Het gebruik van reductiemethoden bij het bepalen van het transient gedrag van niet-lineaire dynamische systemen met veel vrijheidsgraden: literatuurstudie

Het gebruik van reductiemethoden bij het bepalen van het

transient gedrag van niet-lineaire dynamische systemen met

veel vrijheidsgraden

Citation for published version (APA):

Fey, R. H. B. (1988). Het gebruik van reductiemethoden bij het bepalen van het transient gedrag van niet-lineaire dynamische systemen met veel vrijheidsgraden: literatuurstudie. (DCT rapporten; Vol. 1988.004). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

HET GEBRUIK VAN ~ ~ D U ~ T ~ E H E T H O D E N BIJ HET BEPALEN VAN HET TRANSIENT GEDRAG VAN

N ~ ~ T - L I N E A ~ R E ~ Y N ~ SYSTEHEBJ MET VEEL ~ I ~ ~ ~ E VRrJHErDSGRADEN (literatuurstudie).

R.H.B. Fey

BPV-rapport 88,004

januari i988

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der Werktuigbouwkunde Vakgroep WFW

Samenvatting.

Voor het voorspellen van dynamische responsies van werktuigkundige constructies wordt tegenwoordig vaak gebruik gemaakt van de eindige

elementenmethode in coabinatie met numerieke integratiemethoden. In geval van constructies met veel vrijheidsgraden (orde 10

- 10

1 leidt deze aanpak tot hoge rekentijden en -kosten.

3 5

Bij lineaire systemen omzeilt men deze problemen veelal door het aantal vrijheidsgraden te reduceren door toepassing van de Ritz-methode, ook wel mode superpositie methode genoemd.

Dit rapport is het resultaat van een literatuuronderzoek naar reductie- methoden voor niet-lineaire dynamische systemen met veel vrijheidsgraden. Voor algemene niet-lineaire systemen zullen worden behandeld: de locale mode superpositiemethode ofwel incrementele methode, de pseudo-load methode en een methode waarbij niet-parametrische identificatie van gegeneraliseerde niet-lineaire interne belastingen op basis van een gereduceerd model

centraal staat, Voorts komen meer problee3 afhankelijke reductiemethoden aan de orde. Ten eerste methoden voor het bepalen van responsies van niet- lineaire constructies op een stapbelasting, vervolgens nethoden voor constructie's die grotendeels een lineair karakter hebben, maar locaal een niet-lineariteit bezitten en tenslotte een methode voor lineair splitsbare niet-lineaire systemen.

INHOUD.

1 INLEIDING.

1.3.

Algemeen.

1.2 Directe numerieke integratiemethoden.

1.3 Numerieke integratiemethoden waaraan mode superpositie voorafgaat.

2 LOCALE MODE SUPERPOSITIE METHODE OF INCRE~~ENTELE METHODE.

2.1 De methode van Nickell (1976).

2.2 De methode van ïdeïsohn en Cardsna (1985).

3 DE PSEUDO-LOAD METHODE.

3.1 De methode van Horris (1977)*

3.2 De methoden van Stricklin en Haisler (19771, Shah, Bohm en Mahavandi

(19791, Kukreti en Chen (1981) en Kukreti en Issa (1984).

a

MIET-PAR~METR~SCHE IDERTIFI~ATIE VAri GEGENERALI~EE~DE, NIET-LINE~IRE, IMTERME ~ E L A S T I ~ ~ E ~ OP BASIS VAN EER GEREDUCEERD LINEAIR HODEL.

5 HODE ~ U P E R P O ~ I ~ ~ ~ BIJ BET BEP~LEN VAN RESPONSIES OP EEN STAPBELASTING,

6 ETHO HOD EM VOOR HET BEPALEN VAM RESPONSIES VAN GROTE D ~ N A M I ~ C ~ E S Y ~ ~ E H E ~ P E 3 LOCALE RIET-LIN~ARITEIT~N-

6.1 De methode van Bathe en Gracewski (1981).

6.2 De methode van Cipra en Uicker (1981).

6.3 De methode van Tongue en Dowell (1983).

7 REDUCTIE VAN LINEAIR SPLITSBARE NIET-LINEAIRE SYSTEHEN-

8 EVALUATIE.

4

1 INLEIDING. 1.1 Algemeen.

Voor het bepalen van transient gedrag van niet-lineaire systemen wordt

vaak gebruik gemaakt van de eindige elementenmethode in combinatie met numerieke integratiemethoden. Bij laatstgenoemde methoden wordt op discrete tijdstippen geëist dat aan de bewegingsvergelijkingen wordt voldaan. De oplossing wordt hierbij in de tijd geëxtrapoleerd. We onderscheiden twee typen numerieke integratiemethoden:

1. Directe numerieke integratiemethoden.

2 . Humerieke integratiemethoden waaraan mode superpositie voorafgaat.

In dit rapport zal voornamelijk ingegaan worden op het laatste type. De reden daarvan zal worden aangegeven. Voordat we de beide typen methoden bespreken, introduceren we eerst twee belangrijke begrippen:

Stabiliteit.

Een integratiemethode heet onvoorwaardelijk stabiel als de oplossing voor willekeurige begincondities niet onbegrensd wordt (in de limiet t.+") voor een willekeurige tijdstap At. Een integratiemethode heet voorwaardelijk stabiel als het bovenstaande geldt onder de conditie At

de kritieke tijdstap is. De kritieke tijdstap is sterk afhankelijk van de

hoogste (momentane) eigenfrequentie van het systeem.

Atcr waarbij Atcr

Voor lineaire systemen kan de stabiliteit van een integratiemethode

onderzocht worden m.b.v. de rnethode van de eigenwaarden vac de iteratieve matrix (Bathe en Nilson, 1976).

