Hoofdstuk 4:
Machtsfuncties.
V_1.
a. Een kwadraat is altijd positief. b. x2 9 x 3 x 3 c. De y-as: x 0 d. De oorsprong: (0, 0). V_2. a. b. x3 x 3 2 2 x x 0 x(x 1) 0 x 0 x 1 x 1 x 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 1) c. f(x) g(x) : x , 1 0,1 V_3.
a. De grafiek van k heeft twee asymptoten (x 0 en y 0 ) die loodrecht op elkaar staan. b. D : x 0k B : y 0k
c. De wortelfunctie heeft een randpunt. De grafiek begint in dat punt in verticale richting. d. D : x 0l B : y 0l V_4. a. b. x3 1 x 4 x 1 x 1 x 1 ( 1, 1) (1, 1) c. g(x) k(x) : x , 1
0,1
V_5. a. f(x) x x 2 6 x2 6 x8 e. 4 7 4 7 3 8 3 t t A(t) t t t b. H(r) r r r 5 2 10 r5 2 10 r17 f. K(p) (p ) 2 53p p7 3 p2 5 3p7 3 4p10 c. R(q) q72 q7 2 q5 q g. W(t) t t t t t t 6 6 1 0,5 t7,5 d. Y(x) 5x 2 7x2 x2 (5 7 1)x 2 13x2 h. 8 1 8 9 9 0 3 3 3 3 g g g P(g) g g 1 (g ) g x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 f g x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 g kV_6. a. m(x) x (x 2 4 x ) x3 6x5 b. f(t) t (1 t ) t 2 4 2t6 c. w(q) q(q q 2q ) q3 2q3q4 d. Q(y) y(1 y) y y y y y e. R(t) t (t t ) 3t 3 2 4 t4t5 3t4 4t4t5 f. k(p) 5p (2p 8p ) 10p 2 7 340p9 g. s(t) 3t t34 25 3t88 3 t (t ) 1. a.
b. De even machtsfuncties liggen in z'n geheel boven de x-as (behalve voor x 0 ) en de oneven machtsfuncties gaan van groot negatief naar groot positief (net zoals y x 3).
Er is echt een duidelijk verschil voor negatieve x-waarden.
c. neg neg pos en dus negeven pos en oneven
neg neg.
d. even machtsfuncties: y 0 en oneven machtsfuncties: ¡ .
2.
a. Even machtsfuncties hebben als symmetrie-as de lijn x 0 . b. De oneven machtsfuncties hebben als symmetriepunt: (0, 0). c. f(x) 3 heeft twee oplossingen: x 3 1,71 x 3 1,71
f(x) 0 heeft een oplossing: x 0 f(x) 2 heeft geen oplossing.
d. Voor g en k heeft elke vergelijking één oplossing. Voor h geldt hetzelfde als voor f.
3.
a. Bij de even machtsfuncties heeft de grafiek een symmetrie-as: g(x) en h(x)
b. Alle grafieken gaan door (1, 1) en de even machtsfuncties gaan door (-1, 1). Alle oneven machtsfuncties gaan door (-1, -1).
c. De grafieken van f(x) en k(x) hebben 1 snijpunt met de lijn y 20 , en ook 1 met de lijn y 8. De grafieken van g(x) en h(x) hebben ieder 2 snijpunten met de lijn y 20 . Ze hebben geen snijpunten met de lijn y 8.
x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x2 x4 x3 x 5
4.
a.
b. De grafiek van f is in verticale richting ingedrukt; de grafiek van A loopt dus minder steil.
c. Beide vergelijkingen hebben 2 oplossingen.
5.
a. De figuur bestaat uit 8 kubussen met elk een inhoud van 5 5 5 125 cm3.
Totale inhoud: 8 125 1000 cm3.
b. I 8 r 3
c. Is de formule sowieso zinvol?...r 0> d.
e. Voer in: y18x3 en y2 10000 intersect: x 10,77
6.
a. De buitenkant van de figuur bestaat uit 34 vierkantjes met elk een oppervlakte van 5 5 25 cm2. Totale oppervlakte: 34 25 850 cm2.
b. O 34 r 2
c. r kan natuurlijk niet negatief zijn.
