De bepaling van hoeken in een cardanoverbrenging met
behulp van afbeeldingsmatrices
Citation for published version (APA):
Groeneveld, G. (1961). De bepaling van hoeken in een cardanoverbrenging met behulp van afbeeldingsmatrices. (DCT rapporten; Vol. 1961.003). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1961
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
1.
rp met d e aegatieve X-as, van ket kruis b eds in het PZ-vlak B i j
c
dan steads i n het. vlak
V
fen, d i e de staaf CD tua
- 2 -
2. Tweede probleemstelling.
Het kruis van de cardankoppeling is nu niet loodrecht, doch de staven OB en OD maken nu een hoek 90'
-
y met elkaar. Sederom wordt gevraagd het verband tussen w, en w2. We kunnen nu de hoeken (x enp
nog op verschillende manieren definiëren. De meestvoor de hand liggende definities zijn weergegeven in figuur 2 en figuur
3.
A
Y
In figuur 2 is nog p = O, als a = O ; in figuur 3 is dit niet het geval.
In figuur 3 is bovendien de uitgangsstand geometrisch niet mogelijk als stand van de cardankoppeling. Dit is echter van geen belang.
7.
.
Voor de bepaling van 6 wordt in alle drie gevallen dezelfde weg bewandeld.
Met behulp van afbeeldingsmatrices worden achtereenvolgens twee assenkruistransformaties uitgevoerd.
Uitgegaan wordt van het assenkruis XYZ. Dit assenkruis wordt ge-
..
draair o a de X-as oyer een hoek e r ::oemen we 6s niew;ce Uvordinaten
x ' , y' en z ' , dan levert de matrix ons een methode om de compo- nenten van een willekeurige vector in de coördinaten x ' , y' en z' uit te drukken in de eoördinaten x, y en z.
De volgende transformatie is een verdraaiing om de lijn OB in het X'Y'Z'-assenkruis ever een hoek ö.
De coördinaten x", y" en zlf kunnen we met behulp van de tweede afbeeldingsmatrix uitdrukken in de coördinaten x', y * en z a en deze weer met behulp van de eerste matrix in x, y en z.
We kiezen hierbij hoek zodanig, dat na de tweede transformatie de nieuwe OD juist ligt in het vlak loodrecht op de secundaire
as.
Vde hebben als meetkundige voorwaarden:
a) Ra twee transformaties moet OB loodrecht staan op de primaire
as (dit is een contrôle).
b) Na twee transformatles moet OB een hoek a maken met de oor-
spronkelijke stand van OB (ook dit is een contrfile).
c) Na twee transformaties moet OD loodrecht staan op de secundaire as (dit levert een vergelijking voor O ) .
d) De hoek
p
kan nu worden berekend als hoek tussen OD (na twee transformaties) en de oorspronkelijke Z-asr4. Te gebruiken afbeeldingsmatrices.
Daar ons slechts hoeken interesseren, kunnen we alle vectoren de lengte 1 geven. ilie vinden dan bovendien voor de hoek tassen twee
t
vectoren u en v dat cos(u,v) = u
.v,
het inwendig product van deze vectoren (Bet st wordt de getransponee%&lomvector li, dus derijvector, bedoeld).
Hoeten u en v loodrecht zijn, dan moet dus u .V 5 O.
A l 8 transformaties hebben we nu nodig:
a) rotatie om de X-as over een hoek a; b) rotatie om de Y ver een hoek 5:
c ) rotatie om de vector cos y over een hoek 6.
a n d
t
(Sin y
)
Voor a) en b) is de matrix zeer eenvoudig op te stellen. We hoeven
namelijk voor een nfheeldingsmntrix slechts te kijken naar dráe bijzondere vectoren in het X*Yp'Z' kruis, namelijk de assen zel£ en deze te schrijven in de componenten x, y en z. Deze componenten Tor- men achtereenvolgens de kolommen van mijn matrix.
~
- 4 -
s
2' 2''
Rotatie om de Y-as geeft de afbeel- dingsmatrix:
cos €I O
-
sin 8)A, = ( û I O
sin b
o
COB 6Stel, dat we beide rotaties achter elkaar uitvoeren, dan krijgen we dus de componenten A,-A2.u in het XYZ-stelsel,
De matrix voor
gis
moeilijker op te stellen. We beschouwen nu tweelaten draaien om de T -as over een hoek 8 e We interesseren
elsels, XYZ en T T T die we gezaine
X J z'
r
de componenten van e;, etY
en ea uitgedrukt in het XEZ-ste*selsNu heeft een veator B in Z
Een vector p * in Til T' Ti heeft in T T
1
de componenten B2.p* met9'
x Y =
)
cos 6 O-
sin 6 sin 6 O eo8 6 I O Een rector pl' inT
T T B 1 = ( O sin y cos yp in het X'Y*Z'-stelsel heeft dus in XYZ de componenten B,.B,.B,p.
X Y tenslotte heeft in XYZ de componenten B,p" met
1 0 O
O cos y
-
sin yDe gezochte afbeeldingsmatrix A 3 is dus:
sin y sin 6
-
cos y sin 6cos y sin ~ ( I - C O S 6 )
A3 = B,.B,.B, = 6 cos2y
+
sin? cos 6 cosysiny(I-eos6)s i n * y + c o s ~ c o s 8
5.
