Gestructureerde aanpak bij systeemanalyse, modelvorming
en simulatie. Deel 2
Citation for published version (APA):
Hezemans, P. M. A. L. (1987). Gestructureerde aanpak bij systeemanalyse, modelvorming en simulatie. Deel 2.
Aandrijftechniek, 10(11), 26-29.
Document status and date:
Gepubliceerd: 01/01/1987
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be
important differences between the submitted version and the official published version of record. People
interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the
DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page
numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
In het
eerste
ortikelvon
deze
serie
is
een
begin
gemookt
met
de
omschrijving
von
bindingsgrofen
en wot doorbijte
pos
komt,
In dit
tweede
deelgoot
de outeur
in op systeemvoriobelen
en wordt
een
begin
gemookt
met
de beschrijving
von
de systeemelementen,
OESIRUCTU
REERDE
AA]IPAK
SYSTEETIAIIAI.YS
E, ilIODE
T
YORilII]IO
ElI SIilIU
TAIIES
Krachtens de systeemdefinitie wordt er verlangd, dat in elke systeembeschrijving moet worden aangegeven:
1. welke systeemvariabelen erbij betrok-ken zijn (welke energiedomeinen); 2. welke systeemelementen er in het te
beschouwen systeem zijn opgenomen; 3. en hoe de onderlinge relaties van de
systeemelementen zijn (dus welke systeemstructuur er bestaat).
In de systeemleer dient de nadruk te worden gelegd op het gemeenschappe-lijke in alle systeembeschrijvingen. Dit betekent een analoge beschrijvingswijze van systemen die fysisch van elkaar ver-schillen. Hierdoor is het mogelijk een
teeilechnlsch
fïl
I-l
-
t
l ( } l êlêktrisch A U = U , - U " = U , , hydraulisch en pneumatisch À F = P , - P r = P , ,Aíb. 7, Mêêttechnlscho Interprotalle van oyeóêên. ên doorheen-groothêdon
26
.
I n g . P . M . A . L . H e z e m a n s Wetenschappelijk hooÍdmedewerker vakgroep Aandrijftechniek, TU Eindhoven
complex geheel uniform te beschrijven. Het inzien van de analogie tussen fysisch verschillende systemen zal moeten leiden tot het vaststellen van drie soorten analo-gieën:
- analoge variabelen; - analoge elementen; - en analoge structuren.
Anuloge
sysfeemvrriobelen
Voor het karakteriseren van een bin-ding zijn slechts twee gegeneraliseerde va-riabelen nodig. Deze zijn complementair, de zogenaamde vermogensvariabelen:
- overheen-grootheid a; en - doorheen-grootheid z.
Beschouwen we afbeelding 7, dan zien we het volgende:
]. De overheen-grootheden p12, U12 of v72 kunnen we meten zonder het systeem te verbreken. Zij volgen uit tweepuntsmetingen die een druk-, spannings- of snelheidsverschil tussen twee ruimtelijk gescheiden punten vastleggen. Vandaar overheen, met het symbool cY = across.
2. De doorheen-grootheden Q, I of F kunnen, als de eigenschappen van de weerstand nog onbekend zijn, uitslui-tend worden gemeten door het systeem te verbreken. Zij volgen uit eenpuntsmetingen, die voor of na het systeemelement hetzelfde resultaat
ge-translati€.mechanisch A v = v , - v z = v r u F = bv,, rotatie-mêchanisch L , o = t I ' , - l u r , " = o , " T = Brd,, lheÍmisch
L 0 = 0 , - 0 " = 0 , .
