H4: Normale verdelingen

Hoofdstuk 4:

Normale verdelingen.

a. Voer de frequenties in lijst 2.

3  ( ) :165 1002 

L cumsum L

b. Bij het tekenen van een somfrequentiepolygoon komen de somfrequenties boven de rechter

klassengrens.

c. De mediaan zit ongeveer bij 50%: m€ 4450,

d. Ongeveer 28% heeft een inkomen van € 3500,- of minder en ongeveer 72% heeft een inkomen van € 5500,- of minder.

Dus ongeveer 44% van de huishoudens heeft een inkomen tussen € 3500,- en € 5500,-V_2.

a. modus: hier de modale klasse; is de meest voorkomende klasse:

[

mediaan: gemiddelde van de 50e _{en 51}e _{waarneming. Beide liggen in de klasse}

[

b. De frequenties moeten boven de klassenmiddens getekend worden. c. Voer in: L1: 90, 94, 98, 102, 106, 110

L2: 26, 20, 32, 12, 8, 2

1-var-stats L1, L2: x96, 48 en  5, 24

V_3.

a.

[

[

[

[

b. De modale klasse is waar het somfrequentiepolygoon het steilste is:

[

d. Kijk bij 75%: de 25% zwaarste appels wegen ongeveer 105 gram of meer. e. De 25% lichtste appels wegen hoogstens

ongeveer 93 gram. f.

V_4.

a. Het laagste cijfer is een 4,3 (in het boxplot: 4,25)

b. Een cijfer tussen 7 en 9 is in het boxplot tussen Q3 en de grootste waarneming: 25%.

c. Een onvoldoende is lager dan een 5,5. In het boxplot is dat kleiner dan Q1: 25%

Dat gaat dan om 0, 25 248=62× leerlingen. d. Het boxplot is niet symmetrisch.

inkomen freq rel.

somfr. 1000,2000 5 3,0 2000,3000 24 17,6 3000,4000 36 39,4 4000,5000 41 64,2 5000,6000 28 81,2 6000,7000 16 90,9 7000,8000 14 99,4 8000,9000 0 99,4 9000,10000 1 100

V_5. a.

b. De 2,5% zwaarste blikjes wegen 419,9 gram of meer.

c. In elk blikje zit gemiddeld 405,3 gram. In 10 blikjes mag ze dus 4053 gram

kattenvoer verwachten.

d. De verwachte standaarddeviatie van de 10 blikjes samen is 7,3 10 23,1  gram. e. De standaarddeviatie van het gemiddelde gewicht is 7,310 2,3 gram.

1. a.

b. Ongeveer 50 34 16%  zal een nettogewicht hebben van meer dan 205 gram.

c. Ongeveer 50% van de potten heeft een te laag nettogewicht.

d. Omdat het percentage potten tussen 200 en 202,5 gram groter is dan het percentage tussen 202,5 en 205. Het eerste interval ligt dichter bij het gemiddelde: de oppervlakte onder de klokvorm is groter. Het percentage tussen 200 en 202,5 gram zal ongeveer 20% zijn. e. Dat zal ongeveer 50 9 59%  zijn.

2. 1e _{vuistregel: ongeveer 68% van de waarnemingen ligt tussen 195 en 205 gram. Dat is}

verdeeld in 34% onder 200 gram (het gemiddelde) en 34% boven de 200 gram. Hieruit volgt ook dat 50 34 16%  van de waarnemingen minder 195 gram weegt en 16% van de waarnemingen meer dan 205 gram weegt.

2e _{vuistregel: ongeveer 95% van de waarnemingen weegt tussen 190 en 210 gram. Dan}

blijft er 5% over verdeeld over twee even grote gebieden: 2,5% weegt minder dan 190 gram en 2,5% weegt meer dan 210 gram.

