Knik van magnetisch verzadigde lichamen: deel II : knik van platen

Knik van magnetisch verzadigde lichamen

Citation for published version (APA):

Ven, van de, A. A. F. (1980). Knik van magnetisch verzadigde lichamen: deel II : knik van platen. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 8019). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Onderafdeling der Wiskunde

Memorandum 80-1~ juli 1980

Knik van magnetisch verzadigde lichamen

Deel II

Knik van platen

door

dr. ir. A.A.F. van de Ven

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde Postbus 513, 5600 MB Eindhoven Nederland

In het tweede deel van deze notitie zullen we de algemene resultaten van het eerste deel gaan toepassen op een speciaal probleem, namelijk de knik van dunne platen onder invloed van een magnetisch veld loodrecht op de plaat. We zullen dit probleem eerst uitwerken voor platen onder willekeurige randcon-dities en we zullen dit vervolgens weer verder specificeren voor een inge-klemde cirkelvormige plaat. Voor dit laatste probleem zullen we numerieke waarden voor de kniklast bepalen en we zullen deze vergelijken met de waarden voor het overeenkomstige probleem voor soft-ferromagnetische materialen, zo-als verkregen in o.a. [lJ en [2J • We zullen dit probleem hier oplossen uit-gaande van zowel een Lagrange als een Euler formulering.

t

t

t

B -0 / 1 I I /

t

t

i

t

t

t

We beschouwen hier dus het volgende probleem: een in zijn vlak oneindig uit-gestrekte plaat met dikte 2h, geplaatst in een oorspronkelijk uniform mag-netisch veld B I gericht loodrecht op de plaat en zo groot dat de magnetisatie

- 0

in de plaat in z-richting verzadigd is.

De oplossing van het starre-lichaamsprobleem luidt dan eenvoudig:

(1.1 )

en

( 1.2)

BO+

=

i = B o 0 .. ~ 3 '

Izi

> h ,

Verder zijn de bijbehorende voorspanningen T~. uniform in de plaat, waarbij

~J

ze aan de randen z

=

+ h moe ten voldoen aan

(1. 3)

₌

_{21TP M 0'3} 2 2

Hieruit volgt

(1.4)

terwijI de overige spanningen onafhankelijk zijn van eventuele randvoorwaar-den in het x-y-vlak (i.e. het vlak van de plaat).

Zo is bijvoorbeeld voor een vrije plaat

=

0 .

We kunnen echter in alle gevallen stellen dat

(1. 5)

_{liT ..}

o 11

l.J

Met (1.1) tim (1.5) vereenvoudigen de storingsvergelijkingen uit het vorige deel reeds aanmerkelijk. We gaan nog verder door de storingsverplaatsingen nader te specificeren. We nemen hiertoe aan dat de plaat gaat uitknikken in buiging, d.w.z. we stellen: (zie [2])

u = -zw . ,

x

·,x

(w'" w(x,y»

( 1.6) _u = -zw

y ,Y

U_z = w'

+

2 (1

v

_ v)

z

2 Ilw ,

waarin w(x,y) de doorbuiging van het middenvIak (z

=

0) van de plaat is. We gaan nu eerst de evenwichtsvergelijkingen m.b.v. de randvoorwaarden voor de spanningen integreren over de dikte van de plaat. Hierbij worden momenten en dwarskrachten, be ide per lengte-eenheid, ingevoerd volgens,

(1. 7) (a,b

=

1,2) ,

-h -h

waarin

(1.8)

Substitutie van het verplaatsingsveld (1.6) in (1.8) en (1.7) en dit resul-taat in de geintegreerde evenwichtsvergelijkingen leidt tot de klassieke plaatvergelijking

(1. 9) Dt:.t:.w = q(x,y) , 2Eh

3

(D

=

-=~"""2-)

3(1 - v )

waarin q(x,y) een belasting per oppervlakte-eenheid is, normaal op de plaat en van magnetische oorsprong.

Tenslotte voeren we nog magnetische potentialen ~, ~ en ~ in door

(1.10) _b:

=

_h:

= -

~.

,(Izi

> h) , J. J. ,J. en (1.11) _h. = - ~ J. , i

, (1

z

I

<' h) , voor de Euler-formulering en (1.12) t

(I

z

I

< h) t voor de Lagrange-formulering.

