Hoofdstuk 5:
Rijen en recursie
1. a. 3, 2, -1, -10, -37, … b. …, -118, -361 2. a. u(0) 2 u(1) 10 (0) 4 24 u u(2) 10 (1) 4 244 u (3) 10 (2) 4 2444 u u b. A(0) 34 1 2 (1) (0) 17 A A 1 1 2 2 (2) (1) 8 A A 1 1 2 4 (3) (2) 4 A A c. 1 2 (0) K 1 (0) (1) K 3 1 K 1 (1) (2) K 3 4 K 1 1 (2) 4 (3) K 3 3 K 3. a. u n( 1) u n( ) 3 met u(0) 3 … 15, 18, 21, 24 b. u n( 1) 4 ( )u n met u(0) 5 … 5120, 20480, 81920 c. u n( 1) 0,5 ( )u n met u(0) 1200 … 75, 1 2 37 , 3 4 18 , 3 8 9 4. a. t 1: 1000 1,03 1000 € 2030, b. t 2 : 2030 1,03 1000 € 3090,90 3 : 2090,90 1,03 1000 € 4183,63 t c. K n( 1) 1,03K n( ) 1000 met K(0) 1000d. mode seq (4e rij)
0
nMin (geboortedag)
( ) 1,03 ( 1) 1000
u n u n (u: 2nd en n: x)
( ) 1000
u nMin (eerste term)
Op zijn 18e verjaardag staat er ongeveer € 25.117,- op de bank. 5.
a. 30: er worden ieder jaar 30 walvissen gedood. 230: de beginpopulatie is 230
1,1: de groei is 10% per jaar.
b. u n( ) 1,1 ( u n 1) 20 met u(0) 230
c. De 10% aangroei moet dan ook weer gevangen worden: 0,10 230 23 walvissen. 6. a. 7, 15, 31, 63, … b. u(0) 2 0q 1 2q 1 7 3 2 8 2 3 q q c. u n( ) 2 n3 1 2 2n 3 1 8 2n1 7. a. u n( ) 7 4 n b. u n( ) 200 5 n
8.
a. u(0) 1 u(1)u(0) 2 0 3 4 u(2)u(1) 2 1 3 9
(3) (2) 2 2 3 16
u u
b. u n( ) ( n1)2 (
maar of je dit kunt bedenken?)
c. -9. a./b. c. u n( ) 10 2 n d. -10. a./b. A: u n( 1) u n( ) 5 met u(0) 12 …, 37, 42, 47 B: 1 2 ( 1) ( ) u n u n met u(0) 100 …, 1 1 9 4 8 16 6 , 3 ,1 C: u n( 1) 4 ( ) 1u n met u(0) 1 …, 683, 2731, 10923 D: u n( 1) 2 ( )u n met u(0) 3 …, 96, 192, 384 E: u n( 1) 3 ( ) 1u n met u(0) 2 …, 202, 607, 1822 F: u n( 1) u n( ) 3 met u(0) 20 …, 8, 5, 2 11. a. 4, 12, 36, 108, 324
b. Elke volgende term kun je berekenen door te vermenigvuldigen met 3. Je moet dan 40 keer met 3 vermenigvuldigen, ofwel met 340.
c. u n( ) 4 3 n 12. a. A en F zijn rekenkundig. b. B en D zijn meetkundig. c. A: u n( ) 12 5 n B: 1 2 ( ) 100 ( )n u n D: u n( ) 3 2 n F: u n( ) 20 3 n d. zie vraag 10. 13.
a. in drie stappen is er 114 bijgekomen. Dat is 38 per stap.