Er is minder bekend over de stabiliteit van integratiemethoden indien deze worden toegepast op niet-lineaire systemen. Voor fysisch niet-lineaire systemen kan worden gebruik gemaakt van de energiemethode (Belytschko en Schoeberle, 1975).

5

Nauwkeurigheid.

Stabiliteit geeft nog geen garantie voor een nauwkeurige oplossing, Het is echter wel een voorwaarde. Het ligt voor de hand dat de nauwkeurigheid van een bepaalde oplossing zal toenemen bij een kleinere tijdstap. Het is moeilijk om deze toename kwantificeerbaar te maken. Miet alleen de

integratiemethode speelt een rol; ook het verloop van de uitwendige

belasting en het karakter van eventuele niet-lineariteiten in het systeem.

1 - 2 Directe nurnerieke intearatiemethoden.

Bij deze technieken vormen de be-egingsvergelijkingen rechtstreeks

volgend uit het (eindige elementen) model van de constructie tesamen met een zeker integratieschema de uitgangspunten. Wat betreft de integratieschema's onderscheiden we expliciete en impliciete schema's.

B i j expliciete schema's worden de Verplaatsingen op tijdstip t+At

berekend op basis van een evenwichtsbesehouwing op tijdstip t. Deze schema's vragen relatief weinig rekentijd en geheugenruimte, aaar zijn voorwaardelijk stabiel zodat i.h.a. kleine tijdstappen toegepast moeten worden, Een

voorbeeld van een expliciet schema is het centraal differentieschema (Bathe en Wilson, 1 9 7 6 ) .

Bij irnpliciete schema's worden de verplaatsingen op een zeker tijdstip berekend op basis van een evenwichtsbeschouwing op datzelfde tijdstip. Impliciete schema's zijn bij goed gekozen waarden voor de integratie- parameters onvoorwaardelijk stabiel, Dit betekent dat in vergelijking ;net expliciete schema's grotere tijdstappen zijn toegestaan. De rekenkosten per tijdstap zijn echter hoger. Bovendien neemt de benodigde geheugenruimte sterk toe bij een groter aantal vrijheidsgraden. Voorbeelden van impliciete schema's zijn die van Houbolt, Wilson en Mewmark (Bathe en Wilson, 1976).

In sommige gevallen is het mogelijk om een uitspraak te doen over welk schema te prefereren valt. Vaak zal noch een expliciet, noch een impliciet schema op zichzelf erg efficient zijn vanwege gebruik van verschillende typen elementen en locale meshverfijningen. Daarom zijn een aantal mengvormen ontwikkeld (Bruijs, 1987) e

Het expliciet-impliciet (EI) tijdsintegratietechnieken kunnen modellen waarin relatief slappe en relatief stijve submeshes te onderscheiden zijn

6

effectief doorgerekend worden. De relatief slappe submeshes worden eerst expliciet gelntegreerd. Vervolgens worden de relatief stijve submeshes impliciet geïntegreerd.

Een andere groep vormen de Em-E technieken. Hierbij worden de vrijheids- graden die deel uitmaken van een relatief stijve submesh met een tijdstap At/m (m is een positieve integer) en de overige vrijheidsgraden met een tijdstap At expliciet geïntegreerd-

Indien we gelnteresseerd zijn in de ‘dynamische responsies van een systeem met veel vrijheidsgraden gedurende langere tijdsduur zullen alle boven- staande technieken blijven leiden tot hoge rekenkosten, Voor niet-lineaire systemen geldt deze opmerking nog sterker dan voor lineaire systemen omdat i.h.a. na iedere tijdstap een aantal keren geïtereerd aset worden ter

verkrijging van dynamisch evenwicht (binnen een zekere nauwkeurigheid) Mode superpositiemethoden bieden de mogelijkheid om deze kosten terug te dringen door reductie van het aantal graden van vrijheid voordat integratie plaats- vindt. Deze reductie gaat gepaard met verlies van een stuk nauwkeurigheid. Door de modes goed te kiezen dient dit verlies beperkt te blijven,

1,3 Numerieke integratieBethoden waaraan mode superpositie voorafgaat,

In de lineaire dynaaica wordt de mode superpositiemethode veelvuldig toegepast. Door vergelijken van het frequentiespectrum van het excitatie- signaal met de eigenfrequenties van de constructie kan een aantal eigennodes worden geselecteerd. Als tweede criterium bij deze selectie kan de belas- tingsverdeling over de constructie gehanteerd worden. Door het toepassen van een lineaire coördinatentransformatie waarbij de genoemde eigenmodes als basisvectoren dienen, ontstaan een gereduceerd aantal ontkoppelde modale vergelijkingen die analytisch of met een directe numerieke integratiemethode gektegreerd worden.

Voor niet-lineaire dynamische systemen zijn de vorm van iedere normal Bode (als generalisatie van het begrip eigenmode) en de daarbij behorende natuurlijke frequentie (als generalisatie van het begrip eigenfrequentie) evenals hun aantal afhankelijk van de energie. I.h.a. is het niet mogelijk OE via een lineaire transformatie ontkoppelde vergelijkingen te verkrijgen.

7

Ondanks dit feit zijn toch mode superpositie methoden toegepast op niet- lineaire systemen. Voor algemene niet-lineaire dynamische systemen zijn drie verschillende aanpakken te onderkennen:

1. Bij de locale mode superpositie methode o f incrementele methode worden de niet-lineariteiten opgenomen in het linkerlid van de bewegings-

vergelijkingen. Deze worden rondom het huidige werkpunt gelheariseerd. De eigenmodes en eigenwaarden van het gelineariseerde systeem worden berekend door oplossen van het eigenprobleem. Na integratie gedurende één of meerdere tijdstappen zal opnieuw gelineariseerd moeten worden omdat de systeemeigenschappen dusdanig veranderd zijn dat het oude lineaire model niet meer voldoet. De eigenmodes en eigenwaarden dienen te worden

aangepast aan de nieuwe situatie. Vervolgens kan weer worden gelntegreerd etcetera. Hethoden gebaseerd op de incrementele methode worden behandeld in hoofdstuk twee.

