De zoektocht naar een nieuw economisch evenwicht
Strategische netwerkformatie met kans op faillissement
Bachelorscriptie Econometrie Universiteit van Amsterdam
17 december 2013
Joris Bücker 10186921
Begeleiders Dr. Marco van der Leij
Dankwoord
Ik wil graag in de eerste plaats mijn begeleiders Marco van der Leij en Daan in ’t Veld bedanken, met wie ik elke week mijn voortgang besprak en bediscussieerde. Hun scherpte bracht mij telkens weer aan het twijfelen aan mijn resultaten, waardoor ik ze nog beter doorgrondde. Altijd wisten ze de juiste opmerkingen te maken die ik nodig had om weer een stapje verder te komen.
Dankzij hen heb ik bovendien mijn scriptie over netwerktheorie kunnen schrijven; ik had geen beter onderwerp kunnen bedenken. Met toepassingen in de natuurkunde, sociologie, wiskunde, speltheorie en geschiedenis en als vrij jonge tak in de economische wetenschap is het een zeer interessante richting.
Daarnaast wil ik mijn ouders bedanken, die altijd bereid waren mij met problemen te helpen.
Inhoudsopgave
Dankwoord ...1
Samenvatting ...3
1. Inleiding ...3
1.1 Relatie met de literatuur...6
2. Model ...9
2.1 Structural holes model...9
2.2 Uitbreiding ... 11 2.3 Stabiliteit en efficiëntie ... 13 3. Analyse ... 15 3.1 Stabiliteitsgrenzen ... 17 3.1.1 Sternetwerk ... 17 3.1.2 Compleet kern-periferienetwerk ... 20
3.1.3 Overzicht van de vier structuren ... 22
3.1.4 Relatief belang van het complete netwerk ... 26
3.2 Efficiënte netwerken ... 27
4. Conclusie en discussie ... 34
Literatuurlijst ... 37
Samenvatting
In deze scriptie wordt de endogene netwerkformatie onderzocht in een model met tussenpersonen, waarbij spelers in acht nemen dat er een kans op faillissement is. Recent empirisch onderzoek suggereert dat financiële netwerken een kern-periferiestructuur hebben. Deze structuur blijk nooit stabiel te zijn in het gepresenteerde model. Een sternetwerk is alleen stabiel als de faillissementskans laag is. Naarmate de kans op faillissement stijgt wordt het lege netwerk belangrijker en het complete netwerk relatief belangrijker dan het sternetwerk.
De resultaten suggereren dat bij hoge verbindingskosten banken in financiële netwerken verbindingen verbreken als de kans op faillissement stijgt. Dit zorgt voor een illiquide interbancaire leensector in tijden van crisis, zoals gebeurde tijdens de financiële crisis van 2007-2008. Bij zeer lage verbindingskosten zullen banken echter meer verbindingen aangaan om het faillissementsrisico af te dekken.
Voor een groot aantal spelers kan een compleet kern-periferienetwerk wel efficiënter zijn dan het sternetwerk. Alleen voor zeer lage kosten per verbinding is het complete netwerk efficiënt.
1. Inleiding
Op 15 september 2008 ging Lehman Brothers failliet en trok veel banken mee in haar misère. Banken die veel geld bij Lehman Brothers hadden uitstaan, kwamen in liquiditeitsproblemen en gingen soms zelfs failliet. Als de verzekeraar American International Group (AIG) ook ten onder was gegaan, was de schade nog groter geweest en had er een sneeuwbaleffect van faillissementen kunnen plaatsvinden, aldus Businessweek (2009). Dit domino-effect is het gevolg van de verbondenheid in de financiële wereld. Deze verbondenheid wordt door velen gezien als een belangrijke oorzaak van zowel de financiële crisis als de eurocrisis. In het laatstgenoemde geval kwam dit doordat sommige banken een grote hoeveelheid in waarde dalende staatsobligaties bezaten. Hierdoor daalde het bezit van de banken ten opzichte van de schulden en hadden zij meer kans om failliet te gaan (Office of Financial Research, U.S.; 2013).
Veel landen nemen maatregelen om meer greep te krijgen op deze verwevenheid. Een voorbeeld daarvan is het verhogen van de kapitaalbuffer voor systeembanken in verschillende
landen, waaronder het Verenigd Koninkrijk, China en Zwitserland. Ook Nederland krijgt hiervoor nieuwe regels in 2014 (DNB, 2013). Het Financial Stability Board (FSB), een adviesorganisatie van de G-20 dat zich bezig houdt met de financiële wereld, definieert een systeembank als een bank die onder andere door zijn verwevenheid met het financiële
systeem grote ontwrichting aan de financiële sector en de economie in het algemeen toebrengt indien deze bank failliet gaat (FSB, 2011). Om deze reden wordt een systeembank ook wel
too big to fail genoemd (Bernanke, 2010, p. 20). Na wereldwijd onderzoek in 2011 heeft het
FSB 29 systeembanken geïdentificeerd (FSB, 2011).
In deze scriptie wordt op een fundamenteel niveau onderzocht hoe deze connectiviteit ontstaat. Een overzicht van alle banken, waarin hun onderlinge verbindingen zichtbaar
worden gemaakt, wordt gepresenteerd door een netwerk. In dit netwerk zijn banken de spelers en worden de verbindingen tussen banken weergegeven als pijlen tussen spelers. Zo ontstaat een netwerktheoretisch model, waarmee de gevolgen van het veranderen van parameters of het opleggen van politiek economisch beleid kunnen worden berekend. Aan de hand van een dergelijk model wordt in een competitieve omgeving met kans op faillissement onderzocht welke netwerkstructuren stabiel zijn en welke efficiënt.
Als basis wordt het model van Goyal en Vega-Redondo (2007) gebruikt. In hun model krijgen spelers uitbetalingen door handel te drijven met alle andere spelers die ze direct of indirect (via andere spelers) in het netwerk kunnen bereiken. Daarnaast kunnen ze als
tussenpersoon fungeren en zo meeverdienen aan handel tussen andere spelers. Aan de andere kant zorgt een directe verbinding ook voor kosten. In deze context kan handel gaan over fysieke handel, maar bijvoorbeeld ook over informatie. Bij kosten kan gedacht worden aan geld, maar ook aan tijd of moeite. De auteurs onderscheiden drie prikkels die de spelers beïnvloeden om verbindingen te creëren. De eerste prikkel is om winst te genereren; spelers zullen zich verbinden met een netwerk om met de spelers in dat netwerk handel te gaan drijven. De tweede prikkel voor de spelers is om zich te plaatsen tussen andere spelers om zo als tussenpersoon een deel van de winst te ontvangen. De derde prikkel is erop gebaseerd dat spelers niet hun winst met tussenpersonen willen delen; ze proberen zoveel mogelijk directe handel te drijven (Goyal en Vega-Redondo, 2007, p. 461). De auteurs lieten zien dat een sternetwerk als evenwichtsnetwerk ontstaat. In een sternetwerk zijn alle spelers met één middelste speler verbonden en met niemand anders. Deze middelste speler is de enige tussenpersoon.
In empirisch onderzoek, waaronder door Van Lelyveld en In ’t Veld (2012) en Boss et al. (2004) met respectievelijk Nederlandse en Oostenrijkse data over het financiële stelsel,
worden daarentegen aanwijzingen gevonden dat financiële netwerken niet lijken op een sterstructuur, maar eerder een kern-periferie structuur volgen. In een kern-periferienetwerk hebben veel banken weinig verbindingen, maar zijn sommige banken belangrijk en hebben veel verbindingen. Eenzelfde netwerkstructuur wordt gevonden bij de bankenstelsels van de Verenigde Staten, het Verenigd Koninkrijk, Canada en Japan (zie Anand, Gai en Marsili (2012, p. 4) voor betreffende artikelen). Castiglionese en Navarro (2010) suggereren dat dergelijke netwerkstructuren mogelijk ontstaan bij netwerkformatie als de kans op faillissement wordt meegenomen.
Deze kans werd door Goyal en Vega-Redondo (2007) niet meegenomen in hun analyse. In deze scriptie wordt dit wel gedaan, waardoor spelers een prikkel krijgen om extra verbindingen aan te gaan als verzekering tegen faillissementen van handelspartners. Zo ontstaat er een vierde prikkel om verbindingen te vormen, naast de drie eerder genoemde prikkels uit het originele model van Goyal en Vega-Redondo (2007). Met deze toevoeging wordt geprobeerd een verklaring te geven voor het bestaan van completere netwerken zoals het kern-periferienetwerk en het afwezig zijn van sternetwerken in de empirie.
