Hoofdstuk 3:
Verdelingen.
V_1.a. 7 5 8 17 9 34 ... 16 7 17 0 18 1 130
s 10,86
b. modale score (meest voorkomende score): 9 mediaan (gemiddelde van de 65e en 66e score): 10
c. kwartielafstand (98e - 33e waarneming): 13 9 4
d. V_2.
a. Voer in: L1(score): 7, 8, 9, …, 18 en in L2(frequentie): 5, 17, 34, …, 1
1-var stats L1, L2: x 10,86 (gemiddelde) 2, 49 (standaardafwijking)
n 130 (aantal waarnemingen) b. 8.37,13.35 : 34 12 6 17 21 130 100 69% c. 2 7 0 1 130 P(s 14) 0,0769 V_3. a. 5 4 3 2 11 10 9 8 P(X 0) 0,0152 6 5 4 3 11 10 9 8 6 5 5 4 11 10 9 8 6 5 4 5 11 10 9 8 6 5 4 3 11 10 9 8 P(X 1) 4 0,1818 P(X 2) 6 0,4545 P(X 3) 4 0,3030 P(X 4) 0,0455 b. E(X) 0 0,0152 1 0,1818 2 0,4545 3 0,3030 4 0,0455 2,18
c. Als je van 4 knikkers er 2,18 witte verwacht dan zal de rest 1,82 wel rood zijn. V_4.
a. P(C 7) 0,30 0,15 0, 45 45% van de studenten scoort hoger dan een 7.
b./d.
c. gemiddelde 5 0,10 6 0,15 7 0,30 8 0,30 9 0,15 7,25 V_5. E 0 0,41 1 0,26 2 0,12 ... 6 0,01 1,27
V_6.
a. S kan de waarden 2, 3, 4, …, 9 en 10 aannemen. b. c. 1 2 3 1 24 24 24 24 E 2 3 4 ... 10 6 d. 1 1 1 1 1 6 6 6 6 2 E(D) 1 2 3 ... 6 3 en 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 E(V) 1 2 3 4 2 e. Ja. 1.
Uitwerkingen vwo A dl 3, hoofdstuk 3 1
-score 2 4 6 8 10 frequentie 1 2 3 3 2 0 x 0 1 2 3 4 P(X=x) 0,0152 0,1818 0,4545 0,3030 0,0455 steen 2 1 2 3 4 5 6 st ee n 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 kans 1 24 242 243 244 244 244 243 242 241
a. b. x15, x2 3 en x3 9 c. 1 2,05, 2 1 en 3 1 2. a. P(10 punten) 40 120 ... 360 40 0,040 b. c. 4 keer. d. E(S) 10 0, 04 8 0,12 6 0,20 4 0,28 2 0,36 4, 4 3. a. E(S ) 1 0,36 3 0,28 5 0,20 7 0,12 9 0,04 3, 4A b. E(S ) 1 0,36 2 0,28 3 0,20 4 0,12 5 0, 04 2,2B c. SA S 1 en E(S ) E(S) 1A 1 1 B 2 B 2 S S en E(S ) E(S) 4.
a. De schutter mikt met succes op de buitenste ring. b. Hoog gemiddelde en een kleine standaardafwijking. 5. a. S 4, 4 en 2,33 b. 2,33 c. -6.
a. Als je 4 keer een bal trekt met teruglegging, kun je dus 0, 1, 2, 3 of 4 rode ballen trekken. b. Er zijn elke trekking maar twee alternatieven: rood of niet rood en de kans op een rode bal
blijft elke keer 0,6.
c. Voer in: y1binompdf(4, 0.6, X) en kijk in de tabel: d. E(X) 4 0,6 2,4 4 0,6 0, 4 0,98 s 10 8 6 4 2 kans 0,04 0,12 0,20 0,28 0,36 som=1 S 2 4 6 8 10 freq. 90 70 50 30 10 X 0 1 2 3 4 Kans 0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296
7.
a. P(X 1) 13 0,05 0,951 2 0,1354
b. Voer in: y1binompdf(3, 0.05, X) kijk in de tabel:
8.