2, Bij de tweede aanpak worden de niet-lineariteiten gezien als een pseudo- belasting. De eigenmodes en eigenfrequenties van het lineaire systeem in de referentietoestand worden eenmalig berekend. In het derde hoofdstuk komen deze methoden aan de orde.

3 . In hoofdstuk vier wordt een methode gepresenteerd waarbij het niet- lineaire systeem op een standaard wijze wordt gereduceerd als ware het een lineair systeem. Vervolgens iqordt een niet-parametrische identifi- catie van de interne knooppuntskrachten van ket gereduceerde model uitgevoerd.

Naast bovenstaande algemene reductiemethoden bestaan er methoden die uitgaan van een bepaald type belasting o f van de aard en de eigenschappen van het niet-lineaire dynamische systeem:

4, Hoofdstuk vijf gaat over het gebruik van mode superpositie bij het bepalen van responsies van niet-lineaire systemen op een stapbelasting.

5. Bij het bepalen van responsies van grote dynamische systemen met locale niet-lineariteiten wordt mode superpositie (lees reductie) voornamelijk op de lineaire substructuren toegepast. Zie hiervoor hoofdstuk zes.

8

6. Van der Varst 11982) toonde aan dat voor een bepaalde klasse van niet- lineaire systemen, de zogenaamde lineair splitsbare systenen, het wel mogelijk is om d.m.v. een lineaire transformatie de bewegings-

vergelijkingen te ontkoppelen. De (similar) normal nodes van de lineair splitsbare systemen liggen langs dezelfde rechte als de eigenmodes van het gelineariseerde systeem. De ontkoppelde vergelijkingen van deze systemen blijven niet-lineair en kunnen dus i.h.a. niet analytisch geintegreerd worden. In hoofdstuk zeven zullen we een strategie

aanstippen voor een directe reductie voor deze klasse van niet-lineaire systemen e

Het toepassen van een mode superpositiemethode vereist het (meerdere keren) oplossen van een eigenwaardeprobleem, De extra kosten die hierbij gemaakt worden in vergelijking met een directe numerieke integratie methode moeten en kunnen ruimschoots worden terugverdiend tijdens het integratie- proces. Net stelsel krijgt immers een lagere orde. Bovendien aordt de

hoogste monnentane eigenfrequentie verlaagd waardoor een grotere tijdstap is toegestaan tijdens het numerieke integratieproces,

9

2. LOCALE MODE SUPERPOSITIE XETHODE OF r ~ C R E ~ E ~ T E ~ E XETHODE.

2.1 De methode van Nickell (1976).

De bewegingsvergelijkingen op t=tn+l worden gegeven door:

W e kunnen schrijven:

waarbij

We definigren:

Gebruik van ( 2 1 - 1 6 ) in (I) levert:

&t

R(xJ

= f (x

1

-

schri j ven :

x kunnen we ( 8 ) in totale incretnentele vorm

-n -n -n

We lossen het eigenwaardeprobleem op:

We selecteren een aantal modes OP basic van een frequentiecriterium en stellen de transfoririatiematrbx g op:

De eigenmodes worden genormeerd met de massamatrix als kern:

De getransEormeerde, gereduceerde en ontkoppelde bewegingsvergelijkingen worden nu:

In algoritmevorm ziet de methode van Mickebl er als volgt uit:

n=Q.

Stel

0,

K k Q )

en Af

Los het eigenprobleem op m.b.v. een transformatiemethode of een iteratieve methode (Hickell: standard inverse power sweep) Selecteer modes voor

2

op basis van een frequentiecriterium. Integreer (14) analytisch. Af wordt meestal benaderd door een polynoom in t in het tijdsinterval. Gebruik als begincondities:

( x 9 op.

11 6 7 8 9 lo 11 Bereken A Z ~ , ~ + ~ , A2 met (11). Bereken

x~~~~

n=n+1. -n,n+g en '&,n+1 en

Encl

met ( 4 ) . Stel

Kkn)

en

kn)

op.

Ga over op nieuwe basis: bereken nieuwe eigenmodes en eigenhoekfrequenties m.b.v. de subspace iteratie techniek

(kwadratische convergentie). Be oude eigenmodes en

eigenhoekfrequenties worden hierbij als beginschatting gebruikt. Ga naar stap 5.

Opmerkingen bij stap 5:

T

Indien g geen vierkante matrix is fungeert 9 als pseudo-inverse van

2,

zie (12). I.h.a. zullen na elke basisovergang fouten worden geantroduceerd bij het berekenen van de begincondities aan het begin van iedere tijdstap. De reden hiervan is dat

een lineaire corabinatie van de nieuwe basis. Deze fouten zullen leiderr tot steeds grotere discrepanties tussen de berekende en de exacte oplossing,

en

Xn

meestal niet exact te schrijven zijn als

Merk verder op dat er geen iteratieproces ter verkrijging van dynaiaisch evenwicht in het algoritme is opgenomen.

Hen kan zich afvragen waarom we bij een nieuwe tijdstap niet de volgende twee basiskolommen aan de nieuwe basis zouden toevoegen:

De begincondities voor de nieuwe tijdstap zijn nu wel te schrijven als een lineaire combinatie van de nieuwe basis, waardoor geen afbreekfout meer wordt geantroduceerd. Voor

k1,

en &2n kan worden aangetoond dat:

een kolom

&in

in de basis opnemen die massa-orthogonaal h2n

We kunnen i. p. v. is t.o.v. h _-In'

I2

We kunnen

hln

en

&in

bovendien normeren met de massamatrix als kern. 1.h-a. zal echter:

zodat de op te lossen d.v.-en niet meer helemaal ontkoppeld kunnen worden. Een numeriek integratieschema zal moeten worden toegepast voor de twee toegevoegde vergelijkingen.