7. a. IA 25 25 60 37500 cm3 en IB25 50 75 93750 cm3 b. IB b 2b 3b 6b 3 c. 2 A I b b 60 60b d. I (30) 54000A I (30) 162000B IB is het grootst e. IA IB 60b 6b 6b 10 b 0 b 0 b 10 2 3 2 ( )
f. Als b 0 is de breedte dus 0 en is er weinig doos.
8.
a. De functie bestaat niet voor x 0 . b. Horizontale asymptoot: y 0
Verticale asymptoot: x 0 c.
d. f(x) x 1 x1
e. De vergelijking x1 2 heeft één oplossing: 1 2 x t A 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 R I 1 2 3 4 5 6 -1 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -200 x -2 -1 1 2 0 1 2 1 2 4 f(x) 1 2 -1 -2 - 2 1 1 2 41 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5
9.
a. Ze bestaan niet voor x 0 (verticale asymptoot). b. Voor de even waarden van a.
c. x 2 12 x 3 3 1 x x 4 4 1 x x
d. Dan nadert de grafiek de x-as. De functiewaarden worden steeds kleiner en naderen naar 0. e. a is dan even.
10.
a. x5 35 heeft één oplossing.
b. 2x5 35 heeft ook één oplossing.
c. 2x5 35 1 5 5 x 17,5 x 17,5 0,56 d. 3x2 1,5 1 1 2 2 2 x 0,5 x 0,5 1,41 x 0,5 1,41 11. a. V 500 500 1 500 t 1 t t
b. Als t groter wordt, wordt V steeds kleiner. c. V is dan heel erg klein: horizontale asymptoot.
12.
a. e 4,4 196 v 1 4,4 196 v
. Als de snelheid toeneemt, wordt 196
v steeds kleiner en wordt de emissie ook steeds kleiner.
b. Voor alle v is 196v een positief getal. Dat komt bij 4,4, dus e 4,4 c. e(60) 4,4 19660 7,67g/km d. 14 4,4 196 v 196 9,6 196 9,6 v v 20,42 km / u 13. a. V 8 10 20112 cm3. b. 1000 9 h2 1000 81 h 3,93cm c. h 318,3 9 2 3,93
d. Als r heel klein is, is de hoogte groot. e. Als de straal groot is, is de hoogte klein. f. Omdat r een positief getal moet zijn.
x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
14.
a. De grafieken van f(x) en h(x) zijn gelijk: 1 2
f(x) x x
b. De grafiek van g(x) loopt in de buurt van de oorsprong verticaal.
15.
a. f(x) g(x) voor x 0 x 1
b. f(x) g(x) f(x) 4 g(x) 2 x 1 x 4 3 64 x 2 4 16
16.
a. Ja klopt, als A groter wordt, wordt 1 3 A ook groter. b. c. 1 3 28,6 A 300 Voer in: 1 3 1
y 28,6 x en y2 300. Dan met 2nd trace (calc) optie
5 (intersect): x 1154 mile2
17.
a. 1. h(x) x 0,23 2. f(x) x 0,67 3. g(x) x 1,5 4. k(x) x 2,7 b. Ze gaan allemaal door (0, 0) en (1, 1)
c. h(x) en f(x) zijn afnemend stijgend (de exponent is kleiner dan 1). g(x) en k(x) zijn toenemend stijgend.
d. a 1
18.
a. M 12,2 6,5 0,92 68,3 kg
b. M 12,2 15000 0,92 84,8 ton
c. 0 exponent 1 , dus afnemend stijgend.
19.
a. HG 0,012 1 0,67 0,012 kg.
b. 0,012 LG 0,67 0,75
Voer in: 0,67 1
y 0,012 x en y2 0,75. Dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): LG 479 kg.
c. LG wordt 10 groter. Omdat er sprake is van een afnemende stijging zal HG minder toenemen bij grote waarden van LG. Dus bij de ree en de vos is het verschil het grootst.
d. HG wordt dan 1000,76 21,9 keer zo groot.
