Enige aspecten van het dynamisch gedrag van de slede-aandrijving van een numeriek bestuurde werktuigmachine

Enige aspecten van het dynamisch gedrag van de

slede-aandrijving van een numeriek bestuurde werktuigmachine

Citation for published version (APA):

Oosterling, J. A. J. (1980). Enige aspecten van het dynamisch gedrag van de slede-aandrijving van een numeriek bestuurde werktuigmachine. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0488). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

RRK

01

WP

R

WT 0488

Eindhoven University

of

Technology

Department of Mechanical Engineering

ENIGE ASPECTEN VAN HET DYNAMISCH GEDRAG VAN DE SLEDE-AANDRIJVING VAN EEN NUMERIEK BESTUURDE WERKTUIGMACHINE.

Auteur: H. Oosterling.

PT-Rapport nr. 0488 november, 1980.

Division of Production Technology

E

i

ndhov

e

n

-1-Inhoud.

blz.

INLE ID ING. . . . . • . . • • . . • . • . . • • • • • • . . . • . . . . • • . • . • • • . . • . • • . • . • . • • . . . . • •. 2

BOOFDSTUK 1. De combinatie servomotor - tachometer •..•.•••••.••..•• 3

1. 1

Metingen aan de machine... 3 1.2 Bet mathematisch model van de motor-

tacho-comb ina tie. . • . . . . • • . • . . • • . • . .• • . • • . • . • • • • • . . . . • • • ...

5

1.3 Samenvatting... 10

..

BOOFDSTUK 2. De sledepartij... 11 2. 1 Bet dyriamisch gedrag... . . . . • • • . . • • .• 11 2.2 Torsietrillingen van de sledepartij •....•...•... 12 2.3 Modelvorming van de sledepartij •••.•.•••••.•••••.• 14

BIJLAGEN.

1. Afleiding van de D.V. van de motor-tacho-combinatie •••••••••....• 17

2. De demping b

3·· .••.•.••••..•.•...•...••...•....•... '0' 19 3. Berekening van de laagste eigenfrequentie van de sledepartij . . . 20 4. Torsietrillingen In a s s e n . . . 21

-2-INLEIDING.

In het kader van de eindstudie aan de Technische Hogeschool te Eindhoven bij de afdeling der Werktuigbouwkunde, wordt door Han Oasterling, onder leiding van Prof.dr.ir. A.C.H. van der Wolf en ir. P.C. Mulders, beiden verbonden aan de THE, en ir. P. Erens, werkzaam bij Hembrug te Zaandam, een studie gemaakt over enkele aspecten van numeriek bestuurde werktuigmachines.

Het betreft hier een studie van de dynamische eigenschappen van het besturingsgedeelte voor de gereedschapsslede, bestaande uit versterker, servomotor, sledepartij, verplaatsings- en snelheids-opnemers met terugkoppellussen.

In dit tussentijds verslag wordt een deelonderzoek beschreven. Namelijk een onderzoek naar de dynamische eigenschappen van de servomotor met snelheidsopnemer en de sledepartij. In hoofdstuk 1 wordt de servomotor met snelheidsopnemer behandeld en hoofd-stuk 2 handelt over de sledeparti.j.

Han Oosterling. November, 1980.

"')!-,

•

-3-HOOFDSTUK 1. De combinatie servomotor - tachometer.

1.1 Metingen aan de machine.

Een servomotor met tachometer, die door de Hembrug bij een van zijn draaibanken wordt gebruikt voor de aandrijving van de x- en de z-as van de slede, is op de TH onderzocht. Het gaat hier om een schijf-ankermotor van BBC: type BBCAXEM F12 T M19P. Van belang is het dynamisch gedrag van deze motor. Een kenmerk van schijfankermoto-ren is de relatief lage massatraagheid van de rotor en het relatief hoge koppel, dat geleverd kan worden. Deze motoren hebben dan ook een grote bandbreedte. Bij dit type bedraagt de bandbreedte 17 Hz.

Er is een meetopstelling gemaakt om de BBC AXEM motor door te meten (Fig. 1.). sinus generator

r----.

verster-

_tr=

ker 1 kW

't-.

,~

~

digitaal geheugen

-ingangssi

-...l'

-

-~ uitgangss scoop gnaal U a ignaal LJ T

Fig. 1. Meetopstelling VOOl: de BBC AXEM motor.