Remseth (1979) stelde voor om bij langzaarn veranderende systeemeigenschappen niet bij elke tijdstap de eigenrnodes en eigenfrequenties te corrigeren. De bewegingsvergelijkingen ontkoppelen nu niet meer elke tijdstap (bij een constante massamatrix alleen de versnellingen). Het gereduceerde stelsel wordt opgelost met een directe numerieke integratie techniek (Mewmark). Remseth concludeert dat de incrementele methode gecombineerd Eoet worden Bet een iteratieproces ter verkrijging vân dynamisch evenwicht omdat de

incrementele methode op zich leidt tot foutenaccumulatie in de oplossing. Om de rekeninspanningen binnen de perken te houden wordt i.h,a, niet na iedere tijdstap, maar steeds na enkele tijdstappen geltereerd,

2.2 Idelsohn en Cardona ( 1 9 8 5 ) .

De bewegingsvergelijkingen worden gegeven door:

We definiëren schrijven:

1 3

Substitutie van ( 2 ) en ( 3 ) in (1) geeft:

We passen op ( 4 ) een coördinatentransformatie en -reductie toe:

( 5 ) Substitutie van ( 5 ) in ( 4 ) gevolgd door voorvermenigvuldiging met

gT

levert:

* T f

= i f

* T N * T waarin =

2

2

Be matrix g bestaat uit twee typen modes:

1. Een aantal eigenmodes van het rondom positie x -n gelheariseerde systeem volgend uit de oplossing van het eigensJaardeprobleefn:

De eigenmdes worden genormeerd met de rnassaïriatrix als kern. 2 . Een aantal eerste of hogere orde afgeleiden van deze eigenmodes.

Vergelijking ( 7 ) geeft aan dat de eigenmodes afhankelijk zijn van de positie x die in de tijd verandert, We kunnen dus schrijven:

-n

Uit ( 9 ) kunnen we afleiden dat we de verplaatsingen 5 %ogen zien als een

niet-lineaire functie van de modale coördinaten q l e We ontwikkelen Ax in een Taylor serie rondom positie

xn:

14

We stellen vast dat:

axi

= component i van eigenmode 1

‘q1n’ = vil (11)

Ter berekening van benaderingen voor de hogere orde afgeleiden gaan we u i t van de volgende benaderingsfunctie voor xi in de omgeving van xin:

De rechtvaardiging hiervoor is dat de versnellingen door lagere orde benaderd kunnen worden. Ve differentiëren de k-de vergelijking van (11 naar q _1‘

-

axi

a~~

axi

- + - - -

- o

%i dql ax. 1 aql

Op t=tn resulteert (13) in:

e

We differentiëren f l 3 1 naar q, _.- (2 orde afgeleiden van traagheidstermen

vallen weg):

15

Indien gewenst kunnen derde of nog hogere orde afgeleiden berekend door

(15) te differentiëren.

Zijn al de gewenste eigenmodes en afgeleiden daarvan bepaald, dan kan de

transformatiematrix opgesteld worden:

dx d X 2

Alleen de afgeleiden van de eigenmodes die een belangrijk aandeel hebben in de totale responsie worden in

2

opgenomen. Meestal zijn dit de afgeleiden

van de eigenmodes met de laagste eigenfrequentfes. Het algoritme van Idelsohn en Cardona is als volgt:

1

Bereken bij overstap op een andere basis:

T

Bij gebruik van een gereduceerde basis is 2 3 de pseudo-inverse van

2

omdat de eigenmodes zijn genormeerd met de massamatrix als kern. Bovendien wordt bij reductie een afbreekfout gelntroduceerd.

2 Bereken aan ket begin van de tijdstap:

1

Ei+l = X 1

= x

-n+l -n

16

*

als

I

lEn+l

I

I

< tol, _.L + Einde iteratieproces; naar 4.

*

+ De tangentiële stijfheidsmatrix

K

wordt

*i

als

1

!En+l

I

I

< tol2

niet gemodificeerd.

(I is gelijk aan het maximaal aantal iteratieslagen)

*T

als

I

IE;,,

I I

> tol1

+ De laatste tijdstag vervalt. Stap over op

een andere basis; ga naar 1.

4 Aan het einde va het iteratieproces:

Doe een nieuwe tijdstap; naar 2 .

Door het opnemen van afgeleiden van eigenmodes in de basis hoeft deze basis minder frequent gemodificeerd te worden, waardoor niet bij iedere nieuwe tijdstap een afbreekfout wordt geintroduceerd, zoals bij Nickel1 het geval is. Omdat ria enige tijdstappen toch een overgang op een nieuwe basis nodig is daar de afwijking

I

IEncil

I

op een zeker moment groter dan tolf blijft na het rnaximaal aantal iteratieslagen, zullen ook hier de afbreekfouten leiden tot steeds groter wordende discrepanties tussen exacte en berekende

1 7

oplossing, hoewel de exacte oplossing gedurende langere tijd goed gevolgd zal vorden bij de huidige znethode in vergelijking met de methode van Nickell. Ter woorkonling van groeiende discrepanties stellen Idelsohn en Cardona voor om niet over te gaan op een nieuwe basis maar O P steeds enige

nieuwe modes aan de oude basis toe te voegen. Deze nieuwe modes worden t.o.v. de oude basis georthonormaliseerd. Ket nadeel hiervan is dat ket effect van de reductie op de langere duur almaar minder wordt.

