Statische reduktie bij dynamische problemen geanalyseerd via de elementenmethode

(1)

Statische reduktie bij dynamische problemen geanalyseerd

via de elementenmethode

Citation for published version (APA):

Kraker, de, A. (1976). Statische reduktie bij dynamische problemen geanalyseerd via de elementenmethode. (DCT rapporten; Vol. 1976.004). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1976

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

(2)

•

• SLa

i

i sch e reclU.

Wl

.e.

₆₁₃

d y na.vn i sc

_k

e

Problemen

9 e(7t,h a 1 y s eerd v° a .

de

2

i

P-

_M

e n I;eh

_M

.e

_t

In oc1 e .

A

. c

l

2 k

ra.

~e

r

WE

-;~

6- oy

11 gebr

.

i g 1 6 .

(3)

S

St Sc.~,e rcdu

wl

e

~o'' d

_{~ ~}

~jnaMiscó,e problemen naty i e~r~ via de

elern"k enrr,AhcxQe .

~ .~nteidinc~ .

1-'55 dc analyse vo,n dynamisc~ke prbblevy,e:^ viet de elevnev~l•en r»clr4, ocle i~ eon bela,

_n

_9r

~jtce s

LArAf in ket. optoSSincsprvcés heb oplosse„ van eC,n

al~erY,cen eá9enwacv`de Probteenn . _

W\tem we. de Stg~e^ dew\ dc rnctssGVe,rdeti n9 vCUn d-e IC .oNttruWe ec.tbtwer 1lauwheux-i9 bc sc,hryven dan is ~ck ih Cue de .~nP-mt c.nhaetaode

vGaL-tinoclict een <3rooti aantal ele~w,e,nlP.r+ be- 5ebru :,ic.e,r), hel:gee:n in.pliceerka cta~ het e~ge.nwaA,!'dr pc-obtee-m van grote orde tal z~h , .tug cr5

iet rek e~nF ~d ( c.n -Beid) vu'ge.hd .

Men

is weltiswa

a

r-

;

w

W

e1 ; at5e.

m

een e,nket 9ei:h~er~5seerra ih e

e,

.-,

rcla

L

e

_{r W}

k;,n aah

E

al vq.1n de h

~

gste e:+5onw

OL

q,r'dw. (

d

u.t laa9s

(,

e

&y,e>^PrekwenE .ie.s ) maar onr~a+~4s dtt! taaLsEe ~tztr~ tieE owlos

je-VCGn h el- engenwaarde rrebteew, ccvn mcze .t z.caavr, werk,- .

EGn dan de nn e~ h Ode- oM <5p een ee,n vo u,c,l.+cJ.e Manier n ;.< re d e t~tc -~co~, c3oede lo e.naderi hoJe - éc verk ..r~9e.n voor deze c~ge nwaard~, e,,, ole d ckorb ,5 betio r~nde ~,9c.rwe4~ore,r ~ 5 de z .9 . 6u yan - o~

Stai i sc,!^e t ectu(t 1 e_.

fickb~,c4„,

vot

2c4,1

k

~

-, .

tvtk aa

n

cie

.,

_ Een korte . SaynonvaU:i5 "Ver"-de, ~9neor; ~~ etynuY'4i soJo_,e proWeV~.

,~

_Gu

.y

_c,

,n red uG.

, t-

+.e _

evv ri

v1( ~ 1A ~--+1 c t 3 9 rqC ie„r+ a ,. r',-f-16 „v

t

t'icre

L

~ v

n

aw,i .

er

,

x

le

-

vi

~a

, I

,w

c:~c70- rr inl, v.i~or t€3~, r~1, ~t~chl~iert~ vckak qc~,r~ t icnt~ h vcr%oeb_erd

•

k ~ne,n worden .

- T/oelic.t„+,.in~ aax% e,e-r, e+e.#)voudU5

vobr~oectc,l .

~e~~tod~

(4)

•

• i

•

2 . E~crn~•+n~c.nmei~hocl c by dyr~cevnische probtew+en .

QLSSin9 van de c,le.vY,ent.enrnc~.hoote 4j.ty)v~ we v~ de po~e.,~iële -vAv~ ecn te (xnaly„r" dYhamiach prololee.r» sc•tir~vei :

Y

d- z

xQX ~i• XMX-

(2.

1)

waarin :

Q' symvneEri4che , pos i Ut ep otc~i nieEe ,(,n * n ) SEJ~C>tt3 mckrík . .

M : SyV»meEriac,l,e„ Sev,ni p osíl•ie ~ c@eFiniete, (n*n) nnas,lannatrix . X : ver~laal:sings velci~ar van de kr~~tle kona tru4t~e .

~ : bCl0.S~.1I1c~v~yc.E.or .

X

9 ~%1

X dc c~~transpohe~de vAkl x .

Jh vef9ele~tc.in5 ( 2 .1) r-c- prese: i l•eert Z X Q X, cte iw de t okalc lCOnstru4,t i e d . .

o p2 elnoopl:c votr,n verand~ringse,hergíe ~ X M K de p olenbictal t_~v . de

in5evoerde +-raaghe~ds~,rt~ohEew, va" á ' AI•e.mb er6 em, cfe wel;en tinal van de Wt;weXfdlge belas-ing.

He~ rxinaipe vu,n sbGi~lonaire. ~o~e+n~iëlc er~u~gie toe5cpasl~ op L2.~) lever l: : ~

5 (~d

!

