H4: Integralen

Hoofdstuk 4:

Integralen.

V_1. a. _{BC 5}2_32 _4 1 2 3 4 6 ABC Opp_V     b. VABC~VADB 4 5 3 4 3 2 5 25 BD BC BD AC AB BD      c. 2 2 2 4 5 5 3 (2 ) 1 AD   4 1 5 5 5 1 3 CD   V_2. a. b. _{CD 4}2_22 _{ 12 2 3} c. 1 2 4 2 3 4 3 ABC Opp_V     V_3. a. De basishoeken A en B zijn 180 50 2 65 o 6 sin 65 6 sin 65 5, 44 CD CD     o o b. AD6cos 65o 2,54 1 2 (2,54 2,54) 5, 44 13,79 ABC Opp_V      V_4. 1 1 2 2 4 2 2 1 3

OAB OAP OBP

Opp_V Opp_V Opp_V       

V_5.

Ik ga er vanuit dat BC7 Voor de hoogte van het parallellogram geldt:

1 2 8 4 8 3 44 ABCD Opp       sin 40o ₇h 7sin 40 4,50 10 4,50 45 ABCD h Opp      o V_6.

a. De driehoeken zijn gelijkbenig met tophoek 360 8 45 o . De basishoeken zijn 180 45 2 67,5 o . De hoogte van de driehoek is: 6sin 67,5o5,54

1 2 (2 6 cos 67,5 ) 5,54 12,73 Opp   o   b. 1 2 12 ( 2 6cos 75 6sin 75 ) 108 Opp    o o 

c. De totale oppervlakte van de driehoeken zal steeds dichter bij de oppervlakte van de cirkel komen: _62 _{36 113,10}

V_7. a. _x2_y2 _52 _25 2 2 2 25 25 y x y x     b. _{Opp 2 25 ( 3) } 2 _{ 2 25 ( 1) } 2 _{ 2 25 0} 2 _{ 2 25 1  }2 _{2 25 3} 2 _45,60 c. _{Opp 2 25 ( 3) } 2 _{ 2 25 0} 2 _{ 2 25 3} 2 _26 d. gemiddelde 45,60 26 2 35,80    e. _{Opp 1 25 ( 4) } 2 _{ 1 25 ( 3) } 2 _{  ... 1 25 0} 2 _{ 1 25 0} 2 _{  ... 1 25 4} 2 _42,96 2 2 2 2 1 25 ( 4) ... 1 25 ( 1) 1 25 1 ... 1 25 4 32,96 Opp                

Het gemiddelde van deze twee is ongeveer 37,96.

f. 1 2

2 5 12,5 39, 27

halve cirkel

Opp      

De benadering met rechthoekjes wordt nauwkeuriger naarmate de breedte van de rechthoekjes kleiner wordt.

1.

a. 1

2

4 1 4 2 8

Opp      b. Aantal vierkantjes tellen.

2. ondersom: 1 0 1 2 3 1

2

1   f( 1) 1 f(0) 1  f(1) 1  f(2) 1  f(3) 2  2  2 2 2 15 bovensom: _{1f(0) 1 f(1) 1  f(2) 1  f(3) 1  f(4) 2} 0_{ 2}1 ₂2_23_24 _33

Een benadering van de oppervlakte is 1512 33

2 24, 25 

3. a. 1 2 2x x 12 0     2 2 24 ( 4)( 6) 0 4 6 x x x x x x           b. ondersom: 2 (1         f( 6) 1 f( 5) ... 1 f( 2)) 70 Met de GRM: voer in: 1 2

1 2 12

y   x  x

ondersom = 2 ( sum seq y x x( ( ( ), , 6, 2))) 701   

bovensom: 2 (1         f( 5) 1 f( 4) ... 1 f( 1)) 95

De oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as is ongeveer: 82,5

c. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (     f( 6) f( 5 ) ...   f( 1 )) 2 (  sum seq( ( y x, , 6, 1.5, 0.5))) 76,875   1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 (  f( 5 )      f( 5) ... f( 1)) 2 (  sum seq( ( y x, , 5.5, 1, 0.5))) 89,375   De oppervlakte wordt nu ongeveer: 83,125

4.