18

3 . DE PSEUBO-LOAD EETHODE.

3.1 De methode van Morris (1977).

De bewegingsvergelijkingen worden gegeven door:

We delen

RQ)

op in een lineair en een niet-lineair deel:

Los eenmalig het eigenprobleem op:

Pas coördinatentransformatie en reductie toe:

De getransformeerde bewegingsvergelijkingen worden bij aanname van pmportionele demping:

*

(5) *nl

<E>

+

<c>

gn+l +

<E>

Qn+l +

(Rn+l)

= f(tn+Q

We lossen het stelsel op m.b.v. een integratieschema uit de Mewmark familie. Het volgende schema neemt een lineair verloop van de versnellingen aan over de tijdstap:

19

D i t is een niet-lineaire vergelijking voor elementen van

E

~

Deze

+

~

~

vergelijking kan worden opgelost m.b.v. een iteratieve raiethode (b.v. Newton- Raphson). Matuurlijk kunnen ook andere expliciete of impliciete integratie- schema’s worden toegepast.

3 . 2 De methode van Stricklin en Haisler ( 1 9 7 7 ) , Shah, Bohrn en Mahavandi

(19791, Kukreti en Chen (1981) en Kukreti en Issa (1984).

De bewegings~~ergelijkingen worden gegeven door:

We definiëren de pseudo-load

an’($

=

K

5

-

E($

en herschrijven

(1)

:

nl

+

C S -+ = f ( t ) +

5

(51

Shah e.a. (1939) stelden voor om voor een bepaald tijdsinterval (tn,tn+l) het rechterlid van ( 2 ) te benaderen door een polynoorn in t:

--

We voeren een nieuwe tijdschaal in: r = t-tn

Stricklin en Haisler (1977) namen een constante pseudo-load aan in het interval :

20

Kukreti en Chen (1981) namen een lineair verloop en Kukreti en Issa (1984)

namen een kwadratisch verloop van de pseudo-load in het interval aan:

û < ~ < A t

De laatste methode zullen we verder uitwerken. Omdat een tweede orde polynoom wordt gekozen, kan op drie tijdstippen in het interval exact aan

(6) voldaan worden. Ve kiezen voor deze tijdstippen ~ = û , ~=At/2 en T=At. Ve definiëren:

Van de zes bovenstaande kolommen zijn

Ell

en

5;’

onbekend. Door substitutie van de drie tijdstippen in ( 6 ) kunnen

a, b

en

2

uitgedrukt worden als

nl

N

a = fo 3.

Eo

Vervolgens lossen we eenmalig het eigenwaardeprobleem op, selecteren een aantal modes die we met de massamatrix als kern normeren en passen

coördinatentransforxatie en reductie toe via:

B i j aanname van proportionele demping resulteert dit in het volgende stelsel

21

Toepassen van Duhamels integraal op deze vergelijkingen levert:

0 < ~ < A t

Uitdrukkingen voor T.(7,ui,ti) zijn te vinden in het artikel van Kukreti en Issa (1984). In

(1'1)

zijn b N en

-1

onbekend zodat een iteratieve procedure gebruikt moet worden. Een van de twee algoritmen van Kukreti en Issa (1984)

zal worden beschreven:

1 Formuleer

E,

c

en

5.

2 Los eigenwaardeprobleem op.

3 Stel Ti(~,wi,ti) (i=1,2!3,4) op voor T = At/2 en 7 = At.

4 Bereken ~ ( 0 ) =

y-"x[O)

=

2

PJ u x ( 0 ) en g ( 0 ) =

g

$ ( O ) =

2

.%(O) N

T -1 T

Opmerking: bij reductie is

2

geen vierkante matrix en dus niet

T

inverteerbaar.

2

dient dan als de pseudo-inverse van

-

+.

A l s x ( 0 ) N o f .%(O) N geen lineaire combinatie van de

koloxmen van

2

zijn wordt eenmalig een fout geintroduceerd.

nl

5 Doe voor ieder tijdsinerement:

i Bereken en

?&

(i=OF1,2).

ii Neem aan I$'= a

Ei1,

€ti1=

j3

$0'

a,B vrij te kiezen, bv. 1. iii Bereken

5,

N

en 5 met ( 8 ) .

iv Bereken ~(Atl2) en QfAt) met (11).

v

Bereken x(At/2) IC. en x(At) met (9).

nl.

vi Bereken nieuwe

5,

en

ga1

gebaseerd op x(At/2) en x(At). vii Controleer o f convergentie is bereikt:

22

De bovenindices ktl en Ir staan voor de huidige iteratie en de voorafgaande.

-

indien convergentie niet is bereikt: k=k+l

herhaal stap iii-vii.

-

indien convergentie is bereikt:

bereken g(At), E ( A t ) , % ( A t ) , g ( A t ) .

herhaal s t a p i-vil. en gebruik f i ( h t ) en $(At) als begincondities voor de volgende tijdstag.

2 3

4. NIET PARAMETRISCHE IDENTIFICATIE VAN GEGENERALISEERDE NIET-LIMEAIRE INTERNE BELASTINGEN OP BASIS VAN EEN GEREDUCEERD LINEAIR MODEL.

Onderstaande nethode werd ontwikkeld door Masri, Miller, Sassi en Caughey

(1984). Beschouw een niet-lineair systeem met n vrijheidsgraden 5 :

Pas statische condensatie toe. Definieer r master d.o.f.'s ( r < n )

corresponderend met grote deformaties:

Los het gereduceerde eigenprobleem op:

waarin:

! $ - S K A

-

T

q - a i A

-

T

-

K is de tangentiële stijfheidsmatrix in de ongedeformeerde toestand. Pas de

volgende transformatie toe:

De kolommen van de Ir*r3 matrix

2

zijn de eigenmodes volgend uit ( 3 ) . De bewegingsvergelijkingen worden nu:

* T

waarin =

2

M _1- @

We kunnen nu ook schrijven:

*

T T

24

*

In geval van een zwak gedempt, lineair systeem hangt R i alleen af van p

Pi. Bij niet-lineaire systemen zal R . i.h.a. afhankelijk zijn van alle *I

modale parameters uit functie opstellen:

en i

en

fi.

