Representaties van SU(N ) en Gell-Mann’s
Eightfold Way
Job de Jong
12 juli 2019
Bachelorscriptie Wiskunde en Natuur- & Sterrenkunde Begeleiding: dr. Hessel Posthuma, dr. Wouter Waalewijn
Institute of Physics
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In deze scriptie bespreken we Gell-Mann’s Eightfold Way en de rol van representaties van SU(N ) daarin. Aan bod komen representatietheorie in het algemeen, en een bespreking van de relevante veelvoorkomende begrippen. Hierop volgt de constructie van de repre-sentatiering en het bepalen van de ringstructuur door de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten. We vervolgen met het uitwerken van deze begrippen voor de groep SU(2). Van deze constructie zullen we de toepassingen in de kwantummechanica bestuderen. Uiteindelijk zullen we de Gell-Mann’s Eightfold Way en de verschillende manieren om hadronen te ordenen behandelen, en zien hoe de uitdrukkingen in de representatiering ook hier veer voor van groot belang zijn.
Titel: Representaties van SU(N ) en Gell-Mann’s Eightfold Way Auteur: Job de Jong, jdejong1075@gmail.com , 11342811 Begeleiding: dr. Hessel Posthuma, dr. Wouter Waalewijn
Tweede beoordelaars: dr. Arno Kret, dr. Jan Pieter van der Schaar Einddatum: 12 juli 2019
Institute of Physics
University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.iop.uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1. Inleiding 5
1.1. Geschiedenis . . . 5
1.2. Overzicht . . . 6
1.3. Leesaanwijzingen . . . 7
2. Representaties, eigenschappen en de representatiering 8 2.1. Representaties . . . 8
2.1.1. Morfismen van representaties . . . 8
2.1.2. Irreducibele representaties . . . 8
2.2. Lie groepen . . . 9
2.3. Representatiering . . . 9
2.3.1. Optelling . . . 9
2.3.2. Grothendieck constructie en universele eigenschap . . . 10
2.3.3. Vermenigvuldiging . . . 10
2.4. Karakters . . . 11
3. Representaties van SU(2) 13 3.1. Representaties . . . 13
3.1.1. Karakters . . . 14
3.2. Clebsch-Gordan co¨effici¨enten . . . 15
4. De Lie-algebra van SU(2) en kwantummechanica 17 4.1. Lie-algebra’s . . . 17
4.2. Spin . . . 17
4.2.1. Kwantummechanica . . . 17
4.2.2. Samengestelde deeltjes . . . 18
5. Gell-Mann’s Eightfold Way 19 5.1. Quarks . . . 19
5.2. De Lie-Algebra van SU(3) . . . 19
5.2.1. Basis . . . 19
5.2.2. Lie haak en operatoren . . . 21
5.2.3. Werking van de operatoren . . . 21
5.3. SU(3)-symmetrie . . . 22
5.4. Werking op quark toestanden . . . 24
5.5. Mesonen . . . 24
6. Conclusie 27
Bibliografie 28
Populaire samenvatting 29
A. Natuurkundige data 30
A.1. Clebsch-Gordan co¨effici¨enten . . . 30
A.2. Lijst van deeltjes . . . 31
A.2.1. Baryonen . . . 31
1. Inleiding
In deze scriptie zullen we de theorie achter Gell-Mann’s Eightfold Way bespreken. Deze theorie heeft aanleiding gegeven tot het quark model en quantumchromodynamica, een belangrijke component van het standaardmodel van de deeltjesfysica. Als eerste zullen we de geschiedenis beschrijven waarbinnen dit model tot stand kwam.
1.1. Geschiedenis
In de menselijke geschiedenis is er een lange zoektocht geweest om een of meerdere zo klein mogelijk deeltjes, zogeheten elementaire deeltjes, te vinden waar alle materie uit is samengesteld. Via moleculen en atomen kwam men uiteindelijk in 1932, na de experi-mentele bevestiging van het neutron door James Chadwick, erop uit dat alle materie was opgebouwd uit protonen, neutronen en elektronen. Toen echter in de jaren 50 van de vorige eeuw er deeltjesversnellers werden ontwikkeld, kwam men steeds meer deeltjes te-gen die sterk op protonen en neutronen leken, zote-genaamde hadronen. Sommige deeltjes vervielen snel, anderen hadden een aanzienlijke levensduur (voor wat men in de deeltjes-fysica gewend was). Deze grote verscheidenheid aan deeltjes werd al snel aangeduid als de deeltjesdierentuin.
Er werd in reacties tussen deeltjes en verval van deeltjes een behouden eigenschap gevonden, namelijk strangeness. Deze eigenschap bleek behouden in reacties onder alle krachten, behalve de reacties onder de zwakke kernkracht. Toen Murray Gell-Mann (1929-2019) zich hiermee ging bezighouden, viel het hem op dat deze deeltjes te ordenen waren in overeenstemming met verschillende representaties van SU(3). Dit zette hem ertoe aan om het quarkmodel te ontwikkelen.
In het quarkmodel zijn er zes elementaire deeltjes waaruit hadronen zijn opgebouwd. Elk van deze deeltjes heeft zijn eigen antideeltje. De hadronen zijn ofwel uit 3 quarks opgebouwd, de zogenoemde baryonen, ofwel uit 1 quark en 1 antiquark, de zogenoemde mesonen. Recentelijk wordt er gesproken over het mogelijk bestaan van pentaquarks, deeltjes die uit 4 quarks en 1 antiquark bestaan. Het is niet mogelijk om een individueel quark tegen te komen dat zich niet in ´e´en van deze combinaties bevindt.
Dit is een gevolg van een eigenschap die bij dit model werd ge¨ıntroduceerd, te weten kleur. Elk quark heeft een kleur rood, groen of blauw. Een antiquark heeft de kleur antigroen, antirood of antiblauw. Tussen gekleurde deeltjes werkt de sterke kernkracht. De sterke kernkracht wordt overgebracht door gluonen, die ook kleur met zich meedragen en deeltjes van kleur kunnen doen veranderen. De sterke kernkracht zorgt ervoor dat er geen gekleurde deeltjes zichtbaar zijn, dus alle waarneembare deeltjes zijn kleurloos. Een kleurloos deeltje kan worden gemaakt door ofwel een quark van een bepaalde kleur
met een antiquark met de corresponderende antikleur te combineren, ofwel drie quarks met de kleuren rood, groen en blauw te combineren. Dit is naar de analogie van licht, waar alle verschillende kleuren licht tezamen wit licht opleveren. Deze combinaties van gekleurde deeltjes komt inderdaad precies overeen met de mesonen respectievelijk de baryonen die we net noemden.
