MULO-A Meetkunde 1911 Algemeen

(1)

Uitwerkingen Mulo-A Examen 1911 Meetkunde Algemeen

Opgave 1

Als we de zijde van het gevraagde vierkant aanduiden met X, dan moet gelden 2 1 2

X  AB CD . In de tweede figuur is een halve cirkel getekend met als diameter 1

2

AB CD, waarna in het deelpunt een loodlijnstuk X is opgericht.

Volgens de projectiestellingen geldt 2 1 1

2 2

X AB CD AB CD zodat X inderdaad het gezochte lijnstuk voorstelt.

Met X als zijde kan dan het gevraagde vierkant worden getekend.

Opgave 2

Volgens de machtsstelling geldt AB2AD AF  4 28 112 waaruit volgt AB 112 4 7 AC. Daar __ABM _₉₀0_{(straal naar raakpunt loodrecht op raaklijn) geldt nu volgens de hoogtelijnstelling}

AM BE MB AB   ofwel 16BE12 4 7 waaruit volgt BE3 7.

Volgens de stelling van Pythagoras geldt ME2 MB2BE2122(3 7)2144 63 81  dus ME 9 en daaruit volgt dat AEAM ME 16 9 7. 

Voor de oppervlakte van driehoek ABC vinden we dan 1 1 6 7 7 21 7

2 2

O BC AE     .

(2)

Opgave 3

In de figuur zien we de zes driehoeken waarin de zwaartelijnen driehoek ABC verdelen.

De oppervlakten van bijv. de driehoeken APZ en BPZ (aangeduid met x) zijn gelijk omdat de genoemde driehoeken gelijke bases en hoogte hebben. Volkomen analoog geldt dit voor de driehoeken BQZ en CQZ en voor de driehoeken CRZ en ARZ. Deze oppervlakten zijn aangeduid met y resp. z.

Ook de driehoeken APC en BPC hebben gelijke oppervlakte (gelijke basis en hoogte) ofwel x + 2z = x + 2y en dus z = y.

Dezelfde redenering geldt voor de driehoeken ACQ en ABQ en dus y + 2z = y + 2x waaruit volgt z = x. We hebben nu gevonden dat x = y = z en kunnen dus concluderen dat de drie zwaartelijnen in een driehoek de driehoek in 6 even grote deeldriehoeken verdelen.

Het is nu evident dat de driehoeken ACZ, ABZ en BCZ ook gelijke oppervlakte hebben.

Opgave 4

Voor de oppervlakte van het grondvlak van de kegel geldt 2 22 142 616. 7

Or    De manteloppervlakte is dus 1716 616 1100  .

Voor een kegel met straal van het grondvlak r en apothema d (hier ´de schuine hoogte’ genoemd) geldt dat de manteloppervlakte wordt gegeven door de formule rd zodat nu geldt rd 1100 ofwel

22

14 1100