a. X is het aantal goed beantwoorde vragen n 20, p 0,25
P(X 11) binompdf(20, 0.25, 11) 0,0030
b. meer dan 50 punten: P(X 15) 1 P(X 15) 1 binomcdf(20, 0.25, 15) 0,0000
minder dan 30 punten: P(X 5) P(X 4) binomcdf(20, 0.25, 4) 0,4148
De kans op meer dan 50 punten is kleiner dan de kans op minder dan 30 punten. c. P(Berend slaagt) P(X 11) 1 P(X 10) 1 binomcdf(20, 0.25, 10) 0,0039 9. a. P(X 10) 15 0,210 0,85 binompdf(15, 0.2, 10) 0,0001 10 b. P(X 12) binomcdf(15, 0.2, 12) 1,0000 c. P(X 8) 1 P(X 7) 1 binomcdf(15, 0.2, 7) 0,0042 d. P(6 X 9) P(X 9) P(X 5) binomcdf(15, 0.2, 9) binomcdf(15, 0.2, 5) 0,0609 e. P(X 4) 1 P(X 4) 1 binomcdf(15, 0.2, 4) 0,1642 f. P(2 X 5) P(X 4) P(X 1) binomcdf(15, 0.2, 4) binomcdf(15, 0.2, 1) 0,6686 10.
a. X is het aantal geslaagde operaties n 12, p 0,80
P(X 8) 1 P(X 7) 1 binomcdf(12, 0.80, 7) 0,9274
b. P(X 8) binompdf(12, 0.80, 8) 0,1329
c. E 12 0,80 9,6 . Bij 9 á 10 mensen zal de transplantatie slagen. 11.
a. y1 binompdf(3, 0.5, X):
b. E(X) 1,5 en 0,866
c. Bij 100 keer gooien verwacht ik dat ‘munt’ 50 keer boven komt. En bij 800 keer gooien 400 keer d. E n p
e. 1 1
2 2
E 3 (1 ) 0,866 ; klopt.
f. Voor de kansverdeling: y1 binompdf(8, 0.5, X)
Voer in: L1: 0, 1, 2, …, 8 en L2: 0.0039, 0.0313, 0.1094, …, 0.0039
1 var stats L1, L2: x 4 en 1, 414 de regel klopt.
12. a. 1 1 5 6 6 6 E 120 20 en 120 4,082 b. E 100 0,2 20 en 100 0,2 0,8 4 x 0 1 2 3 kans 0,8574 0,1354 0,0071 0,0001 x 0 1 2 3 kans 0,125 0,375 0,375 0,125
13.
a. P(X 20) binomcdf(500, 0.10, 20) 0,0000
b. Ik verwacht 500 0,10 50 defecte auto’s in de winkel.
c. 500 0,10 0,90 6,71
d. P(43,29 X 56,71) P(X 56) P(X 43) 0,6677 14.
a. P(X 5) P(113 of 131 of 311 of 122 of 212 of 221) 2166
b. P(X 3) 61 366 en P(S 6) P(15 of 24 of 33 of 42 of 51) 365 . De kans op het gooien van een 3 met één dobbelsteen is groter.
c. De totale oppervlakte van de gele staven is bij alle drie 1. De verdelingen zijn symmetrisch
d. De hoogteverschillen tussen de staafjes zal steeds kleiner worden. Het aantal staafjes zal meer worden.
15. a.
b. De vorm blijft hetzelfde alleen zullen de verschillen kleiner zijn.
c. Nee, de grafiek zal drie toppen moeten hebben. 16.
a. discreet; de cijfers worden afgerond op één decimaal. b. continu: de duur is willekeurig. Discreet is ook te
verdedigen; de broedperiode zal gegeven worden in een aantal dagen.
c. continu: het gewicht kan elke waarde aannemen. Ik neig weer naar een discrete variabele; in het algemeen zal het gewicht gegeven worden in een geheel aantal grammen.
d. Ook bij de lengte is beide is mogelijk. Ik neig meer naar discreet: zie c. e. discreet; er zijn alleen maar een geheel aantal pitten.
f. discreet; er worden maar een bepaald aantal cijfers gegeven. Bij de kwikthermometer zal het wel continu zijn, maar dan moet je wel heel nauwkeurig gaan aflezen. Dus eigenlijk ook discreet. 17. discreet: jaartallen en aantal jaarringen
continu: hoogte, dikte, gewicht en hoeveelheid hout. De continue variabelen zouden ook discreet kunnen zijn. 18.
a. De lengte zal wel symmetrisch verdeeld zijn: verdeling 2. Verdeling 1: gewicht. (meer uitschieters naar boven.)