Hiermee zullen we dan uiteindelijk de gelineariseerde vergelijkingen uit het vorige deel hebben teruggebracht tot een stelsel vergelijkingen voor de drie onbekenden:

w(x,y), ~(x,y,z) en ~(x,y,z) of ~(x,y,z) •

In de nu volgende paragrafen zullen we de bovengenoemde bewerkingen meer in detail uitvoeren en zullen we laten zien hoe we uit de resultaten de

knik-last kunnen bepalen.

We beginnen weer met de Euler-formulering.

2. Uitwerking Euler-formulering

We beginnen met de storingsvergelijkingen binnen het lichaam, zoals gegeven in Deel I, (3.18). Met (1.11) is identiek voldaan aan I (3.18)2

Bij de verdere uitwerking zullen we, zoals in de klassieke platentheorie gebruikelijk is, O(h2/R2)-effecten verwaarlozen. Hierbij is R een of andere karakteristieke lengtemaat in het vlak van de plaat. In feite komt dit er op neer dat we in de storingsvergelijkingen derde en hogere afgeleiden van w{x,y) moeten verwaarlozen. Zo is dan bijvoorbeeld (a

=

1,2)

(2.1) u

a,z +u z,a

v 2

= 2{1 _ v) z (Aw),a ~ 0 6

Hiermee wordt I.{3.1S)

(2.2) M m

=

~h­ a H a o M s = - - ql H ,a o waarmee I. {3.1S)3 geeft (2.3) b a B o =-H'(J)a' o ' - ql

_,z

Substitutie van (2.3) in I. {3.1S)1 leidt tot

(2.4) BO - ql + ql

=

(1 -(1 2'.1) ) 4~p M Aw •

H aa ,ZZ - v 0 s

o ' .

5

De constitutieve vergelijkingen I. (3.1S) kunnen nu worden geschreven als

(2.5) t, . ~J S~p2M2 o s H b2 (15 . 3J

c

i a +

c.

~ 315 . ) Ja ,a ql o

waarin Lij de puur elastische spanningen zijn volgens (l.S). Substitutie van (1.11) en (2.5) in de evenwichtsvergelijkingen I. (3.18)4 leidt tot

(2.6)

Dit geeft voor i

=

1 of 2

S~ 2M2 Po s H o b 2(C, , ~a ,az + 0'3' ~ ,aa ) .

(2.7) =pM(1+ o s 81TP M o S b ) H 2 ql az =: o I - f a o

want de term met Tjk bevat alleen derde afgeleiden van w.

V~~r i = 3 kan (2.6) met behulp van {2.4} worden uitgewerkt to

(2.8)

De vergelijking (2.4), (2.7) en (2.8) representeren de storingsvergelijkingen binnen het lichaam. De essentiele onbekenden hierin zijn ql en w.

Aan de storingsvergelijkingen buiten het lichaam, I. (3.19), kunnen we vol-doen met (l.lO), ala daarbij

IzJ

> h t

(2.9)

als

I

z

I ...

ClO •

Met het feit dat de magnetische velden in de starre-lichaamstoestand uniform zijn en met het verplaatsingsveld volgens (1.6) reduceren de randvoorwaarden I. (3.27) en I. (3.28) voor de storingsvelden b en h tot (bedenk dat

Ni = + _- 0'3 _lo voor

z

=

_-+ h) (2.10) e' 3 (h+ - h-)

=

41TP M e. 3 w l. a a a 0 s loa ,a b+ - b

=

0

z

z

op Z :: + h 2

hetgeen met (1.10), (1.11) en (2.3) nog verder kan worden uitgewerkt tot

(2.11)

lJi - cP :: 41TP M _{o s} w ,

Uit deze randvoorwaarden zien we direct dat $ and ~ even functies in z moeten zijn.