Uit de twee vuistregels kunnen we nu ook concluderen dat ongeveer 13,5% van de waarnemingen tussen de 190 en 195 gram weegt en ook 13,5% tussen 205 en 210 gram. 3.

a. ongeveer 10%: zie opgave 1d.

b. P(200 G 201)normalcdf(200, 201, 200, 5) 0, 0793 ongeveer 7,93% c. P G( 207)normalcdf(207, 1 99, 200, 5) 0, 0808E 

4.

a. P(160 L 170)normalcdf(160, 170, 164, 7.2) 0,5084 ongeveer 50,84%.

b. Voor de nauwkeurigheid kun je als linkergrens altijd _{ 1 10}99 _{en voor de rechtergrens altijd} 99

1 10 gebruiken.

c. P L( 168,5)normalcdf( 1 99, 168.5, 164, 7.2) 0, 7340 E 

d. P L( 180)normalcdf(180, 1 99, 164, 7.2) 0, 0131E  ongeveer 1,31% e. P L( 170)normalcdf(170, 1 99, 164, 7.2) 0, 2023E 

De kans dat twee jongens langer zijn dan 170 cm is _{0, 2023}2 _0,0409

. f. P L( 150)normalcdf( 1 99, 150, 164, 7.2) 0, 0259 E 

Ongeveer 0,0259 342 9  leerlingen zijn kleiner dan 150 cm. 5. a. P T( 37,5)normalcdf(37.5, 1 99, 36.9, 0.6) 0,1587E  ongeveer 16%. (36 37) (36, 37, 36.9, 0.6) 0, 4994 P  T normalcdf  ongeveer 50%. b. 25  0.625 0,12 c. P G( 37,1)normalcdf(37.1, 1 99, 36.9, 0.12) 0, 0478E  6. a. a350 2 27 296   b350 27 323  c350 27 377  en d 350 2 27 404  

b. r ligt ergens tussen c (P X( c) 0,84 ) en d (P X( d) 0,975 ). c. Nu ligt r ergens tussen 350 en 377.

7. a. r ligt tussen 85 en 100. b. P Y( r) 0, 23 ( 1 99, , 100, 15) 0, 23 88,9 solver normalcdf E x x   

c. Nee, de vraag is te onzinnig. 8. a. P C c(  ) 0,04 b. 250 1633 ( ) 0,153 P C c   3 ( , 1 99, 4100, 400) 0,04 4800 solver normalcdf x E x cm   3 ( 1 99, , 4100, 400) 0,153 3691 solver normalcdf E x x cm    9. a. P I( 800)normalcdf( 1 99, 800, 850, 38) 0, 0941 E  Zo’n 9,41% van de flessen moeten opnieuw gevuld worden. b. P I i(  ) 0, 05 solver: x912,5ml

( , 1 99, 850, 38) 0, 05

10.

a. Hij moet het gemiddelde dan naar boven aanpassen. b. c. P I( 800) 0,01 ( 1 99, 800, , 38) 0,01 888 solver normalcdf E x x ml    11.

a. Bij een gemiddelde van 850 ml en een standaarddeviatie van 25 ml heeft ongeveer 2,5% van de flessen een inhoud van minder dan 800 ml (tweede vuistregel). Om daar 1% van te maken moet de standaarddeviatie nog kleiner worden.

b. P I( 800) 0,01 ( 1 99, 800, 850, ) 0,01 21,5 solver normalcdf E ml      12. a. P L( 10,0)normalcdf( 1 99, 10.0, 15, 2) 0,0062 E  ( 16, 0) ( 1 99, 16.0, 15, 2) 0, 6915 P L normalcdf  E 

b. Voer in: y1normalcdf( 1 99, , 15, 2) E x en kijk in de tabel.

c. Stel het window in: Xmin0, Xmax 22, Ymin 0, en Ymax 1 . Je krijgt een S-vormige kromme.

d. 2nd _{trace (calc) optie 1 (value): P L( 4,6) 10} 7 _{en P L( 15,0) 0,5}

e. P L( 24) 0,9999966 . Het gaat hier om de oppervlakte onder de klokvormige kromme links van de lijn L24. Dat is bijna de totale oppervlakte.

Omdat de grafiek asymptotisch de horizontale as nadert is er geen waarde voor L waarvoor de cummulatieve kans 1 is. f. Omdat de normale verdeling symmetrisch is.

13.

a.

