Untersuchungen an Gyratorfilterschaltungen

Citation for published version (APA):

Matacz, J. S. (1980). Untersuchungen an Gyratorfilterschaltungen. (EUT report. E, Fac. of Electrical Engineering; Vol. 80-E-110). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

UNTERSUCHUNGEN AN GYRATORFILTERSCHALTUNGEN von J.S. Matacz TH-Report 80-E-ll0 ISBN 90-6144-110-2 Eindhoven July 1980

UNTERSUCHUNGEN AN GYRATORFILTERSCHALTUNGEN

von

J.S. Matacz

TH-Report 80-E-110 ISBN 90-6144-1.10-2

Inhaltsverzeiclmis Abstr3.ct

I. Untersuchungen an praktischen F'llterschaltungen mit dem Gyrator TeA 580

Literatur

II. Optimierung verlustfreier mikroelektronischer Gyratorschaltungen

3. Orthogonale Transformationen. Minimalisierung der Gyratorenanzahl

4. Minirnalisierung der Kosteni'unktion

5. Zusammenfassung Literatur i i 16 17 17 17 18

23

25

26

Measurements and Optimization of Gyrator Filters {in German}. The results of some measurements made on filters with integrated gyrators TCA 580 are compared with the results obtained for the same filters synthetized by state space method. The synthesis model of state space method contains earthed gyrators or earthed VCVS/DCCCS and earthed capacitors only, so it is suitable for intef,rated circuit technology. The minimization of the gyrator

nwnocr and of the cost function in such filters is discussed.

Matacz, J .S.

UNTERSUCHUNGEN AN GYRATORFILTERSCHALTUNGEN.

Department of Electrical Engineering, Eindhoven University of Technology, 1980.

Til-Report 80-E-110

Present address of the author:

J .S. Matacz,

Institute ai' TulccomJIlunication and Acoustics, Wroc±aw Technical University,

Wyb. Wyspianskiego 27, 50-370 WROCbAW,

UNTERSUCHUNGEN AN GYRATORFILTERSCHALTUNGEN

Dieser Bericht besteht aus zwei Teilen. 1m ersten Teil hat man einen Vergleich zwischen den Filtern, die mit Hilfe von Gyratoren TCA

580,

und solchen, die nach einem Modell der Zustandsraummethode aufgebaut wurden, durchgefuhrt. Der zweite Teil beschaftigt sich mit einer Optieierung des bei der Zustandsraummethode verwendeten Modells hinsichtlich der Kostenfunktion- und Gyratorenanzahlminimalisierung.

I. Untersuchungen an praktischen Filterschaltungen mit dem Gyrator TCA 5Ro

Die Theorie des Gyrators ist seit uber 30 Jahren bekannt und in dieser Zeit sind viele Versuche gemacht worden, das Gyratorprinzip zur Simulation von Induktivitaten in Filterschaltungen auszunutzen. In letzter Zeit ist der erste integrierte Gyrator TCA

580

auf dem Markt. Damit wurde eine Grundlage geschaffen diese Schaltung zum Auf-bau von Filterschaltungen vor allem in der Telefonie anzuwenden, wofur diese Schaltung grundsatzlich entwickelt worden ist.

rrber diesen Gyrator sind schon einige Aufsatze entstanden. In

[1J

wurde seine Wirkunp:sweise und sein Aufbau sowie die Eigenschaften eines damit aufgebauten Schwingkreises beschrieben. In

[2J

wurden Grundla-gen und Schaltungshinweise zur Anwendung des TCA

580

in den Tiefpassen diskutiert. Mit einer Synthese von Tshebyscheff- und Cauerfiltern und einigen Ergebnissen, die bei praktischer Erprobung

messen wurden, beschaftigen sich die Aufsatze

[3J

dieser Filter ge-und

[4J

wurden praktische Tief- und Bandpassfilterschaltungen beschrieben, bei denen der Gyrator alB direktes Syntheseelement verwendet wird. Diese Aufsatze haben deutlich gezeigt, dass die Anwendung des Gyrators TCA 5Ro zu spulenlosen Fil tern fuhrt, deren rrbertragungsfunktionen die Erwartunp;en besonders im unteren Bereich des NF-Bandes recht gut

erfullen.

n~r vorliegende Bericht hesch~ftigt eich ouch mit einer praktischen ~rprobung eini~er ausgew~hlten Filter und mit den dabei gemessenen rrbertragungsfunktionen. Als Ziel dieser Untersuchungen hat man sich einen Vergleich zwischen den heim Aufbau dieser ausgewahltea Filter als Kettenschaltungen mit dem Gyrator TeA

580

und beim Aufbau 81eicher Filter nach einer an der TH WrocXaw entwickelte~ Synthese- und

Reali-.sierunp,-smethode

[r;]

t [7J erzielten Ergebnissen gestellt.

,;us tandsraumme thode an, z. B. [9

J

und lie fert als Ergebnis die notwen-dir:en Daten, d.h. Elemente einer sehiefsymmetrisehen Zahlenmatrix YO

Llnd Kapazi

tii

tswerte eines Kondensa torenblocks urn ein Filter nach

fol-gendem Modell aufzuhauen •

• I ~ _ _ L _ _ _ _ _ . _

--

'-

-,

__ I

I:

Bild 1. Synthesemodell naeh Zustandsraummethode

Die Zahlenmatrix YO lasst sieh mit Hilfe von Gyratoren oder gesteuerten 0trom- und Spannungsquellen in Form eines gedachtnisfreien,

verlust-i'reil!"n Bl ockt-. rr")a.Li: ...

