Modale analyse van robots

Modale analyse van robots

Citation for published version (APA):

Hijink, J. A. W., & van der Wolf, A. C. H. (1984). Modale analyse van robots. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0144). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1984 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

MODALE ANALYSE VAN ROBOTS

Auteurs: Ir. J.A.W. Hijink

Prof.dr.ir. A.C.H. v.d. Wolf

MODALE ANALYSE VAN ROBOTS*)

Ir. J.A.W. Hijink en Prof.dr.ir. A.C.H. van der Wolf TH Eindhoven, Afdeling Werktuigbouwkunde,

Vakgroep Produktietechnologie en Bedrijfsmechanisatie.

INLErDING.

Bij een afnametest van een robot Zl)n er vele zaken die een rol spelen [1], [2]. Deze zijn in drie categorien onder te verdelen, waarbij het gaat om: A. De mechanische constructie.

Belangrijk zijn daarbij de vragen: Hoe stijf is de constructie?

De stijfheid van de robot geeft aan hoeveel deze door zal zakken onder invloed van een belasting. Dit kan met name problemen opleveren bij het programmeren van de juiste positie van zwaardere onderdelen.

Welke eigenfrequenties zijn er aanwezig?

De eigenfrequentie geeft samen met de aanwezige demping een maat voor de versnellingen die men toe kan laten zonder dat trillingen optreden. Hoe veranderen de eigenschappen van de robot bij een andere stand en belasting?

Het zal duidelijk zijn dat de robot afhankelijk van de ingestelde stand een ander gedrag zal vertonen. Verandert dit gedrag sterk bij

veranderende positie en belasting, dan wordt het regeltechnisch erg moeilijk om hierop met behulp van software op voorhand te reageren. B. De aandrijving en de besturing.

Hierbij gaat het om zaken als:

Hoe zien de karakteristieken van de servo's eruit?

Deze karakteristiek, samen met het dynamisch gedrag van de mechanische constructie, kan bepalend zijn voor de snelheid en de nauwkeurigheid waarmee een robot positieveranderingen kan doorvoeren.

Is de besturing gemakkelijk toegankelijk voor de koppeling met sensoren?

Bij geavanceerde toepassingen wil men een terugkoppeling hebben tussen een bepaalde sensor en de besturing. Een voorbeeld hiervan is het robotlassen waarbij een sensor afwijkingen van de geprogrammeerde lasbaan kan constateren waarna in de besturing deze baan aangepast wordt.

C. De bedienbaarheid.

Zonder volledig te Zl)n, kunnen hier als vragen genoemd worden: Is de robot gemakkelijk te programmeren?

-2-*) Dit artikel is een samenvatting van de lezing die door Prof.dr.ir. A.C.H.

van der Wolf op 23 november 1984 te Eindhoven op de 3e Workshop FLAIR gehouden is.

MODALE ANALYSE.

De modale analyse techniek speelt een belangrijke rol bij de problemen van categorie A van de afnametest. Het is een experimentele techniek die ens in staat stelt het dynamisch gedrag van een robot bij de optredende

eigenfrequenties zichtbaar te maken en te bestuderen. De apparatuur nodig om deze analyse uit te voeren is bovendien bijzonder geschikt om de

karakteristieken van de servo's zoals genoemd onder categorie B te bepalen. Op dit laatste aspekt zal in dit artikel niet nader ingegaan worden. We zullen eerst trachten om op eenvoudige wijze duidelijk te maken wat modale analyse inhoudt. Daarna zullen we aan de hand van een aantal voorbeelden laten zien wat de mogelijkheden van deze techniek bij het ontwerpen en testen van robots zijn.

Siqnaal analyse.

In Fig. 1 is een robot geschetst waarop een kracht wordt uitgeoefend. Op het ontstaan en het karakter van deze kracht zullen we hier verder niet ingaan. Wat ens met name interesseert zijn de verplaatsingen die de robot krijgt ten gevolge van deze kracht. Schematisch kan men de situatie uit Fig.