a. Omdat de functie steeds minder toeneemt. b. ondersom: 2 f(1) 2 f(3) 2 f(5) 2 f(7) 1 ( (2 , ,1, 7, 2)) 15, 23 sum seq y x    bovensom: 2 f(3) 2 f(5) 2  f(7) 2 f(9) 1 ( (2 , , 3, 9, 2)) 19, 23 sum seq y x    5. a. -b. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (3 ) Opp  f   f   f   f  4 1 1 2 1 ( ) ( ( , , 0.5, 3.5)) 11 k f k sum seq y x  



   6. a./b. 5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1

1 log(1 ) 1 log(2 ) 1 log(3 ) 1 log(4 ) 1 log(5 ) log( ) k Opp k            



  4 1 2 0 log( ) ( (log , ,1.5, 5.5)) 2,51 k k sum seq x x  



   7. 9 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 (1 ) ... 1 (8 ) 1 ( ) 54,16 k Opp f f f f k         



  

8. In het linker plaatje zie je dat als je de

kolommen halveert (het aantal deelintervallen neemt toe), de

ondersom toeneemt; zie de donkergrijze

stukjes). Je krijgt dan een betere benadering van de oppervlakte onder de grafiek. Ook bij de bovensom (zie rechter plaatje) krijg je een betere benadering.

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 1 2 3 4 x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y x y x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4

9. Voer in: 1 2 1 1 y x 

 2nd trace (calc) optie 7 (f ( x )dx): 1,57

10. 11. a. 1 2 0 3x dx1



3 2 1 3x dx26



en 3 2 1 3x dx27



b. 1 3 3 2 2 2 0 1 0 3x dx 3x dx 3x dx







12. a. 2 0 2, 263 x x dx



2 0 3x x dx6,79



b. Als de functiewaarden 3 keer zo groot worden, wordt de oppervlakte ook 3 keer zo groot:

2 2 0 0 3x x dx 3 x x dx





13. a. 3 1 2x dx8



3 2 2 3 1 8 x dx



en 3 2 2 3 1 (2x x dx ) 16



b. Als je twee functies optelt, dan worden de oppervlakten ook opgeteld (mits de grenzen hetzelfde zijn): 3 3 3 2 2 1 1 1 2x dx x dx (2x x dx )







x y 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 x y 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 3 2 2 3 1 8 x dx



1 2 3 1 4, 29 x dx x  _



x y 0,25 0,5 0,75  1,25 1,5 -0,25 0,5 1 1,5 -0,5 -1 x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 0 sinx dx 1  



4 1 3 xdx 14



14. a. _{10 0,1 x}2 _0 2 2 0,1 10 100 10 10 x x x      b. c. 10 2 10 10 0,1 x dx49,673



15. a. 0 2 2 2 1 3 2 0 ( 2) ( 2) 5 Opp x dx x dx  

_

 

_

  b. 2 2 2 3 2 (4 ) 10 onder h Opp x dx 





  Oppervlakte ingesloten vlakdeel is 1 3 5 . 16. a. 2 0 sinx dx 0  



en 2 sinx dx 2    



b. Op het interval



0, 2 is het gedeelte onder de x-as even groot als het gedeelte boven de x-



as. De integraal wordt daardoor 0. Bij de twee integraal ligt de grafiek helemaal onder de x-as; de integraal is negatief.

17. a. 1 2 (2) 2 1 1 A     , 1 1 1 2 2 4 (3) 3 1 3 1 5 B       en 2 1 1 1 3 2 3 3 (4) 4 1 4 1 9 C       b./c. 1 2 ( ) f x  x 1 1 1 1 2 2 2 2 4 ( ) ( ) A x   x f x   x x x 2 1 1 1 1 2 2 2 4 2 1 1 1 1 3 2 3 6 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1) ( ) 3 ( ) 3 (3 ( 3)) 3 g x x B x x x x x x h x x C x x x x x x                         d. 1 2 '( ) ( ) A x  x f x e. 1 2 '( ) 1 ( ) B x   x g x en 1 3 '( ) 3 ( ) C x   x h x 18.

a. F(a+h) is de oppervlakte van het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f en de

lijnen x0 en x a h  ; het gekleurde gebied en het gebied onder de grafiek van f links daarvan). F(a) is het gebied onder de grafiek links van het gekleurde vlak. Het verschil van deze twee is dus precies het gekleurde vlakdeel.

