Optimaal verzekeringscontract voor verzekeraars met beperkte aansprakelijkheid

(1)

verzekeraars met beperkte

aansprakelijkheid

Dani¨elle Ruiter

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics

Auteur: Dani¨elle Ruiter Student nr: 10003082

Email: danielleruiter@hotmail.com Datum: 29 juni 2016

(2)

(3)

Abstract

Verzekeraars met beperkte aansprakelijkheid en polishouders hebben te maken met belangenverschillen. De aandeelhouders willen zo veel mogelijk winst behalen door risicovol te beleggen en de polishouder wil dit niet om de kans op faillissement laag te houden. Dit onderzoek ana-lyseert dit probleem. Er wordt onderzocht wat het optimale premie- en beleggingsbeleid is voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijk-heid zodanig dat de winst van de verzekeraar wordt gemaximaliseerd. Uit het onderzoek blijkt dat risicovol beleggen de kans op faillissement laat stijgen. Daarnaast is het van belang hoe risico-avers de polishou-der is. Een hoge mate van risico-aversie zorgt ervoor dat de verzekeraar minder risicovol kan beleggen en de polishouder minder premie wil be-talen. Wanneer de verzekeraar een verdelingsregeling hanteert zal de verzekeraar zijn volledige kapitaal risicovol kunnen beleggen terwijl het optimale premiebeleid niet veranderd. Dit geldt ook wanneer aan een solvabiliteitseis moet worden voldaan.

Wanneer de verzekeraar geen verdelingsregeling hanteert en zich wel moet houden aan een solvabiliteitseis daalt het percentage wat risico-vol belegd mag worden. Verder heeft het beginvermogen van de ver-zekeraar geen invloed op het optimale verzekeringscontract. De risico-aversie parameter en het interval van het rendement R hebben wel invloed op het optimale verzekeringscontract. Een lage risico-aversie parameter, dus een hoge risico-aversie, geeft een relatief laag optimaal premie- en beleggingsbeleid. Een hoog risico-aversie parameter geeft een relatief hoog optimaal premie- en beleggingsbeleid. Verder heeft het interval van het uniform verdeeld rendement invloed op het opti-male verzekeringscontract. Hoe hoger het verwacht rendement is, hoe hoger het optimale beleggingsbeleid. Hoe groter het interval, hoe lager het optimale beleggingsbeleid. Het interval heeft geen invloed op het optimale premiebeleid.

Trefwoorden Verzekering, Optimaal verzekeringscontract, Beperkte aansprakelijkheid, Ver-wachte nut, Counterparty risk, Verdelingsregeling, Solvabiliteitseis

(4)

1 Inleiding 1

2 Aannames voor het optimale verzekeringscontract 3

2.1 De verzekeraar . . . 3 2.2 De verzekeringnemer . . . 3 2.3 Verdelingsregelingen . . . 4 2.4 Solvabiliteitseis . . . 4 3 Het model 6 3.1 Het standaardmodel . . . 6

3.2 Uitbreidingen op het standaardmodel. . . 6

3.2.1 Meerdere polishouders . . . 7 3.2.2 Beleggingsbeleid . . . 7 3.2.3 Verdelingsregeling . . . 7 3.2.4 Solvabiliteitseis . . . 8 4 Resultaten en analyse 9 4.1 Het standaardmodel . . . 9 4.2 Uitgebreide modellen . . . 10 4.2.1 Meerdere polishouders . . . 10 4.2.2 Beleggingsbeleid . . . 11 4.2.3 Verdelingsregeling . . . 12 4.2.4 Solvabiliteitseis . . . 12

4.3 Model met solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling . . . 13

4.4 Sensitiviteitsanalyse . . . 15

4.4.1 Beginvermogen van de verzekeraar . . . 15

4.4.2 Risico-aversie parameter . . . 15

4.4.3 Interval van het rendement . . . 17

5 Conclusie 19

Appendix A: Scripts 20

(5)

Voor de bachelor Actuari¨ele Wetenschappen heb ik dit onderzoek met interesse en plezier gedaan. Ik heb hierbij mijn onderzoeks- en schrijf-vaardigheid verder ontwikkeld. Hiervoor wil ik iedereen bedanken die mij geholpen heeft tijdens dit proces, in het bijzonder mijn begeleider dr. T.J Boonen voor zijn idee¨en en feedback en drs. N. Bruin voor de seminars en feedback.

(6)

(7)

1 Inleiding

De afgelopen jaren is er sprake van een stijgende trend in het aantal claims die worden ingediend bij een verzekeraar. Een verklaring hiervoor is dat men door de crisis het geld harder nodig heeft, waar er vroeger sneller gedacht werd ’laat maar zitten’ of ’het is toch mijn eigen schuld’ (”Nederlanders claimen vaker kleine schades”, 2013). Wat ook steeds vaker voorkomt zijn massaclaims, dit is een claim van een grote groep omdat zij schade hebben gelopen door toedoen van ´e´en of een beperkt aantal veroorzakers. Een recent voorbeeld van een massaclaim is tegen Volkswagen omdat zij niet tijdig hun beleggers informeerde over het gebruik van sjoemelsoftware waardoor de auto’s zuini-ger uit de testen kwamen dan dat ze werkelijk waren. Nadat de fraude bekend werd gemaakt verloor Volkswagen een aanzienlijk deel van haar beurswaarde. Hierdoor leden de beleggers veel schade (”Dieselclaim’ gedupeerde beleggers VW”, 2015). Een ander voorbeeld is de recente massaclaim tegen de NS door het tekort aan zitplaatsen (Baars, 2015). Een andere verklaring voor de stijgende trend is de toenemende kans op schade veroorzaakt door natuurgeweld. Een voorbeeld hiervan is de stijging van de intensiteit van stormen en de gevels van gebouwen die steeds kwetsbaarder worden waardoor deze zwaar te lijden hebben onder hagel (”Stijgende kans op stormschade in Europa”, 2016). De toename van het aantal claims heeft als gevolg dat een verzekeraar een steeds groter faillissementsrisico loopt. Dit houdt in dat het vermogen van de verzekeraar min-der is dan het totaal aantal claims dat zij moet vergoeden. Dit risico wordt nog groter wanneer de verzekeraar beperkt aansprakelijk is. Beperkte aansprakelijkheid houdt in dat het kapitaal van de aandeelhouders niet negatief kan worden, zij draaien dus niet op voor eventuele verliezen van de verzekeraar. Hierdoor worden aandeelhouders gestimu-leerd om een gedeelte van het kapitaal risicovol te beleggen. Dit heeft als consequentie dat de kans groter wordt dat de verzekeraar niet genoeg kapitaal heeft om zijn verplich-tingen te betalen. De premie die de verzekeraar vervolgens kan vragen hangt af van deze kans op faillissement.

De polishouder heeft ook te maken met een risico; counterparty risk. Counterparty risk is het risico dat de tegenpartij haar contractuele verplichtingen niet kan nakomen. Voor een polishouder is dit de kans dat én de schadeclaim niet wordt vergoed én alle tot dan betaalde premies verloren gaan. Deze kans stijgt wanneer de kans op faillissement stijgt. Hoe groter de kans op faillissement hoe minder premie de polishouder bereid is te betalen. Daarbij kan het ook zijn dat de polishouder er zelfs geen belang meer bij heeft om de verzekering te kopen. Er is hier dus sprake van een belangenconflict tussen de aandeel- en polishouders (Filipović et al., 2014): aandeelhouders met beperkte aanspra-kelijkheid willen zo veel mogelijk winst maken door risicovol te beleggen en polishouders willen zo min mogelijk counterparty risk lopen.

Nadat de verzekering verkocht is, wordt bepaald hoe risicovol belegd wordt. Daarom is het van belang de polishouders in bescherming te nemen. Dit is mogelijk door middel van regelgeving. Zo ontstond er in 1970 Solvency I waarin eisen werden gesteld aan het kapitaal van een verzekeraar. Maar in de loop der jaren is de verzekerings-branche veran-derd door een toename van diversiteit aan risico’s, complexe producten, en activiteiten in het buitenland, waardoor Solvency I geen goed inzicht meer gaf in de risico’s van een verzekeraar (Schmitz, R., 2013). Sinds 1 januari 2016 is het voor verzekeraars verplicht zich te houden aan een nieuw toezichtraamwerk genaamd Solvency II. In dit raam-werk worden eisen gesteld aan het kapitaal en kwaliteit van bedrijfsvoering en wordt transparantie naar publiek en toezichthouder ge¨eist (DNB, 2016). Door deze regelgeving worden beperkingen opgelegd aan het percentage van het kapitaal dat risicovol belegd mag worden waardoor de kans op faillissement beperkt blijft.

In deze scriptie wordt het optimale premie- en beleggingsbeleid voor een verzeke-raar met beperkte aansprakelijkheid geanalyseerd. De modellen van Biffis en Millos-sovich (2012) en Fillipovi´c et al. (2014) vormen de basis in dit onderzoek. Biffis en Millossovich (2012) hebben onderzoek gedaan naar het effect van counterparty risk op

(8)

het optimale verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Fillipovi´c et al.(2014) hebben onderzoek gedaan naar een optimaal premie- en beleg-gingsbeleid. Dit laatste houdt in dat gekeken wordt welk premie- en beleggingsbeleid zorgt voor een maximale winst voor de verzekeraar onder de voorwaarde dat voldaan is aan de belangen van de verzekeringsnemer. De verzekeringsnemer moet baat hebben bij de verzekering. Ook wordt de invoering van een verdelingsregeling, zoals in het on-derzoek van Ibragimov et al. (2010), geanalyseerd. Een verdelingsregeling verdeelt het beschikbare vermogen van de verzekeraar over de polishouders wanneer deze failliet is. Tot slot wordt een solvabiliteitseis toegevoegd aan het model en wordt onderzocht in hoeverre de solvabiliteitseis effect heeft op het optimale verzekeringscontract.