;ic~rcn,

wie en beim

Jc'lulti~yrator

der Fall war [8J

~in Gyrator Iasst sieh mit diesen gesteuerten Einheitsquellen

fol-~endermassen realisieren;

~12

1

1

Bild 2. Aus gesteuerten Quellen gebauter Gyrator wohei die mit k =1

u

~ueIIe und die mit

bezeiehnete Quelle eine spannungsgesteuerte Spannungs· k.=1 eine durch Stromdifferenz gesteuerte Stromquelle

1

hedeutet. In heiden Quellen ist der Steuerungskoeffizient gleich eins. Zur Abkiirzung werden solche 'luellenpaare auS dem Englischen als

VCVS/DCCCS bezeichnet.

Als zweites Beispiel ist die Realisierung einer ganzen schiefsymme-trischen Matrix YO angegeben ( BUd 3 ) _•

0 _{1'\12 g13} 0 0 0 -g12 0 0 g24 0 0 -g13 0 0 -g34 g35 0 0 _{-P;24 g34} 0 0 _g46 0 0 _-g35 0 0 _g56 0 0 0 _{-g46 -g56} 0

1

2

Bild ). Realisierung der Matrix

Yo

1m Bild 4a. wurde diese Realisierung gezcichnet. Mit i"olgcnden Wert en

[7]

nochmals in Form eines Blocks

1/g 12 25 kSl , 1/g13 ~ 1007Q 1/g 35 = 1716Q 1/g46 = 920Q 1/P;24 = 576<;1 1/g 56 = 1472

Sl

C 1= 16,46 nF , C3 = C4 = C₅ =C6 = 17,68 nF, R1 = R2 ~ 600 Q. ,

entspricht diese Schaltung einem Tiefpassfilter mit Tschebyscheffscher Dampfunr,scharakteristik im Sperrbereich, dessen konventionelle LC-Schal-tung im Bild 4b. dargestellt wurde. Diese FilterschalLC-Schal-tung wurde auch als spulenlose Gyratorschaltung aufgebaut, wobei ( urn sich besser an die Moglichkeiten des Gyrators TCA 580 anzupassen) man aIle Impe-danzwerte mit dem Faktor 10 multipliziert hat. Als Gyratorwiderstande wurden R

=

12 k.Q. und R

=

20 kQ ausgewahlt.

g1 g2 a.

---l_J-.-I1

2 f r

-Yo

R

_z

3 4

S

b. A

f. 8/ ,."

II 60011

c. 820pF

3

5

9 pF

20 kn. 13 3 1~ 't 13 3 1'1 It +10V

₉

~6 -12V

.1ov

₉

16 -12 V is" 2. 15 2. TeA 580

TeA 580

22 kll 1 8 1

8

6 5 12 11 6 S 12 11 12 kJl. 20kll 6k~

_{862 pF}

21-1

f

F 906pF

49~1pF

138f

_p

F

Bild 4. Tiefpassfilter 5. Ordnung mit Tschebyscheffschem Dampfungsverlauf im Sperrbereich

a. nach Zustandsraumm~thode

b. konventionelle LC-Schaltung c. spulenlose Gyratorschaltung

6 kit

Der Dampfungsverlauf dieses Tiefpasses soll sieh theoretisch durch

fol~ende Dompfungswerte kennzeichnen: _ Dampfung bei

10

kHz -

5,6

dB,

_ Dampfungspole bei

15,78

kHz und

25,53

kHz,

_ \Jiimpfunp; darf im Sperrbereich nicht kleiner als 40 dB sein. Praktisch wurden folgende Dampfungswerte gemessen:

nach Bild

4

a.

[7J

_ Dampfung bei

10

kHz -

5,8

dB, Dampfungsmaxima a ; 62 dB bei 16,2 kHz, mRx 1 a ;

89

dB bei

25,68

kHz, max 2

_ kleinste Dampfung im Sperrbereich 40 dB, nach Bild

4

b.

[7J

- Dampfung bei

10

kHz

6,2

dB,

Dampfungsmaxima a ; 60 dB bei 15,63 kHz,

a = 88 dB max

2

bei 25.32kHz, - kleinste Dampfung im Sperrbereieh 40 dB,

naeh Bild 4 e. - Dampfung bei 10 kHz

6,2

dB. - Dampfungsmaxima a =

62

dB max 1 a = 76 dB max 2 im Sperrbereieh - kleinste Dampfung bei bei 40 16,1

26,6

dB. kHz, kHz.

Der v,emessene Dampfungsverlauf der Gyratorschaltung nach Bild 4 e. ist als ganzes im Bild 5 dargestellt.

o

10 20

30

sO

&0 70

Bild 5. Darnpfungsverlauf des spulenlosen Gyratortiefpasses

5.

Ordnung

Wenn man in einer Gyratorfilterschaltung alle Kapazitatswerte oder Kapazitats- und Gyratorwiderstandswerte entspreehend mit einem festen

Faktor multipliziert, was als eine andere Normierung der Frequenzachse

aU fge fass t werden kann, lassen sieh Fil ter bauen. deren O'bertragungs-funktionen einen prinzipiell gleiehen Verlauf haben. Solehe Umformungen

der Gyratorfilterschaltung nach Bild 4 c. wurden vorgenommen.

Dampfungs-verlaufe gemessen und charakteristische Werte in einer Tabelle

Elementenwerte Dampfung 1 • Dampfungs- 2. Dampfungs- kleinste Freq. Wert maximum maximum Dampfun~

Freq. 'Wert Freq. Wert

kHz dB kHz dB kHz dB dB C R 10 6,2 16,1 62 26,6 76 40 0,5(; R 20 7 32,68 72 55,1 78 45 2C 0,2R 100 10 163,4 74 256,6 75 48 O,5C 5R 4 5,7 6,65 64

-

-

40 C 0,2R 50 9 82,6 70 130 83 46 5C 0,2R 10 6,3 16,2 67 26,5 73 41 5C R 2 5,4 3,16 66 5,27 75 40 5C 5R 0,4 5,7 0,643 60

-

-

48

- bedeutet, dass kein Dampfungsmaximum fest .. estell1c .. "rn",

Aus den in dieser Tabelle zusammengestellten Messergebnissen geht her-vor, dass man mit Gyratoren TCA 580 Tiefpassfilter bis zu einer Grenz-frequenz von etwa 30 bis 50 kHz bauen kann, und die dabei erreichbaren Dampfungscharakteris tiken vom technischen Standpunkt aus als befriedigend bezeichnet werden konnen. Die Gyratorwidestande durfen, wie auch aUs we i teren Messungen hervorgeh t, den Wert 50 kQ keines falls uberschrei ten und sollen am besten unter dern Wert 30 kS? bleiben. Der untere Wider-standswert wird auf 2 k.Sl- geschatzt.