De resultaten zijn weergegeven in grafiek 1

tim

5. Hierna volgt een korte bespreking van de meetresultaten.

I

.3 ~ I 5 I

I I

4 ;;, I

N,V. Df<.UKKERIJ MERCURIU$ WORMERVEER

I (5 2 I 4 I I

--,....,-r!

I .5 6 7 8 9 I I No. 12 I 2 .3 I

X-as logar verdeeld van 1 tot I

3

J I .

&

liI~

! I

~

1

"

2 .3

I

N.V. ORUKKERIj MERCURIUS WORMERVEER 6 I I 7 8 I I .3 I 4 I 5 I Il ! 7 !

A

I 9 I 1/'d No. 12 I 2 ! J ! I I I !

X-as lagar verdeeld van 1 tot 10(. Eenheld 62,5

---fJreq. (

..}IZ)

?

i

t

,

r--.---~I---,I----rl--'I--.I-,'r-!r'

,I-.---TI---.I----rl

--'--.I~I~I'-,I-r---Ti----~I----rl --.I--~'I~I--r!-r---Ir---TI---,I~d~~~&·~1~~~I~P~l-,-r--,

:2 .') 4 5 6 7 8 9 2 : > 4 5 6 7 8 9 :: 3 4 5 7 8 9 l : l ' " ? 0 l e g I 2 ! .3

,

4 [, I

N(v. DRUKKERIJ MERCURIUS WORMERVEER

6 7 (3 ! I

I

:2 I 4 ! 5 I I

o

! 7 !

?fO

No. 12 2

.3

! I I 5 ! 6 I I

j

8 !

t

I 5 _, 6 i

-4-Uit grafiek 1 en 2, de bodediagrammen, blijkt een 1e orde afval met een sterke slingering bij 413 Hz voor te komen. Bij frequenties hoger dan 600 Hz is er nauwelijks meer sprake van een betrouwbaar uitgangssignaal. Het 3 dB punt van de le orde afval ligt bij 17 Hz. De 1e orde afval wordt veroorzaakt door de massatraagheid van de rotor van de motor en tachometer samen. De sterke opslingering is waarschijnlijk het gevolg van het bereiken van de mechanische eigenfrequentie van het systeem rotormotor - as - rotortacho: een

systeem met 2 massa's, die verbonden zijn door een torsieveer (Fig. 2).

C

Fig. 2. Model van motor-tacho-combinatie van BBC-AXEM motor. II massatraagheid van de motor.

12 massatraagheid van de tacho. C veerstijfheid van verbindingsas.

Grafiek 3 en 4 geven de meetresultaten weer bij een ingangssignaal, dat opgebouwd i.s ui teen ge l i jkspanning en een wisselspanni ng. Het gevolg is, dat de motor nu een richting uit blijft draaien. Het resultaat komt overeen met dat uit grafiek 1 en 2. In grafiek 5 is het verband gemeten tussen de tachospanning U

T en de rotorspanning

(= ingangssignaal) U • Hieruit volgt: a

-5-1.2 Het mathematisch model van de motor-tacho-combinatie.

Na de metingen is het nu van belang de resultaten te vergelijken met de resultaten, die volgen uit berekeningen aan het wiskundig model van deze motor. In het hiervolgende stuk zal een model ont-wikkeld worden en vergeleken worden met de werkelijkheid.

We zullen ons eerst concentreren op het mechanische deel van de motor-tacho-combinatie. In Fig. 3 vindt U een model hiervan.

k

Fig. 3. Model van het mechanisch gedeel te van de motor-tacho-combinatie. b _{i '} b 3 11 12 k b

2 : visceuze wrijving t.g.v. lagerwrijving.

visceuze wrijving als benadering voor demping in de verbindingen tussen de beide rotors. massatraagheid van de rotor van de motor. massatraagheid van de rotor van de tacho.

veerstijfheid voor torsie van de verbindingsas.

Opgemerkt kan worden, dat dit een vrij algemeen geldend model is voor het mechanische deel van een motor-tacho-combinatie. Het kan waarschijnlijk ook gebruikt worden bij motoren met een normale rotor: d.w.z. een rotor met grotere dikte en kleinere diameter.