Het berekenen van de uitbetaling per speler wordt in deze scriptie als volgt gedaan. Er wordt in acht genomen hoe het netwerk verandert bij het faillissement van bepaalde spelers. Er kunnen ook meerdere spelers tegelijk failliet kunnen gaan. Als bekend is wie er failliet gaan worden deze spelers uit het netwerk verwijderd inclusief al hun verbindingen. Vervolgens worden in al deze netwerken de uitbetaling per speler uitgerekend (met de
uitbetalingsfunctie van Goyal en Vega-Redondo (2007)) en de kans dat dit specifieke groepje spelers failliet gaat. De uitbetaling per speler is vervolgens de som over alle mogelijke
netwerken die zo ontstaan van de uitbetalingen voor de speler maal de kans op faillissement van dat groepje.
Een kern-periferienetwerk blijkt nooit stabiel te zijn in het onderzochte model; er is dus geen aanwijzing gevonden dat het toevoegen van faillissementskansen een verklaring kan geven voor het bestaan van kern-periferienetwerken. Het sternetwerk is nog steeds belangrijk bij een lage kans op faillissement, terwijl het lege netwerk, waarin geen enkele speler een verbinding heeft met een andere speler, steeds belangrijker als de kans op faillissement stijgt. Tevens wordt bij hoge faillissementskansen het complete netwerk, waar iedereen direct verbonden is met iedere andere speler, relatief belangrijker dan het sternetwerk. Dit wijst erop dat in een financiële crisis, als de kans op faillissement stijgt, banken zowel een prikkel kunnen krijgen om verbindingen te verwijderen als om verbindingen te vormen. Banken kunnen meer verbindingen aangaan om de risico’s onderling te delen of hun verbindingen
verbreken als ze het risico te groot achten. Dit laatste wijst op het opdrogen van de interbancaire leenmarkt, waar banken elkaar voor korte tijd elkaar geld lenen. Tijdens de financiële crisis van 2007-2008 gebeurde dit daadwerkelijk (FOMC, 2007, p. 5).
1.1 Relatie met de literatuur
Deze scriptie bouwt voort op twee takken in het onderzoek naar netwerken. De eerste houdt zich bezig met het onderzoeken hoe faillissementen het financiële netwerk beïnvloeden.1De tweede tak houdt zich bezig met het formeren van netwerken.2
Een van de eerste onderzoeken naar de invloed van faillissementen op het financiële netwerk was het artikel van Allen en Gale (2000). De auteurs onderzoeken in dat artikel een netwerk waar liquiditeitsschokken in verschillende regio’s elkaar opheffen. Door
verbindingen aan te gaan kunnen banken zich verzekeren tegen deze schokken en een
mogelijk faillissement. Als de schokken elkaar echter niet precies opheffen, kunnen er banken over de kop gaan en elkaar meetrekken in hun faillissement.
Veel van de onderzoeken uit de eerste tak worden gedaan met gesimuleerde
netwerken. Een valkuil hierbij is dat het netwerk exogeen moet worden vastgesteld. Gai en Kappadia (2010) simuleren een willekeurig netwerk, waarbij aangenomen wordt dat de kans op het ontstaan van een bepaalde verbinding gelijk is voor alle verbindingen. Zij vinden in hun model, net als veel ander onderzoek in deze tak, de robust-yet-fragile-eigenschap. Deze eigenschap betekent dat meer connectiviteit de kans op een crisis verkleint, maar als
vervolgens toch een crisis uitbreekt de gevolgen catastrofaal zijn. Het idee is dat goed
verbonden banken snel aan liquide middelen kunnen komen als ze in de problemen raken. Een goed verbonden bank is echter wel kwetsbaar, aangezien de kans groot is dat een bank aan het eind van ten minste één verbinding failliet gaat.
Naar aanleiding van de eerder genoemde bevinding dat veel financiële netwerken een kern-periferiestructuur hebben doen Gai, Haldane en Kappadia (2011) onderzoek naar gesimuleerde netwerken met ongelijke verdeling van verbindingen. Nu ontstaat een netwerk met meer gelijkenis met een kern-periferie structuur. Deze netwerken hebben ook de
robust-yet-fragile-eigenschap, maar dan versterkt. Het netwerk wordt met andere woorden nog
breekbaarder. Het netwerk blijft echter exogeen; banken kunnen niet het netwerk aanpassen
1
Voor een overzicht van deze literatuur zie Chinazzi en Fagiolo (2013).
als ze daar wel prikkels voor zouden hebben. Deze bevindingen vragen roepen op. Als een kern-periferienetwerk nog fragieler is dan een willekeurig netwerk, waarom volgen veel financiële netwerken dan een kern-periferiestructuur?
De tweede tak van onderzoek waar deze scriptie op voortbouwt probeert juist dit soort vragen te beantwoorden. Zij laten spelers hun eigen netwerk formeren door ze te laten
beslissen om verbindingen te creëren met andere spelers. Door bepaalde prikkels te geven ontstaan specifieke netwerken die stabiel zijn en in evenwicht. Deze tak in de netwerktheorie heet de netwerkformatietheorie.
Een belangrijk vroeg onderzoek in de netwerkformatietheorie is het artikel van Jackson en Wolinsky (1996). In plaats van zoals in eerder onderzoek een waarde of uitbetaling te geven aan een netwerk als geheel, doen Jackson en Wolinsky dat aan
individuele spelers. Bij bijvoorbeeld Myerson (1991) werd de waarde bepaald door coalities, groepjes spelers die onderling direct of indirect verbonden zijn. Bij Jackson en Wolinsky (1996) is niet alleen van belang wie deel uitmaken van een coalitie, maar ook hoe de structuur binnen de coalitie eruit ziet; hierdoor kunnen verschillende type netwerken die dezelfde spelers verbinden leiden tot andere waardes en uitbetalingen.
In het netwerk van Jackson en Wolinsky zorgen directe verbindingen voor kosten, maar zowel directe als indirecte verbindingen voor opbrengsten. Recentere modellen volgen veelal dit principe. Zo ook het model van Bala en Goyal (2000a) en het besproken model van Goyal en Vega-Redondo (2007). Een belangrijke bevinding bij deze drie studies is dat het sternetwerk een belangrijk netwerk is. Dit lijkt tegenintuïtief, aangezien ex ante spelers gelijk zijn. Toch ontstaat er een netwerk waarin één speler, namelijk de centrale speler in de ster, veel meer (bij Goyal en Vega-Redondo (2007)) of veel minder (bij Jackson en Wolinsky (1996)) verdient dan de andere spelers. In hoofdstuk 2 wordt dieper ingegaan op het model van Goyal en Vega-Redondo (2007).
In deze scriptie worden de twee takken samengevoegd door af te vragen hoe spelers hun netwerk formeren als ze er rekening mee houden dat ze failliet kunnen gaan. Gai,
Haldane en Kappadia (2011) schrijven in hun conclusie al dat onzekerheid een grotere rol zou moeten spelen in hun netwerk. Eén bron van onzekerheid is in ieder geval dat je niet weet of je zakenpartner liquide zal blijven gedurende de periode van samenwerking.
Een aantal andere studies probeert deze koppeling ook te maken. Bala en Goyal (2000b) onderzoeken wat er gebeurt als verbindingen in plaats van spelers niet betrouwbaar zijn en kunnen wegvallen met een bepaalde kans. Deze kans is gelijk en onafhankelijk voor alle verbindingen, net zoals de faillissementskans in deze scriptie. Het evenwichtsnetwerk dat
zo ontstaat is een superverbonden netwerk. Een verbonden netwerk is een netwerk waar iedereen (mogelijk indirect) vanuit iedere andere speler bereikbaar is. Een superverbonden netwerk is een netwerk dat nog steeds verbonden is als een willekeurige link wordt verbroken.
In het model van Castiglionese en Navarro (2010) kunnen banken beleggen in een veilige en een risicovolle belegging en endogeen hun netwerk formeren. De kans op
faillissement voor een bepaalde bank groeit als vaker risicovol wordt belegd door deze bank zelf of door banken in zijn netwerk. Bij de netwerkformatie ontstaat er een trade-off tussen verzekering tegen liquiditeitsschokken en het risico op faillissement van de zakenpartner. De auteurs vinden dat een kern-periferienetwerk zowel het stabiele als het efficiënte netwerk is voor financiële netwerken. Hierbij beleggen de banken in de kern van het netwerk alleen in de veilige belegging, terwijl de banken in de periferie beleggen in de risicovolle belegging. Het optimale netwerk wordt meer verbonden naarmate het faillissementsrisico kleiner wordt. In deze scriptie worden geen aannames gedaan over beleggingsmogelijkheden of bankbalansen en wordt de faillissementskans gelijk en onafhankelijk verondersteld om helder de
onderliggende mechanismen bloot te leggen.