Entsprechende Werte fur das nach Bild 4 a. gebaute Filter lauten: Grenzfrequenz 100 kHz 1/ gij = 0,5 bis 30 k Q. •

Als zweites wurde ein Tschebyscheffsches Bandpassfilter 4. Ordnung mit 3 dB Welligkeit im Durchlassbereich untersucht. Dieses Filter ist im Bild 6 a. als LC-Schaltung und im Bild 6 b. als Gyratorschaltung dlirgestellt.

a.

/f,645 H .1, g] H

b.

7,1:21", F

'I

kn.

1~-4pF '---,,--_,-'

-c::H

1---'

+---....---1

1----'

15kSl

Bild 6. Bandpass 4. Ordnung nach Tschebyscheff a. LC-Schal tung

b. spulenlose Gyratorschaltung

Die gemessenen Dampfungsverlaufe dieses Gyratorbandpasses sind im Bild 7 fur 3 verschiedene Kapazitatswerte angegeben: Kurve a. - mit Kapazitatswerten wie im Bild 6 b. ; Kurve b. - mit 3 mal kleineren Kapazitatswerten; Kurve c. - mit 3 mal grosseren Kapazitatswerten, wobei jeweils der theoretische Dampfungsverlauf als Strichkurve einge-zeichnet ist. a.

_dB

0

10 20 30 '10 \ \

,

50

,

_,

l

,

bO /

_"

7

₈

9

10

-11

12 13 1~ 15

_"Hz

dA

0

"

-,

,

'-

'

,

-10

,

20

,

~ 30 7 I 40 I I I I

,

50 I

,

/

,

/

,

60

,

,

20

22

24

26

28

30

32

3'1

36

38

40

kl12 c.

0

dB

_" ~' 10 20 30 7 I

,

40 I

,

,

I

"

SO _/ /

,

,

/

"

"

60 / "-/

24

26

28

30

.32 .3'1 30

3g

40

'12 '1~

46 kHt

Bild 7. Dampfungsverlauf des Bandpasses nach Bild 6 b.

Dieses Filter wurde auch fur andere Kombinationen der Gyratorwiderstands- , und Kapazitatswerte untersucht. Als Beispiel dafur ist der im Bild

8

dar~estellte Dampfungsverlauf eines Filters, bei dem die Widerstands-werte der Langsgyratoren R = 30 kSl.. und der Quergyratoren R = 2,7kQ.

gl gq

o

d8

'10 20

30

50

6 7

8

9

10

11

12

13

1'1

'15

Bild

8.

Dampfungsverlauf des Gyratorbandpasses mit R

=

30 kn und R

=

2.7 kQ

gl gq

"'liz

Fur solche Gyratorwiderstandskombination und 3 mal kleinere Kapazitats-werte zeigte das Filter Schwingneigung. Unabhangig aber von den Gyrator-widerstands- und Kapazitatswertekombinationen sind die Unterschiede z ... !ischen the ore tischen und praktisch gemessenen Darnpfungsverlaufen bei

den Bandfiltern grosser als bei Tiefpassfiltern. Solche Unterschiede wurden sowohl bei konventionellen LC-Filtern als auch bei Filtern nach der Zustandsraummethode festgestellt [7] und sind vor allem auf sehr grosse Empfindlichkeit der Bandfilter gegen Abweichung der wirklichen von idealen Elementen sowohl in Werten als auch in ihren

Ersatzschalt-bildern zurUckzufuhren.

Als nachstes Beispiel wurde eine Bandsperre nach Bild 9 a. als Gyratorfilterschaltung ( Bild 9 h. ) untersucht.

a.

_{411.5 ....}

_1{

601pf

866pF

3Y2.5

",I{ ~,~14

Ii

b.

1, 8'-18

~F

Bild 9. Bandsperre 4. Ordnung nach Tschebyscheff a. LC-Schaltung

b. spulenlose Gyratorschaltung

Diese Bandsperre soll einen gleichen theoretischen Dampfungsverlauf haben, wie die eben besprochenen Bandpassfilter, naturlich wenn man in Bezug auf beide Filtertypen den Dampfungsverlauf als Verstarkungs-verlauf und umgekehrt betrachtet. Die gemessene Dampfungscharakteristik ist im Bild 10 dargestellt.

o

dtl 20

30

50 10

8

~o ~1

Zwischen 9,75 kHz und 10,7 kHz ist die gemessene Dimpfung grosser als 70 dB und wegen Rauschens und Fluktua tionen nich t sic her messbar. Diese Bandsperre wurde auch mit

3

mal grosseren und

3

mal kleineren Kapazititswerten aufgebaut und ihre Vbertragungsfunktionen gemessen. Die dabei erzielten Dampfungsverlaufe stimmen mit dem Bild 10. ~berein,

eine Umnormierung cler Frequenzachse muss aber berucksichtigt werden.

Die Bandsperre mit 3 mal kleineren Kapazititswerten zeigte Schwingnei-gung.