-6-Om de differentievergelijking uit het model af te leiden is gebruik gemaakt van de graphe-theorie. [lJ. De graphe van deze elektro-motor is weergegeven in Fig. 4. Hierin zijn aIle machinegegevens terug te vinden, die van belang zijn voor het dynamisch gedrag.

i a 1 - - T c E

=

c _{. 1}

w

1

w=-U

₂

C(

T

Fig. 4. Graphe van de motor-tacho-combinatie.

u

ingangsspanning motor b 3 verbindingsdemping a R rotorweerstand motor b 1, b2: lagerwrijving a

L

.

zelfinductie rotor motor k veerstijfheid voor torsie a

E tegen EMK motor _Ii massatraagheid rotor motor

i rotorstroom motor _I2

a massatraagheid rotor tacho c machine constante motor

_wi

hoeksnelheid rotor motor

T koppel

w

2 hoeksnelheid rotor tacho

liC(

machine constante tacho UT. uitgangsspanning tacho

-7-Uit deze graphe is een 4e orde DV te destilleren van de volgende vorm

(bijlage 1), geschreven in het Laplace domein.

(1)

waarvan de noemer ontbonden kan worden in:

(2)

Vergelijking (2) kan natuurlijk nog verder ontbonden worden, maar

omdat we bij dit model een opslingering in amplitude karakteristiek

verwachten, dus 2 komplexe wortels, is het in deze vorm geschreven.

Bier stelt

w

de eigenfrequentie en

S

de relatieve demping

v~~r.

o

De amplitude karakteristiek van vergl. (1) is in Fig. 5 weergegeven.

U

I-I

_U

a

1

- -•• freq. (Hz)

Fig. 5. Amplitude karakteristiek motor-tacho-combinatie

volgens het mathematisch model.

Als we de gegevens van de BBC AXEM F12T M19P invullen in vergelijking

(1) vinden we grafiek 11.

b '

I I I I I I I I I I - ' - l i ' I j I I !

n--rrr

I

\ S<1f--,

~Qr-~

2 .} 4 6 7 8 9 2

"

4 ,; 6 7 8 9 1 2 J <, 5 Z .}

..

5 7 t. 9 (

I

-8-De benodigde berekeningen voor het bepalen van de grafiek zijn

uit-gevoerd met behulp van een programma, dat geschreven is voor een

programmeerbaar zakrekenmachine.

In deze grafiek is de invloed van verandering van

1

1

,

(massatraag-heid van de rotor van de motor) weergegeven. Het 3 dB punt sl schuift

op naar een lagere frequentie bij toenemende massatraagheid

1

1

. Deze

11

neemt bijvoorbeeld toe als er een last gekoppeld wordt aan de as

van de motor.

Ook is de situatie, waarbij de demping b

2

, van de lagering van de

tacho, en b

3

, de

verbindingsd~mping,

gelijk zijn aan nul, weergegeven.

De resonantiepiek is nu veel hoger dan de gemeten waarde.

Het blijkt, dat de hoogtevan deze piekbijna uitsluitend wordt

be-invloed door b

3

• Uit berekening blijkt verder, dat variatie van b

i

en b

2

, de lagerdemping, weinig invloed heeft op de overdrachtsfunktie.

In grafiek 21 en 31 zijn respectievelijk de amplitude, en

fase-karakteristiek weergegeven van de BBX AXEM F12T M19P. De demping b

3

is zo aangepast, dat de hoogte van de resonantiepiek overeenkomt met

die van de metingen. Het is nauwelijks mogelijk b

3

te berekenen

(bijlage 2).

Uit vergelijking van grafieken 1 en 2 met 21 en 31 blijkt dat dit

model goed voldoet. Om de gevoeligheid voor verandering van b

3

van

de resonantiepiek weer te geven volgen wenige waarden:

b

3

hoogte van de piek

2

[kg m

Is]

20 log IH/H IdB

0

10-4

₁₉

10-2

_1,3

10- 1

_-13

Tabel

1.

