uitwerkingen 5 havo D H7

Hoofdstuk 7:

Combinaties met sinus.

1.

a. Bij een hoek van 360o _{(een volledige draai) hoort een cirkelboog van 2 radialen} (de omtrek van een cirkel). Dus bij een hoek van 180o _{(een halve draai) hoort een} hoek van  radialen.

b. Bij een hoek van 72o _hoort 72 2

180  5 radialen. En bij een hoek van 320o_: 320 7

180  19 rad.

2.

a. Als je de grafiek van f verticaal vermenigvuldigd met factor 3 dan ontstaat de grafiek van g. De grafiek van h ontstaat door de grafiek van g ten opzichte van de y-as met 1

3te vermenigvuldigen.

b. Als je de grafiek van k 2 omhoog verschuift krijg je de grafiek van m en als je hem 2 naar links verschuift krijg je de grafiek van n.

3.

a. De amplitude is 2, de periode 2 en de evenwichtsstand y 1. De grafiek van f is ontstaan uit de grafiek van y sin( )x door een verticale vermenigvuldiging met factor 2 en een verschuiving van 1 omhoog.

b. De amplitude is 2, de periode 1 3

2 _6

en de evenwichtsstand y 0. De grafiek van g is ontstaan uit de grafiek van y cos( )x door een verticale vermenigvuldiging met factor 2 en een horizontale vermenigvuldiging met factor 3.

c. De amplitude is 1, de periode 2 2

0,3 63 en de evenwichtsstand y 0. De grafiek van h is ontstaan uit de grafiek van y sin( )x door een horizontale

vermenigvuldiging met factor 1 0,3. d. De amplitude is 3, de periode 2

2 1 en de evenwichtsstand y 5. De grafiek van k is ontstaan uit de grafiek van y cos( )x door een verticale vermenigvuldiging met factor 3, een horizontale vermenigvuldiging met factor 1

2 en een verschuiving van 5 omhoog.

e. De amplitude is 5, de periode 2 ₂

  en de evenwichtsstand y 0. De grafiek van l is ontstaan uit de grafiek van y cos( )x door een verticale vermenigvuldiging met factor 5, een horizontale vermenigvuldiging met factor 1

 en een verschuiving van  naar rechts.

f. De amplitude is 1, de periode 2

0,4 5 en de evenwichtsstand y 0. De grafiek van m is ontstaan uit de grafiek van y sin( )x door een horizontale vermenigvuldiging met factor 1

0,4 2,5 en een verschuiving van 2 naar links.

4. a. y1sin( )x en 0 ( ) |1 X x d y y dx   . b. f x'( ) cos( ) x c. h x'( ) sin( )x . x y 0,5  1,5 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 g h f

5.

a. f x'( ) 5sin( )x

b. u x( ) 2 x en g u( ) 3 sin( )  u g x'( ) 2cos( ) 2cos(2 ) u  x

c. k x'( ) 1 cos( ) sin( )  x  x

d. u x( ) sin( ) x en _{l u( ) 3 u}2 _{l x'( ) cos( ) 6 x  u6 sin( )cos( )x x}

6. a. u x( ) 2 x en 1 2 ( ) cos( ) k u  u 1 2 '( ) 2 sin( ) sin(2 ) k x    u   x

b. h x( )x en u h( ) 3 sin( )h u x'( )   3cos( )h  3 cos( x) c. productregel: h x'( ) 3 sin(5 ) 3  x  x5cos(5 ) 3sin(5 ) 15 cos(5 )x  x  x x

d. productregel: 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

'( ) 2 cos( ) 2 sin( ) 2cos( ) sin( )

r x   x  x  x  x x x

e. productregel: q x'( )  3 cos(4 )x  3x 4sin(4 )x  3cos(4 ) 12 sin(4 )x  x x

f. productregel: _{p x'( ) 2 xsin( ) (x  x}2_{ 3) cos( )x}

7. a. f x'( ) 2cos( ) x b. 2cos( ) 1x  y  x b '(2 ) 2 2 0 2 2 4 2 4 f y x b b b y x               1 2 1 2 3 3 1 2 3 3 cos( ) 1 ( , 3) (1 , 3) x x  x         1 2 3 3 1 2 3 3 3 en 3 1 3 3 1 0,68 6,97 b b b b y x y x                   8. a. f'(0) 3 '( ) cos( ) '(0) 3 f x ab bx f ab    b. a5; en dan is 3 5 b . 9. a. f x( ) 0 sin( ) cos( ) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 x x x x      b. De periode van f is  .

