Hoofdstuk 8: Periodieke functies.
V_1.
a. Na 2 seconden herhaalt de grafiek zich.
b. 1 slag per 2 seconden komt overeen met 30 slagen per 60 seconden (per minuut). c. Het maximum is 0,44 mV.
V_2.
a. De eerste grafiek is zeker periodiek met periode 6. Bij de middelste grafiek wordt de amplitude steeds kleiner en is dus niet periodiek. De rechter grafiek zou een periodieke functie kunnen zijn. De halve periode is 6 en de hele periode is dan 12.
b. Linker grafiek: evenwichtsstand is y2 en de amplitude is 3. Rechter grafiek: evenwichtsstand is y 2 en de amplitude is 2.
V_3.
a. Evenwichtsstand is ongeveer T 3. (ik denk dat het minimum -12 zal zijn) en de amplitude is dan 15. b. De grafiek wordt dan 3 omhoog verschoven.
V_4.
a. Dan heeft de cabine een kwart draai gemaakt. Dat doet hij in 15 seconden, en 30 seconden later weer.
b. De straal is 20 meter.
c. De grafiek wordt dan verticaal ingekrompen. Het minimum wordt dan -15 en het maximum 15.
V_5.
a. De grafiek wordt in z’n geheel 2 omlaag verschoven. b. De evenwichtsstand is y1,5 en wordt dus nu y2,5
De amplitude wordt 1,75 (was 3,5)
Maxima: (2, 4.25) en (10, 4.25) en minima: (-2, 0.75) en (6, 0.75)
c. De snijpunten met de horizontale as blijven gelijk. Minima: (-2, -4) en (6, -4) en maxima: (2, 10) en (10, 10). V_6. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5
1.
a. Na 8 seconde is de stip helemaal rond en herhaalt zich hetzelfde proces: de periode is 8 s. b. De stip gaat met dezelfde snelheid.
c. De totale hoogte is 2 1, 41 . Na 1 s is de stip halverwege op hoogte 1
2 2. Na 2 s is de stip in
het maximum en na 3 s weer op halve hoogte:
1
2 2. Na 4 s is de stip in het linker punt, op
hoogte 0. d.
2.
a. De omtrek van de cirkel is 2 1 2 meter. b. De stip doet daar 2 seconden over.
c. Als de stip in 2 seconden over een hoek van 360o is gedraaid, dan is de stip in seconden
over een hoek van 180o gedraaid.
d. 1
4 seconden: 45o en 116 seconden: 180o30o210o
e. Na 2
3 seconden. 3.
a. x is in graden (dus DEGREE). Met 360o ben je helemaal rond en heb je één periode in beeld.
b. Elke keer 360o verder: dus bij 450o, 810o, …
c. De grafiek herhaalt zichzelf om de 360o.
d. De grafiek is symmetrisch in de lijn x90. De hoogte 0,5 wordt ook bereikt voor 150o. En
ook elke keer 360o verder, dus bij 390o, 510o, 750o, … 4.
a. Bij een hoek van 180o35o 215o (symmetrisch in de verticale as) en 35o360o 325o.
b. (180o123 )o 57o (vanwege de symmetrie in de verticale as). En elke keer een volle
ronde verder: 123o360o237o, 57o360o303o, … 5.
a. sinAOBOBAB 1h h
b. cosAOBOBOAOA1 OA
c.
d. OB OC 1, dus driehoek OBC is een gelijkbenige driehoek. Verder is AOB AOC30o. Dus
60
BOC
o. Driehoek OBC is dus een gelijkzijdige
driehoek.
Hieruit volgt dat BC1 en 1 2
AB AC . e. 330 ,o 210 , 30 , 150 , 390o o o o en 510o
6.
a. In de cirkel van opgave 5 is h0, 2
b. sin 0, 2 11,51 o
c. 180o11,5o168,5o(symmetrisch in de y-as) 11,5o360o371,5o 168,5o360o528,5o
7.
a. De omtrek van een cirkel met straal 1 is 2 . Bij een hoek van 90o hoort een kwartdraai. De
afgelegde afstand is dan 1 1 42 2 . b. 45 1 360 4 45 :o 2 60 1 360 3 60 :o 2 210 1 360 6 210 :o 2 1 c. 3 34 4 : 2 360 135 o o 8. 9.