Hommes, Van der Leij en In ’t Veld (2013) proberen door middel van netwerkformatietheorie een verklaring te vinden voor het bestaan van
kern-periferienetwerken. Uit hun model, dat evenals het model in deze scriptie een aanpassing is van het model van Goyal en Vega-Redondo (2007), blijkt dat kern-periferienetwerken niet stabiel zijn. Als echter wordt aangenomen dat banken heterogeen zijn en dat in de kern banken groter zijn dan banken in de periferie, is een kern-periferienetwerk wel stabiel. Het model van Hommes, Van der Leij en In ’t Veld (2013) bevat geen faillissementskansen, maar de auteurs suggereren dat het toevoegen van dergelijke kansen relevant kan zijn om te zien wat er gebeurt in tijden van crisis wanneer de kans op faillissement groeit. Tijdens de financiële crisis van 2007-2008 werd de interbancaire leenmarkt, een bankennetwerk waar voor korte tijd geld wordt uitgeleend, immers illiquide en traag (FOMC, 2007, p. 5). Van Lelyveld en In ’t Veld (2012) vonden daarnaast dat tijdens de recente financiële crisis het financiële kern-periferienetwerk in Nederland uiteen viel. Er wordt net als in deze scriptie dichterbij de netwerkformatietheorie gebleven dan in Castiglionese en Navarro (2010) om de economische principes duidelijk naar voren te laten komen.
Naar mijn weten is dit het eerste onderzoek naar het ontstaan en formeren van economische netwerken met tussenpersonen waar rekening wordt gehouden met het
wegvallen of failliet gaan van individuele spelers. Er wordt gezocht naar efficiënte en stabiele netwerkstructuren als spelers rekening houden met de kans op faillissement van andere
spelers en zichzelf. Dit wordt gedaan aan de hand van een uitbreiding van het model van Goyal en Vega-Redondo (2007), waar spelers endogeen hun netwerk bepalen en verbindingen creëren na een bilaterale overeenkomst.
Het resterende deel van deze scriptie is als volgt opgebouwd. In hoofdstuk 2 wordt het model gepresenteerd. Ook komen de stabiliteits- en efficiëntieconcepten aan bod. In
hoofdstuk 3 worden vervolgens belangrijke netwerken analytisch op stabiliteit getest. Ook wordt het stabiele netwerk bestudeerd als de kans op faillissement heel groot wordt. Daarnaast wordt ook de efficiëntie van netwerken onderzocht. Ten slotte volgt de conclusie en discussie in hoofdstuk 4.
2. Model
Goyal en Vega-Redondo (2007) hebben een model opgesteld waarin aan directe relaties verdiend kan worden. Aan indirecte relaties kan ook verdiend worden, zij het dat de winst dan gedeeld moet worden met tussenpersonen die deze handel mogelijk maken. Dit model, het
structural holes model, wordt als basis gebruikt in deze scriptie. Eerst wordt daarom het
structural holes model besproken en vervolgens de uitbreiding ervan. Daarna worden de concepten voor stabiliteit en efficiëntie besproken.
2.1 Structural holes model
Veronderstel een netwerk met { } spelers. Iedere speler maakt bekend of hij wel of geen verbinding wil met iedere andere speler; deze voorgestelde link { } heeft waarde als speler een verbinding wil met speler en anders . Al deze beslissingen samen worden gecombineerd tot strategie [ ] { }, waarbij geldt dat , met de
verzameling met alle mogelijk strategieën voor speler . Een verbinding wordt alleen gevormd als beide spelers dat willen, dus als . Alle strategieën samen vormen een netwerk , waar . Als , dan is er een verbinding tussen speler en speler en geldt dus dat ; anders geldt dat . Laat nu de totale strategie zijn zonder de strategie van speler , zodat geldt dat .
Een pad bestaat tussen spelers en als er een rij spelers { } bestaat zodanig dat . Indien { } , dan is er een directe verbinding tussen spelers en . Alle spelers waarvoor er een pad bestaat met speler in netwerk maken deel uit van het component . Alle spelers in een component kunnen handel met elkaar drijven. Bij handel tussen twee spelers ontstaat er een winst van 1. Deze winst wordt eerlijk gedeeld door de twee spelers en de essentiële spelers die de handel mogelijk maken. Essentiële spelers zijn spelers zonder wie de handel onmogelijk zou zijn. Anders gesteld, essentiële spelers maken deel uit van alle paden die van de ene speler naar de andere lopen. is de verzameling van spelers die essentieel zijn voor handel tussen spelers en . | | is het aantal essentiële spelers tussen spelers en . De winst die speler uit de transactie met speler haalt is dus gelijk aan .
Speler kan zelf ook essentieel zijn voor andere transacties. De indicatorfunctie geeft aan dat speler essentieel is voor handel tussen spelers en . De winst die speler op deze manier maakt is gelijk aan
.
Het aantal verbindingen van speler wordt gegeven door |{ }|. Er wordt aangenomen dat iedere link vaste kosten heeft. Alles samengenomen en gesommeerd over alle handelsmogelijkheden geeft dit de volgende uitbetalingsfunctie:
∑ ∑ { }
Voor de analyse is het soms handiger om alleen naar de baten of kosten te kijken. Daarom worden de batenfunctie en de kostenkunctie geïntroduceerd, waarbij geldt dat , met
∑
∑ { }
en . Merk op dat positief is en strikt positief als speler ten minste één verbinding heeft. Daarnaast is negatief en strikt negatief als speler ten minste één verbinding heeft.
2.2 Uitbreiding
Het structural holes model wordt nu uitgebreid met de kans op faillissement. Omwille van de eenvoud wordt verondersteld dat deze kans hetzelfde is voor iedere speler en onafhankelijk van het faillissement van andere spelers. De kans om failliet te gaan is gelijk aan . Laat de verzameling van spelers zijn die failliet gaat. De kans dat een verzameling spelers F daadwerkelijk failliet gaat, is gelijk aan | | | |. Immers gaan er | | spelers failliet en blijven er | | spelers nog bestaan.
Laat het netwerk zijn waar alle spelers van uit verwijderd zijn. Als
bijvoorbeeld { }, dan is het netwerk waar de eerste en derde speler met al hun verbindingen uit verwijderd zijn. Merk op dat als , dan geldt dat component . Voor de baten van speler wordt gekeken naar alle mogelijke waardes van . Dit geeft:
∑ | | | |
De kosten worden betaald voordat bekend is wie failliet gaan en zijn daardoor gelijk aan de kosten bij het structural holes model:
Analoog aan het structural holes model geldt . Uitgeschreven wordt de uitbetaling:
∑ | | | |( ∑ ∑ { } )
Speler houdt er rekening mee dat alle combinaties van spelers failliet kunnen gaan. Voor iedere combinatie wordt uitgerekend wat de kans is dat die combinatie failliet gaat en wat de uitbetaling volgens het structural holes model wordt als die spelers failliet gaan. De baten van
(3)
(2)
speler worden gegeven door de som van de kansen maal de uitbetalingen. Ten slotte moet nog voor alle verbindingen betaald worden.3
Merk op dat als , uitbetalingsfunctie (3) gelijk is aan uitbetalingsfunctie (1) van het structural holes model. Merk bovendien op dat spelers in dit model risico-neutraal zijn. Spelers zijn indifferent tussen een hoge kans op een lage uitbetaling en een lage kans op een hoge uitbetaling.4
Voorbeeld 1. Uitbetaling van de centrale speler in een ster met drie spelers Stap voor stap wordt de uitbetaling berekend van speler nummer 2, de groene speler in het figuur hiernaast. Deze speler heeft een verbinding met zowel speler 1 als speler 3, waardoor zijn kosten gelijk zijn aan . In Tabel
1 worden de baten berekend volgens batenfunctie (2). De spelers die failliet gaan en dus deel uitmaken van zijn rood gemaakt.
Tabel 1: uitbetaling centrale speler in een ster met drie spelers
Netwerk Kans op ontstaan van
dit specifieke netwerk
Baten speler 2 volgens het structural holes model
{ }
{ }
3 Uitbetalingsfunctie (3) is component gebalanceerd, component optelbaar en anoniem, zoals gedefinieerd door
Jackson (2001). Een netwerk is component gebalanceerd als de structuur in één component geen invloed heeft op de uitbetalingen van spelers in een ander component. Component optelbaar betekent dat de waarde die gecreëerd wordt in een component, ook verdeeld wordt onder de spelers in dat component. Een anonieme
uitbetalingsfunctie ten slotte betekent dat de uitbetaling voor een bepaalde speler niet afhangt van specifieke kenmerken die speler, maar slecht van zijn positie in het netwerk; oftewel, spelers zijn ex ante homogeen.
4 Vanuit de psychologische literatuur is bekend dat over het algemeen individuen, bedrijven en banken niet
risico-neutraal zijn, maar risico-avers. Hiervoor corrigeren zou een natuurlijke extensie zijn van deze scriptie.
1 2
1 2 3
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
Verschillend, maar bij allemaal gaat speler 2 failliet, waardoor de baten voor speler 2 gelijk 0 zijn.
