Hoofdstuk 3 Allerlei formules

Hoofdstuk 3:

Allerlei formules

V-1

a. 15 30 0,9 42   kg

b. 15 is het gewicht van het lege vat en 0,9L is het gewicht van L liter olie. c. 15 0,9 L54,6   0,9 39,6 44 L L

Er zit dan 44 liter olie in het vat.

V-2 1. lineair 3. kwadratisch, dus niet lineair

2. omgekeerd evenredig: niet lineair 4. y  3x12: lineair

V-3

a. toename met 23,5% c. afname met 0,2% b. afname met 4% d. toename met 0,2%

V-4

a. 35000 1,05 € 36750,   b. _S35000 1,05 t

V-5

a. helling 45 010 1 0,2

b. Voor elk punt neemt het cijfer met 0,2 toe. c. C0,2 p 1 d. 0,2  p 1 5,5    0,2 4,5 22,5 p p Nee e. > C 0,2 p 1,7 > 10 2    8   45 2 45 2 C p p V-6 a. _x3_8x2_11x ₀

Voer in: y1x38x211x en y2 0 intersect: x  1,16

b. maximum: x 0,81 en y  29,19 c. Het minimum is 3,62 voor x 4,52

V-7

a. Bij Jorrit is het verband lineair en bij Sietske exponentieel.

b. B_J 1800 60 1 1860   (€ 60,- loonsverhoging) en B_S 1600 1,035 11656 (€ 56,- loonsverhoging). Bij Jorrit is de loonsverhoging op 1 januari 2016 dus het grootst.

c. 1600 1,035 t 1800 60 _t

Voer in: _y11600 1,035 x _{en  }

2 1800 60

y x intersect: x  15,59 Vanaf 2031 gaat Sietske meer verdienen dan Jorrit.

1

a. O875 5 € 4375,  

b. ja, de opbrengst wordt dan ook verdubbeld. c. 2000 

25 80 kalenders per lid.

d. Als het aantal leden wordt verdubbeld, wordt het aantal kalenders per lid gehalveerd.

d. TO 5 K

2

a. P  ... G: recht evenredig verband want als het gewicht k keer zo groot wordt, wordt de prijs ook k keer zo groot.

b. v t  10: als de snelheid twee keer zo klein wordt, wordt de tijd twee keer zo groot. c. A10t: recht evenredig verband

d. Bij een procentuele groei hoort een exponentieel verband.

3

a. Bij de grafieken 1 en 4 is er sprake van een evenredig verband: een rechte lijn door (0, 0). b. 1. q  2t 4.  1 3 q t 4 a. bij 1000 kalenders: W  3000 1000 5 € 2 000,    bij 2000 kalenders: W  3000 2000 5 € 7 000,   

b. Bij twee keer zo veel verkochte aantal kalenders is de winst 3,5 keer zo groot geworden.

5

a. Ieder lid krijgt dan 2000 

40 50 kalenders

b. Bij 2 keer zoveel leden wordt het aantal kalenders per lid 2 keer zo klein. c. K  2000

L

6

a. gemiddeld 1800 

75 24 leerlingen per klas.

b./c. g 1800

k : omgekeerd evenredig verband.

7 A x y  108

B x y  120

8

a. 70 slagen in 60 seconden betekent per slag 60 

70 0,86 seconden. b. f  60 x 1,2 108  72 1,5 3 6 54 y 90 72 36 108  6 18 10854 2 x 1 120  60 2 6 30 80 y 120  1 120 60 1206 20 4 12080 1,5

9 Als G een vaste waarde heeft (b.v. G 80), dan wordt de formule: BMI 80₂ L . Er is een omgekeerd evenredig verband tussen BMI en L2_.

Als L een vaste waarde heeft (b.v. L 1,80), dan wordt de formule:  ₂ 

1,80 3,24

G G

BMI _{. Dan geldt:} G3,24BMI. Dat is een evenredig verband tussen G en BMI. 10 a.   150  2000 0,17 0,245 P en TK 0,245 2000 € 490,   b.  150  580 0,17 0,429 P en TK 0,429 580 € 248,60 

c. De grafiek van P daalt, maar de daling wordt steeds minder. d. Als V steeds groter wordt, wordt 150

V steeds kleiner (vrijwel 0) en zal de grafiek van

P steeds dichter bij de lijn P  0,17 komen te liggen.

11

a. De grafiek van I is afnemend dalend.

b. Als t steeds groter wordt, wordt de noemer _(0,05t₁₎2 _{ook steeds groter. Omdat de}

teller constant is, wordt de breuk (en dus I) steeds kleiner. c. De inhoud nadert naar 0.