Eine Bandsperre nach Zustandsraummethode ist durch einen Dampfungs-verlauf charakterisiert [7] ,der Bich yom theoretischen Verlauf mehr unterscheidet, als dies bei der eben besprochenen Gyratorschaltung

ge-messen wurde. Dies ist hochstwahrscheinlich auf noch nicht einwandfreien

Ablauf des Rechenprogramms f~r Bandsperrensynthese zuruckzufuhren. Als letztes wurde ein Filter mit linearer Phasencharakteristik unter-sucht. Entsprechende Schaltungen sind im Bild 11 und die gemessenen Phasencharakteristiken jeweils f~r den Fall, dass aIle Kapazitatswerte urn den Faktor 3 bzw. 10 verkleinert wurden, im Bild 12 dargestellt.

21,36W1J.i ~00,2 ...,H

8Dk5l.

820

p

F

6,62 V1F

Rg

~~5kSl 10 k.Q

Die ~eraden Linien stellen den interpo1ierten Ver1auf der Phasen-charakteristiken dar, wobei die wirklich gemess~nen Werte ale Punkte angedeutet sind. Theoretisch soIl die Phase bei den Grenzfrequenzen 10 kHz, 30 kHz bzw 100 kHz den Wert _1600 mit einem 1

%

Fehler erreich-en. In Wirklichkeit betragt der Phasenfehler nur beim 10-kHz-Filter etwa 1

%,

bei anderen Filtern ist er groBBer und wachst mit der Grenz-frequenz, was auch bei Filtern mit VCVS/DCCCS festgestellt wurde [7] Trotz dieses Phasenfehleranstiegs velauft die Phase beim 30-kHz Filter

noch recht linear, so dass man behaupten kann, dass sich mit Gyratoren

TCA 580 Phasenfilter bis etwa .30 kHz bauen lassen.

Ein Vergleichswert betragt fur Filter mit VCVS/DCCCS etwa 100 kHz. a.

'PO

0

- LjO

-80

-~20 -160

2

5

1

₈

₉

10 11 b.

tp0

0

- 40

-80

-1Z0 -160

3

6

9

12 15

18

21

24

2~

30

33

.kl-lz

Bild 12. Phasenverlaufe

a. in Schaltung nach Bild 11.

b. mit

3

mal kleineren Kapa7.itatswerten c. mit 10 mal kleineren Kapazitatswerten

Auf Grund der durch~efuhrten Untersuchungen kann man als

Schluss-fol~erung sagen, dass keine von den beiden Realieierungsmethoden

hin-sichtlich der erzielbaren rrbertragungscharakteristiken uberzeugend

besser ist.

Urn den Vergleich zu vervolstandigen, sol len noch andere Merkmale

heider Realisierun~en erw;hnt werden.

uie Anwendung des TCA 580 durch einen auf dem Gebiet der Filter-theorie nicht spezialisierten Ingenieur scheint einfacher als bei ande-ren Methoden zu sein, da die wichtigsten Ergebnisse im Bereich der LC-Filter tabelliert sind. In der Zustandsraumsynthese mussen spezielle

Rechenprogram~e benutzt werden.

Der Leistungsverbrsuch von Filtern mit dem TCA 580 ist kleiner als von Filtern mit VCVSjDCCCS. Die </uellen sind zur Zeit noch SUS einzel-nen Elementen aufgebaut, so dass der Leistungsverbrauch eine gegenuber der Elementenanzahl zweitrangige Rolle spielt. Bei einer Massenproduk-tion als integrierte Schaltungen muss der Wirkungsgrad durch Einfuhrung

zusatzlicher Elemente verbessert werden.

1m Gyratorfilter darf jeweils nur eine Klemme des TCA 580 geerdet sein. 1m Synthesemodell nach Zustandsraummethode dagegen sind aIle Kondensatoren und selbst der ~edachtnisfreie Block geerdet. Dadurch ist es moglich,vollkommen integrierte bzw. Dunnschichthybridschaltungen

in Form einer Diinnschichtschaltung hergestellt wird und die VCVS/llCCCS "Is integrierte Baugruppen hinzugefligt werden. Dieses Synthesemodell erflillt also besser die Erwartungen, die man an ein mikroelektronisches Filter hinsichtlich Miniaturisierung stell en sollte.

(3]

[8]

THg TCA 580 INTEGRATED GYRATOR: Principles and properties.

Electron. Appl. Bull., Vol. 34(1976/77), p. 109-122.

THE TCA 580 INTF,GRATED GYRATOR: Design and applications.

Electron. Appl. Bull., Vol. 34(1976/77), p. 148-161.

Kraus, K.

FILTERSCHALTUNGEN MIT DEM GYRATOR TCA 580.

Vol. 32(1978), Teil 1: p. 188-191, Tell 2:

Kraus, K.

Nachr. Elektron.,

p.

225-226.

CAUER FILTER MIT GYRATOREN TCA 580.

Vol. 32(1978), p. 396-400.

Nachr. Elektron.,

Temperli, S.

GYRATOR CASCADE REALIZATIONS OF LOW-PASS FILTERS.

Group Electromagnetism and Circuit Theory, Department

of Electrical Engineering, Eindhoven University of Technology,

1979.

Report ET

-13-79

Piekarski, M.S.

SELECTED SYNTHESIS PROBLEMS OF LINEAR MICROELECTRONIC

CIRCUITS (in Polish).

Institute of Telecommunication and Acoustics, Wroc±aw

Technical University, 1976.

Scientific Papers, No. 24.

Dobrucki, A., R. Drahokaupll and J.S. Matacz

PRACTICAL REALIZATIONS OF LOSSLESS GYRATOR-CAPACITOR FILTERS

WITH VCVS/DCCCS. (in Polish) .

Institute of Teleconununication and Acoustics, Wroc±aw

Technical University, 1979.

Technical Heport I-28/SPR-022/79

Holt, A.G. J.

,mu

H .L. Linggard

MULTI TERMINAL GYRATORS. Proc. Inst.

p. 1591-1598.

Electr. Eng., Vol. 117(1970),

Anderson, B.D.O. and S. Vongpanitlcrd

NETWORK ANALYSIS AND SYNTHESIS: A modern systems theory

approach. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1973.