In deze scriptie wordt in hoofdstuk twee de theorie beschreven die relevant is voor het opstellen van een model voor een optimaal verzekeringscontract. In hoofdstuk drie wordt het standaardmodel en uitbreidingen op het standaardmodel behandeld. In hoofd-stuk vier worden de resultaten weergegeven en geanalyseerd. Tot slot wordt in hoofdhoofd-stuk vijf de conclusie geformuleerd.

(9)

2 Aannames voor het optimale verzekeringscontract

In dit hoofdstuk worden verschillende modellen voor het optimale verzekeringscontract uit eerdere studies beschreven zodat een model opgesteld kan worden voor het onder-zoek.

Allereerst worden de modellen van Biffis en Millossovich (2012) en Fillipovi´c et al. (2014) beschreven. Biffis en Millossovich (2012) analyseren de invloed van tegenpar-tijrisico op het optimale verzekeringscontract van een verzekeraar met beperkte aan-sprakelijkheid en Fillipovi´c et al. (2014) het optimale premie- en beleggingsbeleid voor eenzelfde verzekeraar. Beide onderzoeken veronderstellen een one period economy met twee agenten; de verzekeraar en de verzekeringnemer, waarbij de verzekeringnemer risico loopt op een willekeurig verlies X. Voor dit willekeurige verlies X kan een verzekering gekocht worden. Deze aannames zijn ook in dit onderzoek gebruikt.

Vervolgens wordt het model van Ibragimov et al. (2010) en Philips et al. (1998) be-sproken. In beide onderzoeken wordt onderzocht hoe het vermogen van een verzekeraar het best gealloceerd kan worden indien deze failliet is.

Tot slot wordt de theorie van de solvabiliteitseis besproken door middel van het on-derzoek van Biffis en Millossovich (2012).

In dit hoofdstuk wordt in de eerste paragraaf de theorie beschreven die toepasbaar is voor de verzekeraar. In de tweede paragraaf wordt dit gedaan voor de polishouder. Vervolgens wordt in de derde paragraaf de verdelingsregeling beschreven en in de laatste paragraaf de solvabiliteitseis.

2.1 De verzekeraar

In het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) wordt een one period economy be-schreven met twee agenten; de verzekeraar en de verzekerde. De verzekeraar heeft op t=0 een beginvermogen W > 0 en ontvangt een premie P > 0 van de polishouder. In die periode maakt de polishouder een verlies X die de verzekeraar moet vergoeden. Verder wordt aangenomen dat de verzekeraar beperkt aansprakelijk is. Dit houdt in dat het vermogen van de verzekeraar aan het einde van de periode niet negatief kan worden. Hierdoor is het vermogen van de verzekeraar aan het eind van de periode

max{W + P − X, 0} := (W + P − X)+.

Het onderzoek van Fillipovi´c et al. (2014) breidt dit model uit door rekening te houden met de belangenverschillen tussen aandeelhouders en polishouder. Door de be-perkte aansprakelijkheid hebben aandeelhouders een stimulans om een gedeelte van het kapitaal risicovol te investeren. In dit geval kan de aandeelhouder aan het begin van de periode een fractie α van het kapitaal risicovol beleggen waarbij geldt 0 ≤ α ≤ 1. Het gedeelte van het kapitaal dat niet risicovol wordt belegd, wordt risicovrije rente over ontvangen. Aan het eind van de periode heeft de verzekeraar dan een eindvermogen (W + P )˙(1 + rf + αR) − X, waarbij rf ≥ 0 en R een discrete stochast is voor het

ren-dement met een uniforme verdeling en een positeve verwachtingswaarde. In het vervolg wordt aangenomen dat rf = 0.

2.2 De verzekeringnemer

De verzekeringnemer heeft beginvermogen w ≥ 0 en riskeert een verlies X > 0. Om het optimale verzekeringscontract te vinden moet er voldaan zijn aan de belangen van de polishouder. Dit wordt gedaan door middel van een utility function. In het onderzoek van Fillipovi´c et al. (2014) en Biffis en Millossovich (2012) wordt de utility als volgt gedefinieerd: u: R → R, waarbij u twee keer continu differentieerbaar is met u0 > 0 en u00 < 0, wat inhoudt dat de polishouder risico-avers is.

(10)

Vervolgens moet voldaan zijn aan de voorwaarde dat de utility voor het kopen van de verzekering groter is dan voor het niet kopen van de verzekering. Er moet dus gelden:

E[u(w − P − X + X1D)] ≥ E[u(w − X)].

Hierbij is 1D=0 een indicator functie waarvoor geldt:

1D=0=

(

1 als W + P − X ≥ 0, 0 als W + P − X < 0.

De D staat voor default en is gelijk aan nul wanneer de verzekeraar niet failliet is. De verzekeringnemer zal de verzekering kopen wanneer de utility voor het kopen van de verzekering groter is dan het niet kopen van de verzekering. In dat geval zal de verzekeringnemer aan het einde van de periode een vermogen hebben van: w − P − X + X1D. Wanneer de utility groter is wanneer de verzekering niet gekocht wordt is het

eindvermogen van de verzekeringnemer w − X. 2.3 Verdelingsregelingen

Wanneer de verzekeraar beperkt aansprakelijk is en failliet gaat is het aanwezige kapitaal niet genoeg om de claim te vergoeden en zijn de aandeelhouders niet verplicht het negatieve kapitaal te bekostigen, maar blijft er nog wel kapitaal over dat verdeeld kan worden over de polishouders die een claim hebben ingediend. Een manier waarop dit kapitaal verdeeld kan worden is beschreven in het onderzoek van Ibragimov et al. (2010). Ibragimov et al. (2010) maken gebruik van een ex post pro rate verdelingsregel, wat betekent dat het beschikbare vermogen van de verzekeraar wordt toegewezen aan de polishouders gebaseerd op de verhouding tussen de claim van de polishouder en de som van alle claims.

Een andere regel is de ex ante regel die aan bod komt in het onderzoek van Philips et al. (1998). Bij deze regel wordt het beschikbare vermogen bij faillissement verdeeld op basis van de verhouding tussen de verwachte claim van de polishouder en de som van het totaal aantal verwachte claims. Dit brengt nadelen met zich mee. Het zou dan kunnen voorkomen dat een polishouder met een verwachte lage claim een betaling moet doen aan een polishouder met een verwachte hoge claim. In het onderzoek wordt aangetoond dat de ex post pro rate regel realistischer is dan de ex ante regel.

2.4 Solvabiliteitseis

In het onderzoek van Fillipovi´c et al (2014) wordt een solvabiliteitseis toegevoegd aan het model. Deze eis beperkt het premie- en beleggingsbeleid van de verzekeraar waardoor het risico op faillissement beperkt blijft en de polishouder in bescherming wordt genomen. Filipovi´c et al. (2014) concluderen dat het optimale premie- en beleggingsbeleid wordt verbeterd na invoering van solvabiliteitseisen.

De solvabiliteitseis houdt in dat de regelgever het risico van het jaarlijkse verlies als volgt beoordeeld: L(α, p) = W − ((W + nP )(1 + αR) − n X i=1 Xi), = −(W + nP )αR + n X i=1 Xi− nP.

Hier wordt een risiciomaatregel ρ op toegepast. Vervolgens moet het aanwezige kapitaal W groter zijn dan het vereiste kapitaal ρ(L(α,P)) ≤ W. Een kapitaalvereiste kan dus worden ge¨ınterpreteerd als een verplichting voor de aandeelhouders opgelegd door de toezichthouder. Er zijn verschillende risk measures waarvan de Value at Risk gebruikt

(11)

wordt bij verzekeraars. De Value at Risk is namelijk door EIOPA, European Insurance and Occupational Pensions Authority, gekozen als de risk measure die gebruikt moet worden voor berekeningen van de SCR, Solvency Capital Requirement.

Een definitie van de Value at Risk wordt gegeven door Acerbi en Tasche (2002): V aRα= V aRα(X) = −xα = q1−α(−X)

waarbij

xα= qα(X) = inf{x ∈ R : P [X ≤ x] ≥ α} is the lower α - quantile of X,

xα= qα(X) = inf{x ∈ R : P [X ≤ x] > α} is the upper α - quantile of X.

De Value at Risk wordt dus gedefinieerd als het verliesniveau dat niet zal worden over-schreden met een zekere mate van zekerheid α in een bepaalde periode. Het geeft aan wat het te verwachte verlies is indien er geen grote verlies optreedt.

Yamai en Yoshiba (2004) hebben onderzoek gedaan naar de voor- en nadelen van de verschillende risicomaatregelen, waaronder deValue at Risk. De Value at Risk methode wordt meestal als beste risicomaatstaf beschouwd vanwege de eenvoud en grote toepas-baarheid. Een nadeel van de Value at Risk is dat het geen rekening houdt met extreem verlies. Een ander probleem is dat het geen coherente risicomaatstaf is omdat het niet aan de eigenschap van subadditivity voldoet. Ook is de Value at Risk niet in staat om de concentratie van risico’s te herkennen. Toch wordt de Value at Risk vaak gebruikt omdat deze makkelijk te implementeren is.