20.
a. LV 11,75 4000 0,2 61,7 jaar.
b.
c. LG 75 LV 27,9 jaar. Onze levensverwachting ligt aanmerkelijk hoger. A S 500 1000 1500 2000 2500 -500 100 200 300 400 500 600 -100 x y 1 2 3 4 -1 1 2 -1 f(x) g(x) LG LV 1000 2000 3000 4000 10 20 30 40 50 60 70 80 -10
21.
a. h 1,2 10 3 1200 m en h 1,2 30 3 32400 m.
b. 1,2t3=20000
Voer in: y11,2 x 3 en y2 20000. Dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): t 25,5 s.
22. a. 1. x7 16 2. 1 3 x 8 3. x5 3 1 7 x 16 1, 49 x 8 3 512 1 5 x 3 0,80 b. x4 20 1 1 4 4 x 20 2,11 x 20 2,11 23. a. x201000 b. x3 6 c. 2 3 x 4 1 1 20 20 x 1000 1, 41 x 1000 1,41 1 3 x 6 0,55 3 2 x 4 8 d. 5p5 160 e. q0,24 0,078 f. p225 0 1 5 5 p 32 p 32 0,5 1 0,24 q 0,078 41331 2 p 25 geen oplossin g g. 123p0,089 159 h. 0,087 t 5,34 0,63 i. 25 3,5 t 1,8 40 1 0,089 0,089 p 1,29 p 1,29 17,89 1 5,34 5,34 t 7,24 t 7,24 0,69 1,8 1,8 3,5 t 15 t 4,29 1 1,8 t 4,29 2,24 j. 0,18 0,23 T 0,9 5,42 1 0,9 0,9 0,9 0,23 T 5,6 T 24,35 T 24,35 0,03 24. a. O 0,1 360000 0,67 528 m3 b. G0,67 0,1O 0,11 O 10 O 1 1 1 0,67 0,67 0,67 1,49 G (10 O) 10 O 31,08 O
c. G 31,08 350 1,49 194829 kg. Echter het maximaal draagvermogen is 150000 kg.
25. a. P 25 Q 3,5 b. P 0,75 Q 1,38 c. P 1,46 Q 0,67 d. P 0,002 Q 1,5 3,5 1 25 0,29 Q P Q 0,40 P 1,38 1 3 0,72 Q 1 P Q 1,23 P 0,67 1,49 Q 0,68 P Q 1,76 P 2 3 1,5 Q 500 P Q 63 P
26.
a. H 241 4000 0,2530 slagen per minuut.
b. Hhaas 161 en Hvos 135,5 c. G0,25 2411 H 1 1 1 0,25 0,25 0,25 9 4 1 1 241 241 G ( H) ( ) H 3,37 10 H d. G 3,37 10 50 9 4 539,7 kg. e. g 0,25 1 0,25 0,25 0,25 1000 1000 H 241 ( ) 241 g 1355 g 27. a. -b. h(x) f(x) g(x) x 2x4 x2 c. k(x) is geen machtsfunctie.
d. l(x) is geen machtsfunctie, maar q(x) f(x) x42 x 6 g(x) x 28. a. D : 0,f
b. g(x) (x 0,21 2) x0,21x0,21 x0,42 c. h(x) 0,211 x 0,21 x 29. a. f(x) x x x 4 3 x4 3 1 x8 b. g(p) (p ) p 2,1 3 0,7 p2,1 3 0,7 p7 c. H(t) t3,5 t2,1 1,71 t3,5 2,1 1,7 t3,9 t d. A(t) t 3 t t t t 3 0,5 t t3 0,5 1 t4,5 e. 1 2 3 1,5 3 3 1,5 3 3 1,5 1,5 3 R(a) a a a a a a a a f. W(q) q q3 24 q3 4 2 q5 q g. N(a) a 0,20,7 2a4,5 a4,31,4 a4,3 1,4 a5,7 (a ) a 30. a. f(x) x x x2 3 (x )2 3 x x2 3 x1 2 3 x2 3 x2 3 1 x6 x6 x4 2x6 x4 x b. Nee. c. 1. h(x) x x 2 3x x2 5 x x4 x5x7 x5 2x5x7 2. 