EUCLIDES
TIJDSCHRIFT VOOR DE DIDAC-
TIEK DER EXACTE VAKKEN
ONDER LEIDING VAN
J. H. SCHOGT
ENP. WIJDENES
MET MEDEWERKING VAN
Dr. H. J. E. BETH Dr. E. J. DIJKSTERHUIS AMERSROORT OISTERWIJK Dr. C. DE JONG, Dr. B. P. HAALMEIJER LEIDEN AMSTERDAM Dr. P. DE VAERE Dr. W. P. TI-IIJSEN BRUSSEL NIJMEGEN 16e JAARGANG 1940, Nr. 6. P. NOORDHOFF - N.V. - GRONINGEN
7
Prijs per Jg. van 18 vel t 6.—. Voor Intekenaars op het îJ Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde f5.—, voor id. op Christiaan Huygens f4.-f des, Tds1ft vzr 4Z Didactnk der Exete Vakken rerschijnt in zes tweemaandelijkse aîleveringen, samen 18 vel druks. Prijs per jaargang f6.—. Zij, die tevens op het Nieuw Tijdschrift (f 6.—) zijn ingetekend, betalen f 5.—, voor ideni op ,,Christiaan Huygens" (f tO.—)
1
4.—.Artikelen ter opneming te zenden aan J. H. Schogt, Amsterdam-Zuid, Frans van Mierisstraat 112; Tel. 28341.
Aafis de acijvern van artikelen worden op hun verzoek 25 afdrukken verstrekt, in het vel gedrukt.
oeken ter bespreking en ter aankondiging te zenden aan P Wij denes, Amsterdam-Zuid, Jac. Obrechtstraat 88; Tel. 271 19.
1 N 1-1 0 U D.
BIz.
W. J. REUVECAMP, Het werkstuk van Malfatti ...257
J. H. SCHOOT, Enquête over Logarithmentafels... 259
Dr STOELINDA en Dr VAN TOL, Enkele opmerkingen naar anuleiding van de voordracht van Dr Oerretsen ...268
Dr j. C. H. OERRETSIEN, Antwoord ...264
l-loofdcomrnissie voor de normalisatie in Nederland ...2711
Schoolboeken ...277
3oekbzsprekiig...282
EU
CLIDES
TIJDSCHRIFT VOOR DE DIDAC
TIEK DER EXACTE VAKKEN
ONDER LEIDING VAN
J. H. SCHOGT
ENP. WIJDENES
01
16e JAARGANG 1939140
P. NOORDHOFF N.V. - GRONINGENBATAVIA
INHOUD VAN DE 16e JAARGANG 193911940.
nu
Dr. E. W. BETH, De psychologische argumenten en richtlijnen voor de vernieuwing van het onderwijs ...
J. H. SCHOOT, Over ingekleede vraagstukken en vergelijkingen
ax2 + bx + c ax2 +bx+c
C. J. ALDERS, De functies v =px2
+
qx +r en Y =px+q
Dr. H. J. E. BETH, Iets uit de didactiek van de wiskunde Prof. Dr. Hk. DE VRIES, Historische studiën XXI. Over ketting-
breuken, projectieve puntenreeksen en verrekijkers ... Korrels XLII, 90; XLIII en XLIV, 140; XLV en XLVI, 219;
XLVH.—Ll... Dr. J, C. H. GERRETSEN, De karakterisering van de goniometri-
sche functies door middel van een functionaalbetrékking Dr. A. VAN THIJN, De meetkundige vaktaal ... Dr. E. J. DIJKSTERHUIS, Archimedes ... P. WIJDENES, De gegevens in de werkstukken van het eind- examen in Beschrijvende Meetkunde ... J. H. SCHOOT, Congruentie-eigenschappen in de Stereometrie Dr. J. H. WANSINK, Het getalbegrip in het nieuwe leerplan Dr. J. C. H. GERRETSEN, De differentiaalrekening en het functie-
begrip op de middelbare school ... Dr. H. J. E. BETH, Hetzelfde als het vorige ... Aankondiging (Journal tenu par Isaac Beeckman) ... Dr. J. POPKEN, De ontwikkeling van het getalbegrip . .
W. J. REUVECAMP, Het vraagstuk van Malfatti . 38, Enquête over logarithmentafels ...38, Hoofdcomjmissie voor de normajisatie in Nederland . . . 40, Uit het verslag van de Staatscommissie ... Dr. Th. G. D. STOELINGA en Dr. M. G. VAN TOL, Enkele op- merkingen naar aanleiding van de voordracht van Dr. Gerretsen over de differentiaalrekening en het lim;ietbegrip op de Middel- bare School
Dr. J. C. H. GERRETSEN, Antwoord ... Schoolboeken ...
Boekbesprekin gen.
P. HOENEN, Philosophie der anorganische natuur ...40 LOUIS LOCHER—ERNST, Geometrisieren im Bereiche wichtig-
ster js.urvenlormen ...42 Dr. P. MOLENBROEK, Leerboek der Vlakke Meetkunde 8e druk 42
11 24 33 44 246 92 100 104 133 145 166 197 218 223 225 258 259 271 243 260 264 277
blz. Prof. R. C. ARCHIBALD, Outline of the History of Mathematics 85 Prof. Dr. A. D. FOKKER, Over het magnetisme
...
85 A. GLODEN, Sur les égalités multigrades...
86 Dr. E. VOELLIVW, Fünfstellige Logarithmen- und Zahientafein . 88 S. SNIJDER, Een nieuwe uitgave van het periodiek systeem . . 88 P. J. TEN HAVE, Begrijpen en weten...
138 Dr. NATHANS en Dr. LINDEMAN, Natuurkunde voor het Mid-dIbaar en voorbereidend hoger onderwijs
...
138 Dr. E. J. DIJKSTERHUIS, Vreemde woorden in de Wiskunde . . 139 W. LOREY, Der deutsche Verein zur Forderung des nïath. undnaturwissenschaftlichen Unterrichts
...
. 221 Dr. J. C. H. GERRETSEN, Beginselen der Beschrijvende Meet-kunde . ...222 Dr. PAUL DE VAERE en Dr. V. HERBIET
(f),
Grondslagen derboldriehoeksmeting
...
223 P. WIJDENES en Dr. P. G. VAN DE VLIET, Logarithrnen-, rente-en discontotafels
...
281 Ingekomen boeken...
39, 89, 255, 282HET WERKSTUK VAN MALFATTI
In een driehoek ABC drie cirkels y, Y2 en V3 te beschrijven, waarvan y raakt aan de benen van A, y2 aan die van Z B en aan die van z C, terwijl elk der cirkels de beide andere uit-wendig raakt.
B
'13 13 23
le Oplossing:
Cirkel y raakt AB in T13 ; de straal is r1
.
Cirkel 72 raakt AB in T23 ; de straal is r2.
1 is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van A ABC, die. in T3 aan AB raakt en waarvan de straal r is. Stellen we AT13 d1
;
BT23
d2
, dan volgt Vrij eenvoudig:11T13 :1T3 =AT13 :AT3 of r1 :r= d1
:
(s—a), dus r1=--
.d1.
Evenzo is r2=b.c/2.
17 A
258 Verder is T13T = \/{Ij122_ (12T—I1T13) 2} = V{ (r2
+
r1) l— (r2—r,)'} = 2 .xlrlr2 = 2rV_
d1d2
- = - Ci,/d1d2,
immers r = 0 S (s—a)(s b)V
(s
- a) (s - b) (s - c) •Derhalve geldt de betrekking:
• d1 +2J/./did
+d2 =c
d1
2
P
~
s
c1/d1
d2
d2
c
of: - S r s s s sEvenzo gelden dus:
en
+2j/S
. .We stellen nu:
a b c d1
- sin2 a;
- = sin2 9; - = sin2 y; -- = sin2 a1;
2
- = sin2 91 en
-3 = sin2 y1.
S S
De betrekkingen gaan dan over in:
sin2 z1 + 2sin oc1 sini91 .cosy + s1n2 fl1 = sin2y
sin2
j9
+ 2 sin fl sin cos ot + sin2 y1 = sin2ocsin2 y1 + 2sin 1 sin oc, .cos P + sin 2 o 1 = sin2fl waaruit echter volgt:
cc=fl1 +y1
I=Vi+i
en dus:
oci = 12 (— + P +
v) PI
= 1/ (o — fi + ) 71 = 1/ (o + -Daar nu de hoeken a, en y te construeren zijn, zijn ook de
hoeken c, fl1 en y bekend en daaruit volgen
d1, d2, d3.
