Enkele toepassingen van het rekenprogramma STAAFCONSTRUCTIE

Enkele toepassingen van het rekenprogramma

STAAFCONSTRUCTIE

Citation for published version (APA):

Peerboom, A. F. A. M. (1979). Enkele toepassingen van het rekenprogramma STAAFCONSTRUCTIE. (DCT rapporten; Vol. 1979.008). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1979

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

WE 79-08

A.F.A.M. Peerboom

Augustus 1979 (gecorrigeerd september 1979) Vakgroep Technische Mechanica

Afdeling der Werktuigbouwkunde Technische Hogeschool Eindhoven

I. Inleiding

11. Enkele eenvoudige tweedimensionale constructies

11.1. Een staafelement dat scharnierend is opgehangen 11.2. Een drie-stangen-mechanisme

11.3.

Een (statisch bepaalde) vier-staven-constructie

111. Enkele uitgebreide tweedimensionale constructies

111.1.

Een keten van staafalementen, belast door zijn eigen gewicht

111.2. De simulatie van een voorgespannen snaar, belast door een puntkracht

IV. Een vlak netwerk dat loodrecht op zijn vlak belast is

V. Conalusies

1.1

11.1

11.1

11.10 11.12

111.1

111.1 111.10 IV. 1 V. 1 Appendices :

1 .

De vorm van een niet-rekbare kabel ten gevolge van zijn eigen

gewicht

2. De indrukking van een voorgespannen snaar ten gvolge van een puntkracht

I. Inleiding.

in mijn afstudeerverslag (WE 79-07) is het ontstaan en de opbouw van het algolprogramma STAAFCONSTRUCTIE uitvoerig toegelicht. De mogelijkheden en beperkingen van dit programma zullen in het voor U liggende rapport worden gedemonstreerd aan de hand van enige toepassingen.

Enkele eenvoudige tweedimensionale constructies zullen in hoofdstuk I1 aan de orde komen. Deze constructies bestaan uit één, drie of vier staafelemen- ten. Hoofdstuk I11 heeft uitgebreide tweedimensionale constructies als on- derwerp. Het gaat hierbij om een keten van staafelementen onder invloed van zijn eigen gewicht (kettinglijn) en de simulatie van een snaar, belast door een puntkracht. In hoofdstuk IV zal een eenvoudige driedimensionale constructie worden behandeld, namelijk een vlak netwerk van staafjes. Hierop laten we eerst een puntkracht werken (trampoline) en daarna een verdeelde belasting (matras).

Voor een lijst met symbolen en afspraken, tekst en toelichting van het pro- gramma en de theoretische achtergrond ervan wordt verwezen naar rapport WE 79-07: "De analyse van netwerken met grote verplaatsingen en kleine vervormingen. Een bijdrage tot de kinematische en mechanische modelvorming van een aortaklepvliesff.

11.1

11.

Enkele eenvoudige tweedimensionale constructies.

We zullen ons in dit hoofdstuk bezighouden met enkele eenvoudige vlakke constructies, bestaande uit één, drie of vier staafelementen, waarop één of twee knooppuntskrachten aangrijpen. Daarbij zullen we steeds uitgaan van een betrekkelijk "foute" begintoestand (de geschatte constructiestaad). -

De juistheid van de uiteindelijke stand i s te controleren door het knoop- puntsevenwicht op t e stellen. Het programma doet dit door de matrix

0,

na elke rekenstap te bepalen. Bij deze eenvoudige voorbeelden i s de uit- eindelijke vorm ook te voorspellen zodat een tweede controle mogelijk is.

11.1

.

Een staafelement dat scharnierend is op-geha-nge-n..

Een dergelijk voorbeeld is al aan de orde geweest in de paragrafen 111.2.1.4 en 111.2.2.3 (WE 79-07). Basispunt

1

van het staafelement is scharnierend bevestigd aan de vaste wereld en basispunt 2 is vrij (zie fig.

11.1).

fig.

11.1

Zoals al is aangegeven werken we in twee dimensies (x en y ) . De hoek tussen de x-as en de eenheidsvector van het element (gericht van basispunt 1 naar basispunt 2) is De elementeigenschappen zijn:

O R I = 1 1 1 -6 E l = 10 A; = I O

(We zullen geen eenheden vermelden maar we gaan er natuurlijk wel van uit dat de verschillende grootheden in corresponderende eenheden zijn uitge- drukt. Als voor de massa, de lengte en de tijd respektievelijk de eenheden kg, m en s worden genomen dan is de eenheid voor de kracht N, enzovoort.) Ais konvergentiekriterium nemen we:

We willen de stand van het element weten ten gevoige van de kracht op knooppunt 2:

Deze kracht werkt in x-richting. Er zijn dus twee mogelijke evenwichts- standen: het element kan langs de positieve x-as of langs de negatieve

x-as gaan liggen.

a. Variatie van de beginpositie,

öm het programma te iaten s t a t t e n moeten we e m schattirig opgever: V U E de

knooppuntscoordinaten (de beginstandj. Dit houdt in dat we een hoek (p

een lengte R

omdat het element een voorspanning moet hebben. Als R I = R 1 dan is de stijf- heidsmatrix Q

te testen zullen we de volgende gevallen berekenen:

en

1

O

1 ' moeten aannemen. Voor de lengte moet gelden: R 1 ;r: R

O

1

singulier en is geen oplossing te bepalen. Om het programma -RR

9, = O', 45O, 90°, 135O, 180°, 225O, 270' en 315' E l = 1.0001, 1.001 en 1.01

Als we voor de staafkracht S en de rek E

1 1 de volgende relaties gebruiken

S , = A , . E , . c , en El = (RI

-

%:>/e:

1 1 1 1

dan vinden we voor de staafkracht de waarden: S I = 10, 100

In gevallen waar 4

en 1000

~-

O

= 180 verwachten we dat het staafelement niet zal 1

11.3

draaien maar alleen zal verkorten tot: = 1.