Gevoeligheid van de hoogte van de resonantiepiek

voor verandering van b

I I 2 3

,

I I , I I I I I i i _{I ~} ! I I ~ 4 :, 6 7 8 9 _, 2 3 4 5 6 7 8 9 I

~~

_ _ _ _

~

_ _

~~~~~~O~:~c~~

3 w i- c~

-.

"" -t

-

. j --+1:."'" +.::)::. ... +.J.+

'---'--'---'-'"----_----''---l_...--I----'----1-.L...L.~

_ _

._'___''____""'''___'_~

--L?_71--: 8 . 1 . . - :

~al ,~.e:1

&H

it

-9-Nu wordt geprobeerd de karakteristieke grootheden van de overdrachts-funktie,s1' en wo,uit te drukken in de machinegegevens. De relatieve demping

B

kan niet benaderd worden door een eenvoudige uitdrukking, maar slechts berekend worden uit de overdrachtsfunctie.

Benadering voar s1'

Verondersteld wordt, dat de kantelfrequentie s1 veroorzaakt wordt door de massatraagheid van de rotor van de motor en tacho. In dat geval kunnen we Sl benaderen door [2J:

1

21t Hz

(voor de betekenis van de symbolen zie Fig. 4.)

Benadering voor s2'

( 3)

1

Er van uitgaand, dan - de elektrische tijdconstante van de motor is,

52

kan s2 benaderd worden door [2]:

1 R a (4 ) s2 _{21t L} Hz a Benadering voor f 0

Verondersteld wordt, dat f de eigenfrequentie is van het mechanische

o

systeem: rotor-as-rotor tacho (1"ig. 2).

In dat geval is een goede benadering voor f [3J:

o

1

2n ( 5)

Uit vergelijking van de waarden voor sl' s2 en f

o' berekend uit de DV (1), met de benadering voor deze grootheden blijkt, dat de bena-deringen geod voldoen. De afwijkingen met de waarden uit DV (1) zijn kleiner dan 5%. Dit is nagegaan voor verschillende waarden van 1

1,

b

-10-1.3 samenvattin2.

De conclusie die uit dit onderzoek voIgt luidt:

Het dynamisch gedrag van de schi j fankermotor BBe AXEM F 12T M 19P kan beschreven worden door 3 karakteristieke grootheden, die de vorm van de bodediagrammen bepalen, namelijk: S1' 8

2 en Wo (fig. 5). De benaderingen voor sl' s2 en fo uitgedrukt in de machinegegevens vindt U in vergelijking (3) I (4) en (5).

Het lijkt aannemelijk, dat deze benaderingen ook gelden voor andere typen elektromotoren met tachometers en niet alleen voor deze schijf-ankermotor.

-11-HOOFDSTUK 2. De sledepartij.

2.1 Het dynamisch gedrag.

In dit hoofdstuk zal het dynamisch gedrag van de sledepartij van een numeriek bestuurde werktuigmachine onderzocht worden.

Een schematische weergave van de sledepartij vindt U in Fig. 6.

6

3

4

1 2 5

Fig. 6. Schematische weergave van een sledepartij. 1 - koppeling

2,5 - lagers 3 spindel

4 - kogelomloopmoer

6 - slede voar- gereedschap

Er treden twee soar ten trillingen op bij de sledepartij. Namelijk longitudinale trillingen en rotatietrillingen.

Bij de Hembrug wordt voor de positiebepaling van de slede gebruik gemaakt van een indirect meetsysteem, dat het aantal omwentelingen van de spindel meet.

Bij een dergeIijk systeem zijn de translatietrillingen niet van belang, weI de torsietrillingen. TranslatietriIIingen hebben weI invioed op de opperviaktekwaliteit van het werkstuk, maar worden niet gemeten met een indirect meetsysteem. AIleen bij een direct meetsysteem, d.i.: positiemeting aan de slede, worden deze trillingen gemeten [4J.

-12-We zullen ~ns in dit onderzoek beperken tot sledepartijen met een indirect meetsysteem en ons concentreren op het verschijnsel torsie-trillingen.

2.2. Torsietrillingen van de sledepartij.

Om aan het systeem te rekenen, moet eerst een model gemaakt worden. Voorlopig zullen we in dit model de coulombse, en viskeuze wrijving tussen de geleidingen en de slede buiten beschouwing laten. Indien nodig en mogelijk zal hier later nog op terug gekomen worden.

Grootheden die invloed hebben op de waarde van de eigenfrequentie zijn: - torsiestijfheid van de spindel, koppeling en kogelomloopmoer