Nu is alle informatie bekend om de uitbetaling voor speler 2 uit te rekenen. We
vermenigvuldigen de kans op het netwerk met de uitbetaling voor speler 2 in dat netwerk. Dit wordt ten slotte gesommeerd:
( ) ( )
Dit kan versimpeld worden tot de volgende uitdrukking:
2.3 Stabiliteit en efficiëntie
Spelers zullen van hun strategie willen afwijken als ze met een nieuwe strategie een hogere uitbetaling kunnen realiseren. Als geen speler van zijn strategie wil afwijken, is het netwerk stabiel. Er zijn verschillende manieren om de stabiliteit vast te stellen. In deze scriptie zal naar twee concepten worden gekeken: paarsgewijze stabiliteit en strikt bilateraal evenwicht.
Paarsgewijze stabiliteit is ontwikkeld door Jackson en Wolinsky (1996) en ontstaat als voldaan is aan de volgende twee condities. Ten eerste kan geen enkele speler een hogere uitbetaling krijgen door een bestaande verbinding te verbreken. Ten tweede kan geen enkel paar van twee spelers allebei een hogere uitbetaling krijgen door een verbinding te creëren.
Definitie 1. Een netwerk is paarsgewijs stabiel als geldt dat
i. voor alle spelers waarvoor geldt , ( ) en
ii. voor alle spelers waarvoor geldt , als ( ) dan
( ).
Hier is het netwerk zonder de verbinding tussen spelers en . Paarsgewijze stabiliteit is een relatief zwak concept, maar kan wel gezien worden als een noodzakelijke conditie voor stabiliteit (zie Jackson, 2003, p. 115-116 en Jackson en Van den Nouweland, 2005, p. 421).5 Het is ook een relatief simpel concept, maar verkleint volgens Jackson (2003) al significant het aantal mogelijke stabiele netwerken.
Een sterker concept is het strikt bilateraal evenwicht, ontwikkeld door Goyal en Vega-Redondo (2007). Hier kunnen twee spelers simultaan verbindingen vormen en verbreken door hun strategie te veranderen. Twee spelers kunnen dus tegelijkertijd samen een verbinding vormen en verbindingen met andere spelers verbreken.
Definitie 2. Een netwerk is een strikt bilateraal evenwicht als geldt dat
i. voor alle spelers en alle strategieën zodanig dat ,
;
ii. voor alle spelers en alle strategieparen ( zodanig dat
, .
Merk op dat als een netwerk een strikt bilateraal evenwicht is, het ook paarsgewijs stabiel is. Andersom geldt deze relatie niet.
Efficiëntie kan op verschillende manieren berekend worden. Een efficiënte situatie is een situatie die op een of andere manier sociaal wenselijk is. Pareto efficiëntie wordt vaak door economen gebruikt en geeft een minimale mate van efficiëntie aan (Jehle en Reny, 2011, p. 217). Een situatie die niet Pareto efficiënt is kan namelijk veranderd worden tot een situatie waarin alle spelers minstens evenveel verdienen en sommige spelers meer. Een Pareto
inefficiënte situatie is dus nooit sociaal optimaal; Pareto efficiëntie is een minimale conditie voor de gewenste efficiëntie. Een sterker concept is wat Jackson en Wolinsky (1996) sterke efficiëntie noemen.6 Het sterk efficiënte netwerk is het netwerk dat de hoogste geaggregeerde uitbetaling genereert. Als het in deze scriptie over efficiëntie gaat, wordt sterke efficiëntie
5 Omdat paarsgewijze stabiliteit een minimale conditie voor stabiliteit is, wordt in deze scriptie een netwerk dat
niet paarsgewijs stabiel is ook wel niet stabiel genoemd.
bedoeld zoals gedefinieerd door Jackson en Wolinsky (1996). Laat ∑ de som van uitbetalingen van alle spelers zijn. Definieer als de verzameling van alle netwerken met spelers.
Definitie 3. Het netwerk is efficiënt als voor alle .7
Er is dus slechts één waarde voor , waarvoor het netwerk efficiënt is. Deze waarde kan eventueel wel in meerdere netwerken aangenomen worden. Merk op dat efficiëntie Pareto efficiëntie impliceert, maar niet andersom. Hoewel dit concept sterker is dan Pareto
efficiëntie, vertelt het nog steeds niks over de verdeling van welvaart over de samenleving en de eerlijkheid daarvan.
Jackson en Wolinsky (1996) lieten zien dat stabiele netwerken niet per se efficiënt zijn.8 Het is daarom van belang beide concepten afzonderlijk te behandelen.
3. Analyse
Uit de analyse van Goyal en Vega-Redondo (2007) blijkt dat het sternetwerk het belangrijkste netwerk is met betrekking tot stabiliteit en efficiëntie in het structural holes model. In het sternetwerk is er één centrale speler die met alle andere spelers (de buitenspelers) direct verbonden is; verder zijn er geen verbindingen. Er geldt kortom dat er een centrale speler is waarvoor geldt dat voor alle spelers en voor ieder paar spelers
. Voor een sternetwerk zijn minimaal drie spelers nodig.
Daarnaast is vanuit de empirie het kern-periferienetwerk belangrijk gebleken.
Specifiek wordt hier het compleet kern-periferienetwerk onderzocht, zoals gedefinieerd door Hommes, Van der Leij en In ’t Veld (2013). De reden voor deze keuze is dat een compleet
7
In deze scriptie wordt een netwerk efficiënter dan een ander netwerk genoemd als geldt dat .
8
Zie onder andere Dutta en Mutuswami (1997, 2001) en Jackson (2003) voor een overzicht van studies naar dit verschijnsel. Jackson (2003, pp. 129-130) stelt dat in ieder geval een deel van het verschil te maken heeft met externaliteiten, op macht gebaseerde inefficiënties of het kortetermijndenken van spelers. Externaliteiten kunnen een oorzaak zijn doordat als twee spelers nadenken over de creatie van een verbinding, ze geen rekening mee houden met de gevolgen daarvan voor een derde speler. Daarnaast kunnen spelers met afwijkingen van een efficiënt netwerk een betere onderhandelingspositie verkrijgen, waardoor ze in onderlinge handel meer winst naar zich toetrekken, maar wel een inefficiënt netwerk creëren. Dit zijn de op macht gebaseerde inefficiënties. Ook zijn spelers puur op de korte termijn gericht. Ze zijn niet in staat om in acht te nemen hoe andere spelers op hun beslissingen zouden reageren. Zo kan in een inefficiënt netwerk worden blijven hangen. Dit zijn drie oorzaken, maar Jackson (2003) geeft toe dat er ook andere kunnen.
kern-periferienetwerk op een natuurlijke manier kan ontstaan vanuit een sternetwerk wanneer sommige spelers hun positie willen verbeteren door ook in de kern van het netwerk te raken (Hommes, Van der Leij en In ’t Veld, 2013, p. 17). Daarnaast kunnen de buitenspelers van een sternetwerk via deze nieuwe kernspelers een soort verzekering afsluiten tegen
faillissement van de centrale speler in de ster. In het compleet kern-periferienetwerk zijn er twee groepen spelers: kernspelers en periferiespelers . Alle kernspelers zijn direct verbonden met elkaar en met alle periferiespelers. De periferiespelers hebben geen verbindingen onderling. Er geldt met andere woorden dat voor alle spelers , ,dat voor alle spelers en en dat voor alle spelers .9 Als | | dan is het compleet kern-periferienetwerk gelijk aan het sternetwerk. Als dan is het compleet kern-periferienetwerk gelijk aan het complete netwerk. Er moet dus gelden dan . In Figuur 1 zijn het sternetwerk en het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers afgebeeld.
Figuur 1: Belangrijke netwerken
Het sternetwerk met acht spelers (links) en het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers en zeven periferiespelers (rechts).
Twee andere netwerken van belang in de analyse zijn het lege netwerk en het complete netwerk. In het lege netwerk is er geen enkele verbinding tussen spelers. Er geldt dat voor ieder paar spelers en . In het complete netwerk zijn alle spelers direct verbonden met alle andere spelers; er geldt dat voor ieder paar spelers en met .
9 Merk op dat dit hetzelfde netwerk geeft als de interlinked star, gedefinieerd door Goyal (2007, p. 11).
Sternetwerk Compleet kern-periferienetwerk
Voor deze vier netwerkstructuren worden simpele uitdrukkingen voor
uitbetalingsfunctie (3) gevonden.10 Er wordt aangevangen met een stabiliteitsanalyse voor deze netwerken en vervolgens worden de efficiënte netwerken onderzocht.
3.1 Stabiliteitsgrenzen
De batenfunctie (2) komt in sommige gevallen overeen met een verwachting van een binomiale verdeling. Dit geldt als het tweede deel van de batenfunctie, , hetzelfde is voor alle mogelijke waarvoor geldt dat | | constant is en bovendien dat
dezelfde structuur heeft voor verschillende waardes van | |. In dat geval kan batenfunctie (2) omgeschreven worden als een som van kansen maal een binomiaalcoëfficiënt maal een waarde, gelijk de verwachting van een binomiale verdeling. Dit inzicht is van belang bij het afleiden van gesloten formules voor het sternetwerk en het complete netwerk.