Daardoor worden de raakpunten bekend en de constructie der cirkels is verder eenvoudig.259
Om cx te construeren, beschrijven we een cirkel met s (= PQ) als middellijn; op de middellijn zetten we PR = a af; in R richten we een loodlijn op, die de cirkel in S sniji[t. Dan is Z SQP = a.
'Om d1 te construeren, beschrijven we een cirkel met s (= PQ) als middellijn; door Q trekken we een lijn, die met QP een hoek cc maakt en die de cirkel in T snijdt; uit T laten we de Ioodlijn TV op PQ neer; dan is PV = d1.
Bovenstaande oplossing werd door Scheilbach bekènd, gemaakt in 't 45e deel van Crelle's Journal. In de 10e Band der ,,Memorie di Matematica e di Fisica della Societâ italiana delle Scienze" komt de oplossing van Malfatti voor. Steiner gaf in 1826 een zuiver meetkundige oplossing, echter zonder bewijs. Hij breidde 't vraagstuk uit door de zijden van de driehoek te vervangen door 3 cirkelomtrekken. In J. Versluys: ,,Inleiding tot de Nieuwere Meet-kunde van den Driehoek" vindt men het door Hart in déel 1 van het Quarterly Journal gegeven bewijs bij deze constructie. In P. Molenbroek: ,,Leerboek der Vlakke Meetkunde" wordt het vraagstuk-ook op die wijze opgelost.
Deventer. W. J. R e u ve c a m p.
ENQUÊTE OVER LOGARITHMENTAFELS
Het aantal antwoorden, dat de redactie heeft ontvangen op haar vraag omtrent logarithmentafels, is beperkt gebleven tot
twee.
Beide inzenders betuigen hunne instemming met wat op blz. 38 van dezen jaargang is neergeschreven; één van hen oppert het denkbeeld de mantissen op te zoeken in een tafel met 5 decimalen, en ze dan in 4 decimalen af te ronden. -
Dat de belangstelling niet grooter is, moet misschien worden toegeschreven aan de omstandigheid, dat het karakter der trigo-nometrische vraagstukken, welke op de H.B.S. behandeld worden, bezig is, zich te wijzigen: de berekeningen geraken op den achter-grond. De eindexamenopgave van 1937 bewijst echter, dat men bij de voorbereiding tot het eindexamen nog met. vraagstukken van deze soort rekening moet houden. J. H. S.
ENKELE OPMERKINGEN NAAR AANLEIDING VAN
DE VOORDRACHT VAN Dr. GERRETSEN OVER DE
DIFFERENTIAALREKENING EN HET LIMIETBEGRIP
OP DE MIDDELBARE SCHOOL
DOORTh. G. D. STOELINGA en M. G. VAN TOL.
Met belangstelling lazen wij in nummer 4 van dit tijdschrift bovengenoemde belangrijke voordracht. In velerlei opzicht zijn wij het geheel met Dr. 0. eens. Echter zijn er enkele punten, waarin wij met hem van mening verschillen, zodat wij gaarne gebruik maken van de gelegenheid tot gedachtenwisseling, waartoe overigens de heer G. zelf aanspoort.
Allereerst zijn critiek op de limiet-definitie in ons Leerboek der Algebra III.
Dr. G. verwijt ons daarbij: a. vaagheid van de termen ,,onbe-paald naderen tot" en ,,veranderlijke grootheid" en verder: b. het gebruik van het pleonasme, ,,vast getal".
ad a.
• Zoals Dr. G. in het voorwoord van het genoemde leerboek kan lezen, zijn wij bij het schrijven daarvan met hem van oordeel geweest, dat het gewenst is bij het geven van de limiet-definitie het soortelijk onderscheid vooraf te ontleden en dus het limiet-begrip a.h.w. in etappes bij te brengen. Dit is dan ook de manier, die in ons boek is gevolgd. In drie, onmiddellijk aan de definitie voorafgaande voorbeelden (§ 191, blz. 1, 2 en 3) hebben wij de term ,,onbepaald dicht naderen tot", die
zonder meer
inderdaad vaag zou zijn, uitvoerig besproken, verklaard en gedefinieerd, zodat een verwijt van vaagheid zeer zeker niet opgaat.Behalve dat de term ,,veranderlijke" grondig besproken is in het tweede deel van ons leerboek bij de behandeling van het functiebegrip, komt in de genoemde voorbeelden meermalen ,,ver-anderlijke grootheid" voor, waardoor deze term naar onze mening voldoende is toegelicht. Wij althans hebben nooit de noodzake-
261
lijkheid, zelfs niet de wenselijkheid gevoeld om de term ,,groot-held" voor de leerlingen nader te definieren. Wanneer Dr.
G.
de moeite neemt de voorbeelden door te lezen zal hij inzien, dat de vraag omtrent de driehoek, waarvan de hoekpunten zich langs rechten bewegen (wat betekent dit?) door onze limietdefinitie zeker geen zin heeft gekregen, zoals hij blijkbaar wil suggereren. Trouwens iedere leerling behoort hem te kunnen vertellen, dat het genus proximum van ,,driehoek" de verzameling van meetkundige figuren is.ad b.
In onze limiet-definitie wordt inderdaad gesproken van een ,,vast getal". Maar daarbij is de tekst dik gedrukt, terwijl het
woord .;,vast" in gewone letters en tussen haakjes is gezet. Dit
woordje ,,vast" heeft dan ook niet tot taak. een categorie onder de getallen aan te wijzen, is dus niet op te vatten als een bèperking van'het begrip ,,getal", maar is uitsluitend bedoeld om voor de leerlingen er de nadruk op te léggen, dat een getal ,,vast" is, in tegenstelling met een ,,veranderlij ke gr'ootheid".
Wij hebben zeer sterk de indruk,, dat Dr. G. alleen onze
limiet-definitie heeft gelezen zonder 'de voorbereiding daartoe In elk
geval heeft .hij de definitie uit het verband geciteerd, waardoor degenen, die ons boek niet kennen, verkeerd worden ingelicht.
Vervolgens iets over de behandeling van het limietbegrip door Dr. Gerretsen. Gaarne erkennen wij, dat deze veel goeds. bevat, maar toc.h hebben wij ook, behalve tegen de vorm, enige beden-kingen van ernstiger aard.
De behandeling komt nl. op het volgénde neer. Dr. G. geeft niet de definitie van limiet per genus proximum et per differentiam specificam, maar geeft slechts aan, wanneer een getal. 1 de limiet van f(x) is en wel mde drie volgende gevallen:
10; als x oneindig groot wordt, maar geheel blijft; 20. als' x oneindig groot wordt zonder meer;
30 als x --> a.
Hij wil deze gevallen afzonderlijk behandeld zien en scherp onderscheiden. Maar is dit juist? Het gaat blijkbaar om de bepaling van de limiet van f(x) onder drie verschillende, betrekkelijk wille-keurige, voorwaarden. Men kan met recht vragen of er niet nog andere voorwaarden te stellen zijn.
262
• In geval 1 0 spreekt Dr.. G. van de limiet van een getallenrij. Dit lijkt ons minder gelukkig. Liever zouden we in dit geval spreken yan de limiet van een variant.
Van geval 20 zegt Dr. G. (blz. 214): Bij functies gaat het precies eender [als bij ,,getallenrijen"]. Dit is niet juist, immers de uitdrukking: ,,E is op de duur waar" is slechts gepreciseerd voor, het geval, dat n de reeks der natuurlijke getallen doorloopt. Die uitdrukking moet echter telkens opnieuw worden bepaald, wanneer n .op andere wijze oneindig groot wordt. Het is hier een prachtgelegenheid om het begrip ,,x wordt oneindig groot" te definieren.
De behandeling kan dan ook naar onze mening iets korter en .algemener als volgt verlopen.
We geven drie definitiés, waarvan de derde de limiet-definitie is.
Definitie 1. x ,,groeit onbepaald aan" of ,,wordt oneindig groot", wanneer x achtereenvolgens waarden aanneemt, die groter zijn dan een willekeurig gekozen getal N.