( 1) ( ) 38
u n u n met u(0) 28 u n( ) 28 38 n
b. in drie stappen is er met 3 8
3 vermenigvuldigd. Dat is met 3 13 1
8 2 (3 ) 1 per stap. 1 2 ( 1) 1 ( ) u n u n met 1 3 (0) 21 u 1 1 3 2 ( ) 21 (1 )n u n 14. a. …, 7, 1 3 2 4 5 , 4 b. 1 2 ( 1) ( ) 2 u n u n met u(0) 100 c. 1 0 2 (0) ( ) 100 u p q p q 1 2p(100p) 52 1 1 1 2 2 (1) ( ) 52 u p q p q 1 2 48 96 4 p p en q d. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) 96 ( )n 4 96 ( )n 4 (96 ( )n 4) 2 ( 1) 2 u n u n n 0 1 2 3 4 un 10 20 40 80 160 2n 1 2 4 8 16
15. a. 1, 3, 5, 7, 9 b. 1, 4, 9, 16, 25 c. s n( ) ( n1)2 16. u n( )s n( )s n( 1) a n( 1)2 a n2 a n( 22n 1) a n2 a (2n1) 17. a. recursieformule: u n( 1) u n( ) 6 met u(0) 3 rangnummerformule: u n( ) 3 6 n b. s n( ) 3 ( n1)2 (neem a3 in opgave 16) 18. a. 2 (99) 100 101 10100s b. 2som501 (500 1000) 751500 1 2 (99) 10100 5050 s som375750 19. a. 2 (30) 31 92 2852 (30) 1426 s s
b. 2 (30) 31 (1 91)s aantal termen (eerste term + laatste term)
1 2
(30)
s aantal termen (eerste term + laatste term) 20. 1 1 2 2 2 ( ) ( 1)(2 ) ( ) ( 1)(2 ) ( 1)( ) s n n a bn s n n a bn n a a bn n+1: aantal termen
a+a+bn: eerste term + laatste term 21. a. 3, 5, 7, 9, 11, …, 43 1 2 (20) 21 (3 43) 483 s b. 4, 7, 10, 13, …, 64 rangnummerformule: u n( ) 4 3 n 1 2 (20) 21 (4 64) 714 s c. 110, 98, 86, …, -130 rangnummerformule: u n( ) 110 12 n 1 2 (20) 21 (110 130) 210 s 22. a. u n( ) 4 13 n b. 1 2 (20) 21 (4 264) 2814 s c. 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 1)(4 4 13 ) ( 1)(8 13 ) 6 10 4 s n n n n n n n n 0 1 2 3 4 … 29 30 u(n) 1 4 7 10 13 … 88 91 u(30-n) 91 88 85 82 79 … 4 1 n 0 1 2 3 … n-1 n
u(n) a a+b a+2b a+3b … a+bn-b a+bn
u(30-n) a+bn a+bn-b a+bn-2b a+bn-3b … a+b a
23. 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 1)( ) ( 1)(2 ) ( ) s n n a a bn n a bn bn a b n a 24. a. s(n): 3, 10, 21, 36, 55 u(n): 3, 7, 11, 15, 19
b. s(n) is de som van de eerste n+1 termen en s(n-1) is de som van de eerste n
termen van de rij. Het verschil van deze sommen is de n+1ste term: u(n). c. s n( 1) 2(n1)25(n 1) 3 2(n22n 1) 5n 5 3 2n2n d. u n( )s n( )s n( 1) 2n25n 3 (2n2n) 4 n3 e. s n( 1) a n( 1)2b n( 1) c a n( 22n 1) bn b c an 2(b2 )a n a b c 2 2 ( ) ( ( 2 ) ) 2 u n an bn c an b a n a b c an b a f. u(0) b a c s(0)
25. A n( ) 1 2 n (A(0) is het eerste veld) A(63) 2 63 9,22 10 18 rijstkorrels
26. a. s(3)u(4)u(0) 16 1 15 en s(4)u(5)u(0) 32 1 31 b. s(63)u(64)u(0) 2 64 1 1,84 10 19 27. u n( ) 4 3 n 11 4 3 4 (10) 354.292 2 s 28. a. 10 1 2 (9) 3 3069 1 2 s b. 10 1 0,2 (9) 100 124,9999872 1 0,2 s c. 10 1 1,5 (9) 16 1813,28125 1 1,5 s 29. a. 2, 6, 18, 54, 162
b. u(n) is een meetkundige rij met reden 3: u n( ) 2 3 n c. ( ) 2 1 3 1 3 1 1 1 3 n n s n 30.
a. De zijden van de gele
driehoek zijn 1 en de hoogte 1 2 3 . De totale oppervlakte: 1 1 1 2 2 4 (0) 1 3 3 A b. c. L n( ) 3 1,5 n d. 1 4 ( ) 3 0,75n A n s(10) 4 12 36 … 4 3 10 3 (10)s 12 36 … 4 3 10 4 3 11 2 (10)s 4 4 311 n 0 1 2 3 aantal geel 1 3 9 27 lengte 1 driehoek 1 1 2 14 18 L(n) 3 1 2 4 3 4 6 1 8 10 opp 1 driehoek 1 4 3 161 3 641 3 2561 3 A(n) 1 4 3 163 3 649 3 25627 3
e. L(n) wordt steeds groter bij toenemende waarden van n.
f. A(n) wordt steeds kleiner (nadert naar 0) bij toenemende waarden van n.
31. a. 3, 11, 27, 59, 123 b. n0 :a20 b a b 3 2a 3 a 11 1 1: 2 2 11 n a b a b a8 en b 5 32.
a. met een meetkundige rij omdat de volgende term berekend wordt door zijn voorganger met p te vermenigvuldigen.
b. u n( ) 3 pn c. u(1) 3 p q 2 2 3 2 (2) (3 ) 3 ( 1) (3) (3 ( 1) ) 3 ( 1) u p p q q p p q u p p p q q p p p q d. u(0) a p0 b a b 3 ap 3 a 3p q 1 (1) 3 u a p b ap b p q a p( 1) 3p q 3 3(p 1) q 1 1 3 q q p p a en b 33.
a. De termen worden steeds kleiner en naderen naar 0.
b. De termen alterneren rond 0 (positief-negatief) en worden absoluut steeds groter. c. Voor 1 p 1 naderen de termen naar 0.
d. p 1: de termen alterneren en worden steeds groter.