3.1.1 Sternetwerk11
Om de stabiliteitsgrenzen van het sternetwerk te bepalen, wordt eerst een gesloten uitdrukking gevonden voor de uitbetaling van de buitenspelers en de centrale speler in een sternetwerk. In de appendix staat de formele afleiding; hier volgt een meer intuïtieve afleiding. De uitbetaling voor spelers in een sternetwerk met spelers kan als volgt berekend worden. We beginnen met een speler aan de buitenkant van een ster, de buitenspeler. Hij is volledig afhankelijk van de centrale speler. Via handel met deze speler ontvangt de buitenspeler een half. Vervolgens ontvangt hij van iedere andere speler in het netwerk die niet failliet gaat een derde. Dit zijn spelers. De kans dat een speler niet failliet gaat is . De verwachting is dus dat er spelers niet failliet gaan. Aan deze spelers zal dus nog verdiend worden. Er moet ook nog voor de verbinding met de centrale speler betaald worden. Samengenomen en vermenigvuldigd met om mee te nemen dat de speler zelf ook failliet kan gaan geldt voor een buitenspeler ( ) in een sternetwerk ( ):
10
Als er in deze scriptie over de vier netwerken of structuren wordt gesproken, dan worden deze vier netwerken bedoeld.
11 Een sternetwerk is alleen gedefinieerd voor . De uitbetalingen en stabiliteitsgrenzen gelden dus alleen
( )
Voor de centrale speler geldt het volgende. Als hij zelf niet failliet gaat ontvangt hij voor directe handel met iedere niet-failliete speler een half. Er gaan gemiddeld spelers niet failliet, dus via deze route wordt verdiend. Daarnaast ontvangt hij voor alle andere transacties tussen niet-failliete spelers een derde. Daarvoor moeten zowel de centrale speler als de twee spelers die de transactie doen niet failliet gaan. Van beide spelers ontvangt de centrale speler nu een zesde (per transactie dus een derde). Er zijn mogelijke spelers betrokken bij deze transacties. Als essentiële speler ontvangt de centrale speler dus . Ook wordt nog betaald voor alle verbindingen; dit zijn er . Alles samengenomen geldt voor de centrale speler ( ):
Lemma 1. Het sternetwerk is paarsgewijs stabiel als geldt voor dat
Verder geldt dat voor iedere waarde van en [ er een is zodanig dat het sternetwerk paarsgewijs stabiel is.
Bewijs. Hier volgt een begin van het bewijs; in de appendix wordt het voltooid. Er zijn twee
verschillende afwijkingen mogelijk in een sternetwerk volgens de definitie van paarsgewijze stabiliteit. Dit zijn i) een verbinding verbreken, geïnitieerd door ofwel de centrale speler ofwel een buitenspeler of ii) een verbinding creëren door twee buitenspelers. Zie Figuur 2 voor een grafisch voorbeeld van deze afwijkingen.
(4)
Figuur 2: Mogelijke afwijkingen van het sternetwerk bij paarsgewijze stabiliteit
Deze afwijkingen zijn: een verbinding verwijderen door de centrale speler (links), een verbinding verwijderen door een buitenspeler (midden) of een verbinding toevoegen door twee buitenspelers (rechts). De groene speler wijkt af.
In de appendix wordt voor iedere afwijking berekend wanneer deze plaats heeft. Anders gezegd, er wordt bepaald voor welke waarde van de verbindingskosten de speler voordeel haalt de afwijking. Dit hangt af van het aantal spelers en de faillissementskans.
Lemma 2. Een sternetwerk is een strikt bilateraal evenwicht als voor geldt dat
Verder geldt dat voor iedere waarde van en ] er een is zodanig dat het sternetwerk paarsgewijs stabiel is.
Bewijs. Zie appendix voor bewijs.
Als niet binnen deze grenzen valt, gebeurt het volgende; wanneer de verbindingskosten lager dalen dan de ondergrens, krijgen de buitenspelers een prikkel om een verbinding te vormen. Als de bovengrens wordt doorbroken wil de centrale speler afwijken door alle verbindingen te verbreken.
3.1.2 Compleet kern-periferienetwerk12
In het structural holes model, waar , zou een compleet kern-periferienetwerk nooit stabiel zijn. Er kunnen immers verbindingen verbroken worden, zonder dat er essentiële spelers ontstaan of zekerheid verloren gaat. Met twee kernspelers is er één dergelijke
overbodige verbinding; dat is de verbinding tussen de kernspelers. In het uitgebreide model is
er als wel een mogelijkheid dat een compleet kern-periferienetwerk stabiel is. Extra verbindingen kunnen immers gelden als een verzekering tegen het faillissement van bepaalde spelers. Intuïtief is het ook aannemelijk dat een compleet kern-periferienetwerk ontstaat als de kans op faillissement reëel wordt.
Een compleet kern-periferienetwerk kan gezien worden als een combinatie van identieke sternetwerken. Als alle kernspelers op één na failliet gaan, blijft er een sternetwerk over. In Figuur 3 is te zien dat als een kernspeler in een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers failliet gaat, er een sternetwerk ontstaat met de overgebleven kernspeler als centrale speler. Als er tevens buitenspelers failliet gaat, blijft de structuur een ster.
Figuur 3: Het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers bestaat uit twee sternetwerken
Na het faillissement van één van de kernspelers ontstaat een sternetwerk. Met links het
oorspronkelijke netwerk met negen spelers, in het midden en rechts het overgebleven netwerk na faillissement van respectievelijk de onderste en bovenste kernspeler.
Ook heeft het compleet kern-periferienetwerk overeenkomsten met het complete netwerk. Zolang de kernspelers niet failliet gaan, kan er geen enkele speler essentieel worden en lijken de uitbetalingen op die van een compleet netwerk. In de appendix wordt daarvoor eerst de
12 Een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers is alleen gedefinieerd voor . De uitbetalingen
en stabiliteitsgrenzen gelden dus alleen voor .
1
Compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers
Sternetwerk na faillissement onderste kernspeler
Sternetwerk na faillissement bovenste kernspeler
uitbetaling voor spelers in een compleet netwerk afgeleid, alvorens de uitbetalingen voor spelers in een compleet kern-periferienetwerk bepaald kunnen worden. De volgende
uitbetalingen gelden in een compleet kern-periferienetwerk ( ) met twee kernspelers voor respectievelijk de periferiespelers ( ) en de kernspelers ( ):
( )
Lemma 3. Een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers is nooit strikt
paarsgewijs stabiel13 voor en .
Bewijs. Zie voor het bewijs de appendix.
Er blijkt dat voor zeer lage verbindingskosten de kernspelers hun verbinding met elkaar reeds willen verbreken. Dit is een gevolg van de compleetheid van het netwerk. Alleen als alle periferiespelers op één na failliet gaan en beide kernspelers niet, zijn de kernspeler beter af is mét een onderlinge verbinding. De verbindingskosten waarvoor de kernspelers deze
verbinding willen verbreken is lager dan de verbindingskosten waarvoor spelers in de periferie juist extra verbindingen willen aangaan met elkaar. Hierdoor zijn er geen
parameterwaardes waarvoor een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers strikt paarsgewijs stabiel is. Tevens is het daarom ook geen strikt bilateraal evenwicht.
Een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers is nooit strikt paarsgewijs stabiel omdat de twee kernspelers beter af zijn zonder hun onderlinge verbinding. Als er meer kernspelers zijn, voegen deze onderlinge verbindingen tussen kernspelers nog minder toe dan als er twee kernspelers zijn. Mocht het zo zijn dat deze verbindingen wel iets toevoegen omdat de verbindingskosten laag zijn, dan zouden spelers uit de periferie extra verbindingen willen vormen. Dit geldt voor alle waardes van totdat er uiteindelijk spelers
13 Voor kan een compleet kern-periferienetwerk paarsgewijs stabiel zijn voor specifieke
parameterwaardes. In die gevallen geldt echter dat een bepaalde speler een afwijking kan doen zonder vervolgens een strikt lagere uitbetaling te ontvangen. De afwijkende speler is dus indifferent tussen de twee netwerken en kan dus zowel afwijken als niet. Om deze reden kan het compleet kern-periferienetwerk voor wel paarsgewijs stabiel zijn, maar niet strikt paarsgewijs stabiel. Voor is een compleet kern-periferienetwerk nooit paarsgewijs stabiel.
(7)
(6)
kernspelers zijn en het compleet kern-periferienetwerk de facto een compleet netwerk is. Om deze reden zal geen enkel kern-periferienetwerk strikt paarsgewijs stabiel zijn.
Dezelfde uitkomst werd ook gevonden door Hommes, Van der Leij en In ’t Veld (2013) in hun model. Het toevoegen van een faillissementskans geeft dus niet de verklaring voor het bestaan van kern-periferiestructuren.