c. De toppen van f liggen precies tussen de toppen van de andere twee grafieken. d. f is maximaal voor 1 4 x   k  . Het maximum is 1 1 1 1 4 4 4 2 ( ) sin( ) cos( ) f       f is minimaal voor 3 4 x   k  . Het minimum is 3 3 3 1 4 4 4 2 ( ) sin( ) cos( ) f        e. 1 2 ( ) sin(2 ) f x  x . 10. a. h x( ) 0 1 1 2 2 1 1 2 2 sin( 0,5) cos( ) 0 sin( 0,5) 0 cos( ) 0 0,5 0 2 0,5 2 2 1 2 0,5 2 0,5 2 2 1 2 x x x x x k x k x k x k x k x k x k x k                                                       

b. De toppen zitten precies tussen de nulpunten: het eerste maximum: 0,5 12 1 1

2 4 4 0,54

x         . Het eerste minimum:

1

2 0,5 3 1

2 4 4 2,11

x         . Het tweede maximum: 0,5 121 1 1

2 14 4 3,68

x         en

het tweede minimum bij 112 2 0,5 3 1

2 14 4 5,25

x       

c. Voor die x-waarden zijn de functiewaarden van f en g kleiner dan 1 en groter dan -1.

d. De periode van h is  .

e. Het maximum is 0,74 en het minimum -0,26: 0,74 0,26 1

2 2 A_  _{ en} 0,74 0,26 2 0,24 D_  _ De periode is  , dus _B 2 ₂ 

  . De grafiek snijdt de evenwichtsstand in x 0,68. 1

2

( ) sin(2( 0,68)) 0,24

h x  x 

f. Ja, het klopt!

11.

a. De periode van f en g is 2 ₂

  en de periode van h en m is 23  23. b. Als je de grafiek van h(x) 1

6 naar links verschuift ontstaat de grafiek van m. c./d. De grafiek van 1

4

sin(2( )) sin(2 )

y  x   x is een sinusoïde met amplitude 0,94 0,06 1 2 2 A_  _ En de grafiek van 1 6 sin(3 ) sin(3( ))

y  x  x  is ook een sinusoïde met amplitude 1 2.

12.

a. Een grafiek heeft verticale asymptoten als de noemer 0 wordt terwijl de teller dat niet wordt. 1 2 cos( ) 0x x  k      b. De periode van f is  .

c. f x( ) 0 Een breuk is 0 als de teller 0 is. sin( ) 0 0 x x k      d. sin( ) BC AC   en cos( ) AB AC   sin( ) BC AC  en ABACcos( ) sin( ) sin( ) tan( ) cos( ) cos( ) BC AC AB AC           13.

a. Voer in: y1tan( )x en y2 2 intersect: x  8,32

b. De periode van y tan( )x is  ; de tweede oplossing is x  8,32   5,18. c. f x( ) 2 voor



cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos ( ) sin ( ) 1 '( )

cos ( ) cos ( ) cos ( )

x x x x x x f x x x x         b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin( )

'( ) 1 1 tan ( )

cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos( )

x x x x x f x x x x x x        _{ }    

c. f'(0) 1 . In alle nulpunten van de grafiek is de helling 1. d. Een kwadraat is altijd groter of gelijk aan 0.

'( ) 0

f x  voor alle waarden van x, dus de grafiek van f is stijgend.

15.

a.

b. Het kwadraat van een getal (positief of negatief) is altijd positief.

c. Het maximum is 1 en het minimum 0: 1 0 1 2 2 D_  _{ en} 1 0 1 2 2 A_  _{ . De periode is  : B} 2 ₂    en het ‘startpunt’ ligt bij 1

4 x   . 1 1 1 2 4 2 ( ) sin(2( )) f x  x   d. 2 1 1 2 2 ( ) cos ( ) cos(2 ) g x  x  x  . 16.

a. s x'( ) 2sin( ) cos( ) 2cos( ) x  x  x  sin( ) 2sin( )cos( ) 2sin( )cos( ) 0x  x x  x x  b. De afgeleide is altijd 0.

c.

