Opmerking over de berekening van trillingssystemen die "rubberdemping" bezitten

Opmerking over de berekening van trillingssystemen die

"rubberdemping" bezitten

Citation for published version (APA):

Esmeijer, W. L. (1959). Opmerking over de berekening van trillingssystemen die "rubberdemping" bezitten. (DCT rapporten; Vol. 1959.001). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1959 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

1.

INLEIDING.

Re

v r i j e t r i l l i n g v a n een l i n e a i r t r i l l i n g s s y s t e e m met

1

graad van v r i j h e i d kan, zoals bekend, worden beschreven door de v e r g e l i j k i n g :

64- cli

+

kx =

o.

( 1 )

waarin

e n c de m dempingscoëfficient: m, de massa van het systeem k en is, c k z i j n constanten. de s t i j f h e i d van de veer

w e

=F

5 s de eige;en~hoek)frequentie van het ongedempte systeem.

Da bijzondere waarde

wordt per d e f i n i t i e genoemd de k i - i t i s c h e demping c

.

Het systeem vol-

weging. H e t is de grenstoestand tussen een gedempte t r i l l i n g e n een "kruipen': naar de evenwichtsstand.

Voor ingewiklkelder g e v a l l e n met meerdere graden v a n v r i j h e i d , beo. t o r a i e t r % l l i r g e n van motoren, kan men eveneens bewegingsvergelijkingen o p s t e l l e n en h i e r v a n op$ossingen bepalen.

Prof, S o y f f a r d t bracht het volgelide probleem n a a r voren:

R i j beschouwt h e t geval van gedwongen t o r s i e t r i l l i n g e n i n een motor; i n de t r i l l i n g s d e m p e r , d i e gekoppeld is aan d o motor; is het materieal

rubber gekozen als e l a s t i s c h e n dempend elenent. H i j merkt op, d a t

De v r a a g luidde: X a t moet b i j een d e r g e l i j k ingeniklceld s y s t e e n genc- men worden voor c c t e n einde t e komen t o t een voor het systeem c o r r e c t e

v o e r t b i j deze waarde van de demping een z.g. a p e r i o d i e k e C v r i j e be-

v o o r rubber wordt opgegeven = conôtsnt -&CS 0,05) ( 3 waarde van c. 1

2. ,9iBBE,P ALS ELASTISCH EN DEEFEX'D ELJXENT,

Wanneer w i j d i t probleem onder ogen z i e n , dan d r i n g t z i c h d e v r a a g op,

=

coastaat VOÜP rùb5er,

wet 8e OJuisehe betakanio i s uâa de üpga-ca

q

c

E&genscbappen r a n rubber z i j n o.a, onderzocht door C.W. Kosten.1) Z i j n l u s i e inzake h e t verband t u s s e n een harmonische belasting _op e e a

rubber element e n de daardoor v e r o o r z a a k t e harmonische v e r p l a a t s i n g van h e t aangrijpings-nt van de b e l a s t i n g komt

o

Noem de b e l a s t i n g van h e t rnbberelement Pe

r&en:f;ijZt? gebruiken e v e n n l s dj_t in rle e1eCtrO%echniek geeóruïireiijk is; w i l l e n we op een z e k e r t i j d s t i p de f y s i s c h e g r o o t h e i d weten, dan moetea

h e t volgende neer: (we z u l l e n de complexe de complexe g r o o t h e i d h e t reële d e e ï nemen.)

i w t

v e r p l a a t s i n g xe e U i t poevemr v o l g t : % 11 F = ( ki f a )x ( 4 ) 2) de stij&%eid k i s c o n s t a n t 3) wc

,

de tangena van de f a s e h o e k

d

t u s s e n b e l a s t i n g en v e r p l a a t s i n g , -E

1 ) Ce'@. Kosten : "Over de elastische eigenschappen van g e v u l c a n i s e e r d e rubber." D i s s . Delft 1942,

- 2 -

i s i n een groot frequentiegebied eveneens praktisch constant.

Men merke op, d a t c n i e t constant is, maar met name a f h a n k e l i j k is v a n W.

De g r o o t t e van de genoemde fasehoek, v e r l i e s h o e k genaamd, is rond 6'

( a f h a n k e l i j k van de rubber). Er g e l d t dus:

(5

1

6 -

deTz

= constant

~ ~ 7 8 0 .

