Euclides, jaargang 78 // 2002-2003, nummer 5

februari

2003/nr.5

jaargang 78

REACTIES OP

‘RUIMTE EN KEUZES’

OMZIEN IN

VERWONDERING

5

februari 2003 J

AARG

ANG 78

Redactie

Bram van Asch Klaske Blom

Marja Bos, hoofdredacteur Rob Bosch

Hans Daale

Gert de Kleuver, voorzitter Dick Klingens, eindredacteur Wim Laaper, secretaris Elzeline de Lange Jos Tolboom

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar: Marja Bos

Mussenveld 137, 7827 AK Emmen e-mail: redactie-euclides@nvvw.nl

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/ formules op juiste plaats of goed in de tekst aangegeven.

• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.

• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren www.nvvw.nl Voorzitter Marian Kollenveld Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk tel. 070-3906378 e-mail: M.Kollenveld@nvvw.nl Secretaris Wim Kuipers Waalstraat 8, 8052 AE Hattem tel. 038-4447017 e-mail: W.Kuipers@nvvw.nl Ledenadministratie Elly van Bemmel-Hendriks De Schalm 19, 8251 LB Dronten tel. 0321-312543

e-mail: ledenadministratie@nvvw.nl

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpers foto omslag Peter Tahl, Groningen produktie TiekstraMedia, Groningen druk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie verenigingsjaar 2002-2003 Leden: €40,00

Gepensioneerden: €25,00 Studentleden: €20,00 Leden van de VVWL: €25,00 Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00 Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden geven zich op bij de ledenadministratie.

Opzeggingen vóór 1 juli. Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgend nummer.

Voor personen: €45,00 per jaar

Voor instituten en scholen: €120,00 per jaar Betaling geschiedt per acceptgiro.

Opzeggingen vóór 1 juli.

Losse nummers op aanvraag leverbaar voor

€15,00.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending: Leen Bozuwa, Merwekade 90 3311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891

e-mail: lbozuwa@hetnet.nl of Freek Mahieu, Dommeldal 12 5282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68 Euclides is het orgaan van de Nederlandse

Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. ISSN 0165-0394

V a n d e r e d a c t i e t a f e l

[ Marja Bos ]

Ruimte laten, keuzes bieden?

In dit nummer uiteraard aandacht voor de herinrichtingsvoorstellen in het rapport ‘Ruimte laten en keuzes bieden in de tweede fase havo en vwo’. Onderwijsbonden en organisaties van schoolleiders en besturen lijken heel tevreden - bèta-docenten zijn het voor het merendeel beslist niet. Vanaf blz. 258 vindt u het commentaar van NVvW-voorzitter Marian Kollenveld op deze voorstellen. Nadere informatie over de plannen is te lezen op blz. 214 van dit nummer. Natuurlijk kunt u ook het rapport zelf raadplegen, te downloaden vanaf de website van de Vereniging

(www.nvvw.nl).

Inmiddels zijn de bèta-krachten zich aan het bundelen om vóór 10 maart een duidelijk signaal af te geven aan het ministerie: ‘Dit zijn geen goede

plannen!’

U kunt zich uiteraard dagelijks op de hoogte stellen van de actuele stand van zaken en de laatste ontwikkelingen via onder meer www.nvvw.nl; uw actieve inbreng in de discussie is daar eveneens zeer welkom.

Omzien in verwondering

Het hoofdartikel van dit nummer, ‘Omzien in verwondering’, is een waardevol historisch overzicht van de hand van Edu Wijdeveld. Hij beschrijft de onstuimige ontwikkelingen in het Nederlandse wiskunde-onderwijs gedurende de jaren zestig, de tijd van de oprichting van de CMLW (1961, Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde) en het IOWO (1971, Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs, de voorganger van het huidige Freudenthal instituut). Wijdeveld houdt tevens een pleidooi voor nader sociaal-cultureel historisch onderzoek op dit terrein.

Maar dit nummer bevat meer historie.

Anne van Streun blikt terug op beleid, leerplan en lespraktijk van het wiskundeonderwijs rond 1964. Hoe werd in die tijd het denken bevorderd? In ‘40 jaar geleden’ leest u over de toenmalige opvattingen van de

beroemde Russische wiskundige Kolmogorov over het beroep van wiskundige.

De bijdrage ‘Het mondeling herleeft’ van Frank van den Heuvel en Klaske Blom laat zien dat een toetsvorm uit vroeger tijden, het mondeling, juist nu weer in het moderne Studiehuis adequaat ingezet kan worden.

Oproep ‘Bijvoegsel Nieuw Tijdschrift’

De redactie van Euclides heeft het initiatief genomen tot archivering van oude jaargangen. Dankzij uitgeverij Wolters-Noordhoff heeft de Vereniging inmiddels de beschikking gekregen over alle door WN uitgegeven

jaargangen - met uitzondering van de eerste drie, toen Euclides nog als

‘Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde’ door het leven ging.

U begrijpt dat wij nog op zoek zijn naar die historische jaargangen. Is er wellicht een lezer die deze in zijn of haar bezit heeft en daar afstand van zou willen doen ten behoeve van de Vereniging? U zou ons heel gelukkig maken! Reacties graag naar redactie-euclides@nvvw.nl

213

Van de redactietafel [Marja Bos] 214

Voorstellen herinrichting Tweede fase [Marja Bos, Gerard Koolstra] 217

40 jaar geleden [Martinus van Hoorn] 218

Omzien in verwondering [Edu Wijdeveld] 226

‘t Denken bevorderen [Anne van Streun] 228

Het mondeling herleeft

[Frank van den Heuvel, Klaske Blom] 231

Wiskunde in vazen [Rob Bosch] 232

Wiskundeboeken voor een pabo in Zambia [Ger Jongeling]

236 Energizers [Ingrid Berwald] 240

Vier stompe hoeken om een punt, gaat dat? [Leon van den Broek]

243

Boekbespreking 244

Een didactische keuze of een blunder? [Ton Lecluse, Sil van den Hoek] 248

Een reis naar Polen [Irene Dalm-Hof, e.a.] 254

Boekbespreking 256

Eerste Reehorstconferentie wiskunde [Elzeline de Lange]

257

Aankondigingen

258

Verenigingsnieuws: Van de bestuurstafel [Marian Kollenveld] 260 Rectificatie 262 Recreatie [Frits Göbel] 264 Servicepagina

Aan dit nummer werkten verder mee: Jan Smit en Sam de Zoete.

Rectificatie nummer 78-4

In de inhoudsopgave moet bij pag. 195 als auteursnaam staan: Adri Treffers.

Voorstellen voor havo-wiskunde

Het rapport stelt voor, straks slechts twee in plaats van vier wiskundevakken aan te bieden: wiskunde EM en

wiskunde NT, elk met een studielast van 320 uur.

Voor het profiel C&M is wiskunde niet meer verplicht. C&M-leerlingen kunnen, indien gewenst, in het vrije deel wiskunde EM kiezen.

Voor het profiel E&M wordt de studielast wiskunde EM (of wiskunde NT) straks iets groter dan voor wiskunde A12 nu (+14%), terwijl mogelijk enige beperking in het programma gaat plaatsvinden. Anderzijds is het goed mogelijk dat voor het Centraal Examen ‘geschrapte’ onderwerpen weer terugkomen.

In het profiel N&T verdwijnt het deelvak wiskunde B2 en wordt de verplichte studielast wiskunde NT teruggebracht van 440 naar 320 uur (-27%). Daarmee is het gelijk aan de huidige studielast voor wiskunde B1. Het programma van wiskunde NT zou in hoofd-lijnen dat van het huidige wiskunde B1 kunnen worden, mogelijk met beperkingen, maar ook mogelijk met onderwerpen die nu voor het Centraal Examen zijn geschrapt.

In het profiel N&G kunnen leerlingen in plaats van wiskunde NT ook wiskunde EM kiezen, en omgekeerd: in het profiel E&M kan wiskunde NT gekozen worden. (Dit kan overigens alleen als de school hiervoor kiest; de nadruk in het rapport wordt steeds gelegd op school-eigen keuzes.)

Voorstellen voor vwo-wiskunde

Er komen drie profielvakken wiskunde, elk met een studielast van 480 uur, en er zijn plannen voor een nieuw (keuze)vak ‘voortgezette wiskunde’ (studielast 440 uur).

Voor de CM-leerlingen wordt wiskunde A1 (360 slu) vervangen door wiskunde CM (480 slu; +33%),

Inleiding

Op 9 januari 2003 stuurde minister Van der Hoeven (OCenW) het rapport ‘Ruimte laten en keuzes bieden’ ter informatie naar de Tweede Kamer. Het rapport bevat voorstellen voor de herinrichting van de Tweede Fase havo/vwo met ingang van 2005 of (waarschijnlijk) later. Voordat de definitieve voorstellen naar de Kamer gaan, krijgt ‘het veld’ tot 10 maart a.s. de gelegenheid om erop te reageren. U kunt het volledige rapport downloaden van www.minocw.nl of via onze eigen website,

www.nvvw.nl. Ook andere informatie over en reacties op

de voorstellen zijn te vinden op (of via) www.nvvw.nl. Hieronder vindt u allereerst een beknopte beschrijving van een deel van de voorstellen, vervolgens een kort commentaar, en uiteindelijk nog enkele toelichtende antwoorden van het ministerie op de eerste vragen vanuit de NVvW.

Verderop in dit nummer, op de groene Verenigings-pagina’s, vindt u een bijdrage van NVvW-voorzitter Marian Kollenveld over de voorstellen.