-17.

a. _{g x( ) 4 sin ( ) 4cos ( ) 4(sin ( ) cos ( )) 4} 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x }

2 2

2 2

2 2 2 2

( ) sin (3 ) cos (3 ) 1 ( ) sin (3 ) cos (4 )

( ) 3 sin (2 ) 3cos (2 ) 3(sin (2 ) cos (2 )) 3

h x x x j x x x k x x x x x          

b. _{m x( ) (1 cos( ))(1 cos( )) 1 cos( ) cos( ) cos ( ) 1 cos ( ) sin ( )  x  x   x  x } 2 _{x  } 2 _{x } 2 _x

18.

a./b. maximum: 1 en minimum: -1 1 1 2 0 D_  _{ en} 1 1 2 1 A_  _ De periode is  : _B 2 ₂    .

Op tijdstip t 0 is de grafiek minimaal. v x( ) cos(2 )x

c. u x( ) 2 x en v u( ) cos( )x v x'( ) 2sin( ) 2sin(2 ) u  x

d. De amplitude van v’(x) is 2, dus de maximale helling is 2.

19.

a. _{f x( ) 2cos ( ) 2cos( ) cos( )} 2 _{x  x  x}

b. De periode van beide termen is gelijk (2 ), dus het product is ook weer een sinusoïde.

c. maximum is 2 en het minimum 0: 2 0 2 1 D_  _{ en} 2 0 2 1 A_  _ de periode is  : _B 2 ₂ 

  en de grafiek is maximaal op tijdstip 0 ( ) cos(2 ) 1

f x  x 

d. Alleen het ‘startpunt’ is anders. Deze ligt bij 3

4 f x( ) sin(2( x34)) 1 e. _{s x( ) 3sin ( ) 2cos ( ) sin ( ) 2sin ( ) 2cos ( )} 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x } 2 _{x }

_{2(sin ( ) cos ( )) sin ( ) 2 sin ( )}2 _{x } 2 _{x } 2 _{x  } 2 _x

x y  - 0,5 1 1,5 -0,5

20.

a. De functie bestaat niet als de noemer 0 wordt: _{cos ( ) 0}2 _{x  .}

1 2 cos( ) 0x x  k      b. De periode van f is  . c. 2 2 2 2 sin ( ) sin( ) ( ) tan ( ) cos ( ) cos( ) x x f x x x x    _{ }    d. u x( ) tan( ) x en _{f u( )u}2 2 2 3

'( ) (1 tan ( )) 2 2tan( ) (1 tan ( )) 2 tan(x) 2tan ( )

f x   x  u x   x   x 21. a. f2(1) sin (1) 0,708 2  4 4(1) sin (1) 0,501 f   6 6(1) sin (1) 0,355 f   en 8 8(1) sin (1) 0,251 f  

Hoe groter de macht, hoe lager de functiewaarde bij bijvoorbeeld x 1.

b. Bij x 0, x, x 2 , ... zal de grafiek steeds meer horizontaal lopen en gaat in de buurt van 1 1

2 , 12 , ...

x   x   steeds steiler omhoog. c. B_f : 0 , 1





d. als a oneven is: B_f : 1, 1





22.

a. De periode van B is 0,4.

b. maximum: y 5,83 en het minimum: y  5,83: A5,83 en D0 De periode is 0,4: B 20,4 5 het ‘startpunt’ ligt bij x 0,33

( ) 5,83sin(5 ( 0,33))

B t   t

c. B t'( ) 5 5,83cos(5 ( t 0,33)) 91,6cos(5 (  t0,33)) d. De maximale snelheid van B is ongeveer 91,6 cm/sec

23. a. De periode van h is 2 3 2 ₃   . b./c. 2 2 2 3 3 3

( ) sin( ) 2sin( ) ( 2)sin( )

h x a x  x  a x

De amplitude is a2.

24. Het maximum is 3,68 en het minimum -3,68. 3,86 A en D0 De periode is 1 2 2 ₄   en het ‘startpunt’ x0,46 1 2 ( ) 3,86 sin( ( 0,46)) s x   x

25. De somgrafiek is geen sinusoïde want de amplitude verandert steeds.

26.

a. De periode van zowel y 3cos( )x als y 4 sin( )x

is 2 . Dus de somgrafiek is een sinusoïde. b. f x( ) 5cos( x0,93) x y 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 -1 -2

c. _{a 3}2_42 _{ 25 5 en} 1 4 3 tan ( ) 0,93 c _  _{ .} d. _{a 5}2_122 _{ 169 13 en} 1 5 12 tan ( ) 0,39 c _  _{ g x( ) 13cos( x0,39)} 27.

a. De periode is 0,4. De grafiek van y 5sin(5 )t is een kwart periode naar links verschoven.