I I ~ O , I

We z u l l e n t r a c h t e n deze uitspraak i n verband t e brengen met de for- mules

(2)

en (3).

iFe basehouwen d a a r t o e een harmonisch aangestoken sgrsteem, d a t a n a l o o g

is aan het onder 2 . genoemde t r i l l i n g s s y s t e e m . E l a s t i c i t e i t en demping

z u l l e n worden verzorgd door rubber.

Daar (5) g e l d t i n een g r o o t gebied v a n w o kunnen de bijzondere waardew- i n v o e r e s e n s c h r i j v e n r " we e'

6 =

Ir

w i j h i e r i n desgewenst (6) e *

waarin c v o o r s t e l t de waarde v a n c voor _e

w = w

De d e f i n i t i e v e r ~ e l i j k i n g

(2)

en formule (6) l e v e r e n samen:

(7)

4 = 2 7

e

c

V e r g e l i j k e n we d i t r e s u l t a a t met

(31,

_dan b l i j k t de gegalwaarde &=6O overeen t e stemmen met de onder ( 3 ) opgegeven waarde

E =

@,05, met

dien vefstande, d a t h i e r onder c moet worden v e r s t a a n d e dempings- c o ë f f i c i ë a t b i j w

= w e e

Met bovenstaande beschouwing i s de betekenis a c h t e r h a a l d van de opgave

-&=

constant, c C

We

kunnen &as s t e l l e n : I. 2 , 3'

4,

E s s e n t i e e l is, d a t h e t gedrag van rubber als e l a s t i s c h e n dempend element b i j harmonisch t r i l l e n d e systemen volkomen wordt gekarak- teriseerd Boor da c o a s t a t t e s t i j f h e i 6 3 fL e n 6s eonatants verlies-

h o e k d ; P =

k(1 +

id)x

(8)

I n d i e n men behoefte h e e f t om c t e kennen, v o l g t deze u i t :

( 9 )

H e t d e f i n i ë r e n van ce 5 5 ; een t r i l l i n g s s y s t e e m is v o o r h e t bepalen

van c volkomen overbodig.

W i l men desondanks een g r o o t h e i d

cc

d e f i n i ë r e n t e g e l i k met h e t ge-

kd

cri

--

_W

(10)

C _{= constant} 22

( =

3s

dan kan men nemen c _c=

-

_w

.

SERIE- EN PARALLELSCHAKELING.

Voor een rubberelement, d a t onderhevLg is aaa p e r i o d i e k e b e l a s t i n g , kun- nen we op grond van h e t voorgaande invoeren de

- 3 -

We z u l l e n nasaan, w a t de complexe s t i j f h e i d is b i j een p a r a l l e l s c h a k e l i n g

en b i j een s e r i e s c h a k e l i n g van een rubber element en een ongedempt e l a s t i s c h element (van staal bav.Ie

a) ?arallel. s c h a k e l i n g ( f i g , 1). rubber: k,(l+i$)

\

Gevraagd f de complexe s t i j f h e i d k. staal: k2 Pig. ‘i. 0 _2-

-

k2x S t a a l : Rubber: P1= k , ( l + i & x T o t a a l : _p=P1+P2= (k., i k2

+

ikld)x & X kl

P

zx (kq

+

k2)(1

+

i k~ 1 2 H i e r u i t volgt: b ) S e r i e s c h a k e l i n g (fig. 21, I rubber staal k,,

(?+id)

, k2

x2

=

%;

Pig.

2.

P

Staal: ?

-

-k

-

Rubber: Gevraagd : de complexe s t i j f h e i d k. To taal : Eieruit v o l g t o 1 1 1

L;=s,+-

( 1 1 )

i

I

- 4 -

Renren we i n aanmerking

6

<<

1, dan volgt

na

e d g e h e r l e i d i n g :

( î + i - _{( 3 3 )}

k =

- 4 -

4,

VECTORDIAGRRM EN RESONANTIERROW BIJ EEN SYSTEEM MF?i'

1

GRA-tD VAN VRIJHEID EN "IIUBBGRDEKPING." (fig. 3).

I

rubber

FiE. 3.

De diPferentiaalvesge2.i jking van de b8.reging I u i d t :

i w t

mx

+

e2

9 kx =

K€

De gedwongen beweging wordt beschreven door xe

i w t

.

U i t (14) volgt: 2

-

2nwx

+

iwcx c- Lx = 1: e n n e t in-acht-name van (5): We voeren i n :

rn

K

m

w =

_e Xst= k m .

