Hoofdstuk 7:
Veranderingen.
V_1.a. De lengte van Jos nam toe van 120 cm tot 128 cm: 8 cm toename. b. Dorrit groeide in dat jaar ongeveer 3 cm.
c. De grafiek van Jos loopt veel steiler dan die van Dorrit. d.
V_2. a./b.
c. Ja in hun 18e levensjaar nam hun lengte
evenveel toe. Dat kun je zien aan de even lange staven.
V_3.
V_4. a.
b. In de laatste 500 meter.
c. Vanaf 3000 meter tot 3500 meter was de daling het sterkst.
d. In de tabel is er een hoogste waarde van h en in het toename diagram volgt er een daling (het toenamediagram gaat van positief naar negatief).
e. De wandelaar komt 3 keer op 1130 meter. V_5.
a. Dalen, dus de toename moet negatief zijn. Steeds sneller…, dus de staafjes moeten steeds langer worden. In de periode 25 – 29 april.
b.
c. De grootste hoogte was op 15 april: 24,5 cm d. -leeftijd 13 14 15 16 17 18 19 20 groei Jos 8 6 16 5 5 0 2 5 groei Dorrit 3 9 3 2 2 1 2 1
Q 1 3p
y 1,5
x 1 2 2r
t 2t
a 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 h 1075 1100 1125 1140 1150 1130 1125 1100 1120 1160 h 25 25 15 10 -20 -5 -25 20 40 dag 1 3 5 7 9 11 13 15 17 hoogte -1,5 -4,5 -2,5 5,5 13,5 18,5 14,5 24,5 20,5 dag 19 21 23 25 27 29 hoogte 16,5 14,5 11,5 8,5 4,5 -1,51. a.
b. De toenamen zijn altijd positief en halverwege groeit de zonnebloem ’t hardst.
c. In de eerste 8 weken groeit de zonnebloem steeds harder en daarna wordt de groei steeds kleiner.
2. 1. De toename wordt steeds kleiner: steeds langzamer stijgende grafiek 2. De afname wordt steeds groter: steeds sneller dalende grafiek 3. De toename wordt steeds groter: steeds sneller stijgende grafiek 4. De afname worden steeds kleiner: steeds langzamer dalende grafiek 5. De toenamen zijn gelijk: constante stijging (lineair) 6. De afname is constant: constante daling (lineair).
3.
a. Uit het toenamediagram kun je het verloop van de grafiek voorspellen. Maar je weet niet op welke hoogte de grafiek ligt.
b. De eerste 125 jaar is er sprake van een toenemende stijging en daarna een afnemende stijging.
c.
d. Van 2000 tot 2025 groeide de bevolking het
sterkst. De staaf in het toenamediagram is daar het langst. 4.
a.
b. De afname wordt steeds kleiner: afnemende daling.
c. Er is een constant gewicht als het toenamediagram op 0 is. d. Het gewicht zal op den duur op 16 of17% uitkomen.
5. a.
b.
c. Het eerste uur is er sprake van een af een afnemende stijging. Gedurende het volgende
uur is er een toenemende daling. En vanaf 2 uur is er een afnemende daling
d. Rond 2 uur daalt de grafiek het snelst.
tijd 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 gewicht 100 74 58 46 37 30 25 21 19 18 toename -26 -16 -12 -9 -7 -5 -4 -2 -1 tijd 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 concentratie 0 2,5 3 2,9 2,5 2,1 1,8 1,6 1,4 toename 2,5 0,5 -0,1 -0,4 -0,4 -0,3 -0,2 -0,2 tijd 4,5 5 5,5 6 concentratie 1,3 1,2 1,1 1 toename -0,1 -0,1 -0,1 -0,1
6.
a. Op de 1e dag is de waterhoogte ongeveer 5 cm toegenomen en op de 14e dag met 25 cm
afgenomen.
b. In de eerste week is de waterhoogte met 125 50 75 cm toegenomen. Dat is 757 10,7 cm/dag.
c. 60 1257 9,3 cm/dag. Afgenomen met 9,3 cm/dag.
d. Waar de grafiek het steilst is: op de 4e en 5e dag.
7.
a. gemiddelde snelheid 9,86100 10,14m/s b.
Van 70 naar 80 meter doet hij het snelst. c. Snelheid 0,8310 12,05m/s 8. a. b. Voer in: 2 1 y x 4x 5 maximum: x 2 c. v 9 52 2 m/s. d. zero: x 5 : v 0 95 2 3 m/s. 9.(moeilijk af te lezen)
a. 344,35 33020 0,22 punt per dag.
b. 324,5 3395 2,9 punt per dag.