-

.O05 = .995

in de andere gevallen zau het element moeten verlengen tot de lengte R 1 = 1.005 en de positie = O aannemen.

De resultaten die het programma geeft staan in tabel

11.1.

Bij deze resul-

O

taten kunnen we de volgende opmerkingen maken.

*

Blijkbaar is de (geschatte) begintoestand niet van grote invloed op het aantal rekenstappen. (Deze opmerking geldt natuurlijk niet voor die gevallen waarin het staafelement niet meer verdraait, = 0' en 180°.) Zelfs vanuit een extreem foute beginpositie (4, = 135') wordt de eind-

*

*

stand nog correct berekend.

*

Er wordt in de eindstand steeds aan het evenwicht voldaan.

*

De waarde van

I

IA

1

I

waarde (namelijk 4.657~10-~ of 8.009*10-8), Dit lijkt verdacht maar het heeft een voor de eindstand karakteristieke

-2 2

kan verklaard worden door een afrondfout bij de berekening van de staaf- kracht in de eindstand.

Of het element in beginpositie boven of onder de x-as ligt heeft geen

*

invloed op de berekening (symmetrie).

De groatte van de staafkracht in de beginpositie heeft geen duidelijke

*

tabel IT. 1

beg ins tand

5

-

10 1 O0 1000 10 1 O0 1 O00 10 1 O0 1 O00 10 1 O0

1

O00 10

1

O0 1 O00 10 I O0 1 O00 10 1 O0 1 O00 10 1 O0 1 O00

5

1 .o001 1 .o01 1 .OI 1 .O003 i .o01

1

.o1 1 .o001

1

.o01 1 .o1 1.0001 1 .o01

1

.o1 1 .o001 1 .o01

a

.o1 1 .o001 1 .O01 1 .o1 1 .o001 1 .o01

1

.o1 1 .o001 I .o01 I .o1

-

$1 O' 0" O' 45' 45' 45O 90' 90' 90' 135O 135'

-

135' 180' 180' 180' 225' 225' 225' 270' 270' 270' 315' 315O 315' aantai reken- stapper 2 2 2 6 6 8 5 6 8 6 6 8 2 2 2 6 6 8 5 6 8 6 6 8 eindstand 1 .O05

1

.O05 i .O05 1 .O05 1 .O05 1 .O05 1 .O05 1 .O05 1.005 1,005 1 .O05 1.005 .995 .995 .995

1

.O05 1.005 1 .O05 1 .O05 1.005 I .O05

1

.O05 1 .O05 1 .O05

-

$1 OC O0 O0 O0 OQ O' O0 O' O' O' O0 O'

-

80' 80' 80' OQ O' O0 O' O' O' O' 0' O0

-

t I0,l

I,

4.657* 1 4 657* 10-7 4.657* 1 4.657* 1 O-7 4 657* i 4.657" 1 4.657*

1

4,657*1 O 4.657* 1 4.657* 1 O-7 4,657" 1 O-7 b. 657* I O-7 -7 3 . oog* 1

o-8

3.009* 1 O-8 3 . 0 0 9 ~ ~ 1 O-8 $ .65 7

*

1 O-' $. 657* i i.. 657*

1

i.. 657* 1 i. 657* I i. 65 7

*

1 O-7 i. 657* 1 O-7

I.

657* 1 1 . 6 5 7 ~

1

11.5

b. Enkele kritische begi-nj-o.si$ies-.

Gebleken is dat het staafelement niet altijd naar de (juiste) eindpositie $1 = O O draait wanneer

41

in de beginstand groter is dan 90'. Dit kan al- leen worden veroorzaakt door de matrices

- cos$ *sin$* 1 2 sin <bl+€* - E t * A l Q =

-

*

-RR

0,

=

2,

-

2,

=

[i]

-

[

S1*'""":l S *sin$

dus door de grootheden:

(Rl en E

We zullen nu de eindstand berekenen bij enkele combinaties van

4

zijn afhankelijk van S1.)

1 F en S 1 : 1 ' = 135', 155' en 175'

41

F = 50, 500 en 5000 S I = 10, 100 en 1000

De resultaten die het programma geeft staan in tabel 11.2. Om enig inzicht in (ieze resu-jtai;en te krijgen deze A Leve113 - - - - A - . . - * - A " * + U;Lejs.&G:L. i n de grafieken i=

figuur.II.2. De assen van deze grafieken hebben een iogarit'nmische verde- ling.