Toen Gell-Mann deze theorie postuleerde, was het Ω−-deeltje (zie de voorpagina) nog niet waargenomen. Dit is het zwaarste baryon binnen de theorie, en het kost dan ook de grootste energie om te maken. Dit deeltje werd volgens zijn theorie voorspeld en het werd dan ook als bevestiging van deze theorie gezien toen het in 1964 werd waargenomen. Dit leidde er dan ook toe dat Gell-Mann in 1969 de Nobelprijs voor de natuurkunde ontving. Gell-Mann heeft deze theorie dikwijls aangeduid als de Eightfold Way, verwijzend naar het achtvoudige pad in het boeddhisme, dit omdat er een aantal keer groepen van 8 deeltjes in de ordening betrokken waren. Het woord quark is ook door Gell-Mann zelf bedacht, waarbij het hij de spelling van het woord heeft ontleend aan een het boek Finnigan’s Wake van James Joyce.
1.2. Overzicht
In het eerste hoofdstuk zullen we representatietheorie in het algemeen behandelen en enkele definities van groepen en concepten binnen de representatietheorie die regelmatig terugkomen. In het bijzonder zullen we de representatiering behandelen De ordeningen van de deeltjes die we later zullen tegenkomen zijn uitdrukkingen in die representatiering. In het tweede hoofdstuk zullen we de irreducibele representaties van SU(2) behande-len, inclusief de karakters en de ontbinding in de representatiering.
In het derde hoofdstuk zullen we de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten die we hebben gezien uit de kwantummechanica relateren aan de kennis die we hebben opgedaan over repre-sentaties. Het zal blijken dat dit verduidelijkt waarom de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten zo werken en hoe dit uit de wiskunde volgt.
In het vierde hoofdstuk zullen we echt aan Gell-Mann’s Eightfold Way toekomen en dit relateren aan uitdrukkingen in de representatiering. We zullen de symmetrie die hieraan ten grondslag ligt bespreken aan de hand van de Lagrangiaan, en hoe deze het mogelijk maakt om de deeltjes zo te ordenen.
Ten slotte zullen we onze conclusies trekken. In de appendix is nog een tabel met de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten zoals men die in de kwantummechanica gebruikt te vinden, alsmede een lijst met deeltjes die het geheel leesbaar houdt, omdat door de scriptie heen alleen de namen van de deeltjes gebruikt worden en niet hun (eventuele) samenstelling uit andere deeltjes.
1.3. Leesaanwijzingen
De hoofdstukken 2 en 3 zijn vooral op wiskunde gericht, en de hoofdstrukken 4 en 5 op natuurkunde. Dit is ook te zien in de verschillende stijlen die hiervoor gehanteerd worden en de mate waarin claims worden bewezen dan wel aannemelijk gemaakt. Zoals gezegd staat er in de appendix een lijst met deeltjes. Dit omwille van de leesbaarheid zodat niet bij elk deeltje ook zijn quarkcompositie in de scriptie zelf gegeven moet wor-den. In het hoofdstuk over representatietheorie wordt voor bepaalde bewijzen verwezen naar een bron, aangezien dit basale representatietheorie is maar er voor een bewijs nog kennis nodig is die verder niet echt relevant is voor de rest van de scriptie en dit hoofd-stuk onnodig lang zou maken. In het natuurkundig gedeelte maken we gebruik van de conventie dat c = ~ = e = 1.
2. Representaties, eigenschappen en de
representatiering
2.1. Representaties
We zoeken naar een instrument om groepen te bestuderen. Aangezien matrices over het algemeen beter worden begrepen dan groepen, zoeken we naar een manier om groeps-elementen in termen van matrices te schrijven. We defini¨eren als volgt:
Definitie 2.1. Zij G een groep en V een vectorruimte. Een representatie van G is een groepshomomorfisme ϕ : G → GL(V ). We noteren ϕg voor het element van GL(V )
waar g op afgebeeld wordt, en ϕg(v) voor de werking van ϕg op v ∈ V . Omdat ϕ een
homomorfisme is geldt ϕe= 1 en ϕgh = ϕgϕh De representatie in zijn geheel wordt vaak
genoteerd met (V, ϕ), maar we zullen in het vervolg ook vaak V gebruiken. De graad van ϕ is gedefinieerd als de dimensie van V .
Aangezien elke vectorruimte isomorf is aan Cn, kunnen we elke representatie ook zien als representatie over Cn.
Merk op dat we altijd een representatie krijgen door ϕ : G → GL(C) : g 7→ 1. Dit is de triviale representatie.
2.1.1. Morfismen van representaties
Definitie 2.2. Laat V, W vectorruimten, en ϕ, ψ representaties van G op V respectie-velijk W . Een morfisme van ϕ naar ψ is een lineaire afbeelding T : V → W zodat T ϕg = ψgT voor alle g ∈ G. We noteren HomG(ϕ, ψ) voor de verzameling van alle
mor-fismen van ϕ naar ψ. Merk op dat HomG(ϕ, ψ) ⊆ Hom(V, W ). Als T een
vectorruimte-isomorfisme is, noemen we T ook een vectorruimte-isomorfisme van representaties en noemen we de representaties ϕ, ψ equivalent.
2.1.2. Irreducibele representaties
Laat ϕ : G → GL(V ) een representatie. Een lineaire deelruimte W van V heet G-invariant als voor alle g ∈ G en voor alle w ∈ W geldt dat ϕg(w) ∈ W .
Een directe som van representaties ϕ1, ϕ2(we gebruiken superscripts om mogelijke ver-warring met groepselementen te voorkomen) g van G naar ruimten V1, V2wordt gegeven
door ϕ1⊕ ϕ2 : G → GL(V
1⊕ V2) : (v1, v2) met (ϕ1⊕ ϕ2)g(v1, v2) = (ϕ1g(v1), ϕ2g(v2)).
Een irreducibele representatie is nu een representatie zodat de enige G-invariante deelruimte van V de ruimten {0} en V zelf zijn.
Lemma 2.1 (Lemma van Schur). Laat ϕ, ψ irreducible representaties van G, en T ∈ HomG(ϕ, ψ). Dan geldt ofwel dat T inverteerbaar is, ofwel T = 0.
Voor het bewijs, zie [2, p. 29].
2.2. Lie groepen
Definitie 2.3. Een Lie groep is een groep met een gladde structuur, dat wil zeggen dat de afbeelding G × G → G : (g, h) 7→ gh glad is en dat de afbeelding G → G : g 7→ g−1 glad is.