Dat wil zeggen: r t( ) 5cos(5 ) t

( ) 3 sin(5 ) 5 sin(5 ( 0,1)) 3 sin(5 ) 5cos(5 )

B t  t   t   t  t b. _{a 3}2_52 _{ 34 en} 1 3 5 tan ( ) 0,54 c _  _ ( ) 34 cos(5 ( 0,54)) B t   t 28.

a. Bij een frequentie van 440 Hz is de periode 1

440. Dan is 1 440

2 ₈₈₀

B _  _{ }

en bij een frequentie van 880 Hz is de periode 1

880. Dan is 1 880 2 ₁₇₆₀ B _  _{ } . ( ) sin(880 ) sin(1760 ) f t  t  t b.

c. Omdat de periode van y sin(880 )t twee keer zo groot is als de periode van y sin(1760 )t .

29.

a. Voor t 2 geldt dat weer.

De gemeenschappelijke periode van f en g is 2 . b. De periode van h is 2 .

c. Omdat dan de grafieken van f en g zich dan weer herhalen.

30. De periode van f is 1 3 2 ₆   en de periode van g is 1 4 2 ₈   .

De grafiek van f herhaalt zich na: 6, 12, 18, 24, 30, … en de grafiek van g na: 8, 16,

24, 32, … De gemeenschappelijke periode is 24. 31. a. De periode van 1 5 sin( ) y  t is 1 5 2 ₁₀   (10, 20, 30, 40, …) en de periode van 2 15 sin( ) y  t is 2 15 2 ₁₅

  (15, 30, 45, 60, …). De gemeenschappelijke periode (en dus de periode van f) is 30.

De periode van y sin(0,5 )t is 0,52 4 en de periode van y sin(0,4 )t is 0,42 5. De gemeenschappelijke periode (en dus de periode van g) is 20 .

De periode van 1 4 sin( ) y  t is 1 4 2 ₈   (8, 16, 24, 32, …) en de periode van 1 6 sin( ) y  t is 1 6 2 ₁₂

  (12, 24, 36, …). De gemeenschappelijke periode (en dus de periode van h) is 24. b. x y 0,01 0 1 2 -1 -2 x y 5 10 15 20 1 2 3 -1 -2 -3 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 1 2 3 -1 -2 x y 5 10 15 20 25 30 35 1 2 -1 -2 f(t) g(t) h(t)

32.

a. De periode van f is 2

1 2 en de periode van g is 2 2. b. Er bestaat geen gemeenschappelijke periode van f en g. c.  is niet rationaal, dus niet als een breuk te schrijven.

33.

a. s x( ) sin(120 x) sin(110 x)

b. Vermoedelijk is de gemeenschappelijke periode 0,2. Dat kun je in de grafiek zien. De periode van de eerste term is 1

60 en van de tweede term 551 .

In





34.

a. Grafiek 1 hoort bij c  0,2.

b. Als c in de buurt van 0 komt geldt er:

( ) sin(2 ) sin(2 ( )) sin(2 ) sin(2 ) 2sin(2 )

s x  x   x c  x  x  x

c. Als de grafiek van f een halve periode wordt verschoven, dan heffen de twee sinusoïden elkaar op. Dan geldt: s x( ) 0 . Een hele periode is 1; dus s(x) is geen sinusoïde als c 0,5k, waarbij k een geheel getal is.

d.

-e. De grafiek van s snijdt de evenwichtslijn een kwart periode voor x0,35, en dat is dan bij x 0,35 0,25 1 0,1   . s x( ) 1,62sin(2 (  x0,1))

f. Als c 0.