Prentice-Hall Networks Series

II. Optimierung verlustfreier mikroelektronischer Gyratorfilter-Gchaltungen

1. Einleitung

Die Entwicklung moderner, integrierter Fertigungstechnologien, wo diskrete Bauelemente (Widerstande, Kondensatore~, Transistoren) in Dickschicht- oder Dunnfilmtechnik oder in monolitischen SChaltkreisen unabhangig von ihrer Anzahl in einem Prozess hergestellt werden, ver-ursacht, dass man dar Substratflache, die zur Herstellung einer

Schal-tung notwendig ist, mehr Aufmerksamkeit widmen muss. Die Fertigungskos-ten einer solchen mikroelektronischen Schaltung hangen bei der Massen-produktion vor allem von der Substratflache ab, die zur Herstellung einzelner Elementengruppen notwendig ist und hangen nur in geringem Masse von der Anzahl solcher Elemente ab

[1J .

Die Elementenanzahl, darunter hauptsachlich aktiver Elemente, hat einen grossen Einfluss auf solche Schaltungseigenschaften wie z.B. Stabilitat, Frequenzbereich Dynamik usw. Ais ein allgemeiri annerkantes Kriterium zur Beurteilung einer Schaltung hinsichtlich der notwendigen Substratflache hat sich die Kostenfunktion durchgesetzt

[1] ,[2J

,[3J.

Dieser Beitrag beschaftigt sjch mit der Gyratorenanzahl- und Kosten-funktionminimalisierung verlustfreier mikroelektronischer Filter, die nach der Zustandsraummethode synthesiert sind. Die Synthese wir4 dabei in einer im Bezug auf integrierte Fertigungstechnologie gUnstigen Schal-tungsstruktur durchgefuhrt. Sie enthalt namlich einen geerdeten gedacht-nisfreien Block, der durch eine schiefsymmetrische Konduktanzmatrix be-schrieben wird und einen durch eine diagonale Matrix bebe-schriebenen, aus eben falls geerdeten Kondensatoren bestehenden Kondensatorenblock

[~J

.

2. Synthesemodell

Das Synthesemodell einer Admittanzmatrix Y(s) ist im Bild 1 darge-stellt.

®

• • YO

.

•

:'-:

:: c

....

C1

r

I

2

-Bild 1.Synthesemodell

Das Syntheseverfahren beruht darauf. dass man fur eine n.n Admit-tanzmatrix yes) eine solche schiefsymmetrische Zahlenmatrix YO finden

muss t

@

die folgende Gleichung erfullt yes) Y 11 Y12(Y22 -1 t = +

+

sC) Y 12 (2 ) wobei C = diag [C 1.C2 ••••• Ck

J

n - Dimension der Matrix yes)

_•

k - Grad der Matrix yes) nach Mc Millan.

Das Syntheseverfahren wird am haufigsten auf solche Weise gefuhrt. dass der Kondensatorenblock nur Einheitskondensatoren enthalt (Normierung). dh. C = 1k • und diese Voraussetzung gilt fur weitere ITberlegungen.

Die Admittsnzmatrix YO lasst sich unmittelbar mit Hilfe von Gyrato-reno die zwischen entsprechende Klemmen des gedachtnisfreien Blocks

geschaltet sind, realisieren. Man kann sie aber auch mit Hilfe von

ge-steuerten Strom- und Spannungsquellen realisieren. wie es im FaIle eines Multigyrators beschrieben wurde

[5J •

Die zweite Losung ist offen-sichtlich besser an die integrierte Fertigungstechnologie angepasst. 1m allgemeinen Fall einer (n+k).(n+k) Matrix YO sind n+k Gyratoren oder n+k Quellenpaare und 2(n+k) Widerstande des Widerstandsnetzes not-wendig.

3. Orthogonale Transformationen. Minimalisierung der Gyratorenanzahl

Rei der Synthese im Zustandsraum heweist man, daBs,wenn eine

minima-Ie Realisierung der Matrix yes) bekannt ist

[6J

(dh. eine

Realisierun~

die sich durch minima Ie Anzahl k von Kondensatoren Kennzeichnet), sieh aIle anderen minimalen Realisierungen mit Hilfe orthogonaler Transfor-mationen finden lassen. laut folgender Gleichung

Y' ₌ ( 1 ₊

.

_{T) YO ( 1}

..

Tt)

0 n

wobei T _{ist eine orthogonale Matrix dh. TTt= 1k} + bedeutet einfache Summe (direct "urn) • Das Synthesemodell bleibt dabei unverandert.

auch solche finden, die sich durch maximale Anzahl von Nullelementen innerhalb der Matrix

YO

charakterisieren, was gemass der Schaltungs-interpretation dieser Matrix einer Realisierung mit minimaler Gyratoren-anzahl entspricht. Dieses Problem wird jetzt fur einen am haufigsten auftretenden Fall eines Filters mit einem Ein- und einem Ausgang, dn. n = 2, untersucht. Unter dieser Voraussetzung bekommt man

@

_®

Y 11 t

@

Y12 T Y' = (1 2 + T) YO (1 2 + Tt) =

.-

--

; -

-

- -

(4)

0 t t

®

-TY 12 TY22T

Zuerst wird der rechte untere Block be trach te t.

In der Algebra beweist man, dass von den Eigenwerten einer beliebi-gen schiefsymmetrischen Zahlenmatrix

W

der Dimension n-n und des Hangs 2~ immer 2q in Form imaginarer Paare auftreten, wahrend die ubri-gen n-2q verschwinden

[7J .

b:s seien d:!.e von Null verschiedenen

Ei-genwerte mit

k = 1,2, ••• ,q und die verschwindenden mit

1

=

2q+1, 2q+2, ••• ,n

(6)

bezeichnet.