^ g

x

v

(QxtM c~

XI'- 9

_ o

)

L.2)

voor alle ky nem ct~, +s 4 ~oelQa~ bar c va+r+cal;ieS 9 X~ h~ t9eu, ohs vo e.r'l+ ~E

algerneen iS d I~ et•n sbelael ~ekoppckle lineaire di~~uentiaal . J h ~et

vergell~jl" n 's er, vntlr ~conatanl :e ~c.oë ~~icicn~e,., ~ vt stQILS, 2,2 orde vvaarvan _{W c de} hovino9ehe oplosSin5 virrje,n door cte

Wc vink», CLCkk, :

CQ

_

om)

X s

n

(

w

~)

.

o LZ .s)

(5)

•

a

•

S~elle'n w t w, _~ en vy~e•r~.r~.r.n w c oh dabn r~ L2 . s) vnn eN c~elcd ev, v otir aNe lr 1 dan leve rly d'iL dt.,.s •.

C~

Q - M

)

x _ o

~ u~gevnce.n e:,go,~waarde pirpblcew» va.n ord+z n vne~ ecn opkossir9 X- ` o íytdic,n 9 elad~ :

~\xQ -mi= .

C.2.

77 ₎

O m met navvte heb

o

ID

tosse", voun z

p

'h e~genwcaa

c

le

M'

ob

1

ee,

0

Minder

~_~ctrove:nd te ma4w+ kt„-nn~ wc prbb~,cn dc orde van ohS

cr'obleem te, ve.rlao,er, a-a door Stat.isc,he r e duk L ie .

Hielb~ \mo-dl- nicl• c,estrce~d ncaar ~ et v erkrb9en van d,e ehakl•c optossinc, Votn ons elevnenl•e~+vnctl~,de nlodeL, maar not ce„ benaderde op (ossih 5 y2odb E tln cm i n rw~ L Voor co^ gro\e vcfmi n du4 ng vctvw de benodtgde reke.nLL'd, w^o eL a~nvaard~r+ dal dc bere4 .t.nde rc skI L- al•tn Slechts benaduin5e, .~ zult~

1 )8 meEhOdc ber~,csE k it,rop da~ vwo, het aantal vr~tic,;usgrader, n( e,,, daaf m eC de- orde vctv t de ma~r,ce~ M ewi Q ) rccluceerl• door cc„

Aav~Eal ~ van dc vr~h c; cis 9 ra otc--, op de e~-n OP c.~ndere g e,tc4+t4Ec vn anier le sc,hr~ ven aIS eer, lineaV~ rc koMb~ ncaLïe van de overicge

e= Y1-

1 ~w

ovhpovle

-

nFen

„

Ah de ve

r

plaalstngs

~

eEo

r.

X~ waarb

Ij

dc m

et

hode

nat-vuri~~_ chkel wat o,pleve%rl- inc,lie.v, e« h .

1~9c0 wc de e ona~hahkel~E cjekoz~ vr~ihc~dSyade .. 4P in dc ve4 .~or Xe l . ka e`k l-e~e ne deel) er, dc overi ~ e ivx de vcktor _{X,e ( k el:}

l O ~- atc deel) do.n nnoct . du.t cddcn : e

~-Te

_U

,j

3

*XeLj' X~~T .Xe --~ X

l cel

-5

~ ~

z

_{_--'}

t Z

_t

. . . . i

()hnda6 zowel de ~t,ornpc+nen4o.. vd,n )(r aIS die vouw, X ) onk 4ow,pon wik e>^ Zy h j 0k4^ de c~or,t~ronl~.cl~4e v~~o lc~atsirvc~s v eic~or ~ :

Sc.1rtr~ VC., .

x

[ x

.e

]

Tel .

_z

-x, ' T•

(6)

•

Wa"~ T de Z.ogenaawick ~dk><k~ematriX i S (, .n * e ) ,

m ei dc reta~i e e2-y) ~u•er, w e hu Eew't .9 ~ a!e t'claEic veor de

~v,ergie Loats we~egevc~n iv~ ~z .1) rneN evGn~ueel kervii,.w,w~~c1e ~1m de J~yot~•atsin5s ve4ko~ ~e ~w~,nan

~c ~c,r~5e,r, otan :

~ot _

TQT .Xe +TMTXe~- 9 Xe .T

Par b it;ia nomm bVcree1lC.owiAB;

i xeTQTXe+ XC

TMT

•Xa - XeT ~

y

©O~C inu

weer tiet pr

iYtc.ipe vah vMivli

n

CA

@ pol•e,nE iCi~

Cn"

ie toc

pa

s

4

er,cR

m4

' die~n verAc,-~^cQe daE calle ~t,aw~portenl•e,~ vcun Xe t5na p hankett~4 ge.ia,rieerd

Wto%~ word~ ~ bo venetten de cje,reduceerde ~raacll~eïetslcrc .~~,l•e.,~+ H T?Ce hie l: 9 c- varicerJ worcte.n Icv2rE ons dik- :

b v o

vo

or

alle

k~,nr.+ma~i3c1, toeicuatrl

o

cu-e voaria

6r

eS

TQTXet

TMTXe

_{_T~ .}

oFWe

I

: Q

c

. x

e

+ Me Xz _

met -. PC s XC

cl "s

:

Qe = TQ T

Me~ T MT

fe= T ~

j Yt die~, nu 9elct6 e <k» n zien we da l- vie de ad e v om o n s ~oblee.vr~ sterk vr.rtcict9ot In ebloen .

Sollr~ver, we nx.. hcE oor4ron4etS4e, -,St*tsel yuc~el~4 .inge.v, e.ven~ueel vmel;

Inerhumrnerdt-2 .16)

vh

wxt

ri ceS lr1

en q

e

^

5

e

pa r

t

i

l

io n ee

M ovelcentex>rns~19 de splil•sint) 'in vr~*j'hc- :,dsgt'aoQe,^ aan5egever\ door

L2 •9)

da~ gee r E cti t :

Ve ', Qe

_e

.

r --~

Xt

ue

+

M

v

{

mi,.

,

X~

..

