Samenvatting Differentiaalrekening H 7 en H 13

(1)

6VWO wisk B 2013-2014 Samenvatting H7 & H13 Getal&Ruimte De afgeleide functie: differentiëren d.m.v.:

 Productregel : [f·g]’ = f ’· g + f · g’ vb: f(x) = x· ln(x) heeft afgeleide: 1· ln(x) +

x

= ln(x) + 1  Quotientregel :

[

t

n

]

'

=

t

'

_{· n−t·n}

'

n

2 vb:

f ( x )=

x

3

2 x

2

+1

heeft afgeleide: f ’(x) =

3 x

2

_·

₍

_{2 x}

2

₊₁

₎

−

x

3

· 4 x

(2 x

2

+

1)

2 ( = . . . . )

 Regel voor machtsfunctie2:

_[

_xn

_]

'

=n· xn−1 (voor iedere n ∈ R ) vb.

f ( x )=

4 +

3

√

x

2

=

4 x

−2

+

x

−1 23 dus

f

'

( x )=−8 x

−3

−

5

3 x

−2 2₃ = …..(vereenvoudig zelf)  Kettingregel:

dy

dx

=

dy

du

· du

dx

vb.

_{f ( x )=}

_√

_{3 x}

2

+

4

heeft afg.:

f

'

( x )=

1

2 (3 x

2

+4)

−1 2

_{· 6 x}

₌

. . .

.. . .

(waarom vereenvoudigen wij altijd?....ja, o.a. voor extremen…)  Combinaties van bovenstaande regels:

vb.:

f ( x )=

x+6

√

8 x+9

heeft afgeleide:

f

'

( x )=

1·

√

8 x +9−(x +6)·

1

2 ·(8 x +9)

−1 2

_·8

8 x +9

=

.. . . .

=

4 x−15

. . . .

Toepassingen van de afgeleide functie

 Extreme waarden : 1. f’(x)= 0 en los op.

2a. Schets de grafiek van f en bepaal max of min… OF 2b. maak een tv-schets van f ‘ en bepaal max/min… 3. Bereken de y-coördinaten

4. Notatie max f(x) = . . . min f(x) = . . .  Raaklijn : raaklijn opstellen in x = 3

(2)

2. f ‘(3) = . . . a = . . .

3. y ̶ f(3) = a (∙ x ̶ 3) . . . OF: y = ax +b . . . b berekenen raaklijn opstellen met rc = 4

1. f ‘(x) = 4 oplossen . . . x = . . . (xR)

2. Deze x = . . (xR) invullen in y = f(x) = f( xR ) = . . . (yR)

3. y ̶ yR = 4 (∙ x ̶ xR ) OF: in : y = 4x +b b berekenen

 kromme door toppen :

vb.

f

p

( x )=

−1

3 x

3

₊₁

1

2 x

2

+

px −5

f'p

(

x

)

=−x2+3 x + p maak p vrij ∈:−x2+3 x+ p=0 en vul in

y=f

p

( x)

in . . . dus

p=x

2

−3 x

geeft . . .

y=

2

3 x

3

−1

1

2 x

2

−5

 Het aantal oplossingen van f(x) = p

de grafiek van

y=f (x)

snijden met de horizontale lijn

y= p

vb. voor welke p heeft de vgl.

f ( x )=

3

4 x

4

_{−2 x}

3

_{−36 x}

2

₊₃₀₀

= p precies 4 opl’n ? 1. toppen berekenen…. (mag hier met GRM: )

(−4, 44) ; (0, 300) ; (6, −456) (“exact” via f’. . ) 2. schets van de grafiek van

y=f (x)

(laat hierin evt. asymptotisch gedrag zien)

3. Aflezen . . . 44 < p < 300

 Het aantal oplossingen van f

(

x

)

=ax+ p (met gegeven rc = a bijv.

−1

1

4

)

de graf. v.

y=f (x )

snijden met de lijnen y=ax+ p

vb. voor welke p heeft de vgl.

2 x +1

_x−2

=−1

1 ₄

x + p

géén oplossingen?. . . . 1.

f

'

( x )=−1

1

4

oplossen geeft . . . x = 0

∨

x = 4

2. Raakpunten bij x = 0

∨

x = 4

uitrekenen: . . . .(0, −

1

2 ¿

en(4, 4

1

2 )

3. raaklijnen bepalen: door (0, −

1

2 ¿

y=−1

1

4 x−

1

2

en door

(

4, 4

1

2 )

y =−1

1

4 x +9

1

2

4. schets van de grafiek tekenen (let op evt. asymptotisch gedrag) en 5. aflezen

−1

₂

<

p< p

1

2

 Derdegraadsfuncties met een parameter

Het aantal extreme waarden van een derdegraadsfunctie met een parameter hangt af v.d. discriminant van de afgeleide.