Aè = " "
R, algomeen R 4 = R r , U,. RÊ.,,^ Zii vertonen continuïteit. Vandaar \"Àrne'en,met het symbool r = through' '"óe
betekenis van de benamingen ,,^-verheen" en "doorheen" is meettech-ni"sch gezien zonder meer duidelijk' Er is ljoriuiion..t, dat wil zeggen qua handel-ïíiie ui.i het meten, dus een wezenlijk ver-.tËil rrit.n de beide s-oorten variabelen' iíi"rop zijn onder andere onze opvattin-""" nver fvsische analogieën gebaseerd 7";. raUelleri I en 2). Daarnaast kennen we líee .n.tgieuariabelen, die de integralen )iin uan dè vermogensvariabelen: "''l = Jadt = geïntegreerde
overheen-eroothei"d (1)
"- o = \rdt = geïntegreerde
doorheen-eroothei"d (2)
i,tárt op, dat we in het voorgaande de nverheen- en doorheen-grootheden zo ge-iozen hebben, dat hun produkt het
ver-Tabel 1. Doorheen- en overheen'grootheden
fysischdomein doorheen'grootheidT eenheid lrl overheen-grootheid c eenheid lal
I
mech.transl. kracht(F) mech. Íoterend koppel (T) hydraulisch en
pneumaiisch volumestroom (Q)
N N . m
snelheid (V) m.s. - 1 hoeksnelheid (o) t:ad.s- 1
elektrisch . magnetisch stroomsterkte (l) fluxverandering (ó) m 3 , s - 1 A W e b e r . s - 1 = V druk (p) spanning (U) magnetomotorische kracht (m)
* . r . 1
ATabel 2. Geïntegreerde doorheen- en overheen-grootheden Íysischdomeln geïntegreerdê
doorheen-gÍootheid o
eenheid lol geïntegreerde eenheid [À] overheen-gÍootheid À
mogen * - ; . ; = P : d ( E / d t = Èis:
Anologe
systeenelemenlen
(3)
mech. transl. impuls (P) mech. roterend impulsmomenl (o) hydraulisch en pneumatisch volume (V) N . s N . m . s m 3 A.s flux (ó) Weber - V.s vêrplaatsing (x) m hoekverdraaiing (e) raddrukimpuls (f) N.m-2.s
Ideale systeemelementen zijn bedenk-sels. Ze hebben maar één elementeigen-schap (eigenschap in de zin van energie-funciie). Zulke ideale systeemelementen komen'in werkelijkheid niet voor. Reële svsteemelementen bezitten meerdere, ver-sóhillende elementeigenschappen (lees: meer dan eén energiefunctie). Elk reëel systeemelement kan opgebouwd worden sidacht uit een combinatie van een aantal ideale systeemelementen. Aan ieder van deze ideale systeemelementen kan een ka-rakteristieke energiefunctie worden toe-s,ekend. Op deze manier kan dus de ele-irenteigenÁchap van het reële element worden ontleed in de energiefuncties van de samenstellende ideale
systeemelemen-Zoals eerder gezegd, heeft elk systeem-element één of n:eer poorten, waardoor energie naar binnen enlof naar buiten stroomt. Om aan te geven hoe de ener-giestroom is gericht, tekenen we een halve pijl, met eenpijlpunt gericht, op de bui-tenkant van elke poort (zie afb. 8). We de-finiëren, dat de energiestroom positief ge-oriënteerd is, als deze energie in de rich-ting van de pijl stroomt, en negatief als deze tegen de pijlrichting in stroomt.
Daarmee introduceren we de volgende vermogensconventies:
- als P; > 0, dan bestaat er oPname of verbruik van de energie door de i-de poort;
- als P; < 0, dan is er afgifte van energie door de i-de poort.
Voor twee- of meerpoorten geldt, dat wanneer de opgenomen energie : de af-gegeven energie.
, - l t l
D , P, = 0, met lz = aantal Poor-ten. elektrisch magnetisch lading magnetische Ílux (p) V.s
Tabet 3. Gegeneraliseerde dissipatoren
lysisch domein element q = R . t 7 = G , c
U r z = R ' l | = G . U r z
eenheid van R of G symbool m e c h . l r a n s l . mech. roterend hydraulisch elekÍisch magnelisch dempef elektrische weersland
+
v r z = b - ] . F F = b - v r z b [ N . s . m - ' l r o t a t i e o r z = B - 1 . T T = B . o r z B [ N . m . s ] demper hydraulische Prz = Rr'.Q Q = Rr-1.Prz R6 [N.ms.s] weersland R [v.A-11 = [o] -t_rlnerglestnon
\ - P
# i
Alb.8. Symbool lerde.
ÍlnlëÍlng Yrn do enor glestroom
Anders moet gelden dat: i = m
E P í + O
In deze twee- of meerpoort vindt dan energieaccumulatie enlof energiedissipa-tie plaats.