Bs seien auch diesen E:!.genwerten entsprechende Eigenvektoren zugeordnet: dem Eigenwert entspricht der Eigenvektor

"

"

"

Mit diesen ~uordnungen bekommt man ein Gleic~ungBsYBtem, mit dem man die Eigenvektoren der Matrix W berechnen kann

(W - "2k_11 n) Z2k_1 = 0

W Zl

=

0 Mit den Bezeichnungen

Z2k_1 =

X

_{k + j}

Y

_k Zl

=

Xl

kann man (7) umschreiben

k=1,2, ••• ,q

1 = 2q+1. 2q+2 ••••• n (7)

W Y_k = )lk X_k W X

k = - Pk Yk W Xl

=

0

Die Losung dieses Gleichungsystems gibt die Spalten der gesuchten Matrix T

T =[X1'Y1,X2'Y2, ••• ,Xq,Yq,X2q+1,X2q+2' ••• 'Xn] (10) die die gegebene Matrix W in eine kanonische (mit maximaler Anzahl von Nullelementen) Form umwandelt

[7J

0 u 1 0 u2 0 u 0" ••

,~

T W Tt q =

".{

,

. . .

,

0, (11 )

-u

1 0

-u

2 0 -u q 0 v , ~ q n-2q t

Die Umformung des Blocks TY

22T der Matrix Yo

(4)

in eine kanonische Form nach oben beschriebenem Verfahren gewahrleistet zwar eine maxima Ie Anzahl von Nullelementen innerhalb dieses Blocks, doch im Rahmen der

ganzen Matrix

te im rechten

Yo verschwinden die moglicherweise

t

oberen Y

12T und im linken unteren

vorhandenenNullelemen-t

-TY'2 Block. Durch eine wiederholte orthogonale Transformation der Matrix YO diesmal mit einer blockdiagonalen Matrix T'

wobei = [ cos 'Pi -sin

'f .

~ (12 ) sin

'f

i J cos

'f

i

ist es moglich, Nullelemente auch in den beiden zuletzt genannten

Blacken zu erhalten. Schreibt man Y' auch in Form einer Blockmatrix

o

mit Blockdimension 2<2 (wenn YO eine ungerade Anzahl von SpalteB und Zeilen hat, sind ihre letzten Zeilen und Spalten Vektoren und der letz-te Block ein Skalar), So bekommt man

Y" 0

=

=

= T'Y'T,t 0 Y₁₁ t -T₂ Y₁₂ t -T 3Y13 -T yt S 1s Y₁₁

I

I

- I

t -T₂ Y₁₂

_I

t -T 3 Y13 -T yt s 1s

=

t Y₁₂T₂

-

-

-t T₂Y₂₂T₂ 0

o

t Y12 T2 Y₂₂ 0 0 weil t TiYiiTi Nach der Berechnung

['"

'"

]

Y1iT~

=

Y21 Y22

Y11 cOS 'Pi + _{Y12sin 'Pi}

=

Y21 cOS Ifi + Y22 sin

If

_i = t YnT

3

0 t T 3Y33T3

o

t Y13T3

.

0 Y 33 0 Y i i

[

cos Cfi sin

If

i

.

•

.

•

-

-Y_1s Tt _s

-

-

-0 0 T Y Tt s se B Y Tt 18 8 0 0 Y ss

-.,.~,

J

=

cos \Pi -Y11sin'fi + y_{12 coslf i}

-Y₂₁8in

_If

_i + _{Y2 2cOS <pi}

=

,

(14)

(15)

(16 )

(Pi =are tg von den vier Elementen jedes Blocks gleieh Null sein

kann.

Dureh Anwendung beider Optimierungsetappen bekommt man die Matrix

YO'

mit hochstens 2(2k+1) von Null versehiedenen Elementen. db. die

aus-reichende, im ganz allgemeinen Fall. Anzahl von Gyratoren,um eine (2+k)-reihige

YO'

zu realisieren. betragt 2k+1. Das Widerstandsnetz muss in diesem FaIle 2(2k+1) Widerstande enthalten.

Diese Tatsache kann man such suf andere Weise bestatigen. Jede

k-reihige orthogonale Matrix T lasst sieh als Produkt einzelner Drehun-gen darstellen. 1 k(k-1) 2 T

=

1l"

2:_m m=1

o

.

.

.

i cos~m .

T

= m j

o

o

Als Beispiel. m=3 T

=

[ COS if1 -sin

If

1

o

1

o

sin 1{J1 cos 1f1

o

.

.

.

COSli'm OJ [ cos 1f!2

~ -Si~

'P

₂

o

o

1

o

1

o

( 17) i=1.2 ••••• k-1 j=i+1.i+2 ••••• k

Si~ ~2l

cos ¥2J

o

cos 'P3 -sin

If

3

Das bedeutet aher. dass man bei einer k-reihiger Orthogonalmatrix

k(k-1) .. (I) ( )

(18 )

2 Winkel

'f

wahlen kann. In + ist YO eine 2+k -reihige sehiefSymmetrischemMatrix, db. sie ist durch

(k+2~(k+1)

Elemente

bes timmt ,und

(k+2)(k+1 ) 2 T,ist eine (k-1)k 2 k-reihige Orthogonalmatrix. In = 2k+1 von Null verschiedene

Yo

bleiben also Elemente ubrig. Damit ist aber nieht gesagt. dass bei einer Matrix mit speziellen

Elementenwerten eine grossere Nullenanzahl nich zu erhalten ware. Wegen

des komplizierten nichtlinearen Zusammenhanges zwischen den Elementen der Yo und Tm Matrizen ist es jedoch nicht moglich, diese Anzahl

analy-tisch zu bestimmen.

aber giinstig. urn mit Hilfe einer Ilechenanlage aIle equivalenten

YO

Ma-trizen zu berechnen. Dies kan man auf solche Weise durchfuhren. dass man aIle 'fm Winkel mit gewissem Schritt durchsucht und solche 1

_1j

Werte, die kleiner als ein feetgesetzter Wert sind. d~rch Null ersetzt. d" hei einer praktischen Schaltungsrealisierung nur solche Wideretande zugelassen sind. die einen bestimmten Wert nicht uberschreiten.

