Wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden ...

(1)

Wiskunde leren vanuit

abstracte voorbeelden:

hoe overtuigend zijn de

resultaten van Kaminski?

Dirk De Bock, Johan Deprez,

Wim Van Dooren, Michel Roelens,

Lieven Verschaffel

(2)

Over onszelf

• Johan Deprez

♦ docent wiskunde, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL)

♦ docent/praktijkassistent, lerarenopleiding

wiskunde Universiteit Antwerpen en KULeuven ♦ redactielid Uitwiskeling

• Dirk De Bock

♦ docent wiskunde en coördinator onderzoeksgroep Educational Research & Development, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL) ♦ wetenschappelijk medewerker aan het Centrum

voor Instructiepsychologie en –technologie (Departement Pedagogische Wetenschappen, KULeuven)

♦ praktijkassistent lerarenopleiding wiskunde KULeuven

(3)

(4)

(5)

Les exemples sont mauvais

pour l’apprentissage des

mathématiques

(6)

(7)

(8)

(9)

Dieper graven…

(10)

Inleiding

krantenartikels gebaseerd op

• doctoraatsverhandeling

Kaminski, J. A. (2006). The effects of concreteness on learning, transfer, and representation of mathematical concepts.

• reeks onderzoeksartikelen

…

Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., &

Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning

math. Science, 320, 454–455. …

(11)

Kaminski et al.

• stellen ter discussie dat wiskundeleren ‘van

concreet naar abstract’ verloopt

“Instantiating an abstract concept in concrete contexts

places the additional demand on the learner of

ignoring irrelevant, salient superficial information,

making the process of abstracting common

structure more difficult than if a generic

instantiation were considered”

(Kaminski, 2006, p. 114)

• voerden een reeks van gecontroleerde

experimenten uit met (voornamelijk)

bachelorstudenten in de psychologie

(12)

Kaminski et al.

• uit het besluit (Kaminski et al., 2008, p. 455)

“If the goal of teaching mathematics is to produce

knowledge that students can apply to multiple

situations, then representing mathematical

concepts through generic instantiations,

such as traditional symbolic notation, may

be more effective than a series of “good

examples”.”

(13)

Kritische reacties van collega’s

onderzoekers

• in Educational Forum en e-letters in Science:

♦ Cutrona, 2008

♦ Mourrat, 2008

♦ Podolefsky & Finkelstein, 2008

♦ …

• research commentary door Jones in Journal for

Research in Mathematics Education (2009)

• informele reacties

♦ McCallum, 2008

♦ Deprez, 2008

(14)

In deze presentatie

1. Inleiding

2. Commutatieve groepen van orde 3

3. De studie van Kaminski et al.

4. Enkele belangrijke elementen van kritiek

1. Onfaire vergelijking

2. Wat hebben leerlingen precies geleerd? 3. Transfer naar orde 4

4. Kunnen de resultaten van Kaminski veralgemeend worden? 5. Enkele andere elementen van kritiek

5. Nieuw empirisch onderzoek door De Bock et al.

6. Algemene discussie

(15)

Commutatieve groepen van

orde 3

(16)

Commutatieve groep met 3 elementen

• een verzameling G met 3 elementen …

bijvoorbeeld ♦ {0,1,2}

♦ {r120°, r240°, r0°} , waarbij r120° staat voor een rotatie over 120°

♦ {a, b, c} met a, b en c niet verder gespecificeerd

• voorzien van een bewerking * …

♦ {0,1,2}: optelling modulo 3, bijvoorbeeld: 2+2=1 ♦ {r120°, r240°, r0°}: pas rotaties achtereenvolgens toe,

bijvoorbeeld: eerst r120°, daarna r240° geeft r0°

♦ {a, b, c}: de bewerking wordt gegeven door een 3 bij 3 tabel

(17)

Commutatieve groep met 3 elementen

• een verzameling G met 3 elementen …

• voorzien van een bewerking * …

• die voldoen aan volgende eigenschappen:

♦ commutativiteit: x*y=y*x voor elke x en y in G

♦ associativiteit: (x*y)*z=x*(y*z) voor elke x, y en z in G

♦ bestaan van een neutraal element: G bevat een element n waarvoor x*n=x=n*x voor elke x in G ♦ bestaan van inversen: voor elk element x in G is er

een element x’ waarvoor x*x’=n=x’*x

de twee voorbeelden zijn isomorfe groepen

alle groepen van orde 3 zijn isomorf

0

1

2

(18)

(19)

Basisexperiment in Kaminski et al.

