Bewijs voor lemma 6.21 in het dictaat van Michael Stoll.
Lemma. Zij V een vectorruimte over een lichaam F met een reeks v1, v2, . . . , vn
van elementen in V . Als er voor elke v ∈ V unieke scalairen λ1, λ2, . . . , λn∈
F bestaan zodanig dat
v = λ1v1+ λ2v2+ . . . + λnvn
geldt, dan is v1, v2, . . . , vn een basis voor de vectorruimte V .
Bewijs. Neem aan dat er voor elke v ∈ V unieke scalairen λ1, λ2, . . . , λn∈ F
bestaan zodanig dat
v = λ1v1+ λ2v2+ . . . + λnvn
geldt.
We moeten laten zien dat v1, . . . , vn een basis voor V is. Dit komt neer op
de volgende twee eisen, per definitie:
(i) De vectoren v1, . . . , vn spannen V op, m.a.w. L(v1, . . . , vn) = V .
(ii) De vectoren v1, . . . , vn zijn lineair onafhankelijk.
(i) We hebben ten eerste L(v1, . . . , vn) ⊂ V , omdat V een vectorruimte is
en dus is elke lineaire combinatie van vectoren in V weer een element van V . Daarnaast bestaan er voor elke v ∈ V scalairen λ1, . . . , λn∈ F zodanig
dat v = λ1v1 + . . . + λnvn geldt, dus volgt v ∈ L(v1, . . . , vn). Omdat dit
voor elke v ∈ V geldt, hebben we V ⊂ L(v1, . . . , vn). Deze beide inclusies
(V ⊂ L(v1, . . . , vn) en L(v1, . . . , vn) ⊂ V ) bewijzen L(v1, . . . , vn) = V .
(ii) We weten dat 0 · v1 + . . . + 0 · vn = 0 geldt. Wegens de uniciteit van
scalairen λ1, λ2, . . . , λn∈ F waarvoor geldt λ1v1+ . . . + λnvn= 0, weten we
dat als λ1v1 + . . . + λnvn = 0 geldt, er wel moet gelden λ1 = λ2 = . . . =
λn= 0. (Immers, dat setje scalairen voldoet en we hebben aangenomen dat
er altijd maar ´e´en setje is dat voldoet.) Dit betekent dat v1, . . . , vn lineair
onafhankelijk zijn.
Met (i) en (ii) is bewezen dat v1, . . . , vn een basis voor V is.