Voorbeelden van Lie-groepen zijn bijvoorbeeld de inverteerbare n ⊗ n -matrices over R of over C. Er geldt dat elke gesloten ondergroep van een Lie groep ook weer een Lie groep. Een ondergroep die we vaak terug zullen zien komen, is de groep SU(N ):
SU(N ) := {A ∈ GL(N, C) | det A = 1, AAT}. (2.1)
Dit is een gesloten deelgroep omdat de determinant gelijk aan 1.
2.3. Representatiering
Laat G een compacte Lie groep, later zullen we SU(N ) gebruiken. Als we de represen-taties van G bekijken, lijken we een optelling en een vermenigvuldiging te hebben. Dit doet denken aan een ring, deze zullen we in het vervolg defini¨eren.
We defini¨eren de categorie Rep(G), met als objecten alle eindige representaties van G en met de morfismen alle morfismen van representaties. We defini¨eren nu een equivalen-tierelatie tussen twee objecten als er bestaat een isomorfisme tussen twee representaties, dit is duidelijk reflexief, symmetrisch vanwege de inverse en transitief omdat de samen-stelling van isomorfismen een isomorfisme is, dus inderdaad een equivalentierelatie. We defini¨eren nu
S(G) := {ϕ ∈ ob(Rep(G))}/ ∼ .
2.3.1. Optelling
Lemma 2.2. De directe som ⊕ maakt van S(G) een abelse semigroep, door te defini¨eren [V ] + [W ] := [V ⊕ W ].
Bewijs. We moeten bewijzen dat de equivalentieklasse van de directe som niet afhangt van de representanten. Laat [V1] = [V2] en [W1] = [W2]. Aangezien [V1] = [V2], bestaat
er een isomorfisme f tussen V1 en V2. Evenzo bestaat er een isomorfisme g tussen W1
en W2. We claimen dat f ⊕ g een isomorfisme tussen V1⊕ W1 en V2⊕ W2 is. Omdat
f en g isomorfismen zijn, bestaan er f−1 en g−1. Door matrices in blokken met elkaar te vermenigvuldigen, zien we dat (f ⊕ g)−1 = f−1 ⊕ g−1. Dit laat zien dat f ⊕ g een isomorfisme is, dus [V1⊕ W1] = [V2⊕ W2].
Het is duidelijk dat de bewerking ⊕ op S(G) associatief is. Daarnaast is de operatie commutatief, omdat we de twee representaties in de directe som kunnen omwisselen met een isomorfisme. De semigroep bezit ook een eenheid, namelijk de triviale representatie. Deze verzameling S(G) met de directe som als optelling is een abelse mono¨ıde, maar nog geen groep omdat geen enkel element (behalve de triviale representatie) een inverse heeft. We zoeken nu naar een manier om toch inverses toe te voegen.
2.3.2. Grothendieck constructie en universele eigenschap
De groepscompletering voor een mono¨ıde M wordt gegeven door de abelse groep M−1M [3], waarbij m + (−m) = 0 met een homomorfisme f zodat voor elke abelse groep G en een homomorfisme h : M → G er een uniek homomorfisme i : M−1M → G bestaat zodat h = i ◦ f . Er geldt M−1M = (M × M )/ ∼, waarbij voor (m, n), (m0, n0) ∈ M × de equivalentierelatie gegeven is door: (m, n) ∼ (m0, n0) ↔ m − n = m0− n0.
In het geval van R(G) noteren we voor de groepscompletering S(G).
2.3.3. Vermenigvuldiging
Stelling 2.1. R(G) is een commutatieve ring, waarbij de vermenigvuldiging gegeven wordt door
[V ] · [W ] := [V ⊗ W ].
Bewijs. Opnieuw moeten we laten zien dat de vermenigvuldinging welgedefinieerd is. We zullen dit laten zien voor elementen V, W ∈ S(G), waarop het ook voor alle elementen in S(G) geldt.
Laat [V1] = [V2] en [W1] = [W2]. Omdat [V1] = [V2], bestaat er een isomorfisme
f : V1 → V2. Evenzo bestaat er een isomorfisme h : W1 → W2. We hebben dat
i := f ⊗ h : V1⊗ W1 → V2⊗ W2 een isomorfisme is, met inverse i−1 := f−1⊗ g−1. Dit
is zo omdat
i ◦ i−1 = (f ⊗ h)(f−1⊗ h−1) = f−1f ⊗ h−1h = 1 ⊗ 1.
De multiplicative eenheid is [1], associativiteit en commutativiteit zijn duidelijk (we kunnen makkelijk een isomorfisme vinden tussen de twee vectorruimtes). we moeten nu de distributiviteit bewijzen. Laat [U ], [V ], [W ] representaties, dit geeft:
([U ] + [V ])[W ] = [U ⊕ V ] · [W ] = [(U ⊕ V ) ⊗ W ] = [(U ⊗ W ) ⊕ (V ⊗ W )] = [U ⊗ W ] + [V ⊗ W ] = [U ] · [W ] + [V ] · [W ].
De equivalentieklassen van eindige irreducibele representaties brengen deze ring voort: we kunnen alle representaties immers schrijven als directe som van irreducibele repre-sentaties, omdat we hebben dat G compact is. Dit is ook de kleinste verzameling die alle irreducibele representaties voortbrengt, anders zouden we minstens ´e´en van deze repre-sentaties kunnen schrijven als directe som van reprerepre-sentaties, wat in tegenspraak is met
de definitie van irreducibele representatie. Noteer Vλ voor λ ∈ Λ een indexverzameling
voor deze verzameling van irreducibele representaties. Nu hebben we voor elke V ∈ Rep(G) een isomorfisme:
f :M λ HomG(Vλ, V ) ⊗ Vλ→ V : X λ ϕλ⊗ vλ 7→ X λ ϕλ(vλ). (2.2)
We kunnen nu voor [V ] ∈ S(G) schrijven: [V ] =X
λ
nλ(V )[Vλ].
Hierin kunnen we nλ(V ) bekijken als de multipliciteit van een bepaalde irreducibele
presentatie, dit is gelijk aan dim(HomG(Vλ, V )). Al deze nλ(V ) zijn groter of gelijk aan
0 voor V ∈ S(G) zoals eenvoudig is in te zien. Hieruit volgt dat R(G) als abelse groep wordt voortgebracht door Λ en dus isomorf is aan Z[Λ].