Voor Ri kunnen we de volgende benaderings-

*

*

' *

Ri z Z R. _{I J} .(vlij, V2i j i j

=1

*

*

*

R . wordt dus benaderd door J a termen Rij. Elke R . : bestaat uit een sommatie

1 1 J

waarin T _Is en T goed gekozen basis- 1

van termen Cklij T ( v

functies zijn en C

om voor de basisfuncties de orthogonale Chebyshev polynomen te gebruiken. De twee variabelen

v1

en v

k lij' T1(v2ij'

kaij de te bepalen coëfficiënten. De auteurs stellen voor zijn elementen van

E

en/of

t.

De keuze van

-

2

combinaties en permutaties van v, en v

van het karakter en de sterkte van de niet-lineariteiten van het systeem en de effecten daarvan op "mode" i. Herk op dat de formulering in (81 "modale'1 interactie tussen alle "%nodale" verplaatsingen en snelheden toestaat, echter slechts tvee tegelijkertijd.

en het aantal termen Ji hangen af

- 2

*

Kina Indien R . (t), vli1(t) en vail(t) bekend zijn kunnen de Coëfficiënten C

bij een gegeven vorm voor R Berekend worden door een optimale fit door Ri(t) te bepalen op basis van een kleinste kwadraten criterium. We berekenen vervolgens de afwijking tussen Ri (t) en Ril(t) :

I

i1

*

*

*

-

Indien vliS(t) en vZi2(t) bekend zijn kunnen de coefficiënten C

gegeven vorm voor R

kan worden doorgegaan totdat j=Ji.

bij een

*

berekend worden door een optimale fit door Al(t). Zo

i2

25

1. %eet of bereken (met e.e.m.) ~ ( t ) , a(t), g(t) en f(t). We nemen voor f(t) brede band witte ruis, Kies de sampletijd in overeen- stemming met deze frequentieband.

2. Bereken, meet o f schat 0 en E.

3 . Reduceer de orde van het systeem door toepassen van statische condensatie, vgl. ( 2 ) .

4. Bereken

2

door oplossen van het eigenprobleem, vgl- 133. 5. Gebruik (6) ter berekening van R(tf.

6, Bereken:

*

*

7 , Stel analytische uitdrukkingen op voor Rij. 8. Bereken Ckiij.

bepaald zijn beschikken we over een wanneer alle coëIficiënten Cklij

gereduceerd, niet-parametrisch model van het niet-lineaire systeem,

26

5. HODE SUPERTOSITIE BIJ HET BEPALEN VAN RESPOMSIES VAN NIET-LINEAIRE

SYSTEMEN OP EEM STAPBELASTIMG.

De bewegingsvergelijkingen worden gegeven door: Ill

E X +

-

( K + K ($1

X’f

Noor (1981) stelt het gebruik van twee typen modes voor:

1 Een aantal van de laagste eigenmodes van de onbelaste constructie:

2 Een aantal van de laagste eigenmodes rondom de statische oplossing

s

5

superposi tie) :

als gevolg van de stapbelasting (principe van de locale modale

nl s s statische oplossing:

(K

+

K

(5

1 )

5 = f

Knight (1985) neemt naast een aantal van de laagste trillingsmodes rondom

ss

deze statische oplossing zelf ook in de mode set op. Knight geeft twee

criteria voor de keuze van het aantal Bodes “h:

I. Hinimaal, drie tot vijf knopen in elke eoördinaatrichting per halve golf van de mode shape (voor 2D constructies),

2. Arbeidsnorm van belasting en mode shape:

Be scalars

äi

geven vooraf een indicatie of het aandeel van een Bode aan de uiteindelijke responsie groot (o( 4 1) of klein

COC

+ 0) zal zijn. Hodes

27

-

i waarvan a beneden een bepaalde grenswaarde ligt worden niet meegenomen.

i

Na transformatie van de bewegingsvergelijkingen (1) wordt het gereduceerde

28

6. PIETNODEN VOOR HET BEPALESJ VAIJ RESPONSIES VAN GROTE DYNAMISCHE SYSTEBEN

MET LOCALE IET-LINEARITEITEN.

Bij deze methoden worden voornamelijk de lineaire substructuren gereduceerd.

6.1 De methode van Bathe en Gracewski (1981).

Algoritme:

1. Stel de intrementele bewegingsJergelijkingen op, Gebruik een gemdificeerd Newton iteratieproces ter verkrijging van dynamisch evenwicht op tijdstip tn+l:

-

M : constante massamatrix.

-

C : constante dempingsmatrix.

K

f : externe belastingskoloin op tijdstip -n+l

: tangentigle stijfheidsmatrix op tijdstip tn.

-n

i-1 Ri-' : kolom met interne belastingen veroorzaakt door verplaatsingen

xnCl

-n+l

: verplaatsingskolom ten tijde t na i iteraties. i

%+l n+l

2 . Toepassen van het Newmark integratieschema op de incrementele Bewegings-

vergelijkingen levert:

I u

-

waarin K = K

+

L.

29

i-1 i-l

= x - x

5 -n+L -n

3 . Partitioneer ( 3 ) naar vrijheidsgraden die geassocieerd worden roet lineair gedrag en vrijheidsgraden die geassocieerd worden met niet-lineair

gedrag, Voer vervolgens statische condensatie van de lineaire vrijheids- graden uit.