.t.- kùnmìi met gûëdë Drnadering x

k . 2 uLgJ.ìigr : st

Formule (15) g a a t o v e r i n :

beschouwen als de statische door-

X-,

2 cl5

x =

(I-

2"

i d

e

I n f i g . 4a en Pig,

4b.

z i j n vectordiagrammen geschetst a l s i l l u s t r a t i e v a n (15).

Fig. 4b. ( r e s o n a n t i e : W = W )

- 5 -

De vergelijking van de resonantiekromme: v o l g t u i t

(17)

Voor W = W r g e l d t : 1 X I

-

I-

I

- 1

'

Xst re sonant i e 1 ' o p s l i n g e r f a c t o r b i j r e s o n a n t i e . - k a n genoemd worden:

d

I n fig. 5. z i j n enkele resonan ekromen getekend. T e r v e r g e l i j k i n g z i j n

eveneens enkele resonankiekro opgenomen v o o r een systeem met vis- ceuze dempiug, Deze laatste is zodanig gekozen, dat de o p s l i n g e r i n g b i j r e s o n a n t i e d e z e l f d e is a l s b i j h e t systeem met rubberdemping,

5. VOORREELD VAN DE BERFKENING

vm

EEN TORSIETRILLINGSSYSTEEM MET"RUBBERDEMP1NG. "

Het i n fig. 6 getekende systeem v o e r t t o r s i e t r i l l i n g e n u i t onder i n v l o e d van h e t koppel (18) M = Be (Te Het e l a s t i s c h e d e e l tussen de s c h i j v e n met massatraagheids- moment 17 resp.

12i

bezit rubber-

demping met dempingecoe ff

i c i ë n t

c volgeìïs

( 7 ) :

c i -

(19)

De wYingende momenten i n de e i a s - t i s i h e elementen z i j n i ml=k,

(Y;

-5

+

c

(yq

-q2)

m =k

(y2

-3

) De bewegingsvergeli.jkingen van de s c h i j v e n l u i d e n :

i w t

.)

R1

8

u)

1

(20)

2 2

(K=

1,2,3)

iuit )

î,Tfyil

=

-

m, 12Y2

..

=

ml

-

mz 4

M

T q "3 3

=

H12

We beschouwen a l l e e n de gedwongen t r i l l i n g e n e n s t e l l e n :

Y,=

Re

pK

e (22)

(

K=

1 , 2 )

(20) en

(21)

kunnen dan worden overgevoerd, met in-acht-naue van (19) i n :

k

1

(?+id)(?,

-y2)

M2 = k2('fs-y3) 2

-

I1

y

'p.i=

-Mi

-

W 2

y2=

+Mi-??,+?

'2 2

-

I,W

p

= PI2 , 3 -E l i m i n a t i e v a n Y 1 , y enip3 n i t (24) e n

(25)

levert: 2 - c i a - - I2

))

<

M -2 +. M 1 .=

-

T

{

IZW. k2

I3

E l i m i n a t i e van M ₂ levert: De b e i d e e i g e n f r e q u e n t i e s

w

u i t :

en

weZ

van he6 ongedempte systeem

(d=û)

v o l g e n e l

Voor een w a a r d e W = W _{e 9} d i e v o l d o e t aan (28)

en

met de benadering

1

1

-

L d kan h e t t u s s e n g r o t e haken g e p l a a t s t e d e e l van ( 2 7 ) geschre- - ( I + - Is

)}

I3

Hiermede wordt (27) na e n i g e v e r d e r e vereenvoudigingen:

--

{ I 2 3 a

I$

-

k2( 12i-13)f

M?

= T {I3<

-

k 2 j kl

-1

1

x 3 3

e

-

k2]

M

= T

1

dwe

1213Wt

-

k2(12

+I3))

- 7 -

- 7 -

Nemen w e i n aanmerking, d a t ( 2 8 ) t e s c h r i j v e n i s als:

1

1 2 3

1 1

w4

- W 2 < *

[k211

(I2 + I3

1

+k

1 3

I (I 1

+

1 2 j

+

k,k2(I,,+T2+13) = O

dan b l i 5 k t h i e r n i t :

(29) is dan o v e r t e voeren in:

Dft resaliaat, geoombineerd met (19), is op eenvoudige w i j z e t e verge-

l i j k e n met de uitkomst, d i e op e n i g s z i n s andere w i j z e door S e y f f a r d t is

afgeleid,

November 1959