Bogen in projectieve vlakken

Bogen in projectieve vlakken

Kenneth Genbrugge

Studentennummer: 01004174

Promotor: Prof. dr. Leo Storme

Co-promotor: Maarten De Boeck

Faculteit Wetenschappen

Vakgroep Wiskunde: Analyse, Logica en Discrete Wiskunde

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde.

Bogen in projectieve vlakken

Kenneth Genbrugge

Studentennummer: 01004174

Promotor: Prof. dr. Leo Storme

Co-promotor: Maarten De Boeck

Faculteit Wetenschappen

Vakgroep Wiskunde: Analyse, Logica en Discrete Wiskunde

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde.

0

Voorwoord

Without ambition one starts nothing. Without work one finishes nothing. The price will not be sent to you. You have to win it.

Ralph Waldo Emerson (1803 ­ 1822)

Voor u ligt de thesis Bogen in projectieve vlakken. Deze is geschreven in het kader van mijn afstud­ eren aan de opleiding Master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde. Met deze schriftelijke uiteenzetting breng ik een einde aan een boeiend leerproces dat zich uitstrekte over meerdere jaren en over meerdere facetten.

Uit persoonlijke ervaringen kan ik concluderen dat dit leerproces niet zonder obstakels was. Ik startte mijn universitaire loopbaan met een ondoordachte keuze, waar ik na enkele weken al spijt van had. Ik besloot om een sprong in het duister te wagen en koos voor een opleiding voor leerkracht Latijn en wiskunde. Uit de lessen, vele practica en de stages werd mij duidelijk dat ik een goede keuze had gemaakt. Na het behalen van dat diploma, wou ik nog een stap verder zetten. Met de bemoedigende woorden van V. Ver Gucht op zak begon ik aan de opleiding wiskunde aan de UGent.

De omschakeling van een professionele bachelor aan de Arteveldehogeschool naar een academische bachelor aan de UGent, was een veel grotere stap dan ik kon inschatten. De vele tegenslagen deden mij twijfelen aan mijn capaciteiten, maar ik wou niet snel opgeven. Het feit dat ik echter vrijstellingen behaalde voor mijn minor in deze opleiding, gaf me een boost om dit alles tot een goed eind te brengen. Daarnaast kon ik rekenen op een hechte vriendengroep waar men elkaar hielp bij vragen en onduide­ lijkheden. En indien zij mij niet konden helpen, mocht ik steeds elke professor of assistent contacteren opdat deze mij zouden helpen. Hiervoor mijn oprechte dank.

Na enkele jaren voltijds student te zijn, kwam de mogelijkheid voor mij om ook een stap in het onderwijs te zetten. Het was echter niet evident om mijn professioneel leven te combineren met mijn studies. Zo moest ik mijn tijdsbesteding verdelen over het voorbereiden van lessen, het bijwonen van vergaderingen, het zelf volgen van lessen, het studeren van cursussen en het schrijven van mijn masterproef.

Daarom wil ik van deze opportuniteit gebruik maken om volgende mensen te bedanken. Zonder hun hulp zou dit niet gelukt zijn. Allereerst wil ik professor L. Storme bedanken om mij dit onderwerp aan te bieden. De tweede persoon die mij enorm geholpen heeft tijdens het schrijven van mijn thesis, is Maarten De Boeck. Vanaf het begin heeft hij mij met veel raad, advies, hulp en geduld doorheen dit werk begeleid. Hiervoor mijn oprechte dank.

Graag wil ik ook mijn dank uitdrukken tegenover mijn collega’s en directie. In de eerste plaats bedank ik M. Versprille, die het mogelijk maakte om het leraar zijn en mijn studies te combineren. Zij stond open om mij zoveel mogelijk kansen te bieden om mijn studies tot een goed einde te brengen. Ondanks de moeilijke combinatie, bleef zij vertrouwen hebben. Ook bedank ik mijn collega’s, in het bijzonder de collega’s wiskunde, voor de blijvende steun, het advies, de tips en het luisterend oor. Het is een plezier om deel te mogen uitmaken van deze warme school.

Daarnaast bedank ik mijn ouders voor het blinde vertrouwen in mijn kunnen. Ze boden mij vele kansen aan en waren een blijvende steun en toeverlaat. En tenslotte wil ik mijn vriendin, Hendrickje, bedanken voor de continue steun, het vele begrip, de grote interesse en de vele liefde gedurende dit schrijfproces. Daarnaast nam ze ook de tijd om de hele tekst te na te lezen. Ze stond me ook bij tijdens het schrijven van de Engelstalige samenvatting. Zonder haar hulp had ik dit eindproduct niet kunnen voorleggen.

Kenneth Genbrugge,

0

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.”

“The author gives permission to make this master dissertation available for consultation and to copy parts of this master dissertation for personal use. In the case of any other use, the limitations of the copyright have to be respected, in particular with regard to the obligation to state expressly the source when quoting results from this master dissertation.”