We zien nu duidelijk dat we voor de optelling hebben: [V ] + [W ] =X
λ
(nλ(V ) + nλ(W ))Vλ. (2.3)
Voor de vermenigvuldiging hebben we: [V ] · [W ] = [V ⊗ W ] =X
λ,µ
nλ(V )nµ(W )[Vλ⊗ Vµ]. (2.4)
We schrijven de vermenigvuldiging van de irreducibele representaties uit: [Vλ][Vµ] = [Vλ⊗ Vµ] = X ν∈Λ nν(Vλ⊗ Vµ)[Vν] = X ν∈Λ nν(Vλ⊗ Vµ)[Vν]. (2.5)
Definitie 2.4 (Clebsch-Gordan co¨effici¨enten). Er geldt nν(Vλ⊗Vµ) = dim HomG(Vν, Vλ⊗
Vµ). We noemen deze nν(Vλ⊗ Vµ) de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten. Deze bepalen de
ringstructuur van R(G).
De Clebsch-Gordan co¨effici¨enten komen in de natuurkunde ook regelmatig terug.
2.4. Karakters
Definitie 2.5. Laat ϕ : G → GL(V ) een representatie. Het karakter van ϕ is een functie χϕ : G → C : g 7→ tr(ϕg).
We hebben dat voor het karakter van twee representaties geldt: χV ⊕W = χV + χW.
Het inproduct tussen twee karakters wordt gegeven door hχi, χji =
X
g∈G
χi(g)χj(g) (2.6)
voor eindige groepen en voor oneindige groepen: hχi, χji =
Z
χi(g)χj(g)dg. (2.7)
Hierin is dg gegeven door de Haar maat, die bij de Borel sigma-algebra op G hoort. Deze voldoet aan de volgende voorwaarden [4]:
1. Voor elke g ∈ G en meetbare U ⊆ G geldt µ(xU ) = µ(U ) = µ(U x) 2. Voor open U ⊆ G geldt µ(U ) > 0
3. Voor compacte U ⊆ G geldt µ(U ) < ∞
Tussen karakters van irreducibele representaties bestaat de volgende relatie: Stelling 2.2. Laat χi, χj karakters van irreducibele representaties. Er geldt dat:
hχi, χji = δij (2.8)
Voor het bewijs , zie [2, p. 38]
Definitie 2.6 (Klassefunctie). Laat G een groep. Een klassefunctie is een functie f : G → C zodat voor alle g, h ∈ G geldt dat f (hgh−1) = f (g), ofwel f is constant op alle conjugatieklassen van G.
Karakters zijn een bijzonder geval van klassefuncties, we hebben immers dat tr(AB) = tr(BA) voor alle matrices A, B, waaruit volgt dat tr(ϕhϕgϕ−1h ) = tr(ϕhϕ−1h ϕg) =
3. Representaties van SU(2)
3.1. Representaties
We bekijken als eerste de representaties van SU(2). We hebben, zoals altijd, de triviale representatie. Verder kunnen we de groep ook op een makkelijke manier representeren door elke matrix naar zichzelf te sturen, omdat geldt dat SU(2) ⊆ GL(2) omdat de matrices determinant 1 hebben. Verder kunnen we SU(2) representeren met behulp van polynomen in twee variabelen, opgevat als functies C2 → C. Neem Vn de ruimte van
homogene polynomen van graad n, de polynomen in twee variabelen z1, z2, waarbij de
machten van z1 en z2 bij elkaar opgeteld gelijk zijn aan een bepaalde n. Een basis van
deze ruimte wordt gegeven door de polynomen zk1zn−k2 , voor 0 ≤ k ≤ n. Van deze ruimte is de dimensie over C gelijk aan n + 1. We kunnen een linkswerking defini¨eren van GL(2) op de polynomen met
P ∈ C[z1, z2], g =a b
c d
, z = (z1, z2) ∈ C2, gz = (az1+ bz2, cz1+ dz2) (3.1)
door (gP)z=P(zg). Dit is een linkswerking, omdat (eP )z = P (ze) = P (z), en ((gh)P )z = P ((gh)z) = P (g(hz) = (gP )(hz) = g(h(P z)).
Lemma 3.1. Elke Vn is een SU(2)-invariante deelruimte.
Bewijs. We zien met het binonium van Newton dat voor een term z1kz2n−k het vervangen van (z1, z2) = (az1+ bz2, cz1+ dz2) geeft
k X i=0 k i ak−ibizk−i1 z2i ! n−k X j=0 n − k j cn−k−jdjz1n−k−jz2j , (3.2) en dit zijn opnieuw homogene polynomen van graad n, omdat het eerste gedeelte ho-mogene polynomen van graad k zijn en het tweede gedeelte hoho-mogene polynomen van graad n − k.
Stelling 3.1. De representaties zoals gegeven in (3.1) op Vn zijn irreducibel.
Bewijs. De bron van dit bewijs is [1] Het is voldoende te laten zien dat een een SU(2)-equivariant endomorfisme A (een endomorfisme op Vn zodat Ag = gA) op Vn een
veel-voud van de identiteit is, aangezien het beeld endomorfismen op Vn een deelruimte van
Vn is. Neem nu ga= a 0 0 a−1 .
Dit geeft gaPk = a2k−nPk, en gaAPk = AgaPk = Aa2k−nPk = a2k−nAPk. Als we nu
a zo kiezen dat voor alle 0 ≤ k ≤ n de a2k−n allemaal verschillend zijn, hebben we dat de eigenruimte van ga bij a2k−n door Pk wordt voortgebracht. Dit geeft, omdat we
net hebben gezien dat APk een eigenwaarde van ga is, dat APk = ckPk voor een zekere
ck∈ C. Als we nu een rotatie
rt=
cos t − sin t sin t cos t
met t ∈ R bekijken, geeft dit:
ArtPn= A(z1cos t + z2sin t)n
= n X k=1 n k coskt · sinn−kt · APk = n X k=1 n k coskt · sinn−kt · ckPk. Daarnaast is rtAPn= rtcnPn= n X k=1 n k coskt · sinn−kt · cnPk.
Aangezien A equivariant is, moeten deze expressies gelijk aan elkaar zijn, dus dit geeft ck= cn, waarmee we zien dat A = cn· id.
3.1.1. Karakters Bekijk nu de matrix e(t) =e it 0 0 e−it ∈ SU(2).
Elk element van SU(2) is diagonaliseerbaar, dus we kunnen dit conjugeren aan e(t) voor zekere t. We hebben dat e(t) en e(s) te conjugeren zijn als en alleen als s ≡ ±t mod 2π. We hebben dus dat in het geval f : SU(2) → C een klassefunctie is, de functie f e : R → C : t 7→ f (e(t)) 2π periodiek is. We kunnen op deze manier de ruimte van continue klassefuncties met de ruimte van even 2π-periodieke functies identificeren. We hebben voor het karakter χn van de representatie Vn dat dit waarde
n
X
k=0
ei(n−2k)t= sin(n + 1)t sin t
heeft op e(t), mits t geen geheel veelvoud van π is. De gelijkheid zien we door te vermenigvuldigen en te delen door et − e−t, waarop alle termen tussen e−nt en ent wegvallen. We zullen hiervoor noteren:
κn(t) =
sin(n + 1)t sin t .