1 p 0
: de termen alterneren en naderen naar 0.
34. a. u(n): 2, 6, 18, 54, 162, 486 b. v(n): 4, 12, 36, 108 c. v n( )u n( 1) u n( ) 2 3 n1 2 3n 2 3 3 2 3n n 2 3 (3 1) 4 3n n 35. a. v n( )u n( 1) u n( ) a b n( 1) (a bn ) a bn b a bn b b. v(n): 1, 2, 3, 4, 5, … u(n): 1, 3, 6, 10, 15, … c. v(2)u(3)u(2) 10 u(2) 12 v(1)u(2)u(1) 2 u(1) 6 (2) 2 u u(1) 8 (0) (1) (0) 8 (0) 0 (0) 8 (3) (0) (1) (2) (3) 8 8 2 10 8 v u u u u s u u u u 36. a. v n( )u n( 1) u n( ) b rn1 b rn b rn r b rn b r rn( 1)
37. a. 100, 101, 100, 101, 100 b. v n( 1) 1 ( )v n en v n( ) ( 1) n c. 1 1 2 2 ( ) 100 ( 1)n u n 38. a. u(1) 6 u(0) 1 , u(2) 6 u(1) 5 en u(3) 6 u(2) 1 b. u n( 1) 6 u n( ) met u(0) 5 c. u n( ) 3 2 ( 1) n
d. Bij u(0) 3 zijn de termen allemaal hetzelfde.
e. u n( 1) 10 2 ( ) u n f. u n( 1) u n( ) 1 3 10 2 ( ) ( ) 3 ( ) 10 ( ) 3 u n u n u n u n Als je 1 3 (0) 3
u kiest, zijn alle termen hetzelfde. 39. a. v(n): 5, 15, 45 v n( 1) 3 ( )v n met v(0) 5 b./c. u n( 1) 3 ( ) 1u n d. v(n): 4, 16, 64 v n( 1) 4 ( )v n u n( 1) 4 ( ) 5u n met u(0) 3 40. a. u n( 1) u n( ) 2 met u(0) 1
De rangnummerformule wordt dan u n( ) 1 2 n
b. s(n): 1, 4, 9, 16 c. s n( )n2 d. 9 1 2 0 2( 1) 2 4 6 ... 20 10 (2 20) 110 k k
e. 1 1 2 2 0 2( 1) 2 4 6 ... (2 2) ( 1)(2 2 2) ( 1) 2( 2) n k k n n n n n
(n1)(n2) 41. a. 1 jaar: 500 1,05 € 525, n jaar: K n( ) 500 1,05 nb. K(10) 500 1,05 10 is het bedrag na 10 jaar. De rente is het bedrag na 10 jaar min
de inleg van €
500,-(10) € 314,45
R
c. V(0)K(1)K(0) 500 1,05 500 0,05 500 : de rente is 5% van het bedrag
ervoor.
Dus V(1) is 5% van het bedrag na 1 jaar: V(1) 0,05 (500 1,05) V(n) is 5% van het bedrag na n-1 jaar: V n( ) 0,05 (500 1,05 ) n d. r 1,05 e. 10 9 0 1 1,05 (9) ( ) 25 314,45 1 1,05 n s V n
42.
a. De termen naderen naar 50.
b. Bij elke startwaarde naderen de termen naar 50. c. Dan is de rij constant.
d. x0,8x10 0,2 10 50 x x Dit is de evenwichtsstand. 43.
a. De termen naderen tot 9. b. x 72x 2 2 72 72 ( 9)( 8) 0 9 8 x x x x x x x x 44. a. b. u(0) 1 c. u(n): 1, 5, 12, 22, 35 d. v(n): 4, 7, 10, 13 e. v n( 1) v n( ) 3 met v(0) 4 , dus v n( ) 4 3 n
f. De rij u(n) is kwadratisch: u n( )an2bn c (0) 1 (1) 1 5 (2) 4 2 1 12 u c u a b u a b 4 42(4 ) 1 2 9 12 b a a a a 1 1 2 2 2 3 1 2 a a en b 2 1 1 2 2 ( ) 1 2 1 u n n n 45.
a. Met drie schijven zijn er 3 1 3 7 zetten nodig. b.