1 weergeven met het blokschema van Fig. 2. Het input-signaal x(t) zal in ons geval het krachtverloop in de tijd zijn, terwijl het output-signaal yet) de verplaatsing tengevolge van die opgelegde kracht voorstelt. Het ·systeemh

,

het gedrag van de robot, kan worden weergegeven met de impulsresponsfunktie h(t). In het tijddomein is deze funktie moeilijk te beschrijven, maar de huidige rekentechnieken maken het mogelijk om via de Fourier-Transformatie van het tijddomein naar het frequentiedomein te gaan. Het signaal x(t) kunnen we transformeren met de vergelijking:

5 (f)

=

j

x(t) e- j2• ftdt

x -00

Sx(f) noemen we de Fouriergetransformeerde van x(t). De inverse transformatie is ook mogelijk want:

x(t)

=

_{_ .. x}

j

5 (f) e j2• ftdt

(1)

(2)

Om deze Fouriertransformatie digitaal uit te kunnen voeren zullen we numeriek moeten integreren. Deze benadering van de echte

gedachte de nodige beperkingen die de digitale technieken en een beperkte meettijd ons opleggen, gaat de integraal over in:

N-1

S~(mbf) =

i

r

x(nbt) e- j2wm n/N n=O

In deze fomule is: S· _x T N bt bf

=

m

t

= de "Discrete Fourier Transform"

=

de meettijd

=

het aantal metingen gedurende T

=

het tijdsinterval tussen 2 metingen

=

het frequentieinterval tussen waarden van Sx

= 0, 1, 2 N/2

(3)

Het berekenen van deze OFT gebeurt met een speciaal algorithme de -Fast Fourier Transform" (FFT). Dit algorithme is, met een grote hoeveelheid

andere software, ingebouwd in speciale "Signal Analyzers·, waarmee dit soort bewerkingen uitermate snel uitgevoerd kan worden. Nogmaals moet worden

opgemerkt dat deze wijze van berekenen een benadering is, en daarom voor de nodige afwijkingen kan zorgen. Op de aard van de touten en de method en om deze fouten te voorkomen of te verminderen kunnen we hier niet ingaan. Op dezelfde wijze als beschreven voor het signaal x(t) kunnen we ook de Sy(f} van yet) met behulp van de FFT bepalen. Zowel Sx(f) als Sy(f) zijn complexe funkties, dat wil zeggen dat ze in het frequentiedomein kunnen worden beschreven met een amplitude en een fase, of met een reeel en een imaginair deel. De overdrachts- of transfer-funktie Hyx(f} van het systeem kunnen we bepalen uit:

(4)

waarbij Hyx{f} weer de Fourier getransformeerde is van h(t). Ook Hyx(f) is complex, en beschrijft in het frequentiedomein de verhouding en de tase tussen de signalen yet) en x(t). Een groot voordeel van deze FFT techniek is dat de aard van de signalen x(t) en yet) er minder toe doet. Zo kan men voor het ingangssignaal x(t) bijvoorbeeld een ruisvormig signaal maar evengoed

een impulsvormig signaal kiezen. Ook andersoortige signalen zijn zeer weI mogelijk. Het hangt voor een groot deel van de mogelijkheden van excitatie, en de daarbij optredende fouten ten gevolge van de digitale verwerking, af welke excitatie methode men kiest. In Fig. 3 zijn een aantal mogelijke representaties van een transferfunktie gegeven. Bij een aantal frequenties zien we de amplitude van de overdracht sterk toenemen, de frequenties waarbij dit gebeurt noemen we de eigenfrequenties van de constructie.

-4-Analyse van de robot.

Optredende eigenfrequenties Z1)n typisch voor de hele constructie, dat wil zeggen dat deze frequenties met de daarbij behorende waarde van de demping over de gehele struktuur worden gemeten. AIleen zal de amplitude ep de fase bij een eigenfrequentie verschillend zijn voor ieder punt en iedere

richting. Als we nu voor een groot aantal punten van een robot deze amplituden samenstellen tot verplaatsingen, dan krijgen we voor iedere eigenfrequentie een typisch beeld van de wijze waarop de robot bij die frequentie staat te trillen, een dergelijke afbeelding wordt een • mode " genoemd.

De volgorde van werken ziet er nu als voIgt uit:

1. De meet- en excitatie punten moeten worden vastgelegd, hierbij moet men er rekening mee houden dat ieder extra punt drie volledige metingen

betekent (in x-, y- en z-richting). Neemt men te weinig punten dan krijgt men geen goed beeld van de beweging van de constructie. In Fig. 4 ziet men het model van een robot met de gebruikte meetpunten.