3

De randvoorwaarde voor de spanningen, I. (32.0) , tens lotte . kan, gebruik-makende van o.a. (1.4)1,2, worden gereduceerd tot

(2.12) _{ti3 = TijUz,j - T u} o _{zz z,} 0 _{i + 2oi3}T 0 _zz (u _Z,Z - a _K, k) - o'34~p _{~ 0 S} 2 2 M u _z,z

hetgeen met (2.5), (1.6) en (1.4) en na verwaarlozing van O(h2/R2)-termen nog verder kan worden uitgewerkt tot

(2.13) 8~ 2M2 Po s La3:= H o b 2IP ,a =: t a Z := + h •

Voor een afleiding van de globale evenwichtsvergelijkingen van de plaat '

in~egreren we deeerste twee evenwichtsvergelijkingen, (2.7), na deze eerst met z te hebben vermenigvuldigd, over de dikte van de plaat, terwijl we de derde evenwichtsvergelijking, (2.8) direct integreren. Na partH!le inte-gratie, waarbij we gebruikmaken van de randvoorwaarden (2.13), en na in-voering van momenten en dwarskrachten per lengte-eenheid volgens (1.7) leidt dit tot de globale evenwichtsvergelijkingen

h Mab,b -

~+

2ht _a +

f

zf dz _a

= o ,

(2.14) -h h ~,a + 2t3 +

f

f₃dz := ₀ (a,b ₌₌ 1,2) _I -h

waarin de randspanningen ta,t3 en de volumekrachten f

a,f3 gedefinieerd zijn in (2.13) en (2.7)-(2.8), respectievelijk.

De eerste vergelijking van (2.14) differentieren naar x en de tweede daarbij

a optellen geeft (2.15) -h h

f

(zf + f 3)dz == 0 • a,a

Voor de momenten Mab gelden de volqende, klassieke, constitutieve verqe-lijkingen (deze kunnen ook worden verkreqen door substitutie van (l.8) en

(1.6) in (1. 7».

(2.l6) Mab

= -

D{ U - 'I)w ab + 'l)0abw } ,

, ,cc

waarin D de plaatconstante is, gedefinieerd door

(2.17) 2Eh

3

D := - - - : -_{2 •}

3{1 - 'I) )

Na substitutie van (2.16) in (2.15) ontstaat de plaatverqelijkinq

(2.18) met (2.19) Dl:1l:1w

=

q , q

=

q(x,y) := 2 (ht + t 3) a,a +

_J

z=h -h h (zt + f3) dz • a,a

Met (2.4), (2.9), (2.11) en (2.18) hebben we nu een stelsel verqelijkinqen voor de velden ,(x,y,z), W(x,y,z) en w(x,y), waaraan aIleen nog de rand-voorwaarden, welke de aard van de oplegginq van de plaat karakteriseren, ontbreken. Zonder deze randvoorwaarden te specificeren, kUnnen we echter toch reeds een aahtal aspecten van de oplossing aanqeven.

We trachten daartoe aan de verqelijkingen (2.4) en (2.9) te voldoen met de separaties

(2.20) ~(x,y,z) = C(z)w(x,y) w(x,y,z) = A(z)w(x,y) •

Substitutie van (2.20) in (2.4) qeeft

(2.21) B o

{If'C

(z) o

~~

-

2~}41l'P

M }I:1w(x,y)

+

C"(z)w(x,y} = 0 • - 'I) 0 S

Aan deze verqelijkinq is aIleen te voldoen als

(2.22) I:1w + A 2 W

=

0 ,

(2.23) waarin (2.24) B 4"'0 M 132

=

~ ~ 0 s H H » 1 (zie I. (3.14» • o 0

Met (2.22) is met

(2.20)~

aan (2.9) voldaan als

(2.25) A{z) =Ae

-Alzl

(A > 0) •

We weten al dat ~ een even functie van z moet zijn. Hiermee vinden we .als oplossing van (2.23)

(2.26) c(z)

=

(1 - 2v) 4"'0 M + C cosh (SAZ) • (1 _ V}13 2 0 s

De constanten A en C volgen uit de randvoorwaarden (2.11), welke leiden tot

(2.27)

Ae-Ah - C cosh (SA-h)

=

4"'0 M {1 +

o s

(1 --2v)}' 2 ' (1 - v) 13 -Ah

-A e - SC sinh (SAh)

=

(1 - 2V)Ah 4". M (1 - v) Po s

waarbij in de afleidimi van de laatste conditie gebruikgemaakt is van (2.22).