Xe Ew~

C2 . ~6)

•

(7)

•

• ko rnbi naLe v~ d e

n u :

de

(2-18)

Me . Mee- ,- oTe M .4 e + Mie je t Te M~~ Te

ft,~

Fe .~

Te

re lutPe,S (% .g] ., (2 .13)s(2 .i4)2 C2. . i s) e4-, (2 .16)

1

eveA

Qe

.=

Qee +

T

e

c~2

e t

g

~e Te +

Te (PJ

,Q Te

relcuiies voor cie 9crëdu.eeerde sl-~~keidsrr+ortirix, massaww,} .rix b el a, s-Ein 5 ve~-tor .

C."

Jh ~e~ vnlcJer,dc 1no4dstkic Zullc,r . we ce.n SpeGale rcdu4C'c%C-~kode t~ ,, GuYc~h~~ ire dukbie loci,andelev, ~

ec

^

o

_{p f}

YSischc g ronden

7J'_ J G u.Yan _ r'e cl~.t~C,~ i e

We gaan

weer

w0 Laxb b voor de redukt~cmaEfix 5 ebc+.seecde kz~v.te wcmlE g4-,maa".

wil vcUn heb sLdbd verggelyli,rxgen zoa 1 a besc.hrwcn d00e-(2 .16) Wawtbj de veV-6r x.

ïvl -cc, ,,exteun" stu4

~oor,~ren4el~4e vrr~hcr,dsgrade,n)

% e en e-e,n alo4.uaL" Stk4. -x ,Q :

(M . V + % . Xe + M 1~ ?ct t M Ie Xe - ~ u

QIe Xt + C4ee . Xe + 1`14e Xt + t lee Xe = ~ e e

i s 9espli Es!

we v ~ derstellen Viu, da l- de verdeti nj var% dc oorspronkel ~c,2 4e vf~ dsgrrdder, ïn afihav~kel~ke C o~ lokale) e"+ onoF~+anketblce( o~ ex l- une ) W~~e .;cts9rader. Zó is c3c m aakfr da L- ih het ee.r s tr c stelsel verge (S ic„n5e.n t3 .1)

~c ~~fac~o~h~dste~rme.w,

CM~1 X,t + I`1de

_{Xe )} e-+^ dt bek~~ri .ino~yvelClror g,Q„~

ke .yerwaa <-bzer,. z~a ri t- .o . .•. e 14 du st~~ti~dsturv~e~, _{CQ.~~ .X~ - .VI} Qj% . Xe .

~lah wclke voorwaa .rdcn in cto , E 9 eva~ wa~e~ i~h voidc~cw, o~dal- ctf6 er~., ~u i sl-c ve.roh~te~-S LcltivlcJ 15 zal iaEc.r ~oc~er. bekeke., .

We ~t.t,e.vw», v~u ea4~l•.cr ~e,l- stelsc( linea;rc di~irc,renk.iaatvug~C~yle. ;h~e„ C3 .1) beywxderen door cW~ sl-ctac t lcncc,;re , algebc+ci~s4 e vef9el 5 4 ~ n~e- , '

CM - xJ + Vr- . xe - o

(~- . I ;e)

4 9

CS, 3,

(8)

•

• f

•

Zonder een weZenl~ke be,pefl4n5 vcx" de atgcvneer,l,e',c1 h,e iht,roclucerer rho g~ w~ è+seh dc4-. (Q l .Q peiue~ deFir ;e4- is, Di 6 is n. l . het 9evoa dan

P.in Ste ch b s dah at S 1~ck sy steew, ~C.ev~ beweg im:5 als s~.ar t i ctl<> awm kavi tni l;Yoerer, incQien alle Icovti,ponenben van de ve4tor Xe e~n voorgesc~reven wciarde (IRS,• nut.~

w

ord

E

op9edren9e

.,

,

.'

ÏJ

Lx

s ina

l' e

n

Q . P

os'

i

tï

e~

de

~t

nie

6

. I

.. enio~ een

gr

sc0

-

'

#

41re Ice.uze vav, de ~e et~w,~ne;r~•

vir~~e~clu3radc., ( k.ow,poncnL•" van Y,)-) is <3enieka4E,

i

ndien n

k^ o

.Q.Q pos -dep ( clL,,s re9ulie,

r

) i s X,Q

t,tik.

(

3.3)

wO_cc}_gb,,, lo"aatd als g~lc:~te van Xe :

Q,P.Q1 Q,Qe

x

e (3.

v

)

De t~duk~icmatrix Te

Lk

i~ ~oo

N

stulC 2 ~oi~tcb d

"

s in diE

U

gev'ctl

b

e Zyr, .

Te s- Q~,Q ,

We (-3.5)

Voor cie gereduceerde sL~~heids- e .^ massavna4,r'bx c •^ toetas-i.iv,9 v eiclor vindcw, we nv< k.e:I ta)

Qe = Qee - _{94 Q~1 Q~e}

M

e ,=

Hee i

_{e ~-P i"h(e _}

H

_~e

QV (pie

₊

0 _{e Q}

P

_M

V QP We

_{($ ~)}

~e jr

~?ee. - e

_{~~ Pv}

_~

~m

_Jn gereducecrcle vorm rest onS dus er,~,et . ~eb o iplusse» vah •.

De

. .

Qe . 'Ke + M G . Xt = e

(3.9)

homo e+ne optossi q

v ïrnc4®,n we door substi UuUc

vav)

-Xe = -Xe Sivt (w1r ~ rnet; 'x =1 ti (3•1b)

~CQe_

M

e

)

n

Xc co

C-5

.

11

)

~eh alc~e~rnee.n eii9e~, waard e Pr`obleew, vah

vee(

lager or

J

e

dct.n CdaL w cxawan we z~h t .~;~bG~ e g Qah C+ndieh e« h~ .