Bijstellingen, algemeen

Allereerst een aantal meer algemene bijstellingen die in het rapport voorgesteld worden:

- Meer keuzevrijheid, bewerkstelligd door een kleiner gemeenschappelijk deel en door een beperking tot drie vakken per profieldeel.

- Leerlingen kiezen twee vakken in het vrije deel. - De bovenbouw havo/vwo moet beter organiseerbaar worden: minder vakken door opheffing van het systeem van deel- en heelvakken, meer vakken van ongeveer gelijke omvang.

- Op het havo is een tweede moderne vreemde taal niet langer verplicht. Op het vwo wordt een tweede moderne vreemde taal verplicht als heeltaal i.p.v. als deeltaal (480 in plaats van 160 slu); de derde deeltaal (160 slu) is niet langer verplicht. Voor sommige groepen leerlingen (dyslectici, allochtonen, bètagerichten) kan de school de tweede moderne vreemde taal vervangen door aardrijkskunde. - ANW wordt binnen het gemeenschappelijk deel alleen gevolgd door M-profielers, maatschappijleer alleen door N-profielers.

- Er worden voor het vrije deel van het vwo twee

nieuwe keuzevakken ontwikkeld, voortgezette natuurwetenschappen en voortgezette wiskunde. - In de slaag/zakregeling komt de compensatieregeling weer terug.

VOORSTELLEN HERINRICHTING

TWEEDE FASE

Over ‘Ruimte laten en keuzes bieden’

[ Marja Bos en Gerard Koolstra ]

gebaseerd op wiskunde A1 maar mogelijk uitgebreid met meer culturele/maatschappelijke en/of ‘verbale’ elementen.

Het wiskundeprogramma voor het profiel E&M krimpt in van 600 (wiskunde A12) naar 480 slu (wiskunde EM of wiskunde NT, -20%).

Het wiskundeprogramma voor het profiel N&G krimpt in van 600 (wiskunde B1) naar 480 slu (wiskunde NT

of wiskunde EM, -20%).

In het profiel N&T verdwijnt het deelvak wiskunde B2 en wordt de verplichte studielast wiskunde

teruggebracht van 760 (wiskunde B12) naar 480 uur (wiskunde NT, -37%).

Ook hier wordt dus éénzelfde wiskundevak voorgesteld voor de beide N-profielen. In het profiel N&G kunnen leerlingen in plaats van wiskunde NT trouwens ook wiskunde EM kiezen, en omgekeerd: in het profiel E&M kan wiskunde NT gekozen worden.

Uit het rapport: ‘Voor het vak wiskunde in het vwo

geldt, dat daarvoor 480 studielasturen

beschikbaar worden gesteld. Dat geldt voor alle vier de profielen. Voor de profielen N&T en N&G (en E&M) is dat minder dan in de huidige situatie. In de huidige profielen heeft wiskunde namelijk 760 (NT) en 600 (NG en EM) studielasturen. Dat is zeer veel meer dan alle andere vakken. Alles afwegende zijn daarvoor onvoldoende redenen. Voor veel leerlingen die voor het overige redelijke resultaten hebben (ook in de

natuurwetenschappelijke vakken) is wiskunde een obstakel, terwijl het dat niet zou moeten zijn. Vanuit de wereld van de natuurkunde en de scheikunde wordt opgemerkt, dat de zwaarte van wiskunde leerlingen belet om een bètaprofiel (en dus

natuur-wetenschappelijke vakken) te kiezen. Met 480 studielasturen en een daaraan aangepast examenprogramma krijgt wiskunde de proporties van een (ander) ‘groot’ vak. Daardoor kan zowel de kwaliteit als de haalbaarheid van het wiskundeonderwijs (het vak is verplicht voor álle leerlingen in het vwo!) beter worden gediend.

Er is echter ook een ander aspect. Terwijl enerzijds wiskunde voor veel leerlingen een onevenredig zwaar vak is, zijn er ook de specifiek voor wiskunde

getalenteerde leerlingen. Die vinden volgens velen in het voor alle leerlingen ontworpen vak onvoldoende stimulans. Dat probleem kan niet worden opgelost binnen de bestaande vakken. In de opzet van redelijk geproportioneerde ‘algemene’ wiskundevakken met daarnaast twee keuzevakken in het vrije deel kan het wél worden opgelost. Voor deze leerlingen zal - in samenwerking met de wetenschappelijke wiskunde-wereld en in goed overleg met leraren wiskunde - een nieuw keuzevak worden ontwikkeld (standaardomvang, 440 studielasturen), met als werktitel ‘voortgezette wiskunde’. Daarnaast zou wellicht het programmatische verschil tussen wiskunde B (NT) en wiskunde A (EM) wat kunnen worden aangescherpt, waardoor het zinvol wordt dat een leerling met het profiel NT wiskunde A als keuzevak in het vrije deel volgt. Het effect van beide maatregelen zou zijn, dat voor het vak wiskunde zowel verbreding als verdieping mogelijk is. Op de hierboven

voorgestelde wijze kunnen dilemma’s bij het vak wiskunde worden opgelost op het gebied van breedte en diepgang, van vakmatige wensen en van praktische uitvoerbaarheid.’

Commentaar in het kort

In het rapport zijn keuzes gemaakt en er schijnt ruimte geboden te worden – maar niet voor de bètavakken. De hardste klappen vallen voor wiskunde in het profiel N&T, met name in het vwo maar ook in het havo. Een van de uitgangspunten, de insteek dat de deelvakken worden vervangen door (uitgebreid naar) de volledige vakken, is voor wiskunde B domweg niet nagevolgd – integendeel! De wiskunde in de N-profielen wordt in de voorstellen qua studielast dusdanig ingekrompen, dat een adequate voorbereiding op bètastudies niet meer mogelijk lijkt. En daarmee lijkt ‘Nederland -kennisland’ voor de toekomst verder weg dan ooit. Wiskunde B12 (760 slu) wordt nu teruggebracht tot een vak wiskunde-NT van 480 slu, daarmee geen ruimte meer biedend voor verdiepende elementen rond redeneren en bewijzen waar het WO destijds zo nadrukkelijk om vroeg. Ook de vakken natuur- en scheikunde worden in omvang teruggebracht, zij het wat minder dramatisch.

Het keuzevak voortgezette wiskunde lijkt wellicht een interessante aanvullende optie, maar we vrezen dat dat een illusie zal blijken te zijn. Ongetwijfeld zal lang niet elke school dit keuzevak aanbieden - als leerlingen uit veel vakken kunnen kiezen, komen er immers meer groepen en worden de klassen kleiner, dus wordt de onderwijsorganisatie inefficiënter en duurder. Geen aantrekkelijke optie voor kleine scholen met weinig financiële middelen. Uitdagende (maar voor bètagerichte leerlingen wél haalbare) wiskunde die stimuleert tot de keuze van een exacte of technische vervolgstudie, die wiskunde hoort mijns inziens in het reguliere programma thuis. En dat daarnaast hier en daar een optioneel vak ter profilering van de school wordt aangeboden, dat is heel wat anders. Een structureel probleem (gebrek aan verdiepende

elementen zoals aandacht voor redeneren en bewijzen; wellicht een ongewenst vroeg afgebroken analyse-leerlijn) kan niet gerepareerd worden in keuzevak dat niet standaard wordt aangeboden.

De reguliere toerusting van de potentiële bètastudent bestaat dus straks uit 480 slu wiskunde-NT of wiskunde-EM. Gezien het feit dat het hoger onderwijs nu al vaak aangeeft aan te lopen tegen een gebrek aan wiskundige vaardigheden van instromende studenten, is te verwachten dat de problemen alleen maar groter worden. (N.B. De drie TU’s (Delft, Eindhoven, Enschede) hebben vanwege de afnemende studenten-aantallen het afgelopen jaar besloten tot een

drempelloze toelating van N&G’ers met slechts 600 slu wiskunde B1 en zonder de verdiepende vakken na/sk/wiB-2. Dat feit heeft de ontwerpers van de voorstellen ongetwijfeld aangemoedigd tot een verdere inperking van de studielast voor de bètavakken.) Op het havo gaat wiskunde voor de N&T-profielers terug van 440 slu naar 320 slu, een mijns inziens

die door Offerein en Robberse naar voren werden gebracht, onder meer als antwoord op vragen vanuit de vakverenigingen (en vanuit de NVvW in het bijzonder):

- Doel van de herinrichting: oplossen van de problemen in de Tweede Fase.

- Zaken als organiseerbaarheid (‘dus’ standaardisering in het aantal slu’s) en ruimte voor keuzes staan daarbij als uitgangspunten voorop.

- Bezwaren die ingebracht worden zonder daarbij oplossingen of alternatieven voor de problemen aan te dragen, zullen door het ministerie terzijde worden gelegd.

- Er heeft, ter voorbereiding van de voorstellen, geen systematische raadpleging plaatsgevonden van bèta-organisaties. Wel hebben informele gesprekken plaatsgevonden.

- Voortgezette wiskunde en voortgezette natuur-wetenschappen kunnen niet verplicht gesteld worden voor de toegang tot bepaalde studies in het WO. Ze kunnen hooguit de status ‘gewenst’ krijgen.

- Scholen mogen zelf beslissen of ze de keuzevakken voortgezette wiskunde en/of voortgezette natuur-wetenschappen aanbieden.

- Voor het havo wordt niet gedacht aan de

ontwikkeling van een vak als voortgezette wiskunde, maar er wordt wel gedacht aan de mogelijkheid, vwo-wiskundevakken aan te bieden aan sterke bèta-leerlingen in het havo.

- NG zonder natuurkunde en zonder wis-NT, maar mèt wis-EM, scheikunde en biologie, wordt door het ministerie wel degelijk als bètaprofiel gezien. ‘Voor geneeskunde en voor studies in Wageningen is wel scheikunde, maar geen natuurkunde nodig.’