4 . Loa het gereduceerde stelsel op door itereren. De grootte van het stelsel

is gelijk, aan het aantal vrijheidsgraden geassocieerd met niet- linearikeiten.

5. Bereken de totale kolom

xn+l

door terugsubstitutie en vervolgens en met het Newmark schema. Mu kan aan een volgende tijdstap begonnen

%I

worden.

Clouah en Vilson (1979) reduceren de lineaire substructuren niet puur statisch, roaar nemen ook een aantal fixed interface normal inodes voor de lineaire substructuur mee,

6.2 De methode van Cipra en Uicker (1981).

Algoritme: 1. 2 . 3 . 4. 5. 6.

Een constructie met locale niet-linearitehten wordt opgesplitst in één of meerdere lineaire substructuren (roet veel vrijheidsgraden) en &en o f meerdere niet-lineaire substructuren (met weinig vrijheidsgradenj De lineaire substructuren worden eenmalig gereduceerd op basis van een frequentiecriterium.

De gereduceerde lineaire substructuren worden zoveel mogelijk aan elkaar gekoppeld.

De bewegingsvergelijkingen van de niet-lineaire substructuren worden gelineariseerd rondom het werkpunt t=tn.

De gelineariseerde vergelijkingen van de niet-lineaire substructuren worden gekoppeld met de vergelijkingen verkregen bij 3 .

Het eigenwaardeprobleem van het gelineariseerde, gereduceerde

construetiemodel wordt opgelost. Bij gegeven begincondities op t=t is de analytische oplossing voor dit roodel nu bekend. Deze oplossing vormt een goede benadering voor de werkelijke oplossing zolang de gelineariseerde

30

vergelijkingen van de niet-lineaire substructuren een goede benadering vormen voor de niet-lineaire substructuurvergelijkingen. We vinden een nieuw werkpunt op t=tn+l en gaan terug naar 4 vaarna een nieuwe tijdstap ssordt gemaakt.

Indien gewenst kunnen 2 en 3 ook omgewisseld worden.

6.3 De methode van Tonque en Dowell 11983).

B i j deze methode is het aantal vergelijkingen dat per tijdstap moet

worden opgelost gelijk aan het aantal vrijheidsgraden geassocieerd met niet- linearireiten, ook al worden de lineaire substructuren niet gereduceerd, De methode zal worden gepresenteerd voor een lineaire constructie met la

vrijheidsgraden die ondersteund wordt door m niet-lineaire veren. De

vrijhehdsgraden van de lineaire constructie Forden opgeslagen in CLz kolom 5 en de verplaatsingen van de veren in de kolom 5. Kolom

2

is een deelkoloa van 5:

x = z

-B

-

We zullen voor de beschrijving van de lineaire eonstruetie gebruik maken van de modale coördinaten E:

De (n*n) matrix 9 bestaat uit de eigenmodes van de lineaire constructie zonder de niet-lineaire veren. Deze rnodes worden genormeerd met de

31

De diagonaalmatrix <%> bevat de massa’s van de veren. De potentiële energie van het systeem is gelijk aan:

Diagonaalmatrix <Q> bevat de eigenhoekfrequenties van de lineaire constructie zonder niet-lineaire veren. Diagonaalmatrix

<k>

bevat de

tangentiële stijfheden van de veren in ongedeformeerde toestand. Vnl is het potentiële energie aandeel van de veren afkomstig van niet-lineariteiten. De Lagrangiaan van het systeem wordt gegeven door:

De ( r r i * l ) kolom a.-.h bevat de zgn. Lagrange multiplicatoren. Toepassen van de

vergelijkingen van Lagrange levert:

nl

<E> 2 f

<k>

z

+

a-

+ ^ = o

CI

-

a5

De kolom f bevat de uitwendige belastingen die aangrijpen op de lineaire constructie. De convolutieintegraal voor vergelijking ( 7 ) luidt:

3 2

Twee keer differentiëren van deze vergelijking levert:

t

-Risin Rit J cos Ri7 Gi(7) d 7

+

Gi(t)> O

met:

Bij gegeven begincondities :(O), ;(O), ~ ( 0 ) en g(0) wordt Bet algoritae als volgt:

1. 3ereken Z(t1 met (12) e De integralen in (123 zijn in zodanige vorm

t

J b i j iedere tijdstap kan worden berekend en

t-At

dat het increment

t-At opgeteld bij de uit de vorige tijdstap bekende integraal e

5. Bereken:

6. t = t + A t

3 3

7 . REDUCTIE VAN LINEAIR SPLITSBARE NIET-LINEAIRE SYSTEHEN.

Bij de meeste van de tot nog toe behandelde methoden werden ofwel alleen de lineaire substructuurvergelijkingen ofwel de gelineariseerde niet-

lineaire vergelijkingen gereduceerd. Bij lineair splitsbare niet-lineaire systemen, zie van der ibarst (19821, lijkt het mogelijk om direct reductie toe te passen op de niet-lineaire vergelijkingen, omdat deze ontkoppelen na een transformatie op basis van de eigenrnodes van het gelineariseerde systeem in de referentietoestand. De bewegingsvergelijkingen worden gegeven door:

We lossen het eigenwaardeprobleein op behorend bij de rondom 5 =

2

gelineariseerde vergelijkingen en slaan de eigenmodes kolomsgewijs op in de aìatrix

2.

Substitutie van:

in (1) gevolgd door voorvermenigvuEdiging Inet

gT

geeft dan het volgende stelsel ontkoppelde vergelijkingen:

2 T

p.