2. Een aantal proefmetingen worden uitgevoerd om vast te stellen in welk frequentiegebied de belangrijkste eigenfrequenties voorkomen.

3. De overdrachtsfunkties worden voor aIle punten in drie richtingen gemeten.

4. Voor de gekozen eigenfrequenties worden de modale parameters (een maat voor de amplitude en fase) vastgelegd.

5. De resultaten worden gepresenteerd op een beeldscherm, waarna verwerking met behulp van ·plot"-apparatuur mogelijk is.

RESULTATEN.

Van de robot uit Fig. 4 zullen we een aantal resultaten bespreken. Om een indruk te geven van de dynamische soepelheid van de robot is in Fig. 5 van punt 32 voor de drie richtingen de overdrachtsfunktie getekend. Tevens is in deze figuur een aantal van de gekozen eigenfrequenties aangegeven. De

numerieke waarden van deze eigenfrequenties met de bijbehorende demping zijn weergegeven in Tabel. 1. Vergeleken met gereedschapswerktuigen liggen deze eigenfrequenties erg laag, evenals de gemeten stijfheden. In Fig. 6 en Fig. 7 is voor de eerste eigenfrequentie de mode in een aantal aanzichten

getekend. Hoewel Fig. 6 een beter beeld van de robot als geheel biedt, maakt Fig. 7 het mogelijk een beter onderscheid te maken tussen de

hoofdrichtingen. Verdere resultaten zullen we dan ook afbeelden op de wijze die in Fig. 7 is gebruikt. Om te onderzoeken of de stand van de robot

invloed heeft op het dynamisch gedrag is de robot ook doorgemeten met de bovenarm in een positie onder 450 met de as van de zuil. Zoals blijkt uit Fig. 8 is het bewegingspatroon ongeveer gelijk, maar is de frequentie gezakt tot 12.49 Hz. In beide posities blijkt een te lage torsiestijfheid van de bovenarm en het scharnier tussen zuil en bovenarm de oorzaak te zijn van

deze trilling. Eenzelfde beeld krijgen we als we kijken naar de 2e mode van de robot, Fig. 9 en Fig. 10 geven hiervan een beeld. Dat de eigenfrequenties niet altijd hoeven te veranderen wordt duidelijk gemaakt in Fig. 11 en Fig.

12.

Aan de hand van Fig. 13 kan men zien dat deze analyse methode in d~

ontwerpfase van een robot grote voordelen biedt. Bij het doormeten van een prototype van een robot bleek dat de torsiestijfheid van de bovenarm veel te laaq was, waardoor een mode kon ontstaan met een lage eigenfrequentie en een grote verplaatsing. Verbetering van onder andere deze bovenarm zal dus

noodzakelijk zijn om een goed funktionerende robot te krijgen.

Ook de belasting van een robot kan grote invloed hebben op het dynamisch gedrag zoals blijkt uit Fig. 14. Hierin zijn voor een vijftal belastingen de overdrachtsiunkties in horizontale richting weergegeven. We zien dat de amplituden dezelfde orde van grootte blijven houden, maar dat de eerste eigenfrequentie sterk daalt met toenemende belasting.

SLOTOPMERKINGEN.

Modale analyse is een krachtig gereedschap gebleken bij afnametests van industriele robots. De grote snelheid waarmee inzicht in de mechanische constructie van een dergelijke flexibel bestuurde machine verkregen kan worden, biedt mede door de geautomatiseerde rapportage grote mogelijkheden zowel voor de gebruiker als de ontwerper van dergelijke machines.

Ook biedt de methode de gelegenheid om een vergelijkende cartotheek van op de markt zijnde robots aan te maken, waardoor selectie van industriele robots in de aanschaffase wordt vergemakkelijkt. In het kader van het voorwaardelijk gefinancierde onderzoekprogramma FAIR wordt aan een dergelijke cartotheek op de TH te Eindhoven gewerkt.

LITERATUUR.