(9)

•

Er _bcsh.aav, h~.. w+uicke ~rocedw'e,~ ov,% een cd9av>net,., Gige+-waovcle problee^ 2-Cals 9erorvv,kleerd in C3.11) oID te losscN O . o.

„ Ge*ie,raÍ Gge~nvaluc problew, " (zie [2]) .

Pc opVoss'my bes >raab ma cer, aantal C vnaximaaL e stuks) ei5%-waa!'de,n ~~> %9 ~t boMarcnc~e ei9 envc~~ ~w~v,_{. . > 4) ~C~ e )} o,,, b~

(1) (1) 15

,

u

,

. . u .

-1n0(^^^ we alle o~cdenwcawda^ opbne., ih de dïaqtona,alvy,atrix . .i~. ~• aUe

~ b "liar crde

1-1

vclLLurev,% iv, de ~matrtx 1.~ dus ;

N) (2) l,t k r~ u

,

0 c.e) 1 i

L 9

dan geld~ o . a .

M.

O

e 1J~ ~ 1 VÍ. Me Vt. =JL.

-7o

_{als rd,}

,

,rde-~` ia o~ge;nnerl,lr ia lnetr ,stick rncEtiode van reduld :ke vah ~clr cantal vr~y' ~~ds~rad~ dr~~ v~nel., V 1je:(b~ biet StreeF~ naar ~oerri4~n vavt de c„,cGtCl•e oplossing, maar dal- m~ 5eno"e,~ heewn6 vnek een be,vtc~derin~ vah dez e

o plosoi ncj, iv, ruil vmr- een s~ crice a~ vta+%e vav~ c te r

e

lC

"t

~d .

C) ao-róvr zullen we- nu nu,gcta" onde•r wellce voorwae~,r-ote .,~ ~/p~ 1-10v dWe .3 de V i a de besck re.ve„ G k vj~ redva,t.ï e VC-4-v," e.,,

r•c,s ul _he>r wer"ly4e gedrc-,g va+r de re ~aly~ere, .^ dY Y1avv~isc.l~t kAhatruktze g oed we " ~eve., .

We pan tNt~ vczv% ~~ vi iei gere-Auo r-xde al9eme.ne (e^9eriwctcq.rde pbb1eGw,

(\Q-

M) x = o .

.

(10)

•

• W

e ve•rc

_t

ete.

^

de

-

vr~

~r,"gr

o

_de

.+ w

ee e

tn «

_~

t

I

av,4e

l

~~ t X

i c.,

ovt<4hanlcel~~e K e e,n "n en d< am s c-In r~ v c.-vi :

GO V

el f x.e

Xe

r W~

We I

Nee

X~Q

Y4

- '

(V VIC

t a~ T t

(O")

De e

_tni

~

_c

_{vt.rondc.r~l`.etling dij, we o p diE lO~t: ma4,~, i s doE j e}

ovt~~hGV,4al~4e vr~he:~ds9raore,~.,

z

ootani

%

9 e

"

w, Z~

r

dc,E de

Ma

t

riX

021

posil' .icF

d

eFihie

l-

is, d,-&s

j nverl:ee

r

bcta/'

, c-,

d

a

~

we vA

_or

k

op;

9 cv,ket

k

e

L

vtie ->+r~11iy1qsgec#rag _{besc~a.twer, .}

rt

)U

b

p5

e to

A

t.c

~16 _{ee.ralet s L-ct3ot ver,3 etb 4:+h 3 e.-, vah (3. IS) (,Cv ew~ :}

x

t

_

(

it

(V

P

IÍ

le

- k Q

)

e) X

e

(3 ~ó~

31 004 : -1 - 1 -₁ X,C= ( I -~ QP

M

.~Q

)

C~.P~P

C~M4- ~~e .1 Xe (.3 . i~~ rn ~ G ~~~ V1~XY1 e ,

V~Z e,rn vOO

_r

topi

9 aah G1aé we de

ivlvef'Jc

van

CT

-X

-1

~-Y.~.Q M,~.t

rvtoS$C-^ ont WilLkete.v, *k n ee.n reek,), de voorw acc,r-cte áaar+ioor Zal stra~1 ~n~C~Jetic.lnkL wade,n :

~ -~

_{~ ~ r1,~~ + C3, te)}

_{. .}

Hip + ~ c~P M,~Q

4

C

waotrnee

o

b

le. 9

,

eSc.

)

,

re~ 6*'~

wo

e

dE:., al s :

z

x

i

.:

_i

z +~

k1MII)+

_o~i

( ~

_{af~ 0)+}

. . . .

_Qp

C ~ M

ie

o~ V1a e4119 C ovndorwt in9eM-*

L

(11)

a

Ter vere

o

r,vec

A~i

n9 de

V

_{inié r}

o

., we : g

•

s

•

• Q.U M g _ A

1 ~ M~e - M O 0QQ-'Ve~~ D

dan k.u

q

n

O

n we Sc.tir

8\/

er, :

c3.z~

1

{I~ftA)+ftA)

~ .

. .

3 O

10 x.

c

ae2.e ve%elb6m5 9eePl ~lel- exak be \Je rbahd +Usse-l onaPkan4c'+ e

e4n

a~hanke4e vr~~eids g rade:r, .

SubstAt.terc-n vue oU ih de. 2e sc L veq el~L iv,c~e,n vckh (2. ~S) dc~h

9@e

h

di~

_L

cvtislo

U

e :

Me+ ~

vhe~ voer Q e ee.h M e

D~T+ ~j, A-r C j~A t- ~f

Q~P.Q

' D] Xe (3 .22)

~

de Zel ~d e ~e~e1e~ i S Ct~S cfede~ih ïee~Q ; v~ (_3 6~,~3 3)

kje l ekt~ev1 Viu, eer -A onder wel4e ic.ondiir ies ác reekSon~•~rilt4elinr~ ~s .18~

rno-g word" ~oe9efmA•

We 6 c Sc.t^ouwe.n :

_₁

(a Q

o

_{- M}

_o

₎

diE i s gel s4 aan

rri ogo" we de e-Q•r a l• e vorrvt o n%v li kkesl e.., i n een ree4. j doch 0o L áe i.weed¢ vorm.