+

w.p f 0. (pi) = ?pif(t)

1 l i 1 ( 3 )

N is gelijk aan het totaal aantal vrijheidsgraden. oi is een puur niet- lineaire functie van pi. We onderscheiden twee gevallen:

(s

= o :

i

D # O : i

( 3 ) is een lineaire differentiaalvergelijking. De

eigenfrequentie fi van de homogene d.v. is gelijk aan wi/2n. ( 3 ) is een niet-lineaire d.v,. Be natuurlijke frequentie van de homogene d.v. is afhankelijk van de energie Ei die in de vrije trilling zit. De energie aanwezig in ( 3 ) wordt gegeven door :

34

Als --.. f en

pi

periodiek zijn zal

natuurlijke frequentie fin geldt dan: fmin< fin< fmax. Enin

<

E. < Emax. Voor de

_.-

We vergelijken de eigenfrequenties van de lineaire d.8.-en en de frequentie- banden van de natuurlijke frequenties van de niet-lineaire d.v.-en met het frequentiespectrum van het excitatiesignaal en laten op grond daarvan een aantal vergelijkingen weg. Het gereduceerde stelsel kan worden gebruikt voor onderzoek naar zowel transient als steady-state gedrag. De voorwaarden voor lineaire splitsbaarheid (o.a. symmetrie van de constructie) hebben tot gevolg dat bovenstaande aanpak slechts op een kleine groep constructies ilan toepassing is.

3 5

8 . EVALUATIE.

Diverse reductiemethoden voor niet-lineaire dynamische systemen met veel vrijheidsgraden zijn beschreven. Er zijn geen numerieke voorbeelden in het rapport opgenomen omdat de methoden in de artikelen steeds zijn toegepast op

verschillende voorbeelden, zodat geen onderlinge vergelijking mogelijk is. Ket lijkt daarom zinvol om de verschillende methoden toe te passen op

eenzelfde voorbeeld, opdat de bereikte nauwkeurigheid en de vereiste reken- tijd per methode eerlijker tegen elkaar afgewogen kunnen worden, Ook daarna blijft het moeilijk om een duidelijk antwoord te geven op de vraag welke methode te verkiezen is boven een andere methode, omdat de bereikte resul- taten probleemafhankelijk zullen zijn. Pas na het doorrekenen van vele voorbeelden met verschillende typen niet-lineariteiten zal men beschikken over indicaties welke methode in een bepaalde situatie de voorkeur geniet,

36

Literatuurlijst.

K.J. Bathe and E.L. Wilson.

Numerical methods in finite element analysis. Englewood Cliffs, Mew Jersey: Prentice Hall, 1976. K.J. Bathe and S. Gracewski.

On nonlinear dynamic analysis using substructuring and ?node superposition. Computers SC Structures, vol. 13, pag. 699-707, 1981.

T.B. Belytschko and D.P. Schoeberle.

On the unconditional stability of an implicit algorithm for nonlinear structural dynamics.

Journal of Applied Hechanics, vol, 42E: pag. 865-869, 1975.

8. Bruijs.

Numerical integration: mesh partitions. TU Eindhoven, 1987,

R.J. Cipmra and J.J. Uiclrer, Jr,.

On the dynamic simulation of large nonlinear mechanical systems, Part

1

and part 2.

Journal of %echanbcal Design, vol, 103, pag. 849-865, Oct. 1981.

R.W. Clough and E-L, Wilson.

Dynamic analysis of large structural systems with local nonlinearities, Computer Methods in Applied Hechanics and Engineering, vol, 17-18,

pag. 107-129, 1979.

S.R. Idelsohn and A. Cardona.

A reduction method for nonlinear structural dynamic analysis. Computer Methods in Applied Hechanics and Engineering, vol. 49, pag. 253-279, 1985.

3 7

N.F. Knight Jr.

Nonlinear structural dynamic analysis using a modified modal method, AIAA Journal, vol. 2 3 , no. 10, pag. 1594-1601, 1985-

A.R. Kukreti en S. Chen.

Algorithm for dynamic analysis of nonlinear structures modeled by finite elements.

Presented at the Joint BSHEIASCE Eechanics Conference, 2 2 - 2 4 June, Boulder, Colorado, 1981.

A.R. Kukreti and H.I. Issa.

Dynamic analysis of nonlinear structures by pseudo-normal mode superposition rne thod e

Computers L Structures, vol. 19, no. 4, pag. 653-663, 1984.

S.F. Masri, R.K. Hiller, H. Sassi and T.K. Caughey.

A method for reducing the order of nonlinear dynamic systems, Journal of Applied Eechanics, v o l , 51, June 1984.

M.F. Morris.

The use o f modal superposition in nonlinear dynamics. Computers & Structures, vol. 7 , pag. 65-72, 1977.

R.E. Mickell.

Nonlinear dynamics by mode superposition.

Computer Eethods in Applied 8PIechanics and Engineering, vol, 7 , pag. 107-129, 1976.

A-K, Noor.

Recent advances in reduction methods for nonlinear problerris. Computers L Structures, vol. 1 3 , gag. 31-44, 1981.

S.M. Remseth.

Bonlinear static and dynamic analysis of framed structures. Computers & Structures, vol, 10, pag. 879-897, 1979.

3 8

V.N. Shah, G.J. Bohm and A.N. Nahavandi.

Modal superposition method for computationally economical nonlinear structural analysis.

Journal of Pressure Vessel Technology, vol. 101, pag. 134-141, May 1979.

J.A. Stricklin and M.E. Haisler.

Formulations and solution procedures for nonlinear structural analysis. Computers & Structures, vol. 7, pag. 125-136, 1977.

B.H. Tongue and E.K. Boaell.

Component mode analysis o f nonlinear, nonconservative systems. Journal sf Applied Hechanies, vol. 50, March 1983,

P.G,T. vaar der Varst.

On normal mode vibration o f nonlinear conservative systems, TU Eindhoven, 1982.