Bij deze resultaten kunnen we het volgende opmerken.

*

Als we de hoek

4

een "foute" eindpositie toe.

in beginpositie groter nemen, dan neemt de kans op

1

*

In 111.2.2.1 (WE 79-07) is opgemerkt dat het verschil tussen de geschatte en de werkelijke knooppuntscoördinaten voldoende klein moet zijn. Als

O

in beginpositie groter is dan 90 dan gaan we uit van een absurd fou- te schatting en is een fout resultaat te verwachten.

De-grootte van de-voorspankracht S I lijkt weinig invloed te hebben op

het eindresultaat.

Op pagina 111.21 (WE 79-07) is gesteld dat de rek s<<l

.

Dit i s hier niet altijd het geval (In begin- en eindstand is E I .OS). Toch heeft dit geen duidelijke nadelige invloed op het rekenproces. Daarnaast tre-

den er tijdens het rekenen soms rekken op van de orde 10.

*

tabel 11.2

-

F

-

5c 500 5000 50 500 5000 50 500 5000 50 500 5000 50 500 5000 50 500 5'00 5 û 500 5000 50 500 5000 50 500 i000 beginstand

-

10 10 10

1

O0

1

O0 1 O0 1 O00

1

O00

1

O00 10 10 10

1

O0

1

O0

a

oo

O00 O00 OOI 1n 1 V 10 10 1 O0 I O0 I O0 O00 O00 O00

-

1 .o00 I .o00 1 .o00 1 .o01 1 .OOI

1

.O01 1 .o1 1 .o1 I

.o1

I .o001 i .o001 i .O001 I .o01 .o01 .o01

.

o1 .o1 i O! * Qûj2 t

.

O001

.

O00 1

.

O01

.

O01 .OOI

.

o1

.

o1

.o1

~- 135' 135' 135' 135' 135' 135' I35O 135' 155' 155' 155O 155' 155' 135' 155' 155' 155O I

?zo

175' 1 75' 75' 75' 75' 75' 75' 75' O ! 55 aantal reken- ctappe: 6 6 7 7 6 7 7 8 7 6 7 7 8 6 7 7 10 7 7 7 7 9 8 7 6 7 1 1 eindstand $1 1.000E I .O05 1 .O5 ,9995

1

.O05 1 .O5 I .O005 i .O05 I .O5 .9995 1 .O05 1 .O5

-.

~- 9995 1,005 1 .O5 .9995

1

.O05

1

.o5

.

o995 .o95 I .O5 .9995 ,995 .95 ,9995 995 .O5

-

$1

-

O' O' O' O' OC O' OC O' I

ao'

OC O' O0 O' O' O' 8" O0

aoo

180' i 80' 180' 80' 80' 80' 80' 8 O' O'

-

1lAJ

l 2

1.991*10-' 4.65 7* I O-' 2.980* 1 O-' 1 ,024* 1 O-' 4.657.k I O-' 2 e 980* 1 O-' 5.355* i O-' 4.657" i O-' 2.9 80*

1

4.657* I 1 .024* 1 O-8 2.980*

1

O-7 I .024*

1

O-8 k . 657* i 2.980" I I .024* 1 O-8 I.. 657* i O-7 ? + 980*1

-a

c!21*! 0 1,009*1

o-8

!. gao* I ;,oo9*10-8 .024*

1

O-8 1.960*1 O-8 .024* 1 O-' .047*

1

O-8 2 980* I

1 1 . 7 ~ $ ~ = 1 5 5 O 1000- 100- $1=1350 1

O

t

+

O

+

+

+

O

+

+

+

+

: eindstand O'

0

: eindstand 180'

+

+

+

+

+

O

+

50 500 5000

O

8

+

O

O

O

O

O

+

fig. 11.2

c . Enkele opmerkingen over het verloop van het oplossingspro-ce-s-.

We zullen onze aandacht tenslotte richten op het verloop van het oplossings- proces. Eiervoor nemen we geval 9 in tabel 11.1 (beginstand: $I=900, S 1 = l O O O

en F=500; eindstand: $,=Oo) en geval 13 in tabel 11.2 (beginstand: $]=155

,

S 1 = l O O en F=50; eindstand: 4 1 =180 >.In figuur 11.3 is de stand van het staaf- element getekend na de verschillende rekenstappen. Tevens zijn de krachten

1'"

aangegevee. -(Voor

2")

geldt:

O O

p)

= $(2) $. 4 2 )

s

,) Y X O

V

1

fig. IIE3

1 1 . 9

Op dit moment kunnen we hieruit weinig conclusies trekken, omdat we het niet-lineaire proces moeilijk kunnen doorgronden. De coör- dinaten van knooppunt 2 na de eerste rekenstap zijn nog eenvoudig te bepalen door de matrices Q R R en A

coördinaten zijn dan een functie van $I

Daarna wordt het echter vrijwel onmogelijk om een verband te vinden tussen de coördinaten x(~), y ( 2 ) en de grootheden _{$I I} S I in beginstand, en F.