Definitie 2. De functie f(x) ,,nadert onbepaald dicht tot" het
getal L, wanneer
1
L - f(x)1
< e
voor een willekeurig gekozen positief 'getale
.Definitie 3. De limiet van f(x) is het getal, waartoe f(x)
onbe-paald dicht nadert.
Nu volgen twee verklaringen: Lim f(x) = L betekent:
x -+
x kan zodanig onbepaald aangroeien (d.w.z. men kan N in def. 1 zodanig kiezen), dat f(x) onbepaald dicht tot L nadert.
Lim f(x) = L betekent:
x-a
x kan zodanig onbepaald dicht tot a naderen, zonder er noch-tans aan gelijk te worden, dat f(x) onbepaald dicht tot L nadert.
We willen hiermee natuurlijk niet beweren, dat bovenstaande behandeling nu volkomen streng en niet meer te verbeteren is.
Tenslotte zouden we nog de volgende opmerkingen willen maken. Het is gewenst, naast eenvoudige voorbeelden als
lim (2x + 5)
263 ook te behandelen voorbeelden als
lim (2x±5)(x-3)
x-+3
x
—3
en er dan op te wijzen, dat in het eerste voorbeeld de functie de limietwaarde kan bereiken en in het tweede niet.
In dit verband merken we op, dat Dr. G. ten onrechte meent de definitie van Va n T h ij n en K o b u s correct te kunnen maken (blz. 212) uitsluitend door hun eerste voorwaarde te veranderen. De tweede voorwaarde, die hij handhaaft, is echter ook niet cor-rect, zoals blijkt uit ons tweede voorbeeld, waar x niet gelijk aan 3 mag worden.
Dit valt te meer op, daar Dr. G. aangaande dezelfde definitie aanmerkt: ,,Een blijkbaar niet bedoeld effect heeft de opneming van het woori ,,elk" in de volzin onder 10. Immers daaruit volgt noodzakelijk, dat het verschil tussen de functie en het getal p
gelijk is aan nul, want 0 is het enige niet-negatieve getal, dat kleiner is dan elk positief getal."
Deze aanmerking is hier echter niet juist, omdat v. Th. en K. niet spreken van elk positief getal, maar van elk vooraf aange-geven willekeurig klein rekenkundig getal.
Nog een vergissing maakt Dr. G. in zijn bespreking van de definitie van Rutgers en Pekelharing. Inderdaad wordt daarin de relatie tussen Pn en q niet geheel juist beschreven door de woorden: ,,dat bij aangroeiende n het verschil tussen Pn en q steeds kleiner wordt." Maar toch heeft men juist door deze zin niet
het recht te menen dat + 1 )n de limiet 1 en ook de limiet —1 heeft, omdat het verschil tussen - + (-1)" en 1 of —1 niet
,,steeds" kleiner wordt.
Ook uit deze laatste opmerkingen blijkt, hoe betrekkelijk ge-makkelijk men zich kan vergissen wanneer men poogt de streng-héidseisen op te voeren. Voor ons is dit een aanwijzing te meer om toch vooral voorzichtig te zijn op dit gebied ten aanzien van de leerlingen. Natuurlijk achten wij een redelijke opvoering van die eisen gewenst en zelfs nodig, zoals wij ook in het voorwoord van ons Algebra-leerboek schreven, maar zo ergens, dan moet zeker hier met gematigdheid te werk worden gegaan.
ANTWOORD
DOOR
J. C. H. GERRETSEN.
In S t o e Ii n g a en V a n T o 1, Leerbciek der Algebra III,
wordt.op p. 1 de volgende omschrijving gegeven van de uitdruk-king ,,nadert onbepaald dicht tot":
nadert onbepaald dicht tot 0. We bedoelen hiermee:
n
neemt op den duur een zodanige waarde aan, dat het verschil !. — 0 kleiner wordt dan elk willekeurig (klein) positief getal (b.v. ; ook voor nog grotere waarden vann
b lijf t diti oo
000)verschil kleiner dan het gekozen getal." De omschrijvingen op p. 2 en p. 3 wijken hiervan niet wezenlijk af.
Erg bewonderen kan ik deze omschrijving niet. Vooral het gebruik van het woord ,,waarde" in het enkelvoud heeft funeste gevolgen. Immers, noemen we
n0
de waarde, dien,,op
den duur" aanneemt (de schrijvers stellen zich blijkbaar voor, dat men aann
opvolgend de waarden 1, 2, 3 ..., geeft). Voor
n = n0
wordt_L
=, dus < e, als een willekeurig gekozen positief getaln n0
novoorstelt. Wegens de toegestane vrijheid mag ik dus voor e ook het getal nemen, zodat ik vind!
no
no no
De, overigens ook bij andere schrijvers voorkomende, fout is gemakkelijk aan te wijzen. De schrijvers laten na er uitdrukkelijk op te wijzen, dat het getal
n0
van e afhangt. Zij behoorden te' zeggen:,,Bij een willekeurig gekozen positief getal is een zèdanige waarde van
n
te vinden, dat - 0 kleiner is dan dat getal, terwijl265
ook voor grotere waarden van
n
dit verschil kleiner is dan dat getal."Wanneer op p. 3 van 'het genoemde leerboek de limietdefinitie meegedeëld wordt, zijn in de toelichtende voorbeelden slechts ge-tallenrijen gebruikt. Indien de schrijvers met ,,veranderlijke groot-held" in deze definitie niets anders bedoelen dan getallenrijen, dan heb ik er vrede mee. Weliswaar is de term ,,nadert onbepaald dicht tot" niet bijster fraai omschreven, maar is inderdaad voor-bereid. In zoverre hebben mijn opponenten gelijk. Maar daarmee zijn voor mij niet de moeilijkheden uit de weg geruimd. Immers, reeds op p. 4 blijkt de bewuste term ook van toepassing te zijn op veranderlijken en functies. Mag of moet ik daaruit nu conclu-deren, dat veranderlijken en functies ook behoren tot de dingen, die men als veranderlijke grootheden aanduidt? En wanneer deze vraag bevestigend beantwoord moet worden, is een rechte dan ook een veranderlijke grootheid? Want op p. 6 van 'het Suppiement behorende bij Leerboek der Algebra wordt gesproken van ,,een rechte AB, die onbepaald dicht tot de raaklijn in A aan de grafiek nadert." Het begrip veranderlijke grootheid zou zich dus op ver-schillende wijzen kunnen manifesteren. Niettemin achten mijn op-ponenten een definitie van dit begrip overbodig. Een overigens weinig gebruikelijk standpunt in de wiskunde!
De term ,,nadert onbepaald dicht tot" wordt op p. 4 van het genoemde leerboek gebruikt voor de toelichting van het limiet-begrip voor functies. Het is mij niet voldoende duidelijk geworden of de daar genoemde voorbeelden moeten dienen om de definitie van p. 3 nog nader toe te lichten, of wel, dat ze dienen om een nieuw begrip aan te brengen, waarvan de expliciete definitie weer overbodig geoordeeld wordt. Wel heb ik begrepen (althans meen ik begrepen te hebben), dat de schrijvers de limietdefinitie voor functies laten steunen op die voor getallenrijen. Daartegen bestaat geen enkel bezwaar. Toch moet ik bezwaar maken tegen de wijze
waarop dit in het boek geschiedt. Wanneer de schrijvers menen, dat lim (2x + 5)
=
11voortvloeit uit:
lim (2x + 5)
=
11,266
waarbij x1, x2, ... getallen zijn, die alle van 3 verschillen, maar
wel onbepaald dicht tot 3 naderen, m.a.w. waarvoor geldt: limx=3,
n -->
dan vergissen zij zich deerlijk. Zij hadden zeer uitdrukkelijk moe-ten vermelden, dat aan (2) voldaan moet zijn door iedere getallen-rij, die aan (3) voldoet (natuurlijk met de restrictie, dat alle x,, 3 zijn); pas dan heeft men het recht (1) in de plaats van (2) te schrijven. Blijft deze vermelding achterwege, dan zou men aande leerlingen kunnen wijsmaken, dat
lim f(x) = 0,
x—)O
als f(x) de volgende functie voorstelt:
f(x) =
J
x, voor alle rationale getallen x,1, voor alle irrationale getallen x. Immers, ik kan x onbepaald dicht tot 0 laten naderen, door aan x de waarden --,
-s-, +,
..., te geven.Ik heb niet de indruk, dat hier sprake is van een toevallige lapsus. In S t o e Ii n g a en V a n To 1, Planimetrie II, p. 148 wordt de volgende definitie gegeven van het begrip raaklijn:
,,Laat een kromme lijn en hierop een punt P gegeven zijn .... We denken ons op de kromme een willekeurige oneindig voortlopende puntenreeks Al, A2, A3, ..., enz. gegeven, die P als limiet heeft.