- Een vaste norm voor het gewicht van de Praktische Opdrachten wordt losgelaten. Vrijheid voor de scholen staat voorop.

- De inhoudelijke invulling van de gewijzigde programma’s staat nog min of meer open. In het rapport worden daarvoor slechts indicaties gegeven. De procedure voor die invulling ligt nog niet vast; ‘het veld’ kan meedenken.

- Vanwege de voorgestelde zware ingrepen in een aantal wiskundeprogramma’s zal nog vóór 10 maart een apart gesprek plaatsvinden tussen vertegen-woordigers van het ministerie en bestuursleden van de NVvW.

De minister luistert

Minister Van der Hoeven heeft aangegeven dat ze ‘goed wil luisteren naar wat de mensen uit de praktijk van deze voorstellen vinden’. Oordeelt u zelf.

Tot 10 maart a.s. is er nog tijd om de voorstellen kritisch te bestuderen, voor een goede inhoudelijke discussie (bijvoorbeeld via de website), en voor eventuele reacties, bezwaren en alternatieve

oplossingen. Deze kunt u vóór 10 maart sturen naar de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen, mevrouw M.J.A. van der Hoeven, Postbus 25000, 2700 LZ Zoetermeer. Intern kunt u uw reactie kwijt op de website van de NVvW (www.nvvw.nl).

ontoereikende voorbereiding op veel opleidingen binnen het hbo, temeer daar het de bedoeling is het programma te baseren op het huidige wiskunde B1, waarvan het karakter niet echt uitgesproken exact meer te noemen was.

Ook het huidige profiel N&G krijgt een volledig ander gezicht. Het vak natuurkunde verdwijnt hieruit als verplicht profielvak. Daarmee zal dit ‘N-profiel’ (?!) z’n bètakarakter verliezen. (Niet duidelijk is immers, hoeveel leerlingen dit vak alsnog in de vrije ruimte zullen kiezen.) Hoe ernstig dat is voor medische vervolg-opleidingen is nog niet geheel duidelijk, maar van een

samenhangend natuurwetenschappelijk karakter zal in

dit profiel geen sprake meer kunnen zijn.

Op blazijde 19 van het rapport staat over het profiel N&G: ‘Bovendien wordt het profiel door deze

keuze-mogelijkheid (wis-EM in plaats van wis-NT; MB) haalbaar en aantrekkelijk voor een grotere groep leerlingen. Dat is van belang in verband met de behoefte aan bèta-opgeleiden.’ Maar praten we nog

over een a.s. bèta-opgeleide bij iemand zonder natuurkunde en zonder bèta-wiskunde?

We zijn enigszins verbaasd over de uitbreiding van het vwo-vak wiskunde A1 tot een vak wiskunde CM met een omvang van 480 slu, in vergelijking met de gemaakte keuzes voor het havo (geen wiskunde-verplichting voor C&M’ers). Als het gaat om de voorbereiding op een sociale studie in het WO is inderdaad een relatief stevig wiskundevak nodig, met veel aandacht voor statistiek – dat zou een vak als het huidige wiskunde A12 kunnen zijn (600 slu). Maar als het uitgangspunt ‘wiskunde verplicht voor allen’ nu blijkbaar losgelaten wordt, moet ook erkend worden dat in het vwo leerlingen aan te wijzen zijn met weinig talent voor wiskunde en desondanks mogelijkheden in het WO (talen, geschiedenis, culturele studies). Voor hen zou een wiskundevak van beperkte omvang met vooral aandacht voor gecijferdheid (à la havo-A1) en verbale en culturele aspecten voldoende kunnen zijn. Het bovenstaande pretendeert niet een diepgaande of ‘volledige’ analyse van de voorstellen te zijn, maar slechts een kort commentaar. Een kritische inhoudelijke discussie is inmiddels onder grote aantallen bètadocenten op gang gekomen, niet alleen op de website van de NVvW maar ook op die van de NVON (docenten/TOA’s natuur- en scheikunde, biologie en ANW; www.nvon.nl).

Toelichting OCenW

Op 15 januari jl. woonde ik [MB] een bijeenkomst over deze voorstellen bij van het ministerie van OCenW ten behoeve van het platform VVVO (overkoepelende vereniging van vakverenigingen in het VO). Vertegenwoordigers van de vakverenigingen konden vragen stellen aan Roelco Offerein en Jannita Robberse van het ministerie van OCenW. Namens het bestuur van de NVvW was Henk Rozenhart aanwezig. Ter informatie schets ik een aantal aandachtspunten

40 jaar geleden

Gedeelten van een artikel in Euclides, jaargang 38 (1962-1963)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: mc.vanhoorn@wxs.nl), voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

I vwo/havo/mavo

vanaf 1963

Heroriënteringscursussen 1e-graads leraren vhmo (Kweekschool; HBO): verzamelingenleer, logica, groepentheorie, lineaire algebra en meetkunde, enz.

vanaf 1964

Rapport aan de staatssecretaris inzake een in te richten permanent Studiecentrum

vanaf 1965/1966

Schoolexperimenten Algebra en Analyse, Meetkunde met Vectoren (bovenbouw), Algebra en Meetkunde (onderbouw)

1966

Verzoek van de minister tot opstellen concept-leerplannen t.b.v. gehele Mammoetwet (brugklas, mavo, havo en vwo)

vanaf 1966

Heroriënteringscursussen leraren mavo/lbo

1967

Interimrapport annex discussienota’s met leerplanvoorstellen ? Voorstel ‘Leerplan wiskunde Rijksscholen’ (ingevoerd per 1-8-’68)

vanaf 1968

Toelichtingsnota’s CMLW t.b.v. brugklas,

mavo/havo/vwo; Invoering nieuwe methodes ‘buiten controle’ van de CMLW (bijv. Moderne wiskunde; Van A tot Z)

vanaf 1968

Meer methodisch/didactisch-gerichte

Kort overzicht

Zoals bekend is over het fenomeen van de New Math beweging nationaal en internationaal al heel wat geschreven. In het bijzonder wat de Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde betreft, de CMLW, verwijs ik u bijvoorbeeld graag naar die mooie uitgave van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

‘Honderd jaar wiskundeonderwijs’[1]_{, waar op}

verschillende plaatsen over de feiten en gevolgen van het nieuwe leerplan 1968 is geschreven. Ook in de dissertatie van Ed de Moor, ‘Van vormleer naar

realistisch meetkundeonderwijs’[2]_{, kunt u uitvoerig}

terecht voor de ontstaanswijze en opvatting van CMLW en IOWO en wat daaraan voorafging. En omdat ik me in mijn bijdrage liever wil richten op het verhaal achter het ontstaan van beide instellingen, geef ik u als reminder een kort overzicht van het feitenmateriaal.

1958

Invoering nieuw leerplan vhmo gymnasium en hbs (met o.m. analytische meetkunde en beginselen infinitesimaalrekening; vooralsnog geen statistiek)

1959

Congres Royaumont (‘A bas Euclide’)

1961

Instelling CMLW

Activiteiten ten aanzien van:

OMZIEN IN VERWONDERING

Voordracht gehouden tijdens het symposium ‘De roerige jaren zestig’

van de Historische Kring Reken-Wiskunde Onderwijs (HKRWO)

op 25 mei 2002

[ Edu Wijdeveld ]

heroriënteringscursussen 1e-graads leraren; idem: 3e graads leraren via zgn. ‘Centrale Commissie Begeleiding Mavo Wiskunde’ (CCBMW)

1968

Rapport over wenselijkheid/mogelijkheid van invoering Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek, resp. Computer(wis)kunde in mavo/havo/vwo, gevolgd

vanaf 1969/1970

door schoolexperimenten

II hoger beroepsonderwijs

1969

Instelling subcommissie Wiskunde in Hoger Beroeps Onderwijs (WIHBO), met subcommissies voor o.a. hto, heao, enz.

III basisonderwijs/PA

1967

Rapport werkgroep Basisonderwijs ? CMLW ? minister

1968

‘10-jarenplan’ BO/PA (open, democratische, integrale leerplanontwikkeling); installatie regionale

werkgroepen PA (leraren wiskunde en pedagogiek)

1969

Eerste PA-conferentie inzake

vernieuwingsmogelijkheden BO; Project ‘Wiskobas’

1970

‘Wiskobasta’? ? moties CMLW ? audiëntie staatssecretaris Grosheide

1971

Instelling IOWO

Vraagstellingen

De kern van mijn verhaal, ‘Omzien in verwondering’, laat zich in feite samenvatten in twee vraagstellingen: a. Hoe is het mogelijk geweest dat de New Math

beweging vrijwel mondiaal het wiskundeonderwijs in z’n greep kreeg, om nadien, zoals prof. Freudenthal dat in 1985 uitdrukte, weer een ‘smadelijke nederlaag te lijden’?[3]

b. Hoe is het mogelijk geweest, dat uitgerekend

Nederland, zelfs internationaal bezien, vanuit het basisonderwijs het tij wist te keren, tot wat nu in termen van Adri Treffers ‘realistisch reken-wiskunde-onderwijs’ heet?

En daarbij veronderstel ik stilzwijgend dat u uit eigen ervaring wel een impressie heeft van wat die term inhoudt: een reken-wiskundeonderwijs dat in uitgangspunt aansluiting zoekt bij de concrete of gedachte realiteit van de leerling.

En op voorhand – en daarmee schaar ik me graag achter de oproep die de HKRWO in dezen heeft gedaan – zou ik een krachtig pleidooi willen houden voor nader sociaal-cultureel historisch onderzoek naar beide fenomenen.