Met de somregel voor de sinus krijgen we: κn(t) =
sin(n + 1)t sin t =
sin nt cos t + sin t cos nt
sin t = cos nt + κn−1cos t.
We kunnen nu met de κ1(t), ..., κn(t) dus dezelfde vectorruimte voortbrengen als met
1, cos t, ..., cos nt. Uit Fourieranalyse weten we dat de ruimte voortgebracht door cos nt, n ∈ Z≥0 uniform dicht ligt in de ruimte van 2π-periodieke functies, dus de karakters χn
liggen uniform dicht in de ruimte van klassefuncties op SU(2). Propositie 3.1. Voor continue klassefuncties f op SU(2) geldt:
Z SU(2) f (x)dx = 2 π Z π 0 f (e(t)) sin2tdt.
waarbij de integraal de Haar maat gebruikt zoals in hoofdstuk 2 besproken.
Bewijs. Voor dit bewijs is de bron opnieuw [1]. Aangezien Vnirreducibele representaties
zijn, geldt dat R χn = 1 voor n = 0 en R χn = 0 voor n > 0. Met onze eerdere
berekeningen hebben we χn(e(t)) sin2t = sin(n + 1)t · sin t, en dus
2 π Z π 0 χn(e(t)) sin2(t) = 2 π Z π 0 sin(n + 1)t · sin t.
Deze uitdrukking is gelijk aan 1 voor n = 0 en 0 voor n > 0. Omdat de χn een dichte
deelruimte voortbrengen geeft continu¨ıteit dat de stelling voor de hele ruimte geldt. We willen nu bewijzen dat de Vn alle irreducibele unitaire representaties vormen.
Propositie 3.2. Elke irreducibele unitaire representatie van SU(2) is isomorf aan een Vn.
Bewijs. Stel dat we een irreducibele representatie W hebben die niet equivalent is aan een Vn en karakter χ heeft. We hebben vanwege de orthogonaliteitsrelaties dat hχ, χni = 0
en hχ, χi = 1. Dit is in tegenspraak met het feit dat de χn een dichte deelruimte
vormen.
3.2. Clebsch-Gordan co¨
effici¨
enten
We kunnen nu de tensorproducten van irreducibele representaties berekenen met behulp van hun karakters:
Propositie 3.3. Vk⊗ Vl∼= q M j=0 Vk+l−2j. (3.3) Hierin is q = min{k, l}.
(k, −l) (k, l) (−k, l)
(−k, −l)
Bewijs. Bron: [1]. We bewijzen de propositie door het equivalent voor karakters te bewijzen. Omdat karakters vastgelegd worden door hun waarden op de elementen e(t), zoals eerde beschreven, moeten we bewijzen:
k X µ=0 xk−2µ l X ν=0 xl−2ν ! = q X j=0 k+l−2j X ν=0 xk+l−2j−2ν ! , (3.4)
waarbij we x vervangen door eit. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat l ≤ k. Het bewijs volgt door een plaatje te maken, figuur 3.2. De gestippelde lijnen corresponderen elk met een j- waarde. Op zo’n lijn gaan we alle ν waarden langs. Tegelijkertijd komt de linkerkant van de vergelijking door alle punten in het rooster van elementen tussen de −k en k en −l en l.
4. De Lie-algebra van SU(2) en
kwantummechanica
4.1. Lie-algebra’s
Een Lie-algebra is een vectorruimte V uitgerust met een binaire operator, de Lie haak. Deze Lie haak is als volgt gedefinieerd:
Definitie 4.1. Laat V een vectorruimte. Een Lie haak is een functie [·, ·] : V × V → V die aan de volgende eigenschappen voldoet:
1. Bilineariteit: [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z] en [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]. 2. Anticommutativiteit of scheefsymmetrie: [x, x] = 0 of [x, y] = −[x, y] voor alle
x, y ∈ V .
3. De Jacobi-identiteit:
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
Bij de tweede voorwaarde zijn [x, x] = 0 en [x, y] = −[y, x] niet equivalent indien de karakteristiek van het lichaam 2 is, maar dit soort gevallen zullen we nu niet bekijken.
Voorbeelden die we in de natuurkunde vaak zullen tegen komen zijn vectorruimten van operatoren met als Lie haak de commutator.
4.2. Spin
4.2.1. Kwantummechanica
We gaan terug naar wat we al weten uit de kwantummechanica. We bekijken een deeltje in de volgende toestand: |l, ml, s, msi.We kennen het totale impulsmoment, j = l + s.
De spintoestanden liggen in een SU(2)-ruimte en de hoekimpulstoestanden liggen in een SO(3)-ruimte, die isomorf is aan een SU(2)-ruimte.
De maximale grootte van de impuls wordt gegeven door de representatie. We hebben eerder gezien dat de representaties van SU(2) elke dimensie vanaf 0 kunnen hebben.
In het vervolg zullen we alle representaties noteren aan de hand van hun dimensie, we noteren een representatie Vnals het getal n+1. Deze notatie wordt door natuurkundigen
vaak gebruikt, dus hier zullen we ook bij aansluiten. De maximale spin die hoort bij een representatie die we noteren met n is gegeven door n−12 , omdat in de kwantummecha-nica spin ook halftallig kan zijn. We bekijken nu het voorbeeld dat vaak terugkomt in kwantummechtanica, de koppeling van spin en impulsmoment van het elektron:
Voorbeeld 4.1. Bekijk een elektron in de volgende toestand: |l, ml, s, msi, met l = 1
en s = 1/2. Hierbij horen de representaties 2 voor s en 3 voor l. Het tensorproduct geeft: 2 ⊗ 3 = 4 ⊕ 2. Hieruit zien we dat de gecombineerde spin maximale grootte 3/2 heeft of grootte 1/2. Deze noemen we j, en we hebben voor mj, de projectie van j, dat
mj = ml+ ms.
De Clebsch-Gordan co¨effici¨enten zoals we in hoofdstuk 3 hebben berekend, geven alleen de maximale grootten en houden geen rekening met de projecties van het impulsmoment. Hierdoor kunnen we de Clebsch-Gordan co¨effici¨enten gebruiken om het tensorproduct uit te rekenen van deeltjes met een bepaalde grootte van l en s met projecties ml, ms
om te bekijken welke waarden deze j kan aannemen. In de appendix is een tabel met de Clebsh-Gordan co¨effici¨enten voor verschillende combinaties van impulsmomenten.