(12)

3 Het model

In dit hoofdstuk wordt de theorie uit het vorige hoofdstuk gebruikt om een model te vormen voor het bepalen van een optimaal verzekeringscontract. Hiervoor wordt het model van Biffis en Millossovich (2012) als standaardmodel gebruikt waarna er uitbreidingen op dit model volgen.

In de eerste paragraaf wordt het standaard model besproken. In paragraaf twee worden de uitbreidingen op het standaard model behandeld om tot het uiteindelijke model te komen. Dit model wordt vervolgens geanalyseerd door middel van simulaties in het programma Matlab.

3.1 Het standaardmodel

In het standaardmodel wordt gekeken naar een one period economy met twee agenten, de polis- en aandeelhouder. Hierbij wordt er vanuit gegaan dat de polishouder risico-avers is en de aandeelhouder risico-neutraal.

Aan het begin van de periode heeft de verzekeraar een vermogen W ≥ 0 en ontvangt een premie P ≥ 0 van de polishouder. De polishouder begint met een vermogen w ≥ 0 en loopt risico X ≥ 0 te verliezen, waarbij X een willekeurige onafhankelijke stochast is met een exponenti¨ele verdeling X ∼ exp(µ) met µ > 0. Het bedrag X kan de polis-houder verzekeren tegen een premiebetaling P . In dat geval zal het volledige bedrag X worden vergoed door de verzekeraar indien deze niet failliet is.

Aan het eind van de periode zal de verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid een vermogen hebben van (W + P − X)+. Het vermogen van de polishouder is aan het einde van de periode w − P − X + X1D=0.

Het verzekeringscontract is optimaal voor de verzekeraar wanneer het zijn winst maximaliseert en aan de voorwaarde, besproken in paragraaf 2.2, van de verzekering-nemer wordt voldaan. Voor deze voorwaarde wordt gebruik gemaakt van een utility function, de CARA, Constant Absolute Risk Aversion welke voldoet aan de eisen voor een risico-averse verzekeringnemer. De CARA is als volgt gedefinieerd:

u(x) = −e−λx,

waarbij λ > 0 en X ∈ R. De waarde van λ geeft de mate van risico-aversie van de verzekeringnemer aan, waarbij een waarde van 1 het meest risico-avers is en een waarde van 10 het minst. De polishouder koopt alleen een verzekering wanneer het verwachte nut van de verzekering aan het einde van de periode groter is dan het verwachte nut wanneer de polishouder niet verzekerd is, wat inhoudt dat er aan de volgende voorwaarde voldaan moet worden:

E[u(w − P − X + X1D=0)] ≥ E[u(w − X)].

Het optimale verzekeringscontract wordt gevonden door de verwachte winst van de ver-zekeraar te maximaliseren naar de premie zodanig dat er aan bovenstaande voorwaarde wordt voldaan: max P E[(W + P − X) +_] s.t E[u(w − P − X + X1D=0)] ≥ E[u(w − X)] P > 0.

3.2 Uitbreidingen op het standaardmodel

Het standaardmodel dat in paragraaf 3.1 is besproken wordt uitgebreid. Allereerst wordt het standaardmodel uitgebreid naar een model met meerdere polishouders. Vervolgens wordt een mogelijkheid om risicovol te beleggen in het model opgenomen. Daarna wordt het model uitgebreid met de ex post pro rate verdelingsregeling van Ibragimov et al. (2010). Tot slot wordt een solvabiliteitseis toegevoegd aan het model.

(13)

3.2.1 Meerdere polishouders

Een verzekeraar zal in werkelijkheid meer dan ´e´en polishouder hebben, daarom wordt het model uitgebreid naar n polishouders. In het geval van meerdere polishouders is er ook sprake van meerdere verliezen Xi. De verliezen Xi zijn independent and identically

distributed willekeurige stochasten waarbij i ∈ {1, 2, ..., n}. Wanneer n groot genoeg is, is de Centrale Limiet Stelling van toepassing zodat

n

P

i=1

Xi ∼ N (nµ, nµ2).

Onder deze uitbreiding heeft de verzekeraar aan het eind van de periode een ver-wacht vermogen van max{W + nP −

n P i=1 Xi, 0} := (W + nP − n P i=1 Xi)+. Het optimale

verzekeringscontract wordt nu gevonden door de verwachte winst van de verzekeraar als volgt te maximaliseren naar de premie P > 0:

max P E[(W + nP − n X i=1 Xi)+] s.t E[u(w − P − Xi+ Xi1D=0)] ≥ E[u(w − Xi)] P > 0. 3.2.2 Beleggingsbeleid

Vervolgens kan het model worden uitgebreid door rekening te houden met de mogelijk-heid om kapitaal te beleggen. De verzekeraar ontvangt risicovrije rente rf ≥ 0 over het

kapitaal dat aan het begin van de periode aanwezig is, maar de verzekeraar kan ook aan het begin van de periode een deel α ∈ [0,1] van zijn vermogen risicovol beleggen. Het rendement R dat de verzekeraar ontvangt over het risicovol ge¨ınvesteerde kapitaal is een willekeurig uniform verdeelde stochast op het interval (-0.40,0.50). De verwachte waarde van R is 0.05 (−0.40+0.50₂ ). Het verwachte rendement is dus positief, zodat de verzekeraar wil beleggen.

Wanneer dit het geval is heeft de verzekeraar aan het eind van de periode een ver-wacht vermogen van

((W + nP )(1 + αR) −

n

X

i=1

Xi)+,

en wordt het optimale verzekeringscontract gevonden door de verwachte winst van de verzekeraars te maximaliseren naar de premie P en beleggingsfractie α:

max P,α E[((W + nP )(1 + αR) − n X i=1 Xi)+]

s.t E[u(w − P − Xi+ I(Xi))] ≥ E[u(w − Xi)]

P > 0 α ∈ [0, 1].

3.2.3 Verdelingsregeling

Wanneer een verzekeraar failliet gaat, kan het kapitaal worden onderverdeeld onder de polishouders. Daarom wordt het model uitgebreid met een verdelingsregeling die wordt gehanteerd wanneer de verzekeraar failliet gaat. Bij deze regeling wordt het vermogen van de verzekeraar verdeeld over de polishouders na aftrek van faillissementskosten waardoor niet alle claims volledig uitbetaald kunnen worden. Bij alle polishouders wordt een constante c ≥ 0 van de vergoeding afgehaald. De vergoeding mag niet negatief zijn,

(14)

dus polishouders die geen of een kleine claim hebben zullen geen geld hoeven te betalen. Bij faillissement van de verzekeraar is de vergoeding, I(Xi), als volgt gedefinieerd:

I(Xi) = ( X_i als (W + nP )(1 + αR) − n P i=1 Xi ≥ 0, (Xi− c)+ als (W + nP )(1 + αR) − n P i=1 Xi < 0.

waarbij c de oplossing is van

n

X

i=1

(Xi− c)+= (W + nP )(1 + αR)(1 − δ),

en δ de fractie van het vermogen dat opgaat aan faillissementskosten. Vervolgens is het model met verdelingsregeling als volgt gedefinieerd:

max P,α E[((W + nP )(1 + rf+ αR) − n X i=1 I(Xi))+]

s.t E[u(w − P − Xi+ I(Xi))] ≥ E[u(w − Xi)].

3.2.4 Solvabiliteitseis

Tot slot wordt het model uitgebreid met een extra voorwaarde waar aan voldaan moet worden: de solvabiliteitseis. Hierbij beoordeelt de regelgever het risico van het jaarlijkse verlies als volgt:

L(α, p) = W − ((W + nP )(1 + rf + αR) − n X i=1 I(Xi)), = −(W + nP )αR + n X i=1 I(Xi) − nP.

Hier wordt een risicomaatregel ρ op toegepast. Vervolgens is de eis dat het aanwezige kapitaal W groter moet zijn dan het vereiste kapitaal ρ(L(α,P):

ρ(L(α, P )) ≤ W.

Dit kapitaalvereiste beperkt het premie- en beleggingsbeleid. Het model met solvabiliteitseis is als volgt gedefinieerd:

max P,α E[((W + nP )(1 + rf + αR) − n X i=1 Xi)+]

s.t E[u(w − P − Xi+ I(Xi)1D=0)] ≥ E[u(w − Xi)]

ρ(L(α, P )) ≤ W.

In deze scriptie wordt de V aR99.5%(L) toegepast, omdat dit de methode is die gebruikt

(15)

4 Resultaten en analyse

In dit hoofdstuk worden de resultaten van het standaardmodel en de in paragraaf 3.2 genoemde uitbreidingen op dit model besproken. In de eerste paragraaf worden de re-sultaten van het standaardmodel besproken. Vervolgens wordt in de tweede paragraaf de resultaten van de uitgebreide modellen besproken. In derde paragraaf wordt het laat-ste model geanalyseerd wanneer de verzekeraar geen verdelingsregeling heeft. Tot slot wordt het effect van de keuze voor beginwaarden op het optimale verzekeringscontract besproken.