2 0,5 0,5 2 2 1,5 2 0,5 3 0,5 2 1 2 1,5 0,5 2 3 p p W(p) (p ) p p p p p p 2p p p x y 200 400 600 800 1 2 3 4 5 -131. a. TK 520 15 250 0,65 €1062,94 b. TK 520 15 1000,65 €8,19 100 100 per stuk. c. GTK TK 520 15 q0,65 520 15q0,65 520 15q0,35 q q q q q 32. a. W(p) 8p4 5p2 p 1 8p4 5p2 p 1 8p3 5p 1 p 1 p p p p p b. N(t) 2t3,5 4t2,1 2t0,3 6 2t3,5 4t2,1 2t0,3 6 t2,5 2t1,1 t 0,7 3t 1 2t 2t 2t 2t 2t c. 5 23,8 52 3,82 2 51 3 1,8 52 2 6q 10q 2 6q 10q 2 P(q) 1 q 2q q 5q 5q 5q 5q 33. a. TK(15) €1220,06 en GK TK(15) €81,34 15 b. GTK TK(q) 90q 0,6q2 0,0015q3 90 0,6q 0,0015q2 q q c. GTK 78,6 ABC formule 2 2 0,0015q 0,6q 90 78,6 0,0015q 0,6q 11,4 0 x 20 x 380 34. a. 3,7t0,231,4 b. 2003 m 1,26175 1683 c. 2 3 523 87 q 500 1 0,23 0,23 t 0,38 t 0,38 68,41 1,26 1,26 2003 m 1508 m 0,75 2 3 2 3 87 q 23 q 0,26 1 1,26 m 0,75 0,80 q 0,26 32 0,14 d. 3x5515 38 x 1 5 5 5 5 5 3x 15 38x 35x 15 x 0,43 x 0,43 0,84 35. a. 18,5 16,82 1 1,7 20,7 18,5
4 2 1,1 dus niet lineair.
c. 0,0629 v 216 1 3 3 v 3435 v 3435 15,09 km/u d. 150 0,001 L v 2 3 1 2 3 3 2 3 3 2 2 L v 150000 v 150000 L v (150000 L ) 53,13 L
e. "de vier": TK 0,001 11,57 20,7 4 2 3 297 kN en "de acht": 0,001 18,28 22,32 3 8
TK 463 kN. De roeiers van "de acht" moeten ieder meer kracht leveren.
36. a. Z 0, 4 2400 0,33 0,03 ml/kg. 1 km T 0,03 2400 73,6 ml en T5 km 368 ml. b. Z 0,4 20 0,33 0,15 ml/kg. 1 km T 0,15 20 2,98 ml en T5 km 14,9 ml. c. Z 0, 4 L 0,33 1 0,33 0,33 3,03 3,03 Z L 2,5 Z 0,4 L (2,5 Z) 0,06 Z L 0,06 0,08 126 kg
d. 80,33 0,5. Dus het zuurstofverbruik van de geit is ongeveer 2 keer zo klein.
e. TZ 0,4 L 0,33 L 0, 4 L 0,67
f. TZ100 meter 101 0,4 0,032 0,67 0,004 ml.
37.
a. V1900 0,00154 5,1 4,3 1,70 V1940 0,00154 8,8 4,3 17,73 en V1980 0,00154 14,1 4,3134,6
De formule klopt wel redelijk.
b. Als B twee keer zo groot wordt, dan wordt volgens deze formule V ongeveer 24,3 19,7 keer zo
groot.
c. 4,3
2000
V 0,00154 15,6 207,9 (miljard)
d. 6,85,1 1,3333 8,86,8 1,2941 11,48,8 1,2955 11,414,1 1,2368. De groeifactor per 20 jaar is
vrijwel constant; ongeveer 1,29. Dat wil zeggen dat de groeifactor per jaar gelijk is aan
1 20 1,29 1,0128 e. V 25 B 9,53 1 4,3 4,3 4,3 0,00154 B 25 B 16234 B 16234 9,53 t t 1,0128 5,1 (1,0128) 9,53 1,0128 1,87 t log1,87 49,2
In het jaar 1949 was het personenvervoer gelijk aan 25.