Kenneth Genbrugge,

0

Inhoudsopgave

1.2.2 Karakterisering van deelruimten . . . 12

1.2.3 Polariteiten en perspectiviteiten . . . 13

1.2.4 Kegelsneden . . . 15

1.2.5 Hermitische krommen . . . 17

1.2.6 Het affien vlak AG(2,q) . . . 17

1.3 Getaltheorie . . . 19

1.3.1 Grootste gemeenschappelijke deler . . . 19

1.3.2 Lineaire congruenties . . . 19

1.3.3 Stelling van Lucas . . . 20

2 K­bogen van graad 2 22 2.1 Een k­boog van graad 2 . . . 23

Inhoudsopgave

2.2 Tellingen met betrekking tot de bisecanten . . . 25

2.3 Tellingen met betrekking tot de raaklijnen . . . 28

2.4 Tellingen met betrekking tot de externe rechten . . . 33

2.5 K­hoeken en k­zijden . . . 36

2.6 Ovalen en hyperovalen . . . 40

2.6.1 Bisecanten, raaklijnen en externe rechten . . . 40

2.6.2 Stelling van Segre . . . 42

2.6.3 Hyperovalen . . . 48

2.6.4 Translatiehyperovalen . . . 59

2.6.5 Hyperovalen en flocks . . . 65

2.6.6 Synthese . . . 71

2.7 Complete bogen . . . 73

2.7.1 Voorwaarde voor niet complete bogen . . . 73

2.7.2 Complete bogen verschillend van (hyper)ovalen . . . 75

3 K­bogen van hogere graad 87 3.1 Definities en tellingen . . . 88

3.2 Maximale bogen . . . 91

3.2.1 Triviale en niet­triviale maximale bogen . . . 91

3.2.2 Maximale bogen in PG(2,q) met q even: Denniston maximale bogen . . . 95

3.2.3 Maximale bogen in PG(2,q) met q even: Mathon maximale bogen . . . 98

3.2.4 Maximale bogen in PG(2,q) met q oneven . . . 113

3.3 Bogen met twee intersectiegetallen . . . 125

3.3.1 Definitie, tellingen en voorwaarden . . . 125

3.3.2 Hermitische bogen . . . 128

A Summary in English 134

B Berekeningen in Sage voor stelling 2.7.13 143

0

Lijst van figuren

1.1 Het projectief vlak PG(2, 2). . . 11

1.2 Het projectief vlak PG(2, 3). . . 11

1.3 Tekening horende bij lemma 1.2.3. . . 12

1.4 Tekening horende bij lemma 1.2.8. . . 15

2.1 Eerste tekening ter ondersteuning van stelling 2.1.4. . . 23

2.2 Tweede tekening ter ondersteuning van stelling 2.1.4. . . 24

2.3 Tekening ter ondersteuning van stelling 2.2.4, (2.2). . . 26

2.4 Tekening ter ondersteuning van stelling 2.2.4, (2.3). . . 27

2.5 Eerste twee tekeningen ter ondersteuning van lemma 2.5.2, (i). . . 37

2.6 Derde tekening ter ondersteuning van lemma 2.5.2, (i), nl. k= 5. . . 38

2.7 Tekening ter ondersteuning van stelling 2.6.5. . . 41

2.8 Tekening 1 ter ondersteuning van lemma 2.6.11. . . 44

2.9 Tekening 2 ter ondersteuning van lemma 2.6.11. . . 44

2.10 Tekening ter ondersteuning van stelling 2.6.12, stap 2. . . 45

2.11 Tekening ter ondersteuning van stelling 2.6.16. . . 48

2.12 Tekening ter ondersteuning van voorbeeld 2.6.18. . . 49

0

Lijst van tabellen

2.1 De waarden l(k, q) voor 1 ≤ k ≤ 5. . . 36

2.2 De waarden L(k, q) voor 2 ≤ k ≤ 6. . . 36

2.3 Het aantal punten niet op de zijden van een k­hoek voor 2≤ k ≤ 5. . . 38

2.4 Eerste drie klassen van hyperovalen in PG(2, q), q even. . . 71

2.5 Vierde klasse van hyperovalen in PG(2, q), q even. . . 71

2.6 Overige klassen van hyperovalen in PG(2, q), q even. . . 72

2.7 Constanten ci voor kleine bogen. . . 76

1

Inleidende begrippen

Het doel van dit eerste hoofdstuk is om meerdere concepten en begrippen op te lijsten. We gaan er echter van uit dat de lezer al vertrouwd is met de meeste van deze zaken. Kleine, maar noodzakelijke lemma’s kan men ook in dit hoofdstuk terugvinden. Met het oog op een compleet werk, zullen we deze lemma’s ook voorzien van een bewijs. De inhoud van dit hoofdstuk is grotendeels gebaseerd op het werk van Hirschfeld [16] en De Bruyn [10]. We verwijzen naar hun werken indien de lezer een meer uitvoerige uiteenzettingen wenst.

Er zijn in totaal drie delen: een eerste deel over eindige velden, een tweede deel over projectieve ruimten en het laatste deel over getaltheorie en algebra. Bij eindige velden lijsten we eerst enkele begrippen en symbolen. Vervolgens bewijzen we de nodige lemma’s over de elementen van het veld

F

men, de spoorafbeelding, Lagrange­interpolatie en permutatiepolynomen en over de wortels van een kwadratische vergelijking over

F

Het stuk over projective ruimten heeft een analoog begin. Ook hier starten we op met een opsomming van vele definities en begrippen. Hierna sommen we de karakterisering van deelruimten op. Daarna definiëren we polariteiten en perspectiviteiten (na de nodige inleidende begrippen). Omdat in de latere hoofdstukken ook vaak gesproken wordt over kegelsneden en hermitische krommen, gaan we dieper in op deze twee zaken. Op het einde behandelen we het affien vlak PG(2, q).

Het laatste deel is eenvoudiger: de lemma’s die we hier al dan niet voorzien van een bewijs, zijn nodig voor latere bewijzen vlot te laten verlopen.

De auteur maakt van dit moment ook het gebruik om mee te delen dat alle bewijzen en berekeningen doorheen dit hele werk zeer uitvoerig zijn neergeschreven. De reden hiervoor is dat dit de voorkeur van de auteur, als leerkracht, draagt.

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

1.1

Eindige velden

1.1.1

Definities, notaties

(i) Een veld(

K

K

K

(b) (

K

K

K

(c) Voor alle x, y, z∈

K

x⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z,

(x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z.

In het verloop van deze tekst noteren we x⋅ y als xy voor elke x, y ∈

K

(ii) Voor elke element x∈

K

K

(iii) Een eindig veld is een veld met een eindig aantal elementen.

(iv) De karakteristiek van een eindig veld

K

K

(v) GF(p) =

F

urlijke vermenigvuldiging. GF(p) is een eindig veld met p elementen.

(vi) Een eindig veld

K

h≥ 1.

(vii) Als F(T) een irreduciebel polynoom van graad h over GF(p) is, dan

GF(ph) = GF(p)[T]/(F) = {a0+ a1t+ . . . + ah−1th−1∣ ai∈ GF(p), F (t) = 0} .

(viii) De elementen van x ∈ GF(q), q = ph voldoen aan de vergelijking Tq− T = 0. Er bestaat een

s∈ GF(q) zo dat

GF(q) = {0, 1, s, s2, . . . ,sq−2∣ sq−1 = 1} .

Deze s noemen we een primitief element of generator van GF(q). Dit heeft als gevolg dat voor elke x∈ GF(q)∗∶ xq−1 = 1.

(ix) Als s een generator van GF(q)∗is, dan is ook sr, r∈

Z

(x) Elk veld van q elementen is isomorf met GF(q) =

F

(xi) De additieve structuur van

F

F

Z

Z

(xii) De multiplicatieve structuur van

F

F

Z

Lemma 1.1.1. Voor de elementen van

F

Bewijs. Zij s een primitief element van

F

∑ x∈Fq xi= q−1 ∑ k=1 sik= q ∑ k=2 sik= q−1 ∑ k=1 si(k+1) = si q−1 ∑ k=1 sik.

Maar si≠ 1 (q − 1 is geen deler van i) en dus moet ∑_x∈F qx

i_{= ∑}q−1 k=1s

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

Lemma 1.1.2. Het product van alle elementen uit

F

Bewijs. Als voor x∈

F

steeds 1. Maar welke elementen zijn dan wel gelijk aan hun inverse?

x−1 = x ⇔ x2= 1

⇔ x = ±1.

Zo ontstaat een product van een aantal keer 1 en één keer−1. Dit geeft ons het gewenste resultaat.

Lemma 1.1.3 (Freshman’s dream, I). Zij

F

F

(x + y)pi

= xpi

+ ypi

,

∀ i ∈ {1, 2, . . . , h}. In het bijzonder geldt er dus (x + y)q

= xq

+ yq

.

Bewijs. We starten met het geval i= 1 en ontwikkelen (x + y)pmet het binomium van Newton: (x + y)p_{= x}p_{+ (}p 1)x p−1 y+ . . . + ( p p− 1)xy p−1_{+ y}p .

