Asymptotisch goede algebraische codes
Citation for published version (APA):
van Lint, J. H. (1975). Asymptotisch goede algebraische codes. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7509). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1975 Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde
Memorandum 1975-09 september 1975
ASYMPToT1SCH GOEDE ALGEBRAISCHE CODES
door J.H.van Lint
Technische Hogeschool Eindhoven Onderafdeling der Wiskunde Postbus 513, Eindhoven.
ASymptotisch goede algebraische codes
J. Inleiding
In Justesen's constructie van asymptotisch goede algebraische codes
[1] wordt uitgegaan van een woordlengte N • 2m - J en information rate
m
r • KIN. In de eerste stap wordt met behulp van GF(2 ) een RS code
gecon-m
strueerd (over GF(2
»
met minimum afstand D • N - K + I. In de tweede stap wordt iedere letter a. van een codewoord door (a.,aja.) vervangen, en welJ J J
opgevat als rij van 2m elementen van GF(2). Zo wordt de nieuwe woordlengte n· 2mN, alfabet GF(2), en information rate R· iK/N bereikt.Pointe.van de tweede stap is dat een 2m-tal (a.,aja.) dat niet uit 2m nullen bestaat
J J
eenduidig j bepaalt. De rest is rekenwerk.
Ein van de bezwaren tegen het werk was het feit dat in beide stappen van de constructie een primitief element van GF(2m) nodig is. Daar m va-riabel is vond men dit proces niet constructief. In het artikel komt een vage opmerking voor over een suggestie van R.J. McEliece om dit bezwaar op te heffen. We zullen dit idee hier uitvoeren.
m
2 ... De keuze van.GF(2 )
a
Lemma. 313+ J II (23 + 1) •
Bewijs. (i) Voor
a •
0 en 1 is de bewering direct duidelijk.Corr.
t 313
(ii) Stel 3 II (2 + I). Ui t
38+1 313 13 13
(2 + 1) • (2 + I){ (23 + J )(23 - 2) + 3} voIgt, als t ~ 2.
8+1
3 t+ 1 II (23 + I) •
Ais m de orde van 2 (mod 31) is, dan is m • ~(3 R. )
=
2.3 R.-) •Bewijs. Uit 2a
=
1 (mod 3) volgt a=
0 (mod 2). Dus is m - 2s. Dan is duso
2
-Voor deze m bevat GF(2m) een primitieve 31-de eenheidswortel
t
(Euler-.Fermat). Bet minimaalpolynoom vant
is blijkbaar2 4 2m-1
(x + t) (x + ~ ) (x + t ) .•. (x + ~ ) , een polynoom van de graad m. Merk op dat
...
Uit het voorafgaande volgt dat de laatste factor (rechts) ippeducibeZ is. In het vervolg is m
=
2.31- 1 en GF(2m) de verzameling polynomen van graad< mover GF(2) met optelling en vermenigvuldiging mod g(x). waarbij
2.31- 1 31- 1
g(x) ;= x + x + I.
3. De "outer-code"
Een m-tal information-bits (iO,i1, •••• i
m_1) uit GF(2). vatten we op
als het element iO + iJx + ••• + im_1xm-1 € GF(2m). Aan K op elkaar volgende
~ta11en. zeg aO.al ••••• ~_1 voegen we toe het polynoom a(Z) := a
O +a1Z + ••• GF(2m) zijn.
K-l b" d 1 h l' h
+ ~_lZ • waar ~J e a
i nu e ementen van et 1C sam
V oor J -' 1 2 2m ) 1 • , •••• - aat J -. L' ~m-0 J E:, 2i en J . ( ) x
:-~- ~
Zo doorloopt j(x) de elementen ~ 0 van GF(2m). Deze
z:
m-I ~. ' O E . X . ~ isubstitueren we
achter-m
eenvolgens voor Z in a(Z). Zo ontstaat een rij van N := 2 -I elementen van GF(2m). Zo hebben we dus een lineaire code met rate KIN over GF(2m) gemaakt. Daar a(Z) graad S K-) heeft. heeft dit polynoom S K-J nulpunten in GF(2m) , d.w.z. ieder codewoord ~ 0 heeft gewicht D ~ N-K+I. Biermee is de eerste stap volledig constructief.
4. De "inner-code"
Is c. de j-de letter van een codewoord van de outer code, dus c. een
J J
polynoom van graad S m-J, en j(x) als boven, uan is
(c., j(x)c.) ,
- 3 - .
waarbij vermenigvuldiging als steeds mod g(x) is, op te vatten ala een 2m-tal O'en en I'en dat de eigenschap heeft die wezenlijk was voor Justesen's constructie, te weten: als c. ; 0 dan is j eenduidig bepaald
J
door het 2m-tal (deling mod g(x». Ook deze stap is nuvolledig con-structief.
Literatuur
[IJ J. Justesen, A Class of Constructive Asymptotically Good Algebraic Codes, IEEE Trans. on Inf. Theory, Vol. IT 18, 1972, 652-656.