f. V 0,00154 B 4,30,00154 (5,1 (1,0128) ) t 4,3 0,00154 5,1 4,3(1,0128) )t 4,3 1,70 (1,0128) 4,3 t
T_1.
a. f(x) en h(x) zijn symmetrisch in de lijn x 0 en g(x) is puntsymmetrisch in het punt (0, 0). b. Alleen f(x) gaat door (-1, 1).
c. De functies f(x) en h(x) hebben beide twee snijpunten met de lijn y 10001 en g(x) heeft er maar één. T_2. a. f(x) 4 b. f(x) 100 1 1 4 4 4 4 2 x 4 x 2 x 2 x 2 1 1 4 4 4 4 2 x 100 x 98 x 98 x 98
c. x4 is groter dan 0 voor alle waarden van x, dus f(x)
is groter dan 2. T_3. a. 1 6 S 40 0,75 38 vogelsoorten en 1 6 S 40 1500 135 vogelsoorten. b. S 50 1 6 1 6 6 40 A 50 A 1,25 A 1,25 3,81 vierkante mijl
c. Neem voor de oppervlakte 10A: 16 16 61 61 16 16
10A A
S 40 (10A) 40 10 A 10 40 A 10 S Het aantal vogelsoorten wordt dan ongeveer 1
6
10 1,5 keer zo groot.
d. De grafiek van S is afnemend stijgend. Dat wil zeggen dat bij grote waarden van A de toename kleiner is. Dus bij het kleine gebied is de stijging groter.
T_4. a. x3 12 b. p6 58 1 3 x 12 2,29 1 1 6 6 p 58 1,97 p 58 1,97 c. 225 t 2,37 156 823 d. 3,39 4,56T 3 17,65 e. 2s4 3 5 1 2,37 2,37 2,37 225 t 667 t 2,96 t 2,96 1,58 31 3 3 4,56T 14,26 T 3,13 T 3,13 0,68 4 4 2s 2 s 1 geen oplossin g f. 5x2 8 12 g. 3p514 p 5 1 h. 1 2 1 12 4q 28 2 2 1 1 2 2 5x 20 x 4 x x 1 5 5 5 2p 15 p 7,5 p 7,5 1,50 1 2 1 2 2 3 1 1 4q 16 q 4 q 4 2,52 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 -1
T_5. a. 6 6 2 8 2 x f(x) x x x g(x) x 4x6x x3 1x2x2 2x2 1 2 1 2 3 3 3 3 4 3 3 4 0 s(t) t t t t t t 1 1 3 1 3 2 4 2 p p K(p) p p p b. 4 1 4 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 3t 2t 14 3t 2t 14 R(t) 1 t t 7t 2t 2t 2t 2t 3 3 4 3 3 3 2 4 2 2 4 1 1 1 1 p 3p p p p 3p p N(p) p 3p p 2p 3p p p p p T_6.
a./b. Als de produktie toeneemt, wordt n groter en 2500 n 1 kleiner (vrijwel 0) en komen de
gemiddelde kosten steeds dichter bij de €2,- te liggen. c. GK 3 1 1 2 2500 n 3 2500 n 1 n 2500
Men moet dan minimaal 2500 tekensets produceren. d. TK n GK n (2 2500 n ) 2n 2500 1
e. Als CREATEC nog niets produceert zijn de kosten al
€2500,-T_7. a. 2,5 5 h 36 b. b 2b h 36 12,5 h 36 h 2,88 K 2,5 5 2 2,5 2,88 2 5 2,88 55,7 2 2 2 2 2 2 2 36 18 2b b 18 18 b b 2 36b 72b 2 108 b b b 2b h 36 h K b 2b 2 b 2 2b 2b 2b
c. De breedte is in ieder geval positief. De hoogte zal ook niet al te klein worden; dus waarschijnlijk iets van b 10 (of zelfs nog kleiner).
d. De grafiek van K is een steeds sneller stijgende grafiek. Dus de toename van de oppervlakte is groter als de breedte wordt vergroot van 17 naar 18 dm.
e. Voer in: y1 2x2108
x minimum: x 3 De afmetingen van de doos zijn dan 3 bij 6 bij 2 dm.
T_8. f(x) x ; g(x) 2 x x ; h(x) 12 1 x21