-1

_{te vermenigvuldigen. De} en S

1

1

-R in beginstand en F. en

11.2. Een drie-stangen-e-chanisme..

W e bekijken nu een drie-stangen-mechanisme dat bestaat uit drie identieke elementen ( z i e fig. 11.4). fig. 11.4 De elementeigenschappen zijn: .- P,O =

1

e

1 1

E = 10 e -6 Ae = 10

De coördinaten van de knooppunten 1 en 4 zijn:

Als konvergentiekriterim nemen we weer:

We willen de stand van h e t mechanisme weten ten gevolge van de kracht op knooppunt 2:

11.11

De hoeken $I] en $ J ~ (tussen de elementen 1 en 3 en de x-as) zullen 135' wor-

den. Element 2 zal. vrijwel evenwijdig aan de x-as blijven. (In feite be- draagt de verlenging van element

1 :

A R 1 =

42

*

10

niet exact evenwijdig aan de x-as blijft.)

-4

_,

waardoor element 2 uit van

-

41

-

$2

-

4 3

-

-

-

(In dit

Om een schatting te kunnen opgeven van de knooppuntscoördinaten gaan we

de volgende constructieboestand: 60' ; S 1 = 10 -t R I = 1.0001

o o ;

s 2 =

O + R 2 = 1 60' ; Sg = 10 -t R3 = 1.0001

geval hoeft element 2 niet voorgespannen te zijn.)

De resultaten van het programma zijn zoals we verwacht hadden en staan in tabel

11.3.

Hierna brengen we een belasting aan op de knooppunten 2 en 3 :

O

Onder invloed hiervan zullen de hoeken 4, en 4, 90 worden en 4, 0'. We

nemen dezelfde waarden voor de knooppuntscoördinaten in de beginstand. (jok nu zijn de resuitaten z o a ? ~ - - - - v - - * l A t s h n l T T - 3 )

V W w L u y s r u a*- -u"--

--.-,:

II-.?. Een (statisch bepaalde) vier-slaven-construct.i-e-.

Het drie-stangen-mechanisme u i t 11.2 breiden we nu uit door er een vierde staafelement in te plaatsen (zie fig. 11.5).

X

fig 11.5

De eiegenschappen van de elementen I , 2 en 3 zijn gelijk:

, u, O e

1 1

-6 Ee = 10 Ae = 10

De stijfheid van element 4 (E *A ) zullen we nu de volgende waarden geven: 4 4

O 1 2 3 4 5

10

,

10

,

10

,

10

,

10 en 10

Element ~ 4 geven wij derhalve ~~~ ~ de ~- eigens-chappen: ~ ~~~ ~ ~~ - ~~ -~ 2; = 1 6 7 8 9

1 1

= 1 0

,

10

,

1 0

,

1 0

,

io1'

en 10 -ó A4 = 10

Als beginstand nemen we weer dezelfde a l s in 11.2 ( $ = $3 = 60°, $2 = O').

Op deze manier kunnen we het verstevigende effect van element 4 onder- zoeken.

11.13

De belasting is in eerste instantie:

en daarna: en - ~ ~~ -~ ~ 6 I

In het geval dat E 4 = 10

moeten reageren als het eerder behandelde drie-stangen-mechanisme en als E

zal de constructie bij benadering

= l o i 1 dan is de constructie star en verdraait bijna

,

4 niet.

-

De resultaten die het programma geeft staan in tabel 1 1 . 4 .

De eindstanden van de constructie voor de verschillende gevallen staan in figuur 1 1 . 6 en 1 1 . 7 . Voor de duidelijkheid is element 4 niet getekend even- als de eindstanden voor de gevallen waarin E _4- - I O 1 ' en 10 1 1

.

tabel 11.4 belasting op knooppunt 2 2 2 2 , 2 en 3 2 en 3 2 en 3 2 en 3 2 en 3 2 en 3

I

E4 1 O6 1

oö

1

oy

10'O l o l 1 1

o6

I

o7

1 O8 1

o9

l o l o

lo1

7 iG beginstand $ 1 60° 60' 6 O" 60' 6 O' 60' 6 0' 60' 6 0' 60' 60' 60' R 4

-

1

i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 aantal reken- stappen 8 8 6 4 3 2 6 6 6 4 3 2 eind s tand 41 134' i LOo 71" 61' 60" 60' 89' 83' 66' 61' 6 0' 60' R4 1 , 8 3 9 1.732 1.156 1 .O16 1 .o02 1.000 1.404 1.325 1.096 1 .o1 1 1 .o01 1.000

I

lO,l1,

8.233* 1 O-' 1 . 9 8 9 ~ i O-6 2.070* 1 O+ 7.277*10-7 -~ -7- 8.455-*

1

O 1 .205*

1

O-6 5.342* i 1 .7l4*1Om6 2 . 1 2 9 ~ 1 0 - ~ i .920* 1 O-6

1

.678* 1 O-6 5.958* 1 O-7

fig, 11.6

X

h

I

\\

f i g .

11,:

Wat duidelijk blijkt is dat er steeds minder rekenstappen nodig zijn als de constructie meer star wordt, Het gedrag van deze constructie tijdens het iteratieproces komt in d e gevallen waar E -10

het drie-stangenmechanisme.

6

vrijwel overeen met dat van

1 1 1 . 1

111. Enkele uitgebfeide tweedimensionale constructies.

We komen nu toe aan enkeie uitgebreide vlakke constructies. Len eerste een keten van staafelementen die belast is door zijn eigen gewicht en ten twee- de de simulatie van een voorgespannen snaar die belast is door een punt- kracht.

