De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden, geïsoleerd aangebracht rond een geleidende cirkelcilindrische staaf in een kunststof afdichting

De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden,

geïsoleerd aangebracht rond een geleidende cirkelcilindrische

staaf in een kunststof afdichting

Citation for published version (APA):

Scharten, T. (1987). De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden, geïsoleerd aangebracht rond een geleidende cirkelcilindrische staaf in een kunststof afdichting. Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Elektrotechnische Faculteit

Vakgroep Theoretische' Elektrotechniek

De,elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden, gelsoleerd aangebracht rond eengeleidende cirkelcilindrische staaf in een kunststof afdichting

ir. Th. Scharten

t~

Rapport van onderzoek, verricht in opdracht van de vakgroep Produkt-ontwerp en -constructie, Werktuigbouwkundige Faculteit TUB.

Rapportnummer: ET-9-87 Projekt ET28

SAMENVATTING

Voor de gegeven configuratie wordteen formule voor de elektro-statische capaciteit afgeleid. De capaciteit wordt gedefinieerd, uitgaande van de elektrostatische veld-energie, en herleid tot een uitdrukking. in termen van de elektrostatische potentiaal-. funktie. Deze laatste wordt bepaald als oplossing van het rand-waardeprobleem voor de configuratie. Hierbij wordt gebruik ge-maakt van de Fourier-integraaltransformatiemethode.

i i

LIJST VAN BELANGRIJKSTE SYMBOLEN

a halve afstand tussen de elektroden

C .elektrostatische capaciteit

~ elektrische veldsterkte

I gewijzigde funktie van Bessel van de eerste soort, orde n

n

K gewijzigd~ funktie van Bessel van de derde soort, orde n n Q elektrische lading r radiale caordinaat U eenheidsstapfunktie (Heaviside-funktie) V elektrostatische spanning V volume w elektrodebreedte W veld-energie z axiale caordinaat

P

integratievariabele bij inverse fouriertransformatie

a

i partiele afgeleide naar de variabele i

6 impulsfunktie (Dirac-funktie)

6 elektrostatische permittiviteit (dielektrische constante)

n 3,141592 ...

p elektrische volumeladingsdichtheid

• azimutale coerdinaat

INHOUD

1. In1eiding en verantwoording

2. Probleemstelling

3. De elektrostatische capaciteit

4. Conclu.sies

5. Theoretische grondslagen en afleidingen

6. Verwijzingen 2 3 5 6 7, 30

-2-1. INLEIDING EN VERANTWOORDING

Binnen de vakgroep Produkt-ontwerp en -constructie (werktuigbouwkundige Faculteit TUE), secties Aandrijf- en Tribotechniek, wordt onderzoek ver-richt naar de dikte van de oliefilm·op een schuifbare, metalenstaaf in een afdichting van kunststof. Daarbij is het idee geopperd deze olie-filmdikte af te leiden uit meting van de elektrostatische capaciteit van twee elektroden die, elektrisch gelsoleerd, op de staaf worden aange-bracht. Riertoe i.s het nodig te beschikken over een betrekking tussen de oliefilmdikte enerzijds en de capaciteit anderzijds.

Ret voorliggende rapport betreft nu de theoretische bepaling van deze elektrostatische capaciteit. Er is gekozen voor de configuratie met twee ringvormige elektroden. Daarmee wordt niet aIleen bereikt dat de mathe-matiek betrekkelijk eenvoudig blijft (ook al wordt er heel wat overhoop gehaald), maar ook is de capaciteit van de twee ringvormige elektroden groter dan de oorspronkelijk voorgestelde plaatjes (en dus beter meet-baar) .

Om het rapport overzichtelijk te houden wordt de probleemstelling,

hoofdstuk 2, onmiddellijkgevolgd·door het verkregen resuitaat en de con-clusies, hoofdstukken 3 en 4. De theoretische grondslagen en aIle aflei-dingen zijn in volgorde bijeengebracht in hoofdstuk 5. De bronnen waar-naar in dit rapport wordt verwezen, zijn vermeld in hoofdstuk 6.

De probleemstelling sluit methodisch geheelaan bij de onderwerpen bin-nen projekt ET28, Elektromagnetische stimulatie. Ret onderzoek waarvan dit rapport de peerslag vormt, is dan ook te beschouwen als spin-off van projekt ET28.

2. PROBLEEMSTELLING

In figuur I is de configuratie in dwarsdoorsnede weergegeven. Deze con-figuratie is cirke1cilindrisch met de z-as als cilinder-as, en ze be-staat uit zes deelgebieden.

r6 I

I

6

.

_staal rS

_I

5 I kunststof r4 _I

(

r3

)

4: _olie r2

!

I I 3

)

isolator I _• 2

i

staal I I q

/

I I ! , _• I I _• , I • ₁ lucht

,

. I

·

I

.

I • j I . ' I o ~ _ _ ..J _ _ - ' - _ _ _ ~ _ _ _ -,---_--,- _ _ ' _ _ z -a-w -a 0 _{+a a+w} Figuur 1. Configuratie

Rond een holle stalen as met binnenstraa1 rl en buitenstraal r2 is een isolerende laag aangebracht met buitenstraal rs.