4.1 Het standaardmodel

Het standaardmodel wordt gesimuleerd waarbij is uitgegaan van beginwaarden gegeven in Tabel 1. Verder zijn de verliezen X gesimuleerd door 10.000 willekeurige getallen

W = 5 w = 0 λ = 4

Tabel 1: Beginwaarden standaardmodel

uit een exponenti¨ele verdeling te generen waarbij de verwachte waarde op 5 is gesteld. Verder is gekozen voor een λ = 4 voor de nutsfunctie gekozen. De nutsfunctie wordt dan als volgt gedefinieerd:

u(x) = −e−4x.

Het effect van deze keuzes wordt geanalyseerd in paragraaf 4.4.

De resultaten van het standaardmodel zijn weergegeven in Figuur 1 . In Figuur 1a is te zien wat het verwachte vermogen van de verzekeraar is wanneer deze een premie P vraagt. De verzekeraar maakt winst wanneer het verwachte eindvermogen groter is dan zijn beginvermogen W = 5. Dit is het geval wanneer de premie groter is dan 5.5. Vervolgens is de winst van de verzekeraar maximaal wanneer deze een premie vraagt van 9.1. Het maximale eindvermogen bedraagt dan 8.6, wat overeenkomt met een winst van 3.6. Verder zorgt een premie tussen de 5 en 5.5 ervoor dat de verzekeraar verlies maakt. Dit betekent dat de verzekeraar voor deze premies de verzekering niet zal willen verkopen.

De verzekeringnemer zal de verzekering alleen kopen wanneer de premie groter is dan 5. In Figuur 1a komt dit overeen met een verwacht eindvermogen gelijk aan het beginvermogen van de verzekeraar voor premies lager dan 5 en hoger dan 8.9. Wanneer een premie kleiner dan 5 wordt gevraagd zal de verzekeringnemer de verzekering niet aangaan omdat de kans dat de verzekeraar de claim niet kan uitbetalen in dat geval te groot is voor de verzekeringnemer. In het geval van een premie hoger dan 8.9 heeft de verzekeringnemer er geen belang meer bij om de verzekering te kopen. De verzekering-nemer is dan goedkoper uit de schade zelf te betalen. De verzekeraar zal een minimale premie van 5.5 en een maximale premie van 8.9 vragen waarbij een premie van 8.9 zorgt voor een maximaal eindvermogen.

Figuur 1b toont de kans op faillissement bij een premie P . De kans op faillissement daalt lineair van 0.54945 naar 0 bij een respectievelijke premie van 0 tot 5. Bij een premie van 8.9 is deze kans op faillissement 0, de verzekeraar zal niet failliet gaan. Dus hoe hoger de premie, des te kleiner de kans op faillissement.

Het optimale verzekeringscontract is dus in het geval van een model met ´e´en polis-houder een premie van 8.9. Hierbij is het verwacht eindvermogen 9.67 met een kans op faillissement van 0.

(16)

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 1: Resultaat standaardmodel

4.2 Uitgebreide modellen

In deze paragraaf worden de resultaten van de uitbreidingen van het standaardmodel, zoals genoemd in paragraaf 3.2, geanalyseerd. Hierbij wordt telkens het effect van de uitbreiding geanalyseerd ten opzichte van het vorige model.

4.2.1 Meerdere polishouders

In Tabel 2 zijn de beginwaarden gegeven van het model met meerdere polishouders. Op dit model zijn simulaties uitgevoerd met n = 100 polishouders en dezelfde beginwaarden als bij het standaardmodel. De resultaten van dit model zijn weergegeven in Figuur 2.

W = 5 w = 0 λ = 4 n = 100

Tabel 2: Beginwaarden model met meerdere polishouders

Figuur 2a toont het verwachte eindvermogen van de verzekeraar wanneer deze 100 polishouders heeft. Bij een premie hoger dan 5.9 zal ´en de verzekeraar winst maken ´en de verzekeringnemer baat hebben bij de verzekering. Dit geldt tot een premie van 9.1, wat tevens de premie is die het maximale verwachte eindvermogen oplevert. De bijbeho-rende maximale winst is 415.55. Ten opzichte van het standaardmodel ligt dit een stuk hoger. Bij het standaardmodel werd naar verwachting een winst geboekt van 3.6, maar de winst bij het model met meerdere polishouders is naar verwachting hoger dan het aantal polishouders maal de verwachte winst per polishouder (100·3.6). Door de aanwe-zigheid van meerdere polishouders kan een gedeelte van de premie van een polishouder met een kleine of geen claim gebruikt worden om een grotere claims te betalen, waarbij grotere claims minder vaak voorkomen dan kleinere claims, wat zorgt voor een hogere winst.

De aanwezigheid van meerdere polishouders heeft ook effect op de kans op faillisse-ment. Dit is weergegeven in Figuur 2b. De kans op faillissement is 1 bij een premie lager dan 3.5. Omdat de som van alle claims normaal verdeeld is met een gemiddelde van 500 (nµ) en variantie 2500 (nµ2), zal de verzekeraar met grote waarschijnlijkheid failliet gaan wanneer deze een relatief kleine premie vraagt en een beginvermogen van 5 heeft. Daarentegen daalt de kans op faillissement erg snel wanneer een premie van minimaal

(17)

3.5 wordt gevraagd. Bij een premie groter of gelijk aan 6 is deze kans al 0. Ten opzichte van het standaardmodel is de kans op faillissement groter gegeven een premie P , maar is het verwachte eindvermogen wel relatief groter.

Het optimale verzekeringscontract is in het geval van het standaardmodel met meer-dere polishouders een premie van 9.1. Hierbij is het verwacht eindvermogen 415.55 met een kans op faillissement van 0. Ten opzichte van het model met ´e´en polishouder is het optimale verzekeringscontract gestegen met 0.2 en het verwacht eindvermogen met 405.88. De stijging in de premie is klein. De stijging zal komen doordat er gesimu-leerd wordt. Het toevoegen van meerdere polishouders heeft dan alleen invloed op het verwacht eindvermogen van de verzekeraar.

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 2: Resultaat model met meerdere polishouders

4.2.2 Beleggingsbeleid

Vervolgens wordt het model met een beleggingsbeleid geanalyseerd. Dit is gedaan met dezelfde beginwaarde als bij het model met meerdere polishouders zoals gegeven in Ta-bel 2. Verder zijn α en het willekeurige rendement R toegevoegd aan het model. De resultaten van dit model zijn te vinden in Figuur 3.

Figuur 3a toont het verwachte eindvermogen van de verzekeraar. Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar is maximaal bij een premie van 8.8 en een α van 0.90 met bijbehorende winst van 424.65 en een kans op faillissement van 0.01. Bij een α van 0.90 is 8.8 de enige premie die de verzekeringnemer nog bereid is te betalen. Wanneer de verzekeraar een kleinere α aanhoudt wordt het domein van de premie groter. Bij een α gelijk aan 0 is er sprake van het model met meerdere polishouders. Wanneer een verzekeraar risicovol belegt zal de premie die gevraagd kan worden, worden beperkt. Een verklaring hiervoor is dat door de stijging van de fractie dat risicovol belegd wordt, de kans op faillissement stijgt. Een kleinere premie laat deze kans nog meer stijgen. Dit is te zien in Figuur 3b. De kans op faillissement wordt zodanig groot dat de verzekering-nemer de verzekering niet meer koopt, omdat deze dit risico niet wil lopen. Verder heeft de verzekeringnemer geen belang bij de verzekering wanneer de premie hoger is dan 8.8. Een hogere α zorgt voor meer winst, maar ook voor een grotere kans op faillissement en een kleiner domein voor de premie.

Het optimale verzekeringscontract in het geval van het standaardmodel met meer-dere polishouders en een beleggingsbeleid is dus een premie van 8.8 en een α van 0.90. Hierbij is het verwachte eindvermogen 424.65 en de kans op faillissement 0.01. De opti-male premie is gedaald met 0.3 ten opzichte van het model met meerdere polishouders en de winst is gestegen met 9.1 ten opzichte van het model met meerdere polishouders.

(18)

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 3: Resultaat model met beleggingsbeleid

Door het beleggingsbeleid is de kans op faillissement en het verwacht eindvermogen dus gestegen en de optimale premie gedaald.

4.2.3 Verdelingsregeling

Vervolgens wordt het model met een verdelingsregeling geanalyseerd met dezelfde begin-waarden als bij het model met beleggingsbeleid. Hier is een fractie faillissementskosten aan toegevoegd die gelijk is gesteld aan 0.60. Deze beginwaarden zijn te vinden in Tabel 3. De resultaten hiervan zijn te vinden in Figuur 4.

W = 5 w = 0 λ = 4 δ = 0.60

Tabel 3: Beginwaarden mode met verdelingsregelingl

Figuur 4a geeft het eindvermogen van de verzekeraar weer. Het maximale eindver-mogen is in dit geval 425.30 met een premie van 8.8 en een beleggingsbeleid van 1. De kans op faillissement is gegeven in Figuur 4b. Voor het optimale verzekeringscontract is de kans op faillissement 0.05. De verdelingsregeling zorgt ervoor dat de polishouders minder ge¨ınteresseerd zijn in welke α de verzekeraar hanteert. Daarom zal de verzeke-raar zijn volledige kapitaal risicovol te investeren. Dit komt omdat de verzekeringnemer, indien de verzekeraar failliet gaat, weet dat een gedeelte van de claim nog vergoed zal worden. Hierdoor wordt het effect van een faillissement op een polishouder kleiner, maar de kans op faillissement groter.