111.1. Een keterî v&n staafelemeriteri, belast. door zijd'eigkn g-e-wicht-.

In paragraaf III.i.I.2 (WE 79-07) is de vorm bepaald van een niet-rekbare

kabel ten gevolge van zijn eigen gewicht.

die bekend staat als de vergelijking van de "kettinglijn", Hierin komen drie integratieconctanten voor. Deze zijn te bepalen door het in rekening brengen van de posities van de ophangpunten en de nevenconditie voor de lengte. Dit L s analytisch niet mogelijk maar wel numeriek. Appendix 1 is gewijd aan dit oplossingsproces,

Een keten van (rekbare) staafelementen zal volgens vrijwel dezelfde lijn hangen als een niet-rekbare kabel, mits de elementen relatief weinig ver-

r resulteerde een vergelijking

~ - -

- ~ ~~

lengen ten gevolge van de belasting en mits het aantal elementen voldoende groot is.

In deze paragraaf zullen we een keten van rekbare staafelementen beschouwen en daarvan het aantal elementen variëren, de begintoestand en de stijfheden van de elementen. Voor de hier beschouwde Keten geldt:

*

ophangpunten: (-.4,0) en ( . 4 , 0 )

*

totale lengte: 1.6

*

oppervlak van de dwarsdoorsnede A: 10

*

elasticiteitsmodulus E: 1 0

*

gewicht per lengte-eenheid A: 10

-4

1 1

Voor de elementen zal gelden:

*

voorspankracht S : 500

*

*e: 1 1

*

Ee: 10

e

1

Het gewicht van een element aal in rekening worden gebracht als twee gelijke

w . a L A L L a L 1 die ~ s n g r i j p z ~

..

it; d~ b e i & S a ~ l s p ~ n t e n V ~ L , h e t elmer.t.

a. Variatie van het aántal elementen.

Achtereenvolgens wordt nu een keten beschouwd die bestaat uit 4 , 8 en 1 6 elementen. De oorspronkelijke lengte, de lengte na voorspannen en het gewi van de elementen staat vermeld in het volgende tabelletje.lTevens is daar de grootte van de kracht vermeld (F) die per vrij knooppunt aangrijpt:

F(k) =

Y

a. Variatie van het aántal elementen.

Achtereenvolgens wordt nu een keten beschouwd die bestaat uit 4 , 8 en 1 6 elementen. De oorspronkelijke lengte, de lengte na voorspannen en het gewi van de elementen staat vermeld in het volgende tabelletje.lTevens is daar de grootte van de kracht vermeld (F) die per vrij knooppunt aangrijpt:

F(k) =

Y

We gaan ervan uit dat de keten in de beginstand volgens een gelijkbenige driehoek hangt (zie fig. ILI.l), De elementen en knooppunten worden van links naar rechts genummerd, respektievelijk van i tot en met n e en van

1 tot en met

%'

+

3 fig. II1,I 4 .cht

111.3

23

22

De resultaten van het programma staan in de tabellen 111.1, 111.2 en 111.3, In de tweede en derde kolom staan de resultaten van het programma en in kolom 4 staan de y-coördinaten van de "theoretische kettinglijn" zoals die berekend zijn via de in appendix 1 toegelichte werkwijze. Uit de tabellen blijkt duidelijk dat de resultaten voor de keten de "theoretische kettinglijn" beter benaderen naarmate de keten uit meer

-

-

staafelementen bestaat. Het aantal rekenstappen neemt dan ook iets toe maar lijkt naar een maximale waarde te tenderen (zie figeIII.2), Bovendien

wordt er iets minder goed voldaan aan het evenwicht, Tenslotte is het opvallend dat de grootheid

I

(y-yth)/y

het midden van de keten.

1

zijn maximum steeds bereikt in th aantal re kens tappen aantal element en

1

4 8 1 6 fig. 111.2

~~ knooppunt 1 2 3 4 5 tabel 111.1

n = 4 ; aantal rekenstappen=i8;

1

IA

I

I

=1.203*iO -4

e --R 2 STAAFCONSTRUCTIE "theoretisch"

Y

'th X -.4

.o

.o

-.2776 -.3808

-.

3843

.o

-.

6888 -.6371 ,2776 -.3808

-.

3843 *4

.o

.o

"theoretisch" 'th

.

O09 ,081

.

O09 y-yth yl 'th tabel 111.2 n =8; aantal rekenstappen=22; e 7 8 9 knooppunt STAAFCONSTRUCTIE ~ ~ ~~~ ~~ .2802 ~

--.

38 12 ,3492 -.1934 .4

.o

nnnn 3

i

-.LóuL

i

- , J i i i 2 4 -.1757 -.5517 5

.o

-.

6473 6

I

.1757

1

-.5517

.o

-

.

1 Q 3 K _*,e* 1 7 0 1 - . 3 / 0 1

-

5465 -.6371

-.

5465

-.

3787

-.

1925

.o

-

nn 5

.