Met behulp. van de definitiebeschrij-vingen van poort- en elementeigenschap en van de vermogensconventies kunnen we een classificatie opzetten van ideale systeemelementen.
Eenpoorfen
Eenpoorten kenmerken zich doordat zij slechts één energiepoort hebben waar-dóor ze energie uitwisselen. Per definitie kan daarom in het systeemelement slechts sprake zijn van één energiesoort die wordt uitgewisseld.
Er zijn drie categorieën eenpoort-elementen:
- dissipatoren die alleen energie kunnen opnemen;
- buffers die energie kunnen opnemen' opslaan en afstaan; en
- bronnen die alleen energie kunnen af-staan.
Van elke categorie zijn er twee typen namelijk een d-type en een 7-tYPe.
Dissipolorcn
Het symbool voor een dissipator is R. De elementvergelijking voor het a-type is
r : G ( a ) en voor het z-type
o : R ( z )
Is de constitutieve relatie lineair, dan geldt voor het o-type:
r = G.a met G = geleiding, demping (4) waarbij (5) In tabel 3 is deze constitutieve relatie voor dissipatoren in de verschillende fysi-sche domeinen weergegeven.
Het vermogen dat door de poort gaat, i s :
P ( t ) : a ( t ) . r ( t )
Dat betekent voor het lineaire cy-type P(t) : G. (o(t))2
en voor het lineaire r-type P ( t ) = R . ( " ( t ) ) 2 en voor het z-type:
a : R , r m e t R = w e e r s t a n d , R = l / G (6) (7) (8) 27
,,n,,
Daarmee is verklaard, waarom het ver-bruikte vermogen positief moet worden opgevat. Dit vermogen blijft altijd posi-tief, ongeacht de oriëntatiezin (teken-waarde) van a of r.
Dissipatoren kenmerken zich doordat ze door één poort energie opnemen en niet meer teruggeven. Bij nadere analyse blijkt de dissipator echter een tweepoort te zijn, waarbij de thermische energie (lees: anergie!) door de tweede poort gaat. Omdat deze thermische energie in dit geval, thermodynamisch gezien, min-derwaardig is, is de energietransito van de eerste naar de tweede poort onomkeer-baar. Met andere woorden, vanuit de tweede poort wordt de entropie voorgoed in het universum verspreid (vandaar dissi-peren = verspreiden).
In dit licht gezien kan men evengoed zeggerr, dat men de dissipatie-energie door de eerste poort in een bodemloze put deponeert, zodat in onze systeembe-schouwing de dissipator zich als een een-poort gedraagt.
Voorbeelden van systeemelementen met een dissipatieve eigenschap zijn:
me-chanisch (translatie) schokdemper,
rechtgeleiding; mechanisch (rotatie) -vloeistofkoppeling, lager; hydraulisch pijpleiding, klep, afsluiter; elektrisch -lamp, draad, weerstand. Ter illustratie is het kader "Voorbeeld dissipator" opge-nomen, waarin een ideale slipkoppeling als dissipator wordt nagegaan.
Buffers
Buffers hebben als karakteristieke eigenschap, dat zij geen vermogen dissi-peren, maar wel de toegevoerde energie opslaan en later weer aan het systeem te-rugleveren. Hun energiefunctie is de ener-gieaccumulatie. Het gedrag van buffers wordt beschreven door een betrekking met een differentiaalquotiënt naar de tijd. Straks zullen we zien dat als d/dt > 0 is, P > 0 is, en opname van energie plaatsvindt, en dat als d/dt < 0 is, P < 0 is en energie wordt afgegeven. .6 ( = J P dt) is dus altijd positief.
De interpretatie dat E hierbij altijd po-sitief blijft, houdt in, dat de door de buf-fer afgegeven energie nooit groter kan zijn dan de in de buffer aanwezige ener-gie. Daarmee kunnen buffers (op enkele uitzonderingen na, zie het komende hoofdstuk over bronnen) nooit aange-merkt worden als energiebronnen.
Buffers o-type, capaciteiten
Het symbool van deze buffer is C. Voor dit type buffer, ook wel capaciteit genoemd, geldt de volgende relatie:
o : o(a), en
r = do/dt : do(a\/da . da/dt (9) In de voorgaande paragraaf is reeds aangegeven wat o in de verschillende fysi-sche domeinen voorstelt als geïntegreerde doorheen-grootheid.