-b. Er zijn geen x-waarden waarvoor P X( x) 0 en P X( x) 1 . c. Omdat bij de bovenste grafiek de verticale schaalverdeling

lineair is.

d. De grafieken verschuiven 4 naar rechts. e. Dan gaan de grafieken minder steil omhoog. 14.

a. Voer in L2 de frequenties in; en dan L3 cumsum L( ) : 530 1002  .

b. De somfreq. hebben betrekking op de totale frequentie tot en met die klasse.

 _{860 865 870 875 880 885 890}

( 800)

P I  5,72 4,36 3,27 2,42 1,76 1,26 0,89

klasse aant rel.

somfr 6,5;7,5 1 0,2 7,5;8,5 3 0,8 8,5;9,5 4 1,5 9,5;10,5 12 3,8 10,5;11,5 25 8,5 11,5;12,5 49 17,7 12,5;13,5 68 30,6 13,5;14,5 95 48,5 14,5;15,5 96 66,6 15,5;16,5 78 81,3 16,5;17,5 53 91,3 17,5;18,5 26 96,2 18,5;19,5 16 99,2 19,5;20,5 3 99,8 20,5;21,5 1 100

c. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn, dus de lengte van de maïsplanten is normaal verdeeld. d. Ongeveer 16%.

e. Ongeveer 60% is 15 dm of kleiner. Dus 40% is langer dan 15 dm.

f. Voor het gemiddelde moet je kijken bij 50%: 14,5

  dm.

Voor de standaarddeviatie kijk je bij 16% en 84%. Het verschil van die waarden gedeeld door 2 is de sd:

16,7 12,4

2 2,15

 _  _{ dm.}

15. a.

De punten liggen op normaalwaarschijnlijkheids papier vrijwel op een rechte lijn, dus de tijden zijn normaal verdeeld.

b. Nee, de lijn wordt alleen horizontaal verschoven. c.  493 s en 507 479

2 14

 _  _{ s.}

d. Voer de tabel in de GRM in (in L1 de klassenmiddens

en in L2 de aantallen) en bereken met 1-var stats L1, L2

het gemiddelde en de standaarddeviatie. 492,9

  s en  14,3s

16. Het gemiddelde wordt een halve klasse groter en de standaarddeviatie blijft gelijk.

17. a. P G( 15,0)normalcdf(15.0, 1 99, 12.3, 2.9) 17,59%E  b. P(8,5 G 9,5)normalcdf(8.5, 9.5, 12.3, 2.9) 7, 21% c. d. linkergrens: 6,5 en rechtergrens: 7,5 e. P G( 10)P G( 10,5) ( 1 99, 10.5, 12.3, 2.9) 0, 2674 normalcdf E   

tijd aantal som rel. som

450,460 3 3 1,1 460,470 12 15 5,4 470,480 35 50 17,9 480,490 67 117 41,8 490,500 77 194 69,3 500,510 55 249 88,9 510,520 24 273 97,5 520,530 6 279 99,6 530,540 1 280 100

gewicht klasse rel. freq.

8 7,5;8,5 4,6 9 8,5;9,5 7,2 10 9,5;10,5 10,0 11 10,5;11,5 12,4 12 11,5;12,5 13,6 13 12,5;13,5 13,3 14 13,5;14,5 11,5 15 14,5;15,5 8,9 16 15,5;16,5 6,1 17 16,5;17,5 3,7 18 17,5;18,5 2,0

18.

a. Nee, een gemiddelde van 7,5 wordt afgerond tot een 8. 7,49 en 7,4999 worden wel een 7.

b. 9:



c. P C( 5)P(4,5 C 5,5)normalcdf(4.5, 5.5, 6.3, 1.2) 18,57% d. P C( 8)P C( 7,5)normalcdf(7.5, 1 99, 6.3, 1.2) 0,1587E  19.

a. Het aantal pitten is een geheel getal. b. 115:



c. Het gebied rechts van de lijn x112,5.