"V., nn7 . V V I ,010 ,016 ,010 ,007 ,005

-

111.5 tabel 111.3

-4

n _e =16; aantal rekenstappen=23; IA

1

I

=5.097*10 -A. 2 knooppunt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1

12 13 14 i5 i6 17 STAAFCONSTRUCTIE X -.4

-.

3762

-.

3490 -.3174

-.

2796 -.2331

-.

i 739

-.

0965

* o

.O965 ,1739 ,2331 .2796 ,3174 ,3493 .3762 .4 Y

.o

-.O971

-.

1934

-.

2882

-.

3808

-.

4694

-.

5500 -.6132

-.

6395 -.6132

-.

5500

-.

4694

-.

3808

-.

2882

-.

i 934 -.O971

.o

'I theoretisch" 'th

,o

-.O970

-.

1931

-.

2876 - e 3800

-.

4683

-.

5485 -.6112 -.6371 -.6112

-

5485

-.

4683 - I 3800

-.

2876 -.i931

-.

0970

.o

~

.

O01 .002 o 002 .002 * 002 .003 .003 .004 003 003 ,002 002 .002 e O02 .001

-

b. Variatie van de beginvorm.

We zullen nu de vorm van de keten bepalen bij twee verschillende begin- vormen. De keten bestaat uit zestien elementen, Eerst gaan we (net als in a) u i t van een gelijkbenige driehoek en daarna van een rechthoek (zie fig. 111.3). (Ten gevolge van de voorspanning is de tweede vorm in feite geen rechthoek maar een trapezium.)

fig 111.3

De knoopp~~t-oörd~aten die het programma berekent zijn voor beide begin- vormen hetzelfde en zijn

stappen in het tweede geval (rechthoek) is 27 (23 voor de driehoek). Dit komt waarschijnlijk omdat de driehoek een betere benadering is voor de uit- eindelijke vorm van de keten. Voor

I

l0,l

1,

werd de waarde 5.641*10 gevon- den bij de rechthoekige beginvorm,

dus weergegeven in tabel 111.3. Het aantal reken-

111.7

c,- Variatie van de elementstijfheden.

Van een keten (16 elementen) laten we nu de stijfheden variëren van 10 tot

-6 Voor alle elementen geldt E =IO1' en voor element:

e 1 en 16 is A : 2 en 15 is A : 8.6*10m4 3 en 14 is

A

: 7 . 1 * 1 O - ~ 4 en 13 is A : 5.7*iO-4 5 en 12 is A : 4.3*iO-4 6 en 1 1 is A : 2.9*10-4 7 en 10 is A : i.4*i0-4 8 e n 9 i s A : 1

o - ~

Van de ophangpunten uit naar het midden van de keten toe wsrdem de elemen- ten dus dunner. De oorspronkelijke lengte van de elementen is

. 1

en de voorgespannen lengte is .100005.(De voorspanning is dus niet voor alle elementen gelijk!) Depbeginvorm van de keten- i s een gelijkbenige driehoek. In eerste instantie houden we de knooppuntsbelasting in elk knooppunt gelijk, dus F=l. (Hiermee nemen we dus aan dat hei gewicw per lengteeenheid, per element varieert I )

De resultaten die we nu vinden komen weer overeen met die in tabel 111.3. Dit is logisch wamt de s t i j f h e i d van de elementes i s verantwoûïdelijk VOO::

~~ ~~-~ ~~ ~~

_. ~ ~~ ~-

~~

~~ ~ -

de vervorming en die is klein. (De verlengingen zijn kleiner dan 10 -? .) De knooppuntskrachten bepalen de vorm.

Hierna nemen we aan dat het gewicht per lengte-eenheid voor alle elementen gelijk is. Daardoor zijn de knooppuntskrachten evenredig met het gewicht van de eraan grenzende elementen. De knooppuntskrachten worden dan voor knooppunt: 2 en 16 : 9.3 3 en 15 : 7.85 4 en i4 : 6.4 5 en 13 : 5.0 6 en 12 : 3.6 7 en l i : 2 . 1 5 8 en 10 : .75 9 :

.1

Nu wijkt de uiteindelijke vorm af van d e in tabel 111.3 vermelde coördinaten ( z i e tabel 111.4). In fig.III.4 is de helft van de keten getekend, en boven- dien de helft van de "theoretische kettinglijn".

.4 X

111.9 tabel 111.4 n

-1

6; aantal rekenstappen=27;

1

10,

I I

s=l. 278*l O -3 e knooppunt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 ! 6 17 STAAFCONSTRUCTIE X -.4

-.

3896

-.

3750

-.

3553

-.

3249

-.

2758 -.1977

-.

1 O00

.o

. I O00 .I977 ,2758 .3249 3553 ,3750 e 3896 .4 Y

.o

-.

0995

-

1984

-.

2964 -.3917

-

.4788 -.5413

-

5625

-

5638

-.

5625 -.5413

-.

4788 -.3917

-.

2964

-.

1984

-.