Op deze iso1erende laag zijn rondom twee bandvormige, metalen elektro-den aangebracht, elk met een breedte w en op tussenliggende afstand 2a. De dikte van de elektroden wordt verwaar100sbaar klein ondersteld. De elektroden worden bekrachtigd via twee gelsoleerde geleidende draden, komend vanuit de asholte. Het geheel is omgeven door-een afdichting van kunststof (binnenstraa1 r4, buitenstraal rs), ingek1emd in een metalen huis, buitenstraa1 rs. Tussen deze afdichting en de elektrisch gelso-leerde as bevindt zich een oliefilm.

AIle materialen zijn lineair, isotroop en homogeen.

De elektrodenbekrachtiging bestaat uit een gelijkspanningsbron. Het elektrostatische veld, zoals dat door de elektroden in hun omgeving wordt opgewekt, dringt niet door in destalen as, gebied 2, en evenmin in het metalen huis, gebied 6. Er is dus aIleen een van nul verschil-lend elektrostatisch veld in de gebieden 3, 4 en 5. Het veroorzaakt daar op zijn beurt elektrische geleidingsstromen. Wegens de betrekke-lijk zeer hoge' waarden van de specifieke weerstanden van olie en de toegepaste kunststoffen, zijn deze geleidingsstromen echter verwaar-loosbaar klein.

Omdat het veld zich rond de elektroden concentreert, is het toelaatbaar de configuratie in de as-richtingen tot in het oneindige uitgestrekt te denken.

Gevraagd wordt nu naar de elektrostatische capaciteit C van het elek-trodenpaar. Deze is gedefinieerd door (zie paragraaf 5.1 en 5.5)

"

-4-waarin

V elektrostatische spanning tussen de twee elektroden;

V volume waarin het elektrostatische veid van nul verschiltj

p vblumeladingsdichtheidsfunktie waarmee de elektroden worden

weergegeven;

~ elektrostatische potentiaalfunktie:

dV infinitesimaal volume-element.

Verder hangt de spanning V tussen de elektroden samen met de potentia-len van de elektroden volgens

V

=

~ _{elektrode -} ~ _elektrode (2)

links rechts

Ter bepaling van een uitdrukking voor de capaciteit van het el~ktroden­

paar is het dus nodig de elektrostatische potentiaalfunktie te bepalen. De afleiding ervan is te vinden i'n hoofdstuk 5.

3. DE ELEKTROSTATISCHE CAPACITEIT

Met verwijzing naar hoofdstuk 5, is de elektrostatische capaciteit van het elektrodenpaar in de configuratie van figuur 1 gegeven door

C 1

=

~'"

[J

_{sin(pa)sin(p[a~])}

sin(~)]2

_{~ ~(p)qp}

o

(3)

waarin de funktie ~(p) een breuk is:

~(p)

=

~

(3A) met, in matrixvorm, [ Ko (pr.) ) . -Io(pr,)' en [ KO(Pr2) (P,.xQ",,) - Io(prz)(Q,.xQ",,)] KO(Pr2) (P""xP •• ) Io(prz)(P",sxQs,)'

1 .

(38) (3C) De produkten P .. x Qk" P .. x P

k· en Q .. x Qk' zijn op hun beurt

gege-1J J 1J J 1J J

ven door

P.., x Qu = - t . Io(pr.)KJ,(pr.) - t .. Idprs)Ko(pr.) P ... x PI.

=

(t.-t",)I o(pr.)I1(pr.)

P5 ", X Q~ ..

= -

t .. I o(pr",)K1(pr .. ) - t . I1(pr",)Ko(pr .. ) P ... x P"'4

=

(t",-t.)I o(pr",)I1(pr .. ) (3D) (3E) (3F) (3G) (3H) (3J) (3K) (3L)

-6-Verwaarloosbare elektrodebreedte

Indien de elektrodebreedte w verwaarloosbaar klein wordt ondersteld, dan is C gegeven door

C

=

1

20.1

sin' (lIa)</> (II) tip

w .&. 0 (3M)

waarin de funktie ~(p) oDveranderd door de formules 3A tim 3L is voor-geschreven.

Numerieke impJementatie

Bij de numerieke implementatie van de capaciteit volgens formule 3 of 3M moeten maatregelen worden getroffen om verzekerd te zijn van een stabiele en voldoende nauwkeurige uitkomst van de integralen.

Zo ontstaat er het probleem dat zowel r. als

r"

in getalwaarde maar zeer weinig van ra verschillen. Dit probleem kan worden ondervangen door de Besselfunkties 101 1_{1 ,} Ko en Klt met de argument en pr, resp. pr", weer te geven in de vorm van Taylorreeksen voor het argumentpr2'

Verder moet men erop bedacht zijn dat de Besselfunkties lo(x) en 11(x) monotoon stijgende funkties van x zijn, en asymptotisch zelfs exponen-tieel stijgende funkties van x. Hierdoor kan het zijn dat men bij nume-rieke integratie tegen de capaciteitsgrenzen van de gebruikte machine aanloopt. Dit probleem kan worden ondervangen door de I-funkties, vanaf .een nader te bepalen ondergrens, te schrijven alsex.I(x). Daarbij kan de faktor eX worden geelimineerd, en weI doo'r analyse van de uitdruk-kingen 3A tIm 3L.

4. CONCLUSIES

Door gebruikmaking van de methode van randwaardeproblemen en door toe-passing van de fourier-integraaltransformatie is een uitdrukking voor de gevraagde capaciteit verkregen.

Deze uitdrukking is geschikt voor numerieke implementatie, zij 't dat er mogelijk maatregelen moeten worden getroffen om een stabiele en voldoen-de nauwkeurige uitkomst te kunnen verkrijgen. Deze maatregelen zijn mevoldoen-de beschreven.