Is er een lineair verband tussen o en d. dan kan men schrijven:
o = C.a waarin C = capaciteir (10) Substitutie van (9) in (10) geeft:
r = C.da/dt (Il)
Het aan een lineaire capaciteit toege-voerde vermogen is
Tabel 4. Gegeneraliseerde capaciteiten
fysisch domein elemenl - - ^ d a
dt - O V . f F = m."' v = m-r.Jrdt kg -tr-dt | = J . - o = J - ' . o = c n . ! l p = c r 1 t = c . d u U = C - 1 dt
, =
" , 1
m c ; 1 . j è o t
a = C - r . o êenheid van C symbool
+
g
- l F
mech. transl. massa
mech. roterend massatraag-heidsmomênt hydraulisch hydraulische capacileit elektrisch elektrische capacileit magnetisch JTdt kg.mz . J o d t m . N - 1 . jrot A.V-1.s = F P(t) = 7(t).r) = Cy(t)yx/dt (r2) De accumuleerde energie is:
E ( t ) : I ( P ( t ) . d | = C j ( a ( t ) . d a ) =
C.a2/2 + E(0)
(r 3)
In tabel 4 is de constitutieve relatie voor capaciteiten in verschillende fysi-sche domeinen weergegeven. Door voor de verschillende fysische domeinen de bij-behorende grootheden en parameters in te vullen in (12) en (13), is de relatie voor het buffervermogen en de gebufferde energie te bepalen.
Voorbeelden van systeemelementen met een capacitieve eigenschap zijn: me-chanisch (translatie) - elk translerend li-chaam met een massa; mechanisch
(rota-tie) - elk roterend lichaam met een mas-satraagheidsmoment; hydraulisch veer- of gasdrukaccumulator, vloeistof-tank; elektrisch - condensator. Ter il-lustratie is het kader "Voorbeeld caoaci-tieve buffer" opgenomen met de uifwer-king van een ideale drukaccumulator als hydraulische capaciteit.
Buffers z-type, inducties
Het symbool voor dit systeemelement i s L .
Voor dit type buffer, ook wel inductie ge-noemd, geldt de volgende relatie:
X : À ( r )
a = dX/dt : ilt(r)/dr.dr/dt(t4)
Yoorheld
dissipctor
- l h l
drijvende plaal vt Comlrucllc allproppollng Veronderstellingen:massaloos, oneindig stijÍ, visceuze wrijving Elementen-analyse:
de olie in het oppervlakte-elementje dA ondervindt de visceuze wrijving ter grootte van: dF = r.dA
waarbij de aÍschuiÍspanning 7 ten gevolge van de visceuze wrijving gegeven is door: 7 = p.dvldh
met p = flyn36;5che viscositeit v = snelheidsverschil = vr - vz h = d i k t e o l i e f i l m
Beperken we ons tot het lineaire geval, namelijk met lineaire snelheidsverdeling (zie afbeelding) en constante viscositeit, dan kunnen we het wriivingskoppel van de slipkoppeling analytisch bepalen:
7 = p . d v / d h = p . v l h = p . R . a l h dA = R.dR.dp (zie aÍbeelding) dT = R.dF = R.z.dA = po (R3/h).dR.d,p T = j d T = ^\-_ 1"ío(Ri/h).dR.d,p' U " F t r ' = rp,(Rt - Rï(2h) = rpu(DL + DíX32h)
De dempingsconstante B van de slipkoppeling (reciproke mechanische weerstand, mechanisch gelei-dingsvermogen) is dan: B = T/o = rtq = 1tR = G = trp(Dá _ Díy(32h)
^l*
oliefílm gedreven plaat Aandriiftechniek, november 1 987 1ln
oB
S
t
D
I le h la b . l Vl ti v( (r p l (r sl ti, sI o t t nIn het voorgaande is reeds aangegeven wat À in de verschillende fysische domei-nen voorstelt als geÏntegreerde overheen-erootheid.
ftij een lineair verband tussen \ en z geldt: \ = L.r waarinZ : inductie (j,5) Substitutie van (14) in (15) geeft:
o : dÀ/dt = d(L.r)/dr.dr/dt (16) Het aan een lineaire inductie toegevoerde vermogen is:
P(t) = o11;."(t) : L.r.dr/dt (17) De geaccumuleerde energie is:
E(t) = J (P(t).dt) = L.l0.dr)
L.f/2 + E(0)
(r8)
In tabel 5 is de constitutieve relatie voor inductie weergegeven in verschil-lende fysische domeinen. Door voor de verschillende fysische domeinen de bijbe-horende grootheden en parameters in (17) en (18) in te vullen, is de constitutieve re-latie voor het buffervermogen en de ge-bufferde energie te bepalen.