Voor elke i∈ {1, . . . , p − 1} hebben we dat (p_{i ) =} p! i !(p − i)! = p (p − 1)! i !(p − i)! met i != 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ i, (p − i)! = 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ (p − i).

Elke factor van beide faculteiten is kleiner dan p. Omdat p priem is, zal geen enkele factor van i ! en (p − i)! een deler zijn van p. Met andere woorden

(p_{i ) =}p⋅ ki,

voor een ki ∈

N

Neem nu een j zo dat 2≤ j ≤ h en veronderstel dat de gelijkheid geldt voor alle i < j. We tonen nu aan dat dit ook klopt voor j.

(x + y)pj = ((x + y)pj−1 ) p = (xpj−1 + ypj−1 ) p = (xpj−1 ) p + (ypj−1 ) p = xpj + ypj .

1.1.2

Morfismen

In dit deel samen met de volgende delen gaan we dieper in op afbeeldingen en in het bijzonder op morfismen, de spoorafbeelding en de Lagrange interpolatiepolynoom. We voorzien een bewijs waar we het nodig achten.

(i) Zij(

K

L

K

L

fisme) als θ de structuur bewaart, i.e.

(k1+Kk2) θ_{= k}θ 1+Lk θ 2, (k1⋅Kk2) θ = (k1) θ ⋅L(k2) θ voor alle k1en k2in

K

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

(ii) Als θ surjectief is, dan is het een epimorfisme. Indien θ injectief is, is het een monomorfisme. En

als θ een bijectie is, dan is het een isomorfisme.

(iii) Als θ een morfisme van

K

automorfisme.

(iv) De bovenstaande begrippen in het vet bestaan ook voor groepen. Normaal gezien zal het uit de

situatie duidelijk worden welke morfismen we gebruiken. Indien dat niet het geval is, zullen we de gepaste notatie gebruiken.

Lemma 1.1.4. In

F

κ∶

F

F

F

F

Bewijs. Er geldt voor elke x, y∈

F

x2= y2⇔ x2+ y2

⇔ (x + y)2_{= 0}

⇔ x + y = 0 ⇔ x = y.

De afbeelding κ is dus injectief. Omdat

F

dat het een morfisme is. Kies x≠ y in

F

(x + y)2 = x2 + y2 , (xy)2 = x2 y2.

Bij de som maken we gebruik van de Freshman’s Dream. We besluiten dat κ een automorfisme is. De inverse afbeelding κ−1is bij gevolg ook een automorfisme.

Lemma 1.1.5. Er zijn juistq+1₂ kwadraten in

F

Bewijs. Beschouw de afbeelding κ∶

F

F

. Voor elke x en y in

F

x2= y2⇔ (x − y)(x + y) = 0

⇔ x = ±y.

We vinden dus dat∣{x2∣ x ∈

F

F

2 + 1 = q+1

2 kwadraten zijn.

We sluiten dit deel af met het volgend lemma. Dit resultaat zal in hoofdstuk 2 van pas komen. Niet alle

Lemma 1.1.6. In

F

(i) ggd(q − 1, 4) = 2, (ii) q≡ −1 (mod 4),

(iii) −1 is een niet­kwadraat in

F

(iv) x4= 1 heeft juist twee oplossingen in

F

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

Bewijs. Omdat q oneven is, weten we dat q− 1 al zeker even is.

(i)⇔ (ii):

ggd(q − 1, 4) = 2 ⇔ 2∣(q − 1) ∧ 4 /∣ (q − 1) ⇔ ∃ m ∈

N

N

(ii)⇔ (iii): De groep (

F

groep van orde 2. Omdat q oneven is, kan q≡ 0 (mod 4) of q ≡ 2 (mod 4) niet voorkomen. Dus de enige mogelijkheden zijn q≡ ε (mod 4) met ε ∈ {1, −1}. We tonen de contrapositie aan van de equivalentie die we willen bekomen.

∃ x ∈

F

(iii)⇔ (iv): We weten dat x4= 1 al zeker twee oplossingen heeft: namelijk 1 en −1. Deze voldoen aan de vergelijking x2− 1 = 0. We krijgen dus dat

¬∃ x ∈

F

F

F

Dit betekent dat ∣{x4∣ x ∈

F

2 . Dit is juist dezelfde grootte van ∣{x 2

∣ x ∈

F

q}∣ (lemma 1.1.5).

Daarnaast geldt er dat {x4 ∣ x ∈

F

F

Dus beide verzamelingen zijn gelijk of met andere woorden: de kwadraten in

F

machten in

F

(v)⇒ (iii): We tellen eerst de grootte van de volgende verzameling

F

F

Elke vierde macht x4is de vierde macht van x, maar ook van−x. Dit betekent dat x4de vierde macht is van tenminste 2 elementen van

F

juistq−1

2 vierde machten in

F

qzijn. Zo krijgen we dat

∣

F

2 ⋅ 2 = q − 1. (1.1)

Elke x heeft natuurlijk een unieke vierde macht x4. Omdat∣

F

F

We krijgen dus een gelijkheid in (1.1). Met andere woorden: elke vierde macht is de vierde macht van juist 2 elementen.

Zij nu x∈

F

x4= (x2)2, x4= (−x2)2.

Hierbij is x2het kwadraat van x en van−x. Maar x4is juist de vierde macht van deze twee. Dit betekent dat−x2geen oplossingen heeft. Wegens het feit dat x2een kwadraat is, is−1 dan geen kwadraat.

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

1.1.3

Spoor

Zij

K

F

F

F

K

F

tr_K/F∶

K

F

2

+ . . . + xρm−1

.

Lemma 1.1.7. De afbeelding tr_K/Fvoldoet aan de volgende eigenschappen. (i) ∀ x ∈

K

F

(ii) Het spoor is additief: ∀ x, y ∈

K

K

F

(iv) ∀ k ∈

F

K

(vi) Zij

L

K

∀ x ∈

L

In het bijzondere geval dat

F

F

K

F

, passen we de notatie aan:

trp∶

F

F

+ xp2

+ . . . + xph−1

.

Als p= 2, dan hebben we

tr∶

F

F

+ x4

+ . . . + x2h−1 .

Voor elke x∈

F

= xq

= x. Op deze manier kunnen we tot volgende vaststelling komen.

tr(x2) + tr (x) = x2+ x4+ x8+ . . . + x2 h + x + x2 + x4 + . . . + x2h−1 = x + 2x2_{+ 2x}4_{+ . . . + 2x}2h−1_{+ x}2h = 0. (1.3)

Bijgevolg is tr(x) ∈ {0, 1} voor elke x ∈

F

T

F

T

F

Lemma 1.1.8. De verzamelingen

T

T

T

T

T

(iii) t∈

T

T

F

(iv) s∈

T

T

T

0, als i= j,

T

T

T

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

1.1.4 Functies

In dit werk gebruiken we volgende notatie

G

F

Lemma 1.1.9. Elke functie f ∶

F

F

G

f(x) = F (x) waarbij F(T) = − ∑ s∈Fq f(s)T q_{− T} T− s . (1.4)

Bewijs. Kies een vaste s∈

F

f(s)T q − T T− s = f (s) ∏ x∈Fq\{s} T− x. (1.5)

(i) Als we T= s invullen, dan wordt (1.5) het volgende: f(s) ∏

v∈Fq\{s}

s− v = f (s) ∏

v′∈F∗q

v′= −f (s).