Op grond van; de gevonden ui tdrukking voor de capaci tei t kan nog geen uitspraak worden gedaan over de doeltreffendheid van een capaciteitsme-ting ter (indirecte) bepaling van de dikte van de oliefilm tussen as en afdichting. Daarvoor is eerst een numerieke implementatie nodig.

-8-5. THEORETISCHE GRONDSLAGEN EN AFLEIDINGEN

5.1 De elektrostatische capaciteit 5.2 De configuratie

5.3 Het randwaardeprobleem

5.4 Oplossing van het randwaardeprobleem

. 5.5 Bepaling van de elektrostatische c~paciteit

5.1 De e1ektrostatische capaciteit

Capaciteit is een elektrisch circuit-element, waarmee de opgeslagen elektrische veld-energie wordt weergegeven. Deze energie W hangt met

e de capaciteit C samen vo1gens (1]

(4) als V de elektrostatische spanning is tussen het elektrodenpaar .( "klemmenpaar") waarmee ·het beschouwde elektrische veld wordt opge-wekt. Anderzijds is' deze energie in termen van het elektrostatische

veld gegeven door [2J _,

(5)

v

waarin

V: het volume waarin het e1ektrostatische veld van nul verschilt;

t,: de elektrostatische permittiviteit (ltdiEHektrische constante") i

~: de elektrostatische ve1dsterktefunktiej

dV: infinitesimaal volume-element.

Met behulp van de formules 4 en 5 wordt de capaciteit gevonden als

C = vl2

I

(t,~.~)dV.

V

Deze ui tdrukking zal in paragraaf 5.5 verder worden her leid tot de gegeven formule 1.

5.2 De configuratie

Met het oog op correcteformu1ering van het randwaardeprobleem (para-graaf 5.3) is het nodig de configuratie in detail te beschouwen. Van belang zijn de gebieden waarin het elektrische veld van nul verschilt; zie figuur 2.

----~i~--~---'i----~ : I I I -a -a-w o I a I· a+w 5 4+ 4-3 Z

Figuur 2 Configuratie in detail

Voor de elektroden is aangenomen dat ze een verdwijnend'kleine dikte hebben. Dit betekent dat ze in het scheidingsvlak r

=

r3 liggen. Dit levert een probleem biJ de formulering van de randvoorwaarden voor het elektrische veld in dat vlak. Daarom wordt aangenomen dat de elektro-den in het vlak r

=

r , r E

<

r3,r4 >, gelegen zijn. Op eengeschikt

. s s .

punt in de analyse kan dan de I imiet r ~ r3 genomen worden. Zolang

s

r F r3, wordt gebied 4 door het vlak r

=

r in twee delen·verdeeld.

. s s

Deze worden achtereenvolgens aangeduid met 4 ,

+

4 , r E

<

r

s,r 4

>.

5.3 Het randwaardeprobleem

De differentiaalvergelijkingen voor het elektrostatische veld

R

lui den

[3] :

{

rotE. = 0 -1 div E. _-1 = L

.

t4 i

=

3,4,5. (6)

Hierin is p de volumeiadingsdichtheid waarmee de elektroden in gebied 4 worden weergegeven. Deze dichtheid luidt

Q

P

=

2 0 ~(r-r) nT(z+a+w) - U(z+a) - U(z-a) + U(z-a-w)], (7)

nr w s

L-s

als ~ de Dirac-puIs is en U de eenheidsstapfunktie. De ladingsdicht-heid volgensvoorschrift 7 voldoet aan de eis dat de elektrische lading op de ene elektrode gelijk is aanQo en die op de andere gelijk aan -Qo. De lading op de linker elektrode is immers

QI

=

J

pdV

-10-,.. r" 2n -a (Z) 00

f

_{rh(r-r )dr}

f

d~

f

_dz 2nr w s s .r. 0 -a-w 00

=

2nr w • rs s 2n • w

en die op de recbter elektrode is -Qo vanwege de integraal

a

f

dz

=

-w. a+w

Ret stelsel differentiaalvergelijkingen 6 wordt aangevuld met de rand-voorwaarden op de vlakken r

=

tz. r

=

rs. r

=

r" en r

=

rs (4]. Op de scheidingsvlakken r

=

r» en r

=

r" zijn de tangentiele component en van

g

en de normale component en van

toR

doorlopend (wegens het ontbreken van geleiding is er geen oppervlaktelading op de scbeidingsvlakken). Op de grensvlakken r = rz en r = rs zijn de tangentiele componenten van g gelijk aan nul. Dus:

} r ' r,

}

r

=

r" ~ _~.z (8)

li'tang = Q, r

=

rz

r = rs.

Bij de herleiding van het randwaardeprobleem {6,7.8} in paragraaf 5.4 worden de randvoorwaarden 8 aangevuld met die ter plaatse van de elektroden, r

=

r •

s

5.4 Oplossing van het randwaardeprobleem

De bepaling van bet elektrostatiscbe veld aIs oplossing van bet rand..., waardeprobleem verloopt in vier stappen:

- invoering van de elektrostatiscbe potentiaalj

- toepassing van de fouriertransformatie {r,~,z} ~ {r,~,p};

- oplossing van bet getransformeerde randwaardeprobleem; - toepassing van de terugtransformatie {r,~,p} ~ {r,~,p}.