4.2.2. Samengestelde deeltjes
Voorbeeld 4.2. We bekijken nu een combinatie van quarks, bijvoorbeeld uud. Deze drie quarks hebben ieder spin 1/2. Dit geeft het product: 2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 2 ⊗ (2 ⊗ 2) = 2 ⊗ (3 ⊕ 1) = (2 ⊗ 3) ⊕ (2 ⊗ 1) = 4 ⊕ 2 ⊕ 2. Dit geeft dat de combinatie spin 1/2 of spin 3/2 heeft. Een proton is het deeltje met spin 1/2 en het deeltje met spin 3/2 is het ∆+-deeltje. Merk op dat deze representaties alleen voor de spin gelden, later zullen we deze ontbindingen voor andere eigenschappen bekijken.
Zo zien we hoe we de mogelijke spins voor deeltjes die zijn samengesteld uit meerdere deeltjes kunnen beschrijven. Dit gaat op dezelfde manier voor bijvoorbeeld de totale spin van atoomkernen, die immers opgebouwd zijn uit meerdere protonen/neutronen.
De representatietheorie van SU(2) onderhoudt nauwe banden met de kwantummecha-nica. Zij komt ook nog terug in bijvoorbeeld de stelling van Wigner-Eckart.
5. Gell-Mann’s Eightfold Way
5.1. Quarks
Protonen en neutronen zijn vrij bekende deeltjes, maar in de jaren 1950 werden er an-dere deeltjes, uit het heelal of in deeltjesversnellers, waargenomen die soortgelijke massa’s hebben en dikwijls ook een lading. Om een systeem te scheppen dat hier duidelijkheid in bracht, ontwikkelde Gell-Mann het idee van het quark. Later in dit hoofdstuk zullen we hier een deel van de achterliggende wiskunde toepassen, maar eerst zullen we een aantal begrippen introduceren die hiervoor van belang zijn. Quarks zijn op dit moment de elementaire deeltjes die we op dit moment kennen, ze zijn dus niet opgebouwd uit andere deeltjes Er zijn 6 verschillende quarks: up, down, charm, strange, top en bottom. Deze hebben allemaal ook hun eigen antideeltje. De quarks up, charm en top hebben lading +23 en de quarks down, strange en bottom hebben lading −13. Zo bestaat een proton uit twee upquarks en een downquark en een neutron uit een upquark en twee downquarks. In het vervolg van deze scriptie kijken we vooral naar de 3 lichtste quarks, het up, down en het strange quark. We gebruiken de benadering dat de massa’s van deze quarks ongeveer ongelijk aan 0 zijn.
Twee belangrijke eigenschappen van een quark zijn kleur en smaak. De eigenschap smaak van een quark geeft aan welk van de eerder genoemde soorten quarks het is.
Een tweede eigenschap van quarks is kleur. Het is mogelijk om het ∆++-baryon te
maken, wat spin 32 heeft en bestaat uit drie upquarks. Dit is verboden volgens het uitsluitingsprincipe van Pauli, maar het is toch in de natuur waargenomen. De quarks moeten dus nog een eigenschap hebben die ze van elkaar onderscheidt, en dit is kleur. Er zijn drie kleuren: rood, groen en blauw. Door middel van interacties met de sterke kernkracht is het mogelijk om deeltjes van kleur te verwisselen, maar er bestaan geen ’losse’ gekleurde deeltjes, ze komen altijd in kleurloze combinaties voor. Dit kan zijn in een quark-antiquark combinaties (antiquarks bezitten antikleur) of in een combinatie van drie quarks met kleuren rood, groen en blauw die samen kleurloos zijn. Dit is naar analogie van licht, aangezien het samenvoegen van rood, groen en blauw licht wit licht geeft.
5.2. De Lie-Algebra van SU(3)
5.2.1. Basis
λ1= 0 1 0 1 0 0 0 0 0 , λ2 = 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 , λ3 = 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 , λ4 = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , λ5= 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 , λ6 = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 , λ7 = 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 , λ8= 1 √ 3 1 0 0 0 1 0 0 0 −2 . We zien dat deze matrices sterk lijken op de Pauli matrices, want bijvoorbeeld λ1, λ2, λ3
zijn gewoon de Pauli matrices met de derde rij en kolom met nullen, van λ4, λ5 zijn de
hoeken de matrices σ1, σ2, en λ6 en λ7 hebben de matrices σ1, σ2 links onderin.
We hebben dat tr λiλj = 2δij. We zullen nu enkele commutatoren berekenen:
[λ1, λ2] = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 − 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 = 2i 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 = 2iλ3 [λ4, λ5] = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 − 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 2i 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 = i(λ3+ √ 3λ8)
In het vervolg defini¨eren we Ti = 12λi. Er geldt voor de generatoren van een
wille-keurige Lie algebra dat [Ti, Tj] = ifijkTk met fijk een structuurconstante. Merk op dat
fijk antisymmetrisch is. Van de commutatoren die we al uit hebben gerekend zien we
dat f123= 1, f453= 12 en f458 = 2√13, merk op dat ze een factor 12 kleiner zijn omdat de
overgang van λ’s naar T ’s links een factor 14 oplevert en rechts een factor 12. We hebben [5]: f123= 1 f147= −f156 = f246= f257= f345 = −f367= 1 2 f458= f678= √ 3 2
Deze structuurconstanten zijn eenvoudig te berekenen, maar omwille van de leesbaarheid hebben we alleen een voorbeeld behandeld.
5.2.2. Lie haak en operatoren
We kennen uit de kwantummechanica al de operatoren J±:= J1± iJ2. Deze operatoren
verhogen respectievelijk verlagen de waarde van de spin met 1. We willen dit idee ook gebruiken in SU(3). Hiertoe defini¨eren we de volgende operatoren:
I±:= T1± iT2 U±:= T4± iT5 V±:= T6± iT7 I3:= T3 Y := √2 3T8.
Voor deze operatoren kunnen we ook commutatoren berekenen:
[I3, I±] = [T3, T1± iT2] = [T3, T1] ± i[T3, T2] = iT2± i(−iT1) = ±(T1± iT2) = ±I±
[I3, U±] = [T3, T6± iT7] = [T3, T6] ± i[T3, T7] = − 1 2iT7± 1 2i(iT6) = − 1 2iT7∓ 1 2T6 = ∓ 1 2U± [I3, V±] = [T3, T4± iT5] = [T3, T4] ± i[T3, T5] = 1 2iT5± i(−iT4) = ± 1 2V±.