Van Dantzig

In april 1968 publiceert de CMLW de Toelichting op het

Leerplan Wiskunde[4]_{, in vervolg op de voorstellen die}

de Commissie eind 1967 aan de minister had

aangeboden ten behoeve van het zogenaamde nieuwe leerplan wiskunde voor de Rijksscholen 1968. In de Inleiding op die Toelichting, die in eerste instantie bedoeld is voor de brugklas, wordt naar een bijdrage verwezen van prof. D. van Dantzig in het rapport ‘The function of Mathematics in modern

society and its consequence for the teaching of

mathematics’, dat de Nederlandse subcommissie van de

Internationale Commissie voor Wiskunde-onderwijs in 1954 uitbracht.[5]

In die bijdrage wijst Van Dantzig - en ik citeer de Toelichtingsnota - (…) op de sterke groei van het gebied

waar wiskunde wordt toegepast en de daarmee gepaard gaande grote vraag naar wiskundigen en naar mensen die in staat zijn bepaalde soorten wiskunde toe te passen in vakken buiten de wiskunde. Als belemmering bij het voldoen aan deze vraag, noemde hij het niet aangepast zijn van het leerplan aan de ontwikkeling van de wiskunde in de laatste decennia.

Maar meer dan de rechtvaardiging die de CMLW in die passage zag voor de maatschappelijke relevantie van haar leerplanvoorstellen, doelde Van Dantzig in dat artikel vooral ook op een geheel andere benadering van toegepast wiskundeonderwijs dan de Commissie op dat moment voor ogen stond.

Van Dantzig, overleden in 1959, was tot 1940 hoogleraar in Delft. Zijn studiegebied was onder meer de topologie, maar bijvoorbeeld ook de thermo-dynamica en de elektrotechniek. Voorts was hij sterk beïnvloed door de taal-filosofisch gerichte signifische school van Mannoury uit de twintiger jaren. Na 1945 werd hij hoogleraar in Amsterdam in de zogenaamde ‘leer der collectieve verschijnselen’ (lees: de

mathematische statistiek).

Reeds eerder had hij zich gemengd in de vraag naar de maatschappelijke waarde van wiskundeonderwijs in een gelijknamig artikel in 1927 in Euclides (jaargang 3). Maar in de toen gaande discussie over de mate van gestrengheid van de opbouw van het wiskunde-onderwijs, waarin onder meer de namen van Dijksterhuis ter ene zijde en die van mevr. Ehrenfest-Afanassjewa ter andere zijde vigeerden, bleef dat artikel vrijwel onopgemerkt.

Welke waren nu die ‘ontwikkelingen in de wiskunde van de laatste decennia’, waar Van Dantzig in 1954 over spreekt? Laten we ze categoraal in twee hoofdstromen benoemen:

- enerzijds het fundamentele grondslagenonderzoek, dat al vanaf het midden van de 19e eeuw zulke krachtige impulsen had ondergaan, onder meer culminerend in de oprichting van de Bourbaki-groepering in de dertiger jaren, die het gehele wiskundebouwwerk opnieuw wilde funderen tot één organisch structureel geheel op basis van een uniforme taal (verzamelingen, relaties, functies) en logica,

- anderzijds de zich, alweer sinds de industriële revolutie van de 19e eeuw, razendsnel uitbreidende wereld van de toegepaste wiskunde, niet alleen in

natuurwetenschappen, techniek, economie, e.d., maar met name na de tweede wereldoorlog ook in een uiteenlopend scala van wetenschappen (medisch, biologisch, sociaal-pedagogisch, …) alsmede in vele sectoren van bedrijfsleven en industrie.

En in die vlak na de tweede wereldoorlog heersende overtuiging van de essentiële bijdrage die de

wetenschap aan het cultureel-maatschappelijk herstel-en vernieuwingsbeleid zou leverherstel-en, introduceerde Van Dantzig een nieuwe vorm van wiskundebeoefening: het wiskundig modelleren als concretisering van het mathematiseringsproces.

In zijn dissertatie ‘Jaren van berekening’[7]_{, waaraan ik}

veel heb ontleend, spreekt Gerard Alberts in dit verband over de doorbraak van ‘toegepaste wiskunde’ naar ‘toepassingsgerichte wiskunde’.

Enigszins karikaturaal gezegd kan men bij toegepaste wiskunde denken aan binnen de wiskunde ontwikkelde

producten en technieken -bijvoorbeeld uit de analyse-die in andere disciplines als zodanig gebruikt worden door vertegenwoordigers van die disciplines. Bij toepassingsgerichte wiskunde echter treedt de wiskunde (de wiskundige) buiten zijn eigen wereld, en stelt zich in dienst van die andere discipline met zijn generaal toepasbare denkvorm van het mathematiseren en wiskundig modelleren.

En met die laatste benadering van het mathematiseren en wiskundig modelleren realiseerde Van Dantzig ‘de

sprong van doel op middel’, de veel geciteerde

uitspraak van L.E.J. Brouwer, doelend op het algemeen vermogen van de mens zijn wereld (het doel)

wiskundig (het middel) te bekijken.

Concreet: statistiek en kansberekening waren reeds lang gebruikte technieken in economie, astronomie, levensverzekering, enzovoorts, maar hypothesetoetsing ten behoeve van een industriële of bedrijfskundige probleemstelling, met een aan dat probleem verwante

Prof. dr. D. van Dantzig (1900-1959) FIGUUR 1 Het mathematiseringsproces als didactisch

graad van nauwkeurigheid – nu gemeengoed – werd een nieuw fenomeen, naast bijvoorbeeld numerieke benaderingen met behulp van de (eerste) computers. Het in 1946 op instigatie van Van Dantzig cum suïs opgerichte Mathematisch Centrum het huidige CWI -paste deze nieuwe techniek van het mathematisch modelleren toe op een veelheid van probleemstellingen uit industrie en bedrijfsleven. Zo werden bijvoorbeeld op verzoek vàn, en in samenspraak mét Rijkswaterstaat berekeningen gemaakt - onder zekere premissen uiteraard - van de vereiste dijkhoogten voor de Deltawerken.

In het bijzonder ook heeft deze nieuwe vorm van wiskundebeoefening vanaf 1956 geleid tot daarop toegespitste opleidingen voor wiskundig ingenieur in Delft, Eindhoven, Twente, leidend tot research- en organisatiewiskundigen, die in de industrie en het bedrijfsleven emplooi vinden.

Het mathematiseringsproces als didactisch

denkmodel

Meer dan de CMLW in haar Toelichtingsnota beoogde, doelde Van Dantzig in dat eerder genoemde artikel uit 1954 ook op de mogelijke consequenties van deze nieuwe vorm van wiskundebeoefening voor

maatschappelijk relevant wiskundeonderwijs. Dat het desondanks nog 25 jaar zou duren voor die

mogelijkheden ook metterdaad benut werden lag dan ook minder aan de CMLW dan wel aan het project Wiskobas voor de basisschool, dat eind zestiger jaren de weg insloeg naar wat nu realistisch reken-wiskundeonderwijs heet.

Ook daarom ben ik wat langer stil blijven staan bij de figuur van Van Dantzig, omdat mij in die doorbraak naar maatschappelijk relevant wiskunde-onderwijs de parallel trof met wat toen, in 1946, een doorbraak bleek te zijn naar maatschappelijk relevante

wiskunde-beoefening. Immers, ook in die realistische

onderwijs-benadering wordt de generaal toepasbare benaderingswijze van het mathematiseren ten grondslag gelegd aan het onderwijsleerproces, in termen van ‘wiskundige wereldoriëntatie’, ‘rijke contexten’, ‘wiskunde als menselijke activiteit’, e.d. In hoeverre die parallel stand houdt, vooral ook in z’n sociaal-culturele context, zou wat mij betreft een belangrijk onderdeel moeten zijn van het hiervoor gepropageerde historische onderzoek.

Laat ik het voorgaande illustreren aan een vereenvoudigde weergave van wat ik elders ‘het mathematiseringsproces als didaktisch denkmodel’ heb genoemd[8]_{(zie ook figuur 1).}

In de alledaagse werkelijkheid doet zich een probleem voor, dat door een wiskundige bril bekeken leidt tot een gemathematiseerde structuur (een mathematisch model). Binnen die structuur leiden wiskundige methoden en technieken tot een conclusie, die vervolgens weer wordt terugvertaald naar die alledaagse werkelijkheid.

Men kan dat proces in vier woorden samenvatten met:

‘verschralen om te verrijken’. En we herkennen erin

een ‘taalslag’ (het modelleren), een ‘rekenslag’ (het gebruik van wiskundige methoden en technieken) en uiteindelijk een ‘interpretatieslag’.

Waar ons traditionele wiskundeonderwijs zich voornamelijk afspeelde binnen die wiskundige structuur (zeg: de rekenslag), gaat het nu in eerste instantie om het mathematiseringsproces als geheel. Dit vormt dan tevens de genoemde onderwijskundige ‘sprong van doel op middel’. Want zeker in het aanvangsonderwijs zullen we de leerling eerst moeten leren, dat je de werkelijkheid (het doel) überhaupt door een mathematische bril (het middel) kunt bekijken, voordat je begint te ‘rekenen’. Voor velen is dat in het geheel nog niet zo vanzelfsprekend.

En vandaar, dat in de klas eerst in concreto ‘busje’ wordt gespeeld, met een echte buschauffeur en haltes, waar kinderen in- en uitstappen, waarna deze ervaring geleidelijk wordt omgezet in pijlentaal: In de bus zitten 3 passagiers, 2 stappen in; hoeveel passagiers zitten nu in de bus? Notatie: 3→
2 5, om uiteindelijk te eindigen in de notatie 3
25.