10. De hoek is gegeven in radialen, dus de GRM moet ingesteld worden op RADIAN.
a. 1 4 sin 0,71 c. 1 2 sin 4 1 b. 1 6 sin1 0,5 d. 2 3 sin( ) 0,87 11. a. De symmetrie-as is 1 2 x . Bij Q hoort: 1 1 1 5 2 (2 6 ) 6 x . c. Je kunt bij iedere oplossing willekeurig vaak 2 bij optellen of aftrekken.
Dus 5 1 1 5 1 5 6 6 6 6 6 6 ..., 1 , 1 , , , 2 , 2 , ... 12. a. sinx0,1 b. sinx 0,9 0,10 3,04 x x x4, 26 x5,16 c. 1 2 sinx 1 als x1 13.
a. Op één periode heeft de vergelijking 2 oplossingen. In
0,10 passen 5 periodes, dus er
zijn 10 oplossingen.
b. In
0, 200 passen 100 periodes, dus dan zijn er 200 oplossingen.
c. c1 of c 1. graden 0 30 45 57,3 60 90 180 radialen (exact) 0 1 6 14 1 13 21 radialen 0 0,52 0,79 1 1,05 1,57 3,14 hoek in graden 6 15 60 115 107 120 172 hoek in rad 0,1 0,26 1,05 2 1,87 2,09 3 x y 2 1 -114. stel de GRM in op RADIAN.
a. X min 0, Xmax 2 , Ymin 1,5, Ymax 1,5
b. Met 2nd window (TBLSET) kun je de tabel instellen: 1 2 0
TblStart en TblV . Je krijgt dan in de tabel de coördinaten van de minima en maxima.
15.
a. De symmetrie-assen lopen verticaal door de toppen van de grafiek: 1 1
2 2
2 101
x en x . b. De punten van symmetrie zijn alle snijpunten met de x-as: (3 , 0), (34 , 0) en ( 53 , 0) . c. Een periode is 2 . Er passen dus 1000
2 159 perioden in
0,1000
.16.
a. Er komen 5 perioden in beeld.
b. maxima bij: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 5 , 3 , 1 , , 2 minima bij : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 6 , 4 , 2 , , 1
c. Er zit precies één periode (2 ) tussen elk tweetal
opeenvolgende maxima of minima.
17.
a. 1
sin 0,6 0,64
b. De grafiek is symmetrisch in 1 2
x . De tweede oplossing is dan
1 1
2 (20,64) 0,64 2,50 .
c. Bij elke oplossing kan je willekeurig vaak 2 (de periode) bijtellen of van aftrekken voor
een volgende oplossing: 0,64 2 6,93 en 0,64 2 5,64.
18.
a. Voer in: y1sinx en y2 0,1. Met intersect: x3, 24 en x6,18.
De periode is 2 , dus op
0,3 :
x3, 24 en x6,18b. Op
4 ,11 :
x15,81 x18,75 x22,09 x25,03 x28,37 x31,32c. 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
sinx 1 voor x1 , x3 , x5 , x7 , x9 d. Voer in: y1sinx en y2 0, 2. Met intersect: x0, 20 en x2,94.
Op
0, 4
: x0, 20 x2,94 x6, 48 x9, 22.19.
a. Amplitude, evenwichtsstand en periode is gelijk aan die van ysinx. De grafiek van g ‘begint’ alleen in de top. Dus het startpunt (0, 1) is anders.
b. Ook 2 .
c. De grafiek van g snijdt de x-as in 1 1 1 1
2 , 12 , 22 , 32 , ... x x x x x y 2 3 - -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -1 -2
20.
a. Ja, Bart heeft gelijk. b. naar links: 1 1 1
2, 22, 42, ... of naar rechts: 112, 312, 521, ... 21.
a. De grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn x . De andere waarde is dan 1 1 2
3 3 3
( ) 2 1
b. Bij elk van de oplossingen kun je willekeurig vaak 2 optellen: 2 1
3 3
9 , 10
x x .