Het optimale verzekeringscontract voor het model met meerdere polishouders, be-leggingsbeleid en een verdelingsregeling is dus een premie van 8.8 en een α van 1. De verdelingsregeling zorgt voor een stijging van α van 0.10. Het optimale premiebeleid blijft hetzelfde. Verder laat de verdelingsregeling de kans op faillissement stijgen met 0.04 en is het verwachte eindvermogen 425.30.

4.2.4 Solvabiliteitseis

Vervolgens wordt het model met een solvabiliteitseis geanalyseerd. Voor elke α en P is de annual loss bepaald en daarvan de V aR_99.5%. Vervolgens is de voorwaarde waaraan

(19)

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 4: Resultaat model met verdelingsregeling

voldaan moet worden voor de verzekeraar gegeven door: V aR99.5%(L) < W,

om beleggingsbeleid α te mogen toepassen. De resultaten hiervan zijn te vinden in Figuur 5.

Figuur 5a toont dat het optimale premie- en beleggingsbeleid hetzelfde is als in het hiervoor genoemde model, namelijk een premie van 8.8 en een α van 1. Dit geeft een maximaal verwacht eindvermogen van 428.19 en een kans op faillissement van 0.0098. Verder zijn een aantal combinaties van α en P niet meer toegestaan. De solvabiliteitseis zorgt er dus voor dat voor een gegeven premie een aantal waarden van α niet meer zijn toegestaan voor een verzekeraar. Figuur 5b laat zien dat de kans dat voor een gegeven premie P de verzekeraar failliet gaat kleiner is geworden omdat de verzekeraar niet meer elke α kan toepassen. Door de solvabiliteitseis wordt de polishouder dus in bescherming genomen. Wanneer de verzekeraar een premie P vraagt, weet de polishouder dat de verzekeraar niet zijn volledige kapitaal risicovol kan investeren tenzij de premie hoog genoeg is.

Het optimale verzekeringscontract is dus een premie van 8.8 en een beleggingsbeleid α van 1. De solvabiliteitseis heeft geen effect op het optimale verzekeringscontract, maar laat wel de kans op faillissement dalen met 0.0402 ten opzichte van het model met verdelingsregeling.

4.3 Model met solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling

Uit de resultaten van het model met verdelingsregeling blijkt dat deze regeling veel ef-fect heeft op het optimale verzekeringscontract. De verdelingsregeling zorgt ervoor dat het optimale beleggingsbeleid α 1 is en dit ook blijft onder een solvabiliteitseis. Door de regeling vindt een verzekeringnemer het minder belangrijk welke fractie de verzekeraar risicovol belegt gegeven de premie. Daarom wordt het model met solvabiliteitseis indien geen verdelingsregeling wordt gehanteerd geanalyseerd om het effect van de solvabili-teitseis beter te analyseren. De resultaten hiervan zijn te vinden in Figuur 6.

Het model met solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling geeft een ander resultaat dan hetzelfde model met verdelingsregeling. Figuur 6a geeft het verwachte eindvermo-gen van het model weer. Het optimale verzekeringscontract is een premie van 8.9 en een beleggingsbeleid van 0.75. Het maximaal verwacht eindvermogen van de verzekeraar is 431.72 met een, in Tabel 6b gegeven, kans op faillissement van 0.007. De kans op fail-lissement is gedaald ten opzichte van het model met beleggingsbeleid met 0.003.

(20)

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 5: Resultaat model met solvabiliteitseis

(a) Verwacht eindvermogen verzekeraar (b) Kans op faillissement Figuur 6: Resultaat model zonder verdelingsregeling

Verder beperkt het model met solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling het aantal combinaties van P en α meer dan ´e´en met verdelingsregeling. De solvabiliteitseis zorgt ervoor dat een verzekeraar niet risicovol kan beleggen wanneer het een lage premie vraagt. Hoe hoger de premie hoe risicovoller de verzekeraar mag beleggen.

In Tabel 4 zijn de resultaten van alle modellen weergegeven. Hierin is te zien dat het optimale premiebeleid zo goed als hetzelfde blijft voor elke uitbreiding. Verder zorgt een verdelingsregeling ervoor dat de verzekeraar zijn volledige kapitaal risicovol gaat beleg-gen met of zonder een solvabiliteitseis. De verdelingsregeling laat de kans op faillissement stijgen. De solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling zorgt ervoor dat de verzekeraar minder risicovol gaat investeren en de kans op faillissement daalt.

(21)

Model Premiebeleid Beleggingsbeleid Verwacht eind-vermogen Kans faillisse-ment Standaardmodel 8.9 n.v.t 9.76 0 Meerdere polishou-ders 9.1 n.v.t 415.55 0 Beleggingsbeleid 8.8 0.90 424.65 0.01 Verdelingsregeling 8.8 1 425.30 0.05 Solvabiliteitseis 8.8 1 428.19 0.0098 Solvabiliteitseis zonder verdelings-regeling 8.9 0.75 431.72 0.007

Tabel 4: Optimaal verzekeringscontract per model

4.4 Sensitiviteitsanalyse

In deze scriptie zijn er aannames gedaan over de beginwaarden. Zo is aangenomen dat het beginvermogen van de verzekeraar 5 en van de verzekeringnemer gelijk aan 0. Verder is aangenomen dat de risico-aversie parameter λ van de CARA utility function gelijk is aan 4. Ook is aangenomen dat het rendement van de risicovolle investeringen uniform verdeeld zijn op het interval [-0.40,0.50]. Deze waarden zijn willekeurig gekozen. Daarom wordt in deze paragraaf het effect van deze keuzes op de resultaten geanalyseerd. Zo wordt het effect van het beginvermogen W van de verzekeraar op het optimale verze-keringscontract geanalyseerd. Vervolgens wordt dit ook gedaan voor de risico-aversie parameter λ van de nutsfunctie en het interval van het rendement.

4.4.1 Beginvermogen van de verzekeraar

In de resultaten in de paragrafen hiervoor is telkens uitgegaan van een beginvermogen W = 5 voor de verzekeraar. Om te kijken wat het effect is van deze keuze, wordt elk model honderd keer gesimuleerd voor de waarden W = {5, 15, 25}, waarna er voor elke variabele het gemiddelde wordt genomen. De resultaten van deze simulaties zijn te vinden in Tabel 5.

Uit Tabel 5 blijkt dat de hoogte van het beginvermogen W geen effect heeft op het optimale premiebeleid. Het beginvermogen heeft wel effect op het optimale beleg-gingsbeleid. Hoe hoger het beginvermogen van de verzekeraar, hoe hoger het optimale beleggingsbeleid. Een verklaring hiervoor is dat bij een hoger beginvermogen meer risico genomen kan worden zonder dat de kans op faillissement stijgt. Wanneer het maximale verlies dat mogelijk is wordt geleden houdt de verzekeraar nog steeds voldoende kapitaal over om zijn polishouders te betalen. Verder heeft het beginvermogen effect op de kans op faillissement op alle modellen. Hoe hoger het beginvermogen, hoe kleiner de kans dat de verzekeraar failliet gaat. De hoogte van het beginvermogen van de verzekeraar heeft dus effect op de kans op faillissement en op het model met beleggingsbeleid.

4.4.2 Risico-aversie parameter

De CARA functie bevat een parameter λ. Deze parameter geeft de mate van risico-aversie van de polishouder weer, waarbij een lage waarde meer risico-avers is dan een hoge waarde. De waarde van λ was in het onderzoek vastgesteld op 4. In deze paragraaf wordt gekeken naar het effect van deze keuze op het optimale premie- en beleggingsbe-leid door de modellen nog driemaal 100 keer te simuleren met λ gelijk aan 1, 5 en 10. De resultaten hiervan zijn te vinden in Tabel 6.

(22)

Model Premie α Verwacht eindvermo-gen Kans fail-lissement Standaardmodel W = 5 8.79 n.v.t 9.57 0 W = 15 8.80 n.v.t 19.59 0 W = 25 8.82 n.v.t 29.58 0 Meerdere Polishouders W = 5 8.80 n.v.t 385.14 0 W = 15 8.81 n.v.t 390.36 0 W = 25 8.80 n.v.t 395.36 0 Beleggingsbeleid W = 5 8.81 0.78 431.55 0.0104 W = 15 8.81 0.79 438.58 0.0094 W = 25 8.81 0.82 450.49 0.0077 Verdelingsregeling W = 5 8.80 1 557.32 0.0108 W = 15 8.79 1 561.41 0.0084 W = 25 8.80 1 566.341 0.0066

Solvabiliteitseis met verdelingsregeling

W = 5 8.80 1 429.44 0.0105

W = 15 8.80 1 439.47 0.0085

W = 25 8.80 1 450.58 0.0066

Solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling

W = 5 8.80 0.77 419.18 0.0102

W = 15 8.80 0.80 432.67 0.0084

W = 25 8.81 0.82 442.87 0.0066

Tabel 5: Optimaal verzekeringscontract: effect van het beginvermogen W

Model Premie α Verwacht

eindvermo-gen Kans fail-lissement Standaardmodel λ = 1 6.93 n.v.t 7.72 0 λ = 5 8.97 n.v.t 9.76 0 λ = 10 9.40 n.v.t 10.16 0 Meerdere Polishouders λ = 1 6.83 n.v.t 197.34 0 λ = 5 9.00 n.v.t 404.35 0 λ = 10 9.38 n.v.t 442.83 0 Beleggingsbeleid λ = 1 6.94 0.32 210.58 0.1276 λ = 5 8.99 0.80 440.79 0.0071 λ = 10 9.39 0.89 486.06 0.0027 Verdelingsregeling λ = 1 6.93 1 241.43 0.1293 λ = 5 9.00 1 450.65 0.0072 λ = 10 9.39 1 490.61 0.0028