Om de verdere berekeningen te vereenvoudigen, zullen we nu a priori aannemen -en de uiteindelijke resultat-en zull-en dit bevestig-en - dat AR

=

0(1), zodat

(2.28) Ah = O(h/R) « 1 -2

We weten verder dat ook

a

klein is, waarmee dan de vergelijkingen (2.27), na verwaarlozing van O(Ah) en 0(13-2) termen, vereenvoudigen tot

(2.29)

A - C cosh (SAh)

=

_{4"'0 M} o s A +

ac

sinh (SAh) = 0 •

Na A en C hieruit te hebben opgelost, vinden we veor de magnetische potentialen

4~p M B sinh(SAh)

I I

1jI

= __

o...;s--.,. _ _ _ _ e- A z w(x,y)

A

Iz\

> h I (2.30) {(1 ~ 2v) ~ = . 4~p M -(1 - v) S2 0 s 4~p M

A

O s cosh (SAz)}w(x,y) ,

\zl

< h , waarin

(2.31) A == cosh (BAh) + B sinh (BAh) f

een parameter van 0(1) is. Dientengevolge is de eerste term in de uitdruk--2

king voor cp van 0(6 ) ten opzichte van de tweede, zodat we dus uiteindelijk krijgen

(2.32)

4~p M,

!p == - AO S cosh (ASz)w(x,y),

I

z

I

< h •

Voor we verder gaan, zullen we eerst nagaan wat de consequenties van de voorafgaande vereenvoudigingen zijn voor de oorspronkelijke vergelijkingen. Zo zien we dat we in de randvoorwaarde (2.11)2 het rechterlid mogen verwaar-lozen. Verder betekent het feit, dat we in de uitdrukking voor cp volgens

2 '

(2.30) de eerste term mochten verwaarlozen, dat we ook het rechterlid van (2.4) hadden mogen verwaarlozen. Hiermee komen we dan uit op het volgende vereenvoudigde stelsel vergelijkingen voor ljI en cp

6lj1 == 0

(2.33) ljI ..

o

2

Cp,zz +

a

!JI,aa == 0

met als randvoorwaarden

(2.34) ljI - cp == 4~p M w o s

Izi

> h voor

I

z

I

-+- co ,

I

z

I

< h , ljI _,z - cp _,z

=

0 op

Izi

=

h • Met (2.22) geeft dit weer de oplossing voor cp volgens (2.32).

Nadat we aldus ~ gevonden hebben, al is w(x,y) natuurlijk nag steeds onbekend, kunnen we nu de belasting per oppervlakte-eenheid q(x,y), gedefinieerd in

(2.19), gaan bepalen.

Na substitutie van (2.22) in (2.13) vinden we, na de gebruikelijke verwaar-lozingen, dat (2.35) = 2 (ht

+

t 33) a,a z=h ~ 2ht a,a z=h

=

hetgeen .dus aileen afkomstig is van h

t , terwijl (2.7) en (2.8) leiden tot

a 161T 2M2

J

-h (2.36(

+

(zt + f 3)dz = -a,a Po s 2 2

A

b 2 cosh (ABh)A

B

hw +

welke termen afkomstig zijn van fa en van de iaatste term van f3; de eerste

. a

drie termen van f

3, welke o.a. de voorspanningen T .. ~J bevatten, mogen dus

worden verwaarloesd. We zien hieruit dat de invloed van de voorspanningen mag worden verwaarloosd. Diens bijdrage is in feite 0(8-2) ten opzichte van de laatste term in (2.36). Om q(x,y) te bepalen, moeten we (2.35) en (2.36) bij elkaar optellen. We zien dat hierbij de termen met b₂ tegen elkaar weg-vailen. De magnetostrictie heeft dus in eerste orde geen invloed op de kniklast. Uiteindelijk krijgen we dan voer q(x,y) de volgende uitdrukking

(2.37) q(x,y)

=

welke geheel afkomstig is van f

3, de volumekracht van magnetische oorsprong in de z-richting, welke gegeven is in (2.8), maar binnen onze benaderingen mag worden vereenvoudigd tot

-Resumerend kunnen we dus concluderen dat:

i) weliswaar in de randspanningen t en de volumekrachten f en f3 de

in-a a

vloed van b

2 behouden bIijft, maar dat deze bijdragen bij de samensteI-ling van de totale belasting q tegen elkaar weqvaIIeni we mogen dus toch de magnetostrictieve termen verwaarlozeni

ii)de bijdragen van de voorspanningen T~. te verwaarlozen zijn.