22.
a. Op het interval
2 ,6
heeft de grafiek van f vier perioden. b. symmetrieassen: x0, x, x2 , x3 en x4c. punten van symmetrie: 1 1 1
2 2 2
( , 0), (1 , 0) en (2 , 0)
23.
a. Voer in: y1cosx en y2 0, 2. Met intersect: x 1, 77 x1,77.
b. De twee oplossingen zijn elkaars tegengestelde.
c. Weer een aantal keer 2 er bij optellen: x33,19 x35,93.
d. Op één periode heeft de vergelijking twee oplossingen. Op
100 , 200 (dat zijn 50
perioden) zijn er dus 100 oplossingen.
24.
a. Op het interval
0, 4 hebben de grafieken vier snijpunten.
b. Bij een booglengte van 1
4 hoort een draaihoek bij van 45o. Het punt ligt dan op de lijn
y x . Met andere woorden de x- en de y-coördinaat is gelijk.
c. 1 1 1 1
4 , 14 , 24 34
x x x en x
25.
a. Voer in: y1cosx en y2 0,67 Met intersect: x0,84 x5, 45
Op
0,3 :
x0,84 x5, 45 x7,12. b. cosx 1,1 heeft geen oplossingen.c. Voer in: y1sinx en y2 0,99 Met intersect: x4,57 x4,85
Op
10,13
: x10,85 x11,14.d. Voer in: y1cosx en y2 0,95 Met intersect: x2,82 x3, 46
26.
a.
b. De grafiek van g is symmetrisch in de y-as, dus
1 6
x is ook een oplossing. De andere oplossingen kun je vinden door bij deze oplossingen 2 op te
tellen: 1 1 5 1 6 , 6 , 16 , 26 , x x x x 5 1 6 6 3 4 x en x . c. x , x, x3 en x5. 27. a. g x( ) 3 f x( ) b. h x( ) f x(3 ) c. d. 1 1 1 4 12 12 ( ) (3 ) ( ) f f h en 1 1 1 2 6 6 ( ) (3 ) ( ) f f h
e. De periode van h is 3 keer zo klein geworden:
1 2
32 3. 28.
29.
a. De periode wordt kleiner dan 2 . De grafiek wordt horizontaal
ingekrompen.
b. De periode wordt groter dan 2 . De grafiek wordt horizontaal
uitgerekt. c. 30. a. De amplitude is 3 en de periode 2 1 4 2. b. De amplitude is 2 en de periode 1 10 2 20 . 31. a. f: amplitude is 1 en de periode 2 2 5 5 g: amplitude is 3 en de periode h: amplitude is 2 en de periode 4 . b. f x( ) cos 5 x g x( ) 3sin 2 x 1 2 ( ) 2 cos h x x x y 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x) h(x) amplitude periode ( ) cos f x x 1 2 ( ) cos 6 g x x 1 2 1 6 3 1 1 2 2 ( ) 1 cos h x x 1 2 1 1 2 2 4 b 2 2 2 3 3 210 15 periode 2 2 2 2 3 10 x y 2 3 4 5 - 1 2 -1 -2 x f(x) h(x) 0 0 0 1 12 0,259 12 2 1 6 12 1 1 4 12 2 12 2 1 3 12 3 0 5 12 0,966 12 2 1 2 1 -1 7 12 0,966 12 2 2 3 12 3 0 3 4 12 2 1 2 2 5 6 12 1 11 12 0,259 12 2 0 0
32.
a. Tussen twee opeenvolgende toppen ligt ongeveer 2
0,506 12, 42 uur, ofwel 12 uur en 25
minuten.
b. Voer in: y11,85 sin 0,506 x en y2 1, 2 intersect: x1,39 x4,81
Gedurende 3,42 uur (3 uur en 25 minuten) per periode is de waterstand hoger dan 1,20 m. c. De evenwichtsstand wordt 60 cm hoger. De grafiek wordt totaal omhoog verschoven.
