Hoofdstuk 4: Hypothese toetsen.
1.
a. De steekproef is niet representatief: het zijn klanten, de eerste 25, alleen vrouwen, alleen met een winkelwagentje, …
b. Op verschillende tijdstippen, een buurtonderzoek doen.
2.
a. Alle leden van de politieke partij.
b. De steekproef is 983. Alleen naar aanleiding van ingevulde formulieren kun je uitspraken doen.
c. Als je alleen de mening wil weten van de partijleden is de steekproef representatief. Maar als we de mening wil weten van de hele bevolking niet.
d. Ja. 749 van de 983 is een ruime meerderheid.
e. Niets, dan moet er steekproef genomen worden onder de Nederlanders.
3.
a. Niet representatief. Het is in een stad en ‘s ochtends, als veel volwassenen al naar hun werk zijn.
b. Nee, niet alle jongeren tussen 12 en 18 jaar zitten op een havo-vwo school.
c. Op Schiphol komen alleen vakantiegangers die met het vliegtuig op vakantie gaan.
d. Mensen die zich niet veilig voelen in hun leefomgeving komen misschien hun huis niet uit, dus dan ook niet in een warenhuis.
4. P X( 6)binompdf(20, 0.30, 6) 0,1916 5. a. 1 6 (2 ) (12, , 2) 0, 2961 P zessen binompdf
b. Bij 24 worpen mag je 1 6 24 4 zessen verwachten. c. 1 6 ( 5) ( 4) (24, , 4) 0,6294 P X P X binomcdf d. 1 6 ( 5) 1 ( 4) 1 (24, , 4) 0,3706 P X P X binomcdf 6.
a. Er zijn twee mogelijke uitkomsten: meisje of geen meisje 80, 0,50
n p
b. P X( 40)P X( 39)binomcdf(80, 0.50, 39) 0, 4555
7.
a. n100, p0,30.
b. Er zullen naar verwachting 100 0,30 30 mensen merk A aanschaffen. c. Bij 32 kopers zijn er meer naar verwachting, dus die 30% zal wel goed zijn.
29 kopers van merk A ligt dicht in de buurt van de te verwachtte waarde, dus geen twijfel. d. Het lage aantal kan een toeval zijn als die 30% waar is. Er is reden om te twijfelen.
8.
a. Ja, het kan toevallig zijn.
b. P X( 25)binomcdf(100, 0.30, 25) 0,1631
c. P X( 10)binomcdf(100, 0.30, 10) 0,0000016 . De kans dat er 10 of minder kopers zijn van het merk is zo onwaarschijnlijk klein, dat de kans van 0,30 niet waar zal zijn. De
concurrent krijgt gelijk.
9.
a. Ho: p0, 44 en H1: p0, 44
X is het aantal mensen uit de omliggende plaatsen: X is Bin(100, 0.44)-verdeeld.
b. P X( 25)binomcdf(100, 0.44, 25) 0, 000065
c. Op een doordeweekse dag zullen er eerder mensen uit Alkmaar komen.
d. Mensen buiten Alkmaar zullen eerder op zaterdag naar de bouwmarkt komen dan op een doordeweekse dag.
10.
a. Ho: p0,15 en H1: p0,15
X is het aantal blikken dat niet meer eetbaar is: X is Bin(200, 0.15)-verdeeld.
b. 30 blikken is het te verwachtte aantal in een steekproef van 200. Bijtminder blikken dan 30 is het percentage niet eetbare blikken kleiner dan 15%.
c. Het kan toeval zijn.
d. Er zijn in totaal 3000 blikken met bedorven erwten (als de directie gelijk heeft). Het kan dus ook toeval zijn als de steekproef uit alleen maar niet eetbare blikken bestaat.
e. P X( 35) 1 P X( 34) 1 binomcdf(200, 0.15, 34) 0,1850
f. P X( 50) 1 P X( 49) 1 binomcdf(200, 0.15, 49) 0,00015 . De kans is erg klein; de gebeurtenis dus erg onwaarschijnlijk. De directie zal wel geen gelijk hebben.