Met deze integrale benadering van wiskundeonderwijs – met het vorderen van het niveau natuurlijk meer en meer toewerkend naar reëel wiskundig modelleren en ‘rekenen’ – krijgt ook een begrip als doelbepaling van het wiskundeonderwijs een meer vanzelfsprekende dimensie, zoals Adri Treffers die heeft beschreven in zijn proefschrift ‘Wiskobas doelgericht’[9]_{uit 1978 en}

nadien verder heeft uitgewerkt tot een complete leertheorie van wiskundeonderwijs voor de basisschool.

Samengevat ligt het essentiële verschil tussen de klassieke opvatting van ‘toegepast’ wiskundeonderwijs en het moderne ‘toepassingsgerichte’ ofwel realistische wiskundeonderwijs dus daarin, dat waar de eerste het

achteràf-perspectief biedt van nuttigheid voor

maatschappij en studie, de laatste dit reeds op

voorhand incorporeert in het wiskundeonderwijs zèlf,

via het proces van mathematisering van door de leerling als realistisch beleefde (en doorleefde) situaties.

Terug naar de CMLW

Zou Van Dantzig, ware hij lid geweest van de CMLW, de leerplanvoorstellen in de door hem beoogde richting hebben kunnen doen ombuigen? Ik waag het te betwijfelen. Niet alleen omdat in de samenstelling van de CMLW wel degelijk een aantal representanten uit de school Van Dantzig vertegenwoordigd was, maar vooral ook omdat de vloedgolf van de New Math (die na Royaumont ook West-Europa overspoelde) ook in Nederland welhaast onontkoombaar leek. En daarbij ging het primair om de vermeende kloof tussen het wiskundeonderwijs op de middelbare school en ontwikkelingen in de wiskundewetenschap, met name ook in Bourbakistische zin: uniciteit, taal en logica.

De overige werkzaamheden van de CMLW in die eerste zestiger jaren heb ik u genoemd: al vanaf 1963 werden heroriënteringscursussen voor eerstegraads leraren ingericht. En tot verrassing van de CMLW, die aanvankelijk op 150 à 200 deelnemers rekende, werd daar massaal aan deelgenomen door 500 tot 700 leraren, ofwel ca. 70% van het toenmalig eerstegraads lerarenbestand. Een belangrijk gegeven, omdat daarmee tegelijk het kader gevormd werd voor de heroriëntering en begeleiding van wiskundeleraren mulo en lbo, die vanaf 1966 onder auspiciën van de CMLW een nog veel massaler karakter zou krijgen, met op het hoogtepunt zelfs een deelnemersaantal van 2400 leraren, verdeeld over 40 cursusplaatsen in den lande.

Freudenthal

Prof. Freudenthal, die in het buitenland verbleef, reageerde op de notulen van die eerste vergadering van de CMLW met een brief (zie figuur 2), waaruit ik Zeker, op het congres werd ook de maatschappelijke

functie van de wiskunde benadrukt, maar – als daar later in de leerplannen al iets van zou blijken – vooral dus opgevat in die klassieke zin van toegepaste wiskunde.

Zo ook de CMLW.

In haar eerste vergadering richtte zij zich met name op de bovenbouw vhmo met een indeling in β-I en β-II, waarvoor schoolexperimenten zouden worden ingericht. Daarbij werd de ruimtelijke stereometrie vervangen door lineaire algebra, zeg vectormeetkunde, de analytische meetkunde door algebra en analyse. En slechts in die zin was sprake van enige continuïteit met het leerplan ‘58, dat infinitesimaalrekening -overigens in beperkter zin- ook toen al was ingevoerd.

Schoolexperimenten waarschijnlijkheidsrekening en statistiek c.q. computerkunde werden pas in een later stadium (vanaf 1969) doorgevoerd.

Prof. dr. H. Freudenthal (1905-1990) FIGUUR 2 Eerste blad van een brief van Freudenthal

het volgende citeer:

(…) Een discussie die hoofdzakelijk draait om een splitsing in ?-I en ?-II legt mijns inziens de accenten minder juist. Het voornaamste resultaat hiervan kan zijn een prachtig programma van de speciaal

wiskundige richting, waaraan er naar mijn overtuiging weinig behoefte is. Ik zie geen noodzaak om wiskundige stof af te wentelen van universiteit en hogeschool naar het VHMO.

En vervolgens:

(…) Ik heb diverse malen, naar bekend zal zijn, betoogd dat ik de modernisering van het leerplan zoals deze op het ogenblik door velen wordt gepropageerd, geen urgent probleem acht en wel niet omdat ik aan moderne wiskunde een hekel zou hebben, maar omdat in diverse voorstellen de introductie van moderne -leerstof als principieel doel wordt gezien. Dientegenover zie ik als eerste en enige urgentie een verbetering van het wiskundeonderwijs.

En tenslotte:

(…) Uit het voorgaande zal ook duidelijk zijn, dat de modernisering in de onderbouw en wel in de eerste klasse zal moeten beginnen.

Wat was het effect van deze vroege kritiek van prof. Freudenthal? Niet veel kennelijk, want in 1985 schrijft hij daar over:

(…) Het enig effect van mijn brief was voorlopig dat er een subcommissie onderbouw als speeltuin voor mij werd ingericht.

Een wat suggestief commentaar, omdat in die eerste CMLW-vergadering wel degelijk sprake was van onderbouwexperimenten, al werden die voor een wat later tijdstip voorzien.

Maar ondanks zijn kritische stellingname werkte Freudenthal – als altijd – loyaal mee aan de uitwerking van de plannen van de Commissie, met name ook wat betreft de heroriëntering van leraren in moderne onderwerpen. En al waarschuwde hij in voornoemde brief al voor een mogelijke verslechtering van het onderwijs door het nieuwe programma, de indruk die wel gewekt is dat Freudenthal in zijn eentje de gehele New Math een halt toegeroepen zou hebben is op z’n minst onvolledig te noemen.

Om Freudenthals opvattingen overigens nog wat nader te illustreren, is het aardig om de doelstellingsnota te bekijken die hij eigenhandig aan het onderbouw-experiment meetkunde, dat in 1965 van start ging, ten grondslag heeft gelegd.

Voor dit experiment greep de subcommissie van de CMLW terug op een experiment Bewegingsmeetkunde uit 1958, omdat, zo zei de commissie, (…) men unaniem de behoefte gevoelde aan een onderbouw-meetkunde, die naar doel en methode bepaald wordt door het begrip afbeelding en omdat dit experiment (…) haar doelstellingen op verheugende wijze benaderde. En die doelstelling van de hand van prof. Freudenthal luidt dan als volgt:

a. een intuïtieve inleiding wordt vereist, waarbij het kind doende moet leren, door tekenen, vouwen, plaveien, modellen maken.

b. het kind moet leren een wetenschapsgebied

mathematisch te ordenen; d.w.z. niet het geven van een axiomastelsel staat voor, maar een ‘monotoon

toenemen’ van de exactheid met het voortschrijden der cursus.

c. niet verzamelingsleer en de logica zelf moeten onderwezen worden, maar de taal die zij spreken in het wiskunde-onderwijs.

d. het meetkunde-onderwijs in de onderbouw wordt in relatie gebracht met het onderwijs in de bovenbouw, i.c. de lineaire algebra.

Anderzijds wordt de Kleinse lijn gevolgd: meetkunde is een onderzoek van het vlak (de ruimte) naar

invarianties onder afbeeldingen van het vlak (de ruimte) op zichzelf.

Echter niet het groepsbegrip zij het doel in de onderbouw!

Een beginselverklaring?

Ook daarom is deze doelstellingsnota zo interessant, omdat het een van de weinige momenten is binnen de CMLW waarop een meer uitgewerkte visie op de doelstellingen van het nieuwe wiskundeonderwijs beschreven wordt.

De wens daartoe was overigens in vergaderingen van de CMLW wel regelmatig geuit. Zoals bijvoorbeeld in 1963 door prof. C. Visser, naar aanleiding van een concept-tekst voor het a.s. schoolexperiment ‘Algebra en Analyse’:

1. Wat is de motivering van deze stof?

2. Waarom wiskunde op school als het met deze stof

moet?

3. De stof past niet op andere vakken dan op de

wiskunde zelf?

4. Aan welke normen toetsen wij wat moet worden

onderwezen?

5. De wiskunde moet niet geïsoleerd worden van andere

vakken?

En in 1964 stelde prof. J. Seidel:

Er dient een principiële uitspraak te komen over de vraag of het wiskunde-onderwijs behalve als discipline om ordelijk te leren denken en inzicht te verkrijgen, nog een eigen maatschappelijke betekenis heeft.

En zo ook op een cruciale vergadering van de CMLW op 1 juli 1966, inmiddels onder leiding van

prof. F. van der Blij. Op die vergadering besloot de Commissie niet alleen in te gaan op het verzoek van de minister, nu reeds leerplanvoorstellen in te dienen voor alle sectoren van de naderende Mammoetwet, maar ook om in relatie daarmee de landelijke heroriëntering van mulo- en later lbo-leraren ter hand te nemen. En mede in verband met die laatste categorie werd indringend gevraagd om een ‘beginselverklaring’, een doelstellingsnota.