33.
a. periode: 2 2 0,3 63
b. Er zijn twee oplossingen.
c. Voer in: y1cos(0,3 )x en y2 0,8
intersect: x2,15 x18,80
d. Op het interval
0,100 passen
2 3100
6 15
perioden.
e. Op dit interval heeft de vergelijking 30 oplossingen. f. cos(0,3 ) 0,8x voor 2.15,18.80 34. a. 1 2 1 2 2x 3 2x 3 1 1 3 3 1 1 x x periode is 1 2 2 4
dus de enige oplossing is 1 3 1 x . b. 1 1
1 2 2 3 cos( x) voor ,1 c. 1 2 cos x0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 x x x x cos(12x) 0 voor , 2
35.a. Voer in: y12cos 2x en y2 1,5 intersect: x0,36 x2,78 (periode is 22 )
2cos 2x1,5 voor 0,0.36 2.78,3.50 5.92, 2 b. Voer in: 1 1 4cos3 y x en y2 1 intersect: x5, 47 (periode is 1 3 2 6 )
1 3 4cos x 1 voor 5.47 , 2c. De evenwichtsstand van y3cos 0, 4x is y0 en de amplitude 3. Dus 3 3cos 0, 4x3
Dus 3cos 0, 4x4 voor
0, 2
36.
a. ,1
, 6 2
( ) cos Vx as 6cos Vy as ( ) 6 cos 2
g x x y x f x x
b. De nulpunten van g(x) zijn: 1 1
2 12
x en x .
Door de verticale vermenigvuldiging veranderen de nulpunten van g(x) niet. En door de horizontale vermenigvuldiging worden de nulpunten: 1 3
4 4
x en x De periode van f(x) is: 2
2 , dus de nulpunten zijn:
3 3 1 , , 11 1 x x x en x x y 5 10 15 20 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5
c. f x( ) 6 1 2 6cos 2 6 cos 2 1 2 x x x x De oplossingen op
0, 2 zijn:
1 1 2 12 x en x . 37.a. De periode van h is: 2 2
. b. 2 1 b 2 b c. Voor 1 5 b is de periode 10 .
d. Als b5 dan is de periode 2 2
5 5. Op één periode heeft de vergelijking twee oplossingen.
Op het interval
0,100 passen
2 5100 250
perioden. Er zijn dan 500 oplossingen.
38.
a.
b. Voer in: y1sinx en y2 0,8
intersect: x0.93, x2.21, x7.21
c. Voer in: y2 2 cosx en y2 0,6
intersect: x 1.27, x1.27, x5.02, x7.55
2cosx0,6 voor 3, 1.27 1.27,5.02 7.55,8 d. f x( )g x voor( ) 2.03,1.11 4.25, 7.39 39. a. periode is 2 3 2 3 s. b. 2 3 8sin( t) 3 Voer in: 2 1 8sin(3 ) y x en y2 3 intersect: x0,18 x1,32 x3,18 x4,32 c. 2 3 8sin( t) 6 of 2 3 8sin( t) 6 Voer in: 2 1 8sin(3 ) y x en y2 6 intersect: t 0, 40 t 1,10Ongeveer 2 (1,10 0, 40) 1, 4 s ofwel 1,43 100% 47% van één periode is de uitwijking
meer dan 6 cm. d. u t( ) 8sin(2,5 ) t 40. a. periode is 2 2 5 5 en de amplitude is 2. b. 1 2 ( ) 2sin f x x Voer in: 1 1 2sin2 y x en y2 0,5 intersect: x0.16, x1.84, x4.16, x5.84
x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 1 2 -1 -2 f(x) g(x)c. d. e. 41. a. periode en amplitude 1 2. b. sinxcosx0 sinx 0 cosx0
De nulpunten van f(x) zijn de nulpunten van p(x) en q(x).
c. 1
2
( ) sin 2
f x x
d. De periode van g(x) is , de amplitude 1 2 en de
evenwichtsstand 1 2
y .
e. Omdat 1 sinx1 en 1 cosx1 is f x( ) 1 als sinx1 én cosx1. En dat gebeurt niet voor dezelfde waarden van x.
f. Voer in: y1sinxcosx en y2 0,1 intersect: x0,10 x1, 47
g. (sin )x 2 1 1 1 2 2 sin 1 sin 1 1 x x x x 42.
a. De periode is 3 ms. De frequentie is dan 1000 1 3 3333Hz.
