Integraalrekenen

(1)

1

I NTEGRAALREKENING.

Onder een primitieve funktie F(x) van een funktie f(x) verstaan we de funktie F(x) waarvoor geldt:

F ' (x) = f (x)

B i j v. f (x) = 2x F (x) = x2 + c (c R) een primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2 de primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2 + c Rekenregels: A ls f(x) = c f (x) = xn (n~1) f (x) = 4(x) + v(x) f (x) = sin x f (x) =cos x f (x) _ ~ cos2x f (x) = eX f (x) = X (= x- ~) Voorbeelden: F(x) = cx + C F (x) = n+1 xn+l + C F (x) = U (x) + V(x) + C F (x) _ - cos x + C F (x) = s i n x+ C F (x) = tan x + C F(x) = eX + C F (x) = In /x/+C Vb : 1 . f (x)

_{= 3x4}

_{+ x2 - g} ~ _ 1 1

~ ("

3 5x5 + 3x3 - gx + C

~ 1

1 - 6/5

f (x =~=X65=

x

F ~ x ~ _ 1

-

1 / 5

-1/5x

5 x -1 / 5 + c

= x~~5 + c = 55X + c

V

Het bepalen van de primitieve funktie noemt men wel onbepaald integreren.

(2)

Integreren van samengestelde funkties: vb: 2. f x2dx = 3 x3 + C f (2x + 1) 2dx = Noem: p = 2x + 1 dx = 2 dp = 2dx dx = Z dp f (2x + 1) 2 dx d (2x + 1) = 2dx dx = 2d (2x + 1) f (p) 2 2 dp

Z 3 (~b) 3 .

z 3 (2x+1) 3 +C

6

(2x + 1) 3 + C ( 2x + 1) 2 .dx _ (2x + 1) 2 Z d (2x + 1) = Z (2x+1) 2 d(2x + 1) = z p2. dp = 2 3 p3 + C _ ~ (2x+1) 3 +C Vb: 3. f sin 2x dx Noem: p = 2x dx 2 dp=2dx dx=z dp.

f

s i n 2x dx = j sin p. Z dp = Zfsin p dp = 2 f sin p dp = Z (- cos p) + C _ -Z cos 2x + C

(3)

3)

Vb: 4. f s i n x cos x dx Noem: p = sin x

d

x = cos x dp = cos x dx _{dx =cos x}

f

sinx cosx dx = f p dp = Z p2 + C = 2 s i n2x + C Vb: 5. f x sin (3x2 - 4) dx Noem:

_{~ _ 3x2 - 4}

dp = 6x dp = 6x dx dx = _x p d 1 f x sin _{~= f 6 sin p dp =} 6 sin p dp

6

(-cos p) + C = 6 (-cos 3x2 - 4) + C _ -~ cos (3x2 -4) +C Vb: 6• _{~ sin2 5x dx} _{p = 5x}

d = 5

dx = 5 dp.

f

sing 5x dx 2 1

= f sin p 5 dP _{( cos 2 p = 1 - 2 sing p~} = 5 f sing p dp ~ ₂ _{1 - cos -p} ~ sin p = 2 = 5 ~ ( 2 - 2 cos _Z p) dp 5 J 2 dp 5 J 2 cos2p dp 1 1 1 2 Zsin2p + C 5 2 p _ ~ 10 p 20 sin 2p + C = 2x-20 sin 10x+C

(4)

vb: 7.

i

f

x cos(x2 + 1) dx x cos (x2 + 1) dx dg f x cos g _Zx Stel : g = (x2 + 1)

d

g = 2x dx = Zg

f cos g Zg = ~ 2 cos g d _{g 2 f cos g}~ _dg 1 2 sin g+C 1 2 sin (x2 + 1) + C

4~~

dx Stel : g = x2 + 1 x + 1 d g =2x_dx dg = 2x dx dx = gZ 4x _{d9 _} _{f 2 ~g = 2 f g d9} f 9 2x = 2 In / g / + C = 2 to /x2 + 1 /+C

Een primitieve funktie wordt een logaritme van: c. K' (x) K x Vb: 9• _{( x eX2+4. dx} J d = 1 x. e9 _2g ( 1 2 eg dg 1 2 f eg dg = 2 eg +C