De vergel~Wng -,

,u. Q

lf Y=

M

v

y

Iever~ o in s de ~i~jer~wuarder, o , ,d~~av~lcet~lce ~ ~sL-etsel , vtoern dic

/

1

A

1 7

"M z

>

~,4

3 --

;~m L

. b~ be;hore:nde e:~~e.n ,iela~a~cr, t,~,

f 11 .1

, UZ,

. . . uk"

_ v&~ ,txh he6 (NrNwata,rden :

e.

v,

de

(12)

•

-ltcdiev~ de e,i9 ~ veL~ rx.e,,, ce~nbrvn eerd worde^ vn e L de moktri x OU 5 e~dE :

ctlS I c..eirv s ( (Q4~ - <3"oNYt eem) áa n

v

I e~vl

v

Nil

V .=t

~bk

J

[~l7 ;~ ezr, d+c<.CP naod wia~rix vne6 op c!e C' r~ s~.li. VJe ~cL,t,v,vr~, v~u. s~-01rE .~e.r, /:

L3

_.2s)

n

y( a

Q,"

-

MO)

V _

(\i-~ (

3.z6)

annda~ de c igen ve1 c~ea% U t een bct.s i s vorm e!7n voor c i e

~ /t - Cl ~M e%r,siah CA le v~tc~rru,~r,~te Pt M05~ WC Gtr- inkCrSC

~1~~cmvN waarnnee Cs . 26) wordE :

V1(

A WP

- M. v '.~

A

I - 7 ~~

:

~

•

o~weL : 1

(cHfl)

= ~ ~ i l-~)1 V

~J

O~erer, we cte

s~

ge

-

n wac

v

d

c, ~ k

e ~ oorsprp nkel~ire st

eI

se!

0.11 ~r, > ,%z ;/>~13 - >% n en SI clleh we da 6 we c!e eer-jb e die e.i_genwaau d .~, > :

~ E

A=

_{(3 .28)}

om nu voor ee, 2ek Cr e ~i de bcEre F Fe.nde in i er~e iw eer, V'-eks ~c vnogev~ onl.w~lC4elc,~, m oeE dus 9 etden :

1/UV~ J. 1 < 1 voor _{C , 1,? 3 . . . . ,I . (3•29)}

e,v, daar dtt ~c~e.r,waa,rdw, sheed~ in 2~h i s 6 ~ volctoe.ndr dc~~ :

ca p lopende 9rrok,Ve genuVnnvVIervl

(13)

•

• Otrv,da~ de c,~cha^w~de

AA get~l~ is ac, wtoeEck~t; ac-te

<r~ d ~yslsch c3ezï~ daL- alle he onder-Zockev, c;rde,nFrekwoV~t.ies vccn w cb

oora ffankel 6 4.e sy-) l•ee.w% irl oivler moeren Z~ " cgo,,n de laagal•e e ;c30r,~retCwank.se vcan ~c~ syslet-m ivid ;er, diE in otc exl-e,rne vr~hc~ds~rad~:n wordF

on derdrukk .

W e~Cefe,, n u Eefug naar on -L c a7i prbn4el~4e vrcca9 s L• c 11 ; ing h• .P :

*

Wahneor gee

~t

Eocpass

'

h5 v

~

Guy

ck

n

-

r•eclu4

+

.te

e

~ o

oe:dc

b~Ade.rï,n5 voor in e i: wefl4el~tce dy navn i sc-I+ 3eetrt<,9 .

©acu-toe bc scoko~^jc, .. we de ve~ct~te:~n5•., wetlce c• 9 ~e~ exaue ~tflo,,nd we"cV~ :

G

u.yar :

-1 ~C•~ _ - CQ~~We Xe • (3 4) M e Xe . (,3 .1 i)

X

~

_

[-

_c

W02e

+ a

J

_s

4 _~A

>

_(áA

~

_...

3 _q

,"

_{~ D~ xe}

•

• C~

y„

e

I\

.XeHe+I+A)+

_

C

1 b~

a La ~

c3. 2z)

Wanneer 9Qe

_P

k

_lne

ti b~

GkYan-redutctie eJdnav₎l•ee_QAe verbctncl (,3.tj) ~eE

WW tcet~lce veI'toc~nd !èdet~j 1C cj ocd weer ? hïit bt~U ~1ei g e Aa1 ~e ïw~ ihc.li cn :

11

;,

J

_

+ (

~

A)

tt h~ + . . .

3QJ1D)eJJ'

<11

Q~

'

04 e X

e-

i

1 .

Er Z5 h nu i.wee vrux~l~4lnedc.,,~ :

,~j

IIA)k

T

1 .

5

Di

!

~1`1, 11

«

1

• D

e

r~

ee4so

n

w

-m.

etïYlc' -tats be

s,.i~nt

Je,n 2

„

1 hiei

e^

%ct•

(14)

•

II X A II~L 1 _{~ic~c~Ce.ni daE dc trua9H~ás~e:rm Mll .y 1•tt~ vg~}

e.ein orolc icle%+hQ

r

ii dav,

de

overec•r,hw,s~ige sk~~l~e~ds~r•rm

IQ

~ .

y

.