Elektrostatische potentiaal

Het steisel differentiaaivergelijkingen 6 moet herleid worden tot een vergelijking. Dit is mogelijk door toepassing van de rotatie-operator op de eerste vergelijking van het steisel. Dit is toegestaan omdat de materiaIen, waar de configuratie uit is opgebouwd, aIle lineair,

isotroop en homogeen zijn; daarom is het veld op inwendige plaatsen continu differentieerbaar. Men heeft dan:

{

r~t(rot Ri)

=

Q

dlV Ri

=

p/e,,,,.

'1.

1

Uitwerken van de eerste vergelijking geeft:

{g

rad(diV E.) - div grad)E.

=

0

- 1 - 1

-div E. _-1 = p/e,,,,

'1.

1

.Door invulling van de tweede vergelijking in de eerste ontstaat de gewenste differentiaalvergelijking als

I

(div grad)E.

= --

grad p,

-1 ~'" '1 .• 1 (9)

Het is gebruikelijk zich van de gradient-operator in het rechterlid te bevrijden door invoering van de elektrostatische potentiaal ~ volgens

'1 ..

1

Daarmee gaat vergelijking 9 over in

(div grad)~. ₁

= -

p/~"" i

=

3,4,5.

(10)

(11)

Hierin is p door voorschrift 7 gegeven. Daar p onafhankelijk is van de

'-c~rdinaat, geven de elektroden aanleiding tot een .-onafhankelijke ' potentiaalfunktie. Verder zijn de elektroden en de scheidings-/grens-vlakken coaxiaal opgesteld. Deze scheidings-/grens-vlakken geven dus evenmin aan1eiding tot het ontstaan van een '-afhankelijkheid in het veld. De conclusie is dat

'1 .•

1

Uit betrekking 10 voIgt met deze conclusie dBt

dus

'1.

1

R

1. = (E ., 0, E .) rl Zl

OJ»

(-a r 1

~.,

o,":"a z 1

~.),

(12)

'1 .•

-12-Dit betekent dat E . :: -() <p. de enige van nul verschillende

tangen-Zl Z 1

tiele ve1dcomponent op de scheidings-/grensvlakken is. Aldus gaan de randvoorwaarden 8 over in:

-() <PI :: _{() <P~}

}

z z

-(.1(}r<P3 :: (. ~() <P~ r r = rl +

}

() _z <P~ :: () <P. _z + t ~or<P~ :: tsor<ps r

=

r~ (l4A) () <PI :: ₀ Z r

=

ra o <p. :: 0 Z r :: r ••

De differentiaalvergelijking ll, tenslotte, wordt met behulp van be-trekking 12 geschreven als

i

=

3,4,5. (l4B)

De betrekkingen 14 vormen het randwaardeprobleem in termen van de elektrostatische potentiaal.

Fouriertransformatie

Ret randwaardeprobleem wordt aangepakt door toepassing van een fourier-transformatie [5] vo1gens 00

~i

::

f

<Pi exp(-jpz)dz -00 (l5A) <Pi

=

2~

f

~iexp{j~z)dP.

-00

Hierin is cpo de oorspronkelijke potentiaalfunktieen is cpo de

getrans-1 . 1

formeerde of beeldfunktie. Deze laatste is een funktie van r en p. De beeldfurikties van () cpo en (}2cp. worden met behulp van partiele

inte-Z 1 Z 1

00 J (a Z 1 ~o)eKp(-j~z)dz

=

jP<JIo 1 ~ (15B) 00 J (a2~o)eKp(-j~z)dz z 1

=

-~2~i ' ~

mits voldaan wordt aan de, achteraf te verifieren voorwaarden dat lim ~. z-+±oo 1

=

0 lim a ~o = O. z-+±oo z 1 Vo 1 (16)

De beeldfunkties van

a2~o

en

!

a

~o

zijn achtereenv61gens gelijk aan

r 1 r r 1

- 1

-a2~o en - a ~o. De beeldfunktie van p is r 1 r r 1

P

=

J

P

eKp(-j~z)dz

-a a+w

(f)

2n~Osw

Hr-rs){J

eKp(-j~z)dz

- J

eKP(-j~Z)dZ}

-a-w a

Qo 1

=

2nr w ~(r-r )~+eKp[j~(a+w)]-eKp(jPa)+eKp[-j~(a+w)]-eKp(-j~a)}

s s JJW

Q 2 °

=

2nro w ~(r-r )'"7ji" {cos[~(a+w)] - cos(~a)}

s s JJW = 2!o w 6(r-r )'-:{J4 sin[%fJ(2a+W)].sin(%6w) s s J

=

2°Q J ~ sin[~(a+%w)] sin(%Pw).6(r-r ). nr w . s s (17)

Transformatie van de differentiaalvergelijking 14B geeft met behulp van het bovenstaande:

i

=

3,4,5 (18)

met p gegeven door betrekking 17. De randvoorwaarden 14A gaan door de transformatie over in

-14--

--

_(19A) ~3

= ~.

}

- r

₌

r, (19H) ~3a ~3

=

~04a ~04 r r . -+

-(19C) ~04

=

~S

}

-+ - _r

=

r04 _{itJ",fj. (19D)} e,04ar~04

=

e,.ar~S -~,

=

0 r

=

r2 (19E) -~s

=

0 r

=

rs (19F)

De betrekkingen 18 en 19 vormen het getransformeerde randwaardepro-bleem.