2

eX2+4 + C . Stel : g = x2 + 4 dg = 2x dg = 2x dx dx = 2g

(5)

5)

vb: ~o.

cos x dx Stel : g = sin x

s in3x dg

dx—cos x s in-3x cos x dx dg = cos x dx

d d

_ (

g-3 cos x _{cos x} _dx _{cos x .} fg-3 dg __ fi g-2 + ~_ - 1 _{+ C} J

2 2 sin x

(6)

BEPAALDE INTEGRALEN EN OPPERVLAKTEBEREKENING. Onder een bepaalde integraal , aangeduid met

b

f

f(x) dx, verstaan we F(b) - F(a) a

f (x) hee.t de integrand. a = ondergrens. b = bovengrens. 1 Voorbeeld 1: f x.dx ~ x2 + C ~ _ (~ 2 1

o ~ 2 0

2 ~ + - ~Z.o2 + c)

= 2+c-o+c

1 = 2 . Re els: ~ ~ b b f c. f (x) dx = c f f (x) dx a a b Bew i j s: c f (x) dx = c F (x) _a = c F (b) - c F (a) = c ( F(b) - F(a) ) = c. f (x) dx. 2 ~ b c b f f (x) dx = f f (x) dx + f' f (x) dx met a C c < b a a c

6

f f(x) dx = F(b) - F(c) + a f f(x) dx + f f(x) dx = F(b) - F(a) _{(b f(x)} _{dx .} a c a

(7)

7)

~.~...~~

~ ' ,j x. dx + f x. dx = ~ ~ x2~ 2 + ~ ~ x27 3 1 2 1 J 2 _ (2 22 - 2 12 ) + (2 32 - 2 22) = 4.

f

X.dx (2 X21 3 2 1 ~ 1

4

2 • .f /x-3 / dx 2 / x-3 / x-3 als x ~ 3 - x+3 als x ~ 3 32 -2 .1. 2 =4.

4

3

4 f /x-3/dx= .1/x-3/dx+ j /x-3/dx

2 2 3

3

4 = l

-(x-3) dx + .l (x-3) dx

2

3

4 ,l

(-x+3)

dx + j (x-3) dx

2

3

4 C 1 x2 + 3x~

2 2 2

+ L 1 X2 3x~

3

= C - 29 +g) - (2.4+6)

+

(2

16- 12) ₍

₂

9 - 9 )

= Z- 4- 4+ 2= 1

(8)

OPPERVLAKTE BEREKENING.

x ~ --~ Ox 1 x2 --~ Ox 2

Bij elke x E ~a,b' behoort precies een Ox: dit is dus een funktie 0(x) p (x) = Ox ) p (x+h) = Ox+h ~ opp. P.QRS = Ox + h - Ox opp. PQRS ~ h. f (x) f (x) ~ p (x+h) - p (x) h. 1 im Pax+h) - P(x) f (x) =h ~ ~ h. f (x) = p' (x) p (x) = F(x) + C p (a) = F(a) + C p (a) = 0. p (x) = F(x) - F(a) F(a) + C = 0 C =- F(a)

opp. ABCD = pb(b) = F(b) - F(a) opp. ABCD = ( f(x) dx.

.1 a

(9)

JJ

S tel l ing:

De oppervlakte van een positieve funktie tussen de grenzen a ,b is gel ijk aan b_{f f(x) dx .}

a

Indien de oppervlakte onder de x-as l igt geldt dat deze opper-vlakte gel ijk is aan _{f f (x)}b _dx

a

Voorbeeld 1: Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door de 1 i jnen f (x) = x, (x = 0) , x = 4 en de x-as.