- massatraagheidsmoment van de spindel, koppeling en slede. Bij een dergelijk licht gedempt systeem wordt de grootte van de eigen-frequentie nauwelijks belnvloed door de in het systeem aanwezige demping. Het is gerechtvaardigd deze demping bij de bepaling van de laagste eigenfrequentie buiten beschouwing te laten.

- De torsiestijfheid

Een goede benadering voor de torsiestijfheid van de spindel wordt gegeven door (6). GI GlI dk

+

d 4 ] C

-

'= ( b) T 1 2 4 1 (6) met C T tOl"siestijfheid. I polair traagheidsmoment 1 lengte spindel d k kerndiameter spindel

~

buitendiameter spindel G glijdingsmodules

De torsiestijfheid van de koppeling wordt door de fabrikant gegeven. Torsiestijfheid kogelomloopmoer: hier kan bijvoorbeeld de axiale stijfheid van de moer voor genomen worden.

-13-Uit de literatuur [5J blijkt, dat de axiale stijfheid van de moer veel groter is dan de torsiestijfheid van de spindel. Bet is mis-schien gerechtvaardigd om de slede star verbonden te beschouwen aan de spindel.

- Bet massatraagheiqsmoment

Het massatraagheidsmoment van de spindel kan op een aantal manieren benaderd worden:

1) door het massatraagheidsmoment van een uniforme as met diameter ~: I sp 4 1[~ pI

32

2) door benaderingsformule voor trapezevormige draad:

I sp

3) een zeer nauwkeurige benadering wordt gegeven in de dissertatie van Peter Wolters [4J, biz. 83, waarbij de geometrie van de kogelloopbaan in de berekening betrokken wordt (Fig. 7).

kogel spindel d s d c d m

Fig. 7. Geometrie van de kogelloopbaan.

(7 )

-14-Bet massatraagheidsmoment van de koppeling en het gereduceerd

massa-traagheidsmoment van de slede zijn volgens de geijkte formules te

berekenen.

2.3 Modelvorming van de sledepartij.

Nu voIgt de beschrijving van mogelijke modellen. am de modellen

wat met elkaar te kunnen vergelijken is met gegevens van de numeriek

bestuurde draaibank CNC

200

van Hembrug de laagste eigenfrequentie

van de sledepartij berekend volgens de verschillende modellen.

(Bij-lage

3).

Model

1.

De sledepartij wordt beschouwd als een combinatie van 2 massa's

ver-bonden met een torsieveer (Fig.

8).

Fig.

8.

Een model van de sledepartij.

I

+

~I

kopp

sp

I

+

~I

slede

sp

(9) C

kopp

. C

sp

C + C

kopp

sp

( 11)

(10) I

kopp

=

massatraagheidsmoment koppeling

I

=

massatraagheidsmoment spindel

sp

I

slede

=

gereduceerd massatraagheidsmoment slede

C

kopp

C

sp

torsiestijfheid koppeling

torsiestijfheid spindel

Opm.: de factor

~

in (9) en

(10) is arbitrair gekozen.

Voor de CNC 200 levert dit een laagste eigenfrequentie f

520Hz.

o

-15-Model 2.

Hier zijn andere randvoorwaarden gebruikt dan in model 1. Een van

de uiteinden is verbonden met de vaste wereld (Fig. 9). Een

vergelij-king van de eigenfrequenties is dan ook wat moeilijk. Toch is een

.berekening van de laagste eigenfrequentie uitgevoerd.

Fig.

9.

Een model van de sledepartij.

I1

=

I

+

l:!

I

kopp

sp

I2

:=

_I

₊

_l:!

_I

slede

sp

C

1

=

C

kopp

C

2

C

sp

Voor de CNC 200

f

₌

360 Hz.

0

Model 3.

In dit model werden het massatraagheidsmoment en torsiestijfheid van

de koppeling en de slede vertaald in een lengte

1

en diameter d van

een uniforme as. Deze as heeft hetzelfde massatraagheidsmoment en

dezelfde torsiestijfheid als de koppeling of slede.

Op deze manier wordt de sledepartij weergegeven door een as,

opge-bouwd uit verschillende deelassen (Fig. 10).

koppeling

slede

spindel

-fl

-16-Nu wordt volgens de Rayleigh-Ritz-methode [7J de laagste

eigenfre-quentie f

bepaald (Bijlage

4).

De randvoorwaarden zijn hier dezelfde

o

als bij model

1,

zodat vergelijking van de eigenfrequenties hier wel

zin heeft.

V~~r

de CNC 200 is volgens deze methode de laagste

eigen-frequentie f

; 786 Hz. Het verschil met model 1 is nogal groot. Het

o

lijkt gerechtvaardigd om aan deze laatste berekeningsmethode de