~J

Dit houdt dus in dat we in-.de voorafgaande vergeIijkingen mogen steIIen

o

b 2 =: Tij

=

o .

We krijgen dan het volgende steIseI benaderde (onder verwaarlozing van O(Ah)

0( Q-2) termen) Iijki d d d 1 i h

en ~ verge ngen en ran voorwaar en voor e puur east sc e

spanningen T ••

~J

( I

z

I

< h) ,

(2.39)

=

0 op

Izi

=

h •

Op analoge wijze als hiervoor gedaan kan hieruit de volgende plaatvergelij-king worden afgeleid

(2.40) D./l./lW

=

. 8'1\' 2M2 Po s

A AS sinh {ASh)w ,

welke, uiteraard, volledig in overeenstemming is met (2.37). Uit (2.22) voIgt (2.41) waarmee (2.42) 4

=

A

W , (2.40) leidt tot 8'1\' 2M2 ,3 __ Pos A AD S sinh (ASh) ,

wat met de definities (2.17) en (2.31) en met 4'1\'p M ~ B de volgende relatie o s 0

(2.43) ().h) 3 _cr

₌

[~1-.."...,-""

_cosh(ABh) ] 1 +

_B

_{sinh (ABh)}

,

waarbij we nog opmerken dat de in de voorfactor voorkomende_~~

cosh (ASh)

B

sinh (ASh)

klein t.o.v. l-zal zijn, zodat deze voorfactor dus in de buurt van 1 zal liggen.

In de conditie (2.43) is A: nog steeds een onbepaalde parameter. Deze moet worden bepaald uit de randvoorwaarden voor w(x,y}, die de aard van de

op-legging van de plaat karakteriseren. De in (2.43) te substitueren waarden voor A, zijn dan die waarden, waarvoor de uitbuiging van de plaat een niet-triviale oplossing w ~ 0 heeft. Op deze wijze vinden we dan de kritische plaatdikte h, waarboven de plaat nog juist niet uitknikt. We zullen dit hierna gaan uitwerken voor een plaat, welke langs de cirkelvormige rand: x2 + y2

=

R2 is ingeklemd, maar we willen eerst bovenstaand resultaat ver-gelijken met het overeenkomstige resultaat voor de soft-magnetische plaat. We verwijzen hiervoor naar [2J, eq. (2.25), waar is gevonden

(2.44)

O.h) 3

= [ _ _ _

l_~~J

cr 1

+

cosh (Ah)

II sinh()'h)

t

waarin II de magnetische permeabiliteit is, welke » 1 is. Dus afgezien van de voorfactoren, welke echter beide in de buurt van 1 liggen, komen beide condities volledig met elkaar overeen. Dit wijst erop dat we de (Ah - B

)-o kromme, zoals gevonden in het soft-magnetische gebied, mogen voortzetten tot aan het verzadigingspunt.

We zullen dit nu gaan toepassen op een cirkelvormige, ingeklemde plaat. Het overeenkomstige probleem van de knik van soft-ferromagnetische platen is o.a. beschreven in [2J en [3]. Noemen we de straal van de plaat R, dan hebben we hier als randvoorwaarden voor w(r) (we nemen de uitbuiging

I 2 2' rotatie-symmetrisch en r

=

Ix

+ Y )

Van deze randvoorwaarden is aIleen de tweede essentieeli aan de eerste kan immers altijd worden voldaan door bij w(r) een starre-lichaamstranslatie op te tellen, welke op geen enkele wijze de waarde van ~ beinvloedt. Aan (2.22) is in dit geval voldaan met

(2.46) w(r)

=

AJ (Ar) , o

en hiermee is dan weer aan (2.45)2 voldaan als

(2.47)

welke als kleinste wortel heeft

(2.48) A

=

3,83

R

Substitueren we dit in (2.44) dan krijgen we

(2.49) (h) _

~

[ •

COSh(3'836h/R)]~1/3

R cr - 3,83 1 + 6 sinh (3,836h/R) -2 2 - v )H o 4'!fE

We zullen dit verder numeriek uitwerken voor ijzer. Hiervoor gelden de vol-gende waarden (zie bijv. [4J, pp. 53-54)