12 a. 10 bankjes:  12000   10 15 €1215, GK 100 bankjes:  12000   100 15 €135, GK 10 000 bankjes: GK 151200010 000 €16,20

b. Hoe groter de waarde van B, hoe kleiner de breuk 12 000

B wordt. Deze nadert naar 0. De gemiddelde kosten komen steeds dichter in de buurt van de € 15,-.

c. 12 000  10 15 15,75 Voer in:  12000 1 15 10 y en y2 15,75 intersect: x  16000.

Wortel moet minstens 16 000 bankjes produceren.

13

a. p 0,003 5000 16,25 1,25   en  4500   5000 0,25 1,15

K

De winst per cd is 10 cent. En de totale winst € 500,-b. De breuk 4500

q zal dan vrijwel gelijk worden aan 0. K nadert dan naar 0,25

c. W    p K 0,003 q 16,25 ( 45000,25) 0,003 q 16,2545000,25 q q  0,003 q 164500 q . d. Voer in: 1    4500 0,003 16,00 y x x maximum: x 1225 y 8,65 De maximale winst per cd is € 8,65

14

a. N 12 8,5 t

b. Kijk in de tabel bij hele grote waarden van t: N  260

c. als t heel groot wordt, wordt 0,73t _{nagenoeg gelijk aan 0. De waarde van N gaat}

dan naar  _{ }780 

3 62 0 260

N .

15

a. afnemend stijgend: de grafiek gaat steeds minder snel omhoog.

b. c. y x: constant stijgend 1,5 y _x _{: afnemend dalend} 1,5 y x : toenemend stijgend. d. Ze gaan allemaal door (1, 1)

16

a. Voor n 1 is de grafiek toenemend stijgend. En voor n0 is de grafiek afnemend dalend.

b. Voor 0 n 1 is de grafiek afnemend stijgend.

17

a. De grafiek is de horizontale lijn y  3. Omdat _y  _{3 x}0   _{3 1 3} b. _y  _{3 x}1  _{3 x 3x: een rechte lijn door (0, 0).}

18

a. _{241 4000} 0,25 ₃₀

olifant

H _{ }  _{ slagen/min.}

b. Ik zie dat niet zo snel aan de grafiek. Kijk dus maar in de tabel:

(1000, 42.9) en (2000, 36.0) c. _241G0,25 _40 Voer in: y1 241 x 0,25    en y2 40 intersect: x1317,7 kg

Bij een gewicht van 1318 kg of meer.

19

a. Als Q toeneemt van 500 naar 1000 (verdubbeling) wordt TK minder dan twee keer zo groot. b. Voer in: _y125 200 x _{en } 2 600 y intersect: x  0,60 0,60 25 350 840 _{25 500} 0,60 _{1041 25 650} 0,60 _1218 0,60

25 1000 1577 De formule _{TK 25Q}0,60 _{klopt wel ongeveer.} 20

a. De macht is groter dan 0, dus de grafiek is stijgend; hoe groter het lichaamsgewicht hoe groter de circulatietijd. Het verband is niet recht evenredig. De macht zou dan 1 moeten zijn.

b. T_eland 3,08 300 000 0,25 72,1 sec. T_hond 3,08 30 000 0,25 40,5 sec. _{3,08 3 000} 0,25 _22,8 konijn T sec. _{3,08 30} 0,25 _7,2 muis T sec. x y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1,5

y



x

y



x

y



x

c. De circulatietijd wordt minder dan 10 keer zo groot.

d. De grafiek van T is afnemend stijgend (de macht ligt tussen 0 en 1). Dus voor grote waarden van G zijn de verschillen in circulatietijd kleiner. Bij de rat en de geit is er een groter verschil.

21

a. In de teller staan de jaarlijkse kosten. b. G 120,  360  12 30 V , M  4 94 380 , B 1,63 en K  24 000         12 2 120 12 30 380 1,63 24 000 12 40100  3342 12 12 A A TK A

De grafiek is een rechte lijn met hellingsgetal 1 en door (0, 3342)

22 a. 93p45 140 24500  b. 93p45 150 24500    93 18200 195,70 p p   93 17750 190,86 p p 23

a. I 500 14 30 12 € 5540,    . De begroting is niet sluitend. b. De bedragen (C) zijn naar boven afgerond om een sluitende

begroting te krijgen. c. 12C L 6500

541,67 C L 

Het verband tussen C en L is omgekeerd evenredig. d. De jaarlijkse kosten nemen toe met 12 50 600 

       12 14 500 7600 168 7100 € 42,26 C C C

De contributie per maand moet dus verhoogd worden met 42,26 38,70 € 3,56 

24

a. _V _{0,26 8} 2 _{h 16,64}_h b. _V _0,26_D2_{15 3,9} _D2

c. Bij de grafiek van a hoort een rechte lijn door (0, 0).