d. P A( 113)P A( 112,5)normalcdf(112.5, 1 99, 120, 14) 0, 7039E  20. a. P Y( 63)P Y( 64)normalcdf(63.5, 1 99, 75.3, 6.8) 0,9587E  b. P Y( 80)normalcdf( 1 99, 80.5, 75.3, 6.8) 0,7778 E  c. P Y( 72)P Y( 73)normalcdf(72.5, 1 99, 75.3, 6.8) 0,6597E  d. P Y( 78)normalcdf(77.5, 1 99, 75.3, 6.8) 0,3731E  e. P(65 Y 85)P(66 Y 84)normalcdf(65.5, 84.5, 75.3, 6.8) 0,8372 f. P(45 Y 70)P(45 Y 69)normalcdf(44.5, 69.5, 75.3, 6.8) 0,1968 21.

a. Het aantal kelkbladeren is een geheel getal, dus moet je de continuïteitscorrectie toepassen

*

( 4) ( 4,5) ( 1 99, 4.5, 4.9940, 0.2487) 0, 0235

P A P A  normalcdf  E 

b. _{P A( 6)P(5,5A}* _{6,5)normalcdf(5.5, 6.5, 4.9940, 0.2487) 0,0209}

Van de 150 exemplaren zijn er 0,0209 150 3  ranonkels met 6 bladeren. c. _{P(4 A 7)P(5 A 7)P(4,5 A}*_7,5)

(4.5, 7.5, 4,9940, 0, 2487) 0,9765 normalcdf

 

Van ongeveer 146 ranonkels is dat het geval. 22.

a. _{P L( 190)P L(} * _{190,5)normalcdf( 1 99, 190.5, 183.1, 8.72) 0,8020 E }

b. _{P(180 L 190)P(180.5L}*_{189.5)normalcdf(180.5, 189.5, 183.1, 8.72) 0,3857}

Van een groep van 120 jongens verwacht je dus ongeveer 46 jongens. c. _{P L l(  ) P L(} *_{ l 0,5) 0,10} ( 1 99, 0.5, 183.1, 8.72) 0,10 0,5 171,9 171, 4 solver normalcdf E x x x       d. _{P L( 190)P L(} * _{189,5)normalcdf(189.5, 1 99, 183.1, 8.72) 0, 2315E }

23. Bij stochast X is de invloed 0,5

230 0,0022 en bij stochast Y is dat 0,5

2,30, 22. Dus hoe kleiner

de standaarddeviatie is, hoe groter de invloed van de continuïteitscorrectie.

24. Hoe dichter de waarde van p bij 0,5 ligt, hoe beter de verdeling te benaderen is door een normale verdeling. 25. a. P X( 8)binomcdf(25, 0.40, 8) 0, 2735 en P Y(  1) binomcdf(25, 0.05, 1) 0, 6424 b. _{P X( 8)P X(} *_{8,5)normalcdf( 1 99, 8.5, 10, 2.45) 0, 2701 E } * ( 1) ( 1,5) ( 1 99, 1.5, 1.25, 1.09) 0,5907 P Y P Y  normalcdf  E 

De benadering van P X( 8) is veel beter dan die van P Y( 1). c. P(14 T 30)P T( 30)P T( 13) 0,9839

*

(14 30) (13,5 30,5) (13.5, 30.5, 22.5, 3.52) 0,9833

P  T P T  normalcdf 

De benadering is redelijk nauwkeurig. d. Nee dat kan ‘ie niet.

e. _{P H( 400200)P H(} *_{400200,5)} normalcdf( 1 99, 400200.5, 400000, 240000) 0,6585 E  26. a. P R(  1) binomcdf(8, 0.1, 1) 0,8131 en P T( 10)binomcdf(80, 0.1, 10) 0,8266 b. _{P R(  1) P R(} *_{1,5)normalcdf( 1 99, 1.5, 0.8, 0.85) 0,7953 E } * ( 10) ( 10,5) ( 1 99, 10.5, 8, 2.68) 0,8243 P T P T  normalcdf  E 

c. Als een stochast binomiaal verdeeld is, moet je de kansen ook binomiaal uitrekenen en niet gaan benaderen met de normale verdeling.