Randvoorwaarden voor elektroden

De elektrodenlading, zoals die voorkomt in de differentiaalvergelij-king voor de potentiaal in gebied 4,

(20)

=

2jQo~ sin [,6(a+%w) ] • sin(~). cHr-r ),

1U.04r w _s s

~ordt nu weergegeven door randvoorwaarden. Uit vergelijking 20 voIgt ·dat de term a:CiJ". de Diracpuls moet opleveren. Dit is bmners de term met de hoogst voorkomende afgeleide. Gevolg is dat de afgeleide

-

-funktie ar~04 ter plaatse r

=

rs een stapfunktie is, en ~04 een

hell~ng-funktie, dus continu:

r

=

r .

s (21)

-De grootte van de discontinulteit van ar~04 voIgt rechtstreeks uitver-gelijking 20 door integratie over een r-interval rond r

=

r :

.s

rs+'"

~i~

I

(a;CiJ04 +

~ ar~04

_,62CiJ04)dr

=

r -." s

= 2jQo ~ sin(fj(a~]) .sin(%,Gw).

1U.04r w

s

Hierbij is gebruik gemaakt van de eigenschap dat rs+7J

lim

I

h(r-r )dr

=

1.

7J~o s (23)

r_s-7J

De limiet voor verdwijnend kieine waarden van de afmeting 7J wordt hier toegepast omdat zo dade1ijk ook de 1imiet r ~ r, mogelijk moet zijn.

s

Door gebruikmaking van de continulteit 21 gaat vergelijking 22 over' in

a

¢! -

a

¢~

=

-S ~,

r r t ...

waarin is ingevoerd de grootheid

S _. 2jQo sin(~[a+%w]).sin(~). nr W~2 s (24) (25) -+

--De funkties ~... en ~... voldoen daarbij aan de homogene vergeIijkingen

(26)

Tens10tte nemen we de limiet r ~ r" waarbij ~!:

=

~"I' Dan gaan de

s

-.randvoorwaarden 19A en 21 tezamen over in ~, = ~ ... , r = r

s' en de

rand-)

-voorwaarden 19B en 24 int ... a~ ... - t,a~,

= -

S~.

r r

Samenvattend 1uidt het getransformeerde randwaardeprobIeem:

a2~. +

1

a ~. - ~2~.

=

0, i

=

3,4,5 r 1 r r 1 ,1 -~3 = 0 r = ra -

-t,a

~3

=

t ...

a

~"I + r r (27)

-

-~"I = ~s } t ... ar¢"I = t sar~S r

=

r ... ~s = O. r

=

rs

Ais ¢. bekend is, dan voIgt

E.

blijkens betrekking 13 (na

transforma-1 -1

tie met behulp van de integralen 15 uit

-16-Oplossing van het getransformeerde randwaardeprobleem

I ' .

De oplossingen van de differentiaalvergelijkingen in stelsel 27 moeten gelden voor radiaal begrensde gebieden die de as van de configuratie niet bevatten. Deze oplossingen zijn [6]: .

c.

=

A.lo(pr) + B.Ko(pr),

1 1 1

waarin

i

=

3,4,5 (29)

coefficienten die uit de randvoorwaarden te bepalen zijn; gewijzigde funktie van Bessel vande eerste soort en de orde nul;

Ko(pr) gewijzigde funktie van Bessel van de derde soort en de orde nul.

Invullingvan de funkties 29 in de randvoorwaarden 27 levert het vol-gende st~lsel randbetrekkingen:

(30A) (30B)

t,~,Il(pr,) - t,B,K1(pr,)

=

t~A4Il(pr,) - t4B4Kl(~r3) + S (30C)

A4Io{~r4) + B4Ko(~r4)

=

Aslo(~i4) + BsKo(~r4) (300)

Dit is eenstelsel van zes vergelijkingen met de zes coeffi'cienten

(A. ,B.) als onbekenden. Bij de afleiding van het stelsel is gebruik

1 1

gemaakt van de betrekkingen [7]

a

_z, 10 (z) = ItCz)

(31)

Met het oog op de herleidingwordt het stelsel in de volgende, meer compacte vorm geschreven:

Ba

=

-aaA, (32A)

AII~u + B,gu

₌

A4~4!I + B4g0 + S . (32B)

A4~44 + B4944

₌

ASrS4 + Bs9s4 (32C)

waarin zijn ingevoerd: a.

=

Io(pr.)/Ko(pr.) J J J P ... = -l.J

o

sin(p[a+%wJ)

o

-17-Sin(~)]

.

~

.

Verder worden ingevoerd de scalar-tripelprodukten P .. x Q kl =: l.J P .. x P k1 = l.J Q .. x Q k1 = l.J

s

x P. . = l.J 8 x Q .. ,1.J

=

(P .. -l.J x 9kl) !!3 (P .. -lJ x ~kl) ~1 (Q . . _-l.J x Qkl) _- . ~1 (8 x P .. ) - -l.J ~1 (8 x Q .. ) • _Ull - -lJ (33A) (33B) (33C) (33D) (34)

Daarin is !!3 de eenheidsvektor in de richting van het vektorprodukt. Tenslotte is ~ w.. P .. x Q .. l.J 1.J 1.J I (~3) _ ~. [Io(pr.)K1(pr.) + I1(pr.)Ko(pr.)] 1. J J J J ~. 1. =: -pro J (35)

wegens de Wronski-relatie voor de gewijzigde funkties van Bessel [8]. 8telsel 32 wordt nu zodanig herleid, dat de coefficienten A~ en B~ met behulp van de betrekkingen 32A en B in de coefficient All worden uitge-drukt, en met behulp van de betrekkingen 32C enD in de coefficient As. Door gelijkstelling ontstaat dan een vergelijking, waar de coeffi-cienten A, en As eenvouaig uit af zijn te leiden. De op deze wijze ver kregen ui tdrukkingen voor de coefficienten bevatten geen overbodige termen of faktoren (9J. De afleiding is als voIgt.