b. De boven(som) wordt bepaald door een rechthoek met hoogte f(a+h) en de onder(som) door een rechthoek met hoogte f(a). De breedte van de rechthoek is h.

c. Als h naar 0 nadert krijg je: f a( )F a'( ) f a( )

x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 -12 1 2 3 4

19. a. 1 2 1 2 6 2 '( ) 3 ( ) F a   a  a  f a b. 3 3 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) (3) (1) f x dx f x dx f x dx F F







c. 3 27 1 26 1 6 6 6 3 1 ( ) (3) (1) 4 f x dx F F    



20. a. 3 4 1 2 4 2 ( ) F x  x  x c. K x( ) 5 x b. 1 5 1 2 6 2 ( ) 1 G x   x  x d. 3 4 4 3 16 9 ( ) L x  x  x 21. a. F x1'( ) 3 x26x 3 f x( ) 2 2 2 2'( ) 3( 1) 1 3( 2 1) 3 6 3 ( ) F x  x   x  x  x  x  f x b. F x2( ) ( x1)3x33x23x 1 F x1( ) 1 c. 3 3 3 2 1 1 ( ) 3 3 63 7 56 f x dx_x  x  x_   



en 3 3 3 1 1 ( ) ( 1) 64 8 56 f x dx_ x _   



d. De constante verdwijnt door de aftrekking.

22. a 1 2 2 2 6 '( ) 3(2 3) 2 (2 3) 4 12 9 g x   x   x  x  x 2 '( ) 4 12 9 h x  x  x b. 1 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 1 6 3 2 3 2 2 ( ) (8 36 54 27) 6 9 4 6 9 4 8 ( ) 8 g x   x  x  x  x  x  x  x  x  x  h x  c. 4 3 2 3 ( ) 6 9 F x  x  x  x c 23. a. _{F x( )x}2 b. 2 2 1 1 1 ( ) ( ) g x x G x x x x          c. 0,5 2 1,5 4 1,5 3 ( ) 2 2 ( ) h x  x  x  H x  x  x x 24. a. 1 7 7 8 '( ) 8 ( ) F x   x x  f x b. 1 10 10 ( ) G x  x 1 2 2 ( ) H x   x 2 3 1 3 5 ( ) K x  x

26. a. 3 5 4 5 ( ) F x  x x b. 2 4 2 3 3 2 3 3 3 3 1 ( ) 2 3 ( ) g x x x G x x x x x          c. 2 2,5 2 3,5 2 3 7 7 ( ) ( ) h x x x x  H x  x  x x d. 3 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) x x 2 ( ) 2 2 k x x x K x x x x x x x x x x                27. a. 4 4 3 1 4 1 2 4 2 ₂ 2 (x 5 )x dx_ x 2 x _ (64 40) (4 10) 30   



b. 2 2 2 2 3 1 1 1 3 ₂ 3 3 3 2 (2x 3)dx x 3x (5 6) ( 5 6) 1      _  _        



c. 4 4 4 3 2 2 1 3 7 4 2 2 2 3 3 48 4 3 8 3 2 ₁ 1 1 4 3 ( ) ( 3 ) 3 ( ) ( 3) 2 3x x dx x x dx x x   _   _     _  _       





d. 12 12 12 12 4 4 ₄ 1 ₆ 2 ₄ 1 _{2 2 6 4 8} 5 3 5 3 5 3 15 1 1 1 (3x x2 x dx)  (3x 2 )x dx_ x  x _ (38 10 ) (  ) 46





28. a. 25 ₂₅ 250 2 1 3 ₀ 3 3 0 (25) 83 A 



x dx_ x x_   b. 2 2 3 ₀ 3 0 ( ) p p A p 



x dx_ x x_  p p c. 2 3 p p 18 1 2 2 3 1 27 27 9 p p p p     29. a. _{g x( ) (2 ) x} 3 _8x3 _{ G x( ) 2 x}4 b. 1 4 2 ( ) ( 1) H x   x c. 1 3 1 2 5 10 2 1 ( ) ( 2) ( ) ( 2) 10( 2) k x x K x x x            30.

a. Bij het differentiëren van G(x) met de kettingregel wordt de exponent één lager en dus lijkt hij al heel erg die van g(x).