0995

.o

111.2. De simulatie van een voorgespannen snaar, belast door e.en puntkracht. In appendix 2 is beschreven hoe de uitwijking (f) van een voorgespannen snaar samenhangt met de voorspankracht (Tv) en de belasting (F). We zullen zo'n snaar simuleren door twee voorgespannen staafelementen te belasten door een geconcentreerde kracht op het middelste knooppunt (zie fig.III.5):

-

F ( 2 ) =

[Fl

De staafelem&tenphebben de volgende eigenschappen: !Lo =

1

e -6 9 A = 10 E = 10 e e Y fig. III.5

De verplaatsing van knooppunt 2 wordt bepaald bij de volgende voorspan- krach t en:

T = 10, 50 en 100

V

en de volgende belastingen:

III,l1

Een andere voorspankracht wordt gerealiseerd door een andere beginlengte

Q _e te nemen. Voor T = 10, 50 en i00 geldt respektievelijk: V

= 1.01, 1.05 en 1.1 '

e

In tabel

111.5

staan de resultaten van de berekening met behulp van het programma STAAFCONSTRUCTIE. Onder "theoretisch" zijn de verplaatsingen ver- meld zoals die eiin berekend met behulp van de in appendix 2 beschreven methode.

De resultaten voor de snaar en voor de staafconstructie wijken niet van elkaar af. Het aantal rekenstappen dat nodig is om de positie van knooppunt

2 te bepalen neemt duidelijk af naarmate de voorspankracht groter wordt. B i j de resultaten -~ in-tabel