4 4

0 = ,~ f (x) dx = f x. dx = 0 0 Voorbeeld 2: 1 2 x2 4 = 2 42 - 2 02 = 8 ~ 0

Bereken de opp. ingesloten door f(x) = x2 - 4, x = 0, x = 1 en de x-as. 1 1

0 = - j f (x)

dx = - J (x2 - 4) . dx = - ~ 3x3 - 4x~

0

1

0

(10)

Voorbeeld 3: Bereken de opp. van de vlakdelen ingesloten door de grafieken van f(x) = cos x X = 0, X = i► en de x-as. .I[. Tt" "f"f 2 2 2 q~ = J f(x) dx = J cos x dx = sin x1 0 0 0

zC

= sin 2 - sin o = 1 - o = 1 T~ ~i'~ 0~ _ - ✓ f (x) dx = - J cos x dx = - ~ s i n x~ ~ .~ ~ 2 2 2 _ - ( sin"1'I~' - sin' ) _ - (o - 1) _ - ( - 1) = 1 tot -~ +1 =2.

(11)

Voorbeeld 4: Als voorbeeld 3, maar f(x) = sing x. ~~ 0 = f f(x). dx = ~ sin2x dx. f 1-c~s2x dx 0 0 0 cos2x = 1 - 2 s i n2x , = 2 cos2x - 1 2 sin2x = 1 - cos2x , s in2x = 1 - cos2x 2 Tf = f c2 - 2 ~os2 x) dX 0 1 1 1 T _ ~ 2 x- 2 2 s i n ~y~ 0 - ,(2 TI - 4 sirs~TT) - .(2.0 - 2. 2. sin2.0) _L_L. 2

Voorbeeld 5: De opp. van het vlakdeel ingesloten door f (x) , y = 1 , y = 3 en de y -as;, a ~ s, f (x~ ~ 7 x~-4 2 2 0 = f(x) dx = _{x+4.dx -} ~n / x+4 / -1 -1 = In 6 - In 3 = 1n36 = In 2

(12)

Voorbeeld 6: Bereken de opp. van het vlakdeel f (x) = x2 en g (x) = 2x + 3 . f (x) = g (x) x2 =2x+3 x2 - 2x - 3 = 0

3

0 = f g (x) dx - f f (x) dx -1 -1

3

-1 (2x + 3 - x2) dx

3 _ ~x2 + 3x - 3x3

, _ (g+9-g) - (1-3+

3) = g + 1 3 10 2/3

-1

Berekening van de snijpunten:

2 + 4 + 12

x ~~ 2 = ~

2+4

(13)

13)

Voorbeeld 7: Opp. vlakdeel ingesloten door

f (x) = x2 - 2x - 4 en g (x) = x2 + x + Snijpunten: f(x) = g(x) x2 -2x-4=-x2 +x+1 2x2 - 3x - 5 = o x =-1 v x=5 2 Snijpunt x-as: f(x) = 0: x2 - 2x - 4 = 0 X 2 + ~Z 0 '/— x1 ,2 2 x~ = 1 + 5x2 = 1 - V 5. X1 ,2 -2 x1 2 } 2 ~ 5 X2 2 2 ~ 5 '

We verschuiven de x-as tot het to berekenen vlakdeel boven de x-as komt to l iggen.

De x-as over 5 eenheden Haar beneden schuiven is hetzelfde als de grafieken over 5 eenheden Haar boven schuiven. T.o.v. het nieuwe a ssenstelsel worden de vergel ijkingen resp.

(14)

f (x) = x2 - 2x - 4 + (5) = x2 - 2x + 1 . g (x) =-x2 +x+ 1 + (5) _ -x2 +x+6.

5

0 = ! g(x) dx - 12 f(x).dx -1 -1

5

2 = f g (x) - f (x) dx - 1

5

2 - 1

5

2 3x3 + 2x2 + 5x~ 1

_ ( -224 +~8+~2 ) - (3+2 - 5)

254

225

300

68

= C - 24 + ~2 + + 24 ~ - ~ - 24 )

343

24

(15)

15)

Voorbeeld 8: f(x) = cos2x + 2 sin x met 0° ~~ x ~

360°

. a) Snijpunten met de x-as

b) Bepaa 1 f' (x)

c) Bereken de lokale extremen

d) Bereken de buigpunten (x coordinaten)

e) Bereken de opp. van het vlakdeel dat boven de x-as l igt.

a ) Sni jpunten met de x-as: f x _{= ~} cos 2x + Z s i n x= 0 1 - sin2x + 2 sin x = 0 s in2x - 2 sin x - 1 = 0 s in 2 = 2 ± Vts 2 s in x = 1 + ~2 v sin x= 1 - V 2 s in x = 2,4 v geen opl . b) f' (x): Stel : f' (x) = 0 sin x = - 0,4 x = 2050

x = 335°

- 2 cos x s i n x+ 2 cos x~ o Z cos x (- sin x + 1) = 0 2 cos x= 0 v s i n .x = 1 cos x = 0 x = 90°. x =9po v x = 270° f ~ + o _ o + 360° 0 9~0 2700 max. min. F st. , dal . , st.