We vy,ocjer, vcx,r lnet, cx.a4.lc _{v"ovld Q-5 .21) 'nu}

x,e

-

[ -

Q~i

'

(ve

+ ~

0, Dl

x

e

~

o~we~, wne~ b a ~ M Qe - N @Q Q•~ ~

_{Q " A}

,

L 3 .32)

X

l=

C -

MQ

.Pe + À

Ql

e

~

, Xe

Jndie,r, nu de ~rc~ag%tclS 1R.rachL'e,,, H)J .Yl van detelpd-- oncQe z~h ci(s de ~a2 M~e .Xz ( wal b -~ cte w,cesb+e sYstcnne, n ee.,

cr,w,-hw,nel~lce verorxiu~l-,elli n9 iS, Zetcer in eki•c.+ vv,- en te ni a~ en keePE vncb ~ vcrdeeijc massa-) cn acte ofde i t Ic.Íe~ v, ~ .o .v de etastis~+e

(V

Q

)(

.2

~

:.

(W

e ke ~~c~geen he( ~wa~ ii irdi~.~+

I)

_X

Áll~c i

a~t

h gel

&

oo

L

:

11 1, Q

Q

I

'D ~c

II-U, 11 0

Q•C

Q&

Xt !~ C3₁₃₄₎

We

_m-

d

_L3

daE t,~il• hc~ ~r;

;

l• '

(

~

AI«< )

~ot96 daE ~ct: vubahd

1l.i, - C

wf 1

(Pee )

ce

zoals

b~ Gu

y~

rcdutt,~lCc~CYOndz,vl eer. rcdol~4

c~ocde ~ocr,aduivtg ~ts voe,r t1c~ w~1ceG~t~e vubc+v~d tuscer aF~,ah4elt'~4e

e,.n ona~~L~av~luet~~a vr~l~ei,dsc~['cxde,n .

11"

YsiS

c.tl L

hheNN1 we dil als vobgb ~cxv»u[e~e.n .

Wav~vteer eew. bcpouaid aa nEa l vr&tiC~ds9ruder~ onaN>n4e~k ethomen Zcxl worc,Qe.h da„ 1s de beste ~euze, dïc, wettce b5

ond.e,ndruk(.;,n,g in de on4tiow,lcet~~Ce w~he~delo~de,r, de lconstru44,ie 2.o „S~ rvwgel~jl_ v~nraaltl:, d"s met- een Zo grooE mt%et-~ke

Ic~a9 sl• c e^ c~~-n ~ r e kwcv,~t e .

% ~

e~ isvr,u~~et

b

4 d1«~ 9elr,~i;

11

~

i

~-t(~A

)

{~A~+ . .

3

~

1

Q Xe ~

1

«

~

1

Q~•Q

_

q2

e lCe

11

Zahclau oQa

t-

Í~ .~ f~ ~~ <.G 1 .

i~ ~

*k

s v

A

c~ h

C

.vh e he~

9eva.l

al

s

dc Sow+

~

dc ~rtxagl~ds

-krac.h

~cm We

Xe kt

é~

n 'tis ~ .o.v c,11c e

Aer

te.rw+

e

v, a~ t

-*

n-d

e

~-

l•yk. .

L2

(15)

•

r-~c iraaghe~dsEerrne-, vr,akeM )vi dal• %eva( w-„ 5pshoeS evenw;ct, 6 .-J, clier~ we rt .) . aavlnetim~a.r, :

~~Xe 11 <<l1 Q#

(~1j,~T+C X ~4)tC 1\ A)+-• 3

~D

V

e

getd~ :

X.Q ~ -

(

Q~Q~Q,

V

e Xe w, dal• ce v a l

L

c,,,,,, r, e

.

, w e ,S

_cl

,r ~ v

e'

r, :

~~ ~-j,

(~ij'0

x

é 11

=

11 1

~4~~P

'(

ri

te

-xt 11

D Us cte sorv, der k.raa9h~s "oM~av . ~0 Xl + We ke rnocE ve.fwacuLoosbata.r Ic,te-in Zw, con ook in d<xl- c~c,.ral 7-al he~ ~o~ Gu.yah ~2du~c.k.ie g et~anl :eerdc v+0rloand ~eE w~kcL~ke

ve.(bahd c~oed weu9evr.~n .

t~i~ %et vov%c~andt Ic .unnne-n hk e.nicde 9lobalc rit.InLl~h~n worcle..-+ a~gele;d vol~ens wellc.e ~ e~ w,oc~et~1~ v}/ordE ov~, dc ona~~,o~nkel~4e vtiJ.>,1e;,ds9ro,cPe,.+ by hel- toepassen var, GuYan-reduktit Zoc~,-Nig

be Ic.icz.e.r, da6 dc vir.i de-te rcdu4bew,.tlode verk .reg.mn bGMadui"e,n Voor een relctticF w c.; n cuc,,hEat vak de hoo9sFe &gmnwaardel en b~bellorw~dA

bet~c~dere.,, ve4torc..i otc werket~411r~d redat,5k kot 90C.OL

~J

De

~

.e rnocb in dc eefsl•c plc>a},s Zodav~~ a~v, da~ c~c rne~trix

Qjt posit,ieF depinieE kS .

ZJ We4~ e,rge.n s iv, bepaaletc vr' '~

1^P;dsgrokder,

verwcta.r4eosbaar Icle:+h ~C

6

xsc

ti

d

u

w

~

Ic.ruc

k

he,h o

t

aan vy~o9~r1 di~ .rr~i~cJ,ds9rc~r•te,., nieL word~ geë liw,i neerd .

nr,ti2r we te mc,~ cv, rnnel• o F vweee- ~ovno%ew e

h-AssQ- t-n Sè~~l~t~~sverdelin5, vnoeEen otc le e~livrtiihe~~n vr~h~dsgradc ., 9e1~4w~c~ii9 ov~•r L~~l- aYs~se .w~ uil ;cjesprrád word~+n .

(16)

•

enderdrul~ .l~;,hg iv~ otie exluht vr~1~©;dsc3raorrr ., e~ Zo o~rocE w.osei :~ lc e 1 Xa9 sl e c~s e.vi Frc4 ~v e hee r E .