(80 bachelorstudenten)

Fase 1:

Instructiedomein

studie + toets

Fase 2:

Transferdomein

presentatie + toets

T: Kinderspel A: Kleitabletten van archeologische site C: Maatbekers

(20)

Fase 1

• studie:

♦ inleiding ♦ expliciete presentatie van de regels d.m.v. voorbeelden ♦ opgaven met feedback ♦ complexe voorbeelden ♦ samenvatting van de regels

• leertoets: 24

meerkeuzevragen

(21)

Fase 2

• presentatie

♦ Inleiding tot het spel

♦ “De regels van het systeem dat je leerde zijn zoals

de regels van het spel.”

♦ 12 voorbeelden van combinaties

• transfertoets

(22)

Resultaten

• leertoets: A = C

(23)

Belangrijke elementen van

kritiek

(24)

1. Onfaire vergelijking

• Kaminski controleerde voor “superficial

similarity”

(andere) bachelorsstudenten lazen beschrijvingen

van T-A or T-C, maar werden niet getraind in de

regels

“similarity ratings” laag

geen significante verschillen tussen T-A vs. T-C

• kritieken: onfaire vergelijking t.g.v. “deep

level similarity” tussen T en A

(McCallum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008;

Jones, 2009a, 2009b; Mourrat, 2008, Podolefsky &

Finkelstein, 2009)

A

C

(25)

1. Onfaire vergelijking

1. rol van voorkennis

A en T:

♦ ‘willekeurige’ symbolen

♦ bewerkingen bepaald door formele regels

♦ boodschap: maak geen gebruik van voorkennis!

C: fysische/numerieke referent

♦ fysische/numerieke referent voor de symbolen ♦ fysische/numerieke referent voor de bewerkingen ♦ boodschap: voorkennis kan nuttig gebruikt worden!

A lijkt veel meer op T dan C

A

C

(26)

1. Onfaire vergelijking

2. centrale wiskundige concept

A en T: commutatieve groep

(commutativiteit, associativiteit, bestaan van een neutraal element, bestaan van inverse elementen)

C: expliciet gecommuniceerd (commutatieve groep) vs. impliciet gecommuniceerd (modulaire optelling) beide zijn betekenisvolle wiskundige concepten

… maar verschillend!

♦ _{2 en 3 elementen: groep bepaald door modulaire optelling is} de enige groep

♦ _{n elementen, n>3, niet priem: ook andere groepen dan de} groep bepaald door modulaire optelling

A en C leren verschillende concepten!

concept geleerd in A is beter bruikbaar voor T

A

C

(27)

1. Onfaire vergelijking

3. structuur

A : neutraal elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b

♦ {n,a,b},

♦ (1.1) a+a=b, ♦ (1.2) b+b=a

♦ (1.3) a+b=b+a=n

C: symmetrie verbroken (1 vs. 2), één generator a

♦ {n,a,b}

♦ (2.1) a+a=b ♦ (2.2) a+a+a=n

equivalent, maar focus op verschillende aspecten A/C leerden/negeerden verschillende aspecten

structuur T = structuur A ≠ structuur C

A

C

T

1+1=2

1+1+1=3

(28)

2. Wat leerden de studenten precies?

• Meerkeuzetoetsen tonen enkel het eindresultaat, maar

niet hoe dat antwoord werd gevonden.

• Wat leerden de studenten?

♦ een set van specifieke regels? ♦ modulaire optelling?

♦ groepseigenschappen (commutativiteit, …)? ♦ …

• Is er enige evidentie van een bewuste toepassing van

groepseigenschappen of modulair optellen?

Met commutativiteit, … is men ook vertrouwd vanuit het rekenen met (gewone) getallen!

De proefpersonen kennen geen rekensystemen waarin commutativiteit, … niet gelden: daardoor hebben ze een evident karakter.