Oplossina van het eerste probleem.We hebben achtereenvolgens de afbeeldingen A, en AZ, dus een totale
O
-
sin 6matrix C = A, .A2 = sin 6 cos a
-
sin a eo6 6 cos a sin 6 sin a cos a cos 6Voor de vier punten genoemd in paragraaf 3 vinden we achtereenvolgens:
a) OB is in X1rY’tZ” de vector
I:
(de Y“-as), dus in XYZ de vector(0)
De X-as is
b i
o
O)(i;;
L j
= O.‘ Bit klopt dus. b) De Y-as is(i)
( 0 1 O ) (cos a\ = cos a . Dit klopt eveneens.
c) OD i5 in X”Y”Z” de vector (ae Z“-as) dus in XYZ de vector
-
sin a cos-
sin 6 cos a co8 6De secundaire as is de vector s i n 6
(- cos cp sin m O)
[
1
sin a cos = O levert de vergelijking: \ c o s a cos 6i
sin6 cos 9
..
sin a COS 6 s i n cp = O of tan 6 = sin a tan cp-
sin 6cos a ces 6
d f cos $ = (O O 1 )
-
s i n a cos = cos a COSB
tan a
- 6 -
S t e l l e n we a = w, t met w1 constant, dan is
dP
1
.-
1
u,= u, c o s- = w 2 =
d t t a S a cos cp cos2a * cos2cpcos2a
+
s i n z a1
-
+Zzq
D i t is een bekende betrekking,
6, Oplossinff van h e t tweede probleem, e e r s t e manier.
We hebben nu de afbeeldingen A , en A 3 met als productmatrix
D = A, *A3 = (Os -cosasinysin6 +cosaí c o s 'y+sin *ycos b) +cosacosysiny( 1 -COSS)
-sina cosy s i n 6 -sina( sin2 y+c os2ycoa 6)
-sinasinysin 6 +sina( cos2y+sin2ycos 6 ) +sinacos ysiny( 1 -cos&)
+cos ac os ya i n 6 +o os a ( s i n 2y+e os+ros
9
#e v i n d e n nu:
\
s i n y s i n 6 -cosysin 6
-sinacos p i n y ( 1 -cos 6 )
+cos ac os ya i n y4 1 -cos 6)
a) OB is i n X"Y"Z" de v e c t o r dus i n XYZ de vec
cosacos y( cos2y+sin2ycos 6) -sinacosZqsin v( 1 -cos 6) +cesacos ysinoy (1 -costJ
sinysin6cosy
-
cosysin&sin y-sin=iny(sin y+cos2ycosö)
s i n a c o s y(coszy+sin2yco +cosacos2ysin$?-eos6) +si -fs*A-eooo) s a s i n y ( s i n 2 yicos 2ycos 6)
o
y - s i n a c o s 2 y s i n y + c o s a c o s y s i n 'y
-
s i n a s iI -2.. , - . - 3 - . _._ - .. E.-A. I
1
\ a A n -CUB i + C U D LIDOS T a i h i + SiËÜ C O S y S b + COS Ü s i R
O
a c o s y
-
sin a s i n a c o s y+
c o s a s i nEu is de cosinus van da hoek tussen deze v e c t o r en de X-as =
E (I 0 O ) cos a c o s y - s i n a sin y sin a c o s y
+
cos a s i n y = O, hetgeen k l o p t .i
Q\
b) (O c o s y s i n y ) c o s a c o s y - s i n a s i n s i n a c o s y+ c o s a s i n y= cos a c o s z y
-
s i n a s i n y c o a 1+
s i u a cos y sin y i cos a sin'y t- C G S OL.
K l o p t .
E)
E)
-
cos (B1
-
cos y s i n 8+
c o s a cosy s i n y (l-cosò)+
s i n a c o s y s i n y (?-cos ò) + cos a ( s i n 2 y +cos2y c o s ö1
=(
-
s i n a (sin% +cos %cos 6)Deze v e c t o r moet loodrecht s t a a n op de v e c t a r (s; (B)
c o s y sin ö c o s gr+
i
cosa c o s y s i n y (1-cosòj-sina (sin2y+co=2Ycosòj)sia~s=Od) Tot slot vinden we v o o r c o s p = (O O l).D.
E)
=c o s p = s i n a c o s y s i n y ( ~ - c o s ò )
+
c o s a í s i n ~ y + c o s 2 y e o s ò )De e l i m i n a t i e van 6 u i t de l a a t s t e twee formules is een probleem
d a t v o o r l o p i g n i e t zal worden aangepakt.
E e r s t proberen we het tweede probleem op de tweede manier. 7. Oplossing van het tweed-e probleem, tweede nanier.
We hebben weer de oorspronkelijke afbeeldingen A , en f$, dus C = A,.AZ. Tevens is dus aan de punten a ) en b j van paragraaf 3 nog s t e e d s voldaan.
e ) De l i j n OD is ia h e t s t e l a e l X!'Y"Z" de s e c t o r sin? dus i n
i
"'i
XYZ\
COSY/ eesa s l n y-
cosy s i n ò-
s i n a e e s y o o s b y+
c
(si:.>= cos yDeze moet loodrecht s t a a n op
(-y.')
h s : c o s y s i n & c o s 4,
+
sin? ( c o s a s i n y-
sina cosy cos 6 ) = ûa)
c o s p = s i n a s i n y+
c o s a c o s y c o s bDe laatste twee v e r g e l i j k i n g e n z i j n veel b e t e r hanteerbaar dan de
v e r g e l i j k i n g e n u i t paragraaf 6. Het onderzoek naar de igaxima en minima van a2 i n
p
= w 2 t v e r g t e c h t e r nog enorm v e e l rekenwerk.Getracht moet worden de b e t r e f f e n d e m a x i m a t e minimaliseren door keuze van de hoek T.