19.
a. Het gewicht is een continue variabele.
b./c. Het gemiddelde ligt bij de top: 4,2 gram. Vanwege de symmetrie zal daar de mediaan ook zijn. d. Er zitten meer waarnemingen rond het gemiddelde. Een potlood met een gewicht tussen 3,2 en
3,6 gram is meer een uitzondering.
d. De oppervlakte onder de grafiek tussen 4 en 4,4 gram is groter. 20.
a. De variabele is continu.
b. Die gaat er steeds symmetrischer uitzien en gaat steeds meer lijken op een klokvormige kromme.
c. De groep is te klein. Je kunt geen heel fijne verdeling maken. d. 1 1 6 23 48 3000 100% 2,63%
e. De modus (meest voorkomende); 65 mediaan (1501e crimineel): 65
Het gemiddelde zit in de klasse 66.
f. 62,9 L 68,1 : 0,6 317 393 462 458 413 0,6 269 3000 100% 69,2% g. 60,3 L 70,7 : 0,2 48 90 175 ... 177 97 0,2 46 3000 100% 95,5% 21. a./b. rooksters: 2,8 G 3,8 : 3019100% 63% en 2,3 G 4,3 : 2830100% 93% niet-rooksters: 3,16 G 4, 44 : 2030100% 67% en 2,52 G 5,08: 2930100% 97% 22.
a. Voer de klassenmiddens in: stat optie 1 (edit) en ook de frequentie in de tweede kolom. In de derde kolom: L3 (relatieve frequentie) enter = L2 / 400 * 100 enter
b. 1e vuistregel: 104,1 ;107,1 0,9 92 122 62 0,1 50 400 100% 68% lengte 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5 105,5 106,5 107,5 108,5 109,5 # rollen 2 3 6 37 92 122 62 50 20 6 rel. freq. 0,5 0,75 1,5 9,25 23 30,5 15,5 12,5 5 1,5
2e vuistregel: 102,6 ;108,6 0,4 6 37 92 122 62 50 0,6 20400
100% 94%
De beide vuistregels kloppen redelijk. c. Het frequentiepolygoon is bovendien enigszins klokvormig.
d. De piek ligt hoger en de kromme wordt smaller.
e. Gemiddeld 5,6 m per rol te veel. Per dag is dat ongeveer 9000 5,6 50400 m.
23. De verdelingen 1 en 2 hebben beide een gemiddelde rond de 30. De spreiding van verdeling 2 is groter. Dus 1: Norm(32, 3) en 2: Norm(30, 10). De verdelingen 3 en 4 hebben beide een
gemiddelde in de buurt van 40, maar de spreiding van 3 is kleiner. Dus 3: Norm(41, 5) en 4: Norm(40, 18). De verdelingen 5 en 6 hebben beide een gemiddelde rond de 65. De spreiding van verdeling 6 is groter. Dus 5: Norm(65, 5) en 6: Norm(63, 10).
24.
a. D S 100
b. De kromme wordt 100 naar rechts verschoven: E(D) E(S) 100
c. Door de verschuiving verandert er niets aan de spreiding: (D) (S)
d. Alle waarnemingen worden met 1,03 vermenigvuldigd: de kromme wordt horizontaal uitgerekt.