(29)

3. Transfer naar groep van orde 4

• een experiment uit doctoraat van Kaminski

waarover niet gerapporteerd wordt in Science

en andere tijdschriften

• onze interpretatie van de resultaten van dit

experiment

• transfertoets over een groep van orde 4: zie

volgende slide

(30)

(31)

3. Transfer naar groep van orde 4

• eerste instructiedomein nieuwe experiment

= A-instructiedomein uit het basisexperiment

(kleitabletten uit een archeologische site)

• resultaten op de orde-4-transfertoets niet

beter dan puur gokken

• transfer vanuit A-instructiedomein blijkt erg

beperkt! ( affirmatieve titel van Kaminski et

al. in Science)

(32)

3. Transfer naar groep van orde 4

• tweede instructiedomein nieuwe experiment

= A-instructiedomein uit het basisexperiment

+ ‘relational diagram’

• goede resultaten op de orde-4-transfertoets

• diagram communiceert het cyclische karakter

van de groep (equivalent met modulaire

(33)

3. Transfer naar groep van orde 4

• derde instructiedomein nieuwe experiment is

een concreet instructiedomein met een

‘grafische voorstelling’

• goede resultaten op de orde-4-transfertoets

• ook vanuit een concreet instructiedomein

(34)

3. Transfer naar groep van orde 4

De experimenten van Kaminski et al geven een

meer genuanceerd beeld dan de beweringen in

het artikel in Science!

(35)

4. Kunnen de resultaten van Kaminski

veralgemeend worden?

• Kaminski et al. in Science, 2008, p. 455

“Moreover, because the concept used in this research involved basic mathematical principles and test questions both novel

and complex, these findings could likely be generalized to other areas of mathematics. For example, solution strategies may be less likely to transfer from problems involving moving trains or changing water levels than from problems involving only variables and numbers.”

• veel onderzoekers spraken hun twijfel uit

• een heel specifieke vraag i.v.m. generaliseerbaarheid:

Is het mogelijk om een instructiefase te ontwerpen in de stijl van Kaminski voor wiskundige objecten die een klein beetje complexer zijn, namelijk de cyclische groepe van orde 4 en meer?

(36)

4. Kunnen de resultaten van Kaminski

veralgemeend worden?

• instructiefase in de stijl van Kaminski voor cyclische

groepen van orde 4 en meer?

• orde 3 : neutr. elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b

♦ {n,a,b},

♦ (1.1) a+a=b, ♦ (1.2) b+b=a

♦ (1.3) a+b=b+a=n

• Cayleytabel van een commutatieve groep van orde 3

n a b n a b n a b n n a b a a b b n a b n n a b a a b n b b a n a b n n a b a a b n b b n a

(37)

4. Kunnen de resultaten van Kaminski

veralgemeend worden?

• instructiefase in de stijl van Kaminski voor cyclische

groepen van orde 4 en meer?

• Cayleytabel voor een cyclische groep van orde 4

(een van de twee groepen van orde 4)

♦ 16 cellen

♦ nog 9 cellen in te vullen na regel van het neutrale element ♦ 3+2+1 = 6 specifieke regels

♦ 3 cellen door toepassing van commutativiteit

n a b c n a b c n a b c n n a b c a a b b c c n a b c n n a b c a a b c n b b n a c c b n a b c n n a b c a a b c n b b c n a c c n a b

(38)

4. Kunnen de resultaten van Kaminski

veralgemeend worden?

• Cyclische groepen van orde …

♦ … 5 : 4+3+2+1 = 10 specifieke regels ♦ … 6 : 5+4+3+2+1 = 15 specifieke regels ♦ 7, 8, 9, … : 21, 28, 36, … specifieke regels

• Onze empirische studie : proefpersonen uit de

A-conditie van Kaminski’s basisexperiment pasten

voornamelijk de specifieke regels toe

• Wellicht leidt een A-instructiedomein in de stijl van

Kaminski voor cyclische groepen van orde 4 of meer

niet tot succesvol leren of succesvolle transfer

n a b c

n n a b c

a a b c n

b b c n a

(39)

5. Enkele andere elementen van

kritiek

• Transfer in experimenten van Kaminski is

♦ nabije transfer (voor de A-conditie)

♦ onmiddellijke transfer ( op lange termijn) ♦ uitgelokte transfer ( spontaan)

…  transfer in een echte onderwijssituatie!

• Concrete instructiefase  goede contextrijke

wiskundeles:

♦ erg gekunstelde contexten ♦ geen abstraheringsfase

♦ de regels zijn niet functioneel (je gebruikt voorkennis i.p.v. regels) en worden dus niet geleerd

(40)

Een empirische studie door

De Bock et al.