111.5

is het opvallend dat de grootheid

~~~~ ~~

I

IO,/

1,

voor T

De verklaring hiervoor zou kunnen zitten in afrondfouten,

= 50 een factor 100 kleiner is dan voor Tv = 10 en Tv = 100.

V

Nemen we in plaats van 2, meerdere (bijvoorbeeld 4 ) elementen dan veranderen de resultaten niet.

tabel IïI.5

-

10 10 10 10 10 50 50 50 50 50

1

O0

1

O0 I O0

1

o0

1

O0

-

F 10/3 20/3 IO 50 1 O0 IO13 2013 IO 50 1 O0 ,0/3 !O13 10 50 O0 verpl. knooppt,

:

S T M C . .IO77 ,1555 .I879 ,3643 .4772 0346 .O672 0986 ,2982 .4258

.

O1 83 .O365 ,0543 ,2277 .3647 ~ "theor.

'

,1077 e 1555 ,1879 ,3643 .4772 .O346 .O672 0986 ,2982 .4258

.

O1 83 .O365 .O543 .2277 e 3647 aantal reken- stappen 6

7

7 8 7 3

4

4 6 7 3 3 3 5 6

t

l0,l

I,

1 .455*I O-8 1 e 455* i

0-8

1 .451*10m8 1.488*1 1 ,629*

1

O-8 2.474* 1 O-'

o

1 .164*10-'0 4 e 657*

1

Q- 0 9 .3

1

3

*

i O-' O 9.3

1

3*

1

O-

o

1 .397*

1

1

.496* 1 O-8

1

.490* I O-8

a

o 397*1

o-8

1 .333* 1 O-8

IV. 1

IVw een vlak netwerk dat loodrecht op zijn vlak belast is.

In figuur IV.1 is een vlak staafjesnetwerk getekend. We kunnen dit netwerk beschouwen a l s een eenvoudig model voor een trampoline of een matras. In

het eerste geval wordt het netwerk belast door één geconcentreerde kracht en in het tweede geval door een verdeelde belasting (die hier in rekening wordt gebracht als een aantal, geconcentreerde krachten).

4 9 14 19 24 10 5 O 5 29 2 - 6 1 1 6 1 26 30 / X 3 *

4

3 1 fig. 1 V . i

De krachten werken in z-richting. Voor de staafelementen geldt:

1 1 Ee = 10

De voorspankracht van de elementen bedraagt: Se = 100/3

waardoor de lengte wordt: R e = .31

Het netwerk i s aan alle randen scharnierend verbonden met de vaste wereld, In het trampoline-model werkt in knooppunt 16 de kracht:

Ten behoeve van de matras-schematisering werken er meerdere geconcentreerde knooppuntskrachten en wel de volgende:

I F(k’ =

1

O 1 k E {6,11,16,21,26)

I

O 1

p)

= k E ~5,10,15,20,25,7,12,17,22,27~

I

HI

In beide gevallen is de totale belasting gelijk aan 100.

Tabel IV.1 toont de resultaten van het programma en in figuur IV.2 zijn deze grafisch weergegeven. Het aantal rekenstappen voor het trampolinemodel bedroeg 7 en voor het matras-model 5. De grootheid

I

l0,l

I,

was na afloop gelijk aan 7.990* 1 O-8 respektievelij k 9 45 i

*

1 O

Wat uit de resultaten duidelijk blijkt is dat een verdeelde belasting beter wordt opgevangen dan een geconcentreerde kracht, Dit is eenvoudig aan de werkelijkheid te toetsen door op een matras te gaan staan en vervolgens

te gaan liggen,

-8 ,

IV.4 2 .O5 O z . I C O5 fig. IV.2

V. Conclusie-s.

Op grond van de in dit rapport gepresenteerde toepassingen van het reken- programma STAAFCONSTRUCTIE kunnen we de volgende globale conclusies

trekken.

*

Om het programma te laten starten dient een schatting te worden opgege- ven van de knooppuntscoördinaten. De staafelementen moeten in die start- positie voorgespannen zijn. De voorspankracht zorgt ervoor dat het

staafelement een stijfheid krijgt tegen rotatie. I s deze voorspan- kracht groot dan zal na de eerste stap de verdra Y en de staaf- kracht klein zijn.

De stand van een staafconstructie ten gevolge van een willekeurige knoop- puntsbelacting wordt door middel van dit rekenprograrmna correct bepaald

(er wordt in de eindstand vrijwel voldaan aan het knooppuatsevenwicht) zelfs als de beginstand absurd veel afwijkt van de eindstand.

Wat verder opvalt is dat de oplossingsprocedure altijd convergeert,

*

ook als de eindstand instabiel is.

Bij uitgebreide constructies (bijvoorbeeld een keten van staafelementen) neemt het aantal rekenstappen toe wanneer de begin- en eindstand meer verschillen. Bij dergelijke constructies lijkt het aantal reken- stappen naar een maximale waarde te tenderen als het aantal elementen toeneemt.

Een continue constructie kan gediscretiseerd worden waarbij de d i s c r e t e constructie vrijwel dezelfde eigenschappen bezit als de continue. (Voor-

*

*

beeld: een kabel die gediscretiseerd wordt tot een keten van staafelemen- ten.) De benadering is beter wanneer de discrete constructie uit meer elementen bestaat.

*

Het verloop van het iteratieproces is op dit moment moeilijk voorspel- baar. Hieraan zou nader - onderzoek ~ ~~~ kunnen worden verricht, met name van-

uit het oogpunt van de numerieke methoden en de niet-lineaire mechanica,

A l . l

Append.ix

1

De vorm van een niet-tekbare kabel tefi gevolge van zijn eigen-gewicht.

In paragraaf ILI.1.1.2 van rapport wI.l 79-07 is de vergelijking afgeleid die de vorm beschrijft van een niet-rekbare kabel, die belast is door zijn eigen gewicht. Deze luidt:

x

Y(X> =

-

e x + C2 ) + C3

x

Hierin is A het gewicht van de kabel per lengte-eenheid dn C l , C s en Cg zijn integratieconstanten, Deze constanten zijn te bepalen door het in re- kening brengen van de posities van de ophangpunten (x ,y ) en (xs,y2) en

de nevenconditie voor de kabellengte:

1 1

x2

a = r

m . a x

1

X

Dat kan bijvoorbeeld als volgt. Uit A l . 1 volgt:

Substititie hiervan in Ai.2 levert:

x

x

o sinh (

-

e x + C2

1

-

sinh (

-

.

x1 + C2)

1

c l 2

x

c l ( A l . 1 ) (Al .2) (AI . 3 ) ’(Al . 4 )

Met behulp van A l . 1 zijn y

lijk x2. Tellen we deze relaties op dan komen we tot:

en y2 te bepalen als functie van x respektieve-

1 1 Nu combineren we A 1 . 4 en A1.5:

/

- 2

2

L i b l , _sirih

_i-

_h

.

_’--

_---

’-I v x

-

~Y,-Y$

-

_2.c1

iA2-nl

’

-I (Al .5) (A! .h)

Hierin stellen we:

Vergelijking A1.8 kan numeriek worden opgelost, waardoor B wordt bepaald. Met behulp van A1.7 kan daarna C1 worden berekend,

De tweede constante C

door A1.4 en A1.5 te delen:

is op te lossen uit de vergelijking die onstaat 2

(Al . 9 )

Temslotte volgt ri

tueren, bijvoorbeeld:

eenvoudig door ir: Al.1 één van de ophangpunten te substi-

" 3

Appendix. 2

De indrukking van een voofgespziqa-en snaar ten gevoige van e-en puntkracht.

Een snaar met ongespannen lengte 2.R' wordt met behulp van de voorspankracht 1 voorgespannen tot de Lengte 2.Rv. Voor de kracht Tv geldt dan (E en A

zijn de elasticiteitsmodulus respektievelijk het oppervlak van de dwarsdoor- snede van de snaar):

V R -go V

-

-

(ao-)*E*A

ofwel : L R = RO. ( I +

m)

V V (A2.1) (AS. 2)

We belasten de snaar nu door een kracht F die loodrecht erop staat en in het midden aangrijpt. Hierdoor krijgt de snaar een uitwijking f (zie fig. A2.1). De hoek tussen de snaar en de horizontale as noemen we a , de spankracht

in de snaar is nu T en de lengte R.

f i g . A2.1

De lengte R is met behulp van de stelling van Pythagoras t e schrijven als: R = Jf2 4. R t

en voor sina vinden we:

f

R

I

sina =

Substitutie van A 2 . 5 in A 2 . 6 en A 2 . 4 levert:

sina = ,* V (

JE2+a2

-

R0 ) , E A T = R0 (A2 5) (A2 6 ) ( A 2 . 7 ) ( 8 2 . 8 )

De relaties A 2 . 7 en A 2 . 8 substitieren we in A 2 . 3 en het resultaat combineren

w e met A2.2 zodat we vinden:

( A 2 . 9 )

Deze laatste vergelijking is numeriek op te lossen zodat bij gegeven E, A ,

!Lo, F en T de uitwijking f volgt. V