Als v varieert over

F

F

voor de laatste overgang.

(ii) Als we T= u invullen met u ≠ s, dan wordt (1.5) het volgende: f(s) ∏

v∈Fq\{s}

u− v = 0.

We verkrijgen 0 omdat één van deze factoren u− u zal zijn.

Deze werkwijze kunnen we voor elke s∈

F

F

F(x) = − (−f (x)) = f (x).

Gevolg 1.1.10. Indien f∶

F

F

1.1.9, hoogstens q− 2.

Bewijs. Zij deze f een permutatie. We werken het linkerlid van (1.4) uit:

− ∑ s∈Fq f(s) (Tq−1+ aq−2Tq−2+ . . .) =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣− ∑s∈Fq f(s)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦T q−1_{+ L.O.T.} =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣− ∑s∈Fq s⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦T q−1_{+ L.O.T.}

Omdat f een permutatie is, mogen we deze laatste gelijkheid toepassen. Maar wegens lemma 1.1.1 is de coëfficiënt van Tq−1 gelijk aan 0.

Definitie 1.1.11. Een element F∈

G

wordt een permutatiepolynoom genoemd. We noteren daarnaast

P

G

In hoofdstuk 2 zal het nodig zijn om aan te tonen dat bepaalde polynomen geen permutatiepolynomen zijn. Om dat te kunnen bewijzen, hebben we volgend lemma (en in het bijzonder zijn gevolg) nodig.

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

Lemma 1.1.12. Als F ∈

G

P

zijn:

(i) voor elke r/≡ 0 (mod p) en r ≤ q − 2, is de graad van F (T)rmodulo Tq− T ten hoogste q − 2; (ii) F(x) = 0 heeft juist één oplossing in

F

Gevolg 1.1.13. Als F∈

G

P

(i) voor elke oneven r en r≤ q − 2, de graad van F (T)r modulo Tq− T ten hoogste q − 2 is; (ii) F(x) = 0 impliceert dat x = 0.

1.1.5

Vergelijkingen en wortels

In dit werk zullen we vaak werken met een kwadratische vergelijking over

F

, i.e.

aT2+ bT + c = 0, (1.6)

met a, b en c in

F

op:

Indien p≠ 2, dan kunnen we de discriminant, Δ = b2− 4ac, bepalen. ⋄ Als Δ = 0, dan heeft (1.6) de unieke oplossing t = −b_2a.

⋄ Als Δ geen kwadraat is, dan heeft (1.6) geen oplossingen. ⋄ Als Δ = s2

voor een s∈

F

Indien p= 2, dan is het niet mogelijk om met Δ te werken. ⋄ Indien b = 0, dan heeft (1.6) de unieke oplossing t =√c

a.

⋄ Als b ≠ 0, dan worden volgende substituties toegepast

Y= aT b , δ=ac

b2.

Zo kunnen we (1.6) schrijven als

aT2+ bT + c = 0 ⇔ a2T2+ abT + ac = 0 ⇔ a 2 b2T 2 + a bT+ ac b2 = 0 ⇔ Y2 + Y + δ = 0. (1.7)

De constante δ noemen we de S­invariant van vergelijking (1.6) en van vergelijking (1.7). Wegens (1.3), weten we dat tr(δ) ∈ {0, 1}.

◦ Als tr (δ) = 1, dan heeft (1.7) en dus (1.6) geen oplossingen.

◦ Als tr (δ) = 0, dan heeft (1.7) en dus (1.6) twee oplossingen. Neem hiervoor een k ∈

F

waarvoor tr(k) = 1 en definieer y= h−1 ∑ i=2 δi⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣ i−1 ∑ j=1 kj⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎦.

1. Inleidende begrippen 1.1. Eindige velden

Dan zal y2+ y = δ en dan zal y een oplossing van (1.7) zijn. Dit heeft als gevolg dat y + 1 de tweede oplossing van (1.7) is:

(y + 1)2

+ (y + 1) = y2

+ 1 + y + 1 = y2

+ y = δ.

We eindigen dit deel met een lemma over de vergelijking Tn= c. Hier geven we geen bewijs, omdat het niet van groot belang is in het vervolg van dit werk.

Lemma 1.1.14. Zij c∈

F

. De vergelijking Tn = c heeft een unieke oplossing wanneer er geldt dat ggd(n, q − 1) = 1. Deze unieke oplossing is x = crwaar r∈

Z

Z

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

1.2

Projectieve ruimten

Het volgende deel in dit hoofdstuk behandelt de projectieve ruimten. Ook hier zullen we enkele zaken gewoon oplijsten in de veronderstelling dat de lezer al bekend is met deze begrippen en concepten.

1.2.1

Definities

(i) Zij V= V(n+1, q) een (n+1)­dimensionale vectorruimte over een veld

K

¯

x∼ ¯y ⇔ ∃ t ∈

K

De equivalentieklassen zijn dan de ééndimensionale deelruimten van V, zonder nul. De verzamel­ ing D(V) van deze equivalentieklassen is dan de n­dimensionale projectieve ruimte over

K

K

(ii) Indien

K

F

(iii) De projectieve dimensie of meetkundige dimensie van PG(n,

K

(iv) De elementen van PG(n,

K

K

stelt een ééndimensionale deelruimte van V voor. Kies een vector ¯x ∈ P\ {0}. Ten opzichte van

een basis{¯e0, ¯e1, . . . , ¯en} van V is ¯x = (x0,x1, . . . ,xn). Dan noemt men (x0,x1, . . . ,xn) de homo­

gene coördinaten van het punt P en is ¯x een representant van P. Ten opzichte van de gekozen

basis zijn de homogene coördinaten van P op een factor t∈

K

P(x0,x1, . . . ,xn) om duidelijk te maken wat de homogene coördinaten van het punt P zijn.

(v) De punten P(¯x1), . . ., P (¯xr) zijn lineair onafhankelijk als een verzameling vectoren ¯x1, . . ., ¯xrlineair

onafhankelijk zijn.

(vi) Voor m∈ {−1, 0, 1, 2, . . . , n} is een m­dimensionale deelruimte van PG(n,

K

punten waarvan de representanten, samen met de nulvector, een(m + 1)­dimensionale deelruimte van V vormen. We zeggen dan dat U meetkundige dimensie m heeft en noteren dit als mdim(U) =

m.

(vii) Als U een deelruimte van V is, noteren we dat U≤ V. Analoog betekent W ≤ PG(n,

K

deelruimte van PG(n,

K

(viii) De deelruimten van dimensie 0 zijn de punten, terwijl de deelruimte van dimensie −1 de ledige

verzameling is. Deelruimten van dimensie 1, 2 en 3 noemen we respectievelijk rechten, vlakken en solids. Indien een deelruimte dimensie n− 1 heeft, dan is het een hypervlak.