E(D) 1,03 E(S) en (D) 1,03 (S) 25. a. XA 10 (X 1) 10 X 10 A A E(X ) 10 E(X) 10 10 4, 4 10 34 en (X ) 10 (X) 10 2,33 23,3 b. XB X 3 B B E(X ) E(X) 3 4, 4 3 7, 4 en (X ) (X) 2,33 26. E(F) 1,8 E(C) 32 1,8 25 32 77 en (F) (1,8 C) 1,8 (C) 1,8 2,5 4,5 27. a. Ze zijn onafhankelijk. b. 1 1 2 1 E(X ) 1,75, (X ) 0,83 en E(X ) 2,5, (X ) 1,12 c. d. E(X1X ) 4,25 en (X2 1X ) 1,392 e. E(X1X ) 4,25 1,75 2,5 E(X ) E(X )2 1 2 f. (X )1 (X ) 0,83 1,12 22 (X1X )2 g. 2 2 2 1 2 1 2 (X ) 0,6875, (X ) 1,25 en (X X ) 1,9375 2 2 2 1 2 1 2 (X X ) 1,9375 0,6875 1,25 (X ) (X ) 28. x1 1 2 3 kans 0,5 0,25 0,25 x2 1 2 3 4 kans 0,25 0,25 0,25 0,25 s 2 3 4 5 6 7 kans 0,125 0,1875 0,25 0,25 0,125 0,0625 som=1
a. 68% wijkt één standaarddeviatie van het gemiddelde af: de vraag schommelt tussen 276 en 338 liter.
b. Bij cola light schommelt dat tussen 53 en 77 liter. c. E(cola light) E(cola) E(light) 372
29. a.
b. E(X) 3 302 4 302 ... 25 302 14 (X) 6,41 c. Nee, de twee trekkingen zijn afhankelijk van elkaar.
30. a.
1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6
E(X) 1 2 3 4 5 6 3,5 en (X) 1,71
b. De uitkomsten van 2X1 zijn 2, 4, 6, 8, 10 en 12. En de uitkomsten van X X1 2 zijn 2, 3, 4, ……, 11
en 12.
c. E(X X1 2X ) E(X ) E(X ) E(X ) 3,5 3,5 3,5 10,53 1 2 3 en
2 2 2
1 2 3
(X X X ) 1,71 1,71 1,71 2,96
31.
a. E(X ) E(X ) ... E(X ) 3,51 2 10 en (X )1 (X ) ...2 (X ) 1,7110
b. E(S) E(X X 1 2 ... X ) E(X) E(X) ... E(X) 10 E(X) 3510
c. (S) ( (X)) 2 ( (X))2 ... ( (X))2 10 ( (X)) 2 10 ( (X)) 2 10 (X) d. (S) 10 1,71 5, 41 32. a. P(x 4) 365 (zie uitkomstentabel) b. c. E(x) 3,5 en (x) 1,21 d. E(x) E(X)
Tja, dat kun je niet verzinnen: (x) (X) 2
(of toch?)
33.
a. Het 5 keer draaien met een kanstol is onafhankelijk.
E(S) 5 23,75 118,75 en (S) 5 32,19 71,98 b. E(x) 23,75 en (x) 15 32,19 14, 40 X 3 4 5 12 13 14 kans 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 1 1 4 6 5 30 4 1 1 6 6 5 30 6 X 15 16 23 24 25 kans 1 1 4 6 5 30 4 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 1 1 2 6 5 30 2 X1 1 2 3 4 5 6 kans 1 6 16 16 16 16 61 x 1 2 3 4 5 6 1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 2 1,5 2 2,5 3 3,5 4 3 2 2,5 3 3,5 4 4,5 4 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 kans 1 36 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361
34.
a. E(T) 10 250 2500 gram en (T) 10 6 18,97 gram.
b. E(x) 250 gram en (x) 101 6 1,90 gram.
35.
a. E(T) 25 4 100 uur en (T) 25 10 50 min. b. (G) 251 10 2 min. c. 4 uur en 20 minuten. 36. a. E(T) 12 504 6048 m en (T) 12 19 65,82 m. b. (G) 11219 5,48 m. c. (G) 1n 19 0,20 19 1 0,20 n n 5 n 25 37.
a. Het standaarddeviatie is groter, de waarnemingen zijn meer gespreid; de top ligt dus lager. b. -38. 2 5 P(X 1) 3 2 3 5 4 10 3 2 2 1 5 4 3 5 3 2 1 2 1 5 4 3 2 10 P(X 2) P(X 3) P(X 4) E(X) 2 en (X) 1 39.