(41)

Methode

• Subjecten: 130 bachelorsstudenten in de

pedagogische wetenschapen

• Twee fasen

(1) instructiefase: studie en toets

(2) transferfase: presentatie en toets

• Vier experimentele condities

(A = abstract, C = concreet)

♦ _{AA, CA, AC, and CC}

♦ _{AA and CA: “Kaminski condities”}

(42)

Methode

Operationalizering van de domeinen

• A-instructie:

kleitabletten van archeologische site

• A-transfer: kinderspel

• C-instructie: maatbekers

• C-transfer: pizza’s

(stukken pizza die zich op dezelfde manier gedragen

als de maatbekers)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

Methode

In alle condities:

Juist voordat de toets (op het einde van de

instructiefase) werd afgenomen, werd een

samenvatting van de regels gepresenteerd.

(48)

(49)

Methode

Toets op het einde van de instructiefase

(50)

(51)

(52)

Methode

Tweede belangrijk verschilpunt met Kaminski’s

procedure:

Open vraag op het einde van de instructiefase

Bijv., na de “concrete” instructie:

Wat komt er op de plaats van het vraagteken?

Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit

gevonden hebt.

(53)

Methode

Of na de abstracte instructie:

Wat komt er op de plaats van het vraagteken?

Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit

gevonden hebt.

Volledige experiment

♦ individueel

♦ twee fasen onmiddellijk na elkaar

♦ eigen tempo

♦ computer

(54)

Methode - Analyse

• Scores op instructie- en transfertest:

statistische analyse (ANOVA + Tukey HSD) na

verwijdering van een aantal ‘outliers’

(volgens eenzelfde procedure als Kaminski)

• Verklaringen ‘open vraag’:

scoringssystem ontwikkeld en toegepast op

de data door twee onafhankelijke

(55)

Methode - Analyse

Scoringssysteem

• Analyse-eenheid = verklaring van een

deelnemer

• Vier hoofdcategorieën:

♦ G (Groep)

♦ M (Modulo)

♦ R (Regels)

♦ N (Niet)

• Subcategorieën:

♦

G

1

, G

2

, G

3

, G

4

♦

M

1

, M

2

• Scores: 2, 1 of 0

(56)

Methode - Analyse

Scoringssysteem

• 2 = formulering op algemeen niveau

Voorbeelden

♦ “volgorde doet er niet toe”

♦ “als je een vlag combineert met een ander

symbool dan krijg je altijd dat andere symbool”

♦ “2 + 2 = 4 – 3 = 1”

• 1 = ondubbelzinnige toepassing

• 0 = anders

(57)

Resultaten – Kwantitatieve resultaten

• Instructietoets: AC < CA, CC

• Transfertoets: CA < AA, AC, CC en AC < CC

Conditie

Gemiddelde en standaarddeviatie van de toetsscores (Max = 24) Instructietoets Transfertoets AA (N = 23) 17.1 (3.9) 18.1 (3.8) AC (N = 30) 15.3 (3.5) 17.4 (4.2) CA (N = 28) 18.5 (2.9) 12.0 (4.3) CC (N = 24) 18.3 (3.5) 20.2 (2.4)

(58)

Resultaten – Kwantitatieve resultaten

• Kaminski bevestigd (transfertoets: AA > CA)

• Omgekeerde geldt ook (transfertoets: CC > AC)

• Ondanks AC < CX (instructietoets), AC = AA

(transfertoets): studenten lijken “modulo 3

rekenen” te “leren” met weinig of geen hulp van

de instructieconditie

(59)

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• Letterlijk herhalen van combinatieregels

• Formuleringen van groepseigenschappen op

algemeen niveau komen nauwelijks voor

(ondanks het feit dat expliciet werd gevraagd om “zo precies

Instructie -domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 A (N = 66) 2 0 6 0 0 0 0 – – 1 16 43 0 3 0 0 11 0 50 17 66 63 66 66 4 55 62

(60)

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• Toepassing van “modulo 3” rekenen door ongeveer de

helft van de deelnemers (geen expliciet doel van

instructieomgeving!)

• In sommige gevallen: zonder referentie naar de context

• …

Instructie domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 C (N = 52) 2 0 0 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38

(61)

Resultaten – Kwalitatieve resultaten

• …

• Pure herhalingen van combinatieregels komen zelden voor

• Enkele spontane toepassingen van groepseigenschappen

(hoewel minder dan in de A-instructiegroepen)

Instructie domein Score G M R N G1 G2 G3 G4 M1 M2 C (N = 52) 2 0 0 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38