b. 1 112 1 112 2 2 '( ) 2 (3 4) 3 7 (3 4) G x  a x   a x c. 1 2 7 a1 2 15 a d. 2 212 15 ( ) (3 4) G x  x

31. a. 3 2 2 2 ( ) 4( 2) ( ) 2( 2) ( 2) f x x F x x x            b. 1 5 2 ( ) ( 7) G x  a x c. 5 ( ) 2(2 3) h x   x  4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 5 5 2 1 5 2 '( ) 5 ( 7) 2 ( 7) 2 1 ( ) ( 7) G x a x a x a a G x x           4 5 5 1 8 ( ) 2 (2 3) '( ) 8 (2 3) 2 16 (2 3) 16 2 H x a x H x a x a x a a                4 2 8 4 1 ( ) (2 3) 4(2 3) H x x x      d. k x( ) 3x 5 (3x5)12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 9 1 2 9 ( ) (3 5) '( ) 1 (3 5) 3 4 3 5 4 1 ( ) (3 5) K x a x K x a x a x a a K x x            32. a. f x( ) 0 b. 1 0 ( ) 10 p px px dx 



1 0 (1 ) 0 0 1 0 _p px px px px px px x x           1 1,5 2 2 1 2 1 1 3 2 ₀ 3 2 6 1 10 1 60 ( ) 10 6 p p px px p p p p p            33. a. 4 4 3 2 4 3 2 0 0 (0,3x 1, 2x 0,6x2, 4)dx_0,075x 0, 4x 0,3x 2, 4x_  20,8 0  20,8



De uitkomst is negatief, dus dat kan niet de oppervlakte zijn. b. De oppervlakte is 20,8 34. a. b. f x( )g x( ) 2 2 2 2 4 6 4 2 8 6 2( 4 3) 2( 1)( 3) 0 1 3 (1, 3) (3, 3) x x x x x x x x x x x x en                  x y 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 -1 f(x) g(x)

c. 2 1 3 2 3 2 3 ₁ 3 1 (x 4x6)dx_ x 2x 6x_ 4



en 2 1 3 2 3 1 3 ₁ 3 1 ( x 4 )x dx _ x 2x _ 7



Het ligt voor de hand dat

3 1 2 2 3 3 3 1 ( ( ) ( )) 7 4 2 Opp



g x  f x dx   35. a. 2 2 2 3 3 2 3 2 1 4 2 3 2 1 5 1 2 3 ₁ 3 6 2 1 1 ((x 4 ) (x x 2 ))x dx (2x 2x 4 )x dx x x 2x 5 4             _   _      





b. Op het interval



1,0



ligt de grafiek van f boven die van g. De oppervlakte van het rood gekleurde vlakdeel wordt berekend door

0

1

( ( )f x g x dx( ))







. Echter op het interval



0, 2



ligt de grafiek van g boven de grafiek van f en ligt de verschilfunctie f x( )g x( ) onder de x-as. De integraal van 0 tot 2 is dan negatief.

c. 0 0 3 3 2 1 4 2 3 2 5 2 3 ₁ 6 1 (( 4 ) ( 2 )) 2 rood Opp x x x x dx x x x     

_

    _   _  2 2 3 2 3 1 4 2 3 2 1 2 3 ₀ 3 0 (( 2 ) ( 4 )) 2 5 groen Opp 

_

 x x  x  x dx _ x  x  x _  36. a. f(1) 3 5   2 en g(1) 2 4   2 (2) 6 5 1 f    en g(2) 2 1 1   b./c. 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 4 ((2 ) (3 5)) (7 3 ) 7 1 10 9 Opp x dx x dx x x x x x          _   _     





37. a. f x( )g x( ) 3 2 3 2 2 2 0 2 0 3 2 3 2 4 2 4 2 2 0 4 3 2 4 3 2 1 1 4 ₄ 4 ₂ 6 12 8 4 8 6 8 0 ( 6 8) ( 2)( 4) 0 0 2 4 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( 6 8 ) ( 6 8 ) 2 4 2 4 4 4 8 x x x x x x x x x x x x x x x x Opp f x g x dx g x f x dx x x x dx x x x dx x x x x x x                                                          









b. 0 0 3 1 4 4 ₂ 2 ( 2) ( 2) 4 Opp x dx x     



 _  _  c. f x( ) 64 g x( ) 64 3 ( 2) 64 2 4 2 x x x      4 8 64 4 56 14 x x x    

2 3 2 1 1 4 3 2 1 2 4 ₀ 2 0 ( 6 8 ) (14 2) (64 16) 2 4 12 48 324 Opp



x  x  x dx     _ x  x  x _    

d. Omdat het gebied niet door 2 functies wordt ingesloten.