11.
a. Nogal tijdrovend werk.
b. Ho: p0, 40 Je mag dan 400 oppositiestemmers verwachten.
c. ja: 398 is iets minder dan 400. Bij slechts 300 stemmers is het erg onwaarschijnlijk. d. X: binomiaal verdeeld met n1000 en p0, 40.
e. P X( 398) 0, 4623 11 ( 300) 3,15 10 ( 370) 0,0280 P X P X
12.
a. P X( 384)binomcdf(1000, 0.40, 384) 0,1585 0,16 .
b. Als de kans op hoogstens 384 oppositiestemmers al kleiner is dan 0,16 dan is de kans op hoogstens 380 oppositiestemmers zeker kleiner dan 0,16.
c.
d. Bij 374 oppositiestemmers of minder.
e. P X( 363)binomcdf(1000, 0.40, 363) 0,00897 0,01
f. Bij 0,16 kan het toeval zijn, maar bij een kans van 0,01 is het wel erg onwaarschijnlijk.
13. Dat hangt af wat je aan het toetsen bent.
14.
a. 90% moet haalbaar zijn.
b. P X( 35)binomcdf(50, 0.90, 35) 0, 000074 . De kans op hoogstens 35 goede artikelen is zo klein dat de uitkomst wel erg onwaarschijnlijk is. Als de uitkomst van 35 toch optreedt is het uitgangspunt p0,90 niet aannemelijk meer. De kans zal wel kleiner zijn dan 0,90. c. P X( 44)binomcdf(50, 0.90, 44) 0,3839 . Deze kans is nog redelijk groot.
d. P X( 41)binomcdf(50, 0.90, 41) 0, 0579 , dus geen reden om het proces bij te stellen.
e. Hoe kleiner het significantieniveau, hoe minder snel je Ho gaat verwerpen.
15. Je gaat uit van Ho, en je toetst dus of je Ho al dan niet moet verwerpen. Die van Daniël is dus
iets beter.
16.
a. Ho: p0,50 en H1: p0,50
X is het aantal keren munt. X is Bin(300; 0,50)-verdeeld.
b. P X( 189) 1 P X( 188) 1 binomcdf(300, 0.50, 188) 0, 000004
c. De kans is kleiner dan 0,05, dus de nulhypothese wordt verworpen. De kans op munt is inderdaad groter dan 50%: het muntstuk is niet zuiver.
17.
a. X is binomiaal verdeeld met n50 en p0, 04
b. 4% met een te laag gewicht is nog net toegestaan, maar meer niet. c. Dat is logisch. d. P X( 6) 1 P X( 5) 1 binomcdf(50, 0.04, 5) 0,0144 0,01 X 384 383 382 381 380 379 378 377 376 ( ) P X x 0,1585 0,1434 0,1292 0,1160 0,1038 0,0926 0,0823 0,0728 0,0643 x 375 374 373 372 371 370 ( ) P X x 0,0565 0,0495 0,0432 0,0375 0,0325 0,0280
19.
a. Nee.
b. Ho: p0, 424 en H1: p0, 424
X is het aantal personen met bloedgroep A. X is Bin(238, 0.424)-verdeeld. ( 120) 1 ( 119) 1 (238, 0.424, 119) 0,0076 0, 05
P X P X binomcdf
Ho verwerpen. De kans dat iemand bloedgroep A heeft lijkt groter te zijn.
c. Hij wil meer zekerheid krijgen.
20.
a. Ho: p0,50 en H1: p0,50
X is het aantal voorstanders van een autovrije binnenstad. X is Bin(100, 0.50) b. P X( 56) 1 P X( 55) 1 binomcdf(100, 0.50, 55) 0,1356
Deze uitslag is niet significant voor bijvoorbeeld 10% significantieniveau. c. P X( 269) 1 P X( 268) 1 binomcdf(500, 0.50, 268) 0, 0489 0,05
Deze uitslag wijkt significant af, dus er zullen er meer voorstanders zijn.
21.
a. Het aantal keer kop kan meer of minder zijn dan het te verwachtte aantal van 25. b. H1: p0,50
c. P X( 18) 0,0325 en P X( 32) 1 P X( 31) 0, 0325 d. P X( 17)P X( 33) 0, 0164
Dus verwerpen bij 2 0,0164 0, 0328 . Bijvoorbeeld bij 5%.