3.1.3 Overzicht van de vier structuren
In de appendix worden ook de uitbetalingen en stabiliteitsgrenzen bepaald voor het lege netwerk en het complete netwerk door middel van lemma 4 en lemma 5. We combineren de eerste 5 lemma’s tot de volgende stelling.
Stelling 1. Als de uitbetaling wordt gegeven door (3) en , geldt:
I. Een leeg netwerk is paarsgewijs stabiel14 en een strikt bilateraal evenwicht voor
als
II. Een sternetwerk is paarsgewijs stabiel voor als
en een strikt bilateraal evenwicht voor als
III. Een compleet netwerk is paarsgewijs stabiel voor en als15
IV. Een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers is voor nooit strikt paarsgewijs stabiel16 of een strikt bilateraal evenwicht.
Bewijs. Zie bewijs lemma 1 tot en met 5.
14 Tevens is een leeg netwerk paarsgewijs stabiel voor
.
15 Als en is deze stabiliteitsgrens niet gedefinieerd omdat er dan een term
in de ongelijkheid staat.
16
Als de kans op faillissement op 0 wordt gesteld zijn de grenzen gelijk aan de grenzen uit de analyse van Goyal en Vega-Redondo (2007). De formules uit stelling 1 bieden op het eerste gezicht weinig inzicht, vandaar het volgende voorbeeld.
Voorbeeld 2. Stabiliteit in een netwerk met drie spelers
We beschouwen nu de netwerken met drie spelers, ofwel . Voor drie spelers zijn er vier structuren mogelijk, die in Figuur 4 te zien zijn. Van links naar rechts zijn dit het lege netwerk, het één-link netwerk, het sternetwerk en het complete netwerk. Om de afbeelding overzichtelijk te houden zijn alle symmetrische structuren weggelaten.
Figuur 4: Alle mogelijke afwijkingen in netwerken met drie spelers
Mogelijke afwijkingen paarsgewijze stabiliteit (het toevoegen/verwijderen van één verbinding).
Mogelijke afwijkingen strikt bilateraal evenwicht (het veranderen van strategie voor één of twee spelers) tevens zijn hier alle mogelijkheden van paarsgewijze stabiliteit van toepassing. Nota bene: Alle symmetrische structuren zijn weggelaten.
Voor het lege netwerk, het sternetwerk en het complete netwerk zijn stabiliteitsgrenzen gevonden en gebundeld in stelling 1. Bij de gevonden grenzen bij stelling 1 is in dit voorbeeld gelijk aan .
Het één-link netwerk kan alleen paarsgewijs stabiel en een bilateraal evenwicht zijn tussen de bovengrens voor paarsgewijze stabiliteit van het sternetwerk en de ondergrens van het lege netwerk. Deze grenzen overlappen, waardoor een één-link netwerk nooit stabiel is. Samengenomen geeft Figuur 5 de parameterruimte weer voor paarsgewijze stabiliteit en Figuur 6 voor strikt bilateraal evenwicht.
2 3 4
Figuur 5: Parameterruimte paarsgewijs stabiele structuren voor drie spelers
Parameterruimte waar het sternetwerk (ster, roze en paars), het complete netwerk (compleet, groen) en het lege netwerk (leeg, wit en roze) paarsgewijs stabiel zijn. Merk op dat in de roze parameterruimte zowel het sternetwerk als het lege netwerk stabiel zijn.
Figuur 6: Parameterruimte structuren die een strikt bilateraal evenwicht zijn voor drie spelers
Parameterruimte waar het sternetwerk (ster, roze en paars), het complete netwerk (compleet, groen) en het lege netwerk (leeg, wit en roze) een strikt bilateraal evenwicht zijn. Merk op dat in de roze parameterruimte zowel het sternetwerk als het lege netwerk stabiel zijn.
Het verschil tussen de parameterruimte voor paarsgewijze stabiliteit en die voor het strikt bilateraal evenwicht zit hem in de bovengrens voor stabiliteit van het sternetwerk. In een strikt bilateraal evenwicht verbreekt de centrale speler in het sternetwerk beide verbindingen als hij verlies begint te maken. Het sternetwerk blijft echter nog wel paarsgewijs stabiel, aangezien de centrale speler beter af is in een sternetwerk dan in een structuur met maar één verbinding. Pas als de buitenspelers willen afwijken of als de structuur met één verbinding minder verlies maakt dan de sterstructuur (dit gebeurt op hetzelfde moment) zal het sternetwerk niet langer paarsgewijs stabiel zijn.
Er is te zien dat de parameterruimte waar het sternetwerk paarsgewijs stabiel of een bilateraal evenwicht is groot is voor een lage kans op faillissement, maar snel krimpt als de faillissementskans stijgt. De parameterruimte waar het complete netwerk stabiel is krimpt ook, maar minder snel. Voor meer dan vier spelers kan de parameterruimte waar het complete netwerk stabiel is ook groeien met de faillissementskans als deze kans klein is. Het complete netwerk gaat anders gezegd een steeds grotere rol spelen onder de niet-lege netwerken als groeit tot 1. Dit is nog beter te zien in Figuur 7, ditmaal alleen voor paarsgewijze stabiliteit.
Figuur 7: Parameterruimte paarsgewijs stabiele niet-lege structuren voor drie spelers, herschaald
De verticale as is hier geschaald, zodat de bovengrens voor paarsgewijze stabiliteit van het
sternetwerk altijd gelijk 1 is. In het roze en paarse gedeelte is het sternetwerk paarsgewijs stabiel en in het groene gedeelte het complete netwerk.
Dit plaatje geeft aan hoe relatief belangrijk een bepaald niet-leeg netwerk is. Hier geeft het relatieve belang de relatieve grote aan van de parameterruimte waar het netwerk paarsgewijs stabiel is ten opzichte van andere netwerkstructuren. Duidelijk is dat hoe hoger wordt, hoe belangrijker het complete netwerk wordt.
3.1.4 Relatief belang van het complete netwerk
Zoals gezien in Figuur 7 wordt bij drie spelers het complete netwerk relatief belangrijker naar mate de kans op faillissement groeit. In het algemeen geldt dit ook voor netwerken met een willekeurig aantal spelers groter dan twee. In de appendix wordt aangetoond dat als de faillissementskans groeit het complete netwerk relatief belangrijker wordt dan het
sternetwerk. Dit is een interessante en intuïtieve uitkomst. Het stelt in feite dat voor een hoge kans op faillissement spelers meer zekerheid willen dan een sternetwerk kan bieden en dus meer verbindingen aangaan. Hoe hoog de kans op faillissement daarvoor moet zijn, hangt af van het aantal spelers, zoals uit Voorbeeld 3 blijkt.
Voorbeeld 3. Relatief belang bij dertien spelers
In Figuur 8 is Figuur 7 nogmaals te zien, maar dan met dertien spelers in plaats van drie. Er is alleen rekening gehouden met het sternetwerk, het complete netwerk en het lege netwerk. Er zouden ook andere structuren stabiel kunnen zijn.
Figuur 8: Parameterruimte paarsgewijze stabiliteit sternetwerk en compleet netwerk voor dertien spelers, herschaald
De verticale as is hier geschaald, zodat de evenwichtsbovengrens voor het sternetwerk altijd gelijk 1 is. In het roze en blauwpaarse gedeelte is het sternetwerk (ster) paarsgewijs stabiel en in het groene gebied het complete (compleet) netwerk.
In vergelijking met Figuur 7 is in Figuur 8 te zien dat het complete netwerk pas relatief belangrijker dan het sternetwerk wordt voor hogere faillissementskansen.
3.2 Efficiënte netwerken
In het structural holes model geldt voor niet te hoge, maar wel positieve verbindingskosten dat een efficiënt netwerk altijd minimaal verbonden is. In een minimaal verbonden netwerk kan alle winst gegenereerd worden voor de minste kosten.
In de uitbetalingsfunctie (1) van het structural holes model heeft een minimaal
verbonden netwerk een geaggregeerde uitbetaling van . Namelijk iedereen ( ) kan met ieder ander ( ) een winst van gegeneren en in totaal zijn er
verbindingen in het netwerk. Een netwerk met meer verbindingen kost meer, maar leidt niet tot hogere geaggregeerde baten. Zolang en dus is een minimaal
verbonden netwerk efficiënt.17 Het maakt niet uit hoe de topologie van het netwerk er verder uitziet.