J Mew, vr,oc~ C4» voor Z"c.^ dcal: ~1"c,,,,s de res~ .cltcw,~c cter massa-1c .ro~ c.b,~ e.r . _erc~ _{9 rao 6 " word e~, n, . a . w b~ m'b v,} _{o ~ meer} h ow+o9eh e st:~~he~d,lver'delirncJ. vv,oc t c.vn d -cte.r, mel: m ta U e P veel vy,ct ssa oolc

ret a ~ie~ veel ekkc r ne v+r~hr~sdsc,rc~d~, beval:t cm .

%n Woc1 ed•,te.r wcl lo csepp e„ daL- da- slc c-lnt s evn 13e we.,lc ~ z~r om Guy~-redulCtie vi icE tietevnexal blincle lir~r~5 ~- oc te fass0 n ; Ze 9ev en Z el & er- Se e"

ahl; woorr.t op dc vraa9 ~oeveel eM w alke vr~ 17e~dsS m d e-,n o~ h genomen ctien~ tce wordew, olO d x l- vnev+ / - toc.

eaodde hauwke~ .~tighP:,d ; h de oplossing Lr~ji .

Hcc~E W1~ eenvno ^t _{kc~ 2?re ctu c,ecrcre St;elsel ap9elas~ cla h} is ear nors~ een eeh u oud.~g e, w e,~ hi9 i.d~ve~nde Un~lore~ ctirg ~er Z g . Verbel:eroi R ct,Yten cj k _q uol;iëv~ (Vï'iQ) w etarhaeE o1c ver Lrt~.cr+

~~acle.rin9e-0+ vaak vt~,y aahtie•v,~~k verbel-erd ~c.w,ne., worde~n . zie 1^00 Nstuk y .

EieL Ver-bebcr-d

R( t.y le ï~ h- Q uoti cnL

We pan W%b van áe res u,l6abe.r, v artac9.en OcA. G uyc+,n-redL-Wie wctarvac)r we CL)

X

_{t M}

e

Xg _ _

X~

)

_{I J}

.

u~~

~= '1,2,3 .- e

Hc*

betrt

p

E 1

i

ier de C` e

~cje

nv

e

k

t

or u~`

1

, we Zulle,~n

~

a.

t

h vt

Sl-ecd s e é.r, b e~«al~le e7ic~evw e4Eor bedoci cr ~ Ial e.+ dacuv v+~

dc ihdex

i.

Voortaan wec3 .

He~ ,o~ cle velcbor X9 ~ eln orende 12caYle-i9k guotien~ (~CXg)

Iwer~ ha subst5 ~u 1: .~ e var (_y .~) ,:

(

Xg~

--

X g_ t~ Me u

-

~,9

)

e

y.2~

~ X

₉

_Q

k

₅

'

_{6 Qe}

u

de b

~

re

p

~

wJ

e

c

:

c^

waa.rr,Qe uan hel• q ened uceercQe frc;"e~ . .

(17)

•

we ~uen nc,c kerug ytda,- cle oorspronkmt'~4e verget~4.;hge~ voor 1ne 6

4v1cEr-edu,ceerde sysl•eom :

~

_{(VI ~0}

_{+ a}

_W

_{t xe =}

_MV

_{X-Q t}

_We

_x

-c

(y.3)

~ q~e M + ~ Qee Xe . M~ e 1,1 + Mee >Ge _{cy y)}

Q~ GkeY~ reduktie givrje,r, we erv~ Wb c1rA l- ow, loef"aalde Fystae.~e Ired" e.Y. ~eE fec.hl•cxtid ( de tr~5he^ds termen) v~ v94 (W. -s) le

Ve,f w otal r toe~ wea s lr .d .v etk dcr I:errr+Wn van IneE Gnkerlid vah d'+e ver9ct~ ic;, no~ .

i~ icverdc ons 1~e1 vu~oav,d LusseA a~lna+ntcesty4e u~ onaFhant~at~tce

v_ff_{~ lne:~dsg+rad~, .}

NU -uIlev, we echt-er nieE de loEotte ~racc9ho~dSF~ zonder vAeer

verwac-,rb-tP-Y + i MOka.r een h+.~bettehde ~~ader ;ng voor Wel' vubahdd ~"er, aFtiawket~ke emn ovtGghah4el&ce vr~ Ine:~dsgruder, entcet er, aUee n

Ítn dc rdevante ~e,rw, van dte tro.a9tie~dslLrac14e.n su,b sti l.uere,n .

C4. -~)

lever l :

M

r - cQ•P,

i

~

W

e xc +

X

~4.P.P (M•Pe- M~%Q ~P,P~Q CQ-Pe~ xe

v

efget

sl<~

tn

₃

bes

cAn

r~

;

l

~

C~ .s

nie.uw verband -~t,,ueY, c~Flnav~tcet~4e ev, ovr <4 hanket_~5he vr~1•~e;dS9rad~, ) ck , veresete4 ~ vv,el• de

pv,Ew'~l~ .kGlihS vah de e ua4.he optossirtg 101~41• olo.E iv, de2e loeeKc,du~ vv dc 1 ' bsr w, var, dc rccks on F. w t 1~4 e l~ n5

wo rr.tl- verwotcu ibosd , w\ aar We depihi~rC.Y ;

Te = (W'O.Pe

Qbtt

(J_ M ~e - M

_{V OlfV}

e

wOaa

~

ee (-4 .S) worctE

wCXtAL-M = { . .Te +~ C~~,Q ' D~ Xe

wrcegev,ow4 e.r, reelc s -vn iCAXw t v~ieN meer

(18)