27. a.  85 0,8 68  en   85 0,8 0, 2 3,69   b. P W( 75)binomcdf(85, 0.8, 75) 0,9841 * ( 75) ( 75,5) ( 1 99, 75.5, 68, 3.69) 0,9790 P W  P W  normalcdf  E  Het verschil is 0,005 c. P(65W 70)P W( 70)P W( 64) 0,5758 * (65 70) (65,5 70,5) 0,5798 P W  P W   d. P W( a) 0, 05 ( 1) 0,95 (85, 0.8, 1) 0,95 P W a binomcdf a      1 (85, 0.8, 1)

y binomcdf x en kijk in de table (in de buurt van 70): x75.

28.

a. Het gaat om een trekking zonder teruglegging, dus de kansen veranderen.

b. 220 219 218 217 216 80 220 219 218 217 300 299 298 297 296 300 299 298 297 296 ( 2) ( 0) ( 1) ( 2) 5 P B P B P B P B             80 79 220 219 218 300 299 298 297 296 10 0,8799       

c. De kansen blijven ongeveer wel gelijk. De steekproef (5) is klein ten opzichte van de populatiegrootte (300): 80 300 5 n en p . d. 80 300 ( 2) (5, , 2) 0,8781 P B binomcdf  e. * 1 3 ( 2) ( 2,5) ( 1 99, 2.5, 1 , 0.99) 0,8810 P B P B  normalcdf  E 

Geen goede benadering. 29. a. P V( 3, 465)normalcdf( 1 99, 3.465, 3.50, 0.02) 4% E  . b. P V( v) 0,15 c. P V( 1,70) 0,10 ( , 1 99, 3.50, 0.02) 0,15 3,521 solver normalcdf x E x   (1.70, 1 99, 1.50, ) 0,10 0,156 normalcdf E solver     30.

a. 25% van de inkomens is verdeeld over een gebied tussen € 37.000 en € 45.000 (een gebied van 8.000 euro). Datzelfde percentage ligt tussen € 45.000 en € 53.000 (ook 8.000 euro verschil). Datzelfde geldt voor de gebieden met een inkomen tussen 31.000 euro en 37.000 euro en met een inkomen tussen 53.000 euro en 59.000 euro: in beide gebieden zit 15 %. Etc.

b.  45

( 31) 0,10 P I  

Voer in: y1normalcdf( 1 99, 31, 45, ) E x en y2 0,10 intersect:  10,92

( 37) ( 1 99, 37, 45, 10.92) 0, 2319 0, 25

P I normalcdf  E  

Dus niet normaal verdeeld.

Je kunt de gegevens ook uitzetten op normaalwaarschijnlijkheidspapier. De punten liggen niet op een rechte lijn, dus niet normaal verdeeld.

31.

a. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn, dus de verdeling is normaal. 106   en  136,5 732 32    . b. _{P V( 196)P V(} *_195,5) (195.5, 1 99, 186, 37) 0,3987 40% normalcdf E    c. W 0, 40 365 8 0,60 365 2 € 730,       d. W  p 365 8 (1  p) 365 2 0   2920 730 730 0 3650 730 0, 20 p p p p        ( ) 0, 20 ( , 1 99, 186, 37) 0, 20 217,13 solver P V v normalcdf x E x    

Het gunstige aantal fietsen is 217.

fietsen aantal som rel.

25-49 14 14 4 50-74 47 61 17 75-99 94 155 42 100-124 108 263 72 125-149 75 338 92 150-174 23 361 99 175-199 5 366 100

32. a.  100 6 106  gram en _{  5}2_1,52 _{5, 22 gram.} b. P G( 110)normalcdf(110, 1 99, 106, 5.22) 0, 2218E  c. _doos 200 106 950 22150   gram en _{(5, 22 200)}2 ₉₀2 _{116, 4} doos      ( doos 22500) (22500, 1 99, 22150, 116.4) 0,0013 P G  normalcdf E  33.

a. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn.

b.  7,6m en 11,6 3,6 2 4  _  _ m. c. P B( 12,0) (12.0, 1 99, 10, 4) 30,85% normalcdf E   d. P B( 9) 0,5987 2 (2 , 1 ) 3 0, 4013 0,5987 0, 2892 P lager hoger     e. P B(  p) 0,10 ( , 1 99, 10, 4) 0,10 15,13 solver normalcdf x E x m   f. P(6 G 8)normalcdf(6, 8, 4.5, 1.5) 0,1488

hoogte aant som rel.