In het uitgebreide model met kans op faillissement geldt dit niet. Voor levert een extra verbinding meer zekerheid op en dus een hogere uitbetaling als de
verbindingskosten laag genoeg zijn. Er geldt ∑ en dus, met formule (2) ingevuld: ∑ (∑ | | | | ) ∑ | | | |∑ ∑
De geaggregeerde uitbetaling van netwerk kan dus bepaald worden door een gewogen som te nemen van de geaggregeerde baten volgens het structural holes model van alle netwerk die kunnen ontstaan als de failliete spelers zijn verwijderd, . Dit moet vervolgens verminderd worden met de verbindingskosten in het oorspronkelijke netwerk. Alleen de hoeveelheid en grootte van de componenten in het netwerk heeft invloed op de geaggregeerde baten volgens het structural holes model en niet de verdere topologie van het netwerk. Laat de verzameling componenten zijn van netwerk , met het -de element . Definieer | | als het aantal spelers in component . Nu geldt dat ∑ ∑ de som is van de geaggregeerde baten van ieder component in netwerk . Gesommeerd over alle wordt dit:
∑ | | | | ∑
∑
Laat de verzameling netwerken zijn die kunnen ontstaat vanuit het netwerk door een willekeurig aantal, maar minimaal één, verbindingen te verbreken.
Stelling 2. Voor laag genoeg en geldt dat met
tenminste één verbinding.
Bewijs. Zie appendix voor het bewijs.
17
Zie propositie 2 in Goyal en Vega-Redondo (2007).
Het bewijs gebruikt formule (8) en het gegeven dat een netwerk met minder componenten een hogere uitbetaling genereert dan een netwerk met meer componenten. Stelling 2 laat zien dat het altijd voordelig kan zijn om extra verbindingen toe te voegen, als de verbindingskosten maar laag genoeg zijn.
Een belangrijke uitkomst in het model van Castiglionese en Navarro (2010) is dat het efficiënte netwerk steeds meer verbonden wordt als de kans op faillissement afneemt. Er is een ander resultaat in deze scriptie gevonden. Voor een heel lage faillissementskans reageert het uitgebreide model zoals het structural holes model, waar een minimaal verbonden netwerk efficiënt is voor alle positieve verbindingskosten ( ). Voor een faillissementskans gelijk 1 is slechts het lege netwerk efficiënt. Alleen voor tussenliggende waarden van de kans op faillissement kan een netwerk met meer verbindingen dan een minimaal verbonden netwerk efficiënt zijn. Er geldt bijvoorbeeld dat het complete netwerk efficiënt is voor het grootste bereik aan verbindingskosten als de faillissementskans een specifieke waarde aanneemt tussen en , zoals uit het Corollarium van stelling 2 blijkt.
Corollarium van stelling 2. Het complete netwerk is efficiënt voor als de
verbindingskosten laag genoeg zijn.
We hebben gezien dat voor het complete netwerk paarsgewijs stabiel is als . Dit is gelijk aan de marginale opbrengst voor spelers en als ze hun onderlinge verbinding verwijderen. Deze uitdrukking kan gebruikt worden om de efficiëntiegrens van het complete netwerk te vinden. Het tweede deel van de uitdrukking, , is niet van invloed op de efficiëntie van het netwerk. Dat was het deel van de winst dat speler en moesten betalen aan een andere speler voor zijn rol als tussenpersoon. Het eerste deel van deze uitdrukking is echter wel van belang voor de efficiëntie. Dat is immers de extra opbrengst die de verbinding tussen speler en oplevert aan pure handel. Deze allerlaatste verbinding voordat het complete netwerk ontstaat levert de kleinste bijdrage van alle gevormde verbindingen en groepjes verbindingen, aangezien er door deze verbinding pas minder componenten ontstaan als alle spelers op en na failliet gaan. Verder levert deze laatste verbinding niks op voor andere spelers in het netwerk. Als een compleet netwerk dus efficiënter is dan een compleet netwerk min één verbinding, is het ook efficiënter dan alle andere netwerken uit .
Door verwijdering van de juiste verbindingen uit een compleet netwerk kunnen alle andere netwerken gevormd worden. Voor het complete netwerk geldt dus dat . Voor is het complete netwerk dus per definitie efficiënt. Figuur 9 toont de parameterruimte waar het complete netwerk efficiënt is voor verschillend aantal spelers. Deze ruimte wordt steeds kleiner voor meer spelers. De top van de efficiëntiegrenzen wordt behaald bij (zie appendix voor afleiding); deze top is aangegeven met een rode stip in Figuur 9. Voor deze faillissementskans is het complete netwerk efficiënt voor de hoogste
verbindingskosten. De interpretatie hiervan is als volgt: voor deze faillissementskans geeft het complete netwerk de meeste zekerheid aan het gehele netwerk. De waarde van waar deze top bereikt wordt groeit met het aantal spelers en is in de limiet gelijk aan . Wanneer er meer spelers betrokken raken bij het netwerk, is het complete netwerk dus efficiënt als de
verbindingskosten lager zijn en de kans op faillissement groter dan wanneer er minder spelers aanwezig zijn.
Figuur 9: Parameterruimte waar het complete netwerk efficiënt is
Parameterruimte voor drie tot en met honderd spelers. Met een rode stip is de top weergegeven van de efficiëntiegrenzen.
Voor is het complete netwerk dus zowel paarsgewijs stabiel als efficiënt en voor is het complete
netwerk wel paarsgewijs stabiel, maar niet efficiënt. Merk op dat dit zeer lage waardes van zijn, aangezien de exponenten groeien met . Voor hogere waardes van is het complete netwerk paarsgewijs stabiel noch efficiënt.
Propositie 1. Als de uitbetaling wordt gegeven door (3), gelden de volgende geaggregeerde
baten:
I. voor het lege netwerk als ;
II. ( ) voor het sternetwerk als
;
III.
voor het compleet
kern-periferienetwerk met twee kernspelers als ;
IV. ( ) voor het complete netwerk als .
Bewijs. Zie appendix voor bewijs
Corollarium van propositie 1 (1). Voor vijf spelers en een lage kans op faillissement is het
sternetwerk het meest efficiënte van de vier netwerken voor veel parameterwaardes. Voor hogere faillissementskansen kunnen ook de andere structuren het meest efficiënt zijn.
In de appendix wordt voor het sternetwerk, het complete netwerk, het lege netwerk en het compleet kern-periferienetwerk berekend wanneer de netwerken ten opzichte van elkaar efficiënt zijn met vijf spelers. Er wordt met andere woorden bepaald welke netwerk bij welke parameterwaardes de hoogste geaggregeerde uitbetaling genereerd. Het resultaat is te zien in Figuur 10.
Figuur 10: Efficiëntie vier netwerken voor vijf spelers
Parameterruimte waar het sternetwerk (blauw), het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers (paars), het complete netwerk (bruin) en het lege netwerk (wit) van de vier netwerken het meest efficiënt is.
Er is te zien dat voor een lage kans op faillissement het sternetwerk voor veel parameterwaardes het meest efficiënt is van de vier netwerken. Voor positieve
faillissementskansen kan ook het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers het meest efficiënte netwerk van de vier netwerken zijn, hoewel het niet stabiel is. Tevens is voor zeer lage verbindingskosten het complete netwerk het meest efficiënt. Merk op dat de
parameterruimte waar het complete netwerk het meest efficiënt is niet overeenkomt met de parameterruimte van efficiëntie voor vijf spelers in Figuur 9. Figuur 10 laat zien wanneer het complete netwerk efficiënter is dan het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers, terwijl Figuur 9 laat zien wanneer het complete netwerk efficiënter is dan alle netwerken.
Corollarium van propositie 1 (2). Met veel spelers en een gemiddelde kans op faillissement
is het compleet kern-periferienetwerk efficiënter dan het sternetwerk.
Er is laten zien dat het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers en drie periferiespelers efficiënt kan zijn voor lage verbindingskosten. Geldt dit ook als het aantal
periferiespelers groeit? In de appendix wordt dit verder uitgewerkt. Als blijkt dat voor een compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers efficiënter is dan een ster. In Figuur 11 is voor verschillende hoeveelheid spelers te zien voor welke parameters het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers efficiënter is dan het sternetwerk.
Figuur 11: Parameterruimte waar het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers efficiënter is dan het sternetwerk voor 5 tot 45 spelers
Parameterruimte waar voor minimaal 5 (donkerblauw gebied), 15 (rood), 25 (geel), 35 (groen) en 45 (lichtblauw) spelers het compleet kern-periferienetwerk efficiënter is dan het sternetwerk.
Voor een klein aantal spelers geldt dat het sternetwerk voor de meeste parameterwaardes efficiënter is dan het compleet kern-periferienetwerk. Naarmate het aantal spelers stijgt, neemt de parameterruimte toe waarvoor het compleet kern-periferienetwerk met twee kernspelers efficiënter is dan het sternetwerk. Voor een gemiddelde kans op faillissement en een groot aantal spelers is het compleet kern-periferienetwerk efficiënter dan het sternetwerk voor veel waardes van de verbindingskosten.
4. Conclusie en discussie
In deze scriptie is een model voorgesteld waar spelers failliet kunnen gaan. Faillissement van een speler resulteert in verlies van handel met die speler en handel waarvoor die speler essentieel was. Een compleet kern-periferienetwerk blijkt nooit stabiel te zijn in dit model. Spelers in de kern hebben geen prikkel om hun onderlinge verbindingen te houden. Dit komt overeen met eerder onderzoek. Met twee kernspelers en veel periferiespelers is het compleet kern-periferienetwerk voor veel parameterwaardes echter wel een efficiënter netwerk dan het sternetwerk.