We beschouwen de stralenreeks PA1, PA2, PA3, ..., enz. Wanneer
deze stralenreeks (enkelvoud! 0.) een limiet PB heeft, noemen we
P.B de raaklijn in P aan de kromme lijn."
Hier kunnen we weer dezelfde fout als boven constateren. Er liad uitdrukkelijk vermeld moeten worden, dat PB onafhankelijk is van de naar P convergerende puntenreeks. Is het misschien de zucht naar vereenvoudiging, die de schrijvers hier parten heeft gespeeld? Voor een correcte definitie zou ik kunnen verwijzen
naar H a a 1 m e ij e r, Leerboek der Vlakke Meetkunde 1!, p. 114.
Ik meen dus niet zonder reden mijn opponenten vaagheid in woordgebruik te mogen verwijten. Verder hoop ik met het bovenstaande enigszins de bij mijn opponenten verwekte indruk verzwakt te 'hebben, dat ik alleen de limiëtdefinitie gelezen zou
267
hebben en bij de beoordeling daarvan geen aandacht zou hebben geschonken aan de door hen gegeven toelichtingen.
In een volgend gedeelte van hun betoog betwijfelen mijn oppo-nenten de juistheid van mijn opmerking betreffende de noodzaak van het maken van onderscheid tussen de definities van limieten van getallenrijen en functies. Ik vermoed, dat deze twijfel gegrond is op het onjuiste inzicht in het limiefbegrip voor functies, zoals ik dit boven signaleerde. Mijn opponenten noemen een drietal geval-len en vragen zich af of nog andere omstandigheden denkbaar zijn, waarbij het zin heeft een bepaling te geven van limiet. Dit is stellig het geval. Alles hangt af van de getallenverzameling, waarop
f(x) gedefiniëerd is. Het heeft betekenis te spreken van lim f(x)
voor x -- a, als a een verdichtingspunt is van die verzameling. Formeel kan het symbool cc beschouwd worden als verdichtings-punt van een niet-beperkte getallenverzameling, zoals bijvoorbeeld de verzameling der natuurlijke getallen. Waar het op aan komt, is de definitie van het omgevingsbegrip. Deze luidt voor een omgeving van
cc
anders dan voor een omgeving van a. Op de een of andere wijze moet dit onderscheid in de limietdefinitie verdisconteerd zijn.De term ,,E iS op de duur waar" kan voor niet beperkte getal-lenverzamelingen op dezelfde wijze gepreciseerd worden als ik voor natuurlijke getallen in extenso in mijn voordracht heb weer-gegeven, onafhankelijk van de omstandigheid of de eigenschap E betekenis heeft voor hetzij alleen alle natuurlijke getallen, zoals in mijn voordracht, hetzij alle rationale getallen, hetzij alle reële getallen, enz.
De ,,wijze waarop x oneindig wordt", waaraan mijn opponenten blijkbaar veel waarde hechten, behoeft niets anders fe zijn dan het nauwkeurig aangeven van de getallenverzameling, waarop
f(x) gedefinieerd is.
Mijn opponenten stellen een nieuwe behandelingswijze voor van het limietbegrip, waarmee zij hopen een groot aantal gevallen te kunnen omvatten. Ik laa het oordeel daarover gaarne aan de lezers van dit tijdschrift; daarbij zou ik willen aanbevelen om met deze definities eens te experimenteren op dé functie f(x), die ik boven
onder (5) gedefinieerd heb. Mijn opponenten hebben niet willen beweren, dat de door 'hen gegeven behandeling volkomen streng
en niet meer te verbeteren is. Mij dunkt, dat zij daarmee hün prestaties nogal mild beoordelen.
Gaarne 'wil ik nu nog iets zeggen over een tweetal andere punten, die in discussie gebracht zijn.
Men beticht mij ervan, dat ik ten onrechte gemeend zou hebben, dat ik de door K obu s en V a n T h ij n gegeven definitie correct zou kunnen maken door uitsluitend de eerste voorwaarde te ver-anderen. Ik heb dat niet beweerd en zal het nu ook niet gaarne beweren. Ik heb er slechts op gewezen, dat de door mij voorge-stelde amendementen de definitie behoorlijk correct maken. Mijn betoog was gericht tegen de zinloze eerste voorwaarde en ik wilde laten zien, dat door niet al te ingrijpende wijzingen inderdaad içts
behoorlzjks voor de dag kan komen. In aansluiting daaraan was er voor mij geen aanleiding om ook de tweede voorwaarde te wijzigen, te meer omdat de schrijvers voorbeelden geven, waarbjj de omissie in de tweede voorwaarde geen aanleiding geeft tot moeilijkheden. Zou men een volkomen correcte definitie willen geven met behoud van de gedachtegang, dan is het inderdaad nodig om ook de tweede voorwaarde te wijzigen. Maar zelfs dan kunnen nog aanmerkingen gemaakt worden, vandaar dat ik laTer
elf geheel andere formuleringen voorgesteld heb.
Wat mijn onjuiste aanmerking betreft, daarover het volgende: Ik geef vooraf de getallen 10- , (n = 1, 2, 3 ...). Hieronder zijn
toch stellig getallen begrepen, die men ,,willekeurig klein" pleegt te noemen. Welnu volgens de eerste in de definitie van K o b u s en V a n T h ij n genoemde voorwaarde is er steeds een waarde (enkelvoud!) van x te bepalen, zeg x0, waarvoor het verschil tussen p en f(x) absoluut genomen kleiner is dan elk.vooraf aangewezen willekeurig klein rekenkundig getal; dus
1
f(xo)- p 1 <
voor elke n. Daaruit volgt toch noodzakelijk f(xo) - p = 0!
De schrijvers hadden zich beter moeten uitdrukken. Waarschijn-lijk hebben ze aan het volgende gedacht: Bijelk vooraf gekozen willekeurig klein rekenkundig getal is een waarde van x te vinden, enz. Ze hebben in hun formulering de volgorde verkeerd genomen evenals mijn opponenten op p. 1 van hun leerboek. Uit de definitie spreekt namelijk niet, dat zodra a is gegeven een passende waarde van x, die in de regel nog van e afhangt, is te vinden, waarvoor de een of andere ongelijkheid is vervuld.
269
gaande de definitie van R u t g e r s en P e k e lhari n g. Ik heb niet beweerd, dat men zou moeten menen, dat •+ (-1)" de
limieten 1±1 en—! heeft. Maar het zou kunnen. 1-let zit vast op de nauwkeurige betekenis van het woord ,,steeds".. Bij niet weten-schappelijk spraakgebruik vertoont dit woord een uitgebreid spec-trum van betekenissen.' Mijn opponenten hechten aan ,,steeds" blijkbaar de betekenis, die men in de wiskunde scherper aanduidt met ,,monotöon". Deze opvatting ligt voor de hand en- ik maak daartegen geen bezwaar; inderdaad is dan mijn tegenvoorbeeld weerlegd. Maar dan wordt aan het limietbegrip zulk een ingrijpende beperking opgelegd, dat ik haast niet kan geloven, dat dit in overeenstemming zou zijn met de bedoeling van de schrijvers. Immers, men heeft dan niet meer het recht te beweren, dat
limr=O,voorr=O,
n -'. co
want de getallen 0, 0, 0, ..., worden toch niet steeds kleiner. En
in nog mindere mate heeft men het recht om te besluiten tot 1
lim - sin n - = 0, 4
want ook de getallen .- /j , 0,—
worden toch ook niet steeds kleiner (zelfs niet als men alleen hun' absolute waarde beschouwt). Wil men evenwel aan ,,steeds" niet de betekenis geven van ,,strikt monotoon", dan is het hek van de dam. In dat licht moet het door mij gegeven tegenvoorbeeld be-schouwd worden.