-18-(32A)

«32B) x g.u).!!1

~

A .. w.u ::: -S X On + A,I{Pu xO ... -'hOu xO.u) (36A)

(~u x (32B».!!1 ====to B .. wn ::: -PH X S + AlI{P ... XPlIlI -aaPn xOu)

(36B)

(~ .... X (32C».!!lJ ====toB .. w .... , ::: As (P .... X p ... - asP .... X Os .. ).

In matrixvorm worden de vergelijkingen 36A en B achtereenvolgens weer-gegeven als ' ,

[ 1 _-as ]As.

Hierin zijn gedefinieerd:

T :::

- -w!,1[S

x

Q"'j

PH X S

os ..

XQ ....

j.

p .... xOs ..

Uit de vergelijkingen 37 voIgt dat

(37A) (37B)' (38) (39) (40) (41) Hieruit is de co4!fficient A. te bepa1en door matrixvermenigvuldiging

-1

met Q.u:

(42) en vervolgens met (as;l), waardoor het rechterlid van verge1ijking 42 nul wordt. Er resu1teert

All :::

-1

(as,l).C .. _::: s .T

Op analoge wijze is in te zien dat

(44)

De overige coefficienten zijn bekend door gebruikmaking van de formules 32A, 32D en 37B.

Terugtransformatle

Als laatste stap in de procedure ter bepal ing van het veld moet de terugtransformatie van de (r,~,~)-ruimte naar de (r,~,z)-ruimte worden toegepast. In paragraaf 5.5 zal echter blijken dat het, voor de bepa-ling van de elektrostatische capaciteit, niet nodig is om het elektro-statische veld in' de plaatsruimte te kennen. De hieronder volgende voorschriften voor de bepaling van het veld uit de getransformeerde potentiaalfunktie zijn dan ook slechts voor de volledigheid opgenomen. Het elektrostatische veld, opgewekt door de twee elektroden, heeft in elke laag twee van nul verschillende componenten. Deze zijn

i

=

3,4,5 , (15A)

_{= -}

I

J - . .

--2 (a ~.)exp(J~z)~ n r 1 ' (29) 00

(~lL

...!...

_2n J

~{A.ll(~r)

-

B.Kl(pr)}exp(jpz)~,

l ' 1 . (45) en E .(1:;:3)

-a

cpo . Z1 Z 1 ' i

=

3,4,5 00 (lgB)_

2~ J(j~i)exp(jpz)~

-00 00

(~9)

-

...!...

IjP{A.lo(~r)

+

B.Ko(pr)}exp(jpz)~.

2n 1 1 (46)

In de voorschriften 45 en 46 zijn de coefficienten A. en B. nu bekende

1 1

funkties van p. De, integralen kunnen slechts met behulp van numerieke methoden worden bepaald. Daarbij moet een plaatsraster (r,z) worden gekozen. Verder moet er rekening mee worden gehouden dat E . en E .

rl Zl

reele funkties van r enz zijn •. Daar S(formule 25) imaginair is en a.,

/

-20-P.. en Q., aBe reeel (fonnuies 33), is T (fonnule 38) imaginair en

-lJ -lJ

zijn de matrices ~ (formules 39 en 40) reeelo Daarmee blijken alle coefficienten A. en B, imaginair te zijn. Hiermee is aangetoond dat de

. 1 · 1

getransformeerde funkties <P

1, en

a

r

tp.

1 imaginair zijn. Yoor reale E . rl

voIgt uit betrekking 45 dus dat

en

I(a r

~.)cos(pz)~

1

=

0

Eri

=

2~ I(Imar~i)Sin(pZ)~

=

!

I(Imar~i)Sin(pZ)~.

-00

(47A)

(47B)

-Deze Iaatste overgang voIgt uit de omstandigheid dat

a

cpo bIijkens de

r 1

integraal 47A een oneven funktie van Pis, als gevoig waarvan het pro-dukt. (ai~i)sin(pz) een even funktie van pis. Op analoge wijze voIgt met behulp van betrekking 46 dat

en

J(j.&pi}sin(pz)~

=

0 -00 E , Zl (48A) - -I

I -

. (jJ14i. )cos(pz)~ n 1 (48B) -waarin _. j~/'. _~1 een reaIe en even funktie van pis. Blijkbaar zijn II,. _Tl en

a ~. oneven funkties van p.

r 1

5.5 Bepaling van de elektrostatische capaciteit

Met verwijzing naar paragraaf 5.1 kan de elektrostatische capaciteit geschreven worden I 5

I

c

=

va

_. ~ (e.E .• E.)dV. _{1-1 -1} 1= V. 1

Eerst wordt nu bewezen dat deze geIijk is aan I I

c

=

va

(PCP)dV. V

(49)

(50)

Vervolgens worden zowel de spanning V als de vohune-integraal in formule 50 herleid tot uitdrukkingen in de getransformeerde potentia-len.

