ( )t _{ }9 2t _{voor t}_{ }1, 23 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 f(x) g(x)

(7)

d. 1 3 ( ) 3 3 1 2 1 1 1 2 (3 ) 3 1 t t  _   37. a. g0, 25 en b100. b. 100 0, 25_ d _0, 000095 Voer in: 1 100 0, 25 x y   en y2 0,000095 intersect: x10,00 10 d  meter 38. a. _y__{12 0,5}_ x6 __{0,1875 0,5}_ x _asymptoot:_y_₀ b. _y__{12 0,5}_ x2_{ }_{3 48 0,5}_ x_₃ _asymptoot:_y_{ }₃ c. _y_{  }12 0,5x _asymptoot:_y₀ d. _y_{  }_{4 12 0,5}x3 __{384 0,5}_ x _asymptoot:_y_₀ 39.

a. De grafiek van f gaat door (0, 1). De grafiek wordt dus 7 omhoog verschoven. b. Dan moet de grafiek van f 3 omlaag verschoven worden.

c. 0,5x _4 1 2 (2 ) 2 2 2 x x x  _  _  

De grafiek van f gaat door (-2, 4) en moet dus 8 naar rechts verschoven worden. d. De grafiek van f gaat door (-3, 8). Er moet dus t.o.v. de x-as met factor 1

2 1 vermenigvuldigd worden. 40. a. 32 60 0,53 17 32 0,53 9 17 0,53 5 9 0,56 De groeifactoren zijn (m.u.v. de laatste) vrijwel gelijk en kleiner dan 1, dus er is sprake van een exponentiële afname.

b. T(5) 51,8 T(10) 36,9 en T(15) 29,0 : klopt. c./d. T 20: op den duur wordt de koffie 20o_C.

41. a. 3 1 2 4 2_ x _( )x b. 1 2 3 3 3 27 x x     c. 1 1 3 3 ( ) 3x_{  }x 3x 2 3 1 5 1 2 2 2 (2 ) 2 2 5 2 5 2 x x x x x x x x               1 2 3 3 2 2 3 2 5 3 3 (3 ) 3 3 2 2 3 5 2 x x x x x x x x              1 1 1 1 (3 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 0 1 1 x x x x x x x x x x x                      tijd temperatuu r verschil 0 80 60 5 52 32 10 37 17 15 29 9 20 25 5

(8)

d. 1 2 8 ( 2)_  _( ) _e. 2 1 6 x _2x_9x _f. ₂x_₂x_₄x2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 (2 ) (2 ) 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x x               2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 3 0 2 1 3 1 x x x x x x x x x x x              2 2 1 2 4 2 2 (2 ) 2 2 1 2 4 3 x x x x x x x            42. a. 1 1 4 16 16 ( )_ x _ b. 1 4 32 2_{ }t c. 1 8 16 0,5_ a _ d. ₅2t _₁₂₅1t 2 1 2 2 2 4 (4 ) 4 4 4 2 2 4 4 x x x x x             5 2 5 2 2 2 2 2 2 5 2 7 7 t t t t t              4 3 4 3 2 2 2 2 2 4 3 7 7 a a a a a             2 3 1 2 3 3 3 5 3 5 5 (5 ) 5 5 2 3 3 t t t t t t t t         43. a. ghalf jaar 1,60 1 6 1,60 1,081 1000 1,081 maand t g V     b. Het 1

26-deel van een half jaar is een week. De tijd is nu in weken. c. Er is geen verschil. 44. a. 1 24 ( ) 2 (0, 40 )t 2 (0,9625)t P t     b./c. d. P(24) 0,8 24 2( ) 2,8 0,9625 t P t _ _  e. P2(48) 1,12 48 3( ) 3,12 0,9625 t P t    3(72) 1, 248 P 

Vlak na de vierde injectie is er 3,248 mg geneesmiddel aanwezig. 45. a. 1 3 1 1 3 1 2 2 2 ( ) 12 4 ( )x 12 4 ( ) ( )x 12 4 (2 ) 8 12 32 2x x f x _ _{ }  _ _{ } _  _ _{ }  _{ } _ _  b. 2x_{wordt nagenoeg 0; de horizontale asymptoot is}_y₁₂_.

c. 0 (0) 12 32 2 20 f      (0, -20) d. _y₂xVx as , 32    _y _{32 2}x12omhoog _y _{12 32 2}  x 46. a.

b. Voor hele grote waarden van t wordt 0,8t_{vrijwel gelijk aan 0 en nadert H naar 8 m.} t (in uren) P (in mg) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 0 0,5 1 1,5 2 2,5

(9)

c. 56 :t3,797 tot t 5,614: ongeveer 1,8 jaar

67 :t5,614 tot t8,72: ongeveer 3,1 jaar

d. 1

12

8 7 0,8 t

H   

e. Het is bijna niet waarneembaar hoeveel een boom per maand groeit.