10. a. s 0, 5 80 05 0 16 t km/u.
b. gemiddelde snelheid over de eerste 3 uur: s 0, 3 483 16 t km/u.
c. Omdat de punten (0, 0), (3, 48) en (5, 80) op één rechte lijn liggen, met richtingsgetal 16. d. eerste twee uren: 40 02 20km/u en de volgende twee uren: 57 40
2 8,5 km/u. 11. a. 0, 4 : 4 04 0 1 1, 4 : 4 34 1 13 4, 9 : 9 43 4 15 0, 16 : 16 00 0 0 b. 0; 0,5 : y 4,66 x 0; 0,1 : xy 11,65 0; 0,01 : xy 39 c. De grafiek loopt vanaf (0, 0) heel steil, en wordt steeds minder steil.
aantal meters 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 aantal seconden 0 1,88 2,96 3,88 4,77 5,61 6,46 7,30 8,13 9,00 9,86 s 1,88 1,08 0,92 0,89 0,84 0,85 0,84 0,83 0,87 0,86 t (in seconden) h (in meter) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2
12.
a. Voor beide fietsers is de gemiddelde snelheid 453 15 km/u. b.
c. De grafiek is lineair. Per vast tijdsinterval wordt steeds dezelfde afstand afgelegd. Dus de gemiddelde snelheid op ieder willekeurig interval is 15 km/u (de helling van de grafiek). d. B 1,2 15t
B 1;1,2 17,4t
B 1;1,1 17,7t
e. Hoe kleiner het interval des te beter is de benadering van de snelheid. 13. a. dh 3;3,001 26,8513 26,84680,001 4,47 dt cm/min. b. dh 5;5,001 34,6625 34,65910,001 3,47 dt cm/min. 14. a. B 1;1,001 17,997t
b. B 1,5;1,501 14,997 15t
. Dat klopt dus wel.
c. B 2;2,001 11,997t
. De snelheid op tijdstip t 2 is 12 km/u.
15.
a. A 1;1,001 6934t
zieken/week
b. A 2;2,001 13868t
zieken/week
c. y0 nDeriv(y , x, x)1 (zie math math optie 8 (nDeriv) enter vars y-vars function
1
y …)
of de grafiek plotten en dan 2nd trace (calc) optie 6 (dy/dx) en de x-waarde geven.
16. a. 0 1000 N(0) 40 1 24 0,85
b. t 8 : N(8) 133 en de groeisnelheid ongeveer 19 vliegjes per dag.
t 20 : N(20) 518 en de groeisnelheid ongeveer 41 vliegjes per dag.
c. N(10) 133 2 19 171 en N(22) 518 2 41 600
d. N(10) 175 en N(22) 598 volgens de formule. Dat komt wel redelijk overeen met de
geschatte waarden. e. De grafiek is niet lineair.
interval
0;0,5
0,5;1
1;1,5
1,5;2
A / t 15 15 15 15
B / t
17.
a. Het beginpunt (0, 0) en het eindpunt (3, 45) is voor beide grafieken gelijk. b. dy (1,25) 16,5
dx km/u.
c. De helling is 16,5 18.
a. Plot y1 10 0,25x 2
b. 2nd prgm (draw) optie 5 (tangent) en dan x 2
invoeren: de GRM tekent de raaklijn in (2, 9). c. De helling is –1.
d. y 2;2,001 1,00025t
19.
a. Teken zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn in het punt (10, 2000). Die van mij gaat door de punten (6, 0) en (14, 4000). De helling daarvan is 40008 500. Het aantal zieken neemt dan toe met 500 zieken per dag.
b. De snelheid is het hoogst wanneer de raaklijn het steilst loopt. Dat is op tijdstip t 14 . c. Die raaklijn gaat door de punten (11, 0) en (17, 12000). De helling is 120006 2000.
20. De raaklijn gaat door (10, 85) en (16, 175). De helling (en dus de snelheid van de trein) daarvan is 175 8516 10 15 m/s. 21. a. 5,01502 5 0,001 y 15 x 40,0600 40 0,001 y 60 x b. In beide punten is de helling 7.
c. De grafiek is een rechte lijn. De helling in elk punt is gelijk aan de helling van de lijn. 22.
a. Na 10 minuten is de afstand ongeveer 3 km en na 30 minuten ongeveer 7,5 km. Haar gemiddelde snelheid was 7,5 320 0,225 km/min 13,5 km/u
b. Na 60 minuten heeft Ineke 15 km afgelegd. Haar gemiddelde snelheid was in die periode 15 7,5
30 0,25 km/ min 15 km/u
c. Omdat de grafiek tussen t 30 en t 60 vrijwel lineair is haar snelheid vrijwel constant.
d. Omdat in de eerste periode de grafiek geen rechte lijn is.
e. De lijn gaat ongeveer door de punten (15, 5) en (30, 10). De helling daarvan is 30 1510 5 0,33. Haar snelheid op tijdstip t 15 was ongeveer 0,33 km/min, ofwel 20 km/u.
x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 (2, 9) x 1 1,001 f(x) 5 5,01502 x 2 2,001 f(x) 40 40,0600
23. a. b./c. Voer in: 2 1 y 5x 14x 105 maximum: x 1, 4 en y 114,8
Na 1,4 seconde is de op maximale hoogte van 114,8 meter.
d. Teken in de GRM de grafiek van y0 nDeriv(y , x, x)1
De helling is eerst positief (de bal gaat omhoog) en na 1,4 s is de helling negatief (de bal gaat naar beneden).