Uiteindelijk kwam er van zo’n beginselverklaring weinig terecht. Dat had natuurlijk in de eerste plaats te maken met de enorme omvang van de werkzaamheden van de Commissie: heroriënteringscursussen voor eerstegraads leraren en nu dus ook – veelvoudig in

omvang – voor mulo- en lbo-leraren. Daarnaast de verzorging en begeleiding van een viertal school-experimenten, alsmede de versnelde voorbereiding van leerplanvoorstellen voor de totaliteit van de

Mammoetwet. Geen wonder dat in die genoemde vergadering dan ook verzucht werd: ‘tot hoever gaan we?’ Maar, zoals gezegd, de Commissie ‘ging’, en er zou nog veel meer volgen.

Een tweede reden dat die beginselverklaring niet van de grond kwam was gelegen in het primaire

uitgangspunt van de CMLW: de aansluiting van de schoolwiskunde op die van de universitaire studies, met de daarbij behorende vroegtijdige vastlegging van de leerstof voor heroriëntering en schoolexperimenten. De aanvankelijke samenstelling van de Commissie, in belangrijke mate bestaande uit hoogleraren, was daarop ook afgestemd. Men mag veronderstellen, dat deze hoogleraren, met uitzondering van Freudenthal misschien, zich niet als eersten geroepen voelden doelstellingsnota’s voor het middelbaar onderwijs op te stellen. Zeker, de Commissie telde naast twee

inspecteurs vhmo ook een drietal gerenommeerde leraren-auteurs in haar gelederen (Alders, Streefkerk en Vredenduin), maar ook die bekenden zich graag tot het structurele New Math uitgangspunt. Meer progressieve didactici uit de vijftiger jaren (Van Hiele, Boermeester, e.a.) hadden geen zitting in de Commissie. Bovendien hadden zij het in een later stadium aan de zijlijn veel te druk met de voorbereiding van nieuwe school-methodes voor het komend wiskundeonderwijs. Nee, die fundamentele ‘beginselverklaring’ zou pas later binnen het IOWO worden opgesteld.

Nu werd, afgezien van die eerder genoemde verwijzing naar het artikel van Van Dantzig, in de vanaf ‘67 verschenen leerplanvoorstellen annex

toelichtingsnota’s slechts opgemerkt, dat het aangeven van een motivering van het programma geen

eenvoudige zaak is, want:

(…)Vele meermalen door traditie bepaalde factoren, spelen hier een rol.

In elk geval stelt het rapport, dat (…) de leerlingen bruikbare kennis moet worden overgedragen, in verband met (…) de toegenomen maatschappelijke betekenis van de wiskunde. En daarnaast dient het wiskundeonderwijs (…) de leerlingen inzicht bij te brengen in de culturele betekenis van dit vak. Maar hoe en waarom dit programma tegemoet kwam aan die maatschappelijk en culturele betekenis van de wiskunde, werd verder niet uit de doeken gedaan. De nota’s volstonden verder met ‘Algemene richtlijnen’ bij de diverse programma-onderdelen.

Roep om eigen instituut

Inmiddels was de CMLW in een vrijwel onmogelijke positie komen te verkeren.

Reeds in 1964 had de Commissie geconcludeerd dat de heroriëntering van leraren in verband met de

voortgaande ontwikkelingen in de wiskunde een

‘permanent verschijnsel’ zou zijn. Er diende derhalve

een professioneel bureau te worden ingericht, met wetenschappelijke staf en bibliotheek. En aldus liet men de staatssecretaris weten. Het antwoord liet lang op zich wachten en was afwijzend in verband met een nog nader op te stellen nota over de landelijke organisatie van de leerplanontwikkeling (een nota, waarvoor in 1969 de zogenaamde COLO, Commissie Organisatie Leerplan Ontwikkeling, werd ingesteld). Maar de CMLW liet zich niet afschrikken en herhaalde meerdere malen z’n verzoek tot instelling van een instituut, met vooralsnog hetzelfde resultaat. Wel kreeg de Commissie in 1966 toestemming om in verband met de coördinatie van de heroriëntering van mavo/lbo-leraren een wetenschappelijk medewerker aan te stellen, i.c. de auteur van dit artikel.

En daarmee was het hek van de dam.

Immers, in de daarop volgende jaren tot 1971 werden meerdere medewerkers aangesteld ten behoeve van gaande activiteiten van de CMLW, zoals de experimenten bovenbouw-vhmo, de experimenten Statistiek en Computerkunde, ter ondersteuning van de subcommissie Hoger Beroepsonderwijs (de zogenaamde WIHBO) en ten behoeve van het project Basisonderwijs (Wiskobas), dat naar omvang en opzet het totaal van de werkzaamheden van de CMLW leek te zullen gaan evenaren. En bij het ontbreken van een mogelijke rechtspositie binnen de CMLW waren al deze medewerkers op de meest uiteenlopende wijzen ondergebracht: bij de universiteit, bij de Pedagogische Centra, bij Pedagogische Academies, of vrijgesteld van schoolverband.

De toestand werd onhoudbaar toen het project Wiskobas, dat zich inmiddels een omvangrijk landelijk steunveld van regionale werkgroepen van PA-leraren had weten te verwerven, in 1970 dreigde het bijltje er bij neer te leggen. Het Dagelijks Bestuur van de CMLW – inmiddels onder leiding van prof. Freudenthal – deed nogmaals een dringend beroep op de staatssecretaris, akkoord te gaan met de instelling van een eigen instituut.

IOWO

Uiteindelijk nam staatssecretaris Grosheide in januari 1971 het moedige besluit, onder passering van de COLO, met zo’n instelling akkoord te gaan. En zo kon per 1 augustus 1971 het Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs (IOWO) van start gaan, met Freudenthal als hoogleraar-directeur.

Let wel, het ging hier dus om een instituut voor

onderwijs-ontwikkeling, meer dan alleen om

leerplan-ontwikkeling. En daarmee werd in de naamgeving van het instituut in feite al die meermalen genoemde ‘sprong van doel op middel’ vertolkt. Immers in het begrip onderwijs-ontwikkeling ligt fundamenteel de sociaal-pedagogische doelvraag al besloten, met uiteindelijk de leerplanontwikkeling als afgeleide. En hoewel het Wiskobasteam aanvankelijk wel degelijk enige New Math neiging betoonde, was het toch haar

relatieve onafhankelijkheid -naast een zekere carte blanche situatie- die deze doelvraag geleidelijk kon doen beantwoorden vanuit een realistische didactiek. Zeker, daar was meer voor nodig dan alleen die open mind binnen een hecht Wiskobasteam. Het vereiste ook, zonder maar iemand te kort te doen, de

kwaliteiten van een Adri Treffers, die deze doelvraag in de basis al verwoordde in dat eerste IOWO-jaar en deze geleidelijk verder ontwikkelde tot een complete leertheorie voor wiskundeonderwijs voor de basis-school, van een Fred Goffree, die de onderwijzers-opleiding inhoudelijk en leertheoretisch een totaal ander aanzien gaf, en last but not least van een Hans Freudenthal met zijn fundamentele bijdragen en publicaties over de grondslagen van het nieuwe wiskundeonderwijs, die hij ook internationaal uitdroeg. De rest is bekend. Langzamerhand werd binnen het IOWO (en later OW&OC en FI) naar het voorbeeld van Wiskobas het gehele wiskundebouwwerk van 4-18 jaar omgebogen in de nieuwe richting, te beginnen in 1974 met het lager beroepsonderwijs en mavo, waar de nood na invoering van de Mammoetwet het hoogst was gestegen. De rest sloot zich aan, wat bijvoorbeeld in de 90-er jaren leidde tot het radicaal gewijzigde

programma 12-16 van de COW, de Commissie Onderbouw (later: Ontwikkeling) Wiskunde.

Tot slot

In de aanvang van mijn verhaal opperde ik de vraag hoe het mogelijk is geworden, dat uitgerekend in Nederland de New Math beweging, die in de crisistijd van het Wiskobasproject ook even ons basisonderwijs dreigde te overspoelen, werd omgebogen in de aangegeven richting. Is daar mutatis mutandis een parallel te ontdekken met de introductie van die nieuwe vorm van wiskundebeoefening die Van Dantzig vlak na de oorlog introduceerde en waarin ook dat mathematiseringsproces centraal stond?

In 1945 was het natuurlijk de reactie op de sociaal-economische crisis van de dertiger jaren, die na de schok van de tweede wereldoorlog mede het klimaat bepaalde voor een doorbraak naar maatschappelijk dienstbare wetenschapsbeoefening. Met dat drama en die cultuurschok is natuurlijk niets te vergelijken. Maar dat indachtig: Heeft de sociale crisis van de zestiger jaren dan wellicht toch iets te maken met de doorbraak naar het nieuwe wiskundeonderwijs? Was de maatschappij vernieuwingsgericht? Was er in de onderwijspolitieke context - het naoorlogse streven naar een open, democratisch en geëmancipeerd stelsel van onderwijsvoorzieningen - ook het geloof in de fundamentele bijdrage die wiskundeonderwijs aan de volksverheffing zou kunnen leveren, die

staatssecretaris Grosheide deed besluiten akkoord te gaan met de instelling van het IOWO? De waardering van de overheid voor de enorme krachtsinspanning van de CMLW, met name ook ten behoeve van de Mammoetwet, was groot. Een concept-wetsontwerp

basisonderwijs was in de maak; verwachtte men daaraan eenzelfde bijdrage vanuit het Wiskobasproject, vooral ook op gezag van Freudenthal?

Of ligt de zaak meer basaal en was het de eerder-genoemde ongebondenheid en onbevangenheid van het Wiskobasteam -in belangrijke mate gerecruteerd uit de wereld van basisonderwijs en PA- dat een geheel andere weg kon inslaan, inhoudelijk en procedureel? Hoe het ook zij, het IOWO staat aan de basis van een belangrijke innovatie in het wiskundeonderwijs die, ik herhaal het, nader beschreven en onderzocht zou dienen te worden.