25

a. als de tijd toeneemt, wordt de breuk kleiner. En daarmee wordt de temperatuur ook kleiner

b. De formule geeft geen uitkomst voor t  0 (je mag niet delen door 0). c. De noemer kan geen 0 meer worden.

d. Als het pak frisdrank heel lang in de koelkast staat zal die de temperatuur van de koelkast krijgen. Voor grote waarden van t wordt de breuk nagenoeg gelijk aan 0 en nadert T de grenswaarde B, en die moet 6 zijn (de temperatuur van de koelkast). e. Een punt invullen:

6 18

0 5a   . Dit geeft 5a  en daarmee 12 a60

60 6 5 T t    60 10 5 : 6 12 t  T    60 15 10 : 6 10 t  T    60 20 15 : 6 9 t  T    60 25 20 : 6 8,4 t  T    L C 12 45,14 13 41,67 14 38,70 15 36,12 16 33,86 17 31,87 18 30,10 19 28,51 20 27,09

26 a. 2 230 2,70 €11.372, 12,56 p   

b. Eén eikenboom met een omtrek van 400 cm:

2

400

2,70 € 34.395, 12,56

p   

en twee eikenbomen met een omtrek van 200 cm:

2

200

2 2,70 €17.197, 12,56

p    

De prijs van één eikenboom is twee keer zo groot als die van de twee eikenbomen samen. c. 2 2 2 2,70 12,56 2,70 0,2150 12,56 s p   s  s 27 a. _{H 0,006681 60} 0,425_L0,725 _0,038L0,725 b. _{H 0,006681 80} 0,425_L0,725 _0,043L0,725 _en 0,425 0,725 0,725 0,006681 100 0,047 H   L  L c. _{H 0,006681G}0,425_1750,725 _{0,2825G}0,425 60 : 1,61 G H  G80 :H 1,82 G100 :H 2,00

Het verschil in huidoppervlakte is tussen personen van 60 en 80 kg groter dan tussen personen van 80 en 100 kg.

d. _{L165 :H 0,2707G}0,425 _{en L195 :H 0,3056G}0,425 e. H_lange 0,006681 80 0,4251700,725 1,78 0,425 0,725 0,425 0,006681 160 1,78 0,2647 1,78 kleine H G G      

Voer in: y10,2647x0,425 en y2 1,78 intersect: x 88,72

De man weegt ongeveer 89 kg.

28

a. g 10 1,5 10 2 2 29    

1 0,5 4300 29 € 62 350,

V      meer dan 60 000 euro b. V2 54m 6 2,4 54 6 2,4 54 2,4 48 20 m m d m d d d            

Test Jezelf

T-1

a. 1 63× =63 en 1,5 28× =42. Niet gelijk, dus niet omgekeerd evenredig. b. 1 2,25 4 16 100

c. 1 63× =63 2,25 28× =63 4 15,75× =63 16 3,94× =63,04

100 0,63× =63. Allemaal dezelfde uitkomst, dus L en d2 _{zijn omgekeerd evenredig.}

T-2

a. 3 uur en 20 minuten is gelijk aan 3 60× +20=200 minuten

5 200

0,09 0,115

G= + = euro per belminuut b. TK =0,115 200× =€ 23,

-c. De factor 5

x wordt dan vrijwel gelijk aan 0. G nadert dan de grenswaarde van 0,09.

T-3

a. _{M =0,07 30 000×} 1,26 _{» 30 639 kilometer}

b. _{M=0,07 60 000×} 1,26 _{» 73 378 kilometer. De mobiliteit is met 42 739 kilometer}

toegenomen. Dat is met 42 73930 639×100%» 139,5%.

c. _0,07×I1,26₌₆₁₂₇₈

Voer in: 1,26

1 0,07

y = ×x en y2=61278 intersect: x» 52004

Bij een jaarinkomen van € 52 004,- is de mobiliteit tweemaal zo groot.

T-4 a. _{A3,14 20 15 0,79 20   } 2 _1258 b. _{A3,14 d 10 0,79 d}2 _{31,4 d 0,79d}2 c. _{3,14 d 12 0,79 d}2 _{37,68 d 0,79d}2 _1500 Voer in: 2 1 37,68 0,79 y  x x en y2 1500 intersect: x 25,8 cm T-5

a. De oppervlakte van het land is 150 m2_{, dus als de breedte 30 m is, is de lengte 5 m.}

De totale kosten zijn: TK 12 (3 30 5 (5 3)) 12 97 €1164,         b. voor de oppervlakte van zijn stuk land geldt: l b 150

c. TL 3 b l (l 3) 3b 2 150 3 3b 3 300 b b             d. Voer in: y₁ 3x 3 300 x    minimum: x 10

Bij een breedte van 10 m en een lengte van 15 m zijn de kosten minimaal.