•

• , 5J

•

Í3e,pcale., we vlk 1ne1- a~hanhet~4e deel Jc•wn de ve4~.or wellee ezm ezcoatcl•c e~~e-r> vekEor vnoeE, behadua~, h3eL- vi a ~ek: b~ C7~.cYc,~,r, _c~el~a.n~ierde ve .rban d vnaa~ via. (,~f•c~} claa, Ic .r~g~ we :

evt ~e~ ~ie.rb~ be~orendc 12qy1_eig~ - qkot.ié4 :

v

X vRq

M

X

V

R

,*

~ ~~~ = ~

C

XvR~~ ' p Q x vteq X vib i

waarb~ j U _ . X , y, ~ d ~ ïoy G t .y ~ - redu LE ïe gevor,d en c~ gen vek~ c.q ~:+c~Cnwact,rde Z~+~,

HeE b~ de ve4Eor x v p. q behorende Rayle1, gti- quotïënE ~ VR,0 woril• v,u. Verbel-erd -Rcty1o~i9h • Q "otïën~ 9 e.vio~d <a , 'is 'iti, ~e~ algemeen e~ otah Z..icn I~lc hc~e~ bev : +deii n5 voor de e xa L ~e ei9enwaardc day, ~9 ) oQe- lo e.hadel' 'inc h« " .&.l Gu >•an-redule 6e

Enkele vcorloeeicl" .

~ ~

~~~,~

---®

De e+3enpuncEics 2 &„ ^ ^ ( 2~-~~~~

v

e

_ v

c

C~~= ai s~n

-2.1 nsta.ntc ~

0

e b

_&

beho re.nde

c~~

Qn

w

aca.rd

e

n 2

-~n

-k 1 )

rr J2

E

(z.

Z-~

®, v4Cz) = a~

TREK5TA A F

•

(19)

•

Voor C=I ., £=1 ,

so 3 .

~

3_

1

. 62

i

. T:= to

We ver&lr, ie boil'. !

N w ordE .

s~acc~elerne~,L~ vAcl• er.n

i* +wpmttw" ~

1~ ncair

geveó.

"~

sP ha

_A4,9

v R <k u, % u s_R

R

-

'33 .33

--_ 1

-

-G ,

U2

33 .33

38 .43

o.608

1 -13 2

ut U2

38. s1

-

o. 0

1

-C, U3 33 .33 39 .5~ 0 .02- co.a52 1

C 2

u„ u1.,u3

3g .62

-

p.s

4 n

prq

kt

y

W

o

<to eetd

l ee.1, k u.rb~ t~ as ml 5 36 v r~ 1~ ci d..t g rad e~, ~ een bandb r-ec ctl•~' 3 . Op de ~anst~u4~ie Z el~ 2al voet. vercper

word~

Al

s

wercQP.n ook

&

e

~g

enwacu-d

en

var,

~

e

~ t

ol•ale

sl•,et,~l be~.~ca

a

ld

N

el de

p

r

~

uare va

(L&C

"

C

~

v

oin d

e shels

t.

c

voor

<:

l

I

L• proble

ram

o

,p

dE ww

M

en

L

) wte

t-eev, r

<=

la

_L

ic',ve ïnQC

m

w/lc .

et&n

_~

Vc

id

_{--_}

c~x,

1

n2 .

(20)

5

Hel

Sl•ehel werd

S

_erect

"

_ce

e~r

d tolr 13 rcg

,

eim

cx

tt9 verdeelde

•

ovta P hah tc.et~ Ice vv'8 in o;dsgrQcPe,.,

ei waarde Guycxr, _{v R Q Sparsebcmd}

1 2 . 011 :719 2 .o 1 2 06 2 .oi9 s* 6

2 1 . 26 1 ss' .

16

'

_{1 .2-6164}

₁₆

' 1 . 2620 0

16

'

3 _{2 .49453}

_{16 2}

_2•495~8

164 2 .4936c,

ID'

y

7.8ge,2

163 -:~ .goesi

tó ;

-f.gob6z.

tn3

5 3 .23 42 7

1 (3 3

3 .245fl3

tó~

3 .2y5& 5r

~ 1 .556o2

16,

1,

5-

6g

t

2

1

03 I .S691₃ 163 ~

_U54370

₁₆₄

_{0 .4939 5'} _{10 4} 9-L19400 t~`'

Q 14 . 922.30 16 s _{4 .9gs 1 7}

165.

y-99535»

165,

.

t6 Sec 351 sec 2.32 Sec

Le

He~ b1

~

dus

t

it

1: deZe voorloeelAev, d

a

l• vme

r

, r.loor

Guyav, _r-ec2u4,t+e

1v

₎

wetni9 retcenlbd reeds Yèdel~4 5ocde behoaderinger, verkr`~,

We 11ce ho9 acxvx7,;enC~ tk awlo elefc4 worde,, i nct:rer, vvie., clcccuMa

~el- verbeterd Rayle;; 9~ quotienL bepqatd .

LitGrOt~U.ur :

111 4Qrle.ns ,

j

.

~~kcic mebhoc4e^ voor het 6epateh vav, de ~roobtc vari I,andmaLrice s '} 2 (\ u E 7 2- 6 )

[21 M3ca~t.,c pr-ocectu .rcs voor gebruik op de B 6V od .

ÍZ &k.e.n centruw, ïh p orv»aM c hr, 3 g Í- F-I E i hclh,oven .

L37

Pro~ . dr . C7 .W. `%el L tcctrr, p 9

1JurYter i eLe

m eLhodev) .

d i~kaa 6 -r-1-I E° nd ho v-eh e

bil

pi.

o

ss

en

--

V tt

_rt

174 (WE 7q-/q).

e

_~0

e

_n

u.aard

_a"

ict ynavniscAe pro ble vueh

`

e~ne„e e~ge,nwaarde probhern .

Statische reduktie bij dynamische problemen geanalyseerd via de elementenmethode