λ = 1 6.94 1 224.29 0.1301

λ = 5 9.00 1 450.05 0.0065

λ = 10 9.40 1 492.00 0.0024

λ = 1 6.91 0.27 208.57 0.1279

λ = 5 8.98 0.82 440.29 0.0068

λ = 10 9.39 0.89 485.54 0.0025

(23)

Uit Tabel 6 blijkt dat λ invloed heeft op het optimale verzekeringscontract. Bij een lage risico-aversie, oftewel een hoge λ, is de polishouder bereid meer premie te betalen en kan de verzekeraar een hoger fractie α van het kapitaal risicovol beleggen, indien dat mogelijk is. Ook is het opvallend dat de kans op faillissement kleiner wordt als de polishouder minder risico-avers is bij het model met beleggingsbeleid en het model met solvabiliteitseis zonder verdelingsregeling. Een verklaring hiervoor is dat het maximale premiebeleid hoger is waardoor de verzekeraar een hoger inkomen heeft aan het begin van de periode in samenhang met dat het minimale rendement op -0.40 is gesteld. Wat de verzekeraar maximaal kan verliezen op de beleggingen is minder dan de extra premie die binnen komt.

Een risico-aversere polishouder zorgt er dus voor dat het optimale premie- en beleg-gingsbeleid daalt. De polishouder wil dat de kans op faillissement zo laag mogelijk wordt gehouden, maar wil tegelijkertijd ook niet teveel premie betalen. De verlaging van het premie- en beleggingsbeleid zorgt voor een daling van de kans op faillissement. Naar-mate de risico-aversie parameter stijgt zal de verzekeraar risicovoller kunnen beleggen en zal de polishouder bereid zijn meer premie te betalen. Hierdoor stijgt het verwachte eindvermogen en de kans op faillissement van de verzekeraar.

De risico-aversie parameter heeft dus veel invloed op het optimale verzekeringscon-tract. Hoe risico-averser de polishouder hoe lager het verwacht eindvermogen en kans op faillissement. Wanneer de polishouder juist minder risico-avers wordt zal het verwacht eindvermogen en de kans op faillissement stijgen.

De keuze van de beginwaarden heeft dus invloed op het optimale verzekeringscon-tract, waar λ meer invloed heeft dan het beginvermogen W van de verzekeraar. Het beginvermogen heeft alleen invloed op de kans op faillissement en α heeft invloed op het optimale premie- en beleggingsbeleid wanneer er geen verdelingsregeling is.

4.4.3 Interval van het rendement

Het interval van de uniforme verdeelde stochast R is willekeurig gekozen. Daarom wordt gekeken naar het effect van deze keuze. De modellen met beleggingsbeleid, verdelingsre-geling en solvabiliteitseis worden honderd keer gesimuleerd voor andere intervallen van R waarbij de verwachte waarde positief is. Het resultaat hievan is te zien in Tabel 7.

Uit Tabel 7 blijkt dat de fractie α stijgt als het verwachte rendement positiever wordt. Andersom geldt dat de fractie α daalt als het verwacht rendement minder posi-tief wordt. Hoe meer winst naar verwachting gemaakt kan worden, hoe meer kapitaal de verzekeraar wil beleggen.

Het optimale premiebeleid verandert niet wanneer het interval van R verandert. De verzekeringnemer zal niet meer of minder premie willen betalen wanneer het verwachte rendement van de beleggingen verandert.

Verder geldt hoe groter het interval, hoe minder de verzekeraar risicovol wil be-leggen. De intervallen (-0.60,0.70) en (-0.90,1) hebben bijvoorbeeld hetzelfde verwacht rendement, namelijk 0.10. Het resultaat in het model met beleggingsbeleid geeft een α van 0.52 op het interval (-0.60,0.70) en 0.38 op het interval (-0.90,1). Daarbij is de kans op faillissement groter voor grotere intervallen.

Het interval van het rendenement R is dus van invloed op het optimale verzekerings-contract, en dan met name op het optimale beleggingsbeleid. Hoe groter het verwachte rendement, hoe groter het optimale beleggingsbeleid. Verder geldt hoe kleiner het in-terval, hoe groter het optimale beleggingsbeleid en hoe kleiner de kans op faillissement. En andersom geldt hoe groter het interval, hoe kleiner het optimale beleggingsbeleid en hoe groter de kans op faillissement.

(24)

Model Premie α Verwacht eindvermo-gen Kans fail-lissement Beleggingsbeleid (-0.60,0.70) 8.79 0.52 408.20 0.1265 (-0.60,0.90) 8.79 0.53 455.02 0.1122 (-0.90,1) 8.78 0.33 398.81 0.2409 (-0.80,1) 8.82 0.38 421.31 0.2001 Verdelingsregeling (-0.60,0.70) 8.80 1 439.56 0.1263 (-0.60,0.90) 8.80 1 526.29 0.1095 (-0.90,1) 8.79 1 477.69 0.2466 (-0.80,1) 8.80 1 507.05 0.2024

(-0.60,0.70) 8.80 0.78 420.99 0.1275

(-0.60,0.90) 8.80 0.80 493.07 0.1100

(-0.90,1) 8.80 0.50 407.93 0.2454

(-0.80,1) 8.80 0.59 439.02 0.2030

(-0.60,0.70) 8.81 0.50 408.23 0.1265

(-0.60,0.90) 8.80 0.51 453.19 0.1097

(-0.90,1) 8.80 0.33 399.33 0.2482

(-0.80,1) 8.80 0.38 418.53 0.2038

(25)

5 Conclusie

In deze scriptie is onderzocht in hoeverre de aanwezigheid van meerdere polishouders, counterparty risk, een verdelingsregeling en een solvabiliteitseis effect hebben op het op-timale verzekeringscontract van een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Hier-voor is Hier-voor elk aspect een model opgesteld waarin het verwachte eindvermogen van de verzekeraar werd gemaximaliseerd voor de premie, en in het geval van aanwezigheid van de mogelijkheid tot beleggen ook α, onder de voorwaarde dat de verzekeringnemer belang heeft bij het kopen van de verzekering. In het geval van aanwezigheid van een solvabiliteitseis wordt een voorwaarde toegevoegd waarin wordt gesteld dat de V aR99.5%

van de verliezen niet groter mag zijn dan het beginvermogen van de verzekeraar. Wanneer meerdere polishouders aanwezig zijn in het model heeft dit een positief effect op het maximaal verwachte eindvermogen van de verzekeraar. Dit komt doordat een gedeelte van de premie van een polishouder met een kleine of geen claim gebruikt kan worden om een grotere claim te betalen. Daarbij komen grote claims minder vaak voor waardoor de verzekeraar naar verwachting meer overhoudt aan het eind van de periode, dus meer winst maakt vergeleken met een verzekeraar met ´e´en polishouder.

Wanneer een verzekeraar aan het begin van de periode de mogelijkheid heeft om een fractie α van het kapitaal risicovol te beleggen is het voor de verzekeraar optimaal om zoveel mogelijk risicovol te beleggen, want hoe hoger α hoe hoger het verwachte eindvermogen. Hoe groter de fractie α, hoe groter de kans op faillissement, waardoor de premie die de verzekeringnemer bereid is te betalen beperkter wordt.

Verder kan door middel van een verdelingsregeling het kapitaal van een verzekeraar verdeeld worden onder de polishouders indien deze failliet is. Hierdoor verliest een po-lishouder bij faillissement niet de premie en claim, maar alleen een gedeelte hiervan. Dit resulteert in een hoger verwacht eindvermogen door een stijging van het optimale beleggingsbeleid. Dit komt omdat het verlies van de polishouder nu kleiner is in het geval van faillissement waardoor de verzekering minder risicovol wordt. Hierdoor kan de verzekeraar zijn gehele vermogen risicovol beleggen.

Verder kan, om de belangen van de polishouder te beschermen, een solvabiliteitseis worden toegevoegd. Deze solvabiliteitseis heeft als gevolg dat een aantal combinaties van α en premie niet meer worden toegelaten. Zo is het voor een verzekeraar niet meer mogelijk een relatief lage premie te vragen en daarbij een hoog fractie risicovol te beleg-gen. Wanneer de verzekeraar een verdelingsregeling toepast blijft het optimale premie-en beleggingsbeleid hetzelfde als in het geval zonder solvabiliteitseis premie-en daalt de kans op faillissement. Als dit niet het geval is zorgt de solvabiliteitseis voor een lager beleg-gingsbeleid en daalt de kans op faillissement sterker dan in het geval van een model met solvabiliteitseis en verdelingsregeling.

Verder blijkt uit het onderzoek dat het beginvermogen effect heeft op het optimale beleggingsbeleid. Hoe meer beginvermogen de verzekeraar heeft, hoe groter de fractie α. De keuze voor λ heeft ook invloed op het optimale verzekeringscontract. Bij een hoge λ is de polishouder bereid een relatief hogere premie te betalen en kan de verzekeraar een relatief hoger fractie risicovol investeren indien dat mogelijk is. De keuze van de be-ginwaarden heeft invloed op het optimale verzekeringscontract, waarbij λ meer invloed heeft dan het beginvermogen W van de verzekeraar.