T-6 a. 1 2(188 178) 3 180 D    cm. b. 1 1 1 2(188 ) 3 94 2 3 91 2 D M    M   M c. Als M D 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( ) 3 3 3 6 D V D V D V D V D          

Extra oefening – Basis

B-1

a. v t× =20: dit beschrijft een omgekeerd evenredig verband tussen v en t.

b. Als je v een vaste waarde geeft ontstaat er een recht evenredig verband tussen A en t. En als je t een vaste waarde geeft ontstaat er een recht evenredig verband tussen A en v.

B-2 Voor grote waarden van x wordt (0,45)x _{vrijwel gelijk aan 0. De noemer wordt dan}

4 3 0+ × » 4. De grenswaarde van y zal 6 zijn.

B-3

a. _{T 0,2 149,4} 1,5 _{365,22 dagen. Dat zijn 365 dagen en 5 uur.}

b. _0,2A1,5 _687

Voer in: y10,2x1,5 en y2 687 intersect: x 227,7

De gemiddelde afstand van Mars tot de zon is ongeveer 227,7 miljoen km. c. _{c×30 660}0,67 ₌₂₈₇₀ 2870 1014 1014 2870 2,83 c c × = = » B-4 a. 25 2,8 0,8   a 1,2 15 0,8 4,2 5,25 a a km   b. B 2,8 0,8 10 1,2   t 10,8 1,2 t

Als de rit twee keer zo lang duurt wordt de prijs niet twee keer zo hoog.

Extra oefening – Gemengd

G-1

a. Voor K moet je 650 invullen. b. 2 1,4 30.000 42 900 650 A   werknemers. c. 30.000_1,42 1.000.000_1,4 900 A K K    (teller en noemer delen door 900) d. e. 100 1.000.000_1,4 K  Voer in: y1100 en 2 1,4 1.000.000 y x  intersect: x 720 Ongeveer € 720.000,-K A 0 200 400 600 800 1000 0 100 200 300 400 500 600

G-2 a. l b h  24 2 2 24 6 h h   

 Voor de vier wanden is dan 4 2 6 48   dm2 karton nodig. b. _{I b h}2_{ 24 geeft} 2 24 h b  . Dus OW 4 b 24₂ 96₂b 96 b b b      G-3 a. 3700 1511,60 18 000 12 € 468,33 TK = + × × =

b. De jaarlijkse afschrijving (bij Ronald 3700 euro) worden verlaagd met 12 50× =600 euro. 3700 151 ₅₀ 3100 151

12 12

B K B K

TK = + × × - = + × ×

c. Doordat je het aantal gereden kilometers deelt door 15. Als je 15 km rijdt zijn de brandstofkosten 1

15× × =B 15 B (de prijs per liter). Dus je rijdt

15 km op één liter brandstof. d. Julia rijdt jaarlijks 24 000 km.

1 15

3100 1,60 24 000

12 € 471,67

Julia

TK = + × × = : haar maandelijkse kosten liggen dus iets hoger.

Uitdagende opdrachten

b. Met de stroom mee vaart Robert met een snelheid van 4 v km/u. Over 10 km doet hij dan 10

4 v uur. Tegen de stroom in is zijn snelheid 4 v km/u. Dan doet hij er 10

4 v uur over. In totaal is zijn tijd (in uren) dus

10 10 4 4 T v v     .

c. Als de rivier bijna even hard stroomt als Robert roeit, komt hij, tegen de stroom in, nauwelijks vooruit; hij doet er dan erg lang over.

d. De snelheid wordt dan tegen de stroom in negatief; hij vaart dan achteruit. e. als v groter wordt, doet hij langer over de tocht. Dus als v 0 is zijn reistijd

minimaal. U-2 a. _{d =0,16 :f =0,30 0,16×} 2_{- 0,36 0,16 0,46× + =0,41008} 2 0,32 : 0,30 0,32 0,36 0,32 0,46 0,37552 d = f = × - × + =

De vormfactor neemt dan met 0,41008 0,375520,41008 100% 8,4%

 _{ } af. b. _44d0,65 _40 Voer in: 0,65 1 44 y  x en y2 40 intersect: x 0,86 2 2 3 0,30 0,86 0,36 0,86 0,46 0,37 0,37 0,86 40 11,12 f V m          