P M

=

1700 G, B

=

21500 G, H

=

2 Oersted, o s s s (2.50)

\) =

0,3 en E

=

2,1

*

1012 dyne/cm2 Dit geeft (2.51) 02

=

2,15

*

104

=

1 1 1 4 0 1 5 '" 2 '

*

0 .. " , = 0 , terwijl (2.49) wordt (h)

₌

_{1,226 x 10-5 [1} + 105

~402h/R)]

H2/3

=

R cr tanh 0 (2.52) -3

[1

~402h/R)]

=

9,48

*

10 + _{105 tanh}

Voor een schatting van de factor tussen [ ] vullen we hierin de waarde voor h/R in, die we zouden krijgen als deze factor gelijk aan 1 zou zijn. We krij-gen dan [ (2.53) 1

] =

1

+

---=---::-

=

-3 105 tanh (402

*

9,48

*

10 = 1 + 0,953

*

10-2 FI$ 1 ,

waaruit we concluderen dat de aanname om de factor [ ] gelijk aan 1 te nemen binnen een redelijke nauwkeurigheid gerechtvaardigd is.

We hebben gezien dat voor dit voorbeeld de factor ASh gelijk werd aan

ASh

=

3,81 •

Voor deze waarde kunnen we binnen een zeer goede nauwkeurigheid stellen dat

(2.54) _{sinh (Xj3h)} cosh (ASh)

₌

_{1 ,}

waarmee de voorfactor in (2.43) wordt

(2.55) _[1

₊

_{j3 sinh (Aj3h)} cosh (Aj3h) ]-1

Hiermee reduceert (2.43) tot 3(1 _ \)2)B2

o

=--~---4 'irE (2.56)

een uitdrukking, welke nu onafhankelijk van j3 is geworden. De onnauwkeurig-heid is hierbij O(S-l), maar aangezien voor de meeste in de practijk gebruikte magaetische materialen

e

=

0(102) is dit voor practische berekeningen vol-doende klein.

We wijzen er tens lotte nog op, dat de voorfactor in (2.44) met (Ah} « 1 ook kan worden benaderd door

cosh (Ah)]-1 1 -1 [1 + II sinh <Ah) =, [1 + llAh] = (2.57)

aangezien, met 1.I

=

0(104) en Ah

=

0(10-2) geldt

(2.58)

Dus bij vervanging van de voorfactor in (2.44) door 1 wordt dezelfde kleine fout gemaakt als bij de vervanging van (2.43) door (2.56).

We trekken hieruit de volgende belangrijke conclusie:

voor ferromagnetische materialen, waarvoor de maximale permeabiliteit 4 2 4

1.I

=

0(10 ) en de verhouding B /H =

S

= 0{10 ), geldt zowel in het

s s

softmagnetische gebied als in het verzadigingspunt:

(2.59) (Ah) 3 cr 3{1 - V2)B2 o = : -41TE 3. Uitwerking Lagrange-formulering

V~~r een uitwerking van de storingsvergelijkingen in de Lagrange-formulering gaan we uit van I. (3.31) tim I. (3.33). Met (1.12) is identiek voldaan aan I. {3.31)2. De vergelijkingen I. (3.31)6,7,8 worden met (1.12) en (1.6) en na verwaarlozing van 0(h2

/R

2)-termen (i.e. derde afgeleiden van w)

(3.1) M s m _a

= - -

_{H , a}

<P

o (a

=

1,2)

Hiermee gaat I. (3.31)3 over in

(3.2) B

b-

=

0

a

- - H

<Pa

,

o (1 - v) H

- <P,z -

(1

~

v)Bo{l + ---V-B--

o

-}Z8W o

terwijl I. (3.31)1 dan leidt tot (3.3) B o v

I I

4l

aa +

4l,

zz = - (1 o ' (1 - v) H ) B {1 + _ _ _ ...;;...o}llw

v

0 vB o

De mechanischevergeJ,ijkingen I. (3.31}4en 1. (3.31)5 uitwerken geeft

(3.4) en

(3.5)