5.2.3. Werking van de operatoren
De hierboven beschreven ladderoperatoren werken op een tweedimensionale ruimte, be-schreven door de toestanden |i3, yi. We berekenen nu de werkingen van I±, U± en V±
op zulke toestanden. Het is belangrijk om op te merken dat T3 en Y commuteren, wat
ook de reden is dat we toestanden beschrijven door middel van |i3, yi. Dit geeft:
Y I3I±|i3, yi = Y (I±I3|i3, yi + [I3, I±]|i3, yi) = Y (i3I±|i3, yi ± I±|i3, yi) (5.1)
= (i3± 1)I±Y |i3, yi = (i3± 1)yI±|i3, yi Y I3U±|i3, yi = Y (U±I3|i3, yi + [I3, U±]|i3, yi) = Y i3U±∓ 1 2U±|i3, yi (5.2) = i3∓ 1 2 Y U±|i3, yi = i3∓ 1 2
(U±Y |i3, yi + [Y, U±]|i3, yi)
= i3∓ 1 2 (yU±± U±)|i3, yi = i3∓ 1 2 (y ± 1)U±|i3, yi Y I3V±|i3, yi = Y (V±I3|i3, yi + [I3, V±]|i3, yi) = Y i3V±± 1 2V±|i3, yi (5.3) = i3± 1 2 Y V±|i3, yi = i3± 1 2
(V±Y |i3, yi + [Y, V±]|i3, yi)
= i3± 1 2 (yV±± V±)|i3, yi = i3± 1 2 (y ± 1)V±|i3, yi.
Deze berekeningen laten zien dat I± een toestand |i3, yi met (±1, 0) verschuift, U±
met ∓12, ±1 en V± met ±12, ±1.
We kunnen deze operatoren bekijken als vectoren die de verandering in de co¨ordinaten i3 en y weergeven. Om een eerlijk beeld te krijgen moeten we de y-as normaliseren met
een factor
√ 3
2 . Dit geeft de vectoren:
~ I±= (±1, 0) (5.4) ~ U±= ∓ 1 2, ± √ 3 2 ! (5.5) ~ V±= ± 1 2, ± √ 3 2 ! . (5.6)
Deze zijn ook weergegeven in figuur 5.1.
~ I+ ~ I− ~ V+ ~ U+ ~ U− ~ V−
Figuur 5.1.: De vectoren horend bij de verschillende ladderoperatoren
5.3. SU(3)-symmetrie
Er bestaat een SU(3) symmetrie onder verwisseling van quarks. We zullen deze sym-metrie rechtvaardigen. We kennen de Lagrangiaan al uit de klassieke mechanica. De Lagrangiaan komt in andere vormen ook terug in quantummechanica en deeltjesfysica. We kijken in het bijzonder nu naar de Lagrangiaan voor de quantumchromodynamica. De quantumchromodynamica beschrijft quarks en gluonen en hun interacties onder de sterke kernkracht. Deze Lagrangiaan ziet er als volgt uit [6]:
Lquarks =
n
X
i=1
qia(i 6 ∂ − mi)abqib (5.7)
Hier geeft de index i de verschillende soorten quarks aan. De werkelijke Lagrangiaan van quantumchromodynamica bevat nog andere termen, maar dit is de enige term die
de quarks bevat. We kunnnen op een (mogelijk gemengde) toestand van het up, down en strange quark een transformatie laten werken:
u d s → U u d s ,
met U ∈ SU(3). Als we dit nu invullen in de Lagrangiaan, geeft dit omdat (i 6 δ)ab
diagonaal is: Lquarks= 3 X i=1 qia(i 6 ∂ − mi)abqbi → 3 X i=1 U qi a (i 6 ∂ − mi)ab(U qi)b.
De Lagrangiaan na de transformatie wordt dan: Lquarks = 3 X i=1 U qi a (i 6 ∂ − mi)ab(U qi)b = 3 X i=1 (qiU†)a(i 6 ∂ − mi)ab(U qbi) = 3 X i=1 (qiU†U )(i 6 ∂)abqib− 3 X i=1 (qiU†)a(mi)ab(U qi)b = 3 X i=1 (qi)(i 6 ∂)abqib− 3 X i=1 (qiU†)a(mi)ab(U qi)b
Aan deze uitkomst kunnen we een aantal dingen aflezen. We zien dat in het geval dat de quarks massaloos zijn, de transformatie precies weer de oorspronkelijke Lagrangiaan terug geeft. Hierdoor bezit het systeem dus een SU(3)-symmetrie onder de verwisseling van quarks. Omdat de quarks wel massa hebben, is de symmetrie niet precies. Omdat de samengestelde baryonen massa’s rond de 1 GeV hebben en het up- en het downquark een massa van ongeveer 1 MeV hebben en het strangequark een massa van ongeveer 0.1 GeV, is het grootste deel van de massa van het baryon afkomstig uit de bindingsenergie door de sterke kernkracht tussen de quarks. Dit rechtvaardigt het verwaarlozen van de massa’s van het up-, down- en het strangequarks. Tegelijkertijd is dit ook de reden waarom het toevoegen van het charm-, top- of bottomquark niet meer geoorloofd is. Deze hebben massa’s van 1 GeV of nog hoger, en hierdoor kunnen we de quarks niet meer verwisselen zonder dat dit gevolgen heeft voor de interacties tussen de quarks ten gevolge van de zwakke kernkracht. Merk op dat een situatie met alleen het up- en het downquark sterker symmetrisch zou zijn, en dan een SU(2) symmetrie zou bezitten. Deze situatie zouden we ook kunnen beschouwen, maar de diagrammen die dit zou opleveren zouden gewoon een deel zijn van de diagrammen als gevolg van de SU(3)-symmetrie die we zodadelijk zullen zien.
5.4. Werking op quark toestanden
We bekijken nu een irreducibele representatie R van SU(3). We kunnen elke toestand bekijken als een punt in het vlak met co¨ordinaten (i3, i8) =
i3, √ 3 2 y . We kunnen een rooster maken door alle toestanden bij de representatie R in dit vlak te zetten. We gebruiken de namen van de quarks u, d, s (of combinaties daarvan) om de toestanden aan te geven. Dit noemen we de zogeheten Weight diagrammen.
Een belangrijk voorbeeld wordt weergegeven in figuur 5.2. Dit is de irreducibele re-presentatie 3, en combinaties hiervan vormen door tensorproducten te nemen deeltjes zoals baryonen en mesonen.