(ix) Indien n= 2, dan spreken we over een projectief vlak in plaats van een projectieve ruimte. Hierin

gelden volgende eigenschappen:

(a) Door elke twee verschillende punten gaat er een unieke rechte; (b) Elke twee verschillende rechten snijden elkaar in een uniek punt; (c) PG(2,

F

(x) Zij

P

rechten en een incidentierelatie I die voldoet (a), (b) en (c) van (ix). Dan noemt men

P

iomatisch projectief vlak. Indien P en R eindig zijn, dan zegt men dat het projectief vlak eindig is.

In dat geval bestaat er een natuurlijk getal m∈

N

Dat getal m noemt men de orde van het projectief vlak. Het aantal rechten door een punt is dan

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

(xi) Indien

F

F

geven we twee voorbeelden.

(xii) Is PG(V) een projectief vlak over een veld

F

P

(xiii) We merken echter op een axiomatisch projectief vlak op andere manieren kan geconstrueerd wor­

den, waarbij niet vertrokken wordt van een vectorruimte. Het resulterend projectief vlak is dan niet isomorf met een projectief vlak afkomstig van een vectorruimte.

Voorbeeld 1.2.1. Het projectief vlak van orde 2, PG(2, 2), heeft 22+ 2 + 1 = 7 rechten en 7 punten.

Daarnaast gaan er 2+ 1 = 3 rechten door elk punt. Analoog liggen er 3 punten op elke rechte.

Figuur 1.1: Het projectief vlak PG(2, 2).

Het vlak PG(2, 2) wordt ook het Fano­vlak genoemd. Dit is het projectief vlak met het kleinste aantal punten en rechten. De tekening van dit vlak is vrij eenvoudig. Het wordt al wat moeilijker om een overzichtelijke tekening te maken van het vlak PG(2, 3).

Voorbeeld 1.2.2. Het vlak PG(2, 3) heeft 32+ 3 + 1 = 13 rechten en 13 punten. Er gaan 3 + 1 = 4

rechten door elk punt en er liggen 4 punten op elke rechte.

Figuur 1.2: Het projectief vlak PG(2, 3).

Tenslotte vermelden we nog de stelling van Desargues. In PG(V), dim(V) = 3, is deze stelling waar. Een projectief vlak waar deze stelling waar is, noemen we een desarguesiaans. We merken op dat er vele eindige en oneindige niet­desarguesiaanse vlakken bestaan.

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

Lemma 1.2.3 (Stelling van Desargues). Kies een punt P∈ PG(V), dim(V) = 3, en drie verschillende

rechten r1, r2en r3in PG(V) die door P gaan. Kies op de rechte ri, 1≤ i ≤ 3, twee punten Aien Bizodat

P, Aien Bionderling verschillend zijn. Onderstel dat de punten A1, A2en A3niet collineair zijn, net zoals de punten B1, B2en B3. Dan zijn de punten C1= A1A2∩ B1B2, C2= A1A3∩ B1B3en C3= A2A3∩ B2B3 collineair. r3 r2 r1 P A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3

Figuur 1.3: Tekening horende bij lemma 1.2.3.

1.2.2

Karakterisering van deelruimten

In dit korte deel sommen we een karakterisering voor deelruimten op. Vervolgens bekijken we het bij­ zondere geval voor hypervlakken. Dit bijzondere geval wordt dan bekeken in PG(2, q), samen met diens duale situatie.

Lemma 1.2.4. Als

M

∣

M

n−r+1_{− 1}

q− 1 . (1.8)

De gelijkheid in (1.8) wordt bereikt als en slechts als

M

Gevolg 1.2.5. Als

M

∣

M

n_{− 1}

q− 1. (1.9)

De gelijkheid in (1.9) wordt bereikt als en slechts als

M

Gevolg 1.2.6. Als

M

M

∣

M

2_{− 1}

q− 1 = q + 1. (1.10)

De gelijkheid in (1.10) wordt bereikt als en slechts als

M

Gevolg 1.2.7. Het duale van gevolg 1.2.6 is het volgende. Als

M

M

∣

M

2_{− 1}

q− 1 = q + 1. (1.11)

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

1.2.3

Polariteiten en perspectiviteiten

(i) Neem twee vectorruimten V en W over isomorfe velden

F

F

F

F

(a) (¯x1+ ¯x2) φ = ¯xφ 1+ ¯x φ 2,∀ ¯x1, ¯x2∈ V; (b) (k¯v)φ= kθ¯vφ,∀ k ∈

F

dan is φ een semi­lineaire afbeelding van V in W met corresponderend isomorfisme θ. Indien

F

F

niet­singuliere semi­lineaire afbeelding en niet­singuliere lineaire afbeelding.

(ii) Zij V een vectorruimte over het veld

K

(iii) Zij V en W twee vectorruimten over respectievelijke velden

K

K

γ∶ PG(V) → PG(W) ∶ ∀ U1,U2≤ V ∶ U1⊂ U2⇒ U γ 1 ⊂ U

γ 2.

(iv) Een correlatie of anti­isomorfisme van PG(V) op PG(W) is een bijectie γ∶ PG(V) → PG(W) ∶ ∀ U1,U2≤ V ∶ U1⊂ U2⇒ U

γ 2 ⊂ U

γ 1.

(v) Indien PG(V) = PG(W) spreken we een automorfisme en anti­automorfisme in plaats van respec­

tievelijk collineatie en correlatie. Een automorfisme γ met γ2 = 1 is een involutie, terwijl een anti­ automorfisme γ met γ2= 1 een polariteit is.

(vi) Ten opzichte van de gekozen basis van V kan de polariteit γ van PG(V) steeds voorgesteld worden

door ⎛ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎝ a0 a1 ⋮ an ⎞ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎠ = A ⋅ ⎛ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜ ⎝ xθ₀ xθ₁ ⋮ xθn ⎞ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎠ ,

met θ2= id en A een niet­singuliere (n + 1) × (n + 1)­matrix over

F

{A

T_{∈ {A, −A}, θ = 1,}

ATθ= A, θ2= id, θ ≠ id.

(vii) Een polariteit zal een punt P(x0,x1, . . . ,xn) afbeelden op een hypervlak met vergelijking

a0X0+ a1X1+ . . . + anXn= 0.

In PG(2, q) is het hypervlak een rechte L, die we ook de poollijn noemen. We noteren dan dat

L= pγ. In het bijzondere geval het punt op zijn corresponderend hypervlak ligt, wordt dat punt een

absoluut punt van de polariteit γ genoemd. (viii) We hebben de volgende polariteiten.

(a) Indien q oneven is, dan zijn er de volgende polariteiten.

⋄ Is n oneven en AT_{= −A en θ = id, dan spreken we van een symplectische polariteit γ} s.

⋄ Is AT _{= A en θ = id, dan spreekt men van een orthogonale polariteit γ} o.

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

⋄ Is θ2_{= id en θ ≠ id, dan spreekt met van een hermitische polariteit γ} h.

(b) Indien q even is, dan zijn er de volgende polariteiten.