22.
a. Voer in: y1binomcdf(100, 0.50, )x : bij 41 keer of minder kop is de munt niet zuiver.
( ) 1 ( 1) 0,05
P X g P X g
Voer in: y1binomcdf(100, 0.50, x1): bij 59 of meer keer kop is de munt onzuiver.
b. Bij een significantieniveau van 1% verwerp je Ho als de overschrijdingskans kleiner wordt dan 0,005; dat is bij 36 of minder keer kop en bij 64 of meer keer kop.
23. a. 2 2 1 3 3 : : o H p en H p .
X is het aantal gezinnen met een computer. X is Bin(15, 2
3)-verdeeld.
2 1
3 2
( 12) 1 ( 11) 1 (15, , 11) 0, 2093
P X P X binomcdf . Geen reden om de
bewering in twijfel te trekken.
b. De steekproef is niet aselect voor Nederlandse gezinnen. c. De steekproef is nogal klein.
24.
a. De verhouding van het mengsel kan naar beide kanten afwijken. b. Er moeten meer korrels van B zijn dan van A.
d. P A( 43) 1 P A( 42) 1 binomcdf(157, 0.20, 42) 0,0158 0,025 . De steekproef wijkt significant af; Ho verwerpen. Er zitten meer korrels A dan de gewenste verhouding in de steekproef.
e. P A( 17)binomcdf(127, 0.20, 17) 0, 0353 0, 025 . Dit is geen reden om te denken dat het onvoldoende gemengd is.
f. P A l( ) binomcdf(120, 0.20, ) 0,025l l15
( ) 1 (120, 0.20, 1) 0, 025 34
P A r binomcdf r r
Het aantal korrels van soort A mag liggen tussen 15 en 34 opdat de mengverhouding wordt goedgekeurd.
25.
a. De score van het monster kan meer of minder zijn dan 82.
b. P S( 89,5)normalcdf(89.5, 1 99, 82, 4) 0, 0304 0,025E . Ho accepteren; de score van 90 is niet significant groter dan 82.
c. Nu is H1: 82. De overschrijdingskans is kleiner dan 0,05. Ho wordt nu verworpen.
26.
a. Als men het gebied open stelt voor wandelaars verwacht men dat het aantal nesten kleiner zal worden. Dus Ho: 14,3 en H1:14,3
b. P X( 9)normalcdf( 1 99, 9.5, 14.3, 3.9) 0,1092 0,10 E . Dus de openstelling is niet van invloed op de broedintensiteit.
27.
a. Het gemiddelde is Norm( , 1224)-verdeeld.
b. Ho:64 en H1:64
c. P G( 60, 2)normalcdf( 1 99, 60.2, 64, E 1224) 0,0604
( 60, 2)
P G , dus Ho verwerpen. Er zal een correctie toegepast worden.
28. a. P G( 175, 0)normalcdf(175.0,1 99, 174.0,E 625) 0, 2023 b. P G( 175,0)normalcdf( 1 99, 175.0,176.0, E 625) 0, 2023 c. P G( 175, 0)normalcdf( 1 99, 175.0, 176.0, ) 0, 01 E solver: 0, 43 6 0, 43 13,96 194,8 n n n
n moet minstens 195 zijn.
33. a. 1 1 1 6 6 : : o H p en H p .
X is het aantal keer een 6. X is Bin(100, 1 6).
b. 1
6
( 10) (100, , 10) 0, 0427 0,025
P X binomcdf De dobbelsteen is zuiver.
c. 1 6 ( 20) 1 ( 19) 1 (100, , 19) 0, 2197 0, 025 P X P X binomcdf De dobbelsteen is zuiver. 34.
a. De gemiddelde snelheid is normaal verdeeld met 82,3 en 3,8. b. Ho: p0,50 en H1: p0,50
X is het aantal personen dat harder rijdt dan 82,3 km/u. X is Bin(100, 0.5)-verdeeld. ( 56) 1 ( 55) 1 (100, 0.5, 55) 0,1356 0,025
P X P X binomcdf . Niet significant.
c. Ho:82,3 en H1: 82,3
3,8 100
( 83,1) (83.1, 1 99, 82.3, ) 0,0176 0,025
P G normalcdf E . Significant harder!