Herleiding C

Door toepassing v.an de defini tie 10 gaat de volume-integraal in formule 49 over in

J

(to. E . E . ) dV = 1-1-1 . V. 1

=

to_i

J

(gra~i·grad~i)dV

V. 1

=

ti

J

{div(~igra~i)

-

~i(div grad)~i}dV,

V. 1 = (,.

f

(~.a ~,)dS

+

J.

(p.~.

)dV. 1 1 n 1 1 1 bV. V, 1 1 (51A) (51B) (51C)

Bij de overgang 51A ~ B is gebruik gemaakt van de kettingregel

div(aJ2.)

=

(grad a).:Q + a(div :Q). Bij de overgang 51B ~ C is gebruik gemaakt van de integraa1ste1ling van Gauss [10]

J

(div

~)dV

=

f

(~n'~)dS,

(52) _,

V bV

waarin u de naar buiten gerichte eenheidsvektor is 1angs de normaa1 -n

in enig punt van de gesloten rand bV van volume V. Verder is daarbij de notatie u .grad: _-n

=

a _n aangehouden. Tenslotte is, in de tweede term van het rechterlid, de vergeIijking 11 gesubstitueerd, met dien ver-stande dat de geldigheid gegeneraliseerd 'is voor een willekeurig te kiezen laag. Beschouw nu de oppervlakte-integraal in 51C voor een cirkelcilindrische 1aag uit de configuratie van figuur 2. Dan is

(,. ,(

(~.If ~.

)dS

=

1

J

1 n 1 bV i r. 2n 2n -+

J

Jr.(~.a~.)

d.dz+ 1 1 r 1. r . • =0 z=-c» . 1

~

_z~-c» lim

r

J

r(~.a ~.)drd.

_{]. Z 1} + r. _1-1.=0 ='

2n[-

r. 1

J

(,,(~.a·cp.)

dz + r.

J

(,.(<jJ.a cp.)

dZ].

(53) 1- 1 1 r 1 r. 1 1 1 1 r 1 r. 1- a -c» -c»

Hierbij isaangenomen dat lim cjJ. = 0,

Z-+±«" 1

-22-(54) hetgeen aannemelijk is omdat het elektrodenpaar zich binnen eindig bereik van het vlak z

=

0 bevindt. Invulling van de gevonden uitdruk-king 53 in 5IC en het resuitaat daarvan in formule 49 levert

-00 -00 0() r"

f

€. 5 (cjJsa cjJs) r . r", -00 -00 -00 0() + rs

f

€. s (cjJsa cjJs) _{r rs}

dz] .

-00 (55)

Uit de randvoorwaarden I4A en 19 blijkt dat de partiele afgeleiden a z in de randvoorwaarden 14 weggelaten kunnen worden. Daarmee zijn cjJa(r2) en cjJr; (rr;) gelijk aan nul. enverdwijnen de eerste en de laatste term uit de vorm tussen rechte haken in formule 55. Verder is €..(cjJaa cjJa)

r ra

= €.",(~"a

iJ;,,)

en t",{~",a <p~) = ts(cjJsa <Ps). Hierrnee is de vorm tus-r r. r r", r r",

sen rechte haken gelijk'aan nul en wordt formule 50 gevonden.

HerleldingV

Met behulp van formule 2 en bedenkenddat de elektrodes zich op de cilinder r

=

r! bevinden is

0()

(lgA)

fTC

J

~,,(rJ)[exp(-jpa) ~exp(jpa)]d,6

-00

0()

=

!

f

j~!(ra)sin(pa)d,6.

(56)

-00

Hierbij is gebruik gemaakt van de eigenschap dat cjJ"I, A"I en B",

imagi--*

-nair zijn,' dus cjJ"

=

-cp",.

De ui tkomst van de integraal is bijgevolg reeei.

Herleiding volume-integraal Men heeft

J

(PP)dV = V rs 211' co

=

J J

J

(PP) r drd¢dz r=rz .• =0 z=-co rs . co

=

211' J r[J(pp)dz]dr rz -co rs co

=

211' J r

[2~

J (PcP*)dp]dr rz -co co rs =, J [ J

r(~*)dr]dp

-co rz

=

2~0

J

sin[~(a+%w)]

.

si~)

o (Parseval) (57)

In de afleiding is gebruik gemaakt van de gelijkheid van Parseval voor reele funkties p en (jJ [5

J.'

De integraal 5.7 is eveneens numeriek te bepalen. Merk op dat

~i~

J

(PP)dV

=

V

.

-

=

2Q _11'0

J

_{sin{~a) [~}

*

_(rs)]dp o (58)

-24-Hier wordt gevonden dat de elektrostatische capaciteit voor het geval van lijn-elektrodes gelijk is aan

c

=

~

J

(pt/J)dV

V

(w -. 0). (59)

Herleiding capaciteit

De capaciteit is bepaald door formule 50 waarin de gevonden uitdruk-kingen 56 en 57 worden gesubstitueerd. De capaciteit is dan onafhanke-lijk van de sterkte van de elektrodelading Qo • De coefficienten A. en

. 1

B. zijn immers evenredig met S, formule 25, dus met, Q_{o •} Daarom kan Q_o

1 . .

voor debepaling van de capaciteit gelijk worden gesteld aan een: (60) Verder blijkt uit de uitdrukkingen 56 en 57 dat, zowelvoor de bepa-ling van V als voor die van de volume-integraal, de potentiaalfunktie j;P!(rl) van belang is.· Deze heeft de coefficient en A",en B"" die blij-kens formules 37 uit AI of As bepaald worden. Op hun beuft zijn de coefficienten AI en As gegeven door achtereenvolgens de uitdrukkingen 43 ep 45. De randvoorwaarden 27 geven echter aan dat ;P",(rl)

=

;PI(rl) welke laatste door de coefficienten AI en BI 'worden bepaald. Bet

-*

scheelt dus zeer veel rekenwerk wanneer de funktie jep.,(r,) in de uit-drukkingen 56 en 57 door jep!(rl) wordt vervangen:

(61)

Tenslotte hangt de coefficient AI, waardoor epl wordt bepaald, af van de vektor

I.