T_1. a. 1 12 32 2 33,9 mg. b. 33,9 32 1,059 uur g   c. ( ) 32 1,059t

H t   met t de tijd in uren. d. Om 10.00 uur: 1 12 2 ( ) 32 1, 059 32,9 H    en om 08.00 uur: 1 112 2 ( 1 ) 32 1, 059 29,3 H      . T_2.

a. Een verschuiving van 1 naar links en 2 omhoog.

b. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3 en een verschuiving van 1 naar rechts. c. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -2 en een verschuiving van 4 naar rechts. d. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 5 en een verschuiving van 4 naar links.

e. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -1 (spiegeling in de x-as) en een verschuiving van 2 omhoog.

f. Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -6 en een verschuiving van 15 omhoog.

T_3. a. _{b N}_ _{(0) 4,32 1, 44}_ _ 1_₃_en (0) 3,6 (1) 3 1, 2 N N g    0,5 1 0,5 1 1 0,5 4,32 1, 44 t 4,32 1, 44 t 1, 44 4,32 1, 44 (1, 44 )t 3 1, 2t N             

b. De groeifactor is groter dan 1, dus de grafiek van N is stijgend.

T_4. a. 1 25 25 5_{ }t 0,04_ b. 7 3_{ }t 63 _c. 1 3 2 2 4 ( )x _16  x 2 2 2 5 5 5 5 2 2 4 t t t t           2 3 9 3 2 t t    2 3 4 2 2 (2 ) (2 ) 2( 3) 4(2 2 ) 2 6 8 8 x x x x x x   _          1 5 10x 2 x     t (in jaren) h (in m) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1

(10)

d. _{3 9}t_ t4 _₂₇ _e. 100 1000 0,01 2 4 3 8 3 2 3 3 (3 ) 3 3 3 8 3 3 5 1 t t t t t t            3 3 2 2 3 (10 ) 10 10 3 2 x x x x        T_5. a. 24 2,3t 100 1,7 t    d. 3 3 5x 21 1,8 x      b. 0,03 1, 78t 2 7,3 t    e. 2 0,8 x 10 5, 2 x    c. 5 2n 0,1 5, 6 n     T_6. a. 48 4jaar 6 8 g   1 4 8 1,68 jaar g   b. 1,6814 1,1388 kwartaal g   c. Op 1 april 2001: _{6 1,1388}_ 13 __32,5% d. 6 1,1388_ t _90 Voer in: 1 6 1,1388 x y   en y2 90 intersect: x20,8 Het was 90% in het eerste kwartaal van 2003.

T_7. a. 2 1 3 ( 2) 3 3 2 2 f       b. _{g x}_{( ) 3 (3 3}_{   }x _{2) 3}_ x2_₆ 1 3 2 7 3 p p   

c. De horizontale asymptoot van f is y2 en die van g is y6.

T_8.

a. 2, 2 0,97m

A

S   met m de tijd in maanden. b. 2, 2 0,97_ t _1,8

c. Voer in: 1 2, 2 0,97

x

y   en y2 1,8. intersect: x6,59. d. De band moet om de 6 maanden en 18 dagen worden opgepompt.

T_9.

a. Na 5730 jaar bevat de boom 0, 000001 1000 0,5 0, 0005   mg C14 en na 11460 jaar 0,00025 mg.

b. Na 3 5730 17190  jaar. c. Als 31

32 deel verdwenen is, is er nog 321 deel over.

5 1 1 1 5 32 ₂ 0,5 (2 ) 2 5 t t t        Na 5 5730 28650  jaar. d. 0,5t _0,04 4,64

t  . De vondst is ongeveer 26609 jaar.

e. 0,5t _0,8619

0, 21