1,5  24 24 6 1,5 – 3 26 50 12,5 3 – 5 51 101 25,3 5 – 7 72 173 43,3 7 – 10 122 295 73,8 10 – 15 92 387 96,8 15  13 400 100

T_1.

a. P pH( 7, 25)normalcdf( 1 99, 7.25, 7.4, 0.2) 0, 2266 E  ongeveer 22,7%. b. P(7,3 pH 7,55)normalcdf(7.3, 7.55, 7.4, 0.2) 0, 4648 ongeveer 46,5%. c. P(7,15 pH 7,7)normalcdf(7.15, 7.7, 7.4, 0.2) 0,8275

Dus 17,25% zal die extra keuring moeten ondergaan.

d. 0.2 30 ( 7, 45) (7.45, 1 99, 7.4, ) 0,0855 P PH  normalcdf E  T_2. a. P(19,0 O 19,5)normalcdf(19.0, 19.5, 19.15, 1.06) 0,1856 Ongeveer 34 leerlingen. b. P O l(  ) 0, 45 P O r(  ) 0,55 ( 1 99, , 19.15, 1.06) 0, 45 19,02 solver normalcdf E l l    ( 1 99, , 19.15, 1.06) 0,55 19, 28 solver normalcdf E r r    c. ( 18,50) ( 1 99, 18.50, 19.15, ) 0,30 1, 24 solver P O normalcdf E cm        d. 54 182 ( 8,5) P O  54 182 ( 1 99, 8.5, , 1.06) 9,07 solver normalcdf E cm      T_3. a. 80 55,33 24,67%  b.

c. De waarnemingen liggen vrijwel op een rechte lijn. d. Ongeveer 94,5% rijdt minder dan 82 km/u.

e.  70,5 en 76,8 59,5 2 8,65  _  _{ .} f. P V( 82)normalcdf( 1 99, 82, 70.5, 8.65) 0,9082 E  T_4. a. * ( 75) ( 74,5) ( 1 99, 74.5, 82, 4) P S P S  normalcdf  E  0,0304 b. * ( 87) ( 86,5) (86.5, 1 99, 82, 4) P S P S  normalcdf E  0,1303 c. P S l(  ) P S(  l 0,5) 0, 025 ( 1 99, 0,5, 82, 4) 0,025 0,5 74,16 74,66 solver normalcdf E l l l      

( ) ( 0,5) 0,975 P S r P S  r  d. P S s(  )P S(   s 0,5) 0,90 ( 1 99, 0,5, 82, 4) 0,975 0,5 89,84 90,33 solver normalcdf E r r l       ( 1 99, 0.5, 82, 4) 0,90 0,5 87,13 87,63 solver normalcdf E s s s      

Het aantal schubben ligt tussen 74 en 91. Beneden de 88 schubben. T_5. a. P U( 50)binomcdf(100, 0.40, 50) 0,9832 en ( 5) (10, 0.40, 5) 0,8338 P Y  binomcdf  b. U 40 en U 4,9 Y 4 en Y 1,55 c. _{P U( 50)P U(} *_{50,5)normalcdf( 1 99, 50.5, 40, 4.9) 0,9839 E } * ( 5) ( 5,5) ( 1 99, 5.5, 4, 1.55) 0,8334 P Y P Y  normalcdf  E 

d. Hoe groter de n, des te beter is de benadering. Bij U dus. T_6. a. P A( 18)binompdf(22, 0.80, 18) 0, 2108 b.  22 0,80 17, 6  en   22 0,80 0, 20 1,88   c. * ( 18) ( 18,5) (18.5, 1 99, 17.6, 1.88) 0,3157 P A P A  normalcdf E 

d. Binomiaal verdeeld met n220 en p0, 20

( 31) 1 ( 31) 1 (220, 0.20, 31) 0,9852

P L  P L  binomcdf 

e. P V( 10)normalcdf(10, 1 99, 8.2, 0.9) 0, 0228E  T_7.

a. De waarnemingen komen dichter bij het gemiddelde te liggen. b. Als de steekproef klein is ten opzichte van de totale populatie.