Precies op het moment dat de helling 0 is is de bal op z’n hoogste punt. 24.
a. Voer in: 2
1 4
y 0,25x 3x 12
x en y2 y (x 1) y (x)1 1 b. De toename is negatief (de gemiddelde kosten dalen), wordt
0 ergens tussen de 60 en 70 opnamen en is vervolgens positief (de GK stijgen). Waar de toename 0 is zijn de GK minimaal.
c. Bij 61 opnamen nemen de gemiddelde kosten af met 3 euro per opname en bij 62 opnamen nemen de gemiddelde kosten toe met 23 euro per opname. Bij 61 opnamen zijn de GK minimaal.
25.
a. De grafiek bij een 2e graads formule (t2) is een parabool. De coëfficiënt voor t2 is negatief; er is sprake van een bergparabool. Dus de grafiek heeft een maximum.
b.
c. Na 1,3 seconde gaat het toenamediagram van positief naar negatief. De steen bereikt dan zijn hoogste punt.
d. Voer in: y11,5 12x 5x 2 maximum: (1,2; 8,7) Na 1,2 seconde is de hoogte maximaal 8,7 meter. e. toenamediagram is niet nauwkeurig genoeg. 26.
a.
b.
c. O is maximaal 2890 duizend euro bij 17 machines.
d. Het toenamediagram gaat vanaf q 17 van een toename over in een afname.
t (in seconden) h (in meter) 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 -10 x Y1 Y2 1 13,25 2 9 -4,25 3 6,58 -2,42 4 5 -1,58 5 4,05 -0,95 6 3,67 -0,38 7 3,82 0,15 8 4,5 0,68 9 5,69 1,19 10 7,4 1,71 t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 h 1,5 3,7 5,5 6,9 7,9 8,5 8,7 8,5 7,9 6,9 5,5 toename 2,2 1,8 1,4 1 0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1,0 -1,4 q 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 O 1910 2134 2340 2522 2674 2790 2864 2890 2862 2774 2620 toename 224 206 182 152 116 74 26 -28 -88 -154
27.
a. TK(6) 0,1 6 3 2 6215 6 39,6
De totale kosten zijn € 39.600,- bij een weekproductie van 6000 vazen. b.
c. Het toenamediagram is alleen maar positief. d. Voer in: y1 0,1x32x22,5x en
2 1 1
y y (x) y (x 1) . In y2 staan nu de toenamen.
Bij q 13 is de toename nog 0,6 en bij q 14 is er sprake van een afname (-3,2). De winst is
maximaal bij een productieomvang van 13.000 vazen.
Met behulp van een plot: 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): x 13,932
De totale winst is maximaal bij een productie van 13.932 vazen. 28.
a. W(100) 0,60 100 0,25 100 €35,
b. Bij 5 cent prijsverlaging worden 20 kopjes soep meer verkocht. Ze moeten dan 35 cent per kopje vragen.
c. W(200) 0,35 200 0,25 200 €20, . Ze maken dan minder winst.
d. De winst is de opbrengst min de kosten. Het gaat dus om de grootste afstand tussen de grafieken van O en K. En die ligt bij ongeveer 50 cent.
e. Als de prijs met 5 cent toeneemt neemt het aantal verkochte kopjes soep af met 20. Dat is een afname van 4 kopjes per cent.
q 4p b 160 4 45 b b 340 q 4p 340 f. W(p) O K p q 25q (p 25) q (p 25)( 4p 340) 4p2440p 8500
g. W(61) W(60) 44. De winst neemt dan af met 44 cent.
h. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): x 55
i. De winst is dan maximaal 3600 cent. 29.
a. 9300 G 0,5 G 10.000.000
Voer in: y1 9300 x 0,5x en y2 10.000.000: 2nd trace (calc) optie 5 (intersect):
x 1.539.637
b. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): y 21.622.500
c. D 10.000.000,10.000.001 19409182,71 19409182,24 0,47 G 1
d. Voor elke dollar die GoodDay meer uitgeeft aan reclame nemen de reclamekosten van Drivewell met 47 dollarcent toe.