38. 1 1 2 1 3 2 3 ₀ 3 0 ( 1) groen Opp  

_

x  dx _ x x_  2 1 3 1 3 2 2 3 ₁ 3 3 3 1 3 1 3 2 1 3 2 ( 1) 0 ( 3) 0 0 3 0 3 3 a a rood Opp x dx x x a a a a a a a a a a a     _  _                 



39. 40. a. 5 5 2 0 0 9,8t dt_4,9t _ 122,5



meter.

b. Haar snelheid op tijdstip t5 is v(5) 49 m/s. In 6 seconden is de snelheid afgenomen tot 4 m/s. De snelheid neemt dus per seconde af met 49 4

6 7,5m/s.

c. v t( ) 7,5t b

Deze gaat door (5, 49): 49 7,5 5   b 37,5b  b86,5 ( ) 7,5 86,5 v t   t d. 11 11 2 5 5 ( 7,5 t86,5)dt _ 3,75t 86,5t_ 159



meter.

e. In totaal legt ze af: 122,5 159 70 4 561,5    meter.

41. a. f x( ) 0 b. _{ x}2 _{bx x x b(  ) 0} 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 3 2 ₀ 3 2 6 0 ( 1) 0 0 1 ( ) x x x x x x x x dx x x               _  _    



2 1 3 1 2 3 2 ₀ 0 3 3 3 1 1 1 3 2 6 0 ( ) 36 b b x x b x bx dx x bx b b b         _  _      



3 216 6 b   b x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x) x y 1 2 3 4 5 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 f(x) g(x)

c. f x'( )  2x b d. AC b 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 '(0) '( ) 2 ( , ) b b f b en f b b y bx en y bx b bx bx b bx b x b C b b              2 2 2 1 1 2 2 2 4 1 1 4 4 2 4 2 1 1 4 4 4 3 2 2 2 1 1 4 4 4 ( ) ( ) ( 3) 0 0 3 3 b b b b b b b b b b b b b b b b                

Oppervlakte driehoek ABC: 1 1 2 1 3 2 b b2  4b 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 6 4 6 6 12 : : ( ) : 2 :1 onder boven Opp Opp  b b  b  b b  42. a. '( ) 3 2 f x x  3 4 3 3 4 4 '(4) ( ) ( 4) 6 3 f g x x x       b. 0,5 1,5 ( ) 3 3 ( ) 2 2 f x  x  x  F x  x  x x c. 4 4 ₄ 4 2 3 3 4 8 _{0 0} 0 0 ( x3)dx 3 x dx_ x 3x_ _2x x_ 18 16 2 





43.

a. In 1 seconde gaat er _{2000  12}2 _{904779 mm}3 _{water door de buis. Dat is in een uur} 3

904779 3600 3257203263  mm 3257 liter water. b. _{H 2R}2_{1000 2000 R}2

c. Als het deeltje heel dicht bij de rand zit dan is r R . Er geldt dan v0. d. 0,012 0,012 2 2 0 0 2 2 2 2 0, 012 9,048 H  



r dr  _{ }r    m3_/s

De hoeveelheid water per uur is dan 9, 048 3600 1000 3257   liter. e. _{2 k (0, 012}2_{0 ) 1, 44 10}2 _{ } 4_k 2 2 2 0,012 0,012 _0,012 2 2 3 2 4 2 2 2 0,012 0,012 4 0,012 ₀ 0 0 4 3 13889 2 (0, 012 ) 2 (2 ) 2 4,52 10 / 0, 45 / k H r r dr r r dr r r m s liter s    _            _  _    





f. 2 2 2 3 2 1 2 1 4 2 4 ₀ 0 0 2 ( ) 2 ( ) 2 R R R H  

_

k R r r dr 

_

kR r k r dr     _kR  r  k r _  4 4 1 1 4 2 2 kR kR   

T_1.