Het lege netwerk wordt steeds belangrijker naarmate de kans op faillissement groeit. Voor de niet-lege netwerken geldt dat als de faillissementskans stijgt, het complete netwerk relatief belangrijker wordt dan het sternetwerk. Dit strookt met de intuïtie, die stelt dat bij een hoge kans op faillissement er twee mogelijkheden zijn: ofwel de mogelijke verliezen worden zo groot dat geen enkel netwerk meer winstgevend is, of de verliezen zijn alleen te beperken als iedereen meedoet in een compleet netwerk. Welke mogelijkheid de overhand heeft hangt af van de kosten van een verbinding. Voor hoge kosten is het lege netwerk het enige stabiele netwerk, voor lage kosten het complete netwerk. Merk op dat het sternetwerk, eerder
belangrijk gevonden door veel studies, alleen stabiel is als de faillissementskans laag is. Tevens geldt dat hoe lager de kosten van een verbinding zijn, des te meer verbonden het efficiënte netwerk is. Iedere nieuwe verbinding levert een beetje extra zekerheid op voor de opbrengsten. Deze marginale zekerheid neemt wel af en maakt het netwerk als geheel slechts efficiënter voor steeds lagere verbindingskosten. Een gevolg hiervan is dat het complete netwerk in het onderzochte model ook efficiënt kan zijn voor zeer lage
verbindingskosten, terwijl dit onmogelijk is in het model van Goyal en Vega-Redondo (2007). Het complete netwerk is voor een bepaalde kans op faillissement efficiënt voor het grootste bereik aan verbindingskosten. De faillissementskans waar deze top bereikt wordt groeit als het aantal spelers stijgt. Tevens wordt het complete netwerk voor minder parameterwaardes efficiënt als het aantal spelers stijgt. Het complete netwerk blijft dus efficiënt bij een groeiend aantal spelers als de verbindingskosten dalen en de
faillissementskans groeit. Hieruit blijkt wederom dat het complete netwerk belangrijk is in dit model, maar dat het niet gratis komt. De kosten voor een verbinding moeten namelijk zeer laag zijn voordat het loont dat alle spelers met alle elkaar een relatie aangaan; naarmate het aantal speler stijgt, moet de nood ook steeds hoger worden voordat alle verbindingen winstgevend zijn en het complete netwerk efficiënt is.
Hommes, Van der Leij en In ’t Veld (2013) suggereren dat door de groei van de faillissementskans tijdens de crisis het toenmalige financiële netwerk (een
kern-periferienetwerk) begon te ontbinden. Tijdens de financiële crisis van 2007-2008 werd het voor banken moeilijker om via het interbancaire circuit financiering te regelen, omdat
financiële instellingen bang waren voor het faillissement van de tegenpartij (FOMC, 2007, p. 5). Met andere woorden, banken begonnen hun verbindingen te verbreken omdat de kans op faillissement steeg. Bij de stabiliteitsanalyse in deze scriptie is gebleken dat de bovengrens van stabiliteit van het sternetwerk snel daalt wanneer de kans op faillissement stijgt. Bij een overschrijding van deze stabiliteitsgrens krijgt de centrale speler een prikkel om alle
verbindingen tegelijk te verbreken, wat resulteert in de volledige ontbinding van het sternetwerk en dus in het lege netwerk. Mogelijk reageren sterachtige structuren, zoals het kern-periferienetwerk, op dezelfde manier als het sternetwerk en werd er tijdens de financiële crisis de stabiliteitsgrens overschreden. Dit zou bijvoorbeeld kunnen betekenen dat de
verbindingen in sterachtige netwerkstructuren binnen het kern-periferienetwerk (bijvoorbeeld een kernspeler met al zijn direct verbonden periferiespelers) worden verbroken als de kans op faillissement stijgt. Dit zou beter onderzocht moeten worden voor specifiek het
kern-periferienetwerk.
Uit de resultaten blijkt dat het belangrijk is om te weten op welk punt het netwerk zich bevindt of, met andere woorden, hoe hoog de actuele kosten per verbinding en
faillissementskans zijn. Als dit in kaart is gebracht, kan pas iets gezegd worden over wat er gebeurt ten tijde van crisis in bijvoorbeeld de financiële sector. Zijn de verbindingskosten laag, dan is het waarschijnlijk dat er intensievere relaties tussen spelers komen om hun risico’s te dekken. Zijn de verbindingskosten echter hoog, dan worden verbindingen juist verbroken en gaat ieder voor zich. Tijdens de recente financiële crisis lijkt dit laatste het geval te zijn geweest.
Bij de financiële sector kan ook iets anders aan de hand zijn. Interbancaire rentes, zoals de Libor of Euribor, zouden gezien kunnen worden als de kosten voor verbinding. Deze zijn echter sterk gecorreleerd met de kans op faillissement. Toen AIG ten onder dreigde te gaan en de kans op faillissementen hoog was, steeg de Liborrente tot de hoogste stand sinds 2001 (Parry en McGeever, 2008). Dit betekent dat tijdens de recente financiële crisis de verbindingskosten en kans op faillissement samen op gingen. In een nieuw model zouden de verbindingskosten endogeen kunnen worden gemodelleerd aan het netwerk.
Er worden in deze scriptie sterke aannames gemaakt. Zo is de kans op faillissement gelijk en onafhankelijk verondersteld. Correlaties tussen faillissementen bestaan echter wel
degelijk, zoals Sanjiv et al. (2007) aantonen. Deze correlatie groeit in tijden van crisis (Rosenthal, 2012). Om een juiste analyse te maken van de financiële crisis is het dus van belang faillissementscorrelaties mee te nemen in het model.
Een misschien nog wel belangrijker aanname is dat de kans op faillissement bekend is voor alle spelers. Dit is een forse aanname. Zelfs als boekhoudkundig alles bekend is van een bank is het onmogelijk de kans op faillissement exact te geven. Kredietbeoordelaar Standard & Poor’s, die haar bedrijfsmodel heeft gebaseerd op het berekenen van de kans op
faillissement, geeft dit direct toe op haar website.18 Zij geeft dan ook, net als andere kredietbeoordelaars, geen exacte faillissementskansen, maar beoordelen met symbolen en relatieve maatstaven. Zo geeft de hoogste score, AAA, aan dat de capaciteiten van het bedrijf om aan zijn betalingen te voldoen extreem groot is. De volgende score, AA, geeft aan dat deze capaciteiten zeer groot zijn (Standard & Poor’s Global Credit Portal, 2013). Hoe groot
extreem groot of zeer groot precies is, blijft in het midden.
Dit gezegd hebbende, zijn er wel veel technieken ontwikkeld om de faillissementskans uit te rekenen.19 Dit is de kern van de kredietbeoordeling, aldus Standard & Poor’s.20 Een manier is om de kans te berekenen via de Credit Default Swap (CDS), een financieel product ontworpen als verzekering tegen het failliet gaan van een handelsrelatie.21 Dit geef absolute kansen en bevat volgens de theorie alle informatie die aanwezig is op de markt. Op de markt is echter nooit alle informatie aanwezig.
Aangenomen dat er een schatting van de faillissementskansen aanwezig kan zijn, is de volgende stap de heterogeniteit van de kansen. Geen twee banken hebben dezelfde kans op faillissement. Dit kan grote gevolgen hebben voor de formatie van netwerken. Volgens Castiglionese en Navarro (2010) zullen zwakkere banken worden buitengesloten of in ieder geval in de periferie van het netwerk terecht komen. Met heterogene faillissementskansen wordt het compleet kern-periferienetwerk misschien toch stabiel.
De spelers in het gepresenteerde netwerk worden zoals eerder gesteld risico-neutraal verondersteld. In werkelijkheid zijn individuen, huishoudens, banken en bedrijven vaak
18
Citaat van de website van Standard & Poor’s Rating Services: “Standard & Poor’s ratings opinions are not intended as guarantees of credit quality or as exact measures of the probability that a particular issuer or particular debt issue will default.” (Standard & Poor’s Rating Services, 2013)
19
Voor een overzicht van alle technieken, zie bijvoorbeeld Altman en Saunders (1997). Voor een analyse van de technieken door de centrale bank van New York, zie Schuermann en Hanson (2004).
20
Citaat van de website van Standard & Poor’s Rating Services: “The likelihood of default is the single most important factor in our assessment of creditworthiness.” (Standard & Poor’s Rating Services, 2013)
21
Zie bijvoorbeeld website http://quantcalc.net/MDefProbFromCDS.html, waar met de prijs van een CDS en de risicovrije rente de kans op faillissement kan worden uitgerekend van het onderliggende bedrijf of product.