⋄ Is n oneven en AT_{= −A en θ = id en zijn alle diagonaalelementen gelijk aan 0, dan spreekt}

men over een symplectische polariteit γ_s. ⋄ Is AT

= A en θ = id en zijn niet alle diagonaalelementen gelijk aan 0, dan spreekt men over een pseudo polariteit γp.

⋄ Is θ2_{= id en θ ≠ id, dan spreekt met van een hermitische polariteit γ} h.

(ix) Voor elke polariteit is het mogelijk om ten opzichte van een goedgekozen basis in V de polariteit

voor te stellen door de volgende matrix A. We zullen ons beperken tot polariteiten in PG(2, q). (a) Voor een symplectische polariteit γ_s:

A=⎛⎜⎜ ⎝ 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟ ⎠.

(b) Voor een orthogonale polariteit γ_o of hermitische polariteit γ_his A een diagonaalmatrix met coëfficiënten van

F

θ

= A. (c) Voor een pseudo polariteit γp:

A=⎛⎜⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ⎞ ⎟⎟ ⎠.

(x) We geven het aantal absolute punten van de polariteiten in PG(2, q) mee. Aangezien n = 2 even

is, zullen we geen symplectische polariteiten hebben.

(a) Bij een orthogonale polariteit γ_ois de verzameling van de absolute punten een niet­singuliere kegelsnede. (Zie deel 1.2.4)

(b) Bij een pseudo polariteit γp kan ten opzichte van een goedgekozen basis de unie van de

absolute punten voorgesteld worden door de rechte X0= 0. Dus heeft γpjuist q+ 1 collineaire

absolute punten.

(c) Bij een hermitische polariteit γ_h, met q een kwadraat, vormen de absolute punten een hermi­ tische variëteit. (Zie deel 1.2.5)

(xi) De Fundamentaalstelling van de Projectieve Meetkunde geeft ons dit gevolg.

Onderstel dat V een vectorruimte, dim(V) ≥ 3, over een veld

K

(xii) De groep van alle automorfismen van PG(V) op zichzelf, geïnduceerd door de elementen van ΓL(V), noteren we als PΓL(V). De projectieve groep van PG(V) is de groep van alle collineaties

van PG(V) op zichzelf, geïnduceerd door de elementen van GL(V).

(xiii) Twee deelverzamelingen U1 en U2van PG(V) worden projectief equivalent genoemd als er een

element γ∈ PGL(V) bestaat zodat Uγ₁= U2. We noteren dan dat U1≅ U2.

(xiv) Een perspectiviteit is een element van PΓL(V) die alle punten van een hypervlak U fixeert. U wordt

dan de as genoemd. Een punt P wordt het centrum genoemd als de perspectiviteit elk hypervlak door P fixeert. Dit centrum is steeds uniek.

(xv) Een niet­triviale perspectiviteit noemt men een elatie al het centrum op de as ligt. Indien dit niet

het geval is, spreken we van een homologie.

Lemma 1.2.8. Gegeven zijn een punt P en een hypervlak U. Zijn X, X′punten die verschillend zijn van P, die niet op U gelegen zijn en die zodanig gelegen zijn dat P, X en X′collineair zijn. Dan bestaat er juist één perspectiviteit γ met as U en centrum P waarvoor Xγ= X′.

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

U

P X

X′

(a) Bij een elatie.

U

P X

X′

(b) Bij een homologie.

Figuur 1.4: Tekening horende bij lemma 1.2.8.

1.2.4

Kegelsneden

Doorheen dit werk zal er vaak gebruik gemaakt worden van kegelsneden in PG(2, q). Daarom sommen we in dit deel enkele begrippen, stellingen en eigenschappen omtrent kegelsneden op.

(i) Elke verzameling

C

aan een vergelijking van de vorm

F(X0,X1,X2) = a00X 2 0 + a11X 2 1+ a22X 2 2+ a01X0X1+ a02X0X2+ a12X1X2= 0,

met niet alle coëfficiënten aij∈

F

(ii) Het kwadratisch polynoom F(X0,X1,X2) wordt absoluut reduciebel genoemd als deze in een bepaalde

extensie van

F

F(X0,X1,X2) absoluut irreduciebel. We zeggen dan ook dat

C

beschreven wordt door een vergelijking F(X0,X1,X2) = 0 waarbij F (X0,X1,X2) een absoluut ir­

rediciebel kwadratisch polynoom is.

(iii) Indien q oneven is, kunnen we

C

A= ⎛ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ a00 a01 2 a02 2 a01 2 a11 a12 2 a02 2 a12 2 a22 ⎞ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎠ .

Men kan aantonen dat F(X0,X1,X2) absoluut reduciebel is als en slechts als A singulier is. Indien A niet­singulier is, dan is

C

die met A correspondeert.

(iv) Indien q even is, zal het niet mogelijk zijn om een matrix A op te stellen. Er geldt wel dat F(X0,X1,X2)

absoluut reduciebel is als en slechts als

a00a 2 12+ a11a 2 02+ a22a 2 01+ a01a02a12= 0.

De bovenstaande gelijkheid is equivalent met zeggen dat het punt(a12,a02,a01) tot de kegelsnede

behoort. Het punt met(a12,a02,a01) noemen we ook de kern van de kegelsnede. Ook als F niet

absoluut reduciebel is, spreken we van de kern.

(v) Als

C

C

⋄ de verzameling punten van één rechte, ⋄ een singleton.

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

(vi) Indien

C

C

C

_F

q} ∪ {(0, 0, 1)} .

Hierbij geldt dat∣

C

A= ⎛ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 0 0 −1 2 0 1 0 −1 2 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ .

(vii) We spreken bij kegelsneden ook over de volgende rechten en punten. Er worden ook enkele

aantallen meegegeven.

(a) Een externe rechte van een kegelsnede

C

C

C

C

C

C

C

punt waarvan de poollijn ten opzichte van

C

C

(e) Er zijn in totaal (q−1)q₂ externe rechten (en dus evenveel interne punten), q+ 1 raaklijnen en

(q+1)q

2 snijlijnen (en dus evenveel externe punten).

(f) Er gaan 2 raaklijnen, q−1₂ snijlijnen en q−1₂ externe rechten door een extern punt. (g) Er gaan 0 raaklijnen, q+1₂ snijlijnen en q+1₂ externe rechten door een intern punt. (h) Er liggen q+1₂ interne punten en q+1₂ externe punten op een externe rechte.

(i) Er liggen q−1

2 interne punten en q−1

2 externe punten op een snijlijn.

Lemma 1.2.9. Beschouw 5 verschillende punten van PG(2, q) waarvan er geen 3 collineair zijn. Dan is

er juist één kegelsnede die deze 5 punten bevat.

Bewijs. Omdat geen drie van deze punten collineair zijn, kunnen we het coördinatenstelsel zo kiezen

dat P1= (1, 0, 0), P2= (0, 1, 0), P3= (0, 0, 1), P4 = (1, 1, 1) en P5= (1, ε, η) zijn, met ε en η ∈

F

er geen 3 van deze punten collineair zijn, kunnen we het volgende over P5zeggen.