Ook het interval van de uniform verdeelde stochast R heeft invloed op het optimale verzekeringscontract. Hoe groter het verwacht rendement, hoe groter α. Verder heeft het domein van het interval ook invloed op het optimale verzekeringscontract. Een interval met een groter domein is risicovoller dan een risicovolle investering met een kleiner in-terval. Hierdoor daalt α wanneer het domein groter is.

Bij een vervolgonderzoek zou het effect van de gekozen verdeling voor de claims en het rendement kunnen worden onderzocht. Ook het effect van het stellen van een maximum claimvergoeding zou geanalyseerd kunnen worden, alsmede het effect van het stellen van een eigen risico.

(26)

Appendix A: Scripts

Matlab script 1: Standaardmodel met ´e´en polishouder

function [MaxWinst, MaxWinstPremie, KansFMax] = SM1(W,lambda) % Verzekeraar ---P = 0.1:0.1:10; % Premie

% Verzekerde

---w = 0; % Startkapitaal

% Verlies & Verwachte Nut indien geen verzekering sizeOut = [1, 1000]; % sample size

mu = 5; % parameter of exponential r1 = 1; % lower bound r2 = 10; % upper bound X = exprndBounded(mu, sizeOut, r1, r2); ProbX = (1/length(X))*ones(1,length(X)); ExpNut_Geen = sum(Utility((w-X),lambda).*(ProbX)); % Simulatie ---%-- Setup Matrices ---% reserving memory for matrices by setting all values to one.

% all values are set to one instead of zero because VerzekeraarFailliet % has to be one when its not failliet

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; for i = 1:length(P) Veind(i,:) = W + P(i) - X; Failliet(i,:) = Veind(i,:)<0; Pfailliet(i) = sum(Failliet(i,:)*ProbX’);

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbX)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+(X’.*(Veind(i,:)>0)’),lambda); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end end

(27)

% Analyse ---% Verwacht Vermogen

MinPremiew = find(ExpV >= W-0.1 & ExpV <= W+0.1); teller=0; for k = 1:(length(MinPremiew)-1) if MinPremiew(k+1)-MinPremiew(k)>1 teller = teller + 1; MinPremie(teller) = MinPremiew(k); end end

MPremie = P(MinPremie(1)); % Minimale Premie om winst te maken MaxWinst = max(ExpV); % Premie voor maximale winst

MaxWinstPremie = P(min(find(ExpV==max(ExpV)))); xmarker = [MPremie MaxWinstPremie];

ymarker = [W MaxWinst]; % Kans faillissement

KansFMinP = Pfailliet(MinPremiew(1));

KansFMax = Pfailliet(min(find(ExpV==max(ExpV))));

xmarker1 = [P(MinPremiew(1)); P(min(find(ExpV==max(ExpV))))]; ymarker1 = [KansFMinP KansFMax];

%%%% Resultaat plotten figure plot(P,Pfailliet,xmarker1,ymarker1,’b*’) grid on text(xmarker1(1),ymarker1(1)+0.025,num2str(ymarker1(1)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(xmarker1(2),ymarker1(2)+0.025,num2str(ymarker1(2)),’HorizontalAlignment’,’center’) title(’Kans op faillissement’) xlabel(’Premie’) ylabel(’Kans’) figure p_opt = [P,ExpV(i)]; plot(P,ExpV,’-’,xmarker,ymarker,’b*’) grid on text(xmarker(1)+0.3,ymarker(1),num2str(xmarker(1)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(xmarker(2)+0.3,ymarker(2),num2str(xmarker(2)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(1.2,max(ExpV)+0.5,’Maximale winst:’ ,’HorizontalAlignment’,’center’)

text(2.8,max(ExpV)+0.5,num2str(max(ExpV)),’HorizontalAlignment’,’center’) axis([0,10,min(ExpV)-1,ymarker(2)+1])

xlabel(’Premie’) ylabel(’Vermogen’)

str = sprintf(’Verwacht Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d’,W); title(str)

%

(28)

function [MaxWinst, MaxWinstPremie, KansFMax] = SM2(W,lambda) % Verzekeraar ---P = 0.1:0.1:15; % Premie n = 100; % Aantal polishouders % Verzekerde ---w = 0; % Startkapitaal

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; mu = 5; Xn = (randn(length(X),1)*mu*sqrt(n) + mu*n)’; ProbXn = (1/length(Xn))*ones(1,length(Xn)); for i = 1:length(P) Veind(i,:) = W + n*P(i) - Xn; Failliet(i,:) = Veind(i,:)<0; Pfailliet(i) = sum(Failliet(i,:)*ProbXn’);

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbXn)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+(X’.*(Veind(i,:)>0)’),lambda ); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end end

(29)

% Analyse ---% Verwacht Vermogen

MinPremiew = find(ExpV >= W-0.1 & ExpV <= W+0.1); teller=0; MinPremie = []; for k = 1:(length(MinPremiew)-1) if MinPremiew(k+1)-MinPremiew(k)>1 teller = teller + 1; MinPremie(teller) = MinPremiew(k); end end

MPremie = P(MinPremie(1)); % Minimale Premie om winst te maken MaxWinst = max(ExpV); % Premie voor maximale winst

MaxWinstPremie = P(min(find(ExpV==max(ExpV)))); xmarker = [MPremie MaxWinstPremie];

ymarker = [W MaxWinst]; % Kans faillissement

KansFMinP = Pfailliet(MinPremiew(1));

KansFMax = Pfailliet(min(find(ExpV==max(ExpV))));

xmarker1 = [P(MinPremiew(1)); P(min(find(ExpV==max(ExpV))))]; ymarker1 = [KansFMinP KansFMax];

%%%% Resultaat plotten figure plot(P,Pfailliet,xmarker1,ymarker1,’b*’) grid on text(xmarker1(1),ymarker1(1)+0.025,num2str(ymarker1(1)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(xmarker1(2),ymarker1(2)+0.025,num2str(ymarker1(2)),’HorizontalAlignment’,’center’) title(’Kans op faillissement’) label(’Premie’) ylabel(’Kans’) figure p_opt = [P,ExpV(i)]; plot(P,ExpV,’-’,xmarker,ymarker,’b*’) grid on text(xmarker(1)+0.3,ymarker(1)+10,num2str(xmarker(1)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(xmarker(2)+0.3,ymarker(2),num2str(xmarker(2)),’HorizontalAlignment’,’center’) text(1.2,max(ExpV)+0.5,’Maximale winst:’ ,’HorizontalAlignment’,’center’)

text(3,max(ExpV)+0.5,num2str(max(ExpV)),’HorizontalAlignment’,’center’) axis([0,10,min(ExpV),ymarker(2)+10])

xlabel(’Premie’) ylabel(’Vermogen’)

str = sprintf(’Verwacht Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d’,W); title(str)

(30)

---Matlab script 3: Model met beleggen

function [MaxWinst, MaxWinstPremie, MaxWinstAlpha, Kansfail] = SM3(W,lambda,a,b)

% Standaardmodel2 met beleggen

% Verzekeraar ---P = 0.1:0.1:10; % Premie

n = 100; % Aantal polishouders

alpha = 0:0.05:1; % Percentage dat risicovol belegd wordt % Verzekerde

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; mu = 5; Xn = (randn(length(X),1)*mu*sqrt(n) + mu*n)’; ProbXn = (1/length(Xn))*ones(1,length(Xn)); Rendement = (b-a)*rand(1,length(X))+a; for k = 1:length(alpha) for i = 1:length(P)

Veind(i,:) = (W + n*P(i))*(1 + alpha(k)*Rendement) - Xn ; Failliet(i,:) = Veind(i,:)<0;

(31)

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbXn)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+(X’.*(Veind(i,:)>0)’),lambda ); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end end VerwachtVermogen_P_Alpha(k,:) = ExpV ; Pfailliet_P_Alpha(k,:) = Pfailliet; end % Analyse ---% Important Points MaxWinst = max(max(VerwachtVermogen_P_Alpha)); MaxWinstPremie = sum(P.*sum(VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)); MaxWinstAlpha = sum(alpha.*sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)’)); Kansfail = sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst))*Pfailliet’; % Resultaat plotten [p,a] = meshgrid(P,alpha); figure surf(p,a,VerwachtVermogen_P_Alpha) text(MaxWinstPremie,MaxWinstAlpha,MaxWinst+12,num2str(MaxWinst),’HorizontalAlignment’,’center’) str = sprintf(’Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d en n = %d’,W,n);

title(str) xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Vermogen’) figure surf(p,a,Pfailliet_P_Alpha) title(’Kans op faillissement’) xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Kans’) %

---Matlab script 4: Model met verdelingsregeling

function [MaxWinst, MaxWinstPremie, MaxWinstAlpha, Kansfail] = SM4(W,lambda,a,b) % Standaardmodel3 met verdelingsregeling

(32)

alpha = 0:0.05:1; % Percentage dat risicovol belegd wordt delta = 0.6; % Percentage faillissementskosten

% Verzekerde

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; Niet_Failliet = Veind; Vergoeding = Veind; mu = 5; Xn = (randn(length(X),1)*mu*sqrt(n) + mu*n)’; ProbXn = (1/length(Xn))*ones(1,length(Xn)); Rendement = (b-a)*rand(1,length(X))+a; IX = repmat(X,length(P),1); for k = 1:length(alpha) for i = 1:length(P)