Oproep

Degenen die na lezing van het voorgaande

geïnteresseerd zijn in en/of willen bijdragen aan een eventueel onderzoek in bovenstaande zin, kunnen contact opnemen met de auteur (e-mail:

wijdeveld.baarn@wanadoo.nl) of met Ed de Moor (e-mail: e.w.a.demoor@planet.nl).

Literatuur

[1] Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren: Honderd jaar Wiskunde-onderwijs (2000).

[2] E.W.A. de Moor: Van Vormleer naar Realistische Meetkunde (1999), isbn 90-73346-40-1.

[3] H.F. Freudenthal: Prehistorie - ‘10 jaar leerplanontwikkeling 1975-1985’ (1985); samen met F. Goffree t.g.v. het 10-jarig bestaan SLO.

[4] CMLW: Toelichting op het Leerplan Wiskunde (1968). [5] D. van Dantzig (1954): The function of mathematics in modern society and its consequence for the teaching of mathematics (1954); in een rapport van de Nederlandse subcommissie van de Internationale Commissie van het Wiskunde-onderwijs (in Euclides 31, 1955). [6] H.J. Smid: David van Dantzig en het onderwijs in de wiskunde, in: Uitbeelden in Wiskunde (CWI, 2000).

[7] G. Alberts: Jaren van Berekening (1998), isbn 90-5356-317-2. [8] E. Wijdeveld: Matematiseren - een didaktisch denkmodel, in: Wiskobas Bulletin, jrg. 9 nr. 6 (IOWO, 1979).

[9] A. Treffers: Wiskobas Doelgericht (IOWO,1978).

Over de auteur

Edu Wijdeveld (e-mailadres: wijdeveld.baarn@wanadoo.nl) werd in 1966 de eerste medewerker van de CMLW. Samen met Fred Goffree nam hij het initiatief voor een basisschoolproject, dat later Wiskobas zou gaan heten. Vanaf 1971 was hij directeur/medewerker van het IOWO en secretaris van de CMLW. Van 1990 tot 1993 was hij voorzitter van de Nederlandse Vereniging voor Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO), waarvan hij tevens erelid is.

Veertig jaar

onderwijs-verandering?

Om te beginnen: 1964

[ Anne van Streun ]

- hbs-mulo

- mavo-havo-vwo - basisvorming

- tweede fase havo-vwo

Het onderwijs in 1964

In de volgende tabel staan de schooltypen in 1964 en de verdeling van de leerlingenpopulatie over die schooltypen. Een 20% volgde na de lagere school geen vervolgonderwijs maar werkte al.

hbs/ mulo nijverheids- arbeidsmarkt gymnasium onderwijs

15% 30% 35% 20%

Ongeveer de helft van de leerlingen van hbs/gymnasium koos voor een B-richting (7 à 8%); het nijverheids-onderwijs bestond voornamelijk uit huishoud-onderwijs, technisch onderwijs en landbouwonderwijs.

Het leerplan in 1964

De inhoud van het wiskundeonderwijs in de mulo en hbs/gymnasium was sterk gericht op het beheersen van technische, algebraïsche, vaardigheden. Aan het einde van klas 1 hbs met drie lesuren algebra per week -konden mijn leerlingen op het proefwerk heel redelijk algebraïsche breuken optellen (zie figuur 1).

In klas 2 kostte daarnaast het herleiden van wortelvormen veel tijd (zie figuur 2). Die herleiding was noodzakelijk, omdat je anders niet met de tabel de waarde kon benaderen. Je zocht dus een herleiding die tot een kwadraat onder het wortelteken leidde. In klas 3 vormde het leren berekenen van de waarde van ingewikkelde vormen met behulp van de logaritmentafel een hoogtepunt in het rekenwerk (zie figuur 3). (Voor de jongere lezers: computers waren er toen nog niet; dus de relevantie van al dat rekenwerk was evident, net zoals het heel nauwkeurig cijferen in de lagere school.)

Het gaat daarbij niet alleen om het inslijpen van

Vernieuwing, verbetering of gewoon verandering?

Naar aanleiding van mijn oratie kreeg ik een e-mail van collega De Boer, een wiskundeleraar met ook zo’n veertig dienstjaren, die bezwaar maakte tegen het woord onderwijsvernieuwing. ‘Het gaat om

verbetering’, schreef hij, ‘en alles wat voor

onderwijs-vernieuwing doorgaat, leidt lang niet altijd tot verbetering van het onderwijs.’ Daar zit wat in, vandaar het woord onderwijsverandering in de titel van dit stukje. Is het onderwijs in de veertig jaar die ik zelf kan overzien, iets vernieuwd, verbeterd of veranderd? In kringen van onderwijsonderzoek wordt de wereld van het onderwijs wel vergeleken met een oceaan. Aan de oppervlakte van de oceaan gaat het hevig tekeer, de woeste golven van het onderwijsbeleid en de centraal geplande onderwijsvernieuwing zijn hoog en veroorzaken veel discussie. Op de bodem van de oceaan gaat het gewone leven in het leslokaal ongehinderd door, niet beïnvloed door wat er aan de oppervlakte gebeurt. Jan van den Akker (Universiteit Twente) formuleert het zo:

‘Er is veel empirisch bewijsmateriaal voor de stelling dat didactische patronen in concrete lespraktijken in allerlei vakken in verschillende schooltypen en in vele landen opmerkelijk gelijksoortig traditioneel en eenzijdig van aard zijn: dominantie van frontaal lesgeven door de docent met weinig tot geen initiatief bij de leerlingen, alsmede een tamelijk slaafse navolging van het leerboek.’

Klopt dat beeld met de werkelijkheid? Laten we de laatste veertig jaar eens overzien. Ik kies daarbij de volgende drie invalshoeken:

- Het centrale onderwijsbeleid met de structuur-veranderingen en gewenste onderwijsvernieuwing, de oppervlakte van de oceaan.

- De inhoud van het onderwijs, het leerplan.

- De lespraktijk, het leven op de bodem van de oceaan. Mijn terugblik begint in 1964, toen ik mijn eerste baan als wiskundeleraar kreeg. En dan ga ik in volgende afleveringen zo verder tot de dag van vandaag. Achtereenvolgens passeren de volgende onderwijs-structuren met leerplan en lespraktijk de revue:

technieken (Weten dat), maar zeker om een bepaalde systematische probleemaanpak om het zicht op je eigen rekenpartijen niet kwijt te raken. In mijn aantekeningen uit die tijd zie ik een grote nadruk op het eerst opstellen van een plan (Weten hoe) voordat er gerekend mocht worden. Dat plan beslaat in dit voorbeeld al snel een hele pagina: de logaritme nemen en alle rekenstappen vooraf bedenken (log teller en log noemer apart berekenen) en in het rekenschema opnemen. Voor een goed plan kreeg de leerling van mij al flink wat punten op de repetitie.

In 4 en 5 hbs-B stonden de technieken ook centraal. In mijn eigen hbs-tijd mochten of konden we nog niet differentiëren, zodat we de maxima, minima en dergelijke van een ‘functie’ als in figuur 4op een andere manier moesten berekenen. Kunt u dat (nog)? In 1964 leerde ik het de leerlingen wel met de afgeleide en daar zit natuurlijk heel wat technische vaardigheid (Weten dat) achter. Op dat moment spraken we ook echt van functies in plaats van vergelijkingen en formules. In Euclides werd heftig gestreden over de vraag of er nog een verticale as moest/mocht worden getekend. De

y-as was in de ban gedaan; die hoorde niet bij het

functiebegrip! Het klassieke functieonderzoek staat pas weer ter discussie sinds de invoering van de grafische rekenmachine. Maar daar zijn we in deze en de volgende aflevering nog lang niet aan toe.

Ook in vakken als de Analytische Meetkunde en de Goniometrie moest veel gerekend worden met lettervariabelen. Hierbij was een systematische probleemaanpak en het maken van een plan geen overbodige luxe. Veel leerlingen rekenden bijvoorbeeld bij het zoeken naar een formule voor een meetkundige plaats maar door, terwijl ze de vergelijking al in handen hadden. De belangrijkste uitzondering op het technische rekenwerk was de meetkundelijn met veel bewijzen en berekenen, waarvoor een probleemaanpak noodzakelijk was, ook in de mulo. In de klassen 1 tot en met 3 ging het over de vlakke meetkunde, in 4 en 5 over stereometrie. Leerlingen die indertijd met succes een B-opleiding en daarna een universitaire studie voltooiden, spreken nog altijd met weemoed over die Euclidische meetkunde. (Onlangs deed de voorzitter

van de KNAW, de bioloog Pim Levelt, nog eens een oproep om die Euclidische meetkunde weer in te voeren wegens het aanleren van waardevolle denkmethoden; Weten hoe en Weten waarom.)

De lespraktijk in 1964

Mijn lessen in 1964 leken qua werkvorm sprekend op die van alle collega’s in het land. De leraar vormde de intermediair tussen de leerstof, het boek en de examens aan de ene kant en de leerlingen aan de andere kant. De schoolboeken bevatten als regel voor leerlingen niet te verteren theorie, dus de docent legde met goedgekozen voorbeelden de kern uit, docerend of in een leergesprek. Daarna gingen de leerlingen het laatste kwartier met de huiswerksommen aan de slag. De centrale schriftelijke examens speelden een grote rol en een goede leraar liet veel matige leerlingen toch een voldoende bereiken door een gerichte

examentraining gekoppeld aan een kernachtige operationele samenvatting (één A4 per vak), gebaseerd op de examenpraktijk. Het instituut van de

universitaire deskundigen of gecommitteerden bij de mondelinge eindexamens van hbs en gymnasium garandeerde een wederzijdse wisselwerking tussen het vhmo en de universiteiten, wat betreft het niveau en de leerstof. Veel van die universitaire vakdeskundigen waren zelf ook leraar geweest.