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TK 0 13,1 22,8 29,7 34,4 37,5 39,6 41,3 43,2 45,9 50 toename 13,1 9,7 6,9 4,7 3,1 2,1 1,7 1,9 2,7 4,1 11 12 13 14 15 56,1 64,8 76,7 92,4 112,5 6,1 8,7 11,9 15,7 20,1
30.
a. Pas het window aan: Xmin 0 en Xmax 12 en plot de grafiek door op zoom te drukken optie
0 (ZoomFit). Ze gaat in het begin steeds iets sneller rijden en op het laatst steeds iets
langzamer.
b. Voer in: 3 2
1
y 0, 012x 0,18x 1,6x en plot de grafiek van y0 nDeriv(y , x, x)1 Het maximum van de hellingsgrafiek is 2,5 km/min, en dat is 150 km/u
c. Meneer Bouma reed met een constante snelheid van 2 km/min, ofwel 120 km/uur. In 12 minuten heeft hij dus 24 km afgelegd.
d. s 2t
T_1.
a. R(15) R(13) 320 . Met 2 extra machine's neemt de weekomzet toe met €
320.000,-en als alle machine's draai320.000,-en met (R(16) R(13)) 1000 €423.000,
b. QR 13,15 160
duizend euro/machine.
R 13,16 141 Q duizend euro/machinec. 1 machine bijplaatsen: QR 57 2 machine's bijplaatsen: QR 31 en 3 machine bijplaatsen: QR 3 d. R is maximaal € 3.150.000,- bij 18 machine's.
T_2.
a. A(60)60 485 m/ min 29,1 km/u
b. De snelheid neemt het eerste half uur steeds meer toe en het laatste half uur steeds minder toe.
c. vA(15) A(5)15 5 383,75 m/min.
d. Aan de grafiek kun je zien dat de snelheid tussen de 5e en de 15e minuut steeds meer toeneemt.
Dus is de snelheid op tijdstip t 15 groter dan de gemiddelde snelheid.
e. Voer in: 3 2
1
y 0,25x 23x 5x
Plot de grafiek: 2nd tracé (calc) optie 6 (dy/dx)
dy dy x 5 : 216,25 m / min en x 15 : 526,25 m / min dx dx T_3. a. 2,4 g. b. G 10;10,001 1,17t
gr/dag
G 20;20,001 4,32 t gr/dag c. groeisnelheid0,13103 G d. De relatieve groeisnelheid is op elk tijdstip ongeveer gelijk aan 0,13103.T_4.
a. Voer in: y117 10,5x 0,2x 3,5 en y2 y (x) y (x 1)1 1
b. Ergens tussen 1980 – 1990 is het percentage maximaal. Het toenamediagram gaat dan van een toename over in een afname.
c. Voer in: 3,5
1
y 17 10,5x 0,2x maximum: x 2,95
In 1950 10 2,59 1980 was het percentage maximaal. Het
percentage was maximaal 39,2%. P P(2,1) P(2) Q R 4 8 12 16 20 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 -500
tijd t gewicht G groeisnelheid snelheid/gewicht
0 2,4 0,31447 0,13103 5 4,621 0,60548 0,13103 10 8,897 1,1658 0,13103 15 17,131 2,2447 0,13103 20 32,984 4,3219 0,13103 25 63,509 8,3215 0,13103 30 122,280 16,022 0,13103 x P toename 0 17 1 27,3 10 2 35,7 8 3 39,1 3 4 33,4 -6 5 13,6 -20
T_5.
a. TO(q) 1000q
b.
c. De koffiebrander maakt winst als de opbrengst groter is dan de kosten. Voer in: y1 1000x en
2 2
y 10x 5000 intersect:
x 5,3 x 94,7
Vanaf 6 to en met 94 container wordt er winst gemaakt.
d. De winst is maximaal als de afstand tussen TO en TK het grootst is: Bij ongeveer 50 containers. e.
2 2
TW(q) TO(q) TK(q) 1000q (10q 5000) 10q 1000q 5000
f. Voer in: y1 10x21000x 5000 en y2 y (x) y (x 1)1 1 en kijk in de tabel in de buurt van
x 50 . Bij 50 containers is de toename nog positief en bij 51 negatief. De winst is maximaal bij 50 containers.
T_6. a.
b. TO(n) 400 n
c. Het aantal deelnemers boven het aantal van 50 is n 50 . Per deelnemer boven de 50 is dat een reductie van €5,-, dus de prijs is dan
p 400 5 (n 50) d. TO(p) n p n (400 5(n 50)) 2 n (400 5n 250) 650n 5n e. zie grafiek.
f./g. Voer in: y1650x 5x 2 maximum: Bij 65 deelnemers is TO maximaal
€21125,-q euro's 10 20 30 40 50 60 70 80 -10 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -10000 TO TK aantal deelnemers 25 35 50 60 75 totale opbrengst 10000 14000 20000 21000 20625 n TO (x 1000) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