35.

a. De periode van f is 2 en die van g is 2

3 . De somfunctie is dus geen sinusoïde. b. De gemeenschappelijke periode is 2 .

c./d.

e. Steeds meer termen 1_{sin( )} n nx erachter plakken met n oneven. 36. a. u x( ) sin( ) x en f u( ) u 1 cos( ) '( ) cos( ) 2 2 sin( ) x f x x u x    b. 12 1 2 3 1 6 2 2 '( ) 0,61 f   _  1 1 2 6 0,61 2 0,61 0,32 0,39 0,61 0,39 y x b b b b y x             

c. De afgeleide bestaat niet als de noemer 0 wordt, ofwel wanneer sin( ) 0x  . Dit is als x 0 en x  .

d. In de punten (0, 0) en ( , 0) heeft de grafiek van f een verticale raaklijn.

x y  2 3 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2 x y  2 3 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5 -2

37. a. y 0 b. y 0 2 1 3 5 50 sin( ) 0 ( 5 25 3) 0 0 5 25 3 5 3 t t t t t t t            2 5 50 sin( ) 0 5 ( 10 sin( )) 0 0 10 sin( ) t t t t t t            

Na 5 3 8,7s komt het voorwerp weer op de grond. De horizontale afstand is

1 3

50 5 3 cos( ) 125 3 216,5 m.

c. s 50 10 sin( ) cos( ) 500 sin( )cos( )      

d. _{s' 500cos( ) cos( ) 500 sin( )       sin( ) 500cos ( ) 500sin ( ) } 2 _{ } 2 _

2 2 1 4 ' 0 cos ( ) sin ( ) s       

s is maximaal 500 meter als 1 4   .

T-1.

a. amplitude is 4 en de evenwichtsstand y 1. De periode is 2 3 . b. R t'( ) 4 sin(3 ) 3t   12sin(3 )t

T-2.

a. Om dat de periode van zowel f als g gelijk is aan  . b. p x( ) 0 1 3 1 1 3 3 1 1 1 2 6 3 sin(2 ) 0 sin(2 ) 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 x x x k x k x k x k x k x k x k x k                                                     c. Voer in: 1 1 sin(2 ) sin(2 3 ) y  x  x  maximum: 1 3 6 4 ( , ) en minimum: (1.31, 1 4  ) De periode van p is  , dus de andere toppen liggen bij 1

6 x    k  en 1,31 x   k  e. 0,75 0,25 2 0,25 D_  _{ en} 0,75 0,25 2 0,5 A_  _{ . De periode is  : B} 2 ₂    en het ‘startpunt’ is bij x 0,13 p x( ) 0,5 sin(2( x0,13)) 0,25

T-3.

a.

b. _{0 (sin( )) x} 4 _{1, maar  1 (cos( ))x} 5 _{1 en ze} heffen elkaar niet op.

c.

-T-4.

a. De periode van zowel f als g is 2 2 3  3. De grafiek van de som is een sinusoïde.

b. De periode van s is dan ook 2 3 .

c. maximum: 6,16 en minimum: -6,16 D0 en A6,16 3

B  en het ‘startpunt’ is 1,90 s x( ) 6,16 sin(3( x1,90))

T-5. a. De periode is 18. b. De periode van f is 1 3 2 ₆   .

c. Als de periode van g 3 of 6 zou zijn, dan was de gemeenschappelijke 6 geweest en geen 18. Zou de periode van g 12 zijn dan was de gemeenschappelijke periode ook 12.

d. De periode van g moet wel een deler zijn van 18. Voor de periode van g houden we dus over: 9 of 18. e. 2 9 ( ) 2sin( ) g x  x T-6. a. De periode van f is 1 2 2 ₄   en die van g is 1 5 2 ₁₀

  . De somgrafiek is dus geen sinusoïde. b. De gemeenschappelijke periode is 20. x y 0,5  1,5 2 1 2 -1 -2

T-7. a. Nee, 1 10 1 10 sin(2 ) sin(2 ) ( ) tan(2 ) cos(2 ) cos(2 ) x x g x x x x    b. cos(2 ) 0x  1 1 2 2 3 1 4 4 2x k 2 2x 1 k 2 x k x k                       c. f x( ) 1 d. f x( ) 100 1 2 tan(2 ) 10 2 1,47 0,74 0,74 2,31 x x k x k x x             1 2 1 4 tan(2 ) 1000 2 1,57 0,78 ( ) 100 : 0.78 , x x k x k f x            T-8.

a. De som van twee sinusoïden met dezelfde periode wordt een sinusoïde, ook weer met dezelfde periode. De som van deze sinusoïde en de derde sinusoïde (beide met dezelfde periode) wordt dus weer een sinusoïde met dezelfde periode. b. De periode van y sin( )x is 2 en die van y sin(x) is 2. Deze twee hebben