voor-keur te geven. In hoeverre dit juist is, zal onderzocht worden aan

de hand van een model van een sledepartij, dat door Hembrug ter

be-sChikking gesteld wordt. Op dit moment is dat model nog niet

beschik-baar.

Om volgens de Rayleigh-Ritz-methode de laagste eigenfrequentie te

be-palen, is een programma c;;"eschreven voor een programmeerbare

zakreken-machine. Met behulp van dit programma is het verloop van de laagste

eigenfrequentie f

als functie van de plaats van de slede wat nader

o

onderzocht (Grafiek 4.1). Dat de grootste waarde voor fO bereikt

wordt als de slede ongeveer in het midden staat, is te verklaren

uit het feit, dat de sledemassa zich juist in een knoop bevindt en

slechts zeer weinig beweegt. De totale kinetische energie blijft

gelijk; dus gaat de eigenfrequentie omhoog.

Verder is de gevoeligheid voor verandering van de spindeldiamter d

sp

nog onderzocht. (Tabel 2.).

d f

sp

0

mm

Hz

31'

701

33

747

35

786

37

818

39

845

Tabel 2.

Eigenfrequentie f

bij verschillende waarden van

o

d

, de spindelsiameter.

sp

Aan de hand van metingen aan eensledepartij zal nagegaan worden welk

model het beste voldoet.

-17-B1JLAGE 1. Afleiding van de D.V. van de motor-tacho-combinatie.

Uitgaande van de graphe in Fig. 4 kan de D.V. afgeleid worden voor dit systeem.

V~~r het linker deel van de graphe geldt:

U

=

R + s.L + E a a a

.E

Voor het middenstuk geldt voor knooppunt 1:

V~~r knooppunt 1:

V~~r het rechterdeel geldt:

Na enig rekenwerk volgt uit vergelijking (1) tim (5)een D.V. van de vOlgende vorm:

U

a

waarbij voor de coefficient geldt:

m

₌

a.k 0 m 1 a.b3 L

.

_{11 • 12} a n 4

=

c R

.

1 1, 12 a {b 1 • n3 :::

+

1 2

+

b 2 · c c 11

+

b3 . (11

+

12)} (1) ( 2) ( 3) (4) (5) (6)

-18- . R a

n

2

=

~

{b

1

•

1

2

+

b

2

,

1

1

+

b

3

·(1

1

+ 1

2

)}

+

c .

12 L

+

ca

{b

2

(b

1

+

b

3

)

+

b

3

(b

1

+

b

2

)

+

k(1

1

+

1

2

)}

R

a

n

1

~

{b

2

(b

1

+

b

3

}

+

b

3

(b

1

+

b

2

,

+

k(1

1

+

1

2

)}

R • k a n =

-o

c

L . k

a c

..

-19-BIJLAGE

2,

De demping b

3

,

De demping die optreedt indeverbindingen tussen de rotor van de

motor en de as en de rotor van de tacho en de as, is hier voorgesteld

door visceuze demping, Dit is niet helemaal juist maar voor een

lichtgedempt systeem zoals hier is dit een goede benadering. Een

andere"mogelijkheid was om structurele demping te gebruiken: d.i.

demping evenredig met de verplaatsing. Omdat dit in de graphe-theorie

wat moeilijker in te bouwen is en omdat de verschillen waarschijnlijk

verwaarloosbaar klein blijven, is viskeuze demping aangenomen.

-20-BIJLAGE 3. Berekening laagste eigenfrequentie van de sledepartij.

--Gegevens van de CNC 200: massa slede m

=

235

kg. diameter spindel d

35

spoed spinael s

=

5 mIn.

lengte spindel 1

=

1500

massatraagheid spindel I mIn. mIn. 4 n:pd 1

1,73

10- 3

kgm 2 =

32

.

sp torsiestijfheid C sp I Cn:d4 C p =

1

321

3

7,86.10

Nm/rad.

gereduceerde massatraagheid slede

2 ms -4 kgm2 = ~ - 2,1 .. 10 4n: massatraagheid koppeling I kopp

-4

2

= 2,5.10 kgnl torsiestijfheid koppeling C kopp ;: 23.10 3 Nm/rad

~ Laagste eigenfrequentie volgens model van Fig. 8.

11 -1,12

10- 3

kgm 2 12

1,07

10- 3

kgm 2 C

.=

5,85

.

10

3

Nm/rad

1

Eigenfrequentie:

f =

_l_i .

_I_1_+_I2_'

o 2n: 1 1₁" I2

520

Hz

--- Laagste eigenfrequentie volgens "9:

3

23 .

10 Nm/rad 3

7,85 .

10 Nm/rad

Laagste eigenfrequentie volgens [6J:

2 1 c11 c 22 _

V(C

11 _ c22 2 4 c 12 J w =

+

- )

₊

0 2 _aU a 22 all a22 a11a22 met: c

11

cl

+

c2 aU ; ; Ii c 22 :::: c2 a22

""

c

12

-C

2

f ₀ = 1 _Wo

360

Hz.

-21-rs~

L

Y.\

~Q.

'i .

. -r

0

III

i

e

~It

i

\1""jo....

I"

asse

VI

I

~t1-~ ~

tVvt~

ck

R~hif-

R\k.., -