Ons baserend op de resultaten van de vorige paragraaf, verwaarlozen we in de bovenstaande vergelijkingen termen van de orde (p M )2u D ten opzichte

-2 0 s a, p

van TaS" Na tevens 0(13 )-termen te hebben verwaarloosd, vereenvoudigen de vergelijkingen (3.3)-(3.5) hiermee tot

(3.6) (3.7) en (3.8) B o ~ + ~

= _

v B AW H 't' aa 't' , zz (1 - v) 0 f..l , o ' T -as

Substitutie van (3.8) in (3.7) levert, voor a

=

1 of 2 ,

T

=

P M (1 + as,S 0 s (3.9) 2 M a2b ~ ~ Po sP 2't',az =: en voor a

=

3 POMS

= ,-

- H - (B o - 8'T1'p M bo s 2

)cp

,aa ~ o (3.10)

~

- P M 82(1 - 2b 2

)cp

=: -

6

3 • o s ,aa

Deze vergelijkingen gelden alle binnen de plaat (lz1 < h). Buiten de plaat krijgen we, evenals in §2, met (1.10),

b+

=

h+

= -

W . I met

~W

=

0 ,

i i I~

(I

z

I

> h)

(3.11)

als Izl -+ co •

De randvoorwaarden voor de storingsvelden ~ en

h

volgens I. (3.36) reduceren met de voorafgaande resultaten tot

(3.12) B w o (1 - 2\.1) - (1 _ ,,) h~w, op z = + h 1/J -<j>

=+

v

,z

,z

In deze randvoorwaarden mag, op dezelfde gronden als ins 2, het rechterlid van de tweede randvoorwaarde worden verwaar~oosd, waarmee deze vereenvou-digen tot

(3.13) W-<j>=Bw,W -<j> = 0 , oplzl=h.

o , z , z

Om analoge redenen mag ook het rechterlid van (3.6) worden verwaarloosd, wat leidt tot

(3.14)

_e

2 _<P,aa + <j>

=

a •

,zz

We zien dat het stelsel (3.11)-(3.13)-(3.14) vrijwel volledig overeenkomt met het stelsel voor W en ~ volgens (2.33) en (2.34). Het enige verschil zit in het rechterlid van de eerste randvoorwaarde: hierin is 4np M vervangen

o s

door B • Binnen onze benaderingen geldt echter 4np M ~ B , zodat dus ook

o 0 s 0

(3.1S)

OVereenkomstig (2.32) geldt dus

(3.16)

B

o

3

Tenslotte geven de randvoorwaarden voor de spanningen I. (3.33) onder de gebruikelijke verwaarlozingen (3.17) _.taz

₌

₀ op IzJ

=

h , of, met (3.8) 811' 2M2 Po s b 2<p 2 ta l' = = 2p M 6 b 2<P =:

,

az H ,a o s ,a 0 (3.18) l' _zz = 0 op Izl = h •

Dit leidt tot de volgende uitdrukking voor q h q

₌

q(x,y) = 2h.t +

J

(za +

6

3)dZ

=

a,a a,a (3.19) -h h M 62

J

2p M B

=

_{Po s} <p dz

=

o s 0],.6 sinh (A6h)w(x,y)

.

,aa A -h

Deze uitdrukking komt met B ~ 411'p M overeen met de in §2 gevonden

uit-o 0 s .

drukking voor q (zie (2.37». De Lagrange-formulering leidt dus tot dezelfde knikvergelijking als de Euler-formulering (zoals natuurlijk ook te verwachten is) en de verdere analyse en conclusies zij.n volledig identiek aan die van §2.

4. Vergelijking van de knik van een soft-magnetische en een magnetisch verza-digde plaat

In o.a. [lJ tim [3J is de knik van soft-magnetische platen beschreven. Bij een soft-ferromagnetisch materiaal be staat er een lineair verband tussen de magnetische inductie en de veldsterkte

(4.1)

waarbij

~

» 1

(~

=

0(104) voor de technisch belangrijkste ferromagnetische materialen) •

In het volgende schema zullen we de verschillen in de beschrijving van de knik van platen van soft-ferromagnetische en magnetisch verzadigde materi-alen laten zien. In beide formuleringen zijn benaderingen toegepast: in het soft-ferromagnetische geval zijn O(p-1)-termen en in het verzadigde probleem O(B-2)-termen

(13

2 := B /H ) verwaarloosd. Verder zijn in beide

for-2 2 s s

muleringen O(h /R )-termen verwaarloosd. Tenslotte zijn de uiteindelijke

-1 -1

resultaten nauwkeurig tot op O«ph/R) ) en 0(13 ), resp.