De opmerkingen van mijn opponenten worden besloten met de nogal zonderlinge mededeling, dat in het opvoeren van streng-heidseisen een gevaar voor het maken van vergissingen kan schuilen. Deze mening zal wel door weinig wiskundigen gedeeld worden. In mijn voordracht heb ik evenwel nergens aangedrongen op opvoering van de strengheid. Integendeel, ik heb er juist op gewezen, .dat men niet te streng moet zijn, maar v66r alles aan-schouwelijk. Ik vrees, dat hierbij mijn opponenten sprake is van begripsverwarring. Strengheid opvoeren wil zeggen: in het wis-kundig betoog de aanschouwing zo- veel mogelijk op de achter-grond dringen. Dat is de taak van de wetenschap; het onderwijs op de middelbare school kan en mag daaraan niet meedoen. Maar
270
een afzien van strenge bewijsvoering geeft niet het recht om het nu ook maar niet te nauw te nemen met de formuleringen van de beweringen en definities. Juist het streven naar nauwkeurige om-schrijvingen behoort naar mijn mening met kracht gepropageerd te worden. Strengheid op de school is misplaatst en ftinest voor de belangstelling; nauwgezetheid in woordgebruik is een eerste eis en een wezenlijk bestanddeel van het wiskundeonderwijs. Vergis-singen zijn het gevolg van onvolledige en dubbelzinnige formu-leringen; ze onderstellen de aanwezigheid van een apart interpre-tatievermogen. Ik meen niet te veel te zeggen met de bewering, dat aan dit vermogen door vele schoolboeken zeer hoge eisen gesteld worden!
HOOFDCOMMISSIE VOOR DE 'NORMALISATIE IN
NEDERLAND.
De Hoofdcommissie deelt mede, dat de ontwerp-normaaibladen V 1268 en V 1269, Symbolen voor de physica, 1 en II,
ter critiek zijn afgekondigd. Verzocht wordt critiek in te zenden voor 1 Augustus 1940 bij •het Centraal Normalisatie Bureau, Willem Witsenplein 6, 's-Gravenhage, of voor 1 Juli 1940 bij het. Secretariaat van de Normalisatieraad, Bragaweg 38, Bandoeng, Ned. Indië.
Deze bladen zijn ontworpen door commissie Bo, voor de
'for-malisatie van algemeene aanwijzingen voor technische geschriften,
waarin zitting hebben: prof. dr. M. de Haas, voorzitter; J. van Andel, aangewezen door. den Minister van Onderwijs, Kunsten en Wetenschappen; Ir. Wouter Cool, benoemd in overleg met de Normalisatieraad in Ned.-Indië; prof. dr. W. J. D. van Dijck; ir. L. Th. H. Hesselfelt, aangewezen door den Minister van Onder-wijs, Kunsten en Wetenschappen; dr. ir . J. J. Koch; ir. J. A. Ladage, aangewezen door den Minister van Onderwijs, Kunsten en Wetenschappen; prof. ir . J. Muysken; Kol. der Genie P. W. Scharroo, aangewezen door den Minister van Defensie; dr. P. Schoenmaker; ir. G. J. vande Well. Secretariaat: Centraal Nor-malisatie Bureau (Directeur Ir. J. A. Teyinck).
Deze bladen zijn aanvaard door groepscommissie B, voor de
normalisatie van aanwijzingen voor technische geschriften, teeke-ningen, modellen en onderdeelen van constructies, waarin zitting hebben: ir. J. D. Tours, voorzitter; prof. ir . J. A. Bakker; ir. A. H. 0. W. de Bats; prof. dr. M. de Haas; Ir. G. Hofstede; prof. ir . E. R. Hondelink; Maj. der Genie Ph. J. H. Marcella, aangewezen door den Minister van Defensie; R. P. van Royen; prof. E. Voss-nack; prof. ir . F. Westendorp; Secretariaat: Centraal Normalisatie-Bureau (Directeur ir. J. A'. Teyinck).
272 Toelichting.
De notaties op V 1268 en V 1269, Symbolen voor de Physica, beoogen te komen tot eenheid in de aanduiding van physische grootheden. Worden de hier aanbevolen letters algemeen gebruikt, dan zal een eind komen aan het vele onvruchtbare werk, dat ontstaat bij het vergelijken van verschillende geschriften waarin men telkens andere letters aantreft voor een zelfde grootheid.
De ontwerp-normaalbladen zijn opgesteld op grond van een voorstel van de Nederlandsche Natuurkundige Raad (N.N.R.), welke de Union Internationale de Physique Pure et Appliquée hier te lande vertegenwoordigt. Zooveel mogelijk is aangesloten bij de voorloopige conclusies op dit gebied van de technische commissie ISA 9d2, Grootheden, eenheden en symbolen, der Int. Fed. of Standardizing Associations.
De bezwaren, voortvloeiende uit de noodzakelijkheid, met het kleine aantal praktisch bruikbare letters een zoo groot aantal grootheden aan te geven, zijn zooveel mogelijk vermeden. Echter kon niet worden voorkomen, dat voor sommige, op zeer verschil-lend gebied gebruikte grootheden meer dan één letter moet worden aanbevolen; voor een bepaald gebied moet hieruit een keuze worden gedaan zôô, dat geen verwarring met de overige symbolen ontstaat.
Na rijp beraad heeft de commissie besloten om inV 1268 onder ,,Massa" het soortelijk gewicht (beter: relatief gewicht) niet op te nemen; deze grootheid is nI. afhankelijk van de stof, ten opzichte waarvan zij wordt opgegeven, en van de toestand waarin deze verkeert. Aan de ,,dichtheid", de massa per volume-eenheid, kleven deze bezwaren niet.
Er moge op gewezen worden, dat de commissie voorstelt als regel vast te leggen, dat symbolen voor grootheden cursief, sym-bolen voor eenheden met staande letter worden gedrukt; toepassing van deze regel zal vele technische geschriften aan leesbaarheid doen winnen.
Ten slotte wordt er de aandacht op gevestigd, dat de commissie voorstelt, in technische geschriften zoo mogelijk slechts gebruik te maken van de eenheden die op de achterzijde van V 1268 en V 1269 zijn vermeld.
273
NED.MIJ.V.NIJV.EN HANDEL
1
DECEMBER 19391
KON. 'INST v. INGENIEURSHOOFDCOMMISSIE VOOR DE NORMALISATIE IN NEDERLAND
Symbolen voor grootlteden worden in cursleve letter gedrukt, symbolen voor eenheden t) in staande letter. lJIIzondorFnq. De symbolen voor de Imaginaire eenheid i es / worden cursief gedrukt.
- gLLJ 5< uW ALGEMEENE GROOTHEDEN lengte breedte, dikte hoogte, dikte
straal, kromtestraal rot R
miaellijn
middellijn (siet in formules gebruiken) dofD 0 weglengte golf lengte oppervlak volume _________ v y ruimtehoek, kegelopening relatieve lengteverandering. hoek van afschuiving phaseverschuiving goifgetal 2) golfvector, periodiciteitsvector cirkelgoifgetal 3) - of k cirkelgoifvector . k MASSA massa dichtheid ( = evÏglt atoorn_gewicht - - _. molair gewicht vkte-trheidsmornent. . massa-traagheidsmoment . e A -Y 1 concentratie molaire concentratie °!virs.nmvvrnve'.oyiw. - lractie
(bestanddeelen als gedeelte van een LÇiI.. mengsel; X - 1)
dittusie-cftjciënt - - - - getal van Avogadro - --
atoomnu,nmer 1 Cofy 0 .f' t Z TIJD tijd penode - 7' relaxatietijd ) snelheid Ir hoeksnelheid frequentie, trillingsgetal cirkeifrequentie (rd/sec versnelling «t f of «t a
versnelling van de vrije val
£,. vvI.In.r.I.IaEn eSnierzijo,. Voor symbolen voor grootiteden met belrokklng lol geluid, licht. magnelisme en electrlcltett zie V 1259.