4. Minimalisierung der Kostenfunktion

Wie schon erwahnt. wird das Syntheseverfahren normalerweise so durch-gefuhrt. dass der Kondensatorenblock nur Einheitekondeneatoren enthalt

dh.

C ; 1k • Urn eine Realieierung mit beliebigen Kondeneatorenwerten zu erhalten ( C ; diag [C

1 .C2 ••••• Ck] ), muee folgende Transformation durchgefuhrt werden! Mit und 12 +

'fC')

YO' (

12

+

'(C').

12 +

Yc ;

R

C' ; diag [1 ,1,C;,C"""C;+1,C;+2] J (20) (21) dh. nach einer Umnumerierung der Kondensatoren kann man (19) umschrei-ben oder _{C" 'y"} j ij (22 ) i , j ; 1,2, •• " k+2 C ' ; C ' = 1 1 2 (23)

Diese Gleichunp; wird zur Minimalisierung der Kostenfunktion benutzt. Nach [1J ist die Koetenfunktion folgendermassen definiert:

(24)

Die Faktoren fT ' fC • fR sind fur eine bestimmte Fertigungstechnologie

konstant und drucken die notwendige Substratflache oder Kosten aus,

die mit der Herstellung eines Gyrators (Quellenpaares). eines

Einheits-kondensators, eines Einheitswiderstandes verbunden sind. n_T ' nC ' n_R

bedeuten die Anzahl von 81ementen entsprechender Typen.

Wenn man annimmt, daBs die Zahl n

T im Zuge des cben beschriebenen

Optirnalisierungsverfahrens rninimalisiert wurde. und dass die fur be-stirnrnte Fertigungstechnologien konstanten Faktoren fC und fR auf der Norrnalisierungsetappe der Elementenwerte berucksichtigt werden konnen. kann man (24) in folgende fiir weitere Berechnungen bequerne Form

urn-scbreiben:

malisierung von RC-schaltungen gefunden z.B. [2]

,[3] .

Urn

(23)

mit

(25)

verknupfen zu kennen und urn die Tatsache zum Aus-druck zu hrin~en, dass ein unendlich grosser Widerstand mit keinem Substratplatzbedarf verbunden ist, fuhrt man folgende Beziehung ein

1 wenn

Yij

I

°

tY~jl

r ij ~ wenn

_Yij

=

°

(26)

Setzt man

(23)

unter Berucksichtigung von

(26)

in

(25)

ein, so kann man schreiben k+2

F

=

S

+ j=1 mit C

₁

=

C

₂

=

1. k+2

L:

i=3

C'

i (27)

Vom mathematischen Standpunkt auS entspricht das Minimalisierungs-problem dieser Funktion einer Aufgabe der nichtlinearen Programmierung, wobei sowohl Zielfunktion als auch die Beschrankungen eine konvexe Funktion hzw. Menge ist. Das geht auS folgenden Uberlegungen hervor. Es muss gelten: aIle Ci;::>O und r

ij

4'

0. Ausserdem ist jeder Summand

(CiCj)-~

eine konvexe Funktion, weil seine Hesse-Matrix eine positiv

definite Matrix ist.

Wegen der leichten Berechenbarkeit der partie lIen Ableitungen ist die Meglichkeit gegeben, eine Gradientenmethode zur Minimalisierung der Kostenfunktion anzuwenden, z.B. den modifizierten Newtonschen Algo-rithmus

[8] .

Als Grundlage fur diesen Algorithmus gilt eine quadratische Naherung in der Umgebung des PUnktes CO

wo

F = F(CO) '1

H(CO) die im

t

+ \7F(CO) t(C_CO) + l(C-CO)H(CO) (C-CO) I

2

Punkt CO berechnete Hesse-Matrix ist.

Das glohale Minimum dieser quadratischen Naherung tritt fur den Vektor

C· = CO _ H- 1 (CO)'7F(CO) (29)

auf, der die Lesung folgender Gleichung darstellt '\7F (C') =

°

q 00)

Das bedeutet aber, dass man fur die quadratische Funktion den optima-len Punkt C· in einem Schritt (ausgehend yom Startpunkt CO) erreichen kann. Die betrachtete Kostenfunktion ist im allgemeinen keine

gibt ihren Charakter in der Umgebung eines Punktes recht gut wieder. Folgender Algorithmus fiihrt deswegen zur optimalen Menge der

C.-~

werte, bei welchen die Kostenfunktion (27) ihr Minimum erreicht:

bis

C 1 = cO _ H-1 (CO) VF(C O) C2 = C 1 _ H-1 (C 1) 'i7F( C 1 )

5. Zusammenfassung

Die vorgeschlagene Optimierungsmethode tragt durch Verminderung der Gyratoren- bzw. Widerstandenanzahl innerhalb des gedachtnisfreien Blocks und durch ei.ne Kostenfunktionminimalisierung zur weiteren Minia-turisierung von Gyratorfilterschaltungen bei und erlaubt es, eine Ver-besserung der zugehorigen Filtercharakteristiken zu erwarten.

Piekarski, M.S. and J.S. Matacz

MINIMIZATION OF THE COST FUNCTION IN GYRATOR-CAPACITOR NI,:rWOHKS SIMUI.ATINI; INJ1UCTANC1': CIIWUITS (in Polish). Arcli. KLchLrot.L>cli., Vol. 2), No. 1(1~'J4), p. 139-153. Hagopian, J.D. and LT. Frisch

CAPACITANCE AND m:SISTANCE MINIMIZATION IN ONE-PORT RC NETWORKS.

n:j':li:

Trans. Circuit Theory, Vol. CT-17(1970), p. 386-392.