We zien nu in combinatie met figuur 5.1 dat de I+ operator het downquark naar het
upquark brengt, de U− operator het downquark naar het strangequark, etcetera.
i3 i8 d u s − 1 √ 3 1 2√3 −12 12
Figuur 5.2.: Het weight diagram voor de 3-representaties van SU(3)
5.5. Mesonen
Mesonen zijn samengestelde deeltjes, bestaande uit een quark en een antiquark. Voor de mesonen hebben we de volgende uitdrukking in de representatiering:
3 ⊗ 3 = 8 ⊕ 1 (5.8)
Dit levert het volgende diagram op: π0 η0 η π − π+ K0 K− K+ K0
Figuur 5.3.: Het Weight diagram voor mesonen
We kunnen hier weer doorheen bewegen door middel van de ladderoperatoren. Zowel de representatie 8 als de representatie 1 bevinden zich in dit diagram.
Omdat alle mesonen heeltallige spin hebben zijn het bosonen. Hierdoor moet de to-tale golffunctie symmetrisch zijn onder verwisseling van quarks. De toto-tale golffunctie is het product van de golffucntie voor de kleur, de golffunctie voor de smaak en de golffunctie voor de spin. Dit legt beperkingen op aan de combinaties die mogelijk zijn.
5.6. Baryonen
We bekijken quarkcombinaties van drie deeltjes, de zogenaamde baryonen. Hierbij hoort de volgende uitdrukking in de representatiering:
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1.
We zien dat de 10 een symmetrische representatie is wat betreft smaak, en de 8 een noch volledig symmetrische, noch volledig antisymmetrische representatie voor smaak is. Dit geeft aanleiding tot de volgende diagrammen:
Σ0 Λ Σ + Σ− Ξ0 Ξ− p n
Figuur 5.4.: Het Weight diagram voor spin 1/2 baryonen
∆0 ∆+ ∆− ∆++ Σ∗− Σ ∗0 Σ∗+ Ξ∗− Ξ∗0 Ω−
Figuur 5.5.: Het Weight diagram voor spin 3/2 baryonen
Het eerste diagram geeft de 8-representaties aan en het tweede diagram de 10-representatie. De 1-representatie beschrijft geen fysisch deeltje, omdat dit volledig antisymmetrisch moet zijn in kleur, spin en smaak, maar dit fysisch niet mogelijk is.
6. Conclusie
We hebben nu gezien hoe we de elementaire deeltjes kunnen ordenen en welke rol de wiskunde, hoofdzakelijk de representatietheorie, daarin speelt. De representatiering is een behoorlijk elegant stuk wiskunde, dat op deze manier ook toegepast wordt in de natuurkunde. De verschillende representaties komen overeen met verschillende deeltjes of combinaties van deeltjes. Dit laat ook weer zien hoe veelzijdig representatietheorie is en in hoeveel gebieden het terug komt.
Tot mijn grote spijt ben ik niet meer toegekomen aan het beschrijven van de repre-sentaties van SU(3) of SU(N ) in het algemeen en heb ik dit voor de natuurkunde voor gegeven aangenomen.
Voor vervolgonderzoek zou het interessant zijn om meer te kijken naar het standaard model zelf, waar de verschillende krachten zich ook laten beschrijven door de SU(N )-groepen, en welke relaties er zijn met Gell-Mann’s Eightfold Way. Verder zou een on-derzoek naar pentaquarks, die ik eerder even genoemd heb, nog erg interessant zijn. Dit bevindt zich ook dicht op het onderzoek dat vandaag de dag gedaan wordt.
Bibliografie
[1] T. Br¨ocker, T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Springer, 1985 [2] B. Steinberg, Representation Theory of Finite Groups, Springer, 2012
[3] D.C. Ravenel,
https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Kbook.II.pdf [4] E.P. van der Ban, Harmonic Analysis, 1993,
https://www.staff.science.uu.nl/ ban00101/lecnotes/mc93.pdf
[5] A. Zee Group Theory in an Nutshell for Physicists Princeton University Press, 2016 [6] M.H. Seymour, QuantumChromoDynamics, 2010,
https://arxiv.org/pdf/hep-ph/0505192.pdf
[7] D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second edition, Pearson, 2013 [8]
https://physics.stackexchange.com/questions/160510/the-counting-of-all-possible-baryons-quark-combinations
Populaire samenvatting
Het is de meeste mensen wel bekend dat materie bestaat uit atomen. Op hun beurt bestaan deze weer uit de deeltjes protonen, neutronen en elektronen. De vraag is: kun-nnen we deze deeltjes opsplitsen in weer kleinere deeltjes, met andere woorden: zijn ze elementair of samengesteld uit andere deeltjes. Het blijkt dat het elektron elementair is, maar het proton en het neutron niet. Protonen en neutronen zijn opgebouwd uit zogeheten quarks. Quarks trekken elkaar aan door middel van de sterke kernkracht en blijven zo bij elkaar om protonen en neutronen te vormen.
Naast het proton en het neutron bestaan er nog andere deeltjes, de zogeheten baryonen (het proton en neutron maken ook deel uit van deze categorie deeltjes), die wat massa betreft er op lijken en op soortgelijke manieren reacties aangaan. Deze deeltjes zijn allemaal samengesteld uit quarks. Het quarkmodel werd voorgesteld om een ordening aan te brengen in deze deze deeltjes. Een voorbeeld van zo’n ordening is te vinden op de voorpagina of in de figuren 5.3 tot en met 5.5.
Deze ordening staat bekend als Gell-Mann’s Eightfold Way, en gaat aan de hand van representaties van de groep SU(3). Een groep, in dit geval dus SU(3), is een manier om symmetrie te beschrijven, in dit geval tussen de quarks. We mogen 3 verschillende soorten quarks (het up-, down- en strangequark) mag omwisselen zonder dat de sterke kernkracht het verschil ziet. De groep SU(3) geeft weer hoe dit omwisselen precies plaats kan vinden. Vervolgens passen we representatietheorie toe, een gebied van de wiskunde dat uitlegt hoe je groepen kunt weergeven (representeren) in een eenvoudiger vorm. De verschillende representaties van SU(3) geven manieren om deze baryonen te ordenen.
Het model van quarks is opgesteld omdat het opviel hoe de verschillende deeltjes leken op de representaties van SU(3) en daar toen een natuurkundige reden voor is gezocht.Zo komen wiskunde en natuurkunde samen om al deze deeltjes beter te beschrijven.
A. Natuurkundige data
A.1. Clebsch-Gordan co¨
effici¨
enten
Figuur A.1.: De Clebsch-Gordan co¨effici¨enten voor verschillende combinaties van spins. Afbeelding afkomstig uit
A.2. Lijst van deeltjes
A.2.1. Baryonen
Figuur A.2.: De lijst van gebruikte baryonen, afbeelding uit [8]
A.2.2. Mesonen
Figuur A.3.: De lijst van gebruikte mesonen en hun eigenschappen, afbeelding afkomstig van [9]