Niet_Failliet(i,:) = Veind(i,:)>0;

(33)

IX(i,:) = IX(i,:).*Niet_Failliet(i,:) + Vergoeding(i,:).*Failliet(i,:); Pfailliet(i) = sum(Failliet(i,:)*ProbXn’);

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbXn)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+IX(i,:)’,lambda); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end end VerwachtVermogen_P_Alpha(k,:) = ExpV ; Pfailliet_P_Alpha(k,:) = Pfailliet; end % Analyse ---% Important Points MaxWinst = max(max(VerwachtVermogen_P_Alpha)); MaxWinstPremie = sum(P.*sum(VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)); MaxWinstAlpha = sum(alpha.*sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)’)); Kansfail = sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst))*Pfailliet’; % Resultaat plotten [p,a] = meshgrid(P,alpha); figure surf(p,a,VerwachtVermogen_P_Alpha) text(MaxWinstPremie,MaxWinstAlpha,MaxWinst+12,num2str(MaxWinst),’HorizontalAlignment’,’center’) str = sprintf(’Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d en n = %d’,W,n);

title(str) xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Vermogen’) figure surf(p,a,Pfailliet_P_Alpha) title(’Kans op faillissement’) xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Kans’) %

---Matlab script 5: Model met solvabiliteitseis en verdelingsregeling

(34)

% Standaardmodel4 met Solvabiliteitseis

alpha = 0:0.05:1; % Percentage dat risicovol belegd wordt delta = 0.6; % Percentage faillissementskosten

risk = 95/100; % Level of confidence

% Verzekerde

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; AnnualLoss = ones(length(P),length(X)); Verlies = ones(length(P),length(X)); Niet_Failliet = Veind; mu = 5; Xn = (randn(length(X),1)*mu*sqrt(n) + mu*n)’; ProbXn = (1/length(Xn))*ones(1,length(Xn)); Rendement = (b-a)*rand(1,length(X))+a; IX = repmat(X,length(P),1); for k = 1:length(alpha) for i = 1:length(P)

(35)

Niet_Failliet(i,:) = Veind(i,:)>0;

Verlies(i,:)= (((Xn-(Veind(i,:)+Xn))*(1-delta))./n).*Failliet(i,:) ;

IX(i,:) = IX(i,:).*Niet_Failliet(i,:) + max(X-Verlies(i,:),0).*Failliet(i,:); Pfailliet(i) = sum(Failliet(i,:)*ProbXn’);

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbXn)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+IX(i,:)’,lambda); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end AnnualLoss(i,:) = (-1*(W+n*P(i)))*alpha(k)*Rendement+Xn-n*P(i); VaRa = quantile(AnnualLoss(i,:),risk); if VaRa > W ExpV(i) = 0; end end VerwachtVermogen_P_Alpha(k,:) = ExpV ; Pfailliet_P_Alpha(k,:) = Pfailliet; end % Analyse ---% Important Points MaxWinst = max(max(VerwachtVermogen_P_Alpha)); MaxWinstPremie = sum(P.*sum(VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)); MaxWinstAlpha = sum(alpha.*sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)’)); Kansfail = sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst))*Pfailliet’; % Resultaat plotten [p,a] = meshgrid(P,alpha); figure surf(p,a,VerwachtVermogen_P_Alpha) text(MaxWinstPremie,MaxWinstAlpha,MaxWinst+12,num2str(MaxWinst),’HorizontalAlignment’,’center’) str = sprintf(’Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d en n = %d’,W,n);

title(str)

xlabel(’Premie’) ylabel(’Alpha’) zlabel(’Vermogen’) figure

(36)

surf(p,a,Pfailliet_P_Alpha) title(’Kans op faillissement’) xlabel(’Premie’) ylabel(’alpha’) zlabel(’Kans’) %

---Matlab script 6: Model met solvabiliteitseis en zonder verdelingsregeling

function [MaxWinst, MaxWinstPremie, MaxWinstAlpha, Kansfail] = ModelZonderVerdelingregeling(W,lambda,a,b)

% Standaardmodel2 met beleggen

alpha = 0:0.05:1; % Percentage dat risicovol belegd wordt risk = 95/100; % Level of confidence

% Verzekerde

Veind = ones(length(P),length(X)); Nut = Veind; ExpV = ones(1,length(P)); Pfailliet = ExpV; Failliet = Veind; ExpNut = ExpV; AnnualLoss = ones(length(P),length(X)); mu = 5; Xn = (randn(length(X),1)*mu*sqrt(n) + mu*n)’; ProbXn = (1/length(Xn))*ones(1,length(Xn));

(37)

Rendement = (b-a)*rand(1,length(X))+a; for k = 1:length(alpha)

for i = 1:length(P)

Pfailliet(i) = sum(Failliet(i,:)*ProbXn’);

ExpV(i) = sum(((Veind(i,:)’ + (Failliet(i,:).*(-Veind(i,:)))’)’).*(ProbXn)); Nut(i,:) = Utility(w-P(i)-X’+(X’.*(Veind(i,:)>0)’),lambda ); ExpNut(i) = sum(Nut(i,:).*(ProbX)); % Voorwaarde if ExpNut(i) < ExpNut_Geen ExpV(i) = W; end AnnualLoss(i,:) = (-1*(W+n*P(i)))*alpha(k)*Rendement+Xn-n*P(i); VaRa = quantile(AnnualLoss(i,:),risk); if VaRa > W ExpV(i) = 0; Veind(i,:) =0; end end VerwachtVermogen_P_Alpha(k,:) = ExpV ; Pfailliet_P_Alpha(k,:) = Pfailliet; end % Analyse ---% Important Points MaxWinst = max(max(VerwachtVermogen_P_Alpha)); MaxWinstPremie = sum(P.*sum(VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)); MaxWinstAlpha = sum(alpha.*sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst)’)); Kansfail = sum((VerwachtVermogen_P_Alpha==MaxWinst))*Pfailliet’; % Resultaat plotten [p,a] = meshgrid(P,alpha); figure surf(p,a,VerwachtVermogen_P_Alpha) text(MaxWinstPremie,MaxWinstAlpha,MaxWinst+12,num2str(MaxWinst),’HorizontalAlignment’,’center’) str = sprintf(’Vermogen Verzekeraar op t = 1 met W = %d en n = %d’,W,n);

title(str)

xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Vermogen’)

(38)

figure surf(p,a,Pfailliet_P_Alpha) title(’Kans op faillissement’) xlabel(’Premie’) ylabel(’\alpha’) zlabel(’Kans’) % ---Matlab script 7: gebruikte functies

function r = exprndBounded(mu, sizeOut, r1, r2) minE = exp(-r1/mu);

maxE = exp(-r2/mu);

randBounded = minE + (maxE-minE).*rand(sizeOut); r = -mu .* log(randBounded);

end

function [Nut] = Utility(X,mu) Nut = -exp(-mu*X);

(39)

Bibliografie

Acerbi, C. & Tasche, D. (2002). ”On the coherence of expected shortfall”, Journal of Banking Finance, 26: 1487-1503.

Baars, T. (2015, 30 november). Massaclaim tegen NS in de maak om tekort zitplaatsen. Geraadpleegd op 23 mei 2016, van http://www.ad.nl/ad/nl/1012/Nederland /article/detail/4198477/2015/11/30/Massaclaim-tegen-NS-in-de-maak-om -tekort-zitplaatsen.dhtml

Biffis, E. & Millossovich, P. (2012). ”Optimal insurance with counterparty default risk”, Available at SSRN 1634883.

’Dieselclaim’ gedupeerde beleggers VW. (2015, 29 september). Geraadpleegd op 23 mei 2016, van http://www.telegraaf.nl/dft/geld/beleggen/24550606/ Nog een claimzaak van gedupeerde beleggers VW .html

Filipovi´c, D., Kremslehner, R.& Muermann, A. (2015). ”Optimal investment and pre-mium policies under risk shifting and solvency regulation”, Journal of Risk and In-surance, 82(2), 261-288.

Ibragimov, R., Jaffee, D. & Walden, J. (2010). ”Pricing and capital allocation for mul-tiline insurance firms”. Journal of Risk and Insurance, 77:551-578.

Mahul, O. (2003). ”Efficient risk sharing within a catastophe insurance pool”, Avai-lable at Research Gate 228764667.

Philips, R.D., Cummins, J.D. & Allen, F. (1998). ”Financial Pricing of Insurance in the Multiple-Line Insurance Company”, Journal of Risk and Insurance, 65: 597-636. Nederlanders claimen vaker kleine schades. (2013, 7 maart). Geraadpleegd op 23 mei 2016, vanhttp://www.nu.nl/geldzaken/3361657/nederlanders-claimen-vaker -kleine-schades.html

Schmitz, R. (2013, 18 juni). ”Solvency II: Een verandering/ een uitdaging”.Geraadpleegd op 23 mei, van: https://www.firm24.com/blog/solvency-2/

Stijgende kans op stormschade in Europa. (2016, 3 maart). Geraadpleegd op 23 mei 2016, van http://www.infinance.nl/artikel/stijgende-kans-op-stormschade-in-europa/

Yamai, Y., Yoshiba, T. (2004). ”Value-at-Risk versus expected shortfall: A practical perspective”, Journal of Banking and Finance 29, 9971015.