KRACHT kracht P druk trekspanning schuifspanning oppervlaktespanning ______________ elasticiteitsmodulus 5 jiijdingsmodulus 6 compressiemodulus dwarscontractiemodulus coëfficiënt van dwarscontractie wrijvingscoëfficiënt rn II 1 dynamisçhjviscositeit kinernatische viscositeit
moment van een kracht M
weerstandsmoment vlakte-traagheidsmoment -- W / - massa-traagheidswoment .1 ARBEID [energie . jWof arbeid ]k!-of Ltier!nog,n - -
L
rendement S A P - WARMTEtemperatuur (boven hit Ijepunt) absolute temperatuur flneaireuieingscoëfficiënt
kubieke uitzettinscoêfficlênt a
warmtehoeveelheid -. warmtestroo,n
soortelijke'wartnte per eenheid van massa soortelijke warmte per mol - soortelijke warmte bij constanten druk soortelijke warmte bijconslantvolume
- _____
verdarnpingswarmte per eenheid van massa
Q c -- - c,o_Ç c,ofC, r gasconstante per rnoi)_ - -. -.
inwendeenergje entropie /7 - s__- eenergje enth thermische potentiaal - ... mechanisch warmte.-aequivalent warmte-geleidingermooen _ wamte-gg!coëfficiëgt L - f - a -° warmte-doorgangscoëfficiënt k 21 3 .uJ 10 2' i
I
—J tij St 0 t-SYMBOLEN
VOOR
DE PHYSICA 1V 1268
ALGEMEENE GROOTHEDEN - MASSA- TIJD KRACHT. ARBEID - WARMTE
NADCUIS ALLEEN MET SOESTEMM.tNQ VAN DE Hw9F000HMJS5E woon EE NonMaLisurm nu Neoeei.vsa
274
ACHTERZIJDE V 1268
OPMERKINGEN 1. Voor symbolen 000r de wokunde aie V 1267. Voor symbolen voor eenheden vie N 333; bij 000rkeur alleen de Onderstaande!) gebnllknn:
EENHEDEN erikron meter Çerkente meter mv me2 EENHEDEN atmosfeer (1 kg/om!) 5) rediaat teradieul rad EENHEDEN joule Well ooslomb
ij
tarad bert: cainrie Cel kubieke meter kilovalorie kcalphOon -j- gram -- decibel - VOORVOEGSELS ton t P0 secunde - sec stok .!_ pico- 10..21 p_ 1h kaars t (of c( 0000- 10-9 erg tumen fl9 10-6 i6
dyne yne.md toe L. mGl- 10" m evroot) otlIb nb kilo- 10 jrobar t) -i-- ompère A moge- 101
te
ooit V giga- 1 G atmosfeer (760 mm kwik) atm ohm (3(otohm tero- 1012 T
I) Eenhedefl en symbolen in de tabellen genoemd, maar welke nog niet voorkomen OP N 333, zuilen bi) de eerstvolgende
herdruk uan dit eormeaa4olad daaraan toegevoegd worden
t) De nOwton In de eenheid von kracht in het meter-kllngrem(wosna)-SeCundestelsel en In gelijk edo 105 dyne t) 1 mikrobar = 1 dyee/Cmt De naam ,,barye'. welke vroeger noor deze eenheid werd gebruikt, dient te verdwijnen
Het symbool voor de eenheid mikrobar is slechts opgenomen als overgongsmaafreget
t) 1 bar = 106 dynelnml
S) Indien aangegeven moet worden of een druk als absolute druk nt als onerdruk wordt gemeten, dan man dit geschieden door aan het symboot een letter toe te voegen. -bijvoorbeeld- as. 000r absolute, ato noot over-druk.
Hei gollgetol 0 in bepaald door 0
H%t cirkelgultgetal is bepaald door h =
De retaxatletijd 0 van een grootlmeld x in bepaald door 9 = 0 -
3 .9 = Nh. hierin Is * de constante vos Bolt:nrann
Het calorisch arbeldsaequivalent heeft geen eigeo symbool, hier000r wordt geschreven 7. De npociheke warvrrlemeersteod heeft geen eigen symbool, hier000, wordt geschreven -j-. 6 De remperatuor-oeretfenirrgs.COëftiCièst is bepoald donr a = 1. ce
275
NED.MIJ.v.NIJV.EN HANDEL DECEMBER 1939 KON. INST. v. INGENIEURS
HOOFDCOMMISSIE VOOR DE NORMALISATIE IN NEDERLAND
0
t Symbolen voor grootheden worden in cursieve letter gedrukt, symbolen voor eenheden t) in staande letter.
n Uitzondering: De symbolen voor de imaginaire eenheid i en j worden cursief gedrukt.
0 u w CJ) 0< o 3 -,
S 0 ee zie opmerkingen 2 en 3 achterzijde.
Voor symbolen voor algemeene grootheden en vuur grootheden met betrekking lul massa, tijd, kracht, arbeid en warmte zie V 1268.
SYMBOLEN VOOR DE PHYSICA v
1269
w /Y' GELUID LICHT - MAGNETISME - ELECTRICITEIT
I.I.D.:003
- Nnoeurc ALLEEN MET TOESTEMMING VAN DE HoOrpcoMwssIE VOOR DE NORMAUSATIE IN NEDERLAND LICHT lichthoeveelheid Q lichtstroom lichtsterkte / verlichtingssterkte helderheid 8 subjectieve helderheid 1) objectieve helderheid 1) absorptiecoëfficiënt 2) a absorptiefactor 2) a extinctiecoëfficiënt 2) doorlatingsfactor 2) reflectiecoëfficiënt 2) retlectiefactor 2) spektrale -ooggevoeligheid 1f) emissiecoëfficiënt e IiOhtrendemen llchtsneiheid - c brekingsindex brandpuntsafstand
A
mechanisch lichtequivalent GELUID oogenblikkelijke geluidsdruk effectieve geluidsdruk p 4 0 geluidsenergie.dichtheid geluidsintensiteit = energiestroomdichtheid E / akoustisch vermogen eid cL
akoustische eid u impedantie Z ELECTRICITEIT electrische potentiaal V electromotorische krachtelectrische veidsterkte Fot if
hoeveelheid lading
volumedichtheid van de lading________
• oppervlaktedichtheid van de lading a electrische flux diëlectrische verplaatsing D Capaciteit diëlectrische constante 'stroomsterkte -- - / of / stroomdichtheid - conductantie admittantie eléctrisch geleidingsvermogen weerstand R reactantie X impçdantie 2 specifieke weerstand
coëfficiënt van zelfirductie 1
coëfficiënt van wederzijdsche inductie Mof 1,,
Iek-coëfficiënt o of t
koppelcoëfficiënt
aantal windingen 1V
aantal phasen
werkzaam (actief) vermogen
blind vermogen QofP,
schÏFnbar vermogen SofP
elementairlading e phasehoek ______ MAGNETISME magnetomotorische kracht magnetische veldsterkte coërcitief kracht 11 H. magnetischeiÏ magnetische inductie rernanentie B
intensiteit van de magnetisatie J
permeabiliteit
ACHTERZLJDE V 1269
1. Dezelfde opmerking als no. 1 V 1268
a De objectieve of physische helderheid wordt gemeten in wutt/sLerad cnn?. De subjectieve of visueele in c/mZ of in sb.
3. Dcce grootheden 0, f en fi eijn gedeitnieerd Bij een verstrooiend filter conder obsoeptie geldfi door de colgende cergelijkingen.
0 + c + p = 1 =
= Bij een 0050rbeerend en censf,00lend fitte, gntdb
• oe+,
Bij een absorbeerend filter zonder verstrooring - geldt
276
SCHOOLBOEKEN.
Er werd ons gevraagd eens een )ijst op te maken van school-boeken, die bij het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs gebruikt worden. Hieronder geven we de namen van de schrijvers, zonder hun titel; de naam is voldoende; men gebruikt Haalmeijer, Smits, vervangt Van Drooge door Beth en Van Loo, enz.
Ook geven we de titels van de boeken niet en als een zêlfde schrijver een beknopt en een meer uitgebreid leerboek heeft, noemen we zijn naam één keer. Evenmin worden de vraagstukken-verzamelingen als zodanig aangegeven.
De lijst zal wel niet geheel volledig zijn, maar veel zal het. niet schelen. Ook worden genoemd schrijvers, die boeken voor bijzondere soort school hebben gemaakt, b.v. voor H.B.S. A, Middelbare Technische School,. Zeevaartschool, beide voor zover het wiskunde betreft; allicht zullen er op deze scholen meer boeken zijn, dan wij hieronder noemen. Namen van latere bewerkers zijn weggelaten; dus b.v. niet Smits—De Van maar enkel Smits.
Algebra.
Alders.
Birkenhger en Machielsen Blonet, Drewes en Yntema. Derksen en De Laive. Van Eek en Van der Harst. Elte en Roggeveen.
Van Heek en Van Beek. DeJong en De Groot. Meij er.