a. X is het aantal keer dat het gekozen getal verschijnt. 1 6 n 3 en p b. 1 1 6 2 E(X) 3 c. d. E(W) 50 0,5787 50 0,3472 100 0,0694 150 0,0046 3,94 winst -50 50 100 150 kans 0,5787 0,3472 0,0694 0,0046
40. a. 1 2 3 3 E(X) 0 24 16 en (X) 11,31 b. E(Y) 0 21 18 41 42 41 15 en (Y) 17,23 .
c. De uitkomsten van schijf 1 en 2 zijn onafhankelijk, dus: E(X Y) E(X) E(Y) 31 en
2 2 2 2
(X Y) (X) (Y) (11,31 17,23 20,62
d. De speler verwacht per spel €1,- te verliezen. Hij kan het spel dus 40 keer spelen. 41.
a. 95% van de gevallen is in 50-70 minuten geklaard. Dat wil zeggen: gemiddeld 60 minuten en 2 is 10 minuten. X ~ Norm(60, 5) b. T ~ Norm(600, 5 10) Norm(600, 15.81) c. P(T 570) 0,025 42. a. 0 S n 0 10S 10n 10S 0 10 n b.
E(S) 0,25 en E(C) 10 E(S) 2,5
c. S is binomiaal verdeeld met succeskans 0,25
n n
1 1 1
E(S) E(X ... X ) E(X ) ... E(X ) n E(X )
10 10 10
1 1
n n n
E(C) E( S) E(S) n E(X ) 10 E(X )
d. (S) 1 0,25 0,75 14 3 0, 43 en (C) 10 (S) 4,3 e. f. 10 10 n n (C) ( S) (S) X 0 24 Y 0 18 42 kans 1 3 23 kans 21 41 41 S 0 1 kans 0,75 0,25 aantal vragen 10 20 30 40 E(S) 1 2 2 5 1 2 7 10 E(C) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 aantal vragen 10 20 30 40 SD(S) 1,369 1,936 2,372 2,739 SD(C) 1,369 0,968 0,791 0,685
T_1.
a. P(X 40) 0,15 0,09 0,03 0,01 0,28
b. E(X) 35 0,02 36 0,07 37 0,11 ... 44 0,01 39,3
c. (X) 1,94 T_2.
a. Er zijn twee mogelijke uitkomsten (kop en munt) en de kansen blijven gelijk. b. P(X 2) binompdf(5, 0.55, 2) 0,2757
c. E(K) 5 0,55 2,75
d. (K) 5 0,55 0,45 1,11
T_3.
a. T is continu. b. V is discreet. c. B is discreet. d. L is continu. T_4.
a.
b. P(B 5600) 16% Dat zijn ongeveer 0,16 800 128 lampen. c. P(5200 B 6400) 84% 2 % 81 % 12 21 0,815 800 652 lampen. T_5. a. (Z) (4X 7) 4 (X) 7 57 en (Z) (4X 7) 4 (X) 12 b. (S) (X Y) (X) (Y) 35 en (S) (X Y) 2(X) 2(Y) 5 T_6.
a. E(10 blokken) 10 E(blok) 20 uur en (10 blokken) 10 (blok) 0,79 uur.
b. (één blok uit 10) 0,2510 0,079 uur. c. 1 0,25 0,25 0,25n n 4 n 16 T_7. a. b. E(X) 0,08
c. Je mag verwachten dat je gemiddeld per spel 8 eurocent verliest. Ik zou dit spel dus maar niet spelen.
X -1 1 2 3
kans 5 5 5
T_8.
a. X: aantal plantjes dat vrucht draagt. n 25 en p 0,85
P(X 15) binompdf(25, 0.85, 15) 0,0016
b. 25 0,85 21,25 ; je mag ongeveer 21 plantjes met vruchten verwachten met een
standaarddeviatie van 25 0,85 0,15 1,79
T_9.
a. Hoe groter de n wordt, hoe kleiner de standaardafwijking.
b. De verschillen bij de jarige vrouwen zal groter zijn dan bij de 4-jarige meisjes. Bij de 35-jarige vrouwen zal de standaardafwijking groter zijn en de klokvormige kromme dus breder.