Wat namen zij ervan mee?

Op de duur vroeg ik mij, als schooldecaan, af of mijn leerlingen op die manier wel goed beslagen ten ijs kwamen in het vervolgonderwijs. Daar hadden ze geen docenten die op mijn manier de leerstof voor hun leerlingen ordenden. Het Weten dat zat voor een tijdje wel goed, maar de rest? En van bovenaf begonnen nieuwe winden te waaien, die het gehele onderwijs in de wiskunde voor het eerst sinds eeuwen op haar grondvesten deed schudden. De New Math als antwoord op de eerste Spoetnik, waarmee de Sovjet-Unie de westerse wereld aftroefde. Weg met Euclides! Vervang het onderwijs in al die verouderde technische vaardigheden door onderwijs in de eenvoudige basisstructuren van de wiskunde, Weten waarom. Het wiskundeonderwijs zou een soort moedertaalonderwijs worden, voor iedereen te volgen.

De New Math drong op, terwijl er in Nederland een nieuwe onderwijsstructuur aankwam, want de

Mammoetwet was in de maak met mavo-havo-vwo. En een nieuwe opvatting over leren en onderwijzen, actief leren, samenwerkend leren… Zo werden in 1968 op elk niveau drastische onderwijsvernieuwingen beoogd; de

onderwijsstructuur, het leerplan en de lespraktijk

stonden voor grote veranderingen. Daarover een volgende keer.

Over de auteur

Anne van Streun (e-mailadres: A.van.Streun@math.rug.nl) is sinds 1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als wiskunde-didacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van de wiskunde en natuurwetenschappen.

antwoorden: Sommige leerlingen hadden op het eind van het hoofdstuk 5 van de 60 opgaven gemaakt. De meeste leerlingen besteedden buiten de contactlessen om maximaal 10 minuten per les aan het vak. Opgaven werden niet nagekeken. Dat had ook niet veel zin, want er waren toch nauwelijks uitwerkingen opgeschreven, het antwoord alleen werd ruim voldoende bevonden. Reflectievragen uit het boek werden steevast overgeslagen, het voorbereiden van een les was niet aan de orde, samenvattingen of andersoortige overzichten werden niet gemaakt. En toch: de toetsresultaten waren redelijk en voldeden aan de verwachtingen van zowel leerlingen als docenten. Misschien herkent u ook het volgende: in havo-5, nu met alleen nog de A12-ers, staan de resultaten zeer sterk onder druk. In een klap wordt er veel meer van de leerlingen gevraagd op wiskundig gebied. Het abstractieniveau is veel hoger (differentiëren!) en velen blijken niet in staat om de nu ontstane moeilijkheden het hoofd te bieden. Dit feit, samen met boven-genoemde constateringen, waren onverteerbaar voor ons. We trokken de volgende conclusie: als veel havo-4 leerlingen met erg weinig investering tot redelijk goede resultaten komen en ze in havo-5 onderuit gaan omdat ze niet weten hoe ze moeten werken, is er iets mis met ons wiskundeonderwijs: het is niet

motiverend, niet uitdagend en niet efficiënt als je zonder noemenswaardige inspanning toch voldoendes haalt en vervolgens het leren verleert.

Het experiment

Een dergelijke constatering kon niet zonder gevolg blijven; we voelden ons geroepen om in ieder geval

Vooraf

Het goed vormgeven van de Tweede fase vergt nieuwe didactische werkwijzen waarmee leerlingen

gestimuleerd worden meer verantwoordelijkheid te dragen voor hun leerproces. Op ‘t Hooghe Landt in Amersfoort werd met dit doel voor ogen besloten om terug te grijpen op een in vroeger tijden niet ongebruikelijke manier van toetsen: een mondeling. Havo-4 leerlingen met wiskunde A1 of A12 konden vrijwillig meedoen aan een experiment waarbij de onderwerpen ‘exponentiële groei’ en ‘modellen’ versneld werden behandeld en vervolgens mondeling werden getoetst. De auteurs zijn hierover enthousiast geworden en bespreken in dit artikel de opgedane ervaringen.

Inleiding

Wie van de lezers herkent de volgende situatie? Je geeft les in een havo-4-groep wiskunde A. Gelukkig dit jaar gescheiden met alleen A1- dan wel

A12-leerlingen. De klas is goed aan het werk (denk je), de omgang tussen jou en de leerlingen is prima, de leerlingen lijken na een paar maanden bovenbouw gewend aan het systeem van de Tweede fase, de resultaten zijn naar behoren. Kortom, het gaat zo zijn gangetje. Wij hadden zulke groepen en waren tevreden. Totdat onze tevredenheid ietwat voorbarig bleek en de uiterlijk goed verlopende lessen schone schijn. Een schoolbreed aandachtspunt met betrekking tot de Tweede fase was bij ons dit jaar namelijk ‘reflecteren op het leerproces’. In dat kader legden we onze leerlingen een vragenlijst voor over dit

onderwerp. En we kregen onthutsend eerlijke

HET MONDELING HERLEEFT

Een experiment in havo-4 waarbij twee onderwerpen versneld werden

behandeld en vervolgens mondeling werden getoetst.

een poging te doen, verandering te brengen in deze situatie. Ons idee was als volgt: we willen de leerlingen uitdagen om sneller en beter de stof te verwerken en ze dwingen om meer te reflecteren op het geleerde. Daartoe bieden we hen de mogelijkheid om de stof, over exponentiële groei en modellen, uit de derde periode van het jaar in kortere tijd te bestuderen en er vervolgens in tweetallen een mondeling over te doen in de weken voorafgaand aan de toetsweek. De ‘normale’ schriftelijke toets vervalt daarmee (een jaar op ‘t Hooghe Landt bestaat uit vijf perioden die elk worden afgesloten met een toetsweek). Voor de leerlingen had dit zeker voordelen: in de drukke toetsweek hadden zij minder te doen en van ons mochten ze de ‘gewonnen’ tijd naar eigen inzicht besteden (bijvoorbeeld aan het voorbereiden van andere vakken). Maar wij hoopten natuurlijk vooral dat ze door samen voor te bereiden meer gingen praten over de stof, waardoor ze zich die dus beter eigen zouden maken. Bovendien leek het ons stimulerend en motiverend om eens een keer ‘iets anders’ aan te bieden dan een gewone toets, en ook wilden we ervaren of leerlingen zich anders zouden manifesteren als ze het geleerde ook voor ons onder woorden

zouden moeten brengen. Om het effect van een goede samenwerking te optimaliseren, hebben we leerlingen zelf de tweetallen laten samenstellen.

In eerste instantie reageerden de leerlingen wel enthousiast, maar ook wat afwachtend. De

onbekendheid met en de angst voor een mondeling (voor wiskunde!) deed een aantal toch terugschrikken. Uiteindelijk durfde ongeveer een kwart van onze leerlingen het experiment aan.

Ervaringen

Reflectie op het leren en het geleerde

Leerlingen voelden haarscherp aan dat een mondeling in tweetallen een andere voorbereiding vraagt dan de gebruikelijke toetsvorm. Ze voerden gesprekken over bijvoorbeeld de volgende vragen: Hoe bereid ik me normaal voor op een toets? Wat kan de kracht zijn van het voorbereiden in tweetallen? Hoe kunnen we elkaars sterke kanten benutten als we mogen samenwerken? Het was zeer hoopgevend om te zien en horen dat reflecteren op het eigen leerproces nu kennelijk de moeite waard was om te doen.

De meeste koppels werkten efficiënt en intensief samen. Ze werkten in hun eigen tempo de stof en opgaven door, stelden vragen als dat nodig was en gingen verder zelfstandig hun eigen gang. Tijdens de mondelingen konden we duidelijk horen dat sommige koppels veel hadden overlegd hadden, veel hadden gesproken over de kern van de stof; ze kwamen met een goed verhaal en vulden elkaar aan waar dat nodig was. Het was één van de hoogtepunten van het experiment om te zien hoe ze in staat waren hun leren zelf vorm te geven. Er was bijvoorbeeld een A1-groepje dat zich geheel zelfstandig verdiept had in de werking van logaritmisch papier; dit deel van de stof hoorde niet tot hun programma, maar ze deden het erbij om een ‘goede indruk’ te maken, en dat werkte! Ze bleken heel goed in staat om de essentie van dit stukje stof te doorgronden met behulp van hun theorieboek en de bijbehorende opgaven. Wat verder goed werkte was dat we in de voorbereiding ieder koppel een opgave over modellen gegeven hadden die ze moesten voorbereiden (zie de voorbeeldopgave in

figuur 1). Ze wisten dus zeker dat ze daarover vragen zouden krijgen. Omdat de meesten dit ook goed voorbereid hadden, lukte het om het gesprek hiermee op gang te krijgen en de grootste spanning eraf te halen. Overigens was ook hierbij opvallend hoe verschillend de groepjes met deze opgave hadden gestoeid.

Praten over wiskunde leidt tot een betere verwerking

van die wiskunde

Voor het deelnemen aan een mondelinge toets voor wiskunde moeten leerlingen over andere vaardigheden beschikken dan voor een ‘gewone’ schriftelijke toets. Om er enkele te noemen: communicatief zijn, redelijk snel kunnen reageren op een vraag, hardop kunnen nadenken over een wiskundig probleem, niet te zenuwachtig worden van de nabijheid van twee wiskundedocenten. De meeste leerlingen realiseerden