;;Loin, lLA. ami A.LA. :;u.loma

In:SISTANCl!: AND CAPACITANC1( MINIMIZATION IN LOW-PASS RC LADDER NIITWOHKS. In: Proc. 71..h lGEE Int. S",np. on Circuits and Systems, San Francisco, 22-25 April 1974. New York: Institute of

Electrical and Electronics Engineers, 1974. P. 337-341.

[4]

Piekarski, M.S.

SELECTED SYNTHESIS PROBLEMS OF LINEAR MICROELECTRONIC CIRCUITS. Institute of Telecommunication and Acoustics, Wroc±aw Technical University, 1976. (In Polish).

Scientific Papers, No. 24.

11011.., 1\ .G.,]. and H .LLinggard MULTITI'Jl.MINAL I;YH.1\']'O]l';. Froc. Ir13t. p. 1591-159B.

I':lectr. Eng., Vol. 117(1970),

[6]

Anderson, B.D.O. and S. Vongpanitlerd

[7]

N IITWORK ANALYSIS AND SYNTHFSIS: A modern systems theory approach. Jo:nglc1;ood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1973.

Prentice-Hall Networks Series Gantmacher, I'.R.

THE THEORY OF MATHIC1<:S. Vol. 2. New York: Chelsea, 1960.

Original Russian edition: Teorija Mat-ric. Vol. 2. Moskva 1'954. ZanpJilI, W. I .

NONLINEAR PROGRAMMING. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Prentice-Hull International Series in Management

l<Cpnrls:

93) Duin, C.A. van

DIPOLE SCA'l'TERING Or" ELECI'ROMAGNETIC WAVES PROPAGATION THROUGH A RAIN MEDIUM, TH-Report 79-E-93. 1979. ISBN 90-6144-093-9

94) Kuijper, A.H. de and L.K.J. Vandamme

CHARTS OF SPATIAL NOISE DISTRIBUTION IN PLANAR RESISTORS WITH FINITE CONTACTS. TH-Report 79-E-94. 1979. ISBN 90-6144-094-7

95) Hajdasinski, A.K. and A.A.H. Damen

96)

97)

REALIZATION OF THE MARKOV PARAMETER SEQUENCES USING THE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION OF THE HANKEL MATRIX. TH-Report 79-E-95. 1979.

ISBN 90-6144-095-5 Skfanov, H.

ELECTRON MOMENTUM TRANSFER CROSS-SECTION IN CESIUM AND RELATED CALCULATIONS OF THE LOCAL PARAMETERS OF Cs + Ar MHD PLASMAS. TH-Report 79-E-96. 1979. ISBN 90-6144-096-)

Worm, S.C.J.

RADIA'rION PAT'l'EHNS OF CIRCULAR APERl'UHES WITH PRESCRIBED SIDELOBE LEVELS. TH-Report 7'J-E-,)'/. 1')79. ISBN ,)0-61~4-(),)7-1

98) Kroezen, P.H.C.

A SERIES REPRESENTATION METHOD FOI', 'mE FAR FIELD OF AN OFFSET REFLECTOR ANTENNA. TH-Report 79-E-98. 1979. ISBN 90-6144-098-x

99) Koonen, A.M.J.

ERROR PROBABILITY IN DIGITAL FIBER OPTIC COMMUNICATION SYSTEMS. TH-Report 79-E-99. 1979. ISBN 90-6144-099-8

100) Naidu, M.S.

STUDIES ON THE DECAY OF SURFACE CHARGES ON DIELECTRICS. TH-Report 79-E-l00. 1979. ISBN 90-6144-100-5

101) Verstappen, H.L.

A SHAPED CYLINDRICAL DOUBLE-REFLECTOR SYSTEM FOR A BROADCAST-SATELLITE ANTENNA. TH-Report 79-E-101. 1979. ISBN 90-6144-101-3

102) Etten, W.C. van

THE THEORY OF NONLINEAR DISCRETE-TIME SYSTEMS AND ITS APPLICATION TO THE EQUALIZATION OF NONLINEAR DIGITAL COMMUNICATION CHANNELS.

'rH-Report 79-E-l02. 1979. ISBN 90-6144-102-1 103) Roer, Th.G. van de

ANALYTICAL THEORY OF PUNCH-THROUGH DIODES. TH-Report 79-E-l03. 1979. ISBN 90-6144-103-X 104) Herben, M.H.A.J.

DESIGNING A CONTOURED BEAM ANTENNA.

105) Videc-. M.I'.

STRALIN(;SVERSCHIJNSELEN IN PLASMA'S f.N BIII"ECENDF: MIIDJA: Een

geometrisch-ortische en een golfzonebenndcrinR.

'I'll-Report HO-E-105. 19HO. ISBN 90-(,11.4-105-6 106) Hajd •• ifi.ki, A.K.

LINEAR MULTTVARIAIlLE SYSTEMS: Preliminary problem. in mathematical

description, modelling and identificfltion.

TH-Report 80-E-106. 1980. ISBN 90-6144-106-4 107) Heuvel, W.M.C. van den

CURRENT CHOPPING IN SF6'

TH-Report 80-E-I07. 1980. ISBN 90-6144-107-2

108) Etten, W.C. van and T.M. Lammers

TRANSMISSION OF FM-MODULATED AUDIOSIGNALS IN THE 87.5 - 108 MHz BROI\DCAST BI\ND OVER 1\ FIBER OPTIC SYSTEM.

Til-Report llO-E-IOR. 1'180. ISBN 90-GH4-I08-0

lllq) Krause, J.e.

SHOH'l'-CUIUlliN'I' LIMITERS: Literature survey 1973-1<)79. TH-Report 80-E-I09. 1980. ISBN 90-6144-109-9

110) Matacz, J.S.

UNTERSUCHUNGEN AN GYRATORFI LTERSCIlALTUNGEN. TIl-Report 80-E-IIO. 1980. ISBN 90-6144-110-2