Soft-ferromagnetisch ([2]) 6rp

=

0 tp - ql =Bw 0

(I

z

1

> h) als I z 1 + (X) ( 1 z I > h)

(I

z

1

= h)

:}

tp _,z - WI' _,z = 0 t . . . = 0 , l.J,J (p » 1)

Izi

== h , Magnetisch verzadigd

(I

z

I

> h) als 1 z 1 + (X) 2

₊

cp == 0 ,

cI

z

I

< h) 13 rp , aa _,zz <132 = B /H » 1 ) s s tp ..;. ql = 41rp M w ~ B w

:} (I- 1

o s 0 tp,z - ql = 0 ,z tij,j -p o s ,i3 Mrp =0

,

t .. l.J ::: 'ij

=

CijkR.~,R.

,

ti3

=

0

,

(Iz 1 =h

,

d

i

t

l e i d t

t o t :

B o rp == -Tcosh (AZ)W(X,y) , r= cosh (Ah) + p sinh (Ah) ,

2 6w + A w

=

0 , D66w

=

q , B2 q

=

(PAh)~ AW

r

21r 41rp M o s ql == -

A

cosh (ABz)w(x,y)

A

=

cosh (ASh) + 13 sinh (ASh)

2

6w + A w

=

0

D66w

=

q ,

e n d l t

gee

6

t

u l t e l n de! lj k

=

2

(S sinh(ASh» 3(1 - v ) (4~ M)2

=

=

A 4~E Po s

Uithet laatste resultaat zien we dat, afgezien van de orde-factoren, welke beide 0(10-2) zijn, de uitdrukkingen voor de critische (Ah)-waarden identiek zijn.

We constateren echter wel een verschil in de beschrijving en wel op twee pun-ten:

i) In de magnetische potentiaal ~. In het soft-magnetische geval is ~ een potentiaalfunctie en heeft de normale afgeleide van ~ een sprong over de rand van de plaat, welke afhangt van ~. In het verzadigde geval is de normale afgeleide van qJ continu over de rand van de plaat, maar is qJ geen

potentiaalfunctie meer. Dit leidt tot verschillende uitdrukkingen voor ~

in beide gevallen.

ii) In het mechanische deel. Bij de soft-magnetische plaat wordt de knik ver-oorzaakt door normaalspanningen van magnetische oorsprong werkend aan de boven- en onderzijde van de uitgeknikte plaat. In de verzadigde plaat daarentegen ligt de oorzaak van knik in een volumekracht in z-richting van magnetische oorsprong werkend op de uitgeknikte plaat.

Verder zijn de twee orde-bepalende factoren,

~

resp.

6

2, weliswaar beide gelijk aan B /8 , maar natuurlijk wel op verschillende punten van de

magnetisatie-o 0

kromme:

~

in het gebied van maximale permeabiliteit en

6

2 in het

verzadigings-4

punt. Beide mogen echter wel van dezelfde orde van grootte, nl. 0(10 ), wor-den genomen.

Referenties

[lJ Moon, F.C. en Yih-Hsing Pao,

Magnetoela6Z£e Buckling

on

a Thin

Plate,

J.A.M. 35 (1968),53-58.

[2J Van de Vent A.A.F.,

Magne.toela6tie Buelling

On

Thin Plate.o

,bt

a Uni6o!tm

Magnetic

F~etd, J. of Elasticity ~ (1978), 297-312.

[3J Moon, F.,

The

Meehanic.&

06 FelCJWela6Z£e P.ta.te6

bt

a. Uni60!tm Magnetic

F~etd, J.A.M. 37 (1970), 153-158.

[4J Bozorth, R.M.,

FelCJWmagne-ti,,6m,

D. van Nostrand company, Inc. New York, 1964.