Voorbeelden van systeemelementen met een inductieve eigenschap zijn: me-chanisch (translatie) - staalkabel, trek-veer, drukveer (opgemerkt moet worden, dat deze reële elementen ook een capaci-tieve eigenschap bezitten die al dan niet verwaarloosd kan worden); mechanisch (roterend) - torsieveer, elastische kop-peling; hydraulisch - zeer lange leiding (met fluidische inertie); elektrisch spoel. In het kader "Voorbeeld induc-tieve buffer" is als voorbeeld een ideale spiraalveer als mechanische inductie uit-gewerkt. I
In het volgende deel zullen de bronnen worden besproken alsmede de tweepoorten.
Tabel 5. Gegeneraliseerde inducties
lysisch domein 0 = L , _, d r dt
r = L . - r , t r eenheid van L symbool
--?tà'tr6l.-v
----=;;--T rfir- --TÍf6ï-mech. transl. mech. foterend hydraulisch elektrisch magnelisch v = k - t . d F F = k . i v d t d t , = K - r . d r T = K . i o d t dt veer lorsieveer demper Íluidische traagheid eleklrische inductie m . N - 1 r a d . N - r , m - I p = L r , . € Q = L r , f . i p d t k g . m - o dt d l dt | = L - r . i U d t V . S . A - l = HYoorbeeld
inductieve
buÍÍer
Constructio splraalyeoÍ veeÍindÍukking: x = x1-x2 n = aantal werkzamewindingen 2R= diameterwlnding d = dikte winding G = gliidingsmoduÍus F = veerkÍacht
d l.l_l X,,F,
+ i \
ïN
F+
F,+F,=o
h r l
i t l
-i -i I x",F" , 2 R Veronderstellingen:massaloos, geên structurele demping Element-analyse:
Uit het technische handboek nemen wij de benadeÍingsÍormule voor de veerindrukking van de spiraalveer: x = 6 4 . n . F . R s ( G . d 4 )
De veerstijfheid k van de spiraalveer (= pss;ptak. mechanische inductie) is dan: . K.= .F/x = 7l)1 = (lrldl)ta = 1./L = G.d4(64.n.Rs,
terwijl zijn mechanisihe inductie is: L = 1 / k = 6 4 . n . R 3 ( G . d . 4 )
Yoorbeeld
crpocitieve
buÍÍer
Vo = bouwvolumedrukaccu V!- = ga$volume Va. = olievolume V , o , = V o . + V o * g = dichlheid stíkstoÍ B = gasconstante To. * absolule tempêíatuur
stikstof Veronderstellingen:
vat niet elastisch, olie niet samendrukbaar. Element-analyse:
In de drukaccu zit het olievolume Votie ter grootte van: Vo,," = Vro, - Vg".
en daarmee:
. , . Q o r i " = - Q9".
v o l g e n s de wet van Pascal geldt: P o t i e = Poas
We nemen !emakshalve de isothermische toestandsvergelijking van de stikstof: , . , F 9 " . vve . V g u " = frlg"s . R . T g a s
vrnden de hydraulische capaciteit van de accu als volgt: Vg", = mo"". R. Toas/Poas
^ Q n " , = o V n u . / d t = i m n " i . . R / p s " J . d T / d t - (msas. R . T s " . / p 2 s " " ) . d p / d t uè eerste term vervalt vanwege de isothermische gastoestand:
Q o r ' e = - Q s a s = (msas.R. ï n u . / P s " " ) . d p i d t = ( V g " " / P s " " ) . d p / d t = = (Ve""/(p'su". R. Te"J). dp/dt
ue hydraulische caoaciteit C is dan:
C = O / ( d p ( d t ) = rlldoldtl = Vn""/ps"" = Vg*/(= rkon"". R . T n " . )