~~~.

~

Jw-c/\.cU-

QJ-

~~J..~ ~0\"...M

tvTr'IJ\.

u-

~tCJ

/If....

v<h -

'\r'tI\-~

•

R~cUv\W'~ ~

\-~~ ~

~tk

tw..crcltA

l~k

~

~~.

t",.

w~

/Ilv.;..

~"r'~

d..w\- d.t.

~~lt~

.k.

~tv-t- ~ ~

b....

~

r..~b~~

Va-

dLJu

~~

I\rcn...w...-

<p

i. (?C")

'"

4(')..'):.

01

4Il'X]

+

Q1.4

_l

Lx)

1-

+9V\q".(:t):::.L

9~ ~~l:t)

, . , 1.11:.'

1Jt.

r~~

~'\Q; ~

LA

')~ .~ cl~

f\r(rVV

LA

~

--J.-(::r:)

~

~\.Q. ~)rtU

l

n.~

U:.

~

J

G:J

ex')

V'

(Xl

t)

d),

C.

~~d.~~~~~

()

~

&

k~e.k, ~\R.

. ~

T

~

t )

I

(:Jt.)

()

'bV4

v.,J

~

\ttt

~ ~~ MrO"\r~'

' - -

~cl

v\...

O..t

r

de.

~

\ICh..

~I(~:{-5L (

~

') _

aT ...

o~

'"

0

-22-()T

ott

-w"

fW\]

\91

t

lk]

\~

\:=

to

1

1>

O"'CI\"

.LJ.

~~

~d.l,

-

'P ""

o-vk.- or

k

Q~,- \t~

tv

~ ~

'\ \

~

CMJcl

AAr~~.

-23-....

IS~~~ ~

cit

A-(.%'~~~"'" ~~

~

~hd.c- ~

~

tll-

V"~~~

~dJJ- d.~

~

(9)

"*

0

.

a~

(P)

-=

0

dx

(3 ll'X)

-:: Cal ~

-t

~

lb

4;0

V

L~)

=D

0):

I---:::lllloo.o::---+-::- .-.

t

-flo"

o

... .x

~~\Mt, ~ ~

4

~

)

M\.~o..~~k.:J.,~O'I~.J

...

J.

"p~ ~

:t)

~

.

kClV)~\..u.Dl ~

':l

o

-

₁

o

o

o

~.I

-

_'2.

WI

=

~

J";'

= ;

~;

W2,

-=.

2.

lAJ

1 ;

4'3::'..3 WI

o

~4>1

\,.

~

{l 00)

~ ~

l

~-r

-:::

{O

I

D \

~~.l\,.::

\00 I}

o

-24-LITERATUURLIJST.

[1] Shearer Murphy.

Introduction to systems dynamics.

[2J J.C. Cdol, F.J. Schijft, T.J. Viersma. Regeltechniek

[3J S. Timoshenko, D.H. Young. Technische Mechanica.

[4J P. Wolters.

Rechnerunterstutzte dimensionerung von Vorschubantrieben fur numerisch gesteuerte Werkzeugmaschinen.

Dissertation TH-Aachen, 1976.

[5J F.D. Kopperschlager.

Uber die Auslegung mechanischer Ubertragungselemente an numerisch gesteuerten Werkzeugmaschinen.

Dissertation TH-Aachen, .1969. [6J . Klotter. Technische Schwingungslehre. Springer-Verlag Berlin, 1960. [7J Hurty, Rubinstein. Dynamics Structures.