De d~arin voorkpmende faktor sin(p[a+%w]).sin(~)/(~)

kan gecombineerdworden met dezelfde faktor in de integrand van inte-graal 57. Verdere afleiding1) 10

j<p!

(2=9) _{jA!Io (pr,)} + jB!Ko (J3r,) (32A) (3~A) jA![Io(pr l )

~

_{Ko (pr2)} 10 ~~r2) Ko(prl)]

1) notatie:(~9) is volgens formule 29 gelijk aan

~o

20

30

12 B1ijkens rege1 71 kan de faktor 1/Ko(prz} worden wegge1aten

.

( .

*

omdat deze wegva1t tegen deze+fde faktor in de noemer van JA3:

'A*

(1:

3)

J •

21 teller: rege1s 30, tim 60; noemer regels 70 tim 100

(33D) '8* (35) 31 J_ (6::;0) _ pr3

-dL-

_{sin(p[a+%w]) •}

_{sin~) ~2}

.. 32

W"'.

e. .. n,.,r .. s ::; 1 ::; - - S .3!2 m. .. sin(p[a+%w]) . sin(~) ~ 31 waarin

(3~C)

[(-

n: ..

s

~2)

x

(Ko(pr.)~d]

.

~3

want - ~z X ~1 ::; ~3 en ~3 ~3 = 1. •

40 X jS* (:t_4) 34 P""

w",

(338) -26-~l [(Io(prl)~,.) x (- _1_ s Uz)] ~, m"

-=

-QS4 x Q .... ]. Ps .. x Q", ..

41 De faktor det(~"5) kan weggelaten worden omdat deze blijkens rege120 zowel in de teller als in de noemer van jA! voorkomt en dus wegval t .

• 42 _~"'s -1

04<4

x

05"]

50

'·P_{s ' ..} X 0 ....

-I

Merk op dat ~45 de struktuur van ~s .. , volgens formule (39), heeft.

( _as, 1)(3

3

_-A)[Io(prs ),' 1] _Ko(prs)

,

I

51 De faktor l/Ko(pr.) kan worden weggelaten omdat deze blijkens regel 20 zowel in de teller als in de noemer van jA! voorkomt en dus wegvalt.

60 De teller van

j<p!,

rege1s 13, 20, 35, 42, 52: 70 80 90 s ne. ..

71 De faktor

l/Ko(~r2)

komt voor in de noemer van jA! en dus in die van

j<P!.

Blijkens regel 11 kan deze faktor worden

weggelaten. -72

(-~2]

_:

=

Q"13 (~9)

[ K. (IIr,)]

-Io(~r2)

r"XQ"

P .. ,xP"

Q" XQ"]

P .. , X QJ,

~~ rO(~r2)(PIlI

xQ..,) -

Io(~r2)(QI3

XQ"I3)]

l

Ko

(~r2)(P'"

x P u ) - 10

(~r2)(P

"13 X Qn)

100 De noemer van j<pJ, rege1s 13, 20, ~2, 52, 90:

Q .... x Qs "]. Ps .. xQ ....

• [Ko(~r2) (Pili xQ .. ,) - Io(~r2) (QIlI XQ"I3)]

-28-110 De capaciteit is (formules 50,56,57,61; rege1s 32, 60,100):

III 112 120 130 00 J s(jq,!(rs»d,6

c

=

-2 1 n --~---0 60 100 1 00

_*

:2

[!

sin(pa)(j~.(r.»dp] o = ~4 00 :2

[!

sin(pa)S</J(p)d,6] o

waarin suit regel 32 en:

4_

(~4/s).(tel1er ~!,

regel 60)

</I(p)

(noerner

j</l!,

regel 100)

150 . [ Ko (pr .. ) , ] -€' .. K~ (pr,) 160 170 180. 190

-30-6. VERWIJZINGEN

1. Smythe, W.R., Static and Dynamic Blectricity, 2nd. ed., McGraw-Hill Book Cy., Inc., NY (1950) Sec. 2.07.

2. Stratton, J.A., Blectromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Cy., Inc., NY (1941) Sec. 2.8.

3. Ibid, Sec. 3.1.

4. Ibid, Sec. 3.2.

5. Sneddon, I.N., Fourier Transforms, 1st. ed., McGraw-Hill Book Cy., NY (1951).

6. Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., Tricomi,F.R., Higher Transcendental Functions, Vol. II, McGraw-Hill Book Cy., Inc., NY (4953) Sec. 7.2.2.

7. Ibid, Sec. 7.11, formulae 23-26.

8. Ibid, Sec. 7.11, formula 39.

9. Van Amelsfort, A.M.J., proefschrift TUE in voorbereiding. 10. Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., Table of Integrals, Series and