c. Bij n1 schijven: het kost Z(n) zetten om de bovenste n schijven naar het tweede stokje te
verplaatsen. Dan de onderste schijf naar stokje 3 (in totaal dan Z n( ) 1 zetten). En vervolgens kost het weer Z(n) zetten om de n schijven van het tweede naar het derde stokje te verplaatsen. In totaal dus 2Z n( ) 1 zetten.
d. v(n): 2, 4, 8, 16 De verschilrij is een meetkundige rij met reden 2. 1 ( ) 2n 1 Z n e. Z(64) 2 65 1 3,69 10 19 seconden 1,17 10 12 jaar. aantal schijven 1 2 3 4 5 aantal zetten 1 3 7 15 31
T-1.
a. 2500: nieuwe aanplant 0,8: 20% wordt gekapt, dus 80% blijft staan. b. Het stijgt steeds minder en komt uiteindelijk in een evenwichtssituatie.
c. B t( 1) 0,8B t( ) 3000
d. In de loop van de tijd wordt het aantal bomen nagenoeg constant: 15000. T-2. a. 1 3 ( 1) ( ) u n u n meetkundig 1 3 ( ) 54 ( )n u n b. u n( 1) u n( ) 1,5 : rekenkundig u n( ) 9 1,5 n
c. geen van beide u n( ) ( n1)3
verzin het maar!
d. geen van beide. De verschilrij is v n( ) 3 2 n. De rij is dus kwadratisch. (0) 2 (1) 2 1 (2) 4 2 2 6 u c u a b u a b 4 2(3 ) 2 6 2 2 1 2 a a a a en b 2 ( ) 2 2 u n n n T-3. a(n): 1, 0.5, 0, -0.5, … rekenkundig
b(n): 0, 1, 3, 6, 10, … geen van beide
c(n): 100, 50, 25, … meetkundig
T-4.
a. Het verschil tussen de 5e en 9e term van een rekenkundige rij is ook 4a. 4 16 4 a a u n( 1) u n( ) 4 met u(0) 3 , ofwel u n( ) 3 4 n b. 1 2 (100) 101 (3 403) 20503 s c. 1 1 2 2 ( ) ( 1)(3 3 4 ) ( 1)(6 4 ) 1176 s n n n n n 2 1 2 2 1 2 ( 1) 2(3 2 ) ( 1)(3 2 ) 2 5 3 1176 2 5 1173 0 25 23 ABC formule n n n n n n n n n n T-5. a. 3 3712 1 300 8 r 1 2 5 1 2 (0) 300 ( ) 9600 r u b. 11 1 2 1 2 1 ( ) (10) 9600 19190,625 1 s c. De factor 1 1 2 ( )n
nadert naar 0. Dan gaat s(n) naar 1 2 1 1 9600 19200 T-6. a. v n( ) 12 8 n b. v(9)u(10)u(9)u(10) 100 84 u(10) 184 c. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v(n) 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 u(n) -296 -284 -264 -236 -200 -156 -104 -44 24 100
( ) ( 1) ( ) 12 8 v n u n u n n u n( 1) u n( ) 12 8 n met u(0) 296 d. u(n) is kwadratisch. (0) 296 (1) 296 284 (2) 4 2 296 264 u c u a b u a b 12 12 4 2(12 ) 2 24 32 a b b a a a a 2 8 4 8 a a en b 2 ( ) 4 8 296 u n n n T-7. a. u(n): -1, 2, 7, 14, 23, 34, 47 b. v(n): 3, 5, 7, 9, 11, 13
c./d. het verschil wordt steeds 2 groter. T-8. a. omdat 24 2 ( ) 0 u n 2 ( ) 24 ( ) 12 u n u n
b. De rij nadert tot 4. c. x 24 2 x 2 2 24 2 2 24 ( 6)( 4) 0 6 4 x x x x x x x x T-9.
a. Nummer 5 geeft 4 handdrukken.
b. 6 4 10
c.
d. Het aantal handdrukken bij 2 personen is 1. De derde persoon geeft 2
handdrukken, de vierde geeft er 3, …. De nde persoon geeft n-1 handdrukken. Bij twee personen wordt er in totaal 1 handdruk gegeven. Bij drie personen worden er in totaal 1 2 3 handdrukken gegeven, bij vier personen 1 2 3 6
handdrukken, … en bij n personen 1 2 3 ... ( n1). Bij 25 personen: 1
2
1 2 3 ... 24 24 (1 24) 300 handdrukken.
e. Bij 26 personen worden er 25 handdrukken meer gegeven: 325 handdrukken. f. rekenkundig: H(1)H(0) 2 H(2)H(1) 3 Nee! meetkundig: (0)(1) 3 H H (2) (1) 2 H H Nee! ( 1) ( ) 1 u n u n met u(0) 1 u n( ) 1 n 48 1 2 0 (50) ( ) 1 2 3 ... 49 49 (1 49) 1225 k H u k