De amplitude is 6 Volt.
b. De horizontale as is nu 2 ms groot. Er is dan 2
3 deel van een
hele golf te zien. c. op 0,3 ms per hokje. d.
e. 1000 Hz: 1000 trillingen per seconde; 1 trilling per 1 ms.
43.
a. De periode is 2 1
200 100. Dus 1 trilling in 1001 ; en dat
komt overeen met 100 trillingen per seconde. b. De periode is 2 1
250 125. De frequentie is dan 125 Hz.
c. h t( ) sin1200 t
d. Het maximum is ongeveer 1,97 e. De periode is 0,04 s.
f. De periode van f is 0,01 en die van g is 0,008. In 4 perioden van f passen precies 5 perioden van g. De gemeenschappelijke periode van f en g is 0,04.
grafiek a periode b I 5 1 4 3 2 5 1 2 2 5 2 5 6 2 II 5 4 3 12 2 1 12 6 III 5 2 2 4 2 1 4 2 x y 0,5 1,5 2 1 -1 g(x) f(x) x y 0,6 1,2 1,8 2,4 3 1,5 3 4,5 6 7,5 -1,5 -3 -4,5 -6 -7,5 x y 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2
T_1. a. 1 2 sin 45 AB 2 OB AB o en 1 2 cos 45 OA 2 OB OA o b. 1 2 sin 45o 2 1 2 sin135o 2 1 2 sin 225o 2 1 2 sin( 45 ) o 2 T_2. T_3. a. symmetrisch in 1 2 x : 1 1 2 3 3 3 x en x b. puntsymmetrisch in ( , 0) : 1 2 2 1 3 3 3 3 ( ) 1 ( ) 1 x en x c. De periode is 2 : 1 2 1 1 3 3 3 3 2 , 2 , 4 , 4 x x x x T_4. a. b. maxima: (0, 1) en (2 ,1) minimum: ( , 1) . c. Dan is 2 1 3 2
cos( ) , want de grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn x0 en 1 1
3 2
cos(1 ) , want de grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn x .
T_5.
a./b. f: amplitude is 1 en periode 2,5 f x( ) sin(0,8 x)
g: amplitude is 2,5 en periode 2 g x( ) 2,5sinx
h: amplitude is 1 en periode 4 1 2 ( ) cos h x x T_6. a. Voer in: 1 1 sin2 y x en y2 0,8 intersect: x1,85 x4, 43
b. Voer in: y11,5cos 2x en y2 1 intersect: x 2,72 x 0, 42 x0, 42
2,72 3,56 5,86 x x x c. Voer in: 1 1 2sin12 y x en y2 1 1 2 2sin1 x 1 voor 1.75, 0.35 2.44,3.84
d. Voer in: y1sinx en y2 cos 2x sinxcos 2x voor 0.52, 2.62
T_7.
a. 20 trillingen per seconde, ofwel 1 trilling in 1
20 0,05s. en de amplitude is 5 mm.
b. u t( ) 5sin(40 ) t
c. Voer in: y15sin(40x) en y2 4 intersect: x0, 007 en x0, 018
Het 0,018 0,0070,05 0, 2
deel van een periode.
hoek in graden 45 125 240 229 600 72 hoek in radialen 0,79 2,18 1 3 1 4 10,47 1 4 1 x y 2 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5
T_8.
a. Het maximum is 19,2 uur en wordt bereikt na 25 weken.
b. Voor t11,5 en t 37,5 is de daglengte gelijk voor alle breedten. c. Dan is de daglengte gelijk aan de evenwichtsstand.
d. 365,257 52, 2 weken. e. De amplitude is a16,8 12 4,8 . f. Voer in: 2 1 12 4,8sin(52,2 ) y x en 2 16 y intersect: x8, 2 en x17,9
Ruim 8 weken na 21 maart (eind mei) en bijna 18 weken na 21 maart (begin augustus) is de daglengte in Nederland 16 uur.
T_9.
a. f x( ) cos x
b. Als je de grafiek van ysinx spiegelt in de y-as (ysin(x)) en hem vervolgens 1
2 naar
links verschuift ( 1 2
sin( )
y x ) ontstaat de grafiek van f x( ) cos x.
c. 1
2
( ) cos( ) sin