90°

27~°

(16)

c) Maximum voor x = g0°: f(9~~) = 02 + 2.1 = 2. Minimum voor x = 270°: f(270°) = 02 - 2.1 = -2. Randextremen voor x = 0° f(0) = 1 . Randextremen voor

x = 360°

f(0) = 1 . d) Buigpunten. f ' (x) _- 2 s i n x cos x+ 2 cos x

f " (x) = 2 sin x sin x - 2.cos x cos x - 2 sin x = 2 sin2x - 2 sin x- 2 cos t x

s in2x - sin x - cos2x = 0 s in2x - sin x + sin2x - 1 = 0 2 sin2x - sin x - 1 = 0 2 sin2x-2 sinx+sin x- 1 =0 s in x~ _ - Z sin x2 = 1 . x ~ = 210° x2 = 9~~ v x~ = 33po B.P. B.P._ _ o

+

—

~

360 o

g0°

210°

3300

BUIC n n

(17)

i~

~~

~

17)

205°

360

e) O_tot. _~ _{f(x).dx +}

~~

335

205 f (x) dx of 0 _tot. = ~ f (x) . dx -X50 2 05 2 (cos x+ 2 s i n x) dx

-25

205

_ ~cos~x + 1 + 2 sin x)₂ -

25

dx

205

_ ~ ~cos,~x + ~ + 2 sin x) dx 2 2

-25

3,6

1 1 ~ 2 sin2x + 2 x - 2

_~

cos x _-0,44

4 sin 410° + 2 (3,6) - 2 cos 205° - 4 sin( -5~)~ + Z - 2.cos(-25) 0

-

~4. 0,766 + 1,8

-

2. (-0,91),

-

C ~+ (0,766)

-

0,22

-

2.0,91

= 0,191 + 1,8 + 1,81 - C- 0,191 - 0,22 - 1 ,82 _

(18)

1 Voorbeeld 9~ Gegeven: f(x) = x+4.

Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door f (x) y= 3 y= 1 en de y -as . 1e manier: f(x) = 3 3 = ~ f(x) = 1 _{1 = X+4}

3x+12=

1

x+4= 1

3x = -11

x = -3

x = - 11

3 1 7

33 tot - 3

3=3= 11

02 = 3.7 = 3•

-3

1 ~1 x+4 dx = - 1 1

3 -3

1 n / x+4~~

_

l"(-3

= In / -3+4 / - In /~+ 4 /

= In 1 - In 3 = 0 - In 3 = 0 - (ln 1 - In 3) = 0 - (0 - In 3) = In 3• tot 0 3 - 02 = 11 - 3 - 1 n 3

= 8- 1n 3•

(19)

x

f ~"~ - X+~-t .

,.,.~ y

y = 1

~. --~ x= y+4. ~ y=X -4

3

0 = - (( -~ - 4).dx = - ~ 1n / x / - 4x~ ~ J 1 _ -~(ln 3 - 12) - (ln 1 - 4)} _ - €ln 3 - 12 + 4~ _ ~ ~ n3- 8~ = 8- ln3

(20)

t

Voorbeel d _1 D: Gegeven: f (t) = e1 tb ( _ = 10 sec)

Gevraagd: 1) Voor Welke t geldt f(t) = 0,8 fmax.

a ) Bereken fmax. e = e f ' ~t) = e- ~'~ t - ~_{. 10} 1 0 e~ 10 Df= ~t/t>, 0~ t

e ~ 10 ~ 0 voor elke t ~ f' (t) < 0 voor elke t

f ' (t) < 0 -~ f(t) datend voor elke t

f (t)

f (t) = 0,8 f max e1 -0,1t _ 0,8 e

dalend

Randmax. treedt op voor t = 0 f (0) = fmax = e~ -~ = e

In e1 -0,1t _ ~n 0,8 e - 0,1t = In 0,8 (1-0,1t) 1 = In 0,8 + In e t = -10 In 0,8

(21)