35.
a. 4 60 30,98
b. Ho: 600en H1: 600
( 654) (653.5, 1 99, 600, 4 60) 0,0421 0, 05
P T normalcdf E
Er is voldoende aanleiding om de gemiddelde tijd van tien minuten te verhogen.
36.
a. 16% van de onderzochte personen is bijziend: 0,16 15000 2400 . 27,3% van 612 ‘slimme’ mensen is bijziend: 0, 273 612 167 .
167 van de 2400 bijziende mensen heeft een IQ groter dan 128; dat is 167
2400100% 6,96% .
b. P IQ( 128)normalcdf(127.5, 1 99, 100, 16) 0,0428E .
Je mag dan 642 personen verwachten met een hoog IQ. Het verschil is 30 personen. c. Ho: p0,16 en H1: p0,16
( 167) 1 ( 166) 1 (612, 0.16, 166) 0
P X P X binomcdf dus overtuigend
T_1. Nee: de op maandag werkende mensen worden niet bereikt. En ook de mensen
zonder telefoon niet.
T_2.
a. X is binomiaal verdeeld met n20 en p0,8 b. Ho: p0,8 en H1: p0,8
c. We verwachten dat 16 mensen wit brood eten. Als er veel minder dan 16 mensen wit brood eten (en dus meer mensen bruin) hebben we reden om te twijfelen aan die 80%. Als er dus 18 mensen wit brood eten (dat is 90%) hebben we absoluut geen reden om te twijfelen en dus hoeven we de overschrijdingskans niet uit te rekenen.
d. P X( 10)binomcdf(20, 0.80, 10) 0,0026
T_3.
a. Ho: p0, 05 en H1: p0,05
b. X is het aantal exemplaren die niet deugen. X is Bin(100, 0.05)-verdeeld. Als Ho verworpen wordt, krijgt de consumentenorganisatie gelijk.
c. P X( 8) 1 binomcdf(100, 0.05, 7) 0,1280
d. De kans is redelijk groot, dus niet significant. Minstens 95% deugd. e. P X( 9) 1 P X( 8) 1 binomcdf(100, 0.05, 8) 0, 0631
Bij een significantieniveau van 5% wordt Ho niet verworpen. Maar als 10% wordt Ho wel verworpen.
T_4.
a. Ho: p0,10 en H1: p0,10
b. X is het aantal afgekeurde ballen. X is Bin(150, 0.10)-verdeeld ( 23) 1 ( 22) 0,0256 0,05
P X P X dus Ho verwerpen. Er is reden genoeg om actie te ondernemen.
c. Dan komt minder dan 10% niet ver genoeg en wordt Ho zonder meer geaccepteerd.
T_5. a. 1 1 1 12 12 : : o H p en H p
b. X is het aantal mensen dat in mei jarig is. X is Bin(80, 1
12)-verdeeld. 1
12
( 11) 1 ( 10) 1 (80, , 10) 0,0678 0,05
P X P X binomcdf . Er is dus geen reden
om aan Ho te twijfelen.
c. 1
12
( 2) (80, , 2) 0, 0326 0,05
P X binomcdf . Nu is er wel reden om te twijfelen.
d. 1 12 ( ) 1 ( 1) 1 (150, , 1) 0,05 19 P X r P X r binomcdf r r 1 12 ( ) (150, , ) 0, 05 6 P X l binomcdf l l
T_6.
a. Ho:180,1 en H1:180,1
X is de gemiddelde lengte van de 16 dienstplichtigen. X is Norm(180,1; 7,216 1,8)
b. P X( 182,6)normalcdf(182.6, 1 99,180.1, 1.8) 0,0824 0,04E Het resultaat is niet significant.
c. P X( 182, 6)normalcdf(182.6,1 99,180.1,E 7,2n) 0, 04 solver: 7,2n 1, 428 5, 04 25, 4 n n De steekproef moet minstens uit 26 dienstplichtigen bestaan.