⋄ Als ε = 0, dan P5= (1, 0, η) ∈ P1P3. Als ε= 1, dan P5= (1, 1, η) ∈ P3P4. Beiden zijn strijdig met het

gegeven.

⋄ Als η = 0, dan P5 = (1, ε, 0) ∈ P1P2. Als η = 1, dan P5 = (1, ε, 1) ∈ P2P4. Ook deze twee gevallen

zorgen voor een strijdigheid.

⋄ Als ε = η, dan P5= (1, ε, ε) ∈ P1P4Dit zorgt ook voor een strijdigheid.

Dus P5= (1, ε, η) met η ≠ η ∈

F

C

⋄ De punten P1, P2en P3geven ons dat a00= a11= a22= 0.

⋄ P4∈

C

⋄ Het punt P5tenslotte zorgt dat a01ε+ a02η+ a12εη= 0.

De enige kegelsnede die hieraan voldoet is

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

1.2.5

Hermitische krommen

(i) Een hermitische kromme

K

homogene coördinaten die voldoen aan de vergelijking van de vorm

F(X0,X1,X2) = X q+1 0 + X q+1 1 + X q+1 2 ,

met het corresponderend automorfisme θ∶

F

F

(ii) Zij γ_heen hermitische polariteit van PG(2, q2). Dan vormen de absolute punten van γ_heen hermi­ tische kromme.

(iii) Voor elke rechte r in PG(2, q2), geldt er dat ∣r ∩

K

K

(a)

K

(b) Er zijn in totaal q3+ 1 raaklijnen en het aantal (q + 1)­secanten is juist q4− q3+ q2. (c) Zij P∈

K

(d) Zij Q∉

K

Lemma 1.2.10. Zij

K

K

K

Bewijs. Zij γ_h de hermitische polariteit zo dat de absolute punten van γ_h juist

K

Q∈ r = (r ∩

K

K

K

.

Opmerking. In dit bovenstaande lemma maken we geen gebruik van het feit dat we met een hermit­

ische polariteit werken. Het enige wat we gebruiken, zijn de eigenschappen van polariteiten. Het is dus mogelijk om gelijkaardige stellingen te bewijzen voor alle polariteiten.

1.2.6

Het affien vlak AG(2,q)

(i) Beschouw een rechte L in PG(2, q). Dan is AG(2, q) = PG(2, q)\L een affiene ruimte van dimensie 2 of affien vlak over

F

(ii) De deelruimtes van AG(2, q) zijn juist de deelruimtes van PG(2, q), maar met de punten L verwij­

derd.

(iii) De rechte L noemt men de rechte op oneindig en wordt vaak genoteerd als L_∞.

(iv) Door de rechte met vergelijking X2 = 0 als L∞ te kiezen, kunnen we alle punten van AG(2, q)

noteren als(x0,x1,1) of korter als (x0,x1). De punten van AG(2, q) zijn juist de punten van V(2, q). (v) Drie punten X= (x0,x1), Y = (y0,y1) en Z = (z0,z1) in AG(2, q) zijn collineair als en slechts als er

een λ∈

F

X= λY + (1 − λ)Z. (1.12)

(vi) Een andere representatie van AG(2, q) gaat als volgt. Beschouw de bijectie ψ∶ AG(2, q) →

F

1. Inleidende begrippen 1.2. Projectieve ruimten

Lemma 1.2.11. Drie verschillende punten X= (x0,x1), Y = (y0,y1) en Z = (z0,z1) in AG(2, q) zijn collineair als en slechts als

(x − y)q−1 _{= (x − z)}q−1_,

met x= ψ(X), y = ψ(Y) en z = ψ(Z) in

F

Bewijs.

⇒: Als X, Y en Z collineair zijn, dan bestaat er een λ ∈

F

F

x= λy + (1 − λ)z ⇒ λx − λx + x = λy + (1 − λ)z ⇒ λx + (1 − λ)x = λy + (1 − λ)z ⇒ λ(x − y) = (1 − λ)(z − x) ⇒ λ(x − y) = (λ − 1)(x − z) ⇒ λq−1_{(x − y)}q−1_{= (λ − 1)}q−1_{(x − z)}q−1 ⇒ (x − y)q−1_{= (x − z)}q−1 .

De laatste overgang bekomen we door het feit dat λ en λ− 1 tot

F

⇐: Zij (x − y)q−1_{= (x − z)}q−1_{, dan}

(x_x− y_{− z)}q−1= 1 ⇒ x_x− y_{− z = λ,} (1.13)

voor een λ∈

F

Y en Z zijn verschillend en ψ is een bijectie, zodat x, y en z ook verschillend zijn. Dus λ∈

F

gelijkheid rechts van de pijl in (1.13) leidt tot

x− y

x− z = λ ⇒ x − y = λx − λz

⇒ x − λx = y − λz ⇒ y = (1 − λ)x + λz.

1. Inleidende begrippen 1.3. Getaltheorie

1.3

Getaltheorie

1.3.1

Grootste gemeenschappelijke deler

Lemma 1.3.1. Veronderstel dat a, b∈

Z

Z

Lemma 1.3.2. Zij n∈

N

N

Bewijs. Zij k= ggd(n, h) dan k = nx + hy voor een x ∈

Z

Z

Z

Z

_Z

Anderzijds, wegens k∣m, is 2k− 1∣2n− 1 en analoog zal 2k− 1∣2n− 1. Met andere woorden, 2k− 1 is een gemeenschappelijke factor en dus een deler van d. We komen tot de conclusie dat

ggd(2n− 1, 2h− 1) = d = 2k− 1 = 2ggd(n,h)− 1.

1.3.2

Lineaire congruenties

Zij m∈

N

Z

Z

Definitie 1.3.3. Een element r∈

Z

Z

Z

Z

Z

Z

invers element y van r als r−1.

Lemma 1.3.4. Een element r∈

Z

Z

Z

Z

Definitie 1.3.5. Een vergelijking van de vorm

ax≡ b (mod m) ,

met a, b∈

Z

Z

Z

Het oplossen van zo’n lineaire congruentie is equivalent met het zoeken naar een koppel(x, t), x ∈

N

x< m en t ∈

Z

Lemma 1.3.6.

(i) Als d = ggd(a, m) geen deler van b is, dan bezit de lineaire congruentie ax ≡ b (mod m) geen oplossing.

1. Inleidende begrippen 1.3. Getaltheorie

(ii) Als d = ggd(a, m) een deler van b is, dan bezit de lineaire congruentie ax ≡ b (mod m) juist d oplossingen r met r∈

N

Bewijs.

(i) Veronderstel dat ggd(a, m) = d > 1 geen deler is van b. Indien r ∈

N

(ii) Veronderstel dat ggd(a, m) = 1 of met andere woorden: a en m zijn onderling ondeelbaar. Dan

volgt uit lemma 1.3.4 dat a inverteerbaar is in

Z

Z

Z

Z

a−1(ax) ≡ (a−1b) (mod m) ,

of dus x≡ a−1b (mod m). Dit is de unieke oplossing van de lineaire congruentie.