[1] Ir. J.G. van Wijk en C.G. Verwey,

·Selectie en afname van industriele robots". MB-Produktietechniek, jrg. 50 nr. 17 p. 405 e.v. [2] Ir. J.W. Rietdijk jr.,

-De nauwkeurigheid van een industriele robot-. MB-Produktietechniek, jrg. 50 nr. 23 p. 552 e.v.

WERKELIJKHEID

Gevolg:

verplaatsing

van de robot arm

Fig. 1. Een kracht uitgeoefend op een robot veroorzaakt een verplaatsing.

INPUT

r-- ...-X (t) b.v.

krachts-signaal

ABSTRACT IE

SYSTEEM

h (t)

OUTPlll

...-y

(t) b.v.

verplaatsings-signaal

60.000

/A

MAG

0.0

10.000 HZ 35.000

TRANS RI: 3 1M: 50 EXPAND 160.00 PHASE -1BO. 00 + _ _ _ -. _ _ _ -. _ _ _ .-_ _ _ .-_ _ _ ...,.--' TRANS 60.000 /A IMAG -60.000 /A 10.000 RI: 3 -BO.OOO /A HZ 35.000 fA: 50 EXPAND REAL BO.OOO /I

onder-arm

boven-arm

zui 1

Fig. 4. Het model van een robot, met de gebruikte meetpunten.

IMAG

{miNI

-5. 0000 ~----':~~--""""'---"""'---"""'---r

Ii.

10.000 HZ 35.000

Fig. 5. De transferfunkties van meetpunt 32, met de vijf gekozen eigenfrequenties.

FREQUENCY I DAM PIN G MODE NO. HZ R/S

,.

HZ A/S 1 14.267 89.643 2.89B 413.67B III 2.59 2 20.554 129.145 3.760 773.417 III 4.86 3 21.741 136.604 1.446 314.502 III 1.97 4 31. 933 200.640 762.429 III 243.473 III 1.53 5 34.522 216.907 2.751 949.975 III 5.96

Tabel 1. De eigenfreqeunties met bijbehorende demping van de robot uit Fig. 4.

MODE FREQ (HZ) 14.27 DAMP (%) 2.90 I 5 z

---...1]

~

pm/N

J-,

Fig. 6. Mode 1, de gestreepte lijnen geven de rustpositie en de getrokken lijnen de uitgebogen positie van de robot weer. Tevens is een geschaald assenkruis (100 ~m/N) in de

I

MODE: MODE:

/0

I

lJ.oo

IJm/N

r;;o

pm/N

FREG.- 14.27 Hz OE14PING = 2.90 ~

Fig. 7. De representatie van mode 1 in zij- en bovenaanzicht.

----J==

100 IJm/N

FREG."12.49 Hz DE14PING .. 2.B2 l

Fig. 8., Mode 1 van de robot, waarbij de bovenarm onder een hoek van 450 staat.

1\1 -If'[ "

!

0

~ , I

-1-IItI-ry--~-~?-/

I

f

I

I

LiDO

~m/N

Itoo

J,Jm/N FRECl.- 20.55 Hz DEMPING = 3.76 ~ I

I

Fig. 9. Mode 2, bovenarm vertikaal.

I

MODE: 2 MODE: 2

100 pm/N

FRED.= 15.22 Hz DEMPING = 2.76 :(

I

MODE: 5

_I

MODE: 5

I

I

'---

_-

_-

-- -:.::r:--

_.~

/

0

~IW1+

-

1=-

---

-~

I

bm/N

1100

I

f.!m/N FREQ.- 34.52 Hz OEMPING : 2.75 % i

Fig. 11. Mode 5, bovenarm vertikaal.

FREQ ... 34.74 Hz DEMPING .. 2.39 l

It

LE50 IJm/N

250 IJm/N I

FREIl.- 9.62 Hz DEMPING ~ 1. 86 S

Fig. 13. Mode 1 van het prototype van een robot, de torsiestijfheid van de bovenarm is te laag.

TRANS AJI!: 32 fIA: 50 EXPAND

500.00.-_ _ _ _ _ _ _ ~---_, /l MAG (mIN) 0.0 3.0000 HZ Belasting: 1 1 0 N 2 - - 2 50 N 3 - - - 3 100 N 4 - - - - 4 150 N

*

K 200 N

=--=

10.000

Fig. 14. De belasting van een robot tan grote invloed uitoefenen op het dynamisch gedrag.