(3)

vb.

f

p

( x )=

−1

3 x

3

₊₁

1

2 x

2

+

px −5

fp '

(

x

)

=−x2+3 x+ p

f

p '

( x )=0 heeft 2 op l

'

nals D>0 :9+4 p>0 dus p>−2

1

4

 raaklijnproblemen bij functies met een parameter

Om te berekenen voor welke p de lijn k de grafiek van

f

p raakt in een gegeven punt A, waarvan de x-coördinaat is gegeven, los je op de vgl.:

f

'p

(

x

A

)

=

rc

k

vb.

f

p

(

x )=x

2

√

x + p

√

x

en k : y=18 x +q∈xA=4 dan:

f

'_p

( x )=2

1

2 x

1 1₂

+

1

2 p x

−1 2

_{en f}

p '

( 4)=18. . . f

'_p

( x ) vereenvoudigentot

5 x

2

+

p

2 √

x

hoeft niet!

20+

1

4 p=18 als p=−8 en f

−8

( x )=x

2

√

x−8

√

x dus is de y−coord .: f

₋₈

( 4)=16

Met de coördinaten van punt A(4,16) (ingevuld in y = 18x + q) blijkt tot slot: q = −56.

 raaklijnen aan grafieken

Een lijn door

A (x

A

, y

A

)

raakt de graf. v. f in P als de x-coörd. voldoet aan:

f

'

( x )=

f ( x )− y

A

x−x

A vb.

f ( x )=

−1

₂

x

2 + 4x door A

(

−3 ,−4

)

raaklijn:

−

x+4=

−1

2 x

2

+

4 x+4

x +3

oplossen geeft: x=2 ˅ x=−8  rakende grafieken

De grafieken van f en g raken elkaar in punt

A (x

A

, y

A

)

als

{

f

(

x

A

)

=

g(x

A

)

f '(x

_A

)=

g ' (x

_A

)

vb.

f ( x )=

1 ₃

x

3

−

x

2

+5

_en

_{g ( x)=−x}

2

₊

_{9 x−13raken dus}

_x2_{−2 x =−2 x +9} _.

x=−3 ˅ x=+3 en er blijkt (na controle) raakpunt A(3 , 5) . . . ( x = 3 voldoet niet)

 elkaar loodrecht snijdende grafieken

De graf.n van f en g snijden elkaar loodrecht in het punt als

{

f

(

x

A

)

=

g (x

A

)

f

'

₍

x

_A

₎

· g

'

₍

x

_A

₎

=−1

vb.

f ( x )=2

√

x

en

g

p

( x)=

p

x

dan geldt:

{

2 √

x=

p

x

1 √

x

· −

p

x

2

=−1

dus:

{

p=2 x

√

x

p=x

2

√

x

dit geeft:

(4)

p=4

√

2 en f (2)=x=0 voldoet niet ; x=2 wel en geeft :

¿

recht ∈het punt q

¿

blijkt tot slot :q=−56

2 √

2

De tweede afgeleide, toepassingen :  buigpunt en buigraaklijn

1. f’’(x) = 0 en los op x = . . . . invullen in y = f(x) : f( . . .) = . . . dus buigpunt: (. . . , . . .)

2. f’( . . .) = . . . = a raaklijn y = ax + b hierin coordinaten raakpunt invullen . . . dus b = . . alternatief is soms korter: met buigpunt A

(

xA, yA

)

via y ̶ yA = a (∙ x ̶ xA ) vb.

f ( x )=x e

2 x

f

'

(

x )=e

2 x

+2 x e

2 x

dus f

' '

(

x )=4 e

2 x

+4 x e

2 x

f

' '

(x )=0 geeft : x=−1 en f (−1 )=

−1

e

2 verder is

f ' (−1)=

−1

e

2 , dus buigraaklijn

y +

1 e

2

=

−1

e

2

(

x +1)

of vereenvoudigd:

y=

−1

e

2

x−

2 e

2

 soorten van stijgen en dalen

toenemend stijgend f’(x)>0 & f’’(x) >0 afnemend stijgend f’(x)>0 & f’’(x) <0 toenemend dalend f’(x)<0 & f’’(x) <0 afnemend dalend f’(x)<0 & f’’(x) >0  afgelegde afstand, snelheid en versnelling

vb.

s (t)=

−1

3 t

3

_{+6 t}

2 dan

v (t )=s

'

(

t )=−t

2

+12 t

en

a (t )=v

'

(

t )=s

' '

(

t )=−2 t+12

 vierdegraadsfuncties met een parameter

het aantal buigpunten van een vierdegraadsfunctie met een parameter hangt af van de discriminant van de 2e_afgeleide