Als ggd(a, m) = d > 1 een deler is van b, dan kunnen we beide leden van de lineaire congruentie delen door d. a dx≡ b d (mod m d) , ggd(a d, m d) = 1.

Hierdoor zitten we opnieuw in de vorige situatie. De laatste lineaire congruentie bezit juist één oplossing r∈

N

Beschouw nu r+ tm_d met t∈

N

a(r + tm

d) = ar + at m

d = b + km + gtm ≡ b (mod m) .

We krijgen juist d oplossingen.

1.3.3

Stelling van Lucas

De laatste belangrijke stelling is bekend onder de naam Lucas’s theorem. De Franse wiskundige E. Lucas publiceerde dit voor het eerst in het jaar 1878. Een populair bewijs van N.J. Fine maakt gebruik van de Freshman’s dream om deze stelling te bewijzen [14].

Lemma 1.3.7 (Freshman’s dream, II). Zij p een priemgetal en i> 0. Dan geldt er dat

(x + y)pi ≡ xpi + ypi (mod p) . In het bijzonder is(1 + x)p i = 1 + xpi .

Bewijs. Het bewijs verloopt analoog zoals in lemma 1.1.3.

Lemma 1.3.8 (Lucas’ theorem). Voor twee natuurlijke getallen m, n en een priemgetal p geldt er vol­

gende gelijkheid (m_{n ) =} k ∏ i=0 (mi ni) (mod p) ,

1. Inleidende begrippen 1.3. Getaltheorie waarbij m= k ∑ i=0 mip i , n= k ∑ i=0 nip i ,

met 0≤ mi< p en 0 ≤ ni< p voor alle i ∈ {0, 1, 2, . . . , k}. Indien m < n, dan (m_n) = 0.

Bewijs. (1 + x)m_{= (1 + x)}∑ki=0mip i = k ∏ i=0 ((1 + x)pi₎mi_≡∏k i=0 (1 + xpi₎mi _{(mod p) .}

We gaan op zoek naar de coëfficiënt van xnin(1 + x)m. In het linkerlid is dat juist(m_n). Voor het rechterlid betekent dit dat we de coëfficiënt van

xn0⋅ (xp)n1⋅ . . . ⋅ (xp k ) nk = k ∏ i=0 (xpi₎ni

zoeken. De coëfficiënt van zo’n factor(xp j

)nj, 0 ≤ j ≤ k, vinden we terug in de biomiale uitbreiding van (1 + xpj₎nj en is dus(mj nj). Zo bekomen we dat (m_{n ) ≡} k ∏ i=0 (mi ni) (mod p) .

Als mi< ni, dan(m_nii) = 0 en dus (m_n) ≡ 0 (mod p).

Opmerking. Het is ook mogelijk om Lucas’ theorem aan de hand van inductie te bewijzen.

Gevolg 1.3.9 (Bijzonder geval van Lucas’ theorem). Zij 2k− 1 en n met k, n ∈

N

(2

k_{− 1}

n ) = 1 (mod 2) .

Bewijs. We bekijken eerst 2k− 1. Aangezien we weten dat

2k− 1 = 20+ 21+ 22+ . . . + 2k−1=

k−1

∑

i=0

2i,

krijgen we dat mi = 1 voor elke i. Analoog veronderstellen we

n= k−1 ∑ i=0 ni2 i ,

met ni∈ {0, 1}. Wegens lemma 1.3.8 weten we dus dat

(2 k − 1 n ) = k−1 ∏ i=0 (_n1 i) = 1.

Deze laatste overgang komt uit de twee volgende vaststellingen. (1_{1) =}1, (1

2

K-bogen van graad 2

In dit hoofdstuk bestuderen we de k­bogen van graad 2. Hiervoor zijn verschillende bronnen gebruikt, waaronder het boek van J.W.P. Hirschfeld [16] het meest frequent geraadpleegd werd. Andere werken, zoals van M. Brown [7] en B. De Bruyn [9], zorgden voor een waardevolle aanvulling.

Allereerst voeren we de definitie van een k­boog in, samen met de enkele definities betreffende de rechten in het vlak PG(2, q). We vinden al vlug een bovengrens voor de grootte van een k­boog. Deze geven ons de kans om verschillende tellingen uit te voeren: eerst voor de bisecanten, dan voor de raaklijnen en tenslotte voor de externe rechten. We proberen deze zo uitvoerig en zo duidelijk mogelijk neer te schrijven. Sommige tellingen zijn voorzien van een kleine tekening ter ondersteuning.

In het daaropvolgende stuk bespreken we het aantal punten op een k­hoek en het aantal k­hoeken in

PG(2, q). Hierbij zal 1 ≤ k ≤ 5. De reden dat we deze tellingen doen, is omdat er een verband tussen k­bogen en k­hoeken zit: de verzameling toppen van een k­hoek is een k­boog. De resultaten die we

dus vinden, zullen later van nut zijn.

Daarna bekijken we de ovalen en de hyperovalen. Dat zijn juist de k­bogen waar de bovengrens van de grootte bereikt wordt. Eerst geven we enkele resultaten omtrent de rechten (bisecanten, raaklijnen en externe rechten). Vervolgens bespreken we de Stelling van Segre: elke(q + 1)­boog (m.a.w. een ovaal) is een niet­ontaarde kegelsnede. Dit resultaat klopt voor q oneven. Voor q even geldt dit enkel als q∈ {2, 4}.

Uiteindelijk gaan we dieper in op de hyperovalen. Eerst bekijken we de hyperovalen die bepaald worden door een o­polynoom F(T). Indien F (T) = Trvoor een r∈

N

PG(3, q). De reden hiervoor is dat L. Storme en J.A.F. Thas een verband gevonden hebben tussen

hyperovalen in PG(2, q), q even en partiële flocks op een kwadriek

Q

Het laatste grote stuk van dit hoofdstuk gaat over complete bogen. We vinden enkele voorwaarden opdat een k­boog niet compleet zou zijn. Vervolgens bekijken we of er complete bogen bestaan verschillend van (hyper)ovalen. Met behulp van enkele constructies en Sage kunnen we hier een antwoord op bieden.

2. K­bogen van graad 2 2.1. Een k­boog van graad 2

2.1

Een k-boog van graad 2

Definitie 2.1.1. Een k­boog

B

B

B

De rechten in PG(2, q) krijgen specifieke namen naargelang hun doorsnede met

B

B

Definitie 2.1.2. Zij

B

(i) Als∣r ∩

B

B

B

Soms is het mogelijk om een bestaande k­boog uit te breiden naar een(k + 1)­boog. Dit zorgt voor de volgende notaties en begrippen.

Definitie 2.1.3. Zij een k­boog

B

(i) Een punt P∈ PG(2, q) breidt

B

B

B

B

B

B

“Wat is de maximale grootte van een k­boog van graad 2?”

Stelling 2.1.4. In PG(2, q) geldt er dat

m(2, q) = {q+ 2, q even, q+ 1, q oneven.

Bewijs. Zij

B

B

Dus kan elke rinog hoogstens één ander punt van

B

B

P

r1

r2 rq+1 ⋱