Muller en Abram. Rutgers en Pekelharing. Smits.
Stoelinga en Van Tol. Van Thijn.
Meetkunde.
Alders.
Appeldoorn en Heimel. Birkenhtger en Machielsen. Ten Dam en De Jong van
Arkel.
Derksen en De Laive. Van Drooge.
Van de Griend. Haalmeijer.
Van Heek en Van Beek. Hopster en Van Geidrop. Van de Kruk.
Meijer. Molenbroek.
278 Algebra.
Van Veithoven en Köster. Visser (M.T.S.).
Vredenduin en Van Haselen. Wansink. Wisselink. Wijdenes. Driehoeksmeting. Alders. Baart en Meulenbeld (M.T.S.). Bartelings en Tjepkema (Zvk). Derksen en De Laive. Van Dinter. Van de Griend. De Jong en De Groot. Kijlstra en Vreeswijk. Molenbroek. Muller. Ouwehand en Ruben. Van Overeem. Sakkers. Schuh en Vollewens. Teixeira de Mattos. Van Thijn.
Stoelinga en Van Tol. Van Velthoven.
Meetkunde.
Muller.
Van der Neut en Holwerda. Ozi nga. Reindersma. Robijns. Ruben en Ouwehand. De Rijcke. Sakkers. Schogt. Smits.
Stoelinga en Van Tol. Van Thijn.
Van Veithoven. Versluys.
De Vries en Janssen van Raay. Walstra en Van Daifsen. Wisselink. Wijdenes; Stereometrie. Abrams. Alders. Beth. Beunders en Ploeg. Derksen en De Laive. Van Dijk en Vos (M.T.S.). Van de Griend.
Molenbroek.
Van der Neut en Holwerda. Ouwehand en Ruben. Van der Paardt en Abram; Plette.
Reijnders (M.T.S.). Rob ii ns.
Stoelinga en Van Tol. Ten Dam en De Jong van
Arkel. Van Thijn.
279
Driehoeksmeting. Stereometrie.
Vergoossen en Bruna. Van Veithoven. Verrijp. Versluys.
Versluys. Visser (M.T.S.). G. de Vries. Vredenduin. P. L. de Vries (Zvk). Wijdenes. Wij denes.
Beschrijvende Meetkunde. Rekenen.
Alders. Bunk.
Beunders en Ploeg. Derksen en De Laive. Derksen en De Laive. Gonggrijp.
Deuss. Van Haselen.
Van Drooge. Van Heek en Van Beek. Gerretsen. Jager Bruining en Pijl. Gonggrijp en Lepoeter. Koops.
Van de Griend. Bij de Ley. J ongkees. Van Overeem. Kiers en Dijkshoorn. Ozinga.
Kors. Springer en Looman (M.T.S.). Niessen. Van Thijn.
Piets en Robijns. Van Veithoven. Rutgers. Vreeswijk en Dusaar. Van Thijn. De Vriçs.
Versluys. Wijdenes. Wansink. Wijdenes. Bovendien voor de M.T.S. Boom. Felix. Godefroy en Loman. Visser. Vrij landt.
Tafels in 5 dec. Tafels in 5 dec.
Derksen en De Laive. Van Pesch. Gonggrijp. Versluys. Van der Harst. Wichers. Noordhoff's Schooltafel. Wijdenes.
In 4 dec.
Beth.
Derksen en De Laive. Dommisse en Kobus. Hallo en Van Eek. Noordhoffs Tafel. Ouwehand en Ruben. Van Velthoven. Rentetaf eis. Van Overeem. Speerstra.
Wijlenes en Van de Vliet.
Analytische Meetkunde. De Jong. Looman (M.T.S.). Reynders en Vrijlandt (M.T.S.). Analytische Mee*kunde. Schrek.
Van Thijn en Reindersma. De Vries.
Mechanica.
Beth en Van Loo. Doornenbal en Nijhoff. Van Drooge.
Van den Ende. De Jong. Molenbroek. Muller en Abram. Rutgers en Pekelharing. Schogt. Schuh en Trotsenburg. Schuh en Vollewens. Staring. Vega.
•Het totale aantal leerlingen bedroeg op 15 September 1939
Aantal scholen en leerlingen bij het Voorbereidend Hoger en Middelbaar Onderwijs op 15 September 1939. 1)
Aantal leerlingen Sehoolsoorten in de Gymna- in de H. B. S,-klassen
in de in de klassen in de Han-
siumklassen 1, 2 en 3 2) 4B en 5B 3 ij 4A en 5A 4) onderbouw M. M. S. deisklassen T 1 Otaa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 9155(2437)) - - - - - - 9155(2437) (met 3-j. cursus 5 - 1099(386) - - - - - 1099(386) ) met 5-j. c.-B . 42 - 5930(1133) 2702(482) - - - - 8682(1015) met 5-j. c.-A . 14 - 2491(633) - 1264(294) - - - 8755(927) met5-j.c.-AB. 74 12843(2590) 4051(524) 2005(643) - - - 18899(3757) fycca
z. zonder afd. Midd.
GTymnasia...
Meisjessch. . met afd. Midd. Meisjesseh
44 12 J 8528(1694)8) 2242(761) 2302(526) 913(396) 6094(2638) 623(623) - 15702(6638) Iidde1bare Meisjesseholen 2. zonder afd. H.B.S. . 14 - - - - - 1568(1568) - 1568(1588) . met afd. H.B.S. . . 8 - 157(175) 276(276) - 781(781) 612(612) - 1826(1826) Etandelssc/jolen
iet 8-jarige cursus . . . 8 - - - - -
- 686(129) 686(129) et 4-jarige cursus . . . 9 - - - -
- 1523(388) 1523(333)
Uandelsscholen, waarvan
ie laagste klassen samen- vallen met de overeenkom- ;tige klassen van een
1 - - - - - - 55(6) 55(0) 1 - - - - - 2. H.B.S... . Lyceum ... Handelssehool . . . . 2 - - - - - - 106(21) 106(21) Totaal . . . 12861 12683(4131) 24762(5660) 9331(1808) 4182(1333) 6875(34i9) 2803(2803) 2405(489) 63041(19643) De tussen () geplaatste cijfers hebben betrekking op de aantallen vrouwelijke Ieerlii2gen en zijn in de voorafgaande getallen begrepen. Voor H.B.S.-afd. van Lycea: klasse 3 of klassen 2 en 3; voor H.B.S.-afd. van Middelbare Meisjesscholen: klasse 3.
Voor H.B.S.-afd. van Lycea en Middelbare Meisjesseholen bovendien klasse 6B. Voor H.B.S.-afd. van Lycea bovendien klasse 6A (1 school).
De Sde en Ode ldassen tellen samen 2601(675) leerlingen, waarvan 1319(432) a-leerlingen en 1282(243) /3-leerlingen zijn. De Sde en Ode klassen tellen samen 1564(711) leerlingen, waarvan 907(490) ce-leerlingen en 657(221) /3-leerlingen zijn.
BOEKBESPREKINGEN.
Logarithmen-, rente- en discontotafels. Uitgave E van Noordhoff's Log.- en rentetafels. Door P. 'Wijdenes en Dr. P. G. van de Vliet. Derde druk. P. Noordhoff N.V.
1940. Oroningen.—Batavia. Prijs met hulpboekje f3,25.
De eerste druk van dit boek heeft het licht gezien in 1925, de tweede in 1932. In den thans verschenen derden druk is wederom het hulp-boekje met de noodige verklaringen en voorbeelden los bijgevoegd, zoodat het gebruik daarvan op een examen desgewenscht kan worden verhinderd. Dit hulpboekje, dat geen actuarieele symbolen bevat, heeft in de nieuwe uitgave geen noemenswaardige wijzigingen ondergaan. Ook de tafels zelf bleven onveranderd, behoudens de uitbreiding van de annuï'teitentafel V tot intervallen van ¼ % van den rentevoet en behoudens de vervanging van het symbool cursieve s door schrijf-letter , een verduidelijking, aangebracht in navolging van het tijd-schrift Het Verzekerings-Archief. Dat deze gewijzigde symbolen niet, zooals de andere, aan de hoofden der tafels, maar alleen op de titel-pagina's daarvan zijn vermeld, heeft ongetwijfeld slechts een druk-technische oorzaak 1 ). Een groote verbetering in het werk is, dat de symbolen thans ook in de inhoudsopgave voorkomen. Bovendien is aldaar thans ook een onduidelijkheid weggenomen, welke in de vorige drukken bestond ten aanzien van de tafels V en X. Deze werden vroeger zonder vermelding eener formule respectievelijk Annuîteiten-tafel bij achterafbetaling van intrest en An.nuïteitenAnnuîteiten-tafel bij vooruit-betaling van intrest genoemd, hoewel het verschil toch niet alleen in de betalingstijdstippen van den intrest, maar ook in die der aflossingen school. In de nieuwe uitgave is de naam van tafel X door een formule vervangen en daarmede is voortaan ieder misverstand uitgesloten. Het werk is zoowel op de kantoren als bij het onderwijs reeds zoodanig ingeburgerd, dat het geen verdere aanbeveling behoeft.
M. van Haaften.
1) Inderdaad; het is stereotiep-druk en om die enkelé letters LJ
INGEKOMEN BOEKEN. Van P. NOORDHOFF, Groningen.
P. WIJDENES, Algebra voor M.UL.O. 1 31e druk . . geb. f1,40
Algebra voor M.U.L.O. II A 12e druk.. geb. f 1.50
Logarithinenfafels C 3e druk ... f 0,40
F. HARKINK, Kivadraattafel van de getallen 0,012 tot 199,992
en van de wortels \/0,0001 tot V99996,0001, 83 blz. f1,90 Prof. Dr. Hk. DE VRIES, Historische Sfudiën, deel III . . f 3,75
geb. f 4,50 Prijs van de drie delen, tezamen besteld f 9,— geb. f 11,- Van den schrijver:
Dr. J. VAN KUIK, Continue iteratie. Academisch proefschrift. Van J. B. WOLTERS, Groningen.
DERDE INTERFACULTAIRE LEERGANG: Wegen der
Wetenschap. Uitgangspunt, Richting en Doel. 136 bi. f1,90 Zeven artikelen van de professoren
POLAK, De Wijsbegeerte.
J. 0 VAN DER CORPUT, De Wiskunde.
J. H. VAN MEURS, De wetenschap der Geschiedenis. F. ZERNIKE, De Natuurkunde.
W. J. AALDERS, De Theologie. J. SIRKS, De Biologie.
J. M. N. KAPTEYN, De Philologie. Van GEORGE THONE, Liège Conférences.
PAUL MONTEL, La géométrie des polynômes.
J. G. VAN DER CORPUT, Sur la théorie additive des nombres. ELI E CARTAN, Su r quelques familles remarquables •d'hypersurfaces. J. A. BARRAU, La cinématique dans le groupe des similitudes
du plan.
S. MANDELBROJT, Les fonctions indéfiniment dérivables.
HENRI LEBESGUE, Les n-sectrices d'un triangle: extension d'un théorème de Frank-Morley.
W. VAN DER WOUDE, Sur l'application du ,,théorème fondamental de l'algèbre" de Noefher.
OTTO BLUMENTHAL, La géométrie des polynômes binomiaux. Verder een aantal Communications (mededelingen) van Germay, Gillis, Van der Lijn, Teghem, Lorent, Simenart, Burniat, Rozet, Linsman, Derwidué, Lepage, Kraitchik, Errera; 1-Iirsch, Libois et .Defrise, Gautier, Godeaux, Lemoine.
P. WIJDENES
Meetkundige Vraagstukken
met de bewijzen van de stellingen en een aantal uitgewerkte voorbeelden voor het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs.
deel 1 100 bladzijden, met 141 figuren - gecartonneerd met graden- boog en twee driehoeken ...fl.40
Volledige behandeling van 20 vraagstukken 4 werkstukken en 3
meet-kundige plaatsen.
Inhoud: Inleiding. - Hoeken. - Evenwijdige lijnen. - Driehoeken. - Con-gruentie van driehoeken. - Werkstukken. - Vierhoeken. - Veelhoeken. - De cirkeL - Meetkundige plaatsen.
deel II - 166 bladzijden, met 194 figuren - gecartonneerd . . f 2.40 Volledige behandeling van 26 vraagstukken. 11 werkstukken en 8 meet-kundige plaatsen,
Inhoud: Oppervlakte. - Verhouding en evenredigheld van lijnstukken. - Ver-menigvuldiging en gelijkvormigheid. - De rechthoekige driehoek. - De scheef-hoekige driehoek. - Meten van hoeken door cirkelbogen. - Lijnstukken in een cirkel. - Regelmatige veelhoeken. - De cirkel. - Examenopgaven.
In de bespreking van dr Dljksterhuis treffen we aan: Het denkbeeld der methode is, dunkt mij in 't kort samen te vatten: handhaving van het beginsel der Eucli-dische meetkunde; opruimlng van veel, wat daarin geen ander recht van bestaan heeft dan een soms zeer toevallige traditie; Invoering van tal van verbeteringen in de methodiek, die de moderne belangstelling in elementair wiskunde-onderwijs als wenselijk heeft doen zien en bovenal: sterke verhoging van de zeliwerkzaamn-heid der leerlingen.
Leraren, die de Meetkundige vraagstukken op hun school gebruiken, kunnen bij den uitgever of bij den schrijver gratis een ex, bekomen van Dr P. MOLENBROEK,
LEE RBOEK DER VLAKKE MEETKUNDE
bewerkt door P. WIJDENES 8e druk 640 blz, 590 lig. f11,50
Meetkunde van de Ruimte
een leerboek voor Stereometrie en Beschrijvende Meetkunde voor het middelbaar onderwijs
door Dr. H. J. E. BETH, Directeur van de R.H.B.S. te Amersfoort. Prijs van het complete boek, gtoot 184 pag.'s met 189 lig. geb. f2,90 Het enige schoolboek, waarin de stereometrie en de beschrljvende meet-kunde tot én geheel zijn verwerkt.
P. NOORDHOFF N.V. TE GRONfNGEN EN BATAVIA
kJW cOLA
LJ
Pzijs per gebonden deel
.
f
2.251- d1e d II - dk lilUl - 7de drk
Klassen 1, 2, 3 . . . deel 1, TX
Klassen 4B, 5B . . . deel III voor de klassen 4A en 5A Wijdenes en Van de Vliet, Algebra voor H.B.S. A
GYMNASfflM EN LYCEUM
Klassen 1, 2, 3, 4. . deel 1 en IIKlassen 5i3 en 6 . . deel III Klassen 5e en 6e . . . deel 111e (f 0.80) Voor gebruikers antwoorden gratis en franco, benevens de uitwerkingen van de log. vraagstukken in 4 en 5 decimalen.
Wie een vraagstukkenboek met korte theorie verldest boven een leerboek, neme inplaats van N. S. A., P. W IJ D E N E S, Algebraische vraagstukken 1, II, III
Uit het voorbericht van de 10e druk van WIJDENES en
DE LANGE Vlakke Meetkande IL
,,Het hoofdstuk over de oppervlakte van vierhoeken en van de driehoek is over-gebracht naar het eerste deel (reeds in de 9e druk). Deze stof, waarvan het grootste deel al van de lagere school bekend is, is veel eenvoudiger dan die over vermenigvuldiging, over evenredigheden van lijnstukken en dan het hoofdstuk over berekening van allerlei lijnstukken (toepassing van algebra op figuren). Bovendien kan de voorafgaande behandeling van de oppervlakken steun geven bij verschillende bewijzen.
Een eerste eis is een behoorlijke opklimming in moeilijkheid en men voldoet aan die eis, als men de oppervlakte laat voorafgaan."
Dat Wijdenes' inzicht in dezen door velen wordt gedeeld en steeds meer door-dringt, bewijst het toenemende gebruik van:
WIJDENES en DE LANGE Vlakke Meetkunde 1 11e duk II l©e druk
WIJDENES Beknopte Meetkunde 1 9n dsk II 7e dr Meetkuncie voor M.U.L.O. 1 14e &ak ii Se Planimetrie 1 en II 2e dsk
en RITCH1 Vlakke Meetkunde voor !ndische scholen 1
1e
11 ieetkundige Vraagstukken : ez ::
MOLENBROEK Leerboek der Vlakke Meetkunde Ga drnk dat behalve als studieboek mede bedoeld is als handleidIng voor de leraren bij het middelbaar en gymnasiaal onderwijs.
P. NOORDHOF N.V. TE GRONINGEN EN BATAVIA.