a. ondersom 2 f(0) 2 f(2) 2 f(4) 2 f(6) 2  f(8)sum seq( (2y1(2 ), 0, 4)) 66x x 

bovensom 2 f(2) 2 f(4) 2 f(6) 2 f(8) 2  f(10)sum seq( (2y1(2 ), 1, 5)) 86x x 

b. ondersom 1 f(0) 1  f(1) ... 1   f(9)sum seq y x x( ( ( ), 0, 9)) 71,51 

bovensom 1 (1) 1 (2) 1 (3) ... 1 (10)f   f   f    f sum seq y x x( ( ( ), 1,10)) 81,51 

c. Het verschil is kleiner geworden. Door de kolommen smaller te maken wordt de benadering door de ondersom en bovensom nauwkeuriger.

d. Het midden van de eerste kolom is 0,1. De volgende middens liggen steeds 0,2 verder: 0,1 0, 2 0,1 (1 2 ) k m   k    k e. 50 1 1 0, 2 (0, 2 0,1) ( (0, 2 (0, 2 0,1), ,1, 50)) 76,67 k

Opp f x sum seq y x x

 



      T_2. a. 4 ₄ 2 1 1 (6 x2 )x dx_4x x x _ 13



b. 1 1 1 3 2 2 1 7 2 9 9 3 2 ₃ 3 3 2 8 ( )dx ( 2x 8x )dx x 8x 9 2 6 x x   _         _{         }  





T_3. a. 0 2 0 2 1,5 1,5 2 2 2 1 3 ₂ 3 2 ₀ 2 0 2 ( 2 ) ( 2) ( 2) Opp x dx x x dx x x x       



 



  _  _ _   _  1 1 1 1 3 3 3 3 1 2 3 1 2 3     b. 2 2 1,5 2 2 1 1 1 3 2 ₀ 3 3 0 ( 2 ) ( 2) 3 1 2 Opp



x x dx_ x  x _   T_4. a. 1 2 3 1 4 3 5 ( ) F x  x x  x b. 121 212 12 2 212 6 321 21 2 2 6 3 5 7 5 7 ( ) 3 2 ( ) 4 4 f x x  x  x  F x  x  x  x  x x x x x c. 2 1 3 2 3 1 2 2 3 3 3 6 3 2 1 ( ) 2 ( ) 6 f x x x F x x x x x             d. 3 2 4 5 1 2 3 3 4 3 4 5 5 5 3 4 2 3 1 2 3 ( ) 2 3 ( ) 3 4 x x f x x x x F x x x x x x x x x x                      T_5. a. 12 0 ₀ 1 4 4 3 4 2( 4) 16 A Opp x dx x     

_

 _  _  1 1 2 2 1 2 1 1 0 0 1 3 4 2( 4) 2( 4) 16 16 2( 4) 32 a _a B Opp x dx x a a     _  _      



( 4)112 16 4 6,35 2,35 a a a     

T_6.

a. Voer in: 1 2

1 8 2, 2 4 4

y  x  y  x en y3 y1y2. Met behulp van y3 en 2nd trace (calc)

optie 7 (Jf(x)dx) de integraal uitrekenen: 4 0 ( ( )f x g x dx( )) 5,33



b. 4 4 ₄ 2 2 3 1 1 1 2 1 8 8 24 3 ₀ 3 0 0 (( 2) (4 4)) ( 4 6)  2 6  5 



   



  _   _  Opp x x dx x x dx x x x x T_7. a. f x( )g x( ) 3 2 2 3 3 2 2 8 6 2 (8 6) 2 6 6 6 ( 1) 0 0 1 (1, 2) x x x x x x x x x x x x            b. 4 4 4 4 2 3 1 2 11 16 3 2 2 3 ₁ 1 1 1 8 6 2 6 6 ( x ) ( ) (6 6 ) 6 3 1 Opp dx dx x x dx x x x x x x      _{ } 

_

 

_

 

_

  _  _  c. 3 2 3 1 2 ₁ 2 1 1 8 6 3 8 ( ) (8 6 ) 8 3 5 a a a onder f x Opp dx x x dx x x x a a      _{ } 

_



_

  _  _    2 1 1 2 2 ₁ 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 0 2 4 3 ( 1)( 3) 0 1 3 a a a onder g Opp dx x dx x x a a a a a a a a a a a  _  _    _{ }                 