21)

2 Voorbeeld 11: f(x) = x.e-x +1

a) Snijpunten met de x-as: 2 2 x = 0 v e-x +1 _ ~ Ov = x = 0 ~ S = (0,0) 2 2 b) f' (x) - e-x +1 + x. (-2x) e-x + 1 2 = e-x +1 ~ - 2x2 + 1~

E) Extremen waarden: Stel : f' (x) = 0 2 e-x +1 _{_2x2 + 1) = 0} 2 e-x +1 _ ₀ _v _{-2x2 + 1 = 0} - 2x2 = -1 2 _ , x - Z x =+ 2 v x= - 2 b a f - + -- z ~2 +Z

f . dal . m ; n st. max dal .

-Z 2 +Z 2

Minimum voor x = -21r2: f(-Z~2) _ -2 ~2.e 2 = -2 ~2 ~e = -Z 2e ,~ - 1,16 Maximum voor x = z ~2: f(Z~)= Z V ~.e2 = 2 Y ~ e 1 ,16.

(22)

d) Bereken de opp. van het gearceerde vlak:

Z1~2 ZV2 ₂

0 = ~ f (x) dx = f x. e-x +1

0 0 2

Primitieve funktie ~ x e-X +1. dx

- ~ dg x. eg-2x Zeg dg _ ~ --Z .eg + C _ -2 e-x2+1 + C ,~ ~/- 2 ~ Z

J

0

_ - 2 ~ + Z e = 2 (e- 1~e) . dx S tel : g = -x2+1 gd = -2x dx= d9 -2x x --~ c~ x + c~ exL— I = U )

(23)

23)

Voorbeeld 12: x F (x) = f t ~~ dt a) T.b F(x) = In / x - 1 / ° b) Ber. F(1), F(0) en F(1) -F(0) x a) F(x) _ ~ t~~ dt 0 _x = I ln / t-1 /] 0 = In/x-1 /- In/0-1 / = In / x-1 / b) F(1) = In / 1-1 / = In 0 bestaat niet. F (0) = In / 0-1 / = In + 1: = 0

F (1) - F(0) bestaat niet want F(1) bestaat niet.

2 Voorbeeld 13: f(x) = In xx1

Gevraagd: a) Domein

Oplossing:

_b)-Snijpun~en_met de x-a_s

c ) Extremen en~'de waa'rden van x waarvoor ze optreden d) Grafiek e) Buigpunten. a) X2 x _~ > 0 teller noemer breuk Opl .: x , 1 + + o + - + 0 - - - Q + + 1 o ~ 2 2

b) Snijpunt x-as: Stel : f(x) = 0: In X_~ = 0 X_~ = 7 x2 = x - 1 x2 -x+l =0 D ~ 0 ~ geen snijpunten.

(24)

c ) f' (x) - x-1 _x2 2x (x-1) -x2 . (x-1) Z x-1 = 2 . x 2x2 - 2x - x2 ( x-1) 2 2x - 2x - x2 x2 (x-1) ( x-1) .x (x-2) x2 (x-1) 2 x-2 x x-1 x = 2. f ' Q + + + ~ X=2 f / ~ del min st. %1 x=2 M inimum voor x = 2 X= ~. d) f(2) = In 24 ~ = In 4

(25)

25)

e) Buigpunten: f' (x) = x-2 x-2 x x-1 x2-2 f " (x) = 1 . (x2-x) - (x-2) (2x - 1) ~ X2 - x) 2 -x2 + 4x - 2 x (x-1) 2 S tel : f"(x) = 0 - x2 + 4x - 2 = 0 -

4 ± ~16r

-~8 x12 — -2 x ~ ~ 2 = -4 ± 2 ~2 -2 x = 2 + ~ v x = ~ 2 -~Z vervalt (L 1) + Q -1 2+ V 'L